FÍSICA MATEMÁTICA Módulo de estudos de ingresso ao Curso de medicina

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FÍSICA MATEMÁTICAFÍSICA MATEMÁTICA
Facultad de Ciencias Médicas / UNSEFacultad de Ciencias Médicas / UNSE 22
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTEROUNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICASFACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS
AUTORIDADESAUTORIDADES
Rectora UNSERectora UNSE
Lic. Natividad NASSIFLic. Natividad NASSIF
Decano Organizador Facultad de Ciencias MédicasDecano Organizador Facultad de Ciencias Médicas
Dr. Humberto A. HERRERADr. Humberto A. HERRERA
Secretario Académico Facultad de Ciencias MédicasSecretario Académico Facultad de Ciencias Médicas
Dr. Pedro CARRANZADr. Pedro CARRANZA
Coordinador de Actividades de Ingreso Facultad de Ciencias MédicasCoordinador de Actividades de Ingreso Facultad de Ciencias Médicas
Dr. José GALIANODr. José GALIANO
MÓDULOS DE ESTUDIO PARA INGRESO A MEDICINAMÓDULOS DE ESTUDIO PARA INGRESO A MEDICINA
Equipo de autores de material de estudioEquipo de autores de material de estudio
Módulos de Curso de NivelaciónMódulos de Curso de Nivelación
Biología:Biología: Dr. Diego MELONIDr. Diego MELONI
Física:Física: Ing. Claudia ANRIQUEZIng. Claudia ANRIQUEZ
Química:Química: Dra. Evangelina GONZÁLEZDra. Evangelina GONZÁLEZ
Lic. Héctor TÉVEZLic. Héctor TÉVEZ
Alfabetización Alfabetización AcadéAcadémica:mica: Lic. Elsa DANNALic. Elsa DANNA
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Facultad de Ciencias Médicas / UNSEFacultad de Ciencias Médicas / UNSE 33
 Anríquez, Clau Anríquez, Claudia Beatrizdia Beatriz
Módulos de estudio para ingreso a medicina: biología. - 1a ed. -Módulos de estudio para ingreso a medicina: biología. - 1a ed. -
Santiago del Estero: Universidad Nacional de Santiago del Estero -Santiago del Estero: Universidad Nacional de Santiago del Estero -
UNSE, 2015.UNSE, 2015.
E-Book.E-Book.
ISBN 978-987-1676-60-6ISBN 978-987-1676-60-6
1. Medicina. 2. Física. 3. 1. Medicina. 2. Física. 3. Enseñanza UniveEnseñanza Universitaria. I. Títulorsitaria. I. Título
CDD 530.711CDD 530.711
FÍSICA MATEMÁTICA
Facultad de Ciencias Médicas / UNSE 4
MÓDULO 1: FÍSICA MATEMÁTICA
La física matemática es el campo científico que se ocupa de la interfaz entre la matemática y
la física y se la define como la aplicación de las matemáticas a problemas del ámbito de la
física y el desarrollo de métodos matemáticos apropiados para estos usos y para el desarrollo
de conocimientos físicos imprescindibles para el abordaje de los estudios de la carrera de
medicina.
Propósito
Brindar a los aspirantes conocimientos básicos de Matemática y Física que permitan explicar
algunos fenómenos estudiados por la Ciencia Médica mediante la resolución de problemas.
Objet ivos 
 Conocer y utilizar las herramientas de la matemática para organizar y explicar los
fenómenos físicos.
 Interpretar los conceptos básicos de la física.
 Conocer e interpretar el significado, las limitaciones y el alcance de las leyes que rigen
los fenómenos físicos.
 Comprender y resolver situaciones problemáticas en el área de las Ciencias Médicas,
mediante el uso de herramientas y modelos matemáticos necesarios para su
interpretación.
Propuesta de Contenidos
Matemática.  Notación científica. Potencia. Operaciones con potencia. Sistema cartesiano
ortogonal. Funciones: funciones de 1º y 2º grado; exponenciales; logarítmicas. Relaciones
trigonométricas.
Vectores. Nomenclatura: forma cartesiana, polar y con vectores unitarios. Operaciones con
vectores: Suma vectorial y producto de escalar por vector.
Magnitudes. Medición y sus componentes; magnitudes y unidades. Magnitudes escalares y
vectoriales. Sistema de unidades. SIMELA.
Cinemática. Trayectoria. Posición. Desplazamiento. Velocidad media e instantánea.
 Aceleración. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Dinámica. Fuerza. Masa. Ley de la gravitación universal. Primera ley de Newton. Segunda ley
de Newton. Tercera ley de Newton. Fuerzas de contacto y a distancia; peso; fuerza normal;
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fuerza de rozamiento. Aplicaciones de las leyes Newton. Trabajo de una fuerza. Potencia.
Energía cinética y potencial. Principio de conservación de la energía. Cantidad de movimiento.
Momento de una fuerza respecto de un eje. Cuerpo rígido; centro de masa. 2º ley de Newton
para la rotación. Condiciones de equilibrio estático. Biomecánica.
Hidrostática e Hidrodinámica. Concepto de fluido. Densidad. Presión. Presión hidrostática.
Principio de Pascal. Presión atmosférica. Principio de Arquímedes. Líneas de f lujo y Ecuación
de continuidad. Teorema de Bernoulli. Viscosidad. Flujo laminar y turbulento. Número de
Reynolds. Ley de Poiseuille. Ley de Stokes
Temperatura, Gases, Calor y Nociones de Termodinámica. Temperatura. Escalas de
temperatura. Expansión térmica. Gases ideales y reales. Ley de Boyle-Mariotte. Leyes de Gay
Lussac. Ecuación general de los gases. El calor. Calor específico y calor Latente. Primer
principio de la termodinámica. Energía interna. Transmisión del calor: conducción, convección
y radiación.
Electrostática y Electrodinámica. Carga eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico.
Potencial eléctrico. Diferencia de potencial. Corriente eléctrica. Resistencia eléctrica. Ley de
Ohm. Trabajo y potencia eléctrica. Resistencias en serie y en paralelo. Circuitos eléctricos.
FÍSICA MATEMÁTICA
Facultad de Ciencias Médicas / UNSE 6
¡Bienvenidos al módulo de Física Matemática!
La Física es la ciencia que explica todo tipo de fenómeno natural y los organismos
vivientes forman parte de la Naturaleza, ellos son sistemas abiertos ya que incorporan, como
también liberan materia, energía e información.
En éste curso se intentaran explicar conceptos físicos que se seleccionaron para poder
afrontar el estudio de la Medicina. Así también se debe entender que el lenguaje de la Física
es la Matemática, por lo que no se puede separar; en muchos casos los conceptos físicos
están definidos operativamente, o sea siempre asociados a una expresión matemática, que
pone de manifiesto la relación entre las variables o magnitudes, intervinientes en el fenómeno.
La primera parte del curso se ven justamente las herramientas matemáticas para dar
lugar luego a los conceptos físicos propiamente dichos
Desde ya deseamos que en esta primera experiencia para todos, sepamos
acompañarnos para cimentar esta nueva carrera en Santiago del Estero que es una aventura
del pensamiento que se hizo realidad.
¡Muchos Éxitos!
Ing. Claudia Anriquez
Coordinador Módulo de FísicaMatemática
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ÍNDICE
HERRAMIENTAS MATEMATICAS............................................................... .............................................9
DE CARTESIANAS A POLARES ...................................................................................... 14
DE POLARES A CARTESIANAS ...................................................................................... 14
MECÁNICA .......................................................................................................................... 24
CINEMÁTICA ....................................................................................................................... 24
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) .............................................................. 26
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ........ ...................... 27
Movimiento en el Plano – Movimiento circular ............................................................... 27
DINÁMICA ........................................................................................................................... 28
PRIMERA LEY DE NEWTON............................................................................................ 33
SEGUNDA LEY DE NEWTON .......................................................................................... 34
TERCERA LEY DE NEWTON ........................................................................................... 35
Momentum de una fuerza o Torque .............................................................................. 37
EL CUERPO RÍGIDO ........................................................................................................ 39
EQUILIBRIO ESTÁTICO ................................................................................................... 41
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA - DEFINICIONES...................................................... 43
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA .............................................................. 44
Mecánica de los fluidos ................................................................................................. 45
HIDROSTÁTICA .................................................................................................................. 46
DENSIDAD DE LOS FLUIDOS ......................................................................................... 46
PRESIÓN ......................................................................................................................... 47
Empuje y peso aparente................................................................................................ 49
PRINCIPIO DE PASCAL Y SU APLICACIÓN: LA PRENSA HIDRÁULICA .......... .............. 50
HIDRODINAMICA ...................................................................................................................................51
ECUACIÓN DE BERNOULLI ............................................................................................ 55
Barómetros y manómetros: instrumentos de medición de presiones ............................. 57
LA PRESION ATMOSFERICA: SU MEDIDA. EXPERIENCIA DE TORRICELLI .......... ...... 59
Tensión superficial ........................................................................................................ 60
FLUIDOS REALES ........................................................................................................... 62
Viscosidad ..................................................................................................................... 62
Viscosidad de algunos líquidos ..................................................................................... 63
LEY DE POISEUILLE........................................................................................................ 63
Uniones entre circuitos .................................................................................................. 64
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO, Y EL PERFIL PARABÓLICO DE VELOCIDADES .... 65
LEY DE STOKES .............................................................................................................. 65
Circulación sanguínea ................................................................................................... 66
La sangre ...................................................................................................................... 66
LA PRESIÓN .................................................................................................................... 67
Uniones entre tuberías .................................................................................................. 67
Medida de la presión arterial ......................................................................................... 68
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TEMPERATURA - CALOR - NOCIONES DE TERMODINÁMICA ....................................... 71
TEMPERATURA ............................................................................................................... 71
EL CALOR Y EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA ................. .................... 72
Dilatación Térmica......................................................................................................... 73
EL CALOR ........................................................................................................................ 73
TRANSMISIÓN DEL CALOR ............................................................................................ 74
Descripción de los sistemas termodinámicos ................................................................ 75
Descripción termodinámica del universo ....................................................................... 75
Clasificación de los sistemas ......................................................................................... 76
Estado del sistema ........................................................................................................ 77
TEMPERATURA- PRESION- VOLUMEN EN GASES ....................................................... 78
La naturaleza de los gases ............................................................................................ 78
LEY DE BOYLE Y MARIOTTE .......................................................................................... 79
LEY DE GAY LUSSAC ...................................................................................................... 79
ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES ........................................................... 80
Ecuación de estado ....................................................................................................... 82
ELECTROSTATICA ............................................................................................................. 84
Energía potencial electrostática ..................................................................................... 86
ELECTROCINETICA ........................................................................................................... 88
CORRIENTE ELÉCTRICA ................................................................................................ 88
CIRCUITOS ELÉCTRICOS. LEY DE OHM ....................................................................... 89
Símbolos eléctricos ....................................................................................................... 91
Circuitos en serie........................................................................................................... 92
Circuito en paralelo ....................................................................................................... 92
Caída de tensión en un receptor ................................................................................... 93
La corriente en los circuitos serie y paralelo ..................................................................93
Características de los circuitos serie y paralelo ............................................................. 93
Efectos fisiológicos de la corriente eléctrica .................................................................. 95
Terapia con estimulación de corriente ........................................................................... 96
Propagación ................................................................................................................ 102
Velocidad de propagación ........................................................................................... 103
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 104
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HERRAMIENTAS MATEMATICAS
La MEDICION; la medida, instrumentos de medición
El estudio de una ciencia implica realizar mediciones, el resultado de estas es la medida. Pero
este proceso no es solo de las ciencias, sino que nuestra vida se rige de medidas: cuánto
cuesta, cuánto mides, qué hora es, cuanto ganas, cuánto pesa, un análisis de sangre, un
análisis de orina, los valores de los triglicéridos etc. En suma todo lo medimos.
Es por eso que el proceso de Medición es muy importante.
La Medición puede ser Directa o puede ser Indirecta.
La Medición Directa es cuando a la medida se la obtiene de la sola lectura de un
instrumento de medición, ejemplo de esto es la medida del tiempo en un reloj, la medida de
la masa de papas en una balanza de verdulería, la medida de la temperatura en un
termómetro, etc. En estos casos el reloj, la balanza, el termómetro son los instrumentos de
medición
La Medición Indirecta: es la medida que resulta ya no de la lectura directa de un
instrumento de medición sino del resultado de una operación matemática. En la Física hay
muchas magnitudes físicas que se definen como el resultado de una operación matemática,
por ejemplo la superficie de un lote de forma rectangular es el resultado de multiplicar lado
por lado.
Hay dos componentes fundamentales en el proceso de la Medición: La magnitud y las
unidades (sistema de unidades)
Una magnitud es la propiedad del cuerpo susceptible de ser medido. Para medir una
magnitud se emplea una cantidad fija de la misma clase que se llama unidad.
Entonces debemos determinar la magnitud a medir y luego seleccionar la unidad de la
medida. La unidad no es una, sino un sistema de unidades.
Tenemos el Sistema Ingles y el Sistema Internacional del cual proviene el sistema que
usamos es nuestro país que es el SIMELA. Dentro de éste sistema es común hablar del
sistema MKS (metro, kilogramo, segundo). Otro sistema de unidades es el CGS (centímetros,
gramos, segundos).
El SIMELA es el Sistema Métrico Legal Argentino que es con el que trabajamos en
nuestro país. En el siguiente cuadro solo se mencionan algunas magnitudes con sus
respectivas unidades:
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
masa Gramo g
tiempo Segundo seg
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longitud Metro m
volumen Metro cubico m3
Velocidad Metro/segundo m/seg
Lo bueno es que toda unidad en un sistema de unidades tiene su equivalencia en otro sistema;
es decir que si tenemos una medida en el sistema ingles por ejemplo 20 millas, esto equivale
a 32,187 km, puesto que 1 milla equivale a 1,609 km. Estas equivalencias se las puede
encontrar en cualquier libro de física, en los celulares que tienen conversores, en fin no es
ningún secreto para nadie, solo hay que saber dónde buscar.
 Algunas conversiones son:
1ft = 0,3048 m
1plg = 0,0254 m
1mi = 1609 m
1lb = 0,453 kg
1 lb (fuerza) = 4,448 N
1 yarda = 3 ft
1plg = 8,33 x 10-2 ft
1ft = 12 plg
1mi = 5280 ft
Ejercicios
1- ¿Cuál es el área de un círculo de 3,5 cm de diámetro? Expresarlo en m2
2- El corazón bombea sangre a un ritmo de 0,083 l/seg. ¿cuáles son las dimensiones de esta
velocidad de flujo? Expresarla en m3/h
3- ¿Cuál es el volumen de una célula esférica de 2 x 10 -3 cm de diámetro?
4- La densidad normal de la orina oscila entre 1,002 - 1,035 g/l. Expresar estos valores en
kg/m3.
Las Magnitudes suelen clasificarse de varias maneras, la que seleccionamos aquí es la
siguiente:
Magnitudes escalares: son aquellas cuya medida es un escalar, esto es un número
con su unidad. Ejemplo: la longitud, masa, superficie, volumen, densidad, entre otras.
Magnitudes vectoriales: son aquellas cuyas medidas son vectores, o sea que se debe
indicar de ellas la intensidad, la dirección, sentido y donde están aplicadas. Todo esto se
indica con una herramienta llamada: vector. (La nomenclatura vectorial se ve después)
Entonces las magnitudes físicas vectoriales son aquellas que se representan por un vector, el
cual a su vez da la información de la intensidad, dirección y sentido. ¿Por qué esto es así?
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Porque esa información es necesaria, porque causarán un efecto! Por ejemplo, si nos dicen:
“viene un tornado de 150 Km/h”, lo primero que preguntaremos es de donde viene y a donde
impactará, porque es ahí donde causará un gran efecto! Algunas de estas magnitudes son: la
velocidad, la aceleración, la fuerza, entre otras.
La medida y sus formas de expresar
a) Forma de escribir medidas que son números:
Notación científica
Los técnicos, médicos y físicos se encuentran frecuentemente con números muy grandes o
muy pequeños, estos números suelen ser expresados en notación científica. Recuerde que
para expresar un número en notación científica, este debe ser mayor o igual a 1 y menor que
10, multiplicado por una potencia entera de 10.
En medicina es difícil asimilar los valores que se manejan, por ejemplo cuando nos dicen
que el radio de un átomo de hidrógeno es igual a 0,000000005. Esto sucede pues tales
números distan mucho de los valores que nuestros sentidos están acostumbrados a percibir
y se encuentran fuera de nuestro cuadro de referencias. En el estudio de la física
encontraremos magnitudes expresadas por números muy grandes o muy pequeños. El
enunciado escrito u oral de tales números, por lo común es dificultoso y por eso se utiliza la
notación científica.
La notación científica es expresar cualquier número como el producto de ese número
comprendido entre 1 y 10 y una adecuada potencia de 10.
Una regla práctica para obtener la potencia de 10 adecuada es la siguiente:
a) Contar el número de lugares que debe trasladarse el punto decimal para colocarlo a la
izquierda; este número nos proporciona el exponente positivo de 10.
b) Contar el número de lugares que debe trasladarse el punto decimal hacia la derecha; este
número nos proporciona el exponente negativo de 10.
Ejercicios
1) La relación 1/1.000.000 g equivale a:
a) 1 ng
b) 103 pg
c) 106 fg
d) 10 Å
e) nada de lo anterior es correcto
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2) En un cultivo de orina se obtienen 1,3 x 106 bacterias por mm3, esto significa que:
a) tiene 13 x 106 bacterias por mm3 de orina
b) tiene 1300 bacterias por mm 3 de orina
c) tiene 1300000 bacterias por mm 3 de orina
d) tiene 0,0000013 bacterias por mm3 de orina
e) tiene 0,00013 bacterias por mm 3 de orina
3) Resuelva aplicando notación científica:
(5 x 108) x (3,5 x 10-6) / (4 x 10-2) =
- Exprese en notación científica
a) 382 b) 21200 c) 62000000 d) 0,042
e) 0,75 f) 0,000069 g) 0,0087 x 103 h) 4500 x 105
i) 84,6 x 10-5 j) 0,12 x 10-4
2- Calcule usando notación científica:
a) 0,0021 x 30000000 b)
34000
0000450, c)
000058,08900
560000

d) 7,54 x 108 3,7 x 107 e) 71090 f) 5,7 x 10-4 + 240 x 10-
6
g)
009,00078,0
00496,0780000

 h) 59000 x 103 x 0,00009 i)  
00000095,0
005,0105 33  
b) Forma de escribir las medidas que son vectores:
El vector: es un segmento orientado v
El módulo o intensidad está representadopor la medida de todo el segmento: v
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La dirección y sentido del vector vienen dados por la medida del ángulo que forma el vector
con la dirección + x.
* Coordenadas polares: la medida del vector viene dada por su módulo, y el ángulo
(respecto alguna referencia),  ⃗ = (A , θ)
por ejemplo 100 km/h, dirección norte a sur, con esta información se está dando
implícitamente el ángulo .  ⃗ = (100 km/h , 270°)
* Coordenadas cartesianas: se indican las las medidas de las componentes
Las proyecciones perpendiculares de A sobre cada eje se llaman, por definición,
componentes vectoriales de a en las direcciones x e y. En la figura estas componentes
vectoriales están indicadas por A x y Ay. De la f igura se encuentra fácilmente que los módulos
de las componentes vectoriales son:
 Ax = A cos θ
 Ay = A sen θ
Una vez que un vector ha quedado descompuesto, las componentes mismas pueden
usarse para especificar el vector. En lugar de dar un vector como (A , θ), esto es magnitud y
dirección con respecto al eje x positivo, puede darse el mismo como (Ax ; Ay), las componentes
rectangulares o cartesianas según los ejes x e y.
* Coordenadas con vectores unitarios:
Los vectores unitarios tienen modulo uno y la dirección de los ejes cartesianos:
i, representa el vector unitario en la dirección del eje x
 j, representa el vector unitario en la dirección del eje y
k representa el vector unitario en la dirección del eje z
asi por ejemplo un vector V = (4 , 6 , 3) en coordenadas cartesianas será V = ( 4 i + 6 j
+ 3 k)
Como convertir ….
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De cartesianas a polares
Si tiene un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quiere en coordenadas polares (r, θ),
necesitas resolver un triángulo del que conoce dos lados.
Ejemplo: ¿Cómo pasar (12,5) en coordenadas cartesianas a polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r 2 = 122 + 52
1316925+144512r  22 
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tg θ = 5 / 12
θ = arctg ( 5 / 12 ) = 22.6°
 Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
22 yxr  
θ = arctg ( y / x )
De polares a cartesianas
Si tiene un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quiere en coordenadas cartesianas (x,y)
necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿el vector (13, 23°) en coordenadas polares expresarlo en cartesianas?
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Usamos la función coseno para x: cos ( 23° ) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos ( 23° ) = 13 × 0,921 = 11,98
Usamos la función seno para y: sen ( 23° ) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sen ( 23° ) = 13 × 0,391 = 5,08
 Así que las expresiones para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos (θ)
y = r × sen (θ)
Operaciones con vectores
Una vez que se sabe cómo escribir vectores, se pueden realizar las siguientes operaciones:
Suma y resta vectorial
Productos escalar por vector
Producto escalar
Producto vectorial
Sumar vectores analíticamente
Es descomponer todos los vectores según un sistema de coordenadas cartesianas. Cada
componente de la resultante se obtendrá sumando algebraicamente las componentes de cada
vector según el eje considerado.
 A partir de las componentes de la resultante se podrán encontrarse el módulo y dirección
del dicho vector.
Producto de un escalar por un vector
De igual manera si multiplicamos un vector por un escalar, éste afectará al vector original en
módulo y dirección dependiendo de su signo y su valor absoluto. Si el signo del escalar es
negativo, el vector resultante deberá cambiar su sentido, caso contrario lo conservará.
Si el valor absoluto del escalar es mayor que uno el vector resultante tendrá un módulo
mayor que el vector dato. Si fuera menor que uno, el módulo disminuirá.
Relaciones y funciones entre magnitudes
Los científicos, para estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, comprueban
que en ellos, generalmente hay dos o más magnitudes relacionadas entre sí.
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Esto significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia. Cuando esto
sucede, es decir cuando las magnitudes están relacionadas, puede establecerse un vínculo
funcional entre ellas.
Ejemplo de relación:
M = (Argentina, Brasil, Perú, España, Francia)
P = (Buenos Aires, Madrid, París, Brasilia, Lima)
Si entre los conjuntos M y P se establece la relación “capital de”, se obtiene:
P R M, que es una relación funcional.
El conjunto P es también llamado el dominio, y al conjunto M se lo llama el codominio.
Función
Las funciones son casos particulares de relaciones.
Definición:
Una función f de A en B (f: A  B) es una relación que cumple:
1) El dominio de f es A
2) A cada elemento x  A le corresponde un único elemento y  B que se denota por
y = f (x)
 A “x” se le llama variable independiente y a “y” variable dependiente.
 Al igual que las relaciones, una función puede representarse mediante tablas, diagramas de
Venn, en el plano cartesiano, mediante una fórmula o coloquialmente.
Una función se puede representar a través de:
• una explicación con palabras comunes (lenguaje coloquial),
• una tabla acompañada de una explicación,
• una fórmula algebraica,
• un gráfico cartesiano.
Función lineal
Definición: las funciones cuya gráfica es una recta o parte de una recta se llaman funciones
lineales.
La fórmula de cada función lineal es:
y = a + b . x
También existe una relación entre el número b de la fórmula, la inclinación o pendiente de la
recta, y la variación constante en las funciones lineales.
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Propiedad: en las fórmulas del tipo “y = a + b”, el número “a” indica el punto donde la
recta de la gráfica corta al eje de ordenadas y. Suele llamárselo ordenada al origen.
Propiedad: en las fórmulas del tipo “y = a + b . x”, el número b (coeficiente de la variable
independiente) indica la variación constante, es decir el cociente o división entre la resta de
dos valores de la variable dependiente y, y la resta de sus correspondientes valores para la
variable independiente x.
Propiedad: además, si el número b es positivo, la recta de la gráfica es creciente,
ascendente, y si el número b es negativo, la recta de la gráfica es decreciente, descendente.
Suele llamárselo inclinación o pendiente.
Ejemplo 1
Las vías del tren
Seguramente usted habrá observado que las vías del ferrocarril dejan un pequeño
espacio libre en la unión de los rieles. Esto se debe a que, como el metal se dilata, se agranda,
con el calor, las vías necesitan ese espacio para no curvarse con temperaturas altas. ¿Cómo
se sabe cuánto espacio dejar? Se hicieron experiencias a diferentes temperaturas, y con rieles
que a 0º tienen 10 metros se obtuvo la siguiente tabla:
 Analice la tabla.
Temperaturas (en ºC) Alargamiento (en mm)
-12 -1,4
-8 -1
0 0
8 1
15 2
25 3
No olvide que a temperaturas muy bajas (bajo 0) los rieles se contraen, es decir que se
achican. ¿Cómo interpreta los números negativos en la variable alargamiento?
Construya la gráfica de la función. Determine primero el dominio. Tenga en cuenta que
la tabla da valores aproximados. Observe por ejemplo que 15 es aproximadamente el doble
de 8, que 25 apenas pasa del triplo de 8:
Proponga una fórmula para esta función.
Ejercicio 2
La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del
corazón. Suponga que que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de
850 ml, y que para un hıgado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. SuponiendoFÍSICA MATEMÁTICA
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que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la
función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática
Función cuadrática
Definición: las funciones cuya fórmula es del tipo: y = un Nº + un Nº . x + un Nº . x 2,
simbólicamente: “y = a . x 2 + b . x + c”, con a, b, c números fijos para cada función, se llaman
funciones cuadráticas.
La grafica de esta función es una parábola de segundo grado.
Ejemplo1
 Animales extraños en una isla: cuando en una isla se introducen animales no autóctonos, si
encuentran condiciones favorables su número aumenta rápidamente. Después de un tiempo
puede suceder que la escasez de alimentos, o la caza, empiecen a disminuir nuevamente el
número de animales. Lo primero sucedió con la introducción de castores en Tierra del Fuego.
Lo primero y lo segundo, con la introducción de ciervos en la Isla Victoria, en Bariloche.
En una isla se introdujeron ciervos. Con recuentos durante varios años se estableció
que el número de animales en función del tiempo transcurr ido desde su introducción está dado
por la fórmula: n = - t2 + 21 t + 100
a : Indique de qué tipo de función se trata. Luego tabule algunos valores de la función, y
descríbala guiándose por la tabla.
b : Calcule cuántos ciervos se introdujeron, y cuántos hubo a los 5 años.
c : Determine a partir de qué momento la cantidad de animales comenzó a disminuir, y cuál
fue la máxima cantidad de ciervos que llegó a haber en la isla.
d : Señale el dominio de la función.
Ejemplo 2
Un investigador en fisiología establece que la función r(s) = − s2 + 12 s  –  20, es un
modelo matemático que describe el número de impulsos emitidos por una persona, después
que se ha estimulado un nervio. La variable s es el número de segundos transcurridos desde
que es estimulado el nervio. Graficar la función e interpretarla en el contexto del problema.
Ejercicios
 Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a
210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2 %. Se encontró
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que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es
de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192.
a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol
C.
b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?
 En un estudio de paciente VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se
encontró que después de 4 años, 17% de los pacientes tenían SIDA y que después de 7 años
33% lo tenían.
a) Encuentre una función lineal que modele la relación entre el intervalo de tiempo y el
porcentaje de pacientes con SIDA.
b) Pronostique el número de años para que la mitad de esos pacientes tenga SIDA.
 En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la población
de alcohólicos en una ciudad. En 1990 el porcentaje era de 10% y en el año 2002 se elevó a
14%. Si p(t) es el porcentaje de alcohólicos en la población y t representa el tiempo en años
desde 1990, determine la expresión para la función p(t), considerando que t = 0 en 1990.
 La evolución de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la
regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente
corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus
tejidos. Según antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo
al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados.
Determine (a) La función lineal que describe el problema. (b) La cantidad de tejido
regenerado, cuando han transcurrido 30 d´ıas. (c) El tiempo aproximado para obtener una
evolución en el tejido de 100 milímetros.
 La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su
efectividad en el tiempo según C(t) = − t2 + 6 t , donde C es la concentración del calmante en
el suero medida en millıgramos por litro para que haga efecto durante t horas. ¿En qué
instante la concentración es de 8 millıgramos por litro? Grafique la función e interprete
resultados en el contexto del problema.
 Los biólogos hallaron que la velocidad de la sangre en una arteria es una función de la
distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de Poiseuille, la
velocidad (en centımetros por segundos) de la sangre que está a r centımetros del eje central
de una arteria está dada por la función S(r) = C (R 2 − r 2), donde C es una constante y R el
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radio de la arteria. Suponga que para cierta arteria, C = 1,76 × 10 5 y R = 1,2 × 10−2 centımetros.
(a) Calcule la velocidad de la sangre en el eje central de esta arteria. (b) Calcule la velocidad
de la sangre equidistante de la pared arterial y el eje central.
Expresiones algebraicas enteras. Polinomios:
Se llama polinomio de grado n en la variable x sobre el conjunto de los números reales a toda
expresión de la forma:
P (x) = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 +…+ an xn
con an ≠ 0 y n un entero no negativo
siendo a0, a1, a2,..., an , números reales llamados coeficientes.
Notación:
*A los polinomios en la variable x se los simboliza con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P (x); Q (x); T (x)
*A los polinomios que tienen un solo término se los llama monomios, a los que tienen
sólo dos, binomios y a los de tres, t rinomios.
*A a0 se lo llama término independiente y a a n se lo llama coeficiente principal.
Razones trigonométricas
Se llaman “razones trigonométricas” a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de
un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.
 Aplicación de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados
del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
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1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
    90°  
     
  √ 2  2
1) Utilizando la calculadora científica, resuelva:
a) sen 45° =
b) cos 40° 32’ =
c) tg 120° 15’ 32” =
2) Utilizando la calculadora científica, encuentre el ángulo sabiendo:
a) tg θ = 1,22
b) cos θ = 0,86
c) sen θ = 0,53
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:
f (x) = loga x siendo a > 0 y a ≠ 1
Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax
    ⇔   
Las características generales de las funciones logarítmicas son:
1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0 , + ∞) .
2) Su recorrido es R: Im(f) = R.
3) Son funciones continuas.


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4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1 , 0) .
La función corta el eje x en el punto (1 , 0) y no corta el eje y.
5) Como loga a = 1, la función siempre pasa por el punto (a , 1).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas si a > 1.
Son cóncavas si 0 < a < 1.
8) El eje y es una asíntota vertical.
Ejemplo de funciones logarítmicas: f(x) = log2 x
g(x) = log1/2 x
Puntos de corte:
f (1) = log2 1 = 0, el punto de corte con el eje x es (1 , 0).
g(1) = log1/2 1 = 0, el punto de corte con el eje x es (1 , 0).
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Tablas de valores:
Gráficas
Ejercicios
El yodo radioactivo tiene un periodo radioactivo de 20,9 horas. Si se inyecta en el torrente
sanguíneo, el yodo se acumula en la glándula tiroides. (a) Después de 24 horas un médico
examina la glándulatiroides de un paciente para determinar si su funcionamiento es normal.
Si la glándula tiroides ha absorbido todo el yodo, ¿qué porcentaje de la cantidad original
debería detectarse? (b) Un paciente regresa a la clıínica 25 horas después de haber recibido
una inyección de yodo radiactivo. El médico examina la glándula tiroides del paciente y detecta
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la presencia de 41,3 % del yodo original. ¿Cuánto yodo radiactivo permanece en el resto del
cuerpo?
 Ahora si vamos a la Física…
MECÁNICA
La Mecánica, la más antigua de las ciencias físicas, es el estudio del movimiento de los
cuerpos.
Cuando describimos el movimiento nos ocupamos de la parte de la mecánica que se
llama Cinemática. Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en él
y con las propiedades de los cuerpos en movimiento, nos ocupamos de la Dinámica.
En general, el movimiento de un cuerpo real es complejo, sin embargo siempre es
posible, descomponer un movimiento complejo en otros más simples y por lo tanto más fáciles
de analizar.
 Así, para simplificar nuestro estudio definiremos un nuevo concepto: el de punto material
o partícula. Diremos que un cuerpo podrá considerarse como una partícula cuando se
consideran sus movimientos de traslación y no los de rotación. En el caso que se consideren
las rotaciones se considera la mecánica de los cuerpos.
La Cinemática nos enseña a medir el movimiento, para ello se definen las magnitudes
o variables cinemáticas con las cuales se medirá el movimiento. Las magnitudes cinemáticas
son:
- Posición
- Desplazamiento
- Velocidad
- Aceleración
Todas estas magnitudes físicas son magnitudes vectoriales.
CINEMÁTICA
Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia a través del tiempo.
Este concepto, posición, tiene sentido únicamente cuando se utiliza asociado a un sistema de
referencia. En este curso, estudiaremos el movimiento de cuerpos respecto a un sistema de
referencia que se encuentran en reposo o moviéndose a velocidad constante.
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La elección del sistema de referencia dependerá del tipo de movimiento que realice la
partícula, es decir si puede ser necesario utilizar sistemas con una, dos o tres coordenadas
para evaluar las sucesivas posiciones que ocupe conforme pasa el tiempo.
La posición es un vector que se mide siempre es asociado a un sistema de referencia,
donde se establece cual es el cero de posición.
Trayectoria: Es el dibujo que surge de las posiciones ocupadas por un cuerpo mientras
se mueve, es decir, la trayectoria es la huella dejada o el camino verdadero del movimiento
de cuerpo. La posición no es la trayectoria, la posición es una medida vectorial, la trayectoria
no es una medida, es un dibujo.
Si una partícula está en movimiento se puede determinar fácilmente el cambio en su
posición. El desplazamiento de una partícula se define como el cambio en su posición.
Conforme se mueve desde una posición inicial x i a una posición final x f , su desplazamiento
está dado por xf - xi. Se usa la letra griega delta (Δ) para significa el cambio o diferencia en una
cantidad, en éste caso es de la posición. Por lo tanto, el desplazamiento, o cambio en la
posición de la partícula, se escribe como:
∆x = xf  - xi
Donde, ∆x: desplazamiento; xf : posición final; xi: posición inicial
La velocidad media es un vector, cuya magnitud se define como:
;  ,  
    
La velocidad tiene como unidades  , esto es, dimensiones de longitud sobre tiempo
Es la velocidad que tiene una partícula en un instante específico, es la velocidad
instantánea
Para medirla se necesita registrar la variación de posición en una fracción pequeñísima
de tiempo. Sin embargo, se puede hallar por medio de su grafica Posición Vs Tiempo,
aplicando la recta tangente a un punto cualquiera de su trazo, es decir, empleando el principio
de las derivadas del cálculo diferencial.
v  lim∆→ ∆x∆t
En la notación del cálculo este límite se conoce como la derivada de x respecto t, y se
describe dx / dt:
v  lim∆→ ∆x∆t 
dx
dt
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La magnitud de la aceleración media se define como:
;  ,  
    
por lo cual las unidades de aceleración son , dimensiones de longitud sobre tiempo
al cuadrado.
La aceleración instantánea se define para un instante de tiempo y no para un intervalo
de tiempo, su magnitud es:
a  l i m∆→ ∆v∆t 
dv
dt
Una vez definidas las variables cinemáticas, se pueden clasificar los movimientos en una
dimensión en:
 Movimiento rectilíneo uniforme
 Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(no son las únicas clases que existen)
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):
Posición vs tiempo, velocidad vs tiempo y aceleración vs tiempo.
Las características del movimiento son:
* La trayectoria es recta o rectilínea
* La posición varía en función del tiempo como función lineal:
x(t) = x0 + v t
* Por lo que la velocidad en función del tiempo es constante (positiva o negativa)
* La aceleración en función del tiempo es cero
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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Las características del movimiento son:
* La trayectoria es recta o rectilínea
* La posición varía en función del tiempo como una función cuadrática:
x(t) = x0 + v0 t +  a t2
* Por lo que la velocidad en función del tiempo es una función lineal:
v (t) = v0 + a t
* Se puede obtener una tercera ecuación, combinando las anteriores:
vf 2 = v02 + 2 a x
La aceleración en función del tiempo es una constante (positiva o negativa)
Las graficas características podrían ser las siguientes: posición en función del tiempo
una parábola con concavidad hacia arriba, que significa que la aceleración es constante y
positiva
La velocidad es una función lineal con pendiente positiva, por lo que la aceleración es
constante y positiva
Movimiento en el Plano – Movimiento circular
También tiene interés especial el caso del movimiento circular, cuya variable natural es el
ángulo.
v
t
a
t
x
t
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Se define la velocidad angular y la aceleración angular como la variación instantánea del
ángulo y de la velocidad angular, respectivamente
ω  dφdt , α 
dω
dt
Existe una relación simple entre la velocidad lineal v y la angular , dada por la relación:
v = r 
siendo r el radio de giro, ya que la distancia lineal s viene dada por s = r .
Procediendo de modo análogo al del movimiento lineal uniforme (MRU) y al movimiento
lineal uniformemente variado (MRUV), se obtiene para el movimiento circular uniforme (MCU)
 (t) = 0 +  t
y para el movimiento circular uniformemente variado (MCUV):
 (t) = 0 + 0 t +   t2
 (t) = 0 +  t
f 2 = 02 + 2  
DINÁMICA
La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas que
originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de
Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos,
según la mecánica clásica.
Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque la primera de ellas
ya fue enunciada por Galileo. Tal y como las vamos a ver aquí sólo son válidas para un
Sistema de Referencia Inercial.
Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por lo que es importante definir modulo,
dirección y sentido, y se relaciona con las magnitudes cinemáticas, de la siguiente manera,
según la Segunda Ley de Newton:
   . 
Las fuerzas externas aplicadas a una determinada masa le producen una aceleración
a, lo que significaque las fuerzas, provocan la aceleración y son directamente
proporcionales.
Una forma útil de analizar las fuerzas actuantes en una determinada partícula es
realizar el diagrama de cuerpo libre o de cuerpo aislado (se adoptan ejes cartesianos donde
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se ubican solo vectores fuerzas), se debe entender que ningún cuerpo o partícula se realiza
fuerza a sí misma, por lo que otros cuerpos ejercen su influencia en ella, o sea que la
sumatoria de fuerzas, son de fuerzas externas
Del análisis dimensional resulta que la fuerza se mide, en el Sistema Internacional, en
unidades de . , que se denomina Newton (N), es decir que sus dimensiones son  .
Tipos de fuerza - Fuerzas de contacto
Las fuerzas que son interacciones entre cuerpos, pueden ser de contacto o a distancia.
Entre las fuerzas de contacto se pueden mencionar: la Normal, la fuerza de roce, la
tensión, etc.
Entre las fuerzas a distancia se puede mencionar: la fuerza gravitatoria con que la
Tierra atrae a los cuerpos: el Peso, la Fuerza eléctrica, etc.
Fuerza normal (N). Se presenta siempre que un cuerpo se encuentra apoyado en una
superficie. Esta fuerza es perpendicular a la superficie de apoyo.
El Peso (P o W), provoca en los cuerpos una aceleración g, sobre una masa m
P = mg o W = mg, donde, al nivel del mar, g = 9,8m/s2, y se denomina aceleración de
la gravedad; g varía con el lugar.
Ejemplo:
Fuerza de tensión (FT).se presenta al aplicarle una fuerza al extremo de una cuerda o
cable. Esta tensión se transmite por toda la longitud del mismo.
Ejemplos:
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Fuerza de fricción (Fr ): se presenta por el contacto de dos superficies que se deslizan
entre si y siempre se opone al movimiento de estas. La fricción se debe a la resistencia que
las superficies tienen por sus asperezas, y se expresa por la fórmula:
Fr   = µ.N
Fr  : fuerza de fricción
µ: coeficiente de fricción estático.
N: fuerza normal.
 La fricción es una fuerza con sentido contrario al movimiento de los cuerpos, y depende
de la fuerza que se ejerce perpendicularmente entre las superficies.
 El coeficiente de fricción µ (Mu minúscula) se obtiene experimentalmente, no depende
del área de la superficie de contacto y es característico del tipo de supercicie. Su valor
esta entre 0 y 1 (normalmente).
 Cuando µ tiende hacerse muy pequeño (cero) la fricción disminuye mucho, aunque
NUNCA puede desaparecer, ya que siempre está presente en las superficies. Sin
embargo para cálculos ideales, se puede considerar que es libre de fricción, cuando esta
es insignificante.
  Algunos materiales son tan ásperos, que sus coeficientes µ pueden valer por encima de
1, aunque no son frecuentes.
Fuerza elástica (FE): se presenta en los muelles, resortes o aquellos cuerpos que
tienen la capacidad de deformarse ante la presencia de una fuerza externa y posteriormente
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recuperar su forma inicial. La Fuerza Elástica es una FUERZA RECUPERADORA que
permite devolverle la forma original a un resorte cuando este se ha estirado. El valor de ésta
fuerza se halla por el enunciado de la:
Ley de Hooke: la fuerza recuperadora en un resorte es directamente proporcional al
estiramiento del mismo y siempre apunta en sentido contrario a la fuerza que los estira. Su
fórmula es
Fe = - k.x
Fe = fuerza elástica.
x = elongación.
K = constante de elasticidad.
La constante de elasticidad es característica de cada resorte y depende del material del cual
está hecho. El signo (-) de la formula indica que la fuerza recuperadora apunta en sentido
contrario a la fuerza deformadora. La fuerza recuperadora es una manifestación de la
Energía Potencial Elástica de los resortes.
Fuerzas de campo
Las fuerzas de campo son cuatro: gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear
débil. Están son las fuerzas fundamentales de la naturaleza, presentes en absolutamente
TODA la materia del universo. Las dos primeras fuerzas (gravitacional y electromagnética)
son de un alcance INFINITO, es decir, su campo de acción cubre todo el cosmos. En cambio,
las dos últimas (nuclear fuerte y débil) son mucho más intensas que las otras, aunque son
de un campo de acción limitado al interior del átomo, exclusivamente.
Fuerza gravitacional: Ley de la gravitacional universal: dos cuerpos materiales
cualesquiera, se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta fuerza de
atracción se llama fuerza gravitacional, y se obtiene por la expresión.
F  G m . md
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F: fuerza gravitacional.
G: constante de gravitacional.
m1 y m2: masas de los cuerpos
d: distancia entre los cuerpos
G = 6,67 x 10-11 N.m 2 / kg2
Peso: El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que la tierra ejerce sobre el mismo y
está dirigido siempre al centro de la tierra, o sea, es perpendicular a una superficie horizontal.
W = m.g
W: peso
m: masa
g: aceleración de la gravedad
Nota: la masa y el peso son conceptos que se confunden frecuentemente. Sin embargo se
diferencian en que: la masa de un cuerpo es la cantidad de materia que posee un cuerpo y es
una magnitud escalar; en cambio, el peso de los cuerpos es una fuerza y depende de la
aceleración de la gravedad del sitio donde se encuentra el mismo.
Ejemplo: en la luna, la aceleración de la gravedad es un 1/6 de la de la tierra, por lo que
su peso es seis veces menor. De igual modo, si se estuviera en un planeta con mayor
aceleración de la gravedad, el peso en su superficie seria mayor.
Ejemplo: Si un hombre pesa 900 N sobre la tierra, ¿Cuánto pesa en Júpiter, donde la
aceleración debida a la gravedad es de 25,9 m/s 2?
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Solución:
Primero se calcula la masa del hombre en la tierra, esto es:
w = m . gt 
m = w / gt = 900 N / 10 m/s2 = 90 kg
Como la masa es la misma, se tiene que el peso del hombre en Júpiter es:
w = m . g j = (90 kg) (25,9 m/s2) = 2,331 kg
w = 2,331 kg
Se observa que el peso en Júpiter es mayor que en la tierra, esto se debe a que la
gravedad de Júpiter es mayor a la gravedad de la tierra.
La Primera y la Segunda Ley de Newton te darán la justificación.
PRIMERA LEY DE NEWTON
Todo cuerpo que no está sometido a ninguna interacción (cuerpo libre
o aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad constante.
Esta ley es conocida como la ley de inercia y explica que para modificar el estado de
movimiento de un cuerpo es necesario actuar sobre él. Definimos una nueva magnitud
vectorial llamada momento lineal (o cantidad de movimiento) p de una partícula:
⃗  ⃗ Momento lineal (kg m / s)
Entonces la primera ley es equivalente a decir que un cuerpo libre se mueve con p
constante.
Consideremos el caso de dos partículas que, debido a su interacción mutua, describen
un movimiento en el que sus velocidades respectivas varían:
Dos partículas que interaccionan entre sí no se mueven con velocidad constante
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Como el conjunto de las dos partículas está aislado, su momento lineal total se
conserva:
 ⃗ +  ⃗   ⃗′ +  ⃗′
Esta expresión se conoce como principio de conservación del momento lineal y se puede
hacer extensivo a un conjunto de N partículas. Operando en la ecuación anterior obtenemos
que:
 ∆⃗   ∆⃗
Esto significa que, como el momento lineal del conjunto de las dos partículas se
conserva, pero el de cada una de ellas por separado no permanece constante , lo que aumenta
el momento lineal de una de ellas ha de ser igual a lo que disminuye el momento lineal de la
otra. El ejemplo típicoque demuestra este hecho es el retroceso que experimenta un arma al
ser disparada.
Estamos ya en disposición de enunciar la segunda ley de Newton
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación
instantánea de su momento lineal respecto del tiempo.
Expresado matemáticamente:
⃗  ⃗
Una fuerza representa entonces una interacción. Cuando una partícula no está sometida
a ninguna fuerza, se mueve con momento lineal constante (Primera Ley).
Sustituyendo la definición de momento lineal y suponiendo que la masa de la partícula
es constante, se llega a otra expresión para la Segunda Ley:
⃗   ⃗  
⃗
  ⃗
⃗  ⃗  ⃗
Ó sus ecuaciones escalares equivalentes:
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         
Comentaremos algunos aspectos interesantes de esta ecuación:
 La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la constante
de proporcionalidad es la masa del cuerpo.
 Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial de
todas ellas.
 Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente.
 En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria
no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá una también una fuerza
normal; si el módulo de la velocidad varía, es porque hay una aceleración tangencial, luego
habrá una fuerza tangencial.
 La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector
velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente a
la fuerza aplicada.
 Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema
con varios cuerpos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre
cada uno de ellos y aplicar la ecuación por separado.
TERCERA LEY DE NEWTON
Volvamos a la ecuación que relaciona las variaciones del momento lineal de dos partículas
que interaccionan entre sí. Si dividimos por el intervalo tiempo transcurrido y tomamos el límite
cuando Δt tiende a cero:
  ∆⃗∆ 
∆⃗∆ → 
⃗ 
⃗
 Atendiendo a la definición de fuerza vista en la segunda ley:
 ⃗  ⃗
Enunciamos ya la tercera ley:
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este último ejerce sobre el primero
una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la primera.
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Esta ley es conocida como la Ley de Acción y Reacción.
Un error muy común es cancelar las fuerzas que constituyen un par acción-reacción al
estudiar un cuerpo, pero hay que tener en cuenta que dichas fuerzas se ejercen sobre cuerpos
distintos, luego sólo se cancelarán entre sí cuando consideremos el sistema formado por los
dos cuerpos en su conjunto.
Otro factor a tener en cuenta es que las fuerzas que constituyen un par acción-reacción
siempre responden al mismo tipo de interacción.
Resumimos las leyes de Newton en este cuadro:
LEYES DE NEWTON
Primera ley (partícula libre) ⃗
Segunda ley ⃗  ⃗ ; ⃗  ⃗
Tercera ley ⃗   ⃗
Ejercicios
Para resolver problemas de fuerzas es muy importante seguir un orden, que podemos resumir
en los siguientes pasos:
1. Hacer un diagrama por separado de los distintos cuerpos que intervienen en el problema
y dibujar las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos.
2. Expresar la ley de Newton en forma vectorial para cada cuerpo.
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3. Elegir un sistema de ejes cartesianos para cada cuerpo. Si es posible, conviene hacer
coincidir uno de ellos con la dirección del vector aceleración y tomar como positivo el
sentido de dicho vector.
4. Proyectar las fuerzas según los ejes elegidos.
5. Aplicar la segunda ley de Newton para cada cuerpo en cada eje, teniendo en cuenta el
criterio de signos. Si hemos seguido la recomendación del paso 3, las fuerzas que vayan
en el sentido de la aceleración serán positivas y las opuestas negativas.
6. Resolver el sistema de ecuaciones.
7. Comprobar que el resultado tiene sentido: órdenes de magnitud, signos de las magnitudes,
etc.
Para simplificar cálculos, en todos los problemas se tomará g = 10 m/s2
Ejercicio 1.- Se tiene una masa puntual m = 4 kg en un plano inclinado un ángulo α = 30 o.
Entre la masa y el plano existe rozamiento de coeficientes estático µ s = 0,3 y dinámico µd =
0,12.
a. Razonar si la masa desliza por el plano. En caso afirmativo, calcular la aceleración con la
que baja.
Se aplica ahora una fuerza F perpendicular al plano. Figura (b)
b. Calcular el módulo de F para que la masa baje con velocidad constante.
Momentum de una fuerza o Torque
Efecto de torque (0): es el efecto de giro de un objeto alrededor de su eje de rotación, debido
a la acción de la fuerza externa. La intensidad del efecto de torque depende de la fuerza
aplicada al objeto y de la distancia que separa dicho punto a su origen de rotación, llamado
brazo de palanca. Ver figuras.
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Su fórmula es:
0 = F d
0 = torque
F = fuerza aplicada
d = brazo de palanca
El eje de rotación de un objeto es el punto en el cual todo el resto del mismo gira
uniformemente en torno a él.
La fuerza aplicada debe ser perpendicular al brazo de palanca para originar el efecto de
torque. Si no es así, se toma la componente de la fuerza que si es perpendicular:
0 = F d = F (sen θ) d
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El signo (+ ó -) del efecto de torque se determina arbitrariamente así:
 Si el cuerpo gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj (sentido horario), su signo
es negativo.
 Si el cuerpo gira en el sentido contrario de las manecillas del reloj (sentido antihorario), su
signo es positivo.
El efecto torque es de especial importancia en las palancas, balanza y tornos.
Teorema de Varignon: cuando en un cuerpo actúan varias fuerzas, el torque resultante es la
suma de las torques de cada una de las fuerzas.
Unidades de Torque.
S.I: Como el torque es el producto de una fuerza por una distancia su unidad de medida
será:  = F . d = 1 Newton. 1metro = N.m
C.G.S: El torque estera dado por:  = F . d = 1 Dina. 1 centímetro = dyn.cm
Observación. El efecto torque tiene una sola dimensionalidad equivalente a la
del trabajo [ML2T-2].
EL CUERPO RÍGIDO
Un sólido rígido es un sistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas
permanecen constantes. Cuando las distancias entre las partículas que constituyen un sólido
varían, dicho sólido se denomina deformable. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente
del estudio del movimiento de un sólido rígido.
En general, el movimiento de un sólido rígido puede ser muy complejo; sin embargo, se
puede definir el centro de masas, que es el lugar en donde están aplicadas las fuerzas
exteriores, conociendo la posición de ese centro de masa se podrá saber sobre el movimiento
del cuerpo, esto es su velocidad y aceleración:
⃗   1  ⃗ 
1
     ⃗
:    
Es decir, el centro de masas del sólido se mueve como un punto de masa igual a la
masa total del sistema.
Utilizando la segunda ley de Newton aplicada a un sistema de partículas podemos
describir el movimiento de traslación del centro de masas de un sólido rígido.
Sin embargo, durante el movimiento de traslación de su centro de masas, el sólido
describe una serie de giros. La segunda ley de Newton es válida para describir movimientos
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de traslación, por lo que debemos encontrar otra ecuación que nos permita analizar la parte
rotacional del movimiento.
Es convenientedefinir lo que se llama Inercia Rotacional o momento de inercia de un
cuerpo sólido.
El producto m r 2 se denomina momento de inercia ( I) de la partícula respecto al punto O y es
la magnitud “equivalente” en dinámica de rotación, a la masa en dinámica de traslación. Para
un conjunto de N partículas, el momento de inercia se escribe como
  ∑  

=
En general el momento de inercia depende únicamente de la geometría del sistema y
del eje de giro que se considere.
En la siguiente tabla se presentan algunos valores del momento de inercia para algunos
cuerpos de geometría sencilla.
Con lo cual, se puede escribir en forma análoga a la traslación, la Segunda Ley de
Newton para la rotación, de la siguiente manera:
 τ  I . α
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En donde ⃗ es la aceleración angular del cuerpo.
EQUILIBRIO ESTÁTICO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando su aceleración es nula.
Un cuerpo es libre si está en equilibrio y no se encuentra sometido a fuerza resultante.
Para que un cuerpo este en equilibrio es necesario que la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre él sea nula, es decir, que la suma de todos los tipos de fuerza neta (fuerzas
de aplicación y de torque) sea cero.
La sumatoria de las fuerzas ∑F que actúan sobre un cuerpo debe ser igual a cero:
⃗  0
Las ecuaciones en dos dimensiones para el equilibrio traslacional son, ∑F = 0, esto
es ∑Fx = 0 componente de F en x, y ∑Fy = 0 componente de F en y.
Equilibrio traslacional:
  0  0
Ecuación de equilibrio rotacional: la sumatoria de torques ∑0 debe ser igual acero.
Equilibrio rotacional:
  0
Para que un cuerpo esté en equilibrio estático deben cumplirse simultáneamente dos
condiciones:
 Que el sólido no se traslade: la aceleración de su centro de masas debe ser cero.
 Que el sólido no rote: la aceleración angular del sólido debe ser también nula.
Estas dos condiciones se imponen respectivamente a la ecuación del movimiento de
traslación del centro de masas (segunda ley de Newton) y a la ecuación de la rotación:
No hay traslación ⃗  0
No hay rotación    0
La segunda condición se cumple con independencia del origen que se elija para calcular los
momentos de las fuerzas externas. Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se calculan
las fuerzas que actúan sobre el sistema en equilibrio.
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Estas condiciones son muy útiles para el estudio de las configuraciones estáticas,
frecuentes en biomecánica. En particular, la segunda es la forma general de la ley de la
palanca. Veamos ahora unas aplicaciones de estas condiciones a varios ejemplos.
Ejemplo
.- Un listón homogéneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg está clavado en la pared
por su punto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto. Sobre él
se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, según la figura.
Dato: ICM = (1/12) m L2
a. Determinar el valor de d para que el listón esté en equilibrio estático, así como el valor de
la normal en el punto O.
b. Si se duplica el módulo de F3 y d = 0,75 m, determinar la aceleración angular α del listón
en función del ángulo θ que barre, suponiendo que las fuerzas son siempre verticales.
Ejemplo 1:
La tensión máxima de la f ibra lisa de los músculos aductores de los moluscos bivalvos es de
80 N / cm2, ver figura. Supongamos que la distancia de inserción de los músculos hasta la
articulación de las valvas es de 0,5 cm y que la longitud de las valvas es de 5 cm. ¿Qué fuerza
tendremos que hacer para abrir un molusco si el músculo correspondiente es un cilindro de 2
mm de radio?
Si la tensión máxima de los músculos aductores es de 80 N / cm 2 y el músculo es un
cilindro de 2 mm de radio, la fuerza máxima que pueden realizar estos músculos es:
  80    0,2   10,05 
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Esta fuerza realizará un momento máximo.
Por tanto, para abrir un molusco tal como el descrito en este ejercicio, habrá que ejercer
un momento:
     10,05  0,5   5,03 
Como al abrir el molusco aplicamos una fuerza en los extremos de las valvas que están
a 5 cm de la articulación, si ejercemos una fuerza F a, el momento de ésta es (Fa . da) y ha de
ser igual a 5,03 N cm. Por tanto,
   
5,03 
5   1,01 
Ejemplo 2:
El músculo deltoides sube el brazo hasta una posición horizontal, ver figura.
El músculo está fijado a 15 cm de la articulación y forma un ángulo de 18° con el húmero.
Suponiendo que el peso del brazo es de 40 N y que se puede aplicar todo él en el centro de
masas, situado a 35 cm de la articulación, calcular: la fuerza R que hace la articulación, el
ángulo que dicha fuerza forma con el húmero cuando el brazo está horizontal y la tensión T
que realiza el músculo.
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA - DEFINICIONES
El trabajo de una fuerza constante que mueve un cuerpo en la dirección de la misma, es el
producto entre el modulo de la fuerza por el desplazamiento.
Por ejemplo, la estudiante al levantar la arena verticalmente debe vencer una
resistencia, el peso P de la arena, a lo largo de un camino: la altura d a la que se levanta el
depósito de arena. El trabajo W realizado por el peso es el producto de la fuerza P por el
desplazamiento d.
La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el Joule: [ ] equivale a Newton por
metro.
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En un caso general el trabajo de una fuerza constante vendrá dado por la expresión:
W = F x cos 
Siendo  el ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento x.
Potencia: se denomina potencia al cociente entre el trabajo efectuado y el tiempo
empleado para realizarlo, si el trabajo se realiza a un ritmo uniforme.
  ∆
Por lo que sus unidades son unidades de trabajo sobre unidades de tiempo, el Watt (W).
En otras palabras, la potencia es el ritmo al que el trabajo se realiza.
Energía mecánica: se define como energía a aquella capacidad que posee un cuerpo
(una masa) para realizar trabajo. Esta capacidad (la energía) puede estar dada por la posición
de un cuerpo o por la velocidad del mismo; es por esto que podemos distinguir dos tipos de
energía, energía potencial y energía cinética, ambas energías tienen unidades de trabajo, el
Joule.
Se define la Energía cinética de un cuerpo de masa m y módulo de su velocidad v como:
  12   
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
La ecuación de conservación o balance de la energía mecánica es la base de la ley,
más general, de conservación de la energía. Esta última ley es de gran importancia conceptual
y práctica.
Se puede demostrar que el trabajo efectuado sobre un cuerpo entre dos posiciones 1 y
2 es igual al incremento de su energía cinética; es decir:
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W 12 = E c  = E c 2 – E c 1
Este resultado se conoce como teorema del trabajo y la energía, donde W 12 es el trabajo de
todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
Cabe distinguir dos tipos de fuerzas: las conservativas y las no conservativas. La
diferencia entre ambas estriba en el hecho de que el trabajo realizado por las primeras entre
dos puntos cualesquiera 1 y 2 es independiente del camino seguido, mientras que para las
segundas depende del camino.
En el caso de fuerzas conservativas, es posible definir la energía potencial como:
W 12 = - U  = - (U 2 – U 1) = U 1 – U 2
es decir, la energía potencial en el punto 2 es igual a la de 1, menos el trabajo realizado
por la fuerza sobre el cuerpo para ir de uno a otro punto.
La Energía potencial gravitatoria (a baja altura): Si analizamos ahora, el sistema
constituido por la Tierra y un cuerpo determinado. Al subir un cuerpo de masa m, desde la
altura h1a una altura h2, el trabajo efectuado por la fuerza de la gravedad (que es conservativa)
es
W12 = U 1 – U 2 = m g (h1 – h2)
por lo cual, se tiene:
Ug = m g h
Que se define como energía potencial gravitatoria
Mecánica de los fluidos
Dentro de este capítulo veremos algunos conceptos como
Hidrostática: estudio de los fluidos en equilibrio. Aquí veremos el principio de
 Arquimides, Principio de Pascal y Teorema general de la hidrostática.
Hidrodinámica: estudio de los fluidos en movimiento. Donde se verá el Teorema de
Bernoulli y Fluidos reales.
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HIDROSTÁTICA
Un fluido es tanto un líquido como un gas. Consideraremos fluidos ideales para la primera
parte, que se caracterizan por ser incompresibles, y no tener fuerzas internas de rozamiento,
en contraposición con los fluidos reales que son levemente compresibles y que poseen
fuerzas de rozamiento (debido a la viscosidad).
En los fenómenos relacionados con la vida, los fluidos con los que se trata son sobre
todo el agua, el aire y la sangre. Realmente estos fluidos no son los únicos que intervienen en
la vida, pero sus propiedades y su comportamiento describen prácticamente todos los
entornos y toda la fenomenología.
DENSIDAD DE LOS FLUIDOS
La densidad de una sustancia se define como el cociente de su masa entre el volumen que
ocupa. La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m 3, también se utiliza la unidad
g/cm3.
  
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 A continuación se presentan los valores de densidad de algunas sustancias:
PRESIÓN
El concepto de presión es muy útil, pero no debemos pensar que solo es limitado a los fluidos.
La presión es una magnitud escalar y es el modulo de la fuerza ejercida perpendicular
a una superficie dada.
Presión:
   
Se mide en unidades de fuerza por unidad de superficie, esto es, en el sistema
internacional N/m2, denominada Pascal. Frecuentemente se utiliza como unidad de medida la
presión atmosférica estándar o atmósfera, que vale 1,013 x 10 5 N/m2. Esta presión equivale
también a 760 mm de Hg o 760 torr, que es una unidad útil para medir diferencias de presión
en ciertos entornos, como se verá más adelante. La presión de un fluido en reposo se puede
evaluar a partir de relaciones mecánicas sencillas.
Por ejemplo, supongamos que queremos determinar la presión de un fluido en el fondo
de un lago de profundidad h en equilibrio hidrostático. Sea p a  la presión ejercida por la
atmósfera en la superficie del lago. Sobre un elemento de fluido cualquiera actúan las fuerzas
ejercidas por el resto del fluido. Las fuerzas laterales han de anularse unas con otras, de otro
modo el elemento de fluido se movería. Por tanto, la única fuerza ejercida por el resto del
fluido, que es equilibrada por la fuerza del suelo, es el peso de la columna de fluido, más la
fuerza correspondiente a la presión atmosférica, que puede expresarse en términos de
presión, esta es otra forma de medir la presión en un punto en el seno de un fluido
p = pa + ρgh [1]
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Se puede observar la dependencia de la presión con h, o profundidad a la que se
encuentra el punto en cuestión.
El término ρgh se denomina presión manométrica, ya que corresponde a la presión
obtenida de la lectura de un manómetro, es decir, la diferencia entre la presión total y una
presión de referencia, que con frecuencia resulta ser la presión atmosférica. Según esta
relación, la presión del agua aumenta a medida que se baja hacia el fondo, y por la misma
razón, a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra la presión del aire disminuye.
Dado que la presión del aire es unas mil veces inferior a la del agua, el aumento de la
presión al descender un metro en agua es mil veces superior a la disminución de la presión
del aire al ascender un metro.
Una consecuencia inmediata de la ecuación [1] es el principio de Arquímedes.
En efecto, supongamos un objeto sumergido en un fluido tal como se ve en la Figura A.
 Antes de introducir el objeto, el fluido está en equilibrio, por tanto el resto del fluido ejerce
una fuerza, sobre la porción de fluido que ocupa el espacio que ocupará el cuerpo, que iguala
el peso de la porción de fluido. Esta fuerza también actúa sobre el objeto sumergido, ejercida
por el fluido y se conoce como empuje. Así se enuncia, pues, el principio de Arquímedes: «El
empuje, es una fuerza que el fluido ejerce sobre un objeto sumergido en ese fluido y es igual
al peso del fluido desalojado».
El principio de Arquímedes constata que el empuje que actúa sobre un cuerpo
sumergido en el seno de un fluido es igual al peso del fluido desalojado.
Esto se expresa E = Peso fluido desalojado = m g (del fluido desalojado) = ρ(fl) g V(sumergido)
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Donde ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, y V es el volumen
del fluido desalojado por el cuerpo.
Quiere decir que de acuerdo con esta expresión matematica el empuje aumenta, si
aumenta la densidad del fluido y/o aumenta el volumen desplazado por el cuerpo al
sumergirse en el fluido. Este principio se aprovecha para hacer rehabilitación a personas
lisiadas, en agua salada puesto que la densidad es mayor, que en el agua dulce.
Según el análisis dinámico de la situación de un cuerpo que flota en equilibrio:
E = Pc  [2]
Según Arquímedes, E = ρ(fl) g V(sumerg), como a su vez, el peso del cuerpo es Pc = ρc g
Vc (no confundir con peso de fluido desalojado), y si el V (sumerg) = % Vc por lo que reeplazando
la expresión queda así:
ρ(fl) g V(sumerg) = ρc g Vc ρ(fl) V(sumerg) = ρc Vc ρ(fl) (%) Vc = ρc Vc
(%) ρ(fl) = ρc
de esta expresión se ve que para que flote un cuerpo, hay una relación de densidades
entre la del fluido y la del cuerpo que se sumerge, no está bien decir que un cuerpo flota
porque el empuje es mayor que su peso, ya que se parte de la condición dinámica [2] de que
son iguales.
Empuje y peso aparente
Todos hemos experimentado la sensación de sentirnos más livianos cuando estamos
sumergidos en agua. Ello no se debe a una reducción de nuestro peso, sino a la presencia
del empuje.
Si haces el experimento que se ilustra en la figura B, podrás constatar que en apariencia
el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo, si al colgar la piedra del
dinamómetro este indica que el peso de la piedra es de 10 Newton (a) y al sumergirla en agua
(b) indica 8 Newton, ello se debe a que sobre la piedra, además de la fuerza de gravedad,
está actuando el empuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 Newton, su peso
aparente 8 Newton y el empuje 2 Newton.
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PRINCIPIO DE PASCAL Y SU APLICACIÓN: LA PRENSA HIDRÁULICA
El principio de Pascal expresa; que toda presión que se ejerce sobre un fluido encerrado en
un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del fluido y las paredes
que lo contienen.
En la figura se puede observar que los chorros son los mismos, por lo que se deduce
que se transmite la presión con la misma intensidad
La principal aplicación de este principio es la Prensa hidráulica, cuyo beneficio es que
aplicando pequeñas fuerzas se logra grandes fuerzas tan solo cambiando el área de
aplicación de las mismas.
Las presiones transmitidas por el seno del fluido son las mismas en los dos extremos
de las bocas de una manguera que tienen émbolos, como se muestra en la figura:
   →   
 
para que se mantenga la igualdad, si se aumenta A 2 , debe aumentar F2, por lo que:
    
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Ejercicios
1) Júpiter tiene un radio R = 7,14 x 104  km y la aceleración debida a la