Coordenadas Esféricas e Equações Navier-Stokes

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FORMULÁRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Prof: Fernando Cunha Peixoto 
Departamento de Engenharia Química e do Petróleo - UFF 
 
I - Coordenadas Cartesianas: 
a) Operadores 
zyx e
z
P
e
y
P
e
x
PP
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
z
v
y
v
x
v
v. z
yx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
z
xy
y
zx
x
yz e
y
v
x
v
e
x
v
z
v
e
z
v
y
v
v 







∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂
∂
=×∇ 
2
2
2
2
2
2
2
z
P
y
P
x
PP
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
b) Navier-Stokes (ρ e µ constantes) 








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂µ+ρ+
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ 2
x
2
2
x
2
2
x
2
x
x
z
x
y
x
x
x
z
v
y
v
x
vg.
x
P
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
 








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
µ+ρ+
∂
∂
−=







∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ 2
y
2
2
y
2
2
y
2
y
y
z
y
y
y
x
y
z
v
y
v
x
v
g.
y
P
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
 








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂µ+ρ+
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ 2
z
2
2
z
2
2
z
2
z
z
z
z
y
z
x
z
z
v
y
v
x
vg.
z
P
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
 
 
II - Coordenadas Cilíndricas: 
a) Operadores 
zr e
z
P
e
P
r
1
e
r
PP
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=∇ θ 
( )
z
vv
r
1
r
rv
r
1
v. zr
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=∇ θ 
( )
z
rzr
r
z e
v
r
rv
r
1
e
r
v
z
v
e
z
vv
r
1
v 





θ∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
θ∂
∂
=×∇ θθθ 
2
2
2
2
2
2
z
PP
r
1
r
P
r
rr
1P
∂
∂
+
θ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇ 
b) Navier-Stokes (ρ e µ constantes) 
( )








∂
∂
+
θ∂
∂
−
θ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂µ+
+ρ+
∂
∂
−=








∂
∂
+−
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ
θ
θθ
2
r
2
22
r
2
2
r
r
r
z
2
rr
r
r
z
vv
r
2v
r
1
r
rv
r
1
r
g.
r
P
z
v
v
r
vv
r
v
r
v
v
t
v
 
( )








∂
∂
+
θ∂
∂
+
θ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂µ+
+ρ+
θ∂
∂
−=





∂
∂
++
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ
θθθ
θ
θθθθθθ
2
2
r
22
2
2
z
r
r
z
vv
r
2v
r
1
r
rv
r
1
r
g.P
r
1
z
v
v
r
vvv
r
v
r
v
v
t
v
 








∂
∂
+
θ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂µ+
+ρ+
∂
∂
−=





∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ θ
2
z
2
2
z
2
2
z
z
z
z
zz
r
z
z
vv
r
1
r
v
r
rr
1
g.
z
P
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
 
 
y 
x 
z 
r 
θ 
III - Coordenadas Esféricas: 
a) Operadores 
φθ φ∂
∂
θ
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=∇ eP
sen.r
1
e
P
r
1
e
r
PP r 
( ) ( )
φ∂
∂
θ
+
θ∂
θ∂
θ
+
∂
∂
=∇ φθ
v
sen.r
1senv
sen.r
1
r
vr
r
1
v. r
2
2 
( ) ( ) ( )
φθθ
φθφ






θ∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−φ∂
∂
θ
+





φ∂
∂
−
θ∂
θ∂
θ
=×∇ ev
r
rv
r
1
e
r
vr
r
1v
sen.r
1
e
vsenv
sen.r
1
v rrr 
2
2
222
2
2
2 P
senr
1P
sen
senr
1
r
P
r
rr
1P
φ∂
∂
θ
+





θ∂
∂θ
θ∂
∂
θ
+





∂
∂
∂
∂
=∇ 
b) Navier-Stokes (ρ e µ constantes) 






φ∂
∂
θ
−θ−
θ∂
∂
−−∇µ+
+ρ+
∂
∂
−=








−−φ∂
∂
θ
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ
φ
θ
θ
θφφθ
v
senr
2
cotv
r
2v
r
2
v
r
2
v
g.
r
P
r
v
r
vv
sen.r
vv
r
v
r
v
v
t
v
222r2r
2
r
22
rrr
r
r
 






φ∂
∂
θ
θ
−
θ
−
θ∂
∂
+∇µ+
+ρ+
θ∂
∂
−=







 θ
−+φ∂
∂
θ
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ρ
φθ
θ
θ
φθθφθθθθ
v
senr
cos2
senr
vv
r
2
v
g.P
r
1
r
cotv
r
vvv
sen.r
vv
r
v
r
v
v
t
v
2222
r
2
2
2
r
r
 






φ∂
∂
θ
θ
+φ∂
∂
θ
+
θ
−∇µ+
+ρ+φ∂
∂
θ
−=







 θ
++φ∂
∂
θ
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
θφφ
φ
φθφφφθφφ φ
v
senr
cos2v
senr
2
senr
v
v
g.P
sen.r
1
r
cotvv
r
vvv
sen.r
vv
r
v
r
v
v
t
v
22
r
222
2
r
r
 
 
y 
x 
z 
r 
φ 
θ