p2-art-02-sigma-algebra

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σ-a´lgebra
Memo Garro
Introduccio´n
En este apunte estudiaremos el concepto de σ-a´lgebra, como un tipo especial de
familia de subconjuntos de un espacio Ω, aunque todav´ıa desde un punto de vista pura-
mente abstracto, para que en lugares posteriores del curso elaboremos una
interpretacio´n probabil´ıstica propiamente de este objeto matema´tico.
Tambie´n en este art´ıculo mostraremos un me´todo para construir un σ-a´lgebra a
partir de una familia determinada de subconjuntos del espacio Ω. De modo que en la
primera parte revisaremos las nociones generales del concepto de σ-a´lgebra de subcon-
juntos, para que en segundo te´rmino veamos co´mo a partir de una familia podemos
generar una nueva familia que posea estructura de σ-a´lgebra. Comenzaremos con la
consideracio´n del caso particular de una familia finita que particiona el espacio total,
y de ah´ı, obtendremos la idea general que nos permitira´ ampliar el me´todo a familias
finitas ma´s generales.
Ahora bien, nuestro me´todo sera´ en todo momento constructivo, lo cual significa que
obtendremos una familia cuyos elementos sera´n completamente definidos. Por su parte,
esta situacio´n nos permitira´ conocer la cardinalidad, y establecer ciertas condiciones
de numerabilidad de la σ-a´lgebra as´ı generada.
1 σ-a´lgebra
En esta seccio´n estudiaremos la estructura de subconjuntos ma´s importante en la teor´ıa de
las probabilidades contempora´nea. En adelante consideramos un espacio Ω no vac´ıo.
Definicio´n 1.1 (σ-a´lgebra). Sea F una familia de subconjuntos de un espacio Ω.
Entonces, F posee estructura de σ-a´lgebra sobre Ω, si y so´lo si,
(σ1) Ω ∈ F .
(σ2) Si A ∈ F , entonces Ac ∈ F .
(σ3) Si {An}n≥1 es una sucesio´n de elementos en F , entonces
∞⋃
n=1
An ∈ F .
Observacio´n 1.1. Si una familia cumple (σ3) decimos que es cerrada bajo uniones nume-
rables. Es claro que una familia cerrada bajo uniones numerables tambie´n es cerrada bajo
uniones finitas.
1
Observacio´n 1.2. En el lenguaje cotidiano so´lo diremos que F es una σ-a´lgebra de subcon-
juntos de Ω.
Observacio´n 1.3. Es importante subrayar la importancia que tiene sen˜alar el espacio en el
cual se esta´ considerando la familia F . En ocasiones estas estructuras no estara´n definidas
sobre Ω sino sobre alguno de sus subconjuntos, y otras ocasiones nos referiremos a σ-a´lgebras
definidas sobre espacios diferentes.
Ilustraremos este concepto mediante algunos ejemplos.
Ejemplo 1.1. Sobre cualquier espacio no vac´ıo Ω, las familias P(Ω) = {A | A ⊆ Ω} (el
conjunto potencia) y {∅,Ω} poseen estructura de σ-a´lgebra sobre Ω.
En efecto, es fa´cil ver que las condiciones (σ1) y (σ2) se cumplen para ambas familias.
Ahora bien, la unio´n cualquiera de subconjuntos de Ω es un subconjunto mismo de Ω, en
particular esto sucede para uniones numerables; entonces la propiedad (σ3) es va´lida para la
familia P(Ω). Por otra parte, toda sucesio´n en la familia {Ω, ∅} es en realidad una sucesio´n
finita, cuya unio´n es ∅, o bien Ω, en cualquier caso, dicha unio´n es elemento de {Ω, ∅}.
Ejemplo 1.2. Sea Ω el pequen˜o espacio {1, 2, 3, 4}. Y consideremos las familias A = {∅,Ω,
{2, 3, 4}, {1}}, B = {∅,Ω, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}} y C = {∅,Ω, {1, 3, 4}, {2}}.
Mediante una inspeccio´n visual notamos que todas ellas poseen estructura de σ-a´lgebra sobre
el mismo espacio Ω. Sin embargo, las familias D = {{1}, {2}, ∅} y E = {{1}, {2}}, no son
σ-a´lgebras sobre Ω.
Pasamos al estudio de familias ma´s complejas.
Ejemplo 1.3. Por convencio´n entenderemos como subconjunto contable, aquel subconjunto
(o espacio) de cardinalidad finita o a lo sumo infinito numerable. Sea Ω un espacio no
contable. Consideremos la familia
F = {A ⊆ Ω | A es contable o Ac es contable}.
Como ejemplo tenemos que Ω podr´ıa ser el conjunto R de los nu´meros reales, y un elemento
de F en tal caso es el conjunto N de los nu´meros naturales. Se tiene que F posee estructura
de σ-a´lgebra sobre Ω.
Las tres condiciones de un σ-a´lgebra son verificables.
(σ1). Se tiene que el conjunto vac´ıo no posee elementos, y Ωc = ∅, con lo cual Ω ∈ F .
(σ2). Ahora, supongamos que A ∈ F ,
⇒ A es contable o Ac es contable
⇒ Ac es contable o A es contable
⇒ Ac es contable o (Ac)c es contable,
entonces Ac ∈ F .
(σ3). Consideremos la sucesio´n {An}∞n=1 en la familia F . Sea A = ∪∞n=1An, entonces
A ∈ F . Efectivamente, se tienen dos posibles situaciones:
I. Si A es contable, entonces, obviamente A ∈ F .
2
II. Ahora, supongamos que A es no contable, debemos probar que Ac es contable. Para
ello observamos que, segu´n nuestra suposicio´n, existe un nu´mero natural m tal que Am es no
contable (de lo contrario, A ser´ıa contable); entoces Acm es contable, pues Am ∈ F . Y dado
que
Ac =
( ∞⋃
n=1
An
)c
=
∞⋂
n=1
Acn ⊆ Acm,
entonces Ac es contable. Con lo cual A ∈ F .
El siguiente ejemplo muestra que una familia cerrada bajo uniones finitas no necesariamente
es una σ-a´lgebra.
Ejemplo 1.4. Sea Ω = (0, 1]. La familia
G =
{⋃
A∈D
A | D ⊂ A, D finito
}
,
con A = {(x, y]|0 ≤ x ≤ y ≤ 1}, es cerrada bajo uniones finitas (lo cual se sigue de forma
inmediata de la propia definicio´n de G), sin embargo no es σ-a´lgebra. Por ejemplo, los
intervalos (1/2n, 1/(2n − 1)] pertencen a G (de hecho pertenecen a A), sin embargo, dado
que son ajenos, su unio´n no puede ser expresada como una unio´n finita de intervalos en A.
Consideremos la nueva familia
F =
{⋃
A∈D
A | D ⊂ A, D contable
}
.
Entonces F es σ-a´lgebra.
Ahora bien, de las condiciones impuestas en la Definicio´n 1.1 es posible derivar una
definicio´n alternativa. Formalmente, exponemos el siguiente enunciado.
Teorema 1.1. La familia F posee estructura de σ-a´lgebra sobre Ω, si y so´lo si,
(σ’1) ∅ ∈ F .
(σ’2) Si A ∈ F , entonces, Ac ∈ F .
(σ’3) Si {An}∞n=1 es una sucesio´n de elementos de F , entonces
∞⋂
n=1
An ∈ F .
Demostracio´n. =⇒ ] Supongamos que F es σ-a´lgebra sobre Ω, entonces Ω ∈ F , segu´n (σ1),
pero por (σ2) se tiene que ∅ = Ωc ∈ F , esto prueba (σ′1). Ahora, la condicio´n (σ′2)
es exactamente la condicio´n (σ2) de la Definicio´n 1. Por u´ltimo, si para una sucesio´n
3
{An}n∈N contenida en F se tiene que {Acn}n∈N tambie´n esta´ contenida en F por la
propiedad (σ2), entonces ∪∞n=1Acn ∈ F , por (σ3), pero de nueva cuenta por (σ2),
∞⋂
n=1
An =
( ∞⋃
n=1
Acn
)c
∈ F ,
lo cual prueba (σ3).
⇐= ] Esta prueba es ana´loga a la primera parte y se deja a su ingenio.
Ahora exponemos un resultado que nos sera´ de gran utilidad en la seccio´n pro´xima.
Teorema 1.2. Sea B una familia arbitraria de σ-a´lgebras sobre Ω. Entonces la familia
E = {A |A ∈ F , ∀F ∈ B} es σ-a´lgebra sobre Ω.
Observacio´n 1.4. Tenemos que E =
⋂
F∈B
F , si consideramos la operacio´n interseccio´n en el
sentido habitual. En palabras, lo que dice este resultado es que la interseccio´n arbitraria de
σ-a´lgebras sobre un mismo espacio, es de nueva cuenta una σ-a´lgebra sobre dicho espacio.
Demostracio´n. (σ1) Es claro que Ω ∈ F para toda F ∈ B, entonces Ω ∈ E .
(σ2) Ahora sea A ∈ E , entonces A ∈ F para toda F ∈ B, por tanto Ac ∈ F para toda
F ∈ B, de donde se sigue que Ac ∈ E .
(σ3) Ahora, si una sucesio´n {Acn}n∈N esta´ contenida en E , entonces esta´ contenida en toda
F ∈ B, por ello ⋃∞n=1 An ∈ F para toda F ∈ B, esto prueba que ⋃∞n=1 An ∈ E .
Esto prueba que E es en efecto σ-a´lgebra sobre Ω.
Ejemplo 1.5. En referencia al Ejemplo 1.2 se tiene que si B = {A, C}, entonces E = {∅,Ω}
es σ-a´lgebra.
Sin embargo, las familias del tipo U = {A |A ∈ F para alguna F ∈ B} (en este caso,
si consideramos la unio´n en su forma habitual entonces U =
⋃
F∈B
F) no son necesariamente
σ-a´lgebras, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.6. En referencia al Ejemplo 1.2 se tiene que si B = {A, C} entonces la familia
U = {∅,Ω, {2, 3, 4}, {1}, {1, 3, 4}, {2}} no es σ-a´lgebra.En efecto, los subconjuntos {1} y
{2} pertenecen a U , pero {1} ∪ {2} = {1, 2} no pertenece.
Terminamos esta seccio´n con el planteamiento del problema que intentaremos resolver la
seccio´n pro´xima. En el Ejemplo 1.2, las familias A, B, C, el potencia de Ω = {1, 2, 3, 4}
y la familia {∅,Ω} son cinco σ-a´lgebras sobre Ω. Entonces, en general para un espacio
Ω no vac´ıo, podemos preguntarnos acerca de cua´l es el nu´mero de familias que poseen
estructura de σ-a´lgebra definidas sobre dicho espacio. La respuesta a tal cuestionamiento
puede resultar un poco complicada, considerando que el espacio Ω puede ser infinito. Sin
embargo, podemos buscar alguna pregunta cuya respuesta resulte menos compleja. Tal vez
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dicho ejemplo tambie´n nos inquieta acerca de las relaciones (de contensio´n) que pueden
guardar las σ-a´lgebras definidas sobre Ω (en nuestro ejemplo observamos que A ⊂ B y
C ⊂ B, y todas contienen a {∅,Ω} y esta´n contenidas en el potencia de Ω). Es decir, ¿a
caso sera´ posible encontrar una σ-a´lgebra en Ω tal que contenga a cualquier otra σ-a´lgebra
definida tambie´n sobre Ω?; o todav´ıa ma´s, ¿sera´ a caso posible encontrar una σ-a´lgebra tal
que ella misma este´ contenida en cualquier otra σ-a´lgebra sobre Ω?.
En respuesta consideremos las siguientes familias de subconjuntos
GΩ = P(Ω) y SΩ = {∅,Ω}.
Entonces GΩ es la ”ma´s grande” σ-a´lgebra definida sobre Ω, en el sentido de que cualquier
otra familia con estructura de σ-a´lgebra sobre Ω estara´ contenida en ella. Y por otra parte
SΩ es la ”ma´s pequen˜a” σ-a´lgebra definida sobre Ω, en el sentido de que simpre estara´
contenida en cualquier otra. Esto se debe a lo siguiente: En primer lugar, segu´n nuestro
primer ejemplo, tanto GΩ como SΩ son σ-a´lgebras sobre Ω. Ahora, si consideramos la familia
Σ = {F | F σ-a´lgebra sobre Ω}
tendremos que Σ esta´ formada por familias de subconjuntos de Ω, puesto que las σ-a´lgebras
no son ma´s que familias especiales de subconjuntos de Ω mismo. Es decir:
∀ F ∈ Σ : F ⊆ P(Ω) = GΩ,
y es evidente adema´s que GΩ = P(Ω) ⊆ P(Ω) ∈ Σ. Esto prueba que GΩ contiene, efectiva-
mente, toda σ-a´lgebra definida sobre Ω. Por otra parte, si F es σ-a´lgebra entonces Ω ∈ F ,
y por ello ∅ ∈ F . Por tanto SΩ ⊆ F .
De lo anterior se concluye que para cualquier σ-a´lgebra F definida sobre Ω
SΩ ⊆ F ⊆ GΩ.
2 σ-a´lgebra generada
La seccio´n anterior concluyo´ con un par de cuestionamientos muy generales, y solo encon-
tramos respuesta para uno de ellos. Ahora reduciremos el rango de nuestros cuestionamientos
buscando dar un mejor perfil a las respuestas encontradas. Supongamos que C es una familia
de subconjuntos de Ω. Consideremos todas las σ-a´lgebras en las cuales C esta´ contenida.
Como es evidente que C ⊆ P(Ω), nos preguntamos ahora si es posible encontrar la σ-a´lgebra
”ma´s pequen˜a” la cual contenga C. Y todav´ıa ma´s, sera´ acaso posible saber la cardinalidad
de tal σ-a´lgebra. La u´ltima respuesta queda pendiente, por lo pronto enunciamos el siguiente
resultado.
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Teorema 2.1. Sea C cualquier familia no vac´ıa de subconjuntos del espacio Ω. Entonces
existe una u´nica σ-a´lgebra F0 definida sobre Ω tal que
i) C ⊆ F0 y
ii) Si F1 es una σ-a´lgebra en Ω tal que C ⊆ F1 entonces F0 ⊆ F1.
Demostracio´n. Consideremos pues familia C no vac´ıa de subconjuntos de Ω. Primeramente
definimos
B = {F | C ⊆ F , F es σ-a´lgebra en Ω}.
Dado que C ⊆ P(Ω) y P(Ω) es σ-a´lbebra sobre Ω, tenemos que P(Ω) ∈ B. Por tanto nuestra
familia de σ-a´lgebras B es no vac´ıa.
Existencia. Sea F0 =
⋂
F∈BF (donde ∩ se entiende en el sentido habitual, ver Observacio´n
1.4). Sabemos que F0 es un σ-a´lgebra (Teorema 1.2). Ahora bien, como C ⊆ F para toda
F ∈ B (por definicio´n), se tiene entonces que C ⊆ F0.
Ahora, para cualquier otra σ-a´lgebra F1 en Ω tal que C ⊆ F1, se sigue que F1 ∈ B. Y por
la propia definicio´n de F0, se tiene que
F0 =
⋂
F∈B
F ⊆ F1.
Unicidad. Si existe F ′0, σ-a´lgebra, tal que cumple con i) y ii), entonces
F ′0 ⊆ F0,
puesto que C ⊆ F0 y F ′0 cumple con ii).
Pero tambie´n F0 verifica estas dos propiedades, entonces
F0 ⊆ F ′0,
por tanto F0 = F ′0.
Definicio´n 2.1 (σ-a´lgebra generada). La familia F0 del teorema anterior es denominada
σ-a´lgebra generada por la familia C, y se denota por el s´ımbolo σ(C).
Ejemplo 2.1. Retomando el Ejemplo 1.2, sea Ω = {1, 2, 3, 4}, se tiene que σ({{1}}) = A,
σ({{1}, {2}}) = B y σ({{1, 3, 4}}) = C.
Ejemplo 2.2. Familias distintas de subconjuntos de un mismo espacio pueden generar la
misma σ-a´lgebra. Por ejemplo, σ({∅}) = {Ω, ∅} = σ({Ω}), y de modo ma´s general σ({A}) =
{∅,Ω, A,Ac} = σ({Ac}), para cualquier A ⊂ Ω. Un ejemplo similar ma´s amplio, u´til e
interesante se presenta en un tipo particular de σ-a´lgebra definida sobre R, conocida como
σ-a´lgebra de Borel, la cual sera´ nuestro tema de estudio en un art´ıculo posterior.
Ahora demostraremos algunas propiedades que nos servira´n ma´s adelante en la determi-
nacio´n de un me´todo par construir una σ-a´lgebra. Conviene mantener estas propiedades en
mente, pues tambie´n servira´n para probar algunos teoremas ma´s interesantes.
Lema 2.1. Sean C y C∗ familias de subconjuntos del espacio Ω. Si C ⊆ C∗ entonces σ(C) ⊆
σ(C∗).
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Demostracio´n. Por hipo´tesis y por el teorema anterior (propiedad i)),
C ⊆ C∗ ⊆ σ(C∗),
es decir,
C ⊆ σ(C∗).
Entonces, sabemos que σ(C∗) es σ-a´lgebra, y nuevamente por el teorema anterior (propiedad
ii)),
σ(C) ⊆ σ(C∗).
Lema 2.2. Si la familia C de subconjuntos del espacio Ω forma por s´ı misma una σ-a´lgebra,
entonces σ(C) = C.
Demostracio´n. El u´ltimo teorema nos dice directamente que C ⊆ σ(C) (por la propiedad i)).
Ahora bien, es obvio que C ⊆ C, y C es σ-a´lgebra, entonces por nuestro famoso y repetido
teorema anterior (propiedad ii)) se sigue que σ(C) ⊆ C. Con lo cual σ(C) = C.
3 Un me´todo para construir una σ-a´lgebra
Sea Ω un espacio no vac´ıo. Como se menciono´ en el resumen, nuestra construcio´n la dividi-
remos en dos casos.
(1). Consideremos una familia finita A = {A1, A2, ..., An} y supongamos que tal familia
particiona al espacio Ω.
Afirmacio´n 3.1. Cualquier elemento de la σ-a´lgebra generada por la particio´n A es igual a
una unio´n finita de elementos de A mismo, esto es,
σ(A) =
{⋃
i∈I
Ai | I ⊆ {1, 2, ..., n}
}
.
Nota: Entenderemos, por convencio´n, que si I = ∅ entonces ⋃i∈I Ai = ∅.
Demostracio´n. Por comodidad, nombremos F = {⋃i∈I Ai | I ⊆ {1, 2, ..., n}}. Por definicio´n
sabemos que A ⊆ σ(A). Por lo tanto Ai ∈ σ(A), para toda i = 1, 2, ..., n. Se sigue entonces
que ⋃
i∈I
Ai ∈ σ(A) ∀ I ⊆ {1, 2, ..., n},
por las propiedades de σ-a´lgebra de σ(A). Con lo cual F ⊆ σ(A).
Ahora demostraremos la contencio´n contraria, para ello observamos que F posee estructura
de σ-a´lgebra. En efecto, (σ1) es evidente que
Ω =
n⋃
i=1
Ai ∈ F ;
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ahora, (σ2) sea E ∈ F , entonces existe IE ⊆ {1, 2, ..., n}, u´nico, tal que E = ∪i∈IEAi, de
donde
Ec = Ω\E
=
(
n⋃
i=1
Ai
)⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c
=
 ⋃
i∈IE∪IcE
Ai
⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c
=
(⋃
i∈IE
Ai
)⋃⋃
i∈IcE
Ai
⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c
=
[(⋃
i∈IE
Ai
)⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c]⋃⋃
i∈IcE
Ai
⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c
=
⋃
i∈IcE
Ai
⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c
.
Ahora bien, si ω ∈ (⋃i∈IE Ai)c, entonces para toda i ∈ IE se tiene que ω /∈ Ai, y como la
familia {A1, ..., An} particiona Ω, entonces existe j ∈ {1, ..., n}, pero j /∈ IE, tal que ω ∈ Aj,
as´ı entonces
(⋃
i∈IE Ai
)c ⊆ ⋃i∈IcE Ai. Por otro lado, si ω ∈ ⋃i∈IcE Ai, entonces ω /∈ Ai para
toda i ∈ IE, de lo contrario existir´ıan Aj y Ak distintos (pues j pertenecer´ıa a IE y k a su
complemento) tales que ω ∈ Ak ∩ Aj = ∅, lo cual es imposible. Por tanto ω ∈ (
⋃
i∈IE Ai)
c,
es decir,
⋃
i∈IcE Ai ⊆ (
⋃
i∈IE Ai)
c. Entonces
⋃
i∈IcE Ai = (
⋃
i∈IE Ai)
c.
De este modo,
Ec =
⋃
i∈IcE
Ai⋂(⋃
i∈IE
Ai
)c
=
⋃
i∈IcE
Ai,
luego Ec ∈ F .
Por u´ltimo (σ3), sea {Em}m≥1 ⊆ F , entonces existe Im ⊆ {1, 2, ..., n} para toda m ≥ 1 tal
que
Em =
⋃
i∈Im
Ai ∀ m ≥ 1,
se sigue,
∞⋃
m=1
Em =
⋃
m≥1
⋃
i∈Im
Ai.
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Ahora bien,
ω ∈
⋃
m≥1
⋃
i∈Im
Ai ⇔ ∃ m t.q. ω ∈
⋃
i∈Im
Ai
⇔ ∃ m t.q. ∃ j ∈ Im t.q. ω ∈ Aj
⇔ ∃ j ∈
∞⋃
m=1
Im t.q. ω ∈ Aj
⇔ ω ∈
⋃
i∈⋃∞m=1 Im
Ai
⇔ ω ∈
⋃
i∈I
Ai,
donde I =
⋃∞
m=1 Im ⊆ {1, 2, ..., n} (note´se como I es finito). Por tanto,
∞⋃
m=1
Em =
⋃
m≥1
⋃
i∈Im
Ai =
⋃
i∈I
Ai ∈ F .
Luego F σ-a´lgebra sobre Ω.
Es claro adema´s que A ⊆ F , y segu´n los lemas de la seccio´n anterior,
σ(A) ⊆ σ(F) = F ,
esto es σ(A) ⊆ F .
Ejemplo 3.1. Consideremos un subconjunto A no vac´ıo de Ω. Podemos nombrar A1 = A y
A2 = A
c y considerar la particio´n A = {A1, A2}. Entonces
σ(A) = {∅,Ω, A1, A2}
Ejemplo 3.2. Para una particio´n de taman˜o tres A = {A1, A2, A3} se tiene que
σ(A) = {∅,Ω, A1, A2, A3, A1 ∪ A2, A1 ∪ A3, A2 ∪ A3}
Aˆ¿Que´ es lo que notamos? En el Ejemplo 3.1, σ(A) tiene 4 = 22 elementos, tantos como
subconjuntos posee {1, 2}. En el ejemplo siguiente, el nu´mero de elementos de σ(A) es
8 = 23, exactamente como el potencia de {1, 2, 3}. Entonces podemos deducir el siguiente
enunciado.
Afirmacio´n 3.2. Si la familia finita A = {A1, A2, ..., An} es particio´n de Ω entonces
#σ(A) = #P({1, 2, ..., n}) = 2n.
Demostracio´n. Ya se sabe que σ(A) = {⋃i∈I Ai | I ⊆ {1, 2, ..., n}}. Def´ınase una funcio´n
f : P({1, 2, ..., n}) 7→ σ(A), tal que para I ∈ P({1, 2, ..., n}) entonces f(I) = ⋃i∈I Ai ∈ σ(A).
Es fa´cil mostrar que la funcio´n f es biyectiva, de donde se sigue
#σ(A) = #P({1, 2, ..., n}) = 2n.
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(2). Ahora supongamos que la familia finita A = {A1, A2, ..., An} no particiona el espacio
Ω. ¿Que´ sucede ahora? ¿Que´ forma tiene σ(A)? ¿Cua´ntos elementos posee?
Es natural pensar que el me´todo a seguir ahora tendra´ que remitirnos al primero de los
casos tratados. Para ilustrar el modelo general so´lo trataremos el caso en que n = 2. Primero
definimos una nueva familia A′ compuesta por los subconjuntos A′1 = A1\A2, A′2 = A2\A1,
A′3 = A1∩A2 y A′4 = Ω\(A1∪A2). No es dif´ıcil observar que esta nueva familia particiona al
espacio Ω, luego segu´n el caso anterior, σ(A′) esta´ formada por todas las uniones finitas que
de los elementos de A′ podemos realizar. Ahora bien, de la definicio´n de cada subconjunto
A′i tenemos que A′ ⊂ σ(A), de donde σ(A′) ⊂ σ(A). Por otra parte, tenemos que
A1 = (A1\A2) ∪ (A1 ∩ A2)
= A′1 ∪ A′3,
de modo que A1 ∈ σ(A′). Y de la misma manera
A2 = (A2\A1) ∪ (A2 ∩ A1)
= A′1 ∪ A′3,
por tanto A2 ∈ σ(A′). Entonces A ⊂ σ(A′), por tanto σ(A′) ⊂ σ(A). De donde se desprende
que σ(A′) = σ(A)
En cuanto a la cardinalidad, dado que no podemos asegurar cua´les subconjuntos de la
nueva familia A′ son no vac´ıos, so´lo podemos decir que #σ(A) = σ(A′) ≤ 24.
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