TEMA 4 SINTESIS PROBLEMAS

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Teorı´a de Ma´quinas y Mecanismos
Problema del taco´metro
La figura representa un taco´metro que utiliza un gobernador giratorio para medir la velocidad
de giro de un motor, ω . Este gobernador dispone de dos masas, m, unidas mediante un muelle de
rigidez K y longitud natural l0. Mediante un sistema de poleas, la separacio´n de las masas, x, que
origina la fuerza centrı´fuga, se convierte en un desplazamiento de la cremallera, que hace girar la
rueda, solidaria a la barra a. La barra b gira solidaria a una rueda, que dispone de un marcador para
sen˜alar la velocidad de giro sobre una escala. El motor puede girar en un rango de velocidades de 0
a 1000 rpm.
Disen˜e el mecanismo de cuatro barras usado en este taco´metro. Para ello es necesario especificar
los siguientes para´metros: m, K, l0, radio de la rueda que engrana con la cremallera, R, ası´ como
las dimensiones de las barras del mecanismo. Si cree necesario introducir ma´s para´metros ha´galo.
Represente un esquema de co´mo queda el mecanismo finalmente.
d
bsalida
ψ
a
ϕ
c
l0
x
x
ω
mm K
Poleas
Cremallera
Lectura del
taco´metro
1
2
Solucio´n
La fuerza centrı´fuga hace que se separen las dos masas estirando el muelle que se opone a la
elongacio´n. Ası´, para cada velocidad de giro existe un valor de x tal que la fuerza ela´stica del muelle
esta´ en equilibrio con la fuerza centrı´fuga.
Fcent +Fmuelle = 0 (1)
donde las fuerzas son:
Fcent = mω2 r = mω2 (l0+ x)Fmuelle =−2Kx (2)
El signo menos de la fuerza del muelle expresa que dicha fuerza tiene sentido opuesto al desplaza-
miento x. El factor 2 aparece porque las dos masas se desplazan la misma cantidad x y entonces el
muelle se alarga una cantidad 2x. De las ecuaciones anteriores se puede despejar x como funcio´n de
ω .
x=
mω2 l0
2K−mω2 (3)
La condicio´n de engrane de la cremallera establece que x = Rϕ , por lo que la funcio´n que debe
generar el mecanismo es:
ϕ =
mω2 l0
R(2K−mω2) (4)
Para la longitud del muelle se toma un valor arbitrario l0 = 0.05m, que parece razonable para un
aparato como este. Las pesas tendra´n unas masas m = 0.2kg. Tomando una rigidez de los mue-
lles K = 2kN/m el desplazamiento ma´ximo, que tiene lugar para la velocidad de trabajo ma´xima
(1000rpm= 104.72rad/s), sera´:
xmax =
0.2 ·104.722 ·0.05
4000−0.2 ·104.722 = 0.0607m (5)
que es una alargamiento razonable. El radio de la rueda que engrana con la cremallera, R, se toma
de tal manera que el a´ngulo girado por dicha rueda sea aproximadamente 90◦ para marcar todo el
rango de velocidades angulares:
R=
xmax
pi/2
= 0.03864m (6)
Se adopta el valor R= 0.04m. Sustituyendo los valores de los para´metros adoptados hasta ahora en
la ecuacio´n (4) la funcio´n a generar queda:
ϕ =
1.097 ·10−4ω2
160−8.773 ·10−5ω2 +ϕ0 (7)
3
donde la velocidad angular, ω , esta´ expresada en rpm. Se supondra´ que el rango de variacio´n de ψ
son 90◦ y que la escala graduada sobre la que mide la barra de salida tiene las divisiones espaciadas
de manera uniforme, es decir, hay una relacio´n lineal entre ω y ψ . Teniendo en cuenta esto se
construye la tabla 2 con los valores de ω , x, ϕ y ψ en los extremos del rango y en los puntos de
precisio´n elegidos. E´stos se han resaltado en negrita y se han obtenido del espaciado o´ptimo de
Chebyshev. Se han dispuesto 5 puntos de precisio´n, ası´ que los distintos valores de ω j sera´n:
ω j =
ωmax+ωmin
2
+
ωmax−ωmin
2
cos
( pi
2n
(2 j−1)
)
= 500+500 cos
( pi
10
(2 j−1)
)
(8)
ω (rpm) x(cm) ϕ (rad) ψ (rad)
0 0 ϕ0 ψ0
24.47 0.0016 0.0004+ϕ0 0.0384+ψ0
206.11 0.119 0.0298+ϕ0 0.3238+ψ0
500 0.794 0.1986+ϕ0 0.7854+ψ0
793.89 2.640 0.6601+ϕ0 1.2470+ψ0
975.53 5.456 1.3640+ϕ0 1.5324+ψ0
1000 6.07 1 1.5175+ϕ0 pi/2+ψ0
Cuadro 1: Rangos de las variables y valores coordinados en la sı´ntesis. Los puntos de precisio´n, es decir, los
valores de ω resaltados en negrita, se han obtenido mediante el espaciado o´ptimo de Chebyshev.
Al disponer 5 puntos de precisio´n se debe utilizar una expresio´n de la ecuacio´n de Freudenstein
con cinco para´metros. Se usara´ la siguiente:
K1 cos(ψi+ψ0)−K2 cos(ϕi+ϕ0)+K3 = cos(ψi−ϕi+ψ0−ϕ0)
i= 1,2,3,4,5
(9)
Por tanto al resolver el sistema de cinco ecuaciones que resulta, ψ0 y ϕ0 vendra´n impuestos. Estos
valores son los que deben formar las barras a y b con la barra fija cuando el sistema esta´ parado,
ω = 0. Si se hace una sı´ntesis con tres puntos de precisio´n, por ejemplo, estos dos valores se podrı´an
elegir de manera arbitraria.
El sistema de cinco ecuaciones que resulta de sustituir los pares de valores (ϕ j,ψ j) de la tabla 2
en la ecuacio´n (9) es no lineal y se puede resolver con el algoritmo de Newton-Raphson. Partiendo
de un estimado inicial, (K10,K20,K30,ϕ00,ψ00) = (1,1,1,0,1) se llega a la siguiente solucio´n
K1 = 0.78255 K2 = 0.61384 K3 = 1.0545 ϕ0 = 0.383rad ψ0 = 1.237rad (10)
4
Con los valores de los para´metros Ki se obtienen las siguientes dimensiones del mecanismo:
d = 10cm
a=
d
K1
= 12.78cm
b=
d
K2
= 16.29cm
c=
√
d2+a2+b2−2abK3 = 9.47cm
(11)
5
Teorı´a de Ma´quinas y Mecanismos
Problema de la boya para medir el volumen de un depo´sito
Se desea disen˜ar un mecanismo de cuatro barras para medir el volumen de un depo´sito co´nico.
En la figura se muestra un esquema del mecanismo, en el que tan so´lo falta determinar las longitudes
de las barras y la distancia entre los pares fijos. En el extremo de una de las manivelas se coloca
una boya que al flotar hace girar la manivela. La otra manivela tiene en su extremo el marcador que
indica el volumen del depo´sito sobre una escala graduada. El semia´ngulo en el ve´rtice del depo´sito
es α = 45◦. El volumen ma´ximo del depo´sito es 10,m3. Cuando se alcance este volumen ma´ximo la
aguja debe estar vertical, pues ahı´ termina la escala graduada. Dicha escala debe tener las divisiones
uniformemente espaciadas.
d
b f
c
a
e α
ϕ
ψ
h
1
6
Solucio´n
Al ser α = 45◦ la boya puede tocar el fondo del depo´sito y la manivela correspondiente girar a
partir de esa posicio´n en sentido antihorario sin que choque la boya con la pared. Todo ello siempre
que se suponga una boya puntual.
La distancia del par fijo a la boya es a+ e, de lo que se deduce que:
h= (a+ e) (cosα− cosϕ) (12)
Por otro lado, se va a imponer, siguiendo la figura izquierda del enunciado, que cuando no haya
agua en el depo´sito la aguja este´ horizontal. Ası´, si h= 0 entonces ϕ =α y ψ = pi/2. Como se quiere
que la escala tenga las divisiones uniformemente espaciadas habra´ una relacio´n entre el a´ngulo ψ y
el volumen de agua almacenado del tipo:
ψ− pi
2
= kV (13)
Se dice en el enunciado que cuando se alcance el volumen ma´ximo (10m3) la aguja debe estar
vertical (ψ = pi). Sustituyendo en la ecuacio´n anterior se obtiene la constante k.
k =
pi/2
Vmax
=
pi
20
rad/m3 (14)
El volumen de un cono con semia´ngulo en el ve´rtice α = 45◦ es:
V =
1
3
pi r2 h=
1
3
pi h3 tg2α =
1
3
pi h3 (15)
Por tanto, la ecuacio´n a generar es:
ψ =
pi
2
+
pi
20
1
3
pi (a+ e)3 (cosα− cosϕ)3 (16)
Para evitar que la funcio´n a generar dependa de las dimensiones del mecanismo se hara´ una
suposicio´n extra. En concreto, se impondra´ que con el volumen ma´ximo la manivela a haya girado
90◦ es decir, ϕmax = 3pi/4.
Vmax =
1
3
pi h3max = 10m3 ⇒ hmax = 2.12m
hmax = (a+ e) (cospi/4− cos3pi/4) ⇒ a+ e= 2.12√
2
= 1.5m
(17)
7
En realidad, esa condicio´n equivale a suponer el factor de escala para esa manivela. Finalmente,
la ecuacio´n a generar queda:
ψ =
pi
2
+0.555
(√
2
2
− cosϕ
)3
ϕ ∈
[
pi
4
,
3pi
4
]
ψ ∈
[pi
2
,pi
]
(18)
Se hara´ una sı´ntesis con tres puntos de precisio´nque se elegira´n mediante el espaciado o´ptimo
de Chebyshev:
ϕ j =
ϕmax+ϕmin
2
+
ϕmax−ϕmin
2
cos
( pi
2n
(2 j−1)
)
=
pi
2
+
pi
4
cos
(pi
6
(2 j−1)
)
(19)
ϕ (rad) ψ(rad) ϕ ′(rad) = ϕ−α ψ ′(rad) = ψ−α
0.8906 1.5711 0.1052 0.7857
1.5708 1.7670 0.7854 0.9816
2.2510 2.8944 1.4656 2.1090
Cuadro 2: A´ngulos ϕ obtenidos mediante el espaciado o´ptimo de Chebyshev (ecuacio´n (19)) y ψ obtenidos
por aplicacio´n de la funcio´n a generar (ecuacio´n (18)). Los a´ngulos ϕ ′ y ψ ′ medidos respecto a la barra fija son
los que se deben usar en la ecuacio´n de Freudenstein.
Con la ecuacio´n de Freudenstein aplicada a los tres puntos de precisio´n se obtiene un sistema de
tres ecuaciones con tres inco´gnitas:
K1 cosψ ′1−K2 cosϕ ′1+K3 = cos(ψ ′1−ϕ ′1)
K1 cosψ ′2−K2 cosϕ ′2+K3 = cos(ψ ′2−ϕ ′2)
K1 cosψ ′3−K2 cosϕ ′3+K3 = cos(ψ ′3−ϕ ′3)
(20)
que al sustituir los a´ngulos de la tabla queda:
0.7069 −0.9945 1
0.5557 −0.7071 1
−0.5126 −0.1050 1


K1
K2
K3
=

0.7773
0.9808
0.8
 (21)
y cuya solucio´n es:
K1 = 0.8081 K2 = 1.1335 K3 = 1.3333 (22)
Con estos valores de las constantes y suponiendo una distancia entre los pares fijos d = 0.5m, las
dimensiones del mecanismo son:
a= 0.619m b= 0.441m c= 0.316m d = 0.5m e= 1.5−a= 0.881m (23)