Trigonometria Plana y Esferica e Introduccion al Calculo - Lumbreras peruanos

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ndi ce
Breve historia de la Trigonometría
La Trigonometría............................................................ 13
Desarrollo de la Trigonometría................................... 13
Aportes durante el Esciavismo...................................... 13
Aportes durante el Feudalismo ................................... 17
Aportes durante el Capitalismo .................................... 19
Sistemas de medición 
angular y longitud de arco
Ángulo trigonométrico ...............................................26
- Ángulos positivos y ángulos negativos................... 26
Sistemas de medidas angulares ............... 28
- Sistema sexagesimal ........:..................................... 28
- Sistema centesimal ........................................ ..28
- Sistema radial radial, circular o internacional .........29
- Ángulos coterminales............................................... 35
Longitud de arco de una circunferencia .................41
. - Cálculo de la longitud de un arco
de circunferencia............................................ 41
- Cálculo de! área de un sector circular..................... 42
- Ángulo girado o barrido por una rueda.................... 43
- Número de vueltas.................................................... 44
- Pc’ea5 y engranajes............................................ 46
- Mr dición de la distancia entre dos puntos
sobre la Tierra ............................... 50
Problemas resueltos ..................................................... 53
Problemas propuestos.................. 67
Razones trigonométricas 
de un ángulo agudo
Definición de razón trigonométrica ..........................79
- Propiedad fundamental de las
razones trigonométricas...........................................80
- Razonestrigonométricas de ángulos agudos
(notables) en un triángulo rectángulo..................... 82
- Propiedades de tas razones trigonométricas .........87
- Razones trigonométricas de ángulos
complementarios.................................................. ....87
Resolución de triángulos rectángulos .................... 90
- Dadas las longitudes de dos lados..........................90
- Dados un ángulo agudo y la longitud
de un lado .................. 91
Problemas resueltos %
Ángulos verticales y horizontales ..........................106 -
- Ángulos verticales .................................................. 106
- Ángulos horizontales.............................................. 108
Problemas resueltos...................... 109
Problemas propuestos....................................... 119
R azones tr ig o n o m é tr ic a s d e 
u n á n g u lo en posic ión n o rm a l
Introducción a las desigualdades............................134
- Recta numérica................................................. 134
- Definición .................................................. 136
- Intervalos ......................................................... 140
- Valor absoluto .................................. 148
- Distancia entre dos puntos en la
recta numérica ........................................................ 155
- Segmento dirigido....................................................155
Problemas resueltos .................................................. 157
Sistema de coordenadas rectangulares................ 163
- Distancia entre dos puntos en el
plano cartesiano........................................... 166
- Radio vector (r) ....................................................... 166
- División de un segmento por un punto
en una razón dada ..................................................167
* Área de una región triangular................................ 168
- Ángulo trigonométrico en posición
normal (estándar o regular)....................................170
Definición de razones trigonométricas ..... 172
- Signos de las razones trigonométricas
en los cuadrantes......................... 174
- Ángulos coterminales............................................. 175
Problemas resueltos ........................................... 179
Problemas propuestos .................................................185 .
Circunferencia
trigonométrica
Circunferencia trigonom étrica .................................200
- Nociones previas............. 200
- Arcos dirigidos en posición normal........................203
- Representación de los números reales en la
circunferencia trigonométrica .................................206
- Representaciones del seno, coseno, tangente, 
cotangente, secante y cosecante de un
arco en la circunferencia trigonométrica............... 213
- Representaciones auxiliares..................................223
Problemas resueltos.....................................................225
Problemas propuestos..................................................260
Identidades
trigonométricas
g^B5?«s!eeesaummss
F u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
identidades trigonométricas fundamentales ........279
- Identidades reciprocas......................................... 279
- Identidades por cociente ....................................... 279
- Identidades pitagóricas ......................................... 280
- Tipos de problemas sobre identidades
fundamentales ....................................................... 281
- Demostración de identidades................................281
- Cálculo de razones trigonométricas en función
de otras razones trigonométricas..........................285
Problemas resueltos ...................................................288
Identidades de la suma o diferencia de dos arcos
{dos ángulos) .............................................................300
Problemas resueltos ...................................................307
Identidades de reducción al primer cuadrante .... 317
- Para ángulos positivos menores que una vuelta
(primer caso)...........................................................318
- Para ángulos mayores que una vue’ta
(segundo caso) ...................................................... 319
- Para el arco (-0)(tercer caso) ...............................321
Identidades para el arco doble, mitad y triple .325
- Identidades para el arco doble...............................325
- Identidades para el ángulo mitad (x/2).................. 330
- Identidades para el ángulo triple (3x).................... 333
Problemas resueltos .................... 336
Identidades de transformaciones 
trigonom étricas..........................................................350
- De sumas y diferencias de senes y
cosenos en producto..............................................350
- De producto de senos y/o cosenos a
suma o diferencia...................................................352
Problemas resueltos ...................................................361
Problemas propuestos .......................................... 377
R elaciones fu n d a m e n ta le s en 
el tr iá n g u lo o b lic u án g u lo
Teoremas trigonométricos .....................................402
- Teorema de senos................................................... 402
- Teorema de cosenos............................................... 406
- Teorema de tangentes ..........................................407
- Teorema de proyecciones....................... 408
Razones trigonométricas de los semiángulos
de un triángulo en función del semiperímetro 
y lados .......................................................................409
- Área de una región triangular................................414
- Área de una región cuadrangular..........................417
Problemas resueltos ...................................................421
Problemas propuestos ................................................441
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
Noción de fu n c ió n ......................................................449
- Regla de correspondencia .....................................450
- Gráficas de funciones .............................................452
- Función par ............................................................ 464
- . Función impar ..........................................................464
- Función creciente.................................................... 466
- Función decreciente................................................466
- Funciones periódicas ..............................................467
- Continuidad de una función en un punto ...............470
Análisis de las gráficas de las funciones 
trigonométricas elementales ...................................471
* Función seno ...........................................................471
- Función coseno........................................................ 472
- Función tangente............' ......................................472
- Función cotangente............................................. 473
- Función secante....... ?............................................ 474
- Función cosecante .................................................. 475
- Gráfca de la función que tiene por regia de
correspondencia f{x)-Asert{Bx+C)+D ...................477
- Estudio de las funciones de !a forma y-F t{B x ) .... 479
- Adición y multiplicación de funciones.....................486
- Ejemplos de funciones con dos variables............. 489
Problemas resueltos..................................................... 4S1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
Noción de la función inversa ....................................518
- Función inyectiva..................................................... 518
- Función sobreyectiva ..............................................522
* Función biyectiva .................................................... 522
- Definición de función inversa .................................523
Funciones trigonométricas inversas....................... 524
- Función arco seno.................. 525
* Función arco coseno...............................................526
- Función arco tangente.............................................526
- Función arco cotangente............................ 526
- Función arco secante............................................... 526
- Función arco cosecante...........................................527
- Propiedad fundamental............................................528
- Teoremas y propiedades de las funciones
trigonométricas inversas......................................... 533
- Propiedad de¡ seno inverso......................................534
- Propiedad del coseno inverso................................. 535
- Propiedad del tangente inverso............................... 535
- Propiedad dei cotangente inverso...........................536
- Propiedad del secante inverso.................................536
- Propiedad de! cosecante inverso............................ 536
Problemas resueltos..................................................... 546
Problemas propuestos.................................................. 566
Ecuaciones
trigonométricas
Ecuación trigonométrica ...........................................594
Ecuación trigonométrica elemental ........................ 595
Desigualdades trigonométricas de una
sola incógnita .............................................................605
Sistemas de ecuaciones trigonométricas ............. 610
Problemas resueltos .................................................... 612
Problemas propuestos ............................................... ^631
Números complejos en el 
análisis trigonométrico lar Traslación y rotación de ejes
Definición de un número compiejo ........................642
- Representación geométrica ...'............................... 642
- Forma poiar o trigonométrica ................................ 644
- Argumento principa! de un número complejo .......645
- Forma exponencial................................................. 646
- Números complejos conjugados ........................... 648
- Inverso aditivo de un número complejo................ 648
- Propiedades del módulo de un número
complejo ............................... 650
- Fórmula de D( M oivre............................................. 652
- La exponencial compleja........................................654
- Relación entre la fórmula de D' Moivre y
el binomio de Newton............................................. 655
- Lugar geométrico y regiones................................. 657
Problemas resueltos ................................................... 663
Problemas propuestos ................................................ 692
Elementos de cálculo: 
Límites y derivadas
Noción intuitiva del límite ......... .............................710
- Definición ................................................................. 712
- Definición formal del límite de una función...........713
- Definición (continuidad en un punto) .................... 714
- Definición (continuidad latera!) .............................. 714
- Definición (continuidad en un intervalo cerrado) ..716
- Definición (continuidad en un intervalo abierto) ... 717
- Teorema de -a función intermedia o
d e e s írrc ió n ............................................................ 718
Límites trigonométricos no tab les...........................719
- El r uñero e ............................................................. 724
Problemas resueltos ....................................................725
Noción intuitiva de ia derivada de una función .........734
- La recta tangente y la derivada ............................. 734
Derivadas de las funciones trigonométricas.............. 738
- Notación de Leibniz para ia regla de la cadena ... 740
- Regla de la cadena y funciones trigonométricas.. 741
- Diferenciación implícita ..........................................743
- Derivadas sucesivas o de orden superior............. 743
- Diferenciación de funciones
trigonométricas inversas ........................................744
- La diferencial........................................................... 747
- Teoremas sobre las funciones derivables ............ 748
- Teorema de L'Hospital............................................ 751
- Aplicaciones de la primera y segunda derivada .. 752
- Funciones crecientes y decrecientes.................... 753
- Máximos y mínimos de una función.......................754
- Concavidad de puntos de inflexión de
una función.............................................................. 756
- Convexidad.............................................................. 756
- Puntos de inflexión.................... %.......................... 757
- Criterio de la segunda derivada para máximo
y mínimos..................................................................760
- Método de Newton Raphson...................................762
Problemas resueltos.....................................................764
Problemas propuestos..................................................774
Determinación gráfica de las secciones
cónicas ........................................................................790
Secciones cónicas .......................................... 791
- Definición de parábola ...........................................791
- Definición de elipse ..............................................792
- Definición de la hipérbola...................................... 793
• Ecuación general de una sección cónica ............ 794
Traslación de ejes ........................................ 795
Rotación de ejes ....................................................... 798
- Eliminación del término xy ..................................... 802
- Uso del discriminante............................................804
Problemas resueltos ................ 805
Problemas propuestos................................
811
E B j B F ’ Trigonometría 
esférica
Elementos fundamentales en una esfera ..............818
- Circunferencia máxima ..........................................818
- Circunferencia mínima ...........................................818
- Polos ................... 818
- Ángulo esférico .......................................................818
Triángulo esfé rico ....................................................* *¡,819
- Propiedades de los triángulos esféricos............... 819
- Exceso esférico........................................................820
- Área de un triángulo esférico................................. 821
- Triángulo polar o suplementación..........................822
- Triángulo esférico rectángulo ......... 823
- Reglas de N ep e r.................................................... 824
- Triángulo cuadrantal ..........*................................. 825
- Triángulo esférico oblicuángulo.............................826
• Ley de senos .......................................................826
• Ley de cosenos para lados ................... .......■.... 827
• Ley de cosenos para ángulos ............................827
Aplicaciones de la trigonometría esférica
en astronomía y navegación ..... 828
- Sistema de coordenadas geográficas................... 829
- Latitud ......................................................................829
- Longitud ...................................................................829
- Distancia entre dos puntos de la superficie
de la Tierra..................:...........................................829
- Rumbo ............ 830
Problemas resueltos ................................................... 832
Problemas propuestos ......... 839
• Tabla de símbolos
• Bibliografía
------------ -/de la Trigonometría
LA TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos. Actualmente la Trigonometría 
es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para determinar distandas 
inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de esta disdplina se ha ido enriqueaendo 
progresivamente. Así, abarca también el estudio tanto de las fundones circulares -y su aplicaaón en la vida cotidiana, 
en las telecomunicadones, la mecánica, la astronomía, etc.- como del modelamiento matemático, de gran utilidad 
en la explicadón de fenómenos naturales como las ondas o vibradones.
Breve historia----------- 1
Trigonometría plana Trigonometría esférica
DESARROLLO DE LA TRIGONOMETRÍA
La Trigonometría es una de las disaplinas matemáticas más antiguas. Al igual que otras ramas de la 
matemática, la Trigonometría no es fruto de la inteligenaa de un solo hombre, ni aun de una sola rivilizadón, 
sino es producto de la experienda y síntesis teórica de diversas sodedades como Egipto, Babilonia y Greda.
Ya en el papiro de Ahmes (1550 a.n.e.) se encuentran alusiones a características de un ángulo análogas 
a nuestras razones trigonométricas actuales. En Babilonia, China y otras- civilizaciones antiguas se 
realizaban, entre uno y dos milenios antes de nuestra era, cálculos con triángulos en muchos casos en 
conexión con problemas de agrimensura y astronomía.
APORTES DURANTE EL ESCLAVISMO
Las. condiciones económicas y políticas de la sociedad esclavista permitieron un nuevo impulso del 
conocimiento científico. El desarrollo agrícola y ganadero generó una mayor disponibilidad de tiempo para 
la investigadón y observación sistemática de la naturaleza. Asimismo, ante el surgimiento de la propiedad 
privada y del Estado esclavista se hizo necesario optimizar los mecanismos para delimitar la propiedad 
territorial y controlar tanto la ptpducdón como los impuestos que debía pagar el pueblo. Es así como surge 
la necesidad de un mayor desarrollo del conocimiento matemático y, en particular, de la Trigonometría.
13
Lumbreras Editores Trigonom etría
IV m ilenio a.n.e
En la Mesopotamia antigua los primeros signos de matemática aparecieron como respuesta a 
necesidades prácticas. Así, fueron utilizados para contabilizar las cabezas de ganados o los sacos de 
cereales, calcular distancias, etc.
Parece que la numeración caldeo-asiría ha tenido doble origen: una numeración sexagesimal y otra 
decimal de origen semítico. En efecto, en documentos que se remontan al tercer milenio antes de nuestra 
era, aparece completamente desarrollado el sistema sexagesimal.
Las unidades principales de las diferentes órdenes eran 1,60,3 600 (el sar), 216 000 (el gran sar), los 
dos últimos corresponden respectivamente al cuadrado y al cubo de 60 posiblemente; el origen de la 
numeración sexagesimal debe buscarse en observaciones astronómicas. El mes sideral sumerjo de 30 
días y el año de 360 días son bastante significativos.
Tres instrumentos de importancia permitieron a los caldeos elaborar su Astronomía: la clepsidra, el 
gnomon y el polos. La primera era un reloj de agua, el segundo consistía en un instrumento que representaba 
el cuadrante solar; iba previsto de una varilla que proyectaba su sombra sobre éste según la posición del sol, 
el cual marcaba las horas del día, los solsticios y los equinoccios. El denominado polos era una semíesfera 
que representaba, invertida, la bóveda celeste. Sobre aquello, en el centro, se colgaba una bola, y la sombra 
que proyectaba en la semiesfera mostraba, de forma invertida, el movimiento solar en los cielos.
Los babilonios
Luego de la decadencia de Sumeria,
B abilonia, que te n ía u n a no tab le 
im portancia estra tég ica comercial y 
cultural, logra su independencia e inicia 
su extraordinaria ascención hacia los 
años 1830 antes de nuestra era. La mayor 
atención que tenían los hombres de 
ciencia en Babilonia era hacia la 
astronomía, ciencia que les daba datos 
cada vez m ás precisos p a ra un 
conocimiento de la astrología, a la cual 
le daban importancia porque pensaban 
equivocadamente en la influencia de los 
a s tro s en la v ida del hom bre. Es 
realmente digno de admirar el desarrollo 
que alcanzó su astronomía, desarrollo 
log rado a p a r tir de un im p o rta n te 
conocimiento trigonométrico.
Los egipcios
El problema 56 del papiro Rhind, presenta un interés especial porque contiene lo que podríamos 
llamar uno de los rudimentos de Trigonometría y de una teoría de triángulos semejantes. En la 
construcción de las pirámides, un problema esencial era el de mantener una pendiente uniforme en las 
cuatro caras, por ende puede haber sido este problema el que llevó a los egipcios a introducir un concepto 
equivalente al de la cotangente de un ángulo.
Babilonia, capital de un vasto territorio, fue centro cultura! de oriente a partir del 
siglo XVII (a.n.e)- Resulta déstacable el aporte de los babilonios en matemática, 
en especia! en la Trigonometría.
14
Breve historia de la Trigonom etría
La mayor parte de nuestro conocimiento acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de Ahmes 
o de Rhind, el documento más extenso que se tiene del antiguo Egipto. Una relación matemática contenida 
en el papiro es: la razón del perímetro-de la base es a la altura de la pirámide de Keops como 44/7 (ciertamente 
muy próxima), que es el doble de 22/7, aproximación de ji muy usada modernamente, pero hay que recordar
1 i
que el valor que se deduce de n de los cálculos de Ahmes es algo menor que 3 t y no 3 - .
6 7
I I I
u 1 \ á ¿ í-í
>1-4
Papiro egipcio. Evidencia del aporte, de este pueblo al conocimiento matemático.
Los griegos
En plena crisis de su sistema esclavista, Grecia inicia al siglo IV (a.n.e), su expansión sobre el este (Persia). 
Este proceso de expansión, que fue liderado por Alejandro Magno, trajo como consecuencia el Helenismo 
(contacto cultural occidente - oriente) representado por la dudad de Alejandría en Egipto, ciudad que se 
convertiría
pronto en la punta de lanza de la investigadón dentífica y en sede de los mejores pensadores.
Eratóstenes (275-194 a.n.e.)
Matemático griego, educado en Atenas y Alejandría, llamado 
también el medidor de la Tierra, ya que fue el primero en hacer 
mediciones de la circunferencia de nuestro planeta. En Alejandría 
los rayos solares con la vertical forman un ángulo de 7,2° y es 
igual al ángulo que se forma en el centro de la Tierra con la 
prolonga :ión de los rayos de Siene como 7,2° es 1/50 de 360°, la 
distancia Alejandría-Siene 5 000 estadios (1 estadio=0,1575 km) 
es 1/50 de la circunferencia de la Tierra por lo que al multiplicar 
por 50 a dicha distancia obtenemos la longitud de la circunferencia 
de la Tierra, así como podemos deducir su diámetro. Sus resultados 
aproximados fueron 250 000 estadios (o sea, 39 375 km) para la 
circunferencia de la Tierra. Los cálculos fueron impresionantemente 
certeros, si tenemos en cuenta el nivel técnico de la época; hoy se 
calcula en 40 008 km.
Hiparco de Nicea (aprox. 190 a 125 a.n.e.)
La Trigonometría aparece como necesidad de la Aátronomía, a fin de resolver problemas de la esfera celeste. 
Hiparco de Nicea es justamente considerado la autoridad máxima entre los astrónomos griegos, y el astrónomo 
más grande de la antigüedad (tuvo un observatorio astronómico en Rodas entre los años 128-127 a.n.e.) A partir 
de observaciones sistemáticas, hechas con los recursos disponibles en esa época, solo era posible deducir 
racionalmente que la Tierra era el centro del universo, e Hiparco cometió ese error, difundido posteriormente por 
Ptolomeo. Hiparco fue el primero en determinar con precisión el aparecer y el ocaso de varias estrellas, usando 
para ello una tabla de cuerdas por él calculada. El resultado fue una obra de doce volúmenes. Según Teón de 
Alejandría, ese tratado contenía una teoría general de la Trigonometría y algunas tablas. Estas tomaban como 
base la división del círculo en 360° y daban grado por grado el valor de las cuerdas de los diversos arcos.
15
Lumbreras Editores T rigonometría
En cuanto a la Trigonometría rectilínea se refiere, conoció la fórmula que, con nuestra notación, sería 
sen2cc+cos2a = l .
Los matemáticos griegos no usaban el seno de un ángulo sino usaban la cuerda del arco duplo AB. 
También consideraban el radio OA con longitud 60 y dividían el círculo en 360 partes iguales.
Menelao de A lejandría (100 a.n.e.)
Compone un trabajo en seis libros sobre los cálculos de cordones de arcos (presentado como Geometría 
esférica). Menelao demuestra teoremas sobre los triángulos esféricos; probó, por ejemplo, que si dos 
triángulos esféricos tienen ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son iguales o 
congruentes. Introdujo un teorema, que lleva su nombre, a fin de probar el resultado correspondiente 
para triángulos esféricos.
Teorema de Menelao. Si el triángulo ABC 
es cortado por una recta que interseca sus 
tres lados en Plt P2 y P3 entonces
PA-PC -P Bj ------- 2-------3_ = 1
PB-PA -PC
Claudio Ptolomeo (180 d.n.e.)
Hizo progresar la Trigonometría y la enriquece con nuevas fórmulas 
no conocidas por Hiparco. Los trabajos de Ptolomeo están contenidos en 
su obra inmortal denominada por los árabes Magiste (El mayor). De ese 
vocablo, al cual se le agregó el artículo Al, surgió el nombre Almagesto 
(Al-magiste) con el que hoy conocemos la obra, que significa sintaxis 
matemática. El Almagesto describe matemáticamente el funcionamiento 
del sistema solar. Señalaba que la Tierra era el centjo del sistema solar, es 
decir defendía la teoría geocéntrica. Posteriormente, dicha teoría fue 
sustituida en el siglo XV por Nicolás Copémico (1473-1543) quien propone 
que era el Sol y no la Tierra el verdadero centro (teoría heliocéntrica). En 
un segundo libro Ptolomeo difunde una tabla de cuerdas y conceptos 
rudimentarios de Trigonometría esférica.
En Geometría demuestra el teorema que hoy lleva su nombre: El 
producto de las diagonales de un- cuadrilátero inscrito en una 
circunferencia es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
E¡ interés de Ptolomeo por la cstroromíc 
im pulsó e l desarro llo de la 
Trigonometría. En la imagen. Ptolomeo 
observando las estrellas.
16
Breve historia de la Trigonom etría
Este teorema, en el caso particular de que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las 
identidades trigonométricas de seno y coseno de la suma y diferencia de dos arcos.
seií(a ± (3) = sena cos|3 ± cosa senP
Aportes de China
El prim er texto que aparece sobre matemática fue 
gracias a los aportes de Chou Pei Suan Ching (400 a.n.e. 
ap roxim adam ente). En es ta obra encontram os las 
propiedades de los triángulos rectángulos así como una 
demostración geométrica del Teorema de Pitágoras.
Es preciso indicar que el matemático chino Tsu Chung 
Chi (hacia el año 450) había conseguido idear, por el método 
del perímetro, la siguiente desigualdad:
3,1415926 < r. < 3,1415927
APORTES DURANTE EL FEUDALISMO
En Europa occidental, el conocimiento científico y por tanto matemático, no logra un desarrollo 
considerable. Esto se debió al predominio de la escolástica, que priorizaba el estudio de la biblia antes 
que el uso de la experiencia y la razón para interpretar la realidad. Además por la organización económica 
del feudalismo (autarquía), escaso comercio, no había incentivos para desarrollar el conocimiento científico. 
Sin embargo, en Oriente los árabes, herederos de la ciencia oriental, conocedores de las obras griegas, y 
en contacte con el Imperio Bizantino y la India, fueron los que más aportaron al progreso y difusión de la 
ciencia.
La an tigua India
En los siglos V - XII d.n.e. tenemos eminentes científicos indios, matemáticos y astrónomos: Aryabhata 
(finales del siglo V), Brahmagupta (nace en el año 598); Mahavira (siglo IX), Braskara Akaria (nace en el 
año 1114).
De Aryabhata, que vivió en el noreste de la India, quedaron sus obras en versos de contenido 
matemático y astronómico. En ellas están formuladas las reglas de la matemática elemental: la Aritmética, 
la Geometría y la Trigonometría. La matemática Hindú avanzó considerablemente, en método y precisión, 
más allá de la Trigonometría griega, dando una tabla de senos calculada para cada 3,75° de arco 
hasta 90°. Es innegable al aporte de los hindúes en funciones trigonométricas: seno, coseno, senoverso 
(versa = l - c o s a ) .
Los árabes
A la edad media del mundo occidental corresponde la edad de oro del mundo musulmán que desde 
el siglo VII al XII se extendió desde la India hasta España.
Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de la matemática. Los matemáticos árabes 
conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la 
India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto la Trigonometría como el Álgebra.
Obser/atorio chino de un grabado de historia desvoyoges, 1747.
17
Lumbreras Editores Trigonom etría
Abu Al-Wafa (940-997)
De origen iraní, fue un destacado astrónomo y matemático. Entre sus aportes en Trigonometría 
tenemos el cálculo del segmento AM como la tan 9 en un círculo unitario. Asimismo, logra estudiar las 
identidades trigonométricas.
CSC0 =
1 sen0 
sen0 ’ cos0
= tan0
sec0 =
COS0 
cos0 ’ sen0
= cot0
Al Battani (Albatenus 858—929)
Tiene el mérito de haber empleado por primera vez, después de ios hindúes, los 
senos-en vez de las cuerdas. Además, en la traducción latina de sus obras hace su
a b e
primera aparición sinus (senos). El Teorema de los s e n o s -------= —- = -------
sen A senB senC
aparece aplicado por Al Eattani; y años más tarde, por el persa Abn-Nasr. Al Battani 
tenía una motivación especial para el estudio de la astronomía, demostró que la 
distancia más lejana del Sol de la Tierra varía y, consecuentemente,
los eclipses del 
Sol son posibles así como los eclipses totales.
A I-B iruni (Irán 973-1048)
A l B a tta n i aplica 
conocimientos propios de 
Trigonometría para sus 
estudios astronómicos.
Filósofo, astrónomo y matemático. Su contribución más grande a la matemática probablemente 
está en Trigonometría (once libros) donde, tomando y corrigiendo los resultados de Ptolomeo, establece 
tablas muy precisas: los cálculos de medio cordón (los senos futuros).
Aplica a la Astronomía los métodos geodésicos de triangulación (los cálculos de distancias y áreas).
Nasir A l-T usí (Irán 1201 — 1274)
Gentífico, matemático, astrónomo. Escribe diversos tratados sobre asuntos variados de Álgebra, Aritmética, 
Geometría, Trigonometría, Lógica, Medicina, etc. Construye un observatorio en Meragha, incluso utilizó el 
Astrolabio e introdujo una tabla muy exacta de los movimientos planetarios. Aportó a la Trigonometría esférica, 
aporte que induye seis fórmulas fundamentales para la soludón de triángulos esféricos.
A I-K ashan i (Irán 1350-143.9)
Uno de los matemáticos más grandes de aquellos tiempos. Desarrolla el uso del sistema de numeración 
en base 60, que fue utilizado por los astrónomos babilonios.
Se debe a Al-Kashani la generalización del Teorema de Pitágoras, posteriormente expresado por 
Vieta bajo la forma
a2 = b2 + c2-2 b c eos A
Si la m < A = 90° se recupera la fórmula de Pitágoras a2 = b2 + c2
18
Breve historia de la Trigonom etría
APORTES DURANTE EL CAPITALISMO
- Será durante el Capitalismo, el periodo en que la matemática, las ciencias naturales y la ciencia en 
general alcanza el mayor desarrollo. Esto se explica porque ya predomina una nueva forma de ver el 
mundo que nos rodea, desarrollada por la emergente burguesia. La lógica imperante consistía en sacar 
el mayor provecho de la naturaleza, producto' de ver en toda ella una fuente de mercancía.
El Humanismo, que sostenía el conocimiento basado en la razón y el estudio de la cultura greco-latina, 
sirve de base para lograr nuevos conocimientos, no solo en Matemática, sino en todos los campos del saber. Se 
avanza no solo en la observación sino en la preparación de herramientas (telescopio) y en la experimentación.
Georg Von Peurbach (1423-1461)
Astrónomo austríaco, fundador de la astronomía alemana y profesor en la Universidad de Viena, se 
ocupó de la teoría del movimiento de los planetas. Enseñó durante algunos años en Italia. Entre sus 
alumnos se encontró el famoso Johann Müller. Admirador de Ptolomeo. Abandonando el cartabón del 
maestro, dejó de considerarlas cuerdas y compuso una tabla de valores del seno. Tradujo el Almagesto de 
Ptolomeo directamente del griego.
Johan Müller (1435- 1476)
Astrónomo y matemático alemán, naddo en Konigsberg y fallecido en 
Roma, conocido por Regiomontano, presentó en 1454 una obra titulada 
Trianguíis omnimondis libre quinqué, primer libro tratado de Trigonometría 
plana y esférica escrito por un europeo. Esta obra además es interesante desde 
el punto de vista matemático pues en ella se expusieron sistemáticamente los 
métodos de • esoludón de triángulos. Los aportes de Peurbach y Regiomontano 
no pasarían inadvertidos a un joven que estudiaba en la Universidad Jagiellonsky 
de Cracc ría: se trata de Nicolás Copémico. Regiomontano, considerado padre 
de la Trigonometría moderna, desarrolla a la Trigonometría como una rama 
independiente de la Astronomía. Entre los problemas que planteó 
Regiomontano se puede citar ¿a qué distancia debe ubicarse un observador 
para que una estatua situada en un pedestal le parezca lo mayor posible?
Jorge Jo a q u ín Réíico (1314- 1367)
I \ V
Müiier cpcrta significativamente a la 
Trigonometría, en especial a través de 
una teoría sistemática sobre métodos 
de resolución de triángulos.
Astrónomo y matemático av siríaco. Es conocido por la publicación de cálculo de tablas de los valores 
del seno, de la tangente y de la secante; para tal efecto empleó las identidades siguientes 
sen raa = a sen (m -.1) a . eos a - senfm - 2) a
eos ma — a eos (ro - 1) a . eos a - cos(m - 2) a
El texto que muc-stra las tablas de funciones trigonométricas fue completado y publicado en 1596.
Ludolph Van Ceulcn (1540-1610)
Matemático holandés que introduce las identidades para un arco mitad, a saber
a
s e n - ; 
2
1 -co sa
2
a
eos - = 
o
1 +cosa
19
Lumbreras Editores Trigonometría
Francisco Vieta (1540-1610)
Matemático francés. Publica su primer trabajo de matemática en París en 
1571 (Canónigo Mathematicus). Sistematiza la Trigonometría y presenta las 
tablas trigonométricas; es el primer autor de las fórmulas analíticas que sirven 
para la resolución de los triángulos, expone reglas para la construcción de los 
senos, de las tangentes y de las secantes. Para sus tablas aplica las fórmulas
cos2a = r2 - s e n 2cc
o 2 a r - c o s a = 2sen —
2
4senj^ —■— j = (sena - sen(3)2 + (cos(3 - co sa)2
Para el cálculo de los valores de las tangentes y secantes emplea las fórmulas
í a \ ( a .)
tan 45° + — = 2 ta n a + tana; 4 5 °- —
1 2 I 1 2 i
Los trabajos de Vieta permitieron 
ampliar y profundizar los estudios 
trigonométricos.
seca = - tan 
2
45° +
a ) 1
— ! + - ta n 45° 1J
Para la resolución de triángulos evita hacer trazos como el de una altura y aplica la ley de los senos
Presenta la ley de tangentes
a b c
senA senB senC
tan |
a + b ' i
a + b 2 i
a ~ b tan |
V
A -B")
2 J
Para la resolución de los triángulos oblicuángulos en que se conocen los tres lados, Vieta descompone 
el triángulo dado en dos triángulos rectangulares y para el cálculo del ángulo aplica la ley de los cosenos,' 
que él presenta en la forma
2a _ 1
a2 + b2 - c 2 sen (90°-c )
Asimismo, Vieta sistematiza la trigonometría esférica que hasta entonces era un conjunto de fórmulas 
inconexas, y demuestra que
D _ f a + f n f a - P A 
se n a -sen B = 2cos ----- - e o s ;---- -
{ 2 J { 2 J
También dedujo fórmulas para sen(n0) y cos(n9).
Durante el gobierno del rey de Francia Enrique IV, específicamente en 1593 el matemático belga 
Adriano Roonen propone un problema de ecuación de grado 45.
x45- 45x43 + 945x41 - ... — 3795x3 + 45x =K
20
Breve historia de la Trigonom etría
Para entonces el embajador de los Países bajos hizo el desafio a Enrique IV que la calidad de los matemáticos 
franceses era pobre y que ningún francés podrá resolver el problema de Roonen. Enrique IV, que era amigo de 
Vieta convocó a este que lo percibió y resolvió rápidamente la ecuación dada indicando que es el desarrollo de 
sen450 en términos de sen0 con K= sen450 y x = 2 se n 0 . Vieta sabía que la ecuación podía ser 
descompuesta en una de grado 5 y dos de grado 3 por lo que él las resolvió, para sorpresa de todos.
Tycho Brahe (1546-1601)
Astrónomo danés. Considerado el observador más grande del periodo anterior a la invención del 
telescopio. Construye instrumentos cada vez mayores y más precisos. El rey de Dinamarca Federico I 
cede a Brahe en 1576 la pequeña isla de Hven (hoy territorio sueco). Aquí Tycho Brahe hizo construir el 
observatorio más grande de la época al que llamó Uraniborg, “ciudad del cielo”; construyó cuadrantes, 
sextantes, esferas amulares, escuadras y gnómones con gigantescas escalas graduadas. Más adelante 
estos datos recopilados fueron utilizados por Kepler (1571 - 1630).
Tilom as Fincfe (1561-1656)
De origen danés. En el libro 14 de su Geometría Rotundi introduce las palabras tangente y secante, 
que fueron adoptadas prontamente por el inglés. Quizás fue el primero que usó las abreviaturas para la 
razones trigonométricas.
Edm undo Gunter (1581-1626)
Aparece la expresión co-sinu, abreviación de complemento del seno; la palabra cotangente cuyo origen 
es análogo al del coseno; y finalmente la palabra cosecante, probablemente
por complemento de secante.
B artolom é Pitiscus (1561-1613)
Mat m ¿tico alemán. El término trigonometría aparece por primera vez como título de su obra Trigonometría, 
publicada en Heidelberg en 1595. La misma que consistía de 5 libros sobre trigonometría plana y esférica.
Ihon N apiero Neper (1550-1617)
Matemático escocés. Usó la expresión del seno en 
un círculo; elabora fórmulas simplificadas para cálculos 
trigonom étricos en Astronomía. Neper inventa los 
logaritmos. Destaca por definir el logaritmo de seno (para 
seno entre 0 y 1).
Neper es más conocido en Trigonometría porque 
presentó 10 fórmulas prácticas para la resolución de 
triángulos esféricos rectángulos, conocidas como Reglas de 
Neper, las cuales se obtienen a partir del siguiente esquema
Henry Briggs (1561-1631)
Matemático inglés, amigo de J. Napiers. Se unieron para la construcción de uná tabla logarítmico- 
trigonométrica, publicada por Henry Gellibrand (1597 - 1637), en su obra Trigonometría Británica.
Un primer ejemplo de grado centesima] se halla en un manuscrito del año 1446. La subdivisión centesimal 
fue usada por Briggs. En tiempo de la Revolución Francesa se intentó implantar el sistema centesimal para 
la medida de los ángulos. Y trabajaron en ello los grandes matemáticos franceses Lagrange y Callet.
90°-Bjr"
90°-c j b
90°-A
21
Lumbreras Editores Trigonom etría
Leonardo Euler (1707- 1783)
Suizo, aportó en la Astronomía (las órbitas globales, trayectorias de 
los cometas), en las ciencias físicas (los campos de naturaleza magnética, 
aerodinámica, óptica, ondulatoria de luz, etc.) y en la matemática. En esta 
última, contribuyó en todas las ramas de la Aritmética, en la Geometría 
del diferencial, análisis numérico y funcional.
Realiza im portantísim os trabajos en Trigonometría, investiga la 
trigonometría esférica, aunque también tuvo aportes en trigonometría 
rectilínea. Considera el radio del círculo trigonométrico igual a 1, define las 
seis razones trigonométricas como fundones del ángulo y las designa en forma 
en que aparece como una dependenda fúndonal. Sólo con este matemático 
comienza a tenerse una idea exacta de la variadón de las fundones seno, coseno. 
Utilizó Al para el aíro tangente en Scientia síve del mofas Mechanica.
En 1770, Euler publica en alemán una introducción completa del 
Álgebra, donde explica plenamente los números negativos y realiza un 
estudio definitivo del número real.
A Euler se le debe la notación de jt, i para v -1 ó r í= - l (desde 
1727, el tenía sólo 20 años). La fórmula de Euler, que establece el lazo 
entre la Trigonometría, el exponencial y el análisis complejo, es
Resulta innegable la contribución de 
Euler al desarrollo dé la matemática. 
Sus estudios sobre trigonometría 
esférica y rectilínea son fundamentales.
e“ = cosx -r ísenx
El famoso número e, también conoddo como número de Euler tal que Lne=1, se establece también en la serie
= l + x + -
x
3!
x
n!
Vincenzo Riccati (1707 - 1775)
Introdujo las funciones hiperbólicas, utilizó sh y ch para el seno y el coseno hiperbólico. También se 
y cc para las funciones circulares.
George Sim ón Klügen (1739-1812)
Matemático alemán. Introduce la denom inadón de funciones trigonométricas y posteriormente se 
usa la expresión fundones circulares.
Abraham de Moivre (1667-1754)
De origen francés, pero nadonalizado inglés. Era miembro de la Soaedad Real desde 1697. Publica los 
trabajos en el libro Cálculo de las probabilidades. Era el introductorio de la trigonometría de las cantidades 
imaginarias. En 1730 introduce los números imaginarios en Trigonometría y establece la fórmula de De Moivre
(cosB + isenS)" = cosn0 + isennQ
Otro importante avance del análisis fue el estudio desarrollado por Joseph Fourier (1768-1830). Fourier 
en 1812 presenta las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Estas se conocen hoy 
como series de Fourier y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Durante los siglos XVI, XVII y XVIII la Trigonometría se configura prácticamente como es hoy. Por 
otra parte, el desarrollo de los estudios astronómicos, geodésicos, etc. y sus aplicaciones en la navegación 
y la técnica la convierten en una m ateria de alto interés práctico.
22
TR
IG
O
NO
M
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RÍ
A
\ I
CAPÍTULO
I
l . . ■ ■ .... ..............I
Sistemas de medición 
anguiar y longitud de arco
Sector 1
Ptato.,3
; Sector 1 en 
cilindro 1
Pista 1 /
Pista 0
..... ............ ■ — ' " “ ” * ................ “ — ~ \
Tecnología en discos duros
El diseño de los discos que almacenan información está compuesto por uno o 
más platos, hechos de aluminio recubiertos poruña sustancia magnética por 
ambascarasy un radio aproximado de 4 cm. Cadadisco se encuentra dividido ¡ 
en 8 sectores circulares de igual área, por lo que a cada sector le corresponde 
un ángulo central de k/ 4 rad (sistema radial). La información será registrada en 
‘ las llamadas pistas, las cuales son anillos circulares concéntricos.
MÉTODOS ANTIGUOS DE MEDIR LÍNEAS Y ÁNGULOSEN UNA CIRCUNFERENCIA
Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para 
medir los ángulos determinados por varias estrellas.
En ese tiempo, alrededor de dieciséis siglos antes de 
nuestra era, el escriba Ahmes escribió su famoso papiro 
en el que se evidencia que los egipcios conocían, entré 
otras muchas cosas, que la circunferencia de un círculo 
es un número fijo de veces su propio diámetro.
Es un número inconmensurable que desde el 
siglo XVII es designado con la letra griega n .
La medida de los ángulos que hoy nos es común, se 
rem onta a f tiem po de la Escuela de Alejandría en 
los p rinc ip io s de nuestra era. Los m atem áticos 
griegos de dicha escuela dividieron la circunferencia 
en 360 partes iguales, posiblemente copiando a los 
babilonios, llamando a cada una de dichas partes 
una moira. Esta palabra griega se tradujo en latín 
medioevo como de gradas, "un grado o paso a partir 
de". Así pues, nuestra palobro "grado" significa el 
prim er paso para determinar la medida de un giro o 
revolución completa, es decir ^ de una revolución.
360
La siguiente etapa fue d iv id ir cada grado 
en sesenta partes ¡guales, a cada una de las 
cuales se le dio el nombre de pars minuta 
p rim a , 'p r im e ra parte m en or". De dicho 
nombre se deduce nuestra palabra "m inuto" 
(abrev iada) con un s ig n ifica do doble de 
"p r im e ra p a rte m en o r de un g ra d o " o 
"prim era parte m enor de una hora". Dicha 
pars m inuta prima se dividió nuevamente en 
60 partes iguales, cada una de las cuales 
recibió el nombre de pars m inuta secunda, 
"segunda parte m enor". De ahí se deriva 
nuestra palabra "segundo", (abreviada) con 
un doble significado de "segunda parte menor 
de un grado" o "segunda parte m enor de una 
ho ra". Sexagesimus es la pa labra la tina , 
correspondiente a sesentavo, por tal razón 
esta m e d id a a n g u la r se conoce com o 
sexagesimal. En la práctica, se toma por unidad 
de arco el cuarto de la circunferencia, o bien la 
360va. parte de la circunferencia o grado. Desde 
luego los ángulos pueden también medirse de 
dos maneras: en ángulos rectos o fracciones de 
ángulos rectos, o en grados, minutos y segundos, 
pudiendo fácilmente pasarse de una a otra de 
estas medidas. *
Representación de Euclides quien, bajo el reinado 
de Tolomeo I, fundó la Escuela de Alejandría hacia 
el año 300 antes de nuestra era.
]
Las bases de 200 metros de las pirámides eran exactas 
hasta una o dos pulgadas. Los hombres que supervisaban j 
las operaciones de la construcción lograban esta exactitud 
usando estaquillas y lienzas para calcular un ángulo recto !
preciso. Logrado esto se clavan postes en la tierra para j
señalar el área del lugar de la construcción.
í
Sistemas de medición.— :
---- 7— -/angular y longitud de arco
OBJETIVOS
• Diferenciar el ángulo com o figura geométrica y el ángulo generado por la rotación de un 
rayo alrededor de un punto fijo (vértice), todo ello en un mismo plano.
• Conocer las principales unidades de medición angular.
• Aplicar la medida en radianes de un ángulo para calcular la longitud de un arco y el área de 
un sector circular.
• Establecer una relación para el número de vueltas y el ángulo girado por una rueda, disco, 
polea, engranaje, etc.
INTRODUCCION
En la v ida co tid ian a , es co m ú n ver el 
m ovim iento de las m anecillas de un reloj, el 
radio de la rueda de una bicicleta, la hélice de 
un helicóptero, etc., los cuales nos dan la idea 
de ángulo generado que presenta características 
dinámicas. Dicho concepto será aplicado en 
capítulos posteriores, como por ejemplo, en la 
representación de ángulos en posición normal, 
arcos en la circunferencia trigonom étrica y 
rotación de ejes. Sin embargo, para indicar la 
m edida de un ángulo, es necesario asignarle 
ciertas unidades, ya sea grados o radianes. Los 
grados tienen utilidad diversa en la resolución de 
triángulos, topografía, coordenadas geográficas, 
etc.; pero en física, m atem ática superior e 
ingeniería, es insuficiente tener ángulos en grados, 
de allí la importancia de expresarlos en radianes. 
La lectura de ía página 24 explicaaquello y a la vez 
nos invita a formularnos preguntas tales como ¿Qué
Figura l . l
Instrumentos náuticos. De arriba hada abajo: un compás, reglas paralelas 
paro trazar líneas direccionales sobre la carta, compás de división, 
transportador para medir ángulos y sextante.
es un sector circular?, ¿qué es un ángulo central?, ¿qué es sistema radial?, etc. Para averiguar la respuesta 
a estas y otras interrogantes le invitamos a que nos acompañe en el desarrollo del presente capítulo.
Lumbreras Editores Trigonometría
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO______________________ ' ____________ _________________
Con la finalidad de estudiar el ángulo trigonométrico es necesario conocer el concepto de rayo. El 
rayo es una parte de la recta limitada de un extremo por un punto llamado origen e ilimitada en el otro 
extremo. A continuación sugerimos que observe la figura 1.2.
Notación: OA
O A (1° cual usted leerá com o rayo OA)
Figura 13 v
Es conveniente indicar el ángulo trigonométrico, tomando en cuenta su amplitud y orientación. El 
ángulo trigonométrico es generado por la rotación de un rayo en un plano alrededor de un punto fijo, 
denom inado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) a una posición final (lado final).
En la figura 1.3 el rayo OA gira hasta la 
posición OA' en el se n tid o m ostrado 
generando así el ángulo trigonométrico a , 
no debe olvidar que esta rotación de giro se 
realiza en el plano P
La letra P que se halla en la parte inferior 
izquierda indica que la región sombreada 
representa a un plano de nom bre P.
Ángulos Positivos y Ángulos Negativos
Por convención se generan ángulos positivos cuando el rayo gira en sentido contrario del movimiento 
de las manecillas del reloj (sentido antihorario); el giro del rayo en el sentido del movimiento de las 
manecillas del reloj (sentido horario) generará ángulos negativos. En la figura 1.4 se gráfica lo mencionado.
a ) Giro Antihorario b) Giro Horario
Figura 1
La m agnitud tom ada en cualqu ier d irección de rotación del rayo que genera un ángulo 
trigonométrico, asume cualquier valor numérico puesto que dicho rayo puede ser rotado en sentido 
positivo o negativo tal como se quiera.
26
CAPÍTULO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
Antes de hacer girar un rayo, la medida del ángulo es cero, a medida que éste gira en sentido 
antihorario (figura 1.5) se generan ángulos cada vez mayores. Para entender aquello, observe con detalle 
la secuencia de cuánto ha rotado cada ángulo, notando que va en aumento al pasar de a a ¡3, de p a 
0 y finalmente de 0 a y , aunque esto puede seguir aumentando.
Figura 1.5
Luego de observar estas gráficas podem os entender ahora la siguiente desigualdad: O<CX<P<0<Y 
Y al girar en el sentido horario (figura 1.6) se generan ángulos cada vez menores.
Figura 1.6
De igual forma que en el caso anterior, dada la secuencia de los gráficos podem os entender la
desigualdad: O > 0 > y > Á > c o
«-
| Observación1 '■ . ■ ____ _____________ ___
Como el ángulo trigonométrico se genera por la rotación de un rayo, entonces desde este punto de 
vista, el ángulo de una vuelta (<1V) es aquel que se genera cuando la posición final y posición 
inicial coinciden por primera vez (figura 1.7)
En la presente obra consideramos al ángulo de una vuelta en sentido antihorario por su aplicación 
de sistem as de m edición angular.
Figura 1.7
Lumbreras Editores Trigonom etría
SISTEMAS PE MEDIDAS ANGULARES_________________________ __________
Los sistem as de medidas angulares m ás usados son tres: sexagesim al, centesim al y radial. A 
continuación explicaremos los porm enores de cada sistema.
El Sistema Sexagesimal
Tiene com o unidad de medida a! grado sexagesimal (Io), el cual es igual a 1/360 del ángulo de una
vuelta, así: ____ ________
; m < vuelta; 360° i
Las subunidades de este sistem a son el minuto sexagesimal (I') y el segundo sexagesimal (1"), los 
cuales cumplen
f F = 60' a 1 = 6 0 ”\____________ _____ f
Entonces T = 60x1'= 60 x60"
Por lo tanto
V : 3600" '
El Sistema Centesimal
T iene com o unidad d e m ed id a al grado ce n te s im a l ( l s), e l cual e s igual a 
1/400 del ángulo de una vuelta, así
[ m <lvuelta=400g j
Las subunidades de este sistem a son el minuto centesimal ( l m) y el segundo centesimal (T), los 
cuales cumplen
* f ls =100m a r = i o o s j
Entonces ls = 100 x lm = 100 x 100s 
Por lo tanto
í l8 = 10000* J
Nota Históríta
El sistema centesimal intentó desplazar al sistema sexagesimal, pero no resultó práctico, porque para su 
empleo era necesario modificar las tablas, cartas geográficas, náuticas, astronómicas, y cambiar la 
graduación de muchos aparatos. Este sistema fue ideado por el geodesta francés J. C. Borda, y aún se usa 
en el ejército del país de este científico.
28
CAPÍTULO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
El Sistema Radial, Circular o Internacional
Tiene com o unidad de m edida al radián (1 rad.). En la matemática, com o en otras ciencias (física, 
ingeniería, astronomía, etc), se utiliza ampliamente la m edición de ángulos en radianes.
Definición
Si un ángulo central mide en radianes 0 en un 
círculo de radio r y subtiende un arco de 
longitud { (figura 1.8), entonces 6 se halla 
con la fórmula
Figura 1.8
■ i d l Nota
Un radián (1 rad) es la medida del ángulo central 
que determina sobre una circunferencia un arco 
de igual longitud al radio de la circunferencia que 
lo contiene.
Figura 1.10
Por ejem plo, si { =2r, se tiene que 0 = 2, 
entonces la m edida del ángulo central e s 2 rad. 
(ver figura 1.9)
En una circunferencia, la relación entre las 
m edida de su ángulo central, la longitud de una 
circunferencia y su radio se determina así
q _ ^circunferencia
radio
Entonces
m « l vuelta=2rt rad
Nota Hktóríia
El físico e ingeniero inglés James Thomson (1822 -1892) presenta el 5 de junio de 1873 por primeraivez la 
palabra radián usado en Funciones Trigonométricas y en octubre de 1960, la Décima Primera Conferencia 
General (Internacional) sobre pesas y medidas redefinió algunas de las unidades métricas originales y 
amplió el sistem a con el fin de incluir otras unidades físicas y de ingeniería. A este sistem a ampliado 
se le dio el nombre de Sistema Internacional de Unidades, y la unidad de medida angular, de dicho 
sistema es el radián (1 rad).
29
Lumbreras
Editores Trigonom etría
<>£■ Observación
• Usualmente en el lenguaje matemático no se escribe “radianes” pues ya se sobreentiende; por ejemplo,
se escribe m <AOB=2 en lugar de la notación completa m<AOB=2rad, tan| ~ J enlugarde tajaj j.
• El número n experimentalmente se obtiene dividiendo la longitud de cualquier circunferencia por su 
respectivo diámetro y al efectuar dicha división se obtiene ;
ir = 3,14159265........
„ _ longitud de circunferencia . . , . >.o s e a , ------ — ------------------ => longitud de circunferencia=2itr
• Como Io es la 360ava parte del ángulo de una vuelta, 13 es la 400ava parte del ángulo de una vuelta, y 
1 rad es 2n ó 6,28... ava parte del ángulo" de una vuelta, entonces
1 rad > 1° > l 3
• Es necesario mostrar las equivalencias entre los sistemas de medidas mencionados, veamos los 
siguientes ángulos trigonométricos y sus respectivas medidas.
<1 vuelta = 360° = 400? = 2ir rad - <1 vuelta = 270° = 300* = — —d
4 2
(a) (c)
- < 1 vuelta = 180° = 2003 = it rad 
2
- < 1 vuelta = 90° = 100“ =
4 2
O
(b)
Figura 1.11
(d )
30
CAPÍTULO I Sistemas de m edición angular y longitud de arco
Ejemplos de Conversión entre Sistemas
Ejemplo 1
Exprese en radianes el ángulo 30°
Resolución
30c = 30° x f
[ 180°
Equivale a l 
dado que 180° = n rad
rtrad
Nótese que en el factor de conversión del 
ejemplo 1 se tiene que en el numerador está la 
unidad deseada (radianes) y en el denominador, 
la un id ad d e l ángu lo a convertir (g rados 
sexagesimales).
Con este razonamiento podemos desarrollar más 
ejemplos.
Ejemplo 2
Exprese en radianes cada uno de los ángulos 
siguientes
a. 20° b. 558 c. ( | )
= 30 x L 0 x ti rad 
180x } “
Jt j = - rad 
6
Como lpie = 0,3048 m
1,68 m = 1,68 m x 1 Pie ]
0,3048 m J
=s 1,68 m = 5 ,518 pies
Figura 1.12
Para convertir grados sexagesimales a grados 
centesimales y viceversa, es conveniente que 
tengamos en cuenta que 90° =100*. Entonces
9°=10*
Ejemplo 3
Exprese 81° en grados centesim ales, y 45* en 
grados sexagesim ales.
Resolución
a. 20° = 20°í
1 180°
n rad
9
b. 55* = 55* n rad 
2008
1 ln rad
40
Resolución
a. 81° = 81°^
b. 45* = 45s 9° ) _ 405°
10* J 10
= 40,5°
c. ( 9
2
9 1 ( n rad )_ n rad
2 j X[ l 80=~ j " 40
Esta form a de convertir (m étodo del factor 
unitario) también puede ilustrarse con el siguiente 
ejemplo:
¿Cuál será la estatura de una persona en pies, si 
la persona tiene una estatura de 1,68 m 1
Ejemplo 4
Exprese en grados sexagesimales cada uno de los 
ángulos siguientes.
a rcrad 
50
k 2rtrad 
3 ~ ~
31
Lumbreras Editores T rigonometría
Resolución
Ttjad _ 7t rad( 180° V 180° _ .
50 50 [ Tirad ) 50
b 2tt rad 2itrad( 180° \ )2Q0
3 3 i ti rad j
Nota __________
Cuando se escribe grados, se refiere a los grados 
sexagesimales. Observar que se están realizando 
mayor cantidad de ejemplos con ángulos en 
radianes y sexagesimales.
M odernamente se ha propuesto al sistem a 
centesimal, pero este sistema ha prosperado 
poco, no ha sido muy usado en la matemática.
(convirtiendo los decim ales de grados a
6 0 1minutos, note que — = 1)
* 1 =
Tirad Tirad
32
urad
~32~
= 5°+37, 5'
= 5° + 37'+0,5'xf
32
60"
= 5°+37'+0, 5'
(convirtiendo los decim ales de m inuto a 
segundos sexagesimales)
Tirad
32 = 5° + 37'+ 30"
Pero por notación 5o+ 37'+30" = 5°37'30" 
en general A° + B'+ C” = A°B' C"; B,C < 60j
Ejemplo 5
nrad
Exprese en grados, minutos y segundos
Resolución
Como usted podrá entender se presentan dos
casos:
a. Sistema sexagesimal
b. Sistema centesimal
Así tenemos
a. = ”§2” • ■ • (O (porque 18(f = nrad)
ti rad
" ~ 3 2 ~
= 5= 37’ 30"
Otra forma; de (1) se puede verificar
nrad 45°
3' 32 8
45° 8 . 300' 8
40= 5 60 37'
5= 56
4'
240' 8 
240" 30" 
! 0
este residuo a minutos este residuo a segundos
5°=5(60')=300' : 4'=4(60") =240"
Jirad
Tirad
~32~
nrad
32
= 5,625°
= 5°+0,625°
= 5° + 0,625)*x|
Para dar la re sp u e s ta se su m a rá n los 
cocientes obtenidos
45° = 5° + 37'+30" = 5°37'30"
nrad
~32~
= 5°37'30"
32
CAPÍTULO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
b. Se divide hasta obtener 5 cifras decim ales
tirad _ 200^ = 25^ = 25of r o“ " red°nde°
32 " 32 4 j ’~ T
(se agrupa de dos en dos de la coma a la derecha)
=» í ^ = 6 s +25m + 0 5 = 6825m 
32
Pero por notación: 68+25m= 6 s 25m 
en general
A8 + Bm + Cs = A8 B™ Cs; B,C<100
Jt
— rad = 6825m 
32
De igual forma usted puede verificar
208
/) a grados, m inutos y segu n d os 
centesimales
— = 6,6666666 ...
3
(pero se lo se necesitan 5 cifras decim ales)
_Para el redondeo 
■ —
=> “ - = 6-6666 ©
^ g m s 20
20s *
=> = 68 +66m +67s
3
Ejemplo 6
La m ed ida del < P en la figura 1.13 e s de 
144°18'35". Convierta dicha medida a grados 
expresado en decim ales.
Resolución
Expresamos el ángulo dado com o una sum a de 
grados, minutos y segundos.
144° 18'35" = 1 4 4 °+ 1 8 '+ 3 5 " , 
conviniendo los minutos y segundos a grados
( p i ( Io
-148°+ 18' — +35"
i 60' ) l 3600"
144° + 0,3°+0,0097° 
144°18'35" = 144,3097°
208
— = 6866m67s
«) (2,003)8 = 2,00 30 = 28 + 0m +30 ’
g m s
(2,003)s = 2830s
iii) (1,974)* = ^ , 9740 = l s +97m + 40s
g m s **
(1,974)8 = l897m 40s
l r a d = l r a d M = ^ '
 ^tirad J n
Considerando n=3,14159 
se tiene 1 rad = 57,296°
Ahora 1 rad en grados, minutos y segundos 
sexagesim ales (usando calculadora) sería 
1 rad = 57°17‘44,8" con error menor de una 
centésima de segundo.
33
Lumbreras Editores T rigonometría
Ejemplo 7
Exprese el ángulo 1,5 rad a grados (notación 
decim al)
Resolución
1,5 rad = 1,5(1 rad) = 1,5(57,296°) = 85,944° 
.-.1,5 rad=85,944°
Ejemplo 8
Elxprese el ángulo 3 rad a grados, minutos y 
segundos sexagesimales.
Resolución
3 rad = 3(1 rad) = 3(57°17'44,8") •
3 rad =3(57°+17'+44,8') = 171°+5r+ 134,4"
120' + 14.4"
3 rad = 171°+53' +14,4"
3 rad = 171°53'14,4"
Ejemplo 9
E xprese a en grados m inutos y seg u n d o s 
sexagesim ales, siendo a = 9 Í — )rad
Resolución
Convirtiendo 1° a grados centesimales
a = 9r v ( 10s rad=10 rad
Observadón
• Cuando dos ángulos trigonométricos tienen la 
mism a ámplitud de rotación pero 
orientaciones contrarias, en tonces estos 
ángulos tienen diferente signo.
Ejemplo
(a) (b)
Figura 1.14
• En Geometría existen propiedades para 
ángulos, entonces para aplicar cualquiera de 
estas propiedades a los ángulos 
trigonométricos, estos deberán tener en 
primer lugar una misma orientación (o un 
mismo sentido de rotación).
a = 10(57°17'44,8") = 10(57° + 17'+44,8") 
a = 570°+ 170; + 448','
120 +50 ' 420- + 28"
a = 570° + 2° + 50'+ 7’ + 28" = 572° + 57’+ 28" 
a = 572°57'28"
Ejemplo 10
De la figura 1.15, ¿qué alternativa es correcta?
a. a + p = 90°
b. a - P = 90°
c. p - a = 90°
d. - a - P = 90°
e. P = -2a
34
C APÍTU LO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
R esolución
Cambiando a (3 a su respectivo sentido opuesto 
(ver figura 1.16), entonces, en dicha figura se 
ap rec ia qu e lo s án gu los tr igon om étricos 
a,~P y 90° tien en la m ism a orien tac ión 
(antihorario), por lo que podem os plantear que
G + ( - p) = 90° a -p = 9 0 °
Nota Historna
Rara usos militares se utiliza una unidad angular que 
fue adoptada debido a que permite un cálculo fácil, 
rápido y preciso de distancias relativamente grandes, 
como es el caso de blancos para tiro de artillería 
Tal unidad es la llamada milésima o mil (símbolo: 
mil) que se consideró ser el ángulo central que 
subtiende un arco circular de una unidad lineal de 
longitud a una distancia de 1000 unidades lineales.
Tal medida corresponde a lrev=2 jt 1000 unidades 
de esta clase, pero 1 rev=6283,18 . . . . no es un valor 
numérico simple ni fácil de utilizar. De modo que 
se eligió 6400. En consecuencia:
1 mil = —— de revolución
6400
Por lo tanto
6400 mil= 2rt; 3200 mil=rt ; 1600 m il=^
La artillería del ejército suizo empezó a utilizar la 
milésima en 1864. Francia la adoptó en 1879, y el 
ejército de ios Estados Unidos en 1900. El uso militar 
de esta unidad es para dirigir el fuego de artillería, 
determinar el alcance y efectuar correcciones de 
tiro. Los observadores em plean a menudo 
binoculares con escalas interconstruidas para medir 
milésimas entre objetos situados en el campo visual.
Ejemplo 11
a. Convierta 800 mil a grados sexagesim ales.
b. Convierta 400° a mil.
„ . . 37tradc. Convierta — -— a mu.
Resolución
a. Como 1600 mil = 90°
90°
=> 800 mil = 800 x ——-— - = 45° 
1600 mil
b. 400° = 400° x 1600 mil
90°
400° = ^ m i l = 7 1 1 1 , l l mil
3itrad 3ítrad 3200mil . . . . ..
c. = — - — x --------— = 2400 mil
4 4 n rad
Ángulos Cotorminalos
Es im portante observar que hay m uchos 
ángulos diferentes que tienen e l m ism o lado 
inicial, lado terminal y mism o vértice. A cualquier 
par d e e s to s á n gu los se le s llam a á n gu los 
coterminales.
35
Lumbreras Editores Trigonom etría
Los infinitos ángulos coterm inales a 0 se 
obtienen con la expresión 360°K+ 0 , donde K es 
un núm ero en tero cu alq u iera 
(K = 0, ±L ± 2 ,. . .) . Por ejem plo, en la figura
1.17(a), (3 es coterminal con 0 y se obtiene 
cuando K=2. Es decir {3 = 36O°x2 + 0
Así análogam ente los infinitos ángulos a 
coterminales a -120° se obtienen por la expresión 
siguiente 360°K+(-120°); K=0, ±1, ±2 , ± 3 , . . . 
Por ejem plo 240° es coterminal con (-120°) y se 
obtiene cuando K=1 (figura 1.17(b))
Aplicación
La palabra radián se com prende aun si no 
aparece escrita. No es el caso con la medida en 
grados; su unidad siempre se d eb e incluir. El 
siguiente ejemplo enfatiza la diferencia entre estas 
dos medidas angulares.
Ejemplo
Compare el ángulo de 30 (o 30 rad) con el de 30° 
(considere n = 3 ,14)
Resolución
Del ángulo 30 ó 30 rad (figura 1.18 (a)) se obtiene 
cuatro revo lu c ion es co n secu tiv a s del lado 
terminad más 4,88 adicionales.
Luego el ángulo de 30 ó 30 rad es coterminal con 
el ángulo de 4,88 ó 4,88 rad.
30 rad = 30 = 4 (2n )+ 4 ,88 
y el ángulo de 30° aparece en la figura 1.18( b)
4,88 rad
* 30 grados sexagesimales 
(b)
Figura 1.18
Teorema
En la figura 1.19 se m uestra un ángulo 
trigonométrico a , tal que sus medidas en los tres 
sistemas estudiados son S°, Cs y Rrad, las cuales, 
al representar la medida de un mismo ángulo, 
resultan ser equivalentes.
Entonces se verifica la siguiente fórmula:
_S__ JL = J1 
180 200 ji
De la fórmula anterior se deducé que
S = C^ . J ^ = J3 . _C^ = _R 
? 10 ’ 180 n ’ 200 Tí
donde
S: número de grados sexagesimales de a.
C: número de grados centesimales de a.
R: número de radianes de a.
Demostración
Como S°=CS = R rad
Dividiendo por la m < IV
S° Cs R rad=> ---------- =----------- =---------
m < l V m < l V m «lV
36
C APÍTULO I Sistemas de m edición angular y longitud de arco
Luego
S° = _C*_ = Rrad 
^ 360° “ 400s ~ 2n rad
(ya que m < IV =360°=400s=2 n rad)
S _ C R 
180 200 ti
(simplificando unidades y operando) 
Ejemplo 1
El ángulo de 90 ° medido en los otros dos sistemas 
estudiados resulta ser 100s y ^rad (ver figura
1.20)
Entonces de la figura identificamos que
Ejemplo 2
Calcule el valor de cada una de las expresiones 
dadas.
a. y =
C + S 
C - S
b. S + 2C 
58R
c. Si para un m ism o ángulo se cumple:
S=3xjr+6 y C =7x*-8
Halle el número de radianes de dicho ángulo.
d. El producto de los números que expresan la 
m ed id a d e un ángu lo en lo s s is te m a s
71
estudiados es - .O
S=90, C=100 y R= -
90°=100s = y r a d
Figura 130
H alle la m ed id a d el án gu lo en grados 
sexagesim ales.
Resolución
a. Utilizamos
- = — = K=>S = 9K a C=10K 
9 10
Luego reemplazamos en y
10K + 9K 19K tft 
10K-9K K
..
En los ejemplos desarrollados o propuestos' que 
siguen, se considera que S, C y R son los números 
convencionales para un mismo ángulo (número 
de grados sexagesimales, número de grados 
centesimales y número de radianes de un mismo 
ángulo). Vale aclarar también que las formuléis 
vistas en el teorem a anterior so a válidas tanto 
para ángulos positivos como negativos.
.-. y = 19
Otra forma
De S__C 
9 10
tenem os — =
C
_9 
10 ’
aplicando propiedad de proporciones 
C+S 10 + 9 
C - S " 1 0 - 9
C + S 
'■ C - S
= 19
37
Lumbreras Editores Trigonom etría
b. Utilizamos = ~ = — = K = 
180 200 n
Luego reemplazamos en P 
180K + 2(200K) 580K 10P
•••P =
58(nK) 58nK
10
n
Otra forma com o 
S + 2CP = : 58R 
tenem os
1 f S+2C ) _ 1 ( S t 2C 
58l R j 581 R + R
P 58 v H ,
Reduciendo
„ 1 ( 580 ^ 10
P 58 n
, P = ^°
JC
n
S=180K
C=200K
R=rcK
c. Como S C 3 x v + 6 7x* - 8
9 10 9
10(3xJt+6) = 9(7xt - 8 )
30x ' + 60 = 63xr - 72
33^^ =132
x x =4 => x = 2
com o 3xJC+ 6 = 3(4) + 6 = 18
=>m « = 18° = — rad 
10
=> m< = 18° = — rad 
10
, R = ^
10
10
d. Del enunciado SCR= . ..0 )
s c
com o — = 
com o ' 
S _ C . 
9 10'
10
, también se puede expresar
= k
S=9k 
C=10k 
nk ...00R=-
20
Reemplazamos (II) en (I) 9k . 1 Ok .
luego k3 = 27
7tk _ 71 
20 “ 6
1
k = ;
=> S = 9k = 9 j = 3°
.-. la medida del ángulo es 3°
E jercicios
I. En los ejercicios del 1 al 4, exprese el ángulo dado en notación decimal de grados.
1. 22°30' 2. 5°10' 3. 120°10'2" 4. 10°25'
II. En los ejercicios del 5 al 8, exprese el ángulo dado en términos de grados, minutos y segundos 
sexagesimales.
5. 180,20° 6. -9,25° 7. 225,15° 8. 30,81°
III. En los ejercicios del 9 al 11, exprese el ángulo dado en notación decimal de grados centesim ales.
9. 30s20m15s 10. 100820m 11. 1s 02m
IV. En los ejercicios del 12 al 14, exprese el ángulo dado en grados, minutos y segundos centesim ales.
12. 45,5S 13. 63,2018 14. -33,2*
38
V. En los ejercicios del 15 al 24, convierta de grados sexagesim ales a radianes.
15. 4 5 ° • 16. 30° ' 17. 270° 18. 37° 19. 0o
20. -180° 21. -120° 22. 131° 36' 23. -45 ,2° 24. -540°
CAPÍTULO 1___________ _________________ Sistemas de medición angular y longitud de arco
VI. En los ejercicios del 25 al 33, convierta de radianes a grados sexagesimales
26. ,7n 27. 1,5 28. 15 29. 4 1 -
2
31. 32. 33. 0,25
12 12
Vil. En los ejercicios del 34 al 36, convierta de radianes a grados centesim ales
71 71
34. - 35. 3 36. -
VIII.En los ejercicios del 37 al 39, considere que: 1 rad=57°17'44,8" y convierta los ángulos dados « 
grados, minutos y segundos sexagesim ales.
37. 2 rad 38. 1,5 rad 39. - 4 rad
25.
30.
2t
3
3rt
8
IX. De los ejercicios del 40 al 45, calcule el valor num érico de cada expresión (siendo S, C y R k 
convencional para un m ism o ángulo trigonométrico)
40.
44.
S + C
s - c
41. S2 +C2
s e
42. S + C
R
- S + C 10 r s + c + R ' i? --------- 13
V S - C
45.
{ 380 + ti J
R espuestas
43. 7tS+7tC+20R
1. 22,5° 2. 5,16° 3. 120,1672° 4 10,416° 5 180°12'
6. -9 o, 15' 7. 225°9’ 8. 30°48’36" 9 30,2015* 10 100,20*
11. l,02s 12. 45s50m 13. 63s20m10s 14 -33*20m 15 7t/4 rad
16. ti/ 6 rad
37trád 
17. 2 18.
377t rad 
180 19 Orad 20 -7trad
21.
2nrad
3
3297irad 
22. ---— —
450 23.
1137trad
450
24 -3 n rad 25 120°
26 1260° 27. 270°/ tj 28. 2700°/Tt 29 3690° 30 67,5°
31 15° 32. 75° 33. 45 ° / k 34 200*/7 35 600*/ ti
36. 40* 37. 114°35'30" 38. 85°56'37” 39 -229°10'59" 40 -19
41.
181/90 42. 3 8 0 /ti 43. 400 44 -2 45 I
LONGITUD EN UNA ÓRBITA
Un s is te m a de te le m e tr ía desea 
h a lla r la d is ta nc ia que separa (sobre la 
ó rb ita ge oe s ta c io n a ria ) a dos sa té lites 
geoestacionarios A ra b sa t-IA (localizado a 
19 ,2 ° Este) e ln te !s a tV -F 4 ¡lo ca lizad o a 
3 4 ,4 ° O este) sabiendo que la distancia de 
la sup e rfic ie de la T ie rra a un sa té lite 
g e o e s ta c io n a r io es a p ro x im a d a m e n te 
35 800 km, considere que el radio de la 
Tierra es aproximadam ente 6 400 km.
¿Podría usted decir qué distancia halló el sistema de Telemetría?
Haciendo uso de una relación trigonom étrica sencilla podemos conclu ir que dicha 
distancia es 39477,92 km. Invitamos al lector nos acompañe en el desarro llo teórico para 
ha lla r la mencionada relación trigonom étrica, la cual se explica en las páginas siguientes, 
pero antes de eso le hacemos llegar un alcance más.
El sistema Intelsat (Organización Internacional de Telecomunicaciones por Satélite) fue 
creado en 1964 y actualmente interconecta a 165 países, territorios y dependencias en 
todo el m undo. Es utilizado principalm ente para las comunicaciones internas, al no 
contar con satélites domésticos propios.
Arabsat (Arab Satellite Communications Organizaron) es una organización de la Liga de 
Países Arabes, fundada en 1976, cuya función primordial es adquirir los satélites necesarios y las 
facilidades de su lanzamiento y control, así como operarlos para la prestación de servicios de 
comunicaciones a sus 22 países participantes. El Arabsat lA fu e lanzado en febrero de 1985.
Una estación geoestacionaria es en 
primer lugar un satélite que debe 
desplazarse en e l mismo sentido de 
rotación que la Tierra; además, para 
que no perdiese altura poco a poco 
y completase una vuelta cada 24 
horas, debía esta r a 
aproximadamente 36000 km de 
altura sobre el nivel del mar; para 
lograrlo el satélite debía tener una 
velocidad constan te de 
3075 m¡s, siguiendo una órbita 
circular alrededor de la Tierra.
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i
\
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iI
40
CAPÍTULO I Sistemas de m edición angular y longitud de arco
LONGITUD PE ARCO PE UNA CIRCUNFERENCIA______________ ________________ __
Si se pidiese medir manualmente la longitud de un arco d e curva com o la mostrada en la figura
1.21 (a), una forma de realizar aquello sería que adapte un hilo a su forma y luego se mida con una regla. 
Veamos el siguiente gráfico:
Figura 1J21
A Hilo estirado B
1 2 3 4 5 6 7 8
(b)
Sin embargo, matemáticamente se determina 
la longitud de un arco utilizando el cálculo integral.
La longitud del arco de la figura 1.22 de 
y=f(x), entre x = a y x= b , se calcula por la fórmula
Los circos de circunferencia se pueden medir 
en unidades angulares y en unidades de longitud, 
si c o n s id e r a m o s un ángulo cen tra l a en 
circunferencias concéntricas, tal com o se ve en 
la figura 1.23.
C álculo de la Longitud de un Arco de 
Circunferencia
Para calcu lar la longitud de un arco d e 
circunferencia partimos de la definición (ver 
página 29) que expresa la medida circular de un 
ángulo central com o e = |/ r (ver figura 1.24) de 
donde se obtiene que
De esta fórmula, nótese que e rad puede ser 
cualquier ángulo positivo menor o igual a una vuelta. - 
( O < 0 < 2 tO ' '
Figura U S
Para e=2n la fórmula anterior nos da la longitud 
de la circunferencia í = 2nr.
La m edida de arco en AA' y BB' en unidades 
angulares son iguales a a . Pero la medida en 
unidades de longitud del arco AA' es menor que 
la del arco en BB'.
Ejemplo 1
Una carretera tiene una curva de 20° con un radio 
de 630 p ies . Calcule la longitud de la curva. 
(Considere rt = 22/7 ).
Lumbreras Editores Trigonom etría
Resolución
De la figura 1.26
. rtrad ■ „ Jt ,m<AOB = 20~ = ^ , => 6 = - (en radianes)
Por fórmula
C álcu lo del Área d e un S ec to r C ircu la r '
Un sector circular viene a ser una porción de 
círculo taf como AOB (véa¿e figura 1.28) limitada 
por los radios OA, OB y el arco AB. Así el área S 
del sector AOB se calcula mediante la siguiente 
fórmula
- Figura 1.28
Ejemplo 2
El péndulo de un reloj tiene 20 cm de longitud y 
recorre un arco de 258 por segundo. ¿Cuántos 
centímetros recorre la punta del péndulo en un 
segundo? (Dato: jr =3,14)
Resolución
Datos: 
r = 20 cm
0 =25? (en grados centesimales)
=> 0 = g en radianes.
En la figura 1.27, ! representa la longitud recorrida 
por la punta del péndulo 
en un segundo.
Así, por fórmula 
( = 0 r
=> C = - x 2 0 cm 
8 *
* O TI(= — cm
Considerando Jt = 3,14 se tiene que C = 7,85cm
D educción
Área de un círculo de radio r es n r 
Como S y 0 son directam ente proporcionales, 
entonces el área del círculo con el ángulo de una 
vuelta también lo serán, siendo r constante, así
S _ Área del círculo S _ rtr2 , g _ | 0 rí
0 2rt ^ 0 ~ 2m " 2
Además como f = 0r, expresando S en función de
• Longitud de arco y el radio S - — :
• Longitud de arco y el ángulo central
El término círculo y área de sector, es frecuente 
en elementos de máquina. En la figura 1.29 se 
observa una mesa divisora circular, que en un 
torno determina el avance y la velocidad de corte.
Figura 1.29 
Mesa Divisora Circular
42
C APÍTU LO 1 Sistemas de medición angular y longitud de arco
Ejemplo 1
Calcule el área de la región que determ ina el 
borde inferior de una puerta de “va y ven” al girar 
un ángulo de 135°, sabiendo que dicho borde 
m ide 112 cm (considere Jt = 3,14)
Resolución
En la figura 1.30 se ha graficado la puerta en giro. 
Datos del sector circular 
r = 112 cm
Orad = 135°= 3 n rad
Aplicando la fórmula
S = ^ 6 r 2 
2
Sustituyendo datos
;(112)2U 3k 
2( 4 
\ ( 3x3,14 (112)2
S = 2
Efectuando S = 14 770,56 cm 2
Ejemplo 2
Exprese el área de un trapecio circular en función 
de la longitud de sus áreas y el ángulo central.
Resolución
Considerando 0 (en radianes) como el ángulo
central de los arcos f, y , (ver figura 1.31), tenemos
Figura 1.31
Se deja para el lector, la demostración del área 
de un trapecio en función de sus lados.
De la figura 1.32 se cumple
s = [ ! ± i
Figura 1.32
Ángulo Girado ó Barrido por una Rueda
¿Cuál es el número de vueltas que da una rueda 
de la bicicleta?
(a)
Supóngase que una rueda de radio r gira una 
trayectoria rec ta com o en la figura 1.33(b). 
Entonces el centro de la rueda también se mueve 
en línea recta.
A B
i •(= flr ,
(b)
A medida que la rueda gira, un radio genera 
un ángulo 0.
Cuando el ángulo generado es de 27t, la rueda 
tam bién se m ueve una d istanc ia igual a su 
perímetro, es decir í = 2nr.
Figura 1.33
Entonces observamos que cuando el centro 
de la rueda avanza una longitud igual a 27tr, la 
rueda ha dado una vuelta (ver figura 1.33 (c)).
Luego para saber el número (n) de vueltas que 
dará la rueda de radio r, en una pista horizontal, 
cuando su centro se desplaza una longitud (, 
aplicamos una regla de tres simple; así
1 puerta _ nycueltas
27tr P
De donde n= - — 2nr
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Lumbreras Editores Trigonometría
• v •
!>■ Observación—... —---------- :_
posición posición posición posición posición posición
(1) (2) (3) (4) ' (5) (6)
----- 2rrr -
figura 1.34
En la figura 1.34 se tiene una rueda que se desplaza sobre una pista horizontal, la curva entrecortada es la 
trayectoria que sigue el punto A de la rueda, que en la posición (1) toca el piso. A medida que la rueda 
avanza sin resbalar, ésta gira distintos ángulos, así:
• De la posición (1) a la posición (2) la rueda gira un ángulo a .
• De la posición (1) a la posición (3) la rueda gira un ángulo p .
• De la posición (1) a la posición (4) la rueda gira un ángulo 180°.
• De la posición