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AntiDemidovich__Matemática_Superior_ (6)
Alex Silva
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•
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V sen s
URSS
:!!!!~-------- ------=----~~...::.-.- -
Capitulo 1
Integraci6n en el plano
complejo. Integrales
de Newton~Leibniz
y de Cauchy
En este capitulo se presta una atenci6n especialal teorema integral
de Cauchy, uno de los teorernas fundarnentales de la teona de
las funciones analiticas. Mediante este teorerna se establecen las
propiedades globales de las funciones analiticas.
En vez de la integral indefinida se considera la integral
de Newton-Leibniz, la cual proporciona rnuchas ventajas. La
operaci6n de integradon en el sentido de Newton-Leibniz es
inversa respecto a la operaci6n de derivaci6n.
§ 1. Integral de Newton - Leibniz
1.1. Primitiva
nDdnlcl6n 1. SCll J: C .. -t C y sea D, un conjunto sin puntos aislados. Un., .. fund6n P: C -. C 1'1(' de .. '. nomina funci6n primitiva de la funcion f si f)". ',", OJ Y V ~ E, VJ /111 (Z):- /(z). . . ... . ____ " ' . . .... . ~ ____ ., __ . _____________ -.l
___ M.m~--
Sea F una prilllitiva de f. Dado que \;/ (z E DJ' C E C)
(F + C)'(z) _ .. F'(z), entonces F + C tambien es una primitiva
de la funcion f. De este modo, la primitiva no esta definida
univocamente. Estudiemos esta propiedad de la primitiva con
mas detalle. Para ello· rtecesitaremos del concepto de·· camino
suave a trozos (v. def. 6, sec. 3, cap. 2, t. 5) Y la desigualdad de
Lagrange (v. p.4.7, cap. 2, t. 5). .
•
Definicion 2. Un conjunto Z C C se denomina conexo por eaminos si
para todo par de puntos Zl E Z Y Z2 E Z existe un camino suave a trozos
perteneciente a Z que une Zt Y Z2 •
.
Teorema 1. Sea J: C ) C Y sea DJ un eonjunto eonexo par eaminos que
eontiene mas de unpunto. Si \;/ z E Df J'(z) = 0, lafund6nJ es eonstante.
Demostraci6n. Sean Zl E D JIZZ E D f. Segun la definicion de
conjunto conexo por caminos, existe un camino suave a trozos
que une los puntos Zl y Zz y que pertenece al conjunto DI'
Por consiguiente, existe una funcion continua [a, b] .'1') DJ tal que
<pea) = Zl, <pCb) = Z2 Y <p'(t)esta definida por doquier, salvo
en un conjunto finito depuntos. Enumeremos estos· puntos en
orden ascendente to a < tl < ... < tn = b. Conforme a la
desigualdad de Lagrange, tenemos
(JO<p)(tk)-(JO<p)(tk-l)l~ 1J"<p'1 (tk-tk-l)=O (k=I;n).
.', .
•
Por consiguiente, (J o <p)(to) . J(Zl) = (J 0 <p)(tn) = f(zz). ...
Teorema 2 .. SeanFt y F2 dos primitivas de una fundon f: C · .. ·)C definida
en un conjunto conexo par eaminos que eontiene mas de un punto . . Entonees
existe una eonstante C ECtal que \;/ Z E DI F2(Z) = Ft(z) + C.
<III Demostracion. Consideremos la funcion F = F2 - Ft. Dado
que 'r;f z E DJ F'(z) = F~(z) - F{(z) =0, segun el teorema lla
fundon F es constante. ....
,n, 'OF' FE •• ",m •• , ••• =
..
.:: ,
Proponemos allector que construya la tabla de las prim i-
tivas de las funciones elementales mas importantes.
1.2. Integral de Newton-Leibniz
Definicion. Sea J: <C - <C y sea Df un conjunto conexo par caminos
que contiene mas de un punta. La funci6n 1 se denomina integrable en el
sentido de Newton-Leibniz si tiene primitiva y Va E Df
z
(F(Z) = J I«() d() & (F(a) = 0 II V Z E Df F'(z) = I(z») , (1)
a
La funci6n F de (1) se denomina integral de Newton-Leibniz con
limite de integraci6n inferior fijo a y Umite superior variable. Su valor F(b)
se denomina integral definida de Newton-Leibniz y se denota mediante
b J I(() d(, donde ( es una variable de integrad6n cuya elecci6n no influye
a
en el valor de la integral, es decir,
b b b ,
J 1(0 d( = J f(u) du = ! I(w) dw = .. , .
a a a
z
Senalemos que la expresi6n ! I(z) dz no tiene sentido,
(\
puesto que la letra z ya se utiliza para el limite superior.
Teoreina 1 (f6rmula de Newton-Leibniz), Sea f: <C ~ <C una funcian
definida en un conjunto conexo por caminos D f que contiene mas de un
pun to. Si la fund6n 1 es integrable en el sentido de Newton-Leibniz y <I>
b
es su primitiva, entonces 'V,(a E Dfl bE Df} la integral J I«() d( enste,
a
. ..,' , ,
"
, ,:' . -,
. ,
, " .' . , ,., ,
esta unfvocamente definida y es valida Ia fonnula de Newton, ·Leibniz
b
(-b
j(() d( -= <1>(b) - <P(a) ~ <1>«() - .
(=a
(2)
a
Demostraci6n. Hagarnos F(z) .'.- <1>(z) - <1>(a) V z E Df. Entonces
F(a) = 01\ '1/ zDJ,
F'(z) = <1>'(z) = j(z).
Canfarrne a la definici6n, tenemos
b
j«() d( = F(b) ~ <J>(b) - <1>(a).
a
Cercioremonos de que la integral esta definida univocamente. Sea
b .
!«) d( = '¢(b),
a
'l/J(a) = 01\ V z E Df , '¢' (z) :;;,: j(z).
Segun el tearema 2, p.l.!, existe una constante C tal que
para todo z E D f '¢(z) = F(z) + C. Hacienda z = a obtenernos
que C = O. Por consiguiente, '¢(b) = F(b), es decir, la integral
esta definida univocamente. ...
OO • hOE
m- ... . , E m __
Teorema 2. Sea f: <C ) C una funci6n definida en un eonjunto conexo por
earninos D f que contiene mas de un punta. Si Ia junGian j es. integrable
en el sentido de Newton Leibniz, entonces son vtilidas las igualdades
siguientes:
b a
j(z)dz=- j(z)dz 'I/(aEDf,bEDf }, (3)
a b
b c b
a a c
z ,
(J !(Od() =!(z) 'if(aEDj,ZEDj), (5)
a
b ,
(J J«() d() = - f(z) 'if (z E Df' bE Dj). (6)
z
.... Demostraci6n. Sea 4> una primitiva de la fundon f. Segun 1a
formula de Newton-Leibniz (2) se tiene
b a J J(z)dz = tT>(b) - 4>(a) = - (4)(a) - 4>(b») = - jl(Z)dZ,
a b
b
J f(z) dz = 4>(b) - 4>(a) = b c
a = 4>(b) - 4>(c) + 4> (c) - 4>(a) = J !(z)dz + J f(z)dz,
z, c a
(J !(Od() = (4)(z)-4>(a))'=4>'(z)=J(z),
a
b ,
(J !(Od() = (4)(b) - 4>(z»' = -4>'(z) = - !(z). iii>
z
La igualdad (3) se denomina regIa del cambio de los limites
de integracion, la igualdad (4) expresa la propiedad aditiva de la
integral respecto a los limites de integracion, y las formulas (5) y (6)
se Haman reglas de deri'Qacion respecto allimite superiorOnferior)
variable.
1.3. Propiedad lineal de la integral.
Cambio de variable y formula
de integracion por partes
Teorema 1 (propiedad lineal de la integral). Sea Z un conjunto conexo por
caminos que contiene mas de un punta. Si las funciones !: c - C Y g: C - C,
, "" " "' "
Df ::::: Dg ::::: Z, son integrables en el sentido de Newton Leibniz y A E C,
It E C, entonces la funci6n Af + Itg tambitn es integrable y es valida la
igualdad
b b b
(AI + Itg)(z) dz ::::: A fez) dz + It g(z) dz
(1)
a a a
V (a E Z, b E Z).
"-------...,-----------------------
Demostraci6n. Sean F y G dos primitivas de las funciones J y g,
respectivamente. Entonces V z E Z
(AF + ItG)' (z) = AF' (z) + ItG' (z) A/(z) + Itg(z).
Por consiguiente, la funcion AI + Itg tiene una primitiva y, por
definicion, es integrable en el sentido de Newton ' Leibniz. Sea
z z
,
F(z) - I«() d(, G(z) = g«() d(
a a
Entonces (AF + ItG) (a) = 0 y conforme a la definicion de integral
obtenemos
b
(Af + 1t9) (z) dz = (AF + ItG) (b) = AF(b) + ItG(b) ==
a b b
= A fez) dz + It g(z) dz.
a a
"_coo , , =0 Em, , noon, C C , ,
--------------------~-------------------------------
Teorema 2 (del cambio de variable). Consideremos dos funciones f: <C ) <C
Y cp: <C ) C. Sea Z = D fo'{J un conjunto conexo por caminos que contiene
mas de un punto. Si la Junddn cp es diJerendable en todD punto z E Z Y la
funda» I '{J(Z} es integrable en el sentido de Newton Leibniz, entonces la
Junddn (f 0 cp)cp' tambien es integrable y se cumple la igualdad
b '(J(b)
I (cp(z») cp' (z) dz = J«() d( V (a E Z, b E Z). (2)
a '(J(a)
.. Demostrad6n. Sea F una primitiva de la funci6n !I<p(z)' a E Z,
bE Z Y F(r,o(a» == O. Como 'V z E Z se tiene
(F 0 cp)' (z) = F'(r,o(z»r,o'(z) = !(r,o(z»r,o'(z) = ((f 0 r,o)cp') (z),
entonces la funci6n (f 0 cp) r,o' es integrable en el sentido de
Newton-Leibniz y conforme a la definicion de integral es valida
la igualdad
b <p(b)
J !(r,o(z»r,o'(z) dz = F(cp(b» = J !«() d(. . ~
a ,W
Teorema 3 (de integraci6n par partes). Consideremos dos fundones
!: C -+ C y g: C - C. Sea Df = Dg = Z un con junto conexo por
caminosque contiene mas de un punto. Si las Junciones ! y 9 son diferen-
ciables en todo punto del conjunto Z y la Jund6n !' 9 es integrable en el
sentido de Newton~Leibniz, entonces la Junci6n ! g' tambien es integrable
y es valida la f6nnula de integraci6n por partes
II z=b II f !(z) g'(z) dz = !(z) g(Z)lz=a - J !'(z) g(z) dz
a a
'V (a E Z, b E Z) .
.. Demostraci6n. Ya que (fg)'(z) = !'(z)g(z) + !(z)g'(z) 'V z E Z,
entonces fg' = (fg)' - /,g. Por defmicion, la funci6n (f9)' es
integrable en el sentido de Newton-Leibniz. Seglm la propiedad
lineal de la integral, la fund6n j g' tambien es integrable en el
sentido de Newton-Leibniz y
b II . II
/ j(z)g'(z)dz = /(f9)'(Z)dZ -/ !'(z)g(z)dz =
a a a
II
= j(b) g(b) - j(a) g(a) - / l' (z) g(z) dz.
a
(3)
" ,
Por definici6n, las primitivas pertenecen a la clase de
,funciones analiticas. Recordemos allector que la notaci6n A(G)
representa la clase de funciones anaHticas en la regi6n G.
Si una funci6n f esta definida en un conjunto conexo
por caminos Z, la definicion 1, p. 1.1, se puede volvera for-
mular del modo siguiente: se dice que una funcion F E A(Z)
es primitiva de la funcion J en el conjunto Z si V z E Z
F'(z) = J(z).
, "--_ ....... "'--,." ". • EU," '"
Problemas resueltos.
Solucion. Haciendo 1 - (..::.. W en III obtenemos d( , .. -dw,
1-:
I 1(z) =
97 (1- w)w dw =
1-i
1 98 1 99 -w - --w
98, 99
w==l-z
. .
w=l-j
1 98 1 99 1 98 1 99 - ' (1- z) - .... , .. (1 - z) - (1- i) + "'",,(1 - i) =
98 99' 98 99
•
98 1 1 1 ,t;; 98 .98<
=(l-Z) ", - (1-z) - (v2) e-14 +
98 99 98 '
1 t;; 99 '99w
+ '(v2) e- I '." =
99
= (1- z)98
1 1
98 - 99(1- z)
, _ .... , , " ... ,,_m_ ... ,,,
248 + ,i - 249
49
"
." .... EO
, ,
,
l+i
.... ",.
99
•
"
.... Solucion. Calculemos la futegral 12 utilizando la f6rmula de
integraci6n por partes. Tenemos:
i
12 = (z - i) e"' zlz=~ + J e-z dz =
Z:I ° .
= -i + e -z IZ=~ = -i + 1 _ e -i =
%=1
= -i + 1 - (cos 1 - i sen 1) = 1 - cos 1 + (sen 1 - 1) i. ..
§ 2. Derivadas e integrales
de Newton-Leibniz
de ordenes arbitrarios
2.1. Definicion de derivada n~esima
e integral n~esima
5upongamos que el dominic de una funci6n I: C -4 <C no con-
tiene puntos aislados. Diremosque la fund6n es diferenciable (1
vez diferenciable> si 'V zED f existe la derivada 1'( z). La fund6n
z ~ 1'(z) se denomina derivada primera de l~ fund6n 1 y se
denota mediante 1(1). Definamos por fuduccion la derivada de
cualquier orden de la funcion I.
Definicion 1. 5ea nE N. 5i la fund6n I(n) es diferendable, su derivada
(J(n»)' se denomina derivada (n + 1)-esima de la funcion 1 y se denota
mediante j(n+1) . En este caso se dice que la fund6n es n + 1 veces
diferendable.
Para simplificarla notad6n convengamos en que /0) = I.
Consideremos varios ejemplos.
,
•
" ,
Ejemplo 1. Sea fez) :;;:: et I;j z E C. Entonces
!'(z):;;:: eZ ,
• .. • • .. • • • ~ • ~ I
in)(z) :;;:: eZ
I;j (z E C, n E N).
Ejemplo 2. Sea fez) :;;:: sen z I;j z E C. Entonces
I 7r
f (z) :;;:: cos Z :;;:: sen z + '2 , ' '
i 2)(z) :;;:: - sen z :;;:: sen z + 2~ ,
2
........ , .. ~ ......................... "
f(n)(z) = sen z + n~
2
I;j (z E C, n E N).
Supongamos que el dominio de una funci6n ! es un
conjunto conexo por caminos que contiene mas de un punto
y a E D f. La funci6n ! se denominara integrable (l vez integrable)
z
(1)
z
si V Z E Df existe !(t) dt. La aplicaci6n Zt·-~ !(t) dt,
a a
zED f I se denomina integral primera de la funci6n J con
limite de integraci6n inferior a E D f . Definamos por inducci6n
la integral de orden arbitrario de la funci6n J con lfmite de
integraci6n inferior a E D f .
•
Definicion 2. Si la funci6n ! es integrable, n ~ 2, definimos
•
z
(n) ,
!(t)at ~f
a a
, t
(!'I-l)
!(r) dr dt V z E Df.
a
1\ Problemas resueltos.
.... Soludon. Integrando sucesivamente, resulta
z
1
(1)
dt = z - a,
a
Z Z
/
(2) / (z - ai
dt = (t - a) dt = 2 '
a a
Z Z .
1(3) 1 (t - ai (z - a)3 dt = dt = , 2 3!
a a
•• ~ •••••• 4 4 ~ ............. , ••••••••••• ,
z
f en) (z - at dt=---n!
·a
... Soludon. Tenemos:
Z
et dt = eZ - 1, 1
(1)
o
%(2) z 1 et dt = 1 (et - 1) dt = eZ -1 - z,
o 0
• •
,
Derivadaa
o 0
z
(n) Z2 Zn-l
et dt = eZ - 1 - z - - - ... - ---
2! (n - 1)! .
...
o
.. ' . '"" ..... _. oz, , .,. '" --_ .........
Soluci6n. Integrando cuatro veces seguidas, hallamos
z
(1)
sen t dt = - cos z + I,
o
z
(2)
z
sen t dt = (- cos t + 1) dt = - sen z + z,
2.2. Formula de Newton Leibniz.
Derivadas respecto a los Hmites
de integracion
,
,
. , .-
Teorema 1 (formula de Newton Leibniz para la integral n~esima). Sea
f: <C -"') C una funci6n definida en un eon junto eonexo por eaminos D f que
contiene mas de un punto y sea n E N. Si existe F: V Z E Df F(n)(z) = I(z),
a E DJ, entonees V z E Df existe
z
I
(n) n-l ( l
I(t) dt = F(z) _ '""" F(k)(a) z - a
L.J k!
k=O a
.... Demostraci6n. Apliquemos el metodo de inducci6n matematica.
Para n = 1 la afirmaci6n se demostr6 en el p.1.2. Supongamos
que la formula (1) es valida luego de sustituir n por n -1. Dado
que (F,)(n-l) := F(n) := I, tenemos
z
l
(n-1) n-2 ()k
I(t) dt = F'(Z) - I:(p')(k)(a) z -fa
k
k.
=0 a
Segun la definicion 2, p.2.1, obtenemos
I
Z{n) IZ (ft (n-1) )
I(t) dt = . I(r) dr dt:::;
a a a
Z n-2 k
= I (FI (t) - I: F(1.:+1) (a) (t ~!a) ) dt :=
a 1.:=0
n- 2 ()"+1
= F(z) - F(a) - L: F(1.:+1)(a) z - a
k=O (k +1)1
n-l Ii:
= F(z) - L: F(k)(a) (z ~!a) I
1,::::0
es decir, la formula (1) es valida. ..
(1)
Teorema 2 (de la derivada de la integral n-esima respecto a los limites de
integracI6n). Sea I: C -+ Cy sea Df un eonjunto eonexo por eaminos que
contiene mas de un punto. Si la Jundon I . es integrable, son vaUdas las
o
z
" .
Demostrad6n. La igualdad (2) es evidente. Demostremos la
validez de laf6rmula (3). Supongamos queF: C ~ C Y para
todo z E DJ F(1I)(z) .""" J(z). Entonces, segun la fonnula' (1)
obtenemos
b
(n)
J(t) dt
(v. ej.13, p. 2.1)." ...
) ...
" ,
n-l ")k I
-" (k) (b - z
= F(b) - F (z)- k!-'-"''' =
k=O
II
" (b -zt-1 (n-4)
>on _ F(n)(z) .. = - J(z)dt
(n - 1)!
.z
" "
Teorema 3 (de Dirichlet). Sea J; C I C una funci6n definida en un
conjunto conexo por caminos D f que contiene mas de un punto y sea
a E D J' bED f. Si la funci6n J es integrable, entonces
II
, (11) "
j(t) dt =
b "
(b -,-- t)(n-l)"
J(t)" ... "0 .... 0 dt.
(n ~ 1)!
a a
... Demostraci6n. Segun la formula (1) Y el teorema 2
II
(b - tt- l
J(t) {n:': 1)! o~ dt = -
a
, on hE'= OF .. '"
II
(11)
J(t) dt --
z=a
a
, ""LE, .E
II
(n)
J(t) dt.
m .... =" ..
(4)
" ,
2.3. Formula de Taylor
Supongamos que se verifican todas las condiciones del teorema I,
p.2.2. Entonces, a partir de la f6rmula (1) de ese mismo panlgrafo
se deduce la igualdad
z
n-l ( )'~ j(n)
F(z) = L F(k)(a) z -Ia + F(n)(t) dt
k-O k. (1)
- !l
V (a E Df' Z E DJ)'
que se denomina Jannula de Taylor de la funcian F con resto en
Janna de integral n-esima. La funci6n
n- l k
Z I--l' '" F(k)(a) (z - a)
L.J k!
k=O
se llama polinomio de Taylor.
Muchos casos particulares de (1) tienen aplicaci6n en la
fisica elemental. Consideremos varios ejemplos.
Supongamos que un punto material se encuentra en movi-
miento rectiHneo a 10 largo del eje Oy con una velocidad constante
v = F'(a). Si se conoce su posicion inicial F(a), entonces la posi-
ci6n F(x) en un instante x se puede hallar a partir de la f6rmula
, (x - a)
F(x) = F(a) + v(x - a) = F(a) + F (a) I! '
que es un caso particular de la igualdad (1) para n = 2, asi como
para n = 1.
Supongamos ahora que el punto se mueve con una veloci-
dad variable, pero que su aceleraci6n es constante F"(a), es decir,
su movimiento es uniformemente acelerado 0 uniformemente re-
tardado. Si se conocen su posici6n inicial F(a) y su velocidad
inicial Vo = F'(a), entonces la posici6n F(x) del punta en un
instantex se puede determinar con la f6rmula
. , (x - af
F(x) = F(a) + vo(x - a) + F' (a) 2
_ F( ) + F'( ) (x - a) + F"( ) (x - a)2
- a a I! a 21 '
. .
Oed vai:bi· de
, ." .... , : . .'''. , •. : ,,, ' •• < ',~. '
" ," .
. , " ' . . " ,
que es un caso particular de la igualdad (1) para n = 3, as! como
para n = 2. De esta manera, la igualdad (1) es la generalizad6n
de estas importantes formulas de la ffsica elemental.
De la formula (1) se deduce que la fundon F es un
polinomio si, y solo si, su derivada n-esima es igual a cero para
derto valor de n E N. La fonnula del binornio de Newton es un
caso particular de la formula de Taylor.
Aplicando a la integral n-esirna la formula de Dirichlet
(v. p. 2.2) obtenemos la de Taylor con resto en fotma
§3.Derivada de Fermat Lagrange.
Formula de Taylor Peano
3.1. Derivada de Fermat Lagrange
La derivada definida en el p.4.1, cap.2, t.5, admite la siguiente
generalizacion por induccion.
Definicion. Sea f: C t C, Zo ED" n E N. La fund6n f se denornina
n veces diferenciable en el sentido de Fennat Lagrange en el punto Zo si
existe una fundon cp que sea n - 1 veces diferendable en el sentido de
Fermat Lagrange en el punto Zo y tal que V zED,
f(z) - f(zo) = (z - zo) cp(z).
Sit ademas, Zo es un punto limite del conjunto D" el numero ncp(n-l)(zo) .
se llama derivada n-esima de Fe,mat Lagrange de la fllndon f en e1
punto zoy se denota mediante f(n)(zo) ..
... _---------------------------
).
Al igual que antes, consideramos que la funcion f es 0
veces diferenciable en el sentido de Fermat Lagrange en el
punto Zo si es continua en dicho punto (en este caso escribimOs
iO)(zo) = j(zo» .
• Problemas resueltos.
... Soluci6n. Utilicemos el metoda de inducci6n matematica. Si
1
n = I, entonces lim h(x) = lim x sen - = 0 = h(O), es decir,
z--+O x-o xm
1a funci6n II es 0 veces diferenciable en el sentido de Fermat-
Lagrange en el punto x = 0 'limE N. Supongamos que lafunci6n
In es n -1 veces diferendableen el sentido de Fermat-:-'Lagrange
en el punto x :::: 0 'limE N. Entonces tenemos
jn+l(X) - In+l(O) = xln(z) 'rr/ zEit
Vemosque, por definici6n, la funci6n In+l es n vetes diferen-
ciable en el sentido de Fermat-Lagrange en el punto :t :::: 0
'limEN. ~
... Soluci6n. Si z t= 0, entonces
I
, ) . n-l 1 n-m-t 1
n(z = nx sen - . - mx ·· cos-. xm xm
Tomando m = n - 1 obtenemos que la funci6n j~ es discontinua
en el punto x:::: 0, por 10 que para n ~ 2 tenemos que en este
punto In no es n veees diferenciable en el sentido clasico. ..
,
" ,. . , .
. .
• . , . . .
. ,
, ,
, L "
,.', ... ,,: '" . .. " . " .
•
Los problemas reden resueltos demuestran que 'rI n ~ 2
existen fund ones que son n veces diferendables en el sentido de
FerInat" ,Lagrange en un punto fijo, pero que no tienen en este
punto derivada segunda dasica.
3.2. Teorema de Taylor Peano.
Teorema reciproco
Los conceptos de fundon n veces diferenciable y' de derivada
n-esima de Fermat Lagrange se utilizan en el estudio de las
propiedades locales de las funciones. Si una fundon J es n veces
..
diferenciable en el sentido de Fermat" "Lagrange en un punto
limite Zo del conjunto DI (zoE DI), entonces 'rim = 0,'1i existen
las derivadas m-esimas de Fermat- Lagrange !(m)(zo) .
•
Teorema 1 (f6rmula de Taylor .. " Peano). Sea J: <C ,,) <C y sea Zo E D, un
punta limite del conjunto D I' Si la Jundon f es n veces diferendable en el
sentido de Felmat Lagrange en el punta zo, entonceses valida Ia f6nnula
de Taylor""",, Peano .
n
(k) (z - zO)k n
;.....,! (zo)'" ""k!' . + en(z)(z - zo) V zED"
k=O
!(z) = (1)
dande en es una Jundon continua en el punta Zo y en(ZO) = O. '
.
<II Demostraci6rt. Apliquemos el metodo de inducci6n mate mati-
ca. Sin = 0, la afirmaci6n es evidente y £o(z) = !(z) - J(zo).
Supongamos que la afirmaci6n' del teorema sigue siendo valida
despues de sustituir n por n - 1 Y que la fund6n f es n veces
diferenciable en el sentido de Fennat Lagrange en el punto Zo.
Conforme a la definici6n, existe una funcion <p que es n.,- 1 veces
. diferendable en el sentido de Fermat Lagrange en el' punto Zo
y tal que V zE DI
'.' fez) - !(zo) = (z -'- zo) cp(z). (2)
Segun la hip6tesis, tenemos .
n-l k
(k) (z - zo) n-l
<p(z) '" cp (zo)'-.... ·'·k'i·"' .... · + en-l(Z)(Z - zo), (3)
k=O
donde en-l es una funcion continua en el punto Zo y cn-l(ZO) = O.
A partir de las igualdades (2) y (3) se obtiene
!(z)=
= f (zo) + (z :- .. ) (~ 1'(') ( .. ) (z ~~)k +<.-1 (z)(z - .. r ,) =
n-l t<k+l)(z) (Z _ Zo)k+l
= !(Zo) + I: k+l 0 . k! +cn-t(z)(z-zot,
k=O
que equivale a la formula (1) para en = en-I' ...
La siguiente afirmacion es inversa al teorema 1 y explica
la importancia del concepto de derivada n-esima de Fermat-
Lagrange.
Teorema 2 (reclproco del teorema de Taylor-Peano). Sea f: C -7 C
cierta Juncion. Supongamos que Zo es un punto limite del con junto Df ,
Zo E Df . Si
n k
"'" (z - zo) n
f(z) = L.J at + c(z)(z - Zo) V Z E DJ'
. k==O k!
(4)
donde at E C \if k = 0, n, e(Zo) = 0 y e es una Juncion continua en el
punto zo, entonces la Juncion ! es n veces diferenciable en el sentido de
Fennat-Lagrange en el punto Zo y all = !(k)(Zo) V k = 0, n.
<if Demostraci6n. Apliquemos el metodo de induccion matematica.
Si n = 0, la igualdad (4) tiene la forma f(z) = ao + c(z) \if z E DI
y, por tanto, la fundan ! es continua en el punto Zo (es dedr,
es 0 veces diferendable en el sentido de Fermat-Lagrange en
este punto) y !(O)(zo) = !(zo) = ao. Supongamos que el teorema
sigue siendo valida despues de sustituir n por n - 1 Y se verifica
la igualdad (4). Dado que !(Zo) = u.o, tenemos
(~ (z - zo)'I:-I n-I) f(z) - f(zo) = (z - zo) L- ak k! + e(z) (z - zo) .
k=1
" "
... DedvaQa:. ...,
" ,,',,:;' ''\/'" .. '''
. .
Hagamos
1'1
( )
k-1
Z - Zo 1'1-1
(k _ 1)! + e(Z) (z - zo) .
ak
IP(Z) = k
1;=1
Segiln 1a hipotesis, la funcien IP es n - 1 veces diferenciable en
el sentido de Fermat Lagrange en el punto zo, y se tiene que
diferenciable en el sentido de Fermat-·- Lagrange en el punto Zo
y j(k)(zO) - klP(k-l)(zo) = ak Vk = L"n". .....
, " "" ""a,,,,a. a,a,a"
El teorema demostrado puede utilizarse para caIcular las
derivadas de Fermat Lagrange. Consideremos un ejemplo.
. f
Ejemplo. Sea lFt .) lFt, dande
f(x) =
1 --e z2 , si x E lFt \ {O},
0, si x = o.
I-Iallar in) (0) 't/ n E N.
-----------------------------
Solucion. Calculemos
(aplicamos n veces la regIa de L'Hopital). Supongamos que
_ 1
e z2
'" ,
21'1 ' x
si x E ffi. \ to},
0, si x "" O.
La fundon en es continua en el punto X· 0 V n E N.
Dado que j(x) _.- x21'1 6"n (x), entonces, de acuerdo con el teorema 2,
j(k)(O) _ 0 para todo k = I,"2n. Como n es arbitrario, j(k)(O) = 0
VkEffi. .....
§ 4. Integrales curvilineas
4.1. Integrad6n a 10 largo
de una curva suave orientada
Una fund6n continua I: C -+ C puede no ser integrable en el
sentido de Newton-Leibniz en un conjunto abierto conexo por
caminos. Por eso surge la necesidad de definir un nuevo concepto:
el de integral curvilinea. Recordemos que en la sec. 3, cap. 2, t. 5,
definimos los conceptos de curva suave simple (trayectoria), de
parametrizaciones equivalentes de una curva (v. def.2), de orien-
tad6n y de curva suave orientada r = h, ')'or) (v. def. 3), as! como
el concepto de curva suave a trozos r = (r l , r 2, ... ,r n) (v. def.6).
Definicion 1. Sea r = (,)" ')'or) una curva suave orientada, cp E ')'or una
parametrizad6n de la curva ')' y Drp = [a, b]. Si I: C -+ C Y Df :::> ,)"
entonces se denomina integral curoilinea de la funci6n 1 a 10 largo de r el
numero (si existe)
b J I(z) dz = J I(cp(t))cp'(t) dt .
r a
De la regia del cambio de variable en una integral se
deduce que el segundo miembro de laf6rmula (1) no depende de
la elecci6n de la parametrizaci6n cp E ')' or .
En 10 sucesivo consideraremos s610 integrales curvilineas
a 10 largo de curvas suaves de Jordan y curvas suaves a trozos,
sin indicarloen cada caso concreto.
La formula (1) se escribir en otra forma:
(1)
., .. . . .' '. . , ,"
,-.' ..... ,-'
'" . . . ~~=::..;::.::::=:.=.:...::.::::::==:;::.;.;.;;;~ "'.'_ ,._,_. , _._..-.- ·.~.·u._._. -~,~"_,, '''' .. ,.,_ .. n, ,. '"'' T _______ '_',"~~.~ •• ",.~
- , . -.' "," . . ,
, .' ..
La integral curvilinea (1) posee las propiedades lineal y
aditiva debido a que se reduce a una integral de Riemann:
todo 0: E C todo f3 E C
2) si r = (rll f2' ... ,r n) es una curva suave a trozos,
entonces
Si r- = h,1;) es una curva de orientaci6n opuesta
respecto a r = (1,1or), entonces
es decir, al cambiar la orientaci6n de la curva, la integral cambia
de signo.
La integral en la definici6n 1 se denomina integral curoi-
linea de segunda especie, a diferencia de la integral de primera
especie que introducimos a continuaci6n.
Definicion 2. Sea 1 una curva suave simple y sea la funci6n [a, b] -,,!! ) 1
sobre
flU parametrizaci6n. Si f: C ) C Y 1 CD" se denamina integral
curoilfnea de primera espede de Ia funci6n J a 10 largo de Ia curoa 1 el
11timero (si existe) .
b.
fez) Idzl " J(<p(t» I <p' (t) I dt, (6)
a
Del teorema del cambia de variable en una integral definida
se deduce que el segundo miembra de la formula (6) no depende
de la parametrizaci6n de la curva I' Si r = (1"or) es una curva
suave orientada, entonces por definici6n tenemos
I f(z) Idzl = I f(z) Idzl. (7)
r ..,
De la estimaci6n del m6dulo de la integral definida . se
deduce 1a desigualdad
II f(z) dzl ~ Ilf(Z)lldZ
'
, (8)
r r
la cual es valida para toda funci6n continua f.
Consideremos varios ejemplos de calculo de integrales
curvilineas.
Ejemplo 1. Sea f == 1. En este caso, segtm la f6rmula (1), se Hene
b
/ f(z) dz = ! ~'(t) dt = ~(b) - ~(a).
r a
Ejemplo 2. Sea f(z) = z. Utilizando la f6rmula (1), obtenemos
b b
/ f(z)dz = / zdz = / cp(t)~'(t)dt = ~ / d(cp2(t») =.: cp2;b) _ cp2~a).
r r a a
Los ejemplos 1 y 2 muestran que ambas integrales ' no
dependen de la forma exacta de la curva suave orientada r, sino
solamente de sus extremos !p(a) y cp(b).
Si r es una curva suave, orientada y cerrada, entonces
la denominaremos contomo (lazo), y para designar la integral
curvilinea de 1a funci6n ! a 10 largo del contomo r utilizaremos
la notaci6n f f(z) dz.
r
En virtud de que 1a integral depende 5610 de 105 extremos
de la curva obtenemos
f dz = f z dz = O. (9)
r r
" " , ....
.
. , ., ,
Asimismo, se puede comprobar la validez de la igualdad
. n + 1
r
" E"
, , . "LO OLE" , ,LL , = ,aLL" "LL LlIE aLOE'
Problemas resueltos.
... Soluci6n. Es evidente que la eleccion del punto inicial determina
la orientacion de la curva. Las parametrizaciones de las curvas
orientadas son ~(t) - eit , 0 ~ t ~ 7r Y 1jJ(t) .... eit , -7r ~ t ~ 0,
~(O) = 7/J(O) = 1, respectivamente. Segun la definicion se tiene
dz
-=
z
dz
-=
z
E • iLL '" =, '_"LIE
'If •
iett
....... dt = i7r;
eit
-'If •
ie,t
. ~~r dt -- -i1!'.
LIE '"
, , LiE' a E
.... Soludon. Dado que z = x - iy, dz = dx+ i dy, zdz
x dx + y dy + i( -y dx + x dy), tenemos
J Z dz = J x dx + y dy + i J -y dx + x dy =
r r r
=i·2 II dxdy=i·2jDI
D
(hemos utilizado ]a formula de Green), donde IDI es el area de
la figura limitada por lacurva r. ~
.... Soludon. a) Parametricemos la curva l' mediante la funcion
rp(t) = eit , 0 ~ t ~ 7r. De la f6rmula (1) obtenemos
:11' . :II'
I dz - / ieltdt - . / i 3t _ -4- - - .-t- - ~ e '4 dt -~ 1-roe 4 0
4 i 3:11' 4 (~ . V2) = - (e 4 -1) = - -- - 1 + ~- .
3 3 2 2'
b) La funcion rp(t) = ei (t+211'), 0 ~ t ~ 7r es una parametri~
zaci6n de 1'. Por eso
J dz = /11' ie
i
(t+2
lf
) dt =
r ~ 0 ei (!+!)
/
11' i 3t 4 (V2 (V2 ))
=. e '4 dt = 3 T + i T + 1 .
o
. .. .. ,
. , , . , ,
De la propiedad aditiva de la integral curvilfnea se deduce
que la integral
fez) dz
r
a 1'0 largo del contorno no depende de la eleccion del punto inicial'
de la integracion.' ....' " '
OEd • ••• "0,,"
4.2. Homotopia de dos curvas (caminos)
,
Sean 'Yo y 11 dos curvas continuas simples con parametrizaciones
[a, b] 'Po) 101 [a, b] 'P~ ~ 11. Sea Gee un conjunto abierto,
sobre sobre '
donde G J 10, GJ II, Y sea [a, p] C lR un segmento.
"--------------'-'-----------,-----
Definicion 1. Se denomina homotopia (def0171lad6n) de la eurva 10 en la
curva 11 una aplicaci6n continua la, b] x: [a, p] "') C tal que para todo
tEla, b] rp(t, a) = rpo(t) y rp(t,f3) = rpl (t). '
, ,---------------------------
De la definici6n se deduce queV~ E[a,PI la aplicaci6n
t I ) rp (t, {) es una parametrizaci6n de derta curva continua en G.
En la definici6n de homotopia se suele considerar el cua-
drado K = [0,1] x [0, 1] en vez del rectangulo la, b] x [a, p] (eso
, ,
siempre se puede conseguir mediante un cambio de variable apro-
piado). A continuaci6n consideraremos que D",o = DIP' = [0,1L
[a, p]= [0, 1] y~studiaremos la homotopia K .",If!. ) C definida de
forma tal que V t E [0, 1] "
, " rp(t, 0)= rpo(t),
!pet, 1) = !PI (t). '
(1)
. . . .
Supongamos que las curvas 'Yo y 'Yl' tlenen un mismo
punto inicial rpo(O) = epl(O) yun mismo punto final !Po(1) '" epI(1).
En este caso se dice que la aplicaci6n ep es una homotop(a con
extremos comunes sise verifican las condiciones (1) y si V {E [0,1]
!p(0, {) = !PoCO),
" .
!p(l, ~) = !Po(1). , '
(2)
En otras palabras, exigimos que V { E [0,1] la curva 1<
tenga los mismos puntos inidal y final que tienen 10 Y 11. Si
10 Y 11 son curvas cerradas, se habla de una homotopia de la
curva cerrada 10 en la curva cerrada 11 (homotopfa de curvas
cerradas).
En adelante consideraremos, en general, caminos suaves y
suaves a trozos, y sus homotopfas suaves 0 suaves a trozos.
Definici6n 2. Una region DeC se denomina simpiemente conexa SI
toda curva cerrada de D es homotopa a un punto, es dedr, a un camino
constante.
Por tanto, en una region simplemente conexa toda curva
cerrada se puede contraer en un punto.
§ 5. Teorema e integral de Cauchy
5.1. Existencia de una primitiva local
para una funcion analitica
Supongamosque una funcion f: C - C eshi. definida en una
region G. Por la defiirlcion I, p.l.l, la fundon F E A(G)
es una primitiva de la funcion fen 1a region G si para todo
z E G F'(z) = f(z). Con el concepto deprimitiva esta relacionada
la defiriicion de integral de Newton-Leibniz. Ac1aremos cuales
son las condiciones que deben cumplirsepara que una funcion f
definida en la region Gee tenga primitiva.
Cuando se consideran regiones cerradas, a sus fronteras
se les asigna . \IDa orientadon determinada. Diremos que la fron-
tera 8G de la region G se ~corre en sentido positivo si, al
recorrerla, los puntos interiores z E G quedan a su izquierda. En
casocontrario diremos que el sentido del recorrido es negativo.
Supongamos, por ejemplo, que G es un triangulo cerrado del
plano CI con vertices en los puntos a, z, z + D..z. Sea 'PI una
parametrizadon del segmento [a, Z],'P2 una parametrizacion del
. . . ..
. .
•
a)
a
,
o
Z+M. Z
. " Z
Fig. 1
b)
a
o
ZZ+M
2 -
r-
2
z
Z
segmento [z + t:J.z I Z I Y tp3 una parametrizacion del segmento
r a - ~.}._ AzLc9Q los_dominies. corresPol}dientes. Denotemos me-
diante r 11 r21 r3 las orientadones positivas que corresponden
al crecimiento del parametro (fig. 1. a). Denominaremos frontera
orientada del triangulo G al conjunto ordenado
8G = (r11 f21 r3)
(fig. 1. b).
Teorema 1 (condiciones suficientes para la. existencia de una primitiva
en un circulo). Supongamos que J es una funcion continua en un clrculo
K = {z E C; Iz - al < r} y que su integral a 10 largo de Ia frontera -
orientada de un tritfngulo cualquiera G IS K es igual acero, es decir,
J(z) dz o. (1)
8G
Entonces Ia funcion •
F(z) = J«() d(, (2)
[a,z]
donde Ia integracion se efectUa a 10 largo de un segmento rectilineo
[a, z 1 c K, es una primitiva de Ia funcion J en el cirCulo K I es decir,
F es una funcion analitica en K y F'(z)J(z) "if z E K.
------------------------------
-
Demostraci6n. Supongamos que G es un triangulo con vertices
en los puntos a, z, z + Az, donde z EKes un punto arbitrario
y (z + ~z) E K. En este caso G @ K (fig. 1. a). Orientemos
Ia frontera del triangulo en sentido positiv~ (fig. 1. b), el cual
corresp'onde al sentido contrario al de las agujas del reloj. Seglin
las condiciones de partida y la propiedad aditiva de la integral,
tenemos
/ J«() d( =/ J«) d( + J J«) d( + J J«) d( =
~ ~ G G
de donde
=F(z)- F(z + ~z) + / J«() d( :::: 0,
r-
2
F(z + ~z) ~ F(z):::: J J«() d(.
r-2
Consideremos la expresi6n
F(z + ~z) - F(z) '. 1! . .
L\z - J(z):::: ~z (J«() - J(z») de·
r-z
Como la funci6n J es continua, entonces V ~ > 0 3 6 > 0:
IJ«) - 1(z)1 < ~ si lL\zl < 6 y ( E [z, z + 6z]. Teniendo presente
la desigualdad (8), p. 4.1,obtenemos la estimaci6n
I
F(z + Az) - F(z) ,. 1 .
. Az' - J(z) < IAzl . ~IAzl = £,
de donde se deduce que F'(z):::: J(z). ~
" , " .
Teorema 2. Si J E A(D), la integral de J a 10 largo de fa frontera orientada
lJG de un tritingulo cualquiera G @ D es igual a cero.
<4 Demostraci6n. Apliquemos el metodo de reduccion al absurdo.
Supongamos que · el teorema no es. valido. En este caso .existe un
trhlngulo G* @ D tal que
If J(Z)dzl=M, M>O. (3)
8G'
" ,
Si unimos los centros de
los lados del triangulo G* obte-
nemos cuatro triangulos. Oriente-
mos la frontera aG* y las fronteras
aGj (j == 1,2,3,4) de los triangulos •
interiores de tal manera que estas se
recorran en sentido positiv~ (fig. 2).
Entonces, evidentemente, se verifica
la igualdad
4
j=1 8G j
J(z) dz = J(z) dz,
8G'
o
. Fig.2
pues las integrales a 10 largo de las lineas afiadidas se toman dos
veces en sentido contrario y, por tanto, se anulan.
En virtud de la desigualdad (3), entre los triangu!os interio-
reS Gj existe almenos uno (10 denotaremos mediante Gt) tal que
M
J(z) dz ~ . . 4
•
8Gi
Dividamos . nuevamente el triangulo G; en cuatro triangulos .
•
Aplicando los razonamientos anteriores llegamos a que existe al
menos un triangulo Gi tal que
..
OGi
M
j(z) dz .~ '4l' .
Continuando este proceso de partici6n en triangulos in-
teriores obtenemos una sucesioIi de triangulos encajados (G~),
para los cuales se cumplen las desigualdades
. . .
•
. M
j(z)dz . ~ 4n ' (4)
OG~
De acuerdo con el teorema de Cantor (v. sec. 4, cap. 1, t. 5),
existe un punto Zo comlin a todos. los trhingulos. Dado que
Zo E G*, entonces Zo ED. Como la fundon ! es analitica,
entonces \if zED se verifica la igualdad
J(z) == j(zo) + !'(zo) (z - zo) +o:(z) (z - zo), (5)
donde a - 0 cuando z - zo, es dedr, 'It € > 0 3 6(e) > 0:
Jz - Zol < 6 =} la(z)1 < e.
Sea K 6 = {z E C: Iz - Zo 1 < 6}. Para valores suficien-
temente grandes de n E Nse tiene G~ E K 6 • Tomando en
consideradon los ejemplos 1 y 2, p. 4.1, obtenemos
J J(z) dz = J J(zo} dz + J !'(Zo) (z - Zo) dz +
lJG;. EJG;' lJG~
+ J a(z) (z - zo) dz = J a(z) (z - Zo) dz,
, EJG:, lJG;.
de donde se deduce 1a estimad6n
I J J(Z)dZI < eIOG:1 2•
lJG~
Aqui 10G~1 es el perimetro del triangulo G~, ya que Iz - zol <
10G~ I. SegUn el procedimiento realizado, tenemos
1
0G.l = IOG*I.
n 2n I
par consiguiente,
1 f I IOG*12 J(z)dz < e~. (6)
EJG~
Comparando las desigualdades (4) y (6) obtenemos la estimaci6n
M IOG·,2
4n <€~,
de donde resulta la desigualdad M < €IOG*r Por cuanto
e > 0 es arbitrario se obtiene M = o. As} hemos Uegado a una
contradicci6n la cual tiene su origen en la suposici6n de que
f J(z) dz :f- 0; II-
80
De los teoremas 1 y 2 se deduce un corolario que enun-
ciaremos en forma de teorema.
., .. .
. ......
.... , ... ,' .. '
. ..
, . . .
leorema 3. Si una junci6n ! E A(D), entonces en cualquier drculo
Kr :::: {z E C: Iz - zol < r} C D existe su primitiva
F(z) :::: f(C) dC,
[za,zl
dan de la integral se calcula a 10 largo del segmento rectilineo [zo, z] C K r •
...•• ___________ --'--'--______________ ---1
Ahora investiguemos c6mo a partir de las primitivas
locales de una {uncion analitica se. puede formar una primitiva
a 10 largo de una curva dada.
5.2. Primitiva a 10 largo de una curva
Sea f una funci6n definida en una regi6n DeC. Consideremos
una curva continua simple l' C D parametrizada mediante II'
y sea Drp = [a, b] = I. En este caso, / esta definida en todo punto
z:::: !p(t) E "'I, tEl.
Definicion. Una funci6n I .. fJ+ C se denomina primitiva de fa funci6n f
" 10 largo de la curva (camino) l' si se cumplen las condiciones siguientes:
1) <I> es continua en el segmento I;
2) para todo punto to E I existe un entomo Ozo del punto
Zo :::: cp(to) donde la funcion j Hene una primitiva F que satis-
face F(rp(t» <I>(t) 'if t E 0to c I, donde Oto es un entomo del punto
to en una topologia definida en I.
-"-------------------------------,
Nota 1. Si J tiene una primitiva F en todo D, la funoon tl • F(rp(t» es,
I'videntemente, una primitiva de la funcion J a 10 largo de la curva "y. En general,
I'll 1a definici6n de primitiva no se exige que esta exista en toda la region D, sino
No\amente en un entomo de cada punto Zo = cp(to) E "Y •
.. .... _--------------------------_--1
•
Nota 2, Si CP(tl) :::: rp(t2), tl i= t2 , entonces dos primitivas de la funci6n J definidas
l'n los entomos Ot1 Y 0 12 , respectivamente, pueden no coincidir. Sin embargo, das
primitivas de una misma funci6n J definidas en un entomo de un mismo punta
... _----------------------------------
•
••
It'(t 1) = It'(t2) pueden diferir 00]0 en una constante. Esto pone de relieve el hecho
de que una primitiva definida a 10 largo de una curva, vista como una funcion de]
parametro t, puede no ser una flIDdon del pun to z.
Teorema 1. Para toda funci6n f E A(D) Y loda curva continua 'Y C D ia
primitiva de la funci6n f existe y esta definida a excepci6n de una constante.
-41 Demostracion. . Sea · t.p una parametrizaci6n de la curva '"1,
D'{J ::::: la, bJ :::: I. Dividamos el segmento ,1 en n segmentos
II,: ::::: [t/,:, tU de manera tal que dos segmentos contiguos tengan
interseccion no vacia: tk < tk+l < t~, tl = a, t~ ::: b. Por el
teorema de Cantor, la funcion r.p es uniformemente continua en el
segmento I. Por consiguiente, los segmentos II.: se pueden elegir
tan pequeftos como se quiera para que V k ::::: I, n la imagen It'(h)
pertenezca al drculo K~ eDen el cualla funci6n f tiene una
primitiva. La existencia de la primitiva se deduce entonces de la
analiticidad de la funci6n f (v. teorema 3, p.5.1).
La familia de las primitivas definidas en el circulo K{ tiene
la propiedad de queestas difieren una de otra en una constante.
Escojamos una primitiva FI de esta familia y consideremos
la familia de las primitivas definidas en el citculo K 2. Entre
ellas existe una primitiva (la denotaremos mediante F2 ) que
coincide con PI en el conjunto K~ n K~ f- 0. Continuamos
este proceso, eligiendo en cada drculo K~ una primitiva PI.: tal
que FI.: ::::: FI.:-l en el conjunto K~-l n K~. As! c.onstruimos la
primitiva t J--t iP(t) ::::: FI,:(t.p(t», t E Ik (k:::: t n), de la fund6n f
a 10 largo de la curva 'Y. .
Demostremos ahora que la funcion <Pesta definida a
excepcion de una constante.
Sean <PI Y <P2 dos primitivas de la Juncion f a 10 largo
de la curva 'Y y sea ¢(t) = <Pl(t) - <P2(t). Tornemos un punto
arbitrario to E I. En su entomo Oto tenemos 1J;(t) ::::: F(I)(cp(t» -
F(2)(t.p(t», donde F(1) Y p(2) son dos primitivas de la funci6n f
definidas en un entomo del punto Zo ::::: t.p(to). Estas pueden
diferir 5610 en un sumando constante; por tanto, ¢(t) = const
en 0'0' Consiguientemente, la funci6n ¢ esta definida' en el
:. . . f· .
.
. . . ., 'c
······_.· ______ "_ • ...;,,"'_ ... __ .;..;.h_ .... _",,, •. _"'", • .".."._:., ..... ><:"_ ........... _ •••••• ,.~ ........... _ ..... , ••••• ,....,......,..._, '" ., ••• h ... h. , .... ," , •• "n, on,
• • •
eonjunto conexo I y es localmente constante. Pero una fundoncontinua y localmente constante en cada punto de un conjunto
conexo es constante en todo el conjunto. Demostremos esta
afirmadan.
Denotemos mediante E C I el conjunto de puntos para
los cuales 'if;(t) = 'if;(to): E = {tEI: 'if;(t) _. 'if;(to)}. Dado que
to E E, entonces E i- 0. Del hecho de que la fundon 'if; es
localrnente constante se deduce que E es un eonjunto abier-
to en la topologia definidaen I (v. teorema 7, p.6.4, cap. 1,
t. 5). De la coutinuidad de la Cundon 'if; resuita que el eonjun-
to E tambien es cerrado en esa topologia. En efeeto, sea t* un
punto limite del coujunto E. Existe entonees una sueesion (tn )
de puntos de E tal que tn ) t* y 'if;(tn) = 'if; (to), es dedr,
lim 'if;(tn) = 'if;(to). Debido a que la fundan 'if; es continua, en-
n-+oo
tonces lim 'I/1(tn ) = 'I/1(t*). Por consiguiente, 'if;(t*) '¢(to), es
n-1-OO
decir, t* E E. As! pues, el eoujunto E es abierto y eerrado a
la vez en la topologfa en I. De acuerdo con el teorema de la
sec. 3, cap. 2, t. 5, tenemos E = I, 0 bien 'if;(t) == 'I/1(to). Por tanto,
V t E I <PI (t) - I{>z(t) "" const. ....
.. ,~ ... m... • _,.'_. -, . .--.... _ ... h"' ..... .-_L._ .... " ......... _,, ___ ...... =_._ ........ . ,m.
'Icorema 2. Sean I una curva suave a trozos y f una funci6n continua
m "I que tiene una primitiva I{> a 10 largo de I' Entonces
fez) dz = <PCb) - P(a), (1)
r
('S decir, la integral a 10 largo de una curva orientada suave a trozos
•
[' ::::: (rI, f2' ... ,r n) se calcula par media de la f6nnula de Newton~-
I,f'ibniz.
. .
Demostraci6n. 1) Sea r = (l,')'or) una eurva suave orientada.
Sean i.p E. ')'or una parametrizadan diferendable con cClntinuidad
de la curva "I, D", == [a, b], y !.p(a) el origen de la eurva ')', Sup on-
gamos que I esta totalrnente contenida en una region donde la
fund on f tiene una primitiva F. En este caso <pet) = F(!.p(t» + C,
<)'(t) = F'(rp(t)rp'(t) = j(rp(t»cp'(t); por tanto,
b b J I(z) dz = J 1 (lfI(t»)cp'(t) dt = / <)'(t) dt= <)(b) - <)(a).
r a a
n
2) En el caso generaltenemos que 1 = U 1k, r =
k=1
(rIt f 2, ... , f n), fk = (1(1;:) 11~~)) Y rpk E 1'or son funciones di-
ferenciables con contintlidad en los segmentos [ak, bk], [a, b] =
n
U [ab bk]. Por definici6n
k=1
/ I(z) dz = t / I(z) dz.
r k=1 rk
Tomando en consideraci6n 1), obtenemos
/ I(z) dz = t (<)(bk) - <)(ak») = <)(b) - iI>(a),
r k=1
donde <b- es la primitiva de la funci6n 1 a 10 largo de la
curva r. ..
Nota. Con ayuda de la formula de Newton-Leibniz se puede calcular la integral
de una funcion analftica a ]0 largo de cualquier curva continua, pues todafunci6n
anaHtica tiene una primitiva a 10 largo de tal curva.
5.3. Teorema de Cauchy
En este paragrafo demostraremos el teorema integral fundamental
de la teoria de las funciones analiticas.
Teorema 1 (de invariancia de la integral respecto a las homotopfas del
camino deintegraci6n). Si una Jundon I: C - C es analitica en una
region D· Y 10, 11 son dos curvas suaves de D reladonadas mediante una
homotopia con extremos comunes 0 una homotopia de curvas cerradas,
, ' .
. .. ... ..... , ...
.
:! .. U·.'
-.~--------------------------------------------------
l'ntonces es valida la igualdad
•
J(z) dz = J(z) dz, (1)
donde ro = (,0,,8t ), r1 = (,1,1ft ) son curvas orientadas can un pun to
inidal com un.
... Demostraci6n. Sean CPo E ,gr Y CPI E,rr parametrizaciones de
. ~ .
las curvas suaves 10 Y ,1, Y sea K = [0,1] x [0,1] I D una
homotopfa de la curva 'Yo en la curva ,1- En este caso \;/ t E [0, 1]
se tiene cp(t,O) = CPo(t), cp(t, 1) = CPI (t) Y \;/ {E [0, lIla aplicaci6n
t I "I cp(t, n es una parametrizacion de la curva continua ,e en G
(v. p.4.2).
. . .
Si ,0 Y 11 son curvas homotopas con extremos cornunes,
entonces
•
cp(O,~) -- CPo(O) = CPI (0) = a,
cp(l,~) = CPo(l) = CPl (1) = b.
\;/ ~ E [0,1]
Si 'Yo Y,1 son curvas homotopas cerradas (contomos), entonces
\;/ ~ E [0, 1] cp(O,~) _ .. - cp(l, ~).
Supongamos que (Knm)n,m=i,N es una familia de cuadra-
dos que recubren todo el cuadrado K, Y tales que cada uno
de ellos tiene interseccion no vada con los cuadrados contiguos.
Debido a que la funcion cP es uniformemente continua en el
cuadrado K, podemos elegir cuadrados Knm suficientemente
pequenos de forma tal que la imagen cp(Knm ) pertenezca al dr-
cula K~m CD· donde la funcion J Hene una primitiva. Fijemos
un n y procedamos del mismo modo que en la dernostracion del
teorema de existenda de una primitiva a 10 largo de una curva.
Consideremos un conjunto de prirnitivas en el drculo·K~l (como
sabemos, estas difieren una de otra en una constante) y fijemos
•
una de ellas, denohindola con Fn1 • Entre las primitivas definidas
en el drculo K~2 escojamos una (denotemosla mediante Fn2 ) que
sea igual a Fnl en el conjunto·· K~l n K~2 #- 0 _ Aruilogamente
escojamos las primitivas Fn3,"" Fnm. Ahora definamosen el
N
conjunto Kn = U Knm la fundon IlIn mediante la igualdad
m=l
IlIn(t,~) :::: Fnm(cp(t, ~», (t,~) E K nm.
Obviamente, la fundon IlIn es continua en el conjunto Kn yesta
definida a excepdon de una coristante. .
Elijamos la funcion 1lI1(t,{) arbitrariamente, mientras que
la funcion 1lI2(t, {) la escogeremos de tal manera que 1112 :::: 1111 en
Kl n K2 . Tal elecdon es posible debido a quelafuncion 1lI1 -1lI2 es
constante por ser localmente constante y continua en el conjunto
conexo Kl n K 2 • Despues elijamos 1113 de modo que 1113 = 1112 en
X2 n K 3 , etcetera, As! construimos una fund6n continua (t/{) ~
llI(t, {) definida poria igualdad llI(t,~) = IlIn (t, e), (t, {) E K n'
Para un { E [0/1] fijo, la fundon llI(t, {) es una primitiva de
la funci6n ! a 10 largo de la curva "I~ de parametrizaci6n cp(t, e).
Por tanto, segun 11 formula de Newton-Leibniz, obtenemos
/ /(z) dz == @(1, {) - @(O, e). . (2)
t(
Estudiemos dos casos.
1) Supongamos que "10 y "11 tienen extremos comunes.
Eso significa que 'rj {E [0/ 1] cp(O, {) = tpo(O) :::: CPI (0) = at
cp(1, {) = cpo(l) = CPl(l) = b. Por consiguiente,@(O/{) y @(1,{)
son localmente constantes en cada punto { E [0,1], luego son
constantes en el segmento [0, 1]. En efecto, sea (0, {)E Kill.
Entonces ~(O, {) .:::: Fnl(cp(O, {» = Fnl(a) :::: const. De este mo-
do, .4;I(0,{) = const para todos los { tales que (0, {) E K nl.
AnaIogamente se demuestra que @(l, {) es localtrtente constante.
Por consiguiente, ~(O, 0) :::: 4;1(0,1), @(l, 0) :::: @(1, 1) Y segtin la
formula (2) se obtlene
! /(z)dz:::: ! /(z) dz,
fo fr
ro:::: ("!o;"Igr), r1:::: ("Il/"Ifr).
2) Supongamos que las curvas "10 Y "11 son cerradas; es
dedr, 'rj { E [0, 1] cp(O, {) :::: cp(l, {). Al igual que antes, demos-
tramos que la diferencia iI>(l, .{) - 4;1(0/ {)es localmente constante
"." '"
, '
,
en todo, punto e E [0, 1] y, por consiguiente, es constante en el
segmento [0,1]. En particular, ~(1, 1) - ~(O, 1) = ~(1, 0) - ~(O, 0),
esto es, segun la formula (2) se tiene
J(z) dz = J(z) dz.
, " " "'= . •• hh .....
Corolario 1. Si J E A(D)y 'Y es una curva cerrada suave y hom6topa
II cero en Ia region D, entonces
J(z) dz = 0, r = (" 'Yor).
, r
"" "-------------------,---".,--, -------
Demostraci6n. Recordemos que una curva 'Y de pararnetriza-
, , , ,
don ,¢, D1/J = [0,1] es homotopa a cero en la region D si existe
, ,
una aplicacion continua K = [0,1] X [0,11 ~i D que satisface las "
siguientes condiciones
(j'(O, {) " (j'(I, {),
(j'(t,O) , '¢(t),
(j'(t, 1) = const.
De aqui se deduce que existe unacurva cerradasuave 'Y1
, de parametrizadon (j'},D~l': [0,1]' homotopa a la curva 'Y
en D y contenida en derto drculo K' C D. La funcion J tiene
una primitiva F en este clrculo. Por eso la funcion CP, donde
<I>(t) = F«(j'1 (t», es una primitiva de la fundon J a 10 largo de la
curva'Y1 Y se cumple ..
de donde
" <1>(0) ... F«(j'l (0» =F(a),
<1>(1) = F«(j'I(1)} = F(a),
J(z) dz = J(z) dz = F(a) - F(a) = 0,
( ' or) r 1 = 'Y1I 'Yl .
•• ... "" ....... " •• -h .E ....... E. • •• ••
i:.Corolario 2. Sf una fundon J: C -+ C es imaUtica en una region conexa D
y , C D es una curoa suave cerrada arbitraria, entonces
J J(z) dz = 0, r == (1,10£)'
r
• Demostraci6n. La afirmacion es una consecuenda del corolario 1
si se tiene en cuenta que toda curva cerrada definida en una region
simplemente conexa es hom6topa a cero (v. p. 4.2). ~
Nola 1. EI corolario 2 es la formulaci6n ciasica del teorema de Cauchy. Si se exige
ademas que t' sea continua en D y 1 sea una curva suave de Jordan, el teorema
ciasico de Cauchy se demuestra de un modo elemental mediante la f6rmula de
Green.
• Soluci6n. Sea G C <C una region cuya frontera 8G tiene orien·
tacion positiva. En este caso tenemos
J J(z)dz= f udx-vdy+i f vdx+udy=
8G lJG 8G
= f f ( -:: -::) dz dy + if! (:: -:;) dz dy == O.
G G
Aqui hemos utilizado las condiciones de Cauchy-Riemann, va-
lidas para toda funcion analitica J = u + iv. ~
Senalemos que en el teorema 1 y sus corolarios se pueden
considerar tanto curvas suaves como curvas suaves a trozos.
Nota 2. El teorema ciasico de Cauchy se puede formular de otro modo: si una
funci6n 1: C - C es analitica en la adherencia D ::: D U aD, donde D es una
regi6n simplemente conexa y aD es una curva suave a trozos, entonces
/ J(z)dz = O.
aD
Es posible generalizar el teorema de Cauchy. Para esto s610 es necesario exigir
que J E A(D) Y que f sea continua en la adherencia D.
.. - ... ." .
. _----------------------------
Teorema 2 (generallzacl6n del teorema integral de Cauchy a una funci6n
no analltica en el contorno de Integraci6n). Sea D una region limitada por
una curoa cerrada suave a trozos I' Sea f una funcion continua definida
-
('n D y analftica en D. En este caso se verifica la igualdad
f(z) dz = 0, r = (I'Ior)' (3)
r
Demostraci6n. Supongamos inicialmente que I es un contomo
de tipo estrella, es decir, existe un punto Zo E D tal que toda
semirrecta que parte de Zo corta el contomo I en un solo punto
(fig. 3). Por ejemplo, las
froriteras de todos los po-
ligonos convexos (en par-
ticular, de los tritingulos)
0·· de los circulos son de
tipo estrella.
Supongamos que
<p(t):=Zo+A(t), 0=::;;t=::;;21r
es una parametrizacion
del contomo I' Segun las
condiciones de partida la
funcion A tiene una de-
rivada continua a trozos
o F:..------
/
I
/",,----
- _/~ ___ - _--:' '---'---'
r
I
\
\
\
o
\ / ,
....... _-'"/
....... ---_/
•
I
I
J
I
A' (t). La aplicacion de se- Fig. 3
mejanza ( = Zo + pA(t),
z
o < P < I, transforma el contomo orientado r en un contomo r p .
de . igual orientad6n recorrido en el sentido contrario al de las
. .
agujas del reloj (fig. 3). Debido a que el contomo IP pertenece a
la region D, por el teorema integral de Cauchy (corolario 2) se
tiene
f«) d( = f(zo + pA(t»pA'(t) dt = 0,
. .
de donde
211" J f(zo + p.\(t)),\'(t) dt = O.
o
Por consiguiente,
211"
·11 f(z) dzl = If f(zo + .\(t».\'(t) dtl =
r 0
2.
= If (J(zo + .\(t» - f(Zo +p.\(t»).\'(t) dtl ~
o ..
271" .
~ f If(zo + .\(t» - f(zo + p.\(t»II.\'(t)ldt.
o
Conforme al teorema de Cantor, la funcion f es uniformemente
continua en D; por tanto, \1£ > a 3 0 > 0: \I (z' E 15, Z" E 15)
(Iz' - z"l < 6): If(z') - f(ZIl)1 < £.
Sea sup 1'\(t)1 = a y sup 1.\'(t)1 = 13. Entonces se
tE[O,211") tE[O,2x) ·
verifica la desigualdad
si
I(zo+ .\(t» - (zo +p.\(t»1 ~ (1- p)a < 0
6
1- P < -; . a
por consiguiente
II f(z) dzl < £ 13· 21r.
r
Como e > a es arbitrario, de esta expresi6n se deduce que
I f(z) dz = O.
r
Supongamos que 'Y es una curva cerrada st,lave a trozos.
Si la curva tiene puntas de retorno, entonces eliminamos de la re-
gion D los circulos de radio pequeno £ con centros en esos puntos
.
-"., .. '-: .
, ' .... ",.
. . . . . . ,
para que la frontera de
la regi6n restante Dc no
los contenga (fig. 4). Divi-
damos DE mediante line- .
as Ik (k = 1, m) de forma
tal que las regiones obteni-
das Dk queden limitadas
por curvas de tipo estre-
. I .. 10'
11a Ik (k = 1, m).
Conforme a 10 de- .
mostrado anteriormente
J(z)dz =0,
•
7
- ..-
".-
/'"
Dj . //D2
I .
Fig. 4
r~= (I~'I~or), k;="'"l,-m-, '. i
z
donde r~ tienen orientadon positiva (fig . .4). Debido a que las
partes comunes de las fronteras de las regiones contiguas se
recorren dos veces en sentidos contrarios,entonces
•
m
.. .
J(z) dz = , J(z) dz = 0, . r E ,," (10 I~r)f
,k=l r, f,
~ .
donde r E es la fronteraorientada positivamente de la region Dc'
Por cuanto 1 y I; difieren solo en un mimero finito de arcos
pequenos y la fundon· J es acotada, su integral I a 10 largo de
esos arcos satisface la desigwildad
III < 211" M f:,
donde M > 0 es una constante.Asi pues, ladiferencia entre la
integral a 10 largo de r y Iii integral a 10 largo de r e puede
. .
hacerse tan pequena como se quiera, y como esta ultima integral
es igual acero, entonces
•
J(z) dz ;= O. ...
r
., , .FE =,., h.
Del teorema de Cauchy para una region conexa es faeil
obtener el teorema de existeneia de la primitiva de una funeion
analitica definida en una region simplemente conexa. Este teorema
tiene caracter global.
Teorema 3. To.da fund6n f analftica en una regi6n simpiemente conexa
DeC, tiene una primitiva en D.
<III Demostracion. Si la fundon f es analitica en la region simple-
mente conexa D, entonces, segun el corolario 2 del teorema I, para
todas las curvas simples y suaves (de Jordan) 1 que pertenecen
a esta region y tienen extremos comunes, la integral J f(z) dz,
r
donde r = (1, 1or),tiene un mismo valor. En efecto, sean r 1 Y r 2
curvas orientadas suaves 0 suaves a trozos, con extremos en los
puntos Zo Y z Y pertenecientes a la region D (fig. 5).
Consideremos el
conjunto ordenado r =
(r1, ri") que es una cur-
va cerrada suave a tro-
zos orientada positiva-
mente. En este caso te-
nemos
J fez) dz =
f
= I f(z)dz+
+ J fez) dz = 0,
r;
de donde
Fig.S
J f(z) dz = - J fez) dz = J f(z) dz.
fl f2 fz
Por tanto, en el caso considerado la integral curvilinea se puede
denotar del mismo modo que la integral de Newton Leibniz
z
f(t;) de·
zo •
Sea "I una curva suave 0 suave a trozos con a E D como
su punto inicial y un punto arbitrario zED como su punto final.
Entonces podemos definir en la region D una funcion F(z) del
modo siguiente: -
z
F(z) , J(t;) de·
a
Sea (z + ~z) E D. Entonces tenemos
F(z + ~z) - F(z) 1
---:----'- - fez) = ~'--
D..z D..z
(f«() - J(z» de· (4)
z
Dado que la integral no depende de la eleccion del
camino entre los puntos z yz + D..z, consideramos que el
camino en el segundo miembro de (4) es un segmento rectilineo.
Debido a que la funcion f es continua en la region D, entonces
'Ve > 03 6(e) > 0: lD..zl < 6 => If(z+Llz)- f(z)1 < e. Estimando
la integral en la igualdad (4), para lD..zl < 6 obtenemos
F(z + ~z) - F(z) 1
,.. ........ . "... - fez) < elD..zl "'- e.
Llz lD..zl
Por consiguiente, 'V zED F'(z) = J(z). ...
" • .., = _EO , ......
Senalemos que en el teorema c1asico de Cauchy es imp or-
tante que la region sea simplemente conexa, pues en una region
multiplemente conexa no toda curva es homotopa a cero. A su vez,
la integral de una funcion analitica a 10 largo de una curva no ho-
motopa a cero puede no ser igual a cera. Consideremos un ejemplo.
1 .
Sea D = {z E C: 1 < Izl < 2} Y sea fez) = ;. ObVIa-
mente, J E A(D). Tomemos una curva cerrada "I (una circunfe-
rencia) de parametrizacion <pet) = peit , 0 ~ t ~ 211", 1 < p < 2.
Tenemos 'Y CD. Consideremos la integral
J J(z) dz,
r
donde r = (" 'Yor)es una circunferencia de radio p, con centro
en el origen de coordenadas y orientada en el sentido contrario al
de las agujas del reloj. Segiin la definicion de integral curviHnea
de segunda especie a 10 largo de la curva suave r I teneinos
J J21f' J21f ipe
it dt
J(z) dz= J(rp(t))(p' (t) dt = peit = 27ri # O.
roo
No obstante, el te-
orema chlsico de Cauchy
puede ser generalizado tam-
bien al caso deuna region
multiplemente conexa. Ana-
licemos esta generaHzaci6n
con mas detalle.
Sea DC <C una re-
gion (n + l)-conexa limita-
da por las curvas suaves 0
suaves a trozos 10 (su fron-
tera exterior) y 11, 12, ... ,
In (sus fronteras interiores)
(fig. 6). Sea f una fundon
Fig. 6 analitica en la regi6n cerra-
da D y sean ro = (10, 18r) ,
r 1 = (rl,/fr), "0' rn = (In,1'~r) curvas orientadas. Convenga-
mos que al recorrer las curvas indicadas, la region fj siempre
queda a la izquierda.
Teorema 4. Si se verifican todas las condiciones enumeradas, Se cumple la
igualdad
/ J(z) dz= J J(z) dz +t / J(z) dz = 0,
OD r k=l r- ' . o ~
.' .. -------------------------
riot/de aD es la frontera total de la region D, orlentada positivamente y
I'Ompuesta de los contomos ra, r l , ... , rn .
.......... _----------------------------'---
... Demostraci6n. Mediante los cortes. [,~, r~' ... 'r~ transformamos
la region D en una region simplemente conexa D'. Denotemos .
con r' la frontera total orientada positivamente de la region D' .
Dado que la region D' eS,simplemente conexa y f es analitica en
la region cerrada 15', segun el teorema de Cauchy se tiene
. f(z) dz - O.
,
f'
Por cuanto, al calcular las integrales, ambos lados de los
cortes rL r~' ... ,"Y~ se recorren dos veces en sentidos contrarios,
entonces, en virtud de las propiedades de la integral curvilinea
de segunda especie, obtenemos
n
f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz = 0
. .
f' r k=l r-o k
(pues en la suma figuran las integrales a 10 largo de ambos lados
de los cortes y estas se eliminan mutuamente). ' ..
• ' .. Oh ... == --'","
El teorema 4 sigue siendo valido si la funcion f es analftica
en la region D y continua en la adherencia Ii.
. ,
5.4. Formula integral de Cauchy
La formula integral de Cauchy permite cakular los valores de una
funcionanaHtica definida en· una region a partir de los valores
que toma en la frontera de dicha region .
. ~----------------------------,
Teorema. Sea D @ (C una region de frantera aD orientada posiHvamente
y compuesta de una curva 0 de un con junto jinitode curvas suaves a '. -trozos. Consideremos una Jundon f analitica en la adherenda D. Entonces
V zED se verifica fa igualdad
1
f(z) = 2 .
. 1U
8D
f() d(.
(-z
(1)
.... Demostraci6n. Sea zED un
punto cualquiera. Definamos
Kp = {z' ED: Iz' - zl < p} (5 D
Y cOIlSideremos el conjunto
Dp = D \ Kp (fig. 7).
Como la funci6n F«() =
!«() es anaHtica en la adhew
(-z
rencia D p' aplicando el teorerna
de Cauchy 4, p. 5.3, obtenemos
J F«()d( = 0,
IJDp
de donde J F«() d( - 1 F«() d( = 0,
aD .aKp
'r.,
Fig. 7
donde 8Kp es la frontera orientada positivarnente del drculo Kp.
As! obtenemos que
1 !«() d( = 1 I«() de· (-z (-z (2)
8D 8Kp
Hagamos p -. 0 en la igualdad (2) teniendo en cuenta
que su primer rniembro no depende de p. Escribamos el segundo
rniernbro de la igualdad (2) en la forma
J f«) d( = !(z) J ~ + 1 !(() - I(z) d(. . (-z (-z (-z
IJKp IJKp IJKp
Cambiando de variable ( - z = peit , 0 ~ t ~ 211", obtenernos
1.·. f«) _ 1211" ipe
it dt j2I1"i(J(peit +z) - !(z»)peit _
-de -!(z) 't + . 't dt-
(- z pel pel
IJKp 0 0
211'
= 211"if(z) + i 1 (J(p eit + z) - f(z») dt.
o
,
, , ,
, "
'-, ,-. . .. . ..
Como la funci6n analitica J es continua, entonces 'r/ e > 0 ;3 0 > 0:
l.6.zl < 0::::> IJ(z + .6.z) - J(z)1 < e. Tomando p < 6 llegamos.a la
estimacion
, 0 , 0
Como e > 0 es arbitrario, entonces lim J«() - f(z)d( "0.
(-z , p .... O
{)K.p
Asi pues, finalmente obtenemos
!«() d( = lim
(- z p ..... O
J«() .
/ .. "' d( = 2'n J(z),
~-z
{)D {JKp
de donde resulta la formula (1).
""hOE "mm" ,
Corolario (del valor medio). Sea luna funcion analitica en un circulo
cerra do KR = {z E C: Iz - zol ~ R}. Entonces es valida la igualdad ,"
1
J(zo) = .. ,
211'
o
't ! (zo + Re' ) dt, (3)
es decir, el valor de la funci6n f en el centro del circulo es igual a la media
aritmetica de sus valores en fa circunferencia.
,._----------------------------
"
".... Demostraci6n. Segun la formula (1) tenemos
1 J«)
!(zo) = =. .. , , de·
2n (-z
" 8Kn
Cambiando de variable (= Zo + R eit , 0 :s;; t ~ 211", llegamos a
"
1
!(Zo) - -=, •
21rt
1
= ---,
o
211"' •
-t R edi dt
J(zo + R e' )R eit' =
o
-t ! (zo + R e' ) dt.
• ... _co .,m_'" , , , n. "m.
•
La integral en el segundo miembro de la igualdad (1) se
conoce con el nombre de integral de Cauchy.
Recordemos allector que la orientaci6n positiva de un cori-
tomo corresponde al sentido contrario al del movimiento de las
agujas del reloj. Por consiguiente, si la frontera orientada positiva-
mente de una regi6n esta compuesta de varios contomos, el contor-
no exterior se recorre en el sentido contra rio al de las agujas del re-
loj y los contomos interiores se recorren en el sentido de las agujas
del reloj. Este hecho se tuvo en cuenta en la demostraci6n del teore-
rna 4, p. 5.3, Y en la del teorema de Cauchy del presente paragrafo.
I Problemas resueltos.
-4 Soluci6n. Sean rj :::;::: (Ii' 'Y';r) las fronteras orientadaspositi-
va mente de circunferencias de radio p y centr()s en lospuntos
-1, 1, -i, i (las circunferencias no se cortan). Aplicando la f6r-
mula (1) obtenemos:
J z4d~1 :::;:::
r
J, , ,«z -1)(z2 + 1») -1 J' «z +1)(z2 + 1)r
1
, '
= dz+ dz+
z+l , z-l
r) r2
, ' ' -1 " -1
! «Z2 - l)(z - i») J «Z2 - l)(z + i») + . ~+ ' . ~:::;::: z+~ z-~
r3 r4 '
= 2n - - + - + - - - :::;::: O. .( 1 1 1 1 ) '
4 4 4i 4i
. : . . ~. '.
•
Soluci6n .. Parametricemos la circunferencia , mediante z = riip,
o ~ tp ~ 211". Entonces
i dz . ir dz .
- .... - dtp, Idzl = r dtp = - ...... ~ ,
z z .
•
dz = ir e1 'P dtp,
y la integral I se reduce a una integral de segunda espede a
10 largo del eontomo r = (" ,or) orientado positivamente (en el
sentido contrarioal de las agujas del relo;):
/ dz. dz
7 , I = -ir " .. n = -zr
zlz -a12 z(z - a)(z' - a)
r r
dz • ::;:;: -zr EO
z(z -a)(i .... a)·
r
Dado que z = r2 z -I, entonces
ir dz
I = hEa. -a r2 .
r (z - a) z - ~.
a
- .
--
•
Si el contomo r abarea el punto a, segun la f6rmula de Cauchy
(1) obtenemos
211"r
1=---a
. 2
r a - ., -a
,
-1
(
2 2)-1 . ( 2 2)-1 = -27rr lal - r = 27rr r - lal ..
. r2
Si lal > r,el eontomo Tabarca el punto 'iL' y en virtud de la
f6rmula (1) hallamos
• •
211" r r2
1= - - a - -a a
Estas dos formulas pueden unirse, resultando
. . 1
1= 27rrllaf - r21- .
_CChO_' • hE • LE' ... , '''' ".. " En • "'''_=
•
•
"::"
~ Solucion. Dado que la funcion f(z) = z sen z pertenece al
conjunto A(C), entonces en cualquier regi6n simplemente conexa
que contenga a la curva 1, la fund6n f tiene primitiva y esta
tiene la forma F(z) = -z cos z + sen z.
11' ·t
Representemos la curva r en forma parametrica: Y' = "2e l ,
11' . 11'
-11" ~ t ~ O. Entonces su punto inicial es "2e -l'Jr = -"2 y su punto
11'·0 11'
final es Ze l ="2'
Aplicando la formula de Newton-Leibniz, obtenemos
I
Z=7r/2
I=(-zcosz+senz) · =2.
z=-1f/2
~ Soluci6n. Necesidad. Supongamos que la funcion f tiene una
primitiva en la regi6n D . En este caso
J f(z) dz = 0, r = ('Y, 'Yoc), (2)
r
donde 'Y C D es una curva cerrada arbitraria suave a trozos.
,
,
,
,
,
- , ,
,
Para el valor 1 ~ k ~ m - 1 dado escojamos una curva
cerrada suave a 'trozos 'Y de forma tal que la fundon f sea
analitica en una region doblemente conexa de frontera r u r;;
(0 bien r- u r) orientada positivamente. Entonces, de acuerdo
con el teorema de Cauchy para regiones multiplemente conexas,
tenemos
f(z) dz = O.
rk
Sufidenda. Para toda curva cerrada orientada r :..:.; ('Y, 'Yor),
'Y C D, la igualdad (2) se deduce de las igualdades (1) y
del teorema de Cauchy para regiones simple 0 nll.iltiplemente
conexas. ~
... Soluci6n. Aplicando el teorema del valor medio se obtiene
R 2:rr
•
I = P dp f (pe 11O ) dtp =
" "' "',·m ....... =, .. =, ..
§ 6. Integral tipo Cauchy
, En lateoria de las funciones de variable compleja desempefta un
papel muy hnportante la generalizacion de la integral de Cauchy,
conocida como integral tipo Cauchy.
6.1. Definicion y propiedad fundamental
de la integral tipo Cauchy
donde r = (f'lor) es una curva orientada suave 0 suave a trozos
y f es una £unci6n continua V z E I' Si I es una cueva rectificable,
exigimos que exista la suma de f en I (una curva I se denomina
rectificable si su parametrizacion rp es una funcion de variacion
acotada en el segmento D", = [a, bJ).
En caso de que la cueva I sea cerrada y f sea una funcion
analitica en la regi6n cerrada lirnitada por 'lia integral tipo
Cauchy coincide con la integral de Cauchy, es decir,
F(z) = fez).
Por consiguiente; la integral de Cauchy es un caso particular de
la integral tipo Cauchy.
Enunciemos la propiedad principal de la integral tipo
Cauchy en forma de teorema.
Teorema. La integral tipo Cauchy tiene derivadas de cualquier orden en
todo punta z E C que no pertenece a lacurva I, y estas derivadas se
detenninan par media de la f6nnula
F(n)(z) = ~ J f«() d( (n E N)
21ri «( - Z)n+l (2)
r
(es dedy, las derivadas se obtienen mediante la diferendad6n fonnal bajo el
signa integral de la f6nnula (1),
.. Demostraci6n. Apliquemos el metodo de induccion matematica.
Sea z E C,z f/:. " un punto · arbitrario. Demostremos que
F' (z) existe y se calcula mediante la formula (2) para n . =. 1.
. . ..
• . ... .. ..
. .
•• ......... • .................... " ••• OF· ........ ,,"''" ... "" .. , ......................... "
. ..
Examinemos 1[1 cxprcsi(m
.
F(z + Az) - F(z)
. --
Az
1 1 1 1
- f(O d( == ..... ~ hO_.r •• --
211"i Az (- z - D.z (-z
r
1 1 !(Ob.z d(
- -- --
211"i llz « - z - 6.z)« - z)
r
1 !(O d(
- " "" • "0 - -211"i « - z)« - z - Az)
r
Estimemos el modulo de la diferencia
F(z + Az) - F(z) 1 !(O d(
- 0 0 "
"=0,,. =0 .. ___ "mm_ -
6.z 211"i « - Z)2 -
r
!(O
1 1
_______ ... 0
00
0-
« - z)« - z - 6.z) «( - z)2
d( ==
!«) d( .
o - 0""0 _,.,m ...... _.
« -z)2« - z - 6.z) -
Escojamos l6.zl tan pequeno que (z + D.z) rt. / _ Existen,
evidentemente, dos mlmeros Po > 0 Y M> 0 tales que
ph, z)· inf I( - zl ) Po,
CE,.,
p(/, z + 6.z) --, inf I( - z - 6.z I ) Po,
(E7
I!(OI < M V( E /_
En este caso, V £ > 0 es justa la estimacion
F(z + 6.z) - F(z) 1
-
r
. !«) d(
« - z)2
·2 3
11" Po .
si l6.zl < -iii' donde L es la longitud de la curva /.
De esta manera,
I 1 J I«)
F (z) = 211'i « _ z)Z d(.
r
Supongamos ahora que 1a afirmaci6n es valida para n = k, Y de-
mostremos que esto implica su validez para n = k + 1. Tenemos:
F(k)(Z+~z)-F{k)(z)
AZ
= 21r~~Z J 1(') ( « _ z _l~Z)k+l - « _ :)k+l ) d( =
r
k! J « _z)k+l_« -z-~zl+1
= 211'iAZ 1(0 «( _Z_~Z)k+l« _z}k+l d(=
r
Hl
L:(-ly+1Cl+1 « _z)k+l- j Azj-l
k! J j=l
= 21ri 1«)--«-_-Z-_-A-Z-)k-:-+-l(-(-_-z-=-)1c-+l-- d(=
r
Ie
L:(-lyct~i« _z)k-j ~zj
k! J j=o
= 211'i I «) -( ,-_-z-')k:--+"'-l (-( _-. -z --A-Z )"'=""k+--'-l- d( .
r
Estimemos la expresi6n
I
F(k)(Z + Az) - F(k)(z) _ (k + I)! J f«) d( I =
. Az 2'J1'i « - z)k+2
r
........ ,,' ""
--
--
k!
k!
211"i
r
k!
211"i
r
j=O
.;.,. .. __ .. , _. -, _. ----:--::---------:---:-- -
( - Z}k+Z« - Z - 6.Z)k+l J(t;,)
(k + 1)« - z - 6.Z}k+l
- ..... "."." , " d( = « - Z}k+Z( - Z - 6.Z)k+l
J(t;,)
((k + 1) ((( - z}k+l - ( - z - Llz)k+1))
~"~_'_OO~'_"_"'----:--'::--____ ~~~_~' +
( - Z)k+2(( - Z - 6.Z}k+l .
k
k+1
. (k+1) (_ly+IC~+1(_Z)k+1-jLlzj
. j=l
_. __ • ' __ 00_" ._, _, :-:,::"' ~ ___ -;--::--_ +
( - Z}k+2( - Z _~z)k+l J(()
:...-
(-1Y C~1~(( - z)k+l-j 6.zi
. j~l
+ ', .... ,. .. '. d( < -,.oo,'''' " (( - z)k+2(( - z - 6.z)k+1
k!L l6.zlM N
< ==
211"p~k+3
t
"":7 BI6.zl < t si l6.zl < B'
donde N es una constante que s6lo depende de k y Po. As! pues,
la f6rmula (2) es valida para n = k + 1 y, por tanto, 'if n E N. ...
• ",. , " .• ," " ,_. __ E E, • 'h._Ea. , n. • '". ,. • "
,
Corolario. Una funci6n / analitica en UllQ region D C <C time derivadas
de cualquier orden /(n)(z) "t zED.
.... Demostraci6n. Sea Zo E D un punto arbitrario. Consideremos
su 6-entomo K6 = {z E D: Iz - zol < 6} ~ D. Segun la formula
integral de Cauchy, . tenemos
f(z) = ~ / !(() d( "t z E K6.
211''& .. - Z
IJKb
Ya que la integral de Cauchy es un caso particular de la
integral tipo Cauchy, la funcion / tiene derivadas de cualquier
orden en el punto zoo Como Zo E D es un punto arbitrario,
entonces V (z E D, n E N) existe jCn)(z). ~
Este corolario se puede enundar brevemente en la forma
/ E A(D) =? V (z E D, n E N) 3 /(n)(z) A J'n\z) E A(D).
Examinemos algunas consecuencias directas de 1a diferen-
dabilidad infinita de lasfunciones analiticas.
6.2. Caracter annonko de las partes real
e imaginaria de una funcion analitica.
Obtenci6n de una funcion anaHtica
a partir de su parte real (imaginaria)
Definicion. Una funcion dos veces diferenciable u: m.Z --t IR definida en
una regi6n D se denomina ann6nica en D si en dicha region verifica la
ecuaci6n diferencial de Laplace
82u 82u
~u = 8x2 + 8y2 = O. (1)
. ~ rf
E1 operador diferencia1 D. = /)x2 + {) 2 se llama operador
de Laplace. Y
,
,
,
• ,
,
, , ,
;::'
~' .
,
• ,
(
f ..
'i .
j":,
" •
" , ,-. , •
• ,
,
,
,
, .:.:",.,
, ,
Supongamos que! = u + iv, ! E A(D) Y D (S C es una
region simplemente conexa. De la diferendabilidad infinita de la
fundon J se deduce que las funciones u y v tienen derivadas
parciales de cualquier orden en cada punto de la regi6n D.
Escribamos las condiciones de Cauchy Riemann
, au av au ' ov -- -~-ox - ay' ay - ax . (2)
, Diferendando la primera igualdad de (2) respecto a x, la
segunda respecto a . y y sumando los resultados (recuerdese que
a2v . a2v
.... , " .. = ""'" ,), obtenemos ax ay ayax
02U a2u
au == ox2 + oy2 = o.
,La igualdad av = 0 se obtiene amllogamente. Por consiguiente,
la parte real 1£ y la parte imaginariav de la fundon J anaHtica
en la region D son funciones armonicas. La fundon v se suele
denominar alm6nicamente conjugada de la funcion u.
Supongamos que en una regi6n D esta definida una fun..,
don armonica u. Hallemos la fundon v armonicamente conjugada
de u.A partir de las condiciones (2) obtenemos .
de donde
av Bv au au
dv ..,.., ",·,·dx + .n -dy - dx + dy, ox ay ay ax
(Z,y)
v(x, y) .. ,,'
(Zo, Yo)
au au
- .- dx + "" "'dy + C, ay ,ax
C = const, , ' (xo, Yo) E D, C E JR. '
, "
(3)
La expresion subintegral es una diferencial total, por 10 que
la integral no depende de la eleccion del camino de integraci6n.
De esta manera, toda funci6nanaHtica J en una regi6n
simplemente conexa D queda determinada por su parte real
(a excepci6n de una constante aditiva iC) mediante la f6rmula
(Z,lI)
J au flu J(z) = u(x, y) + i --dx + - dy + ie. ay ax
A su vez, la f6rmula
(Z,/I)
J {)v {)v . f(z) = -dx - -dy + C + ~v(x, y) . ay ax
(ZO, 110)
(4)
(5)
permite reconstruir la fund6n analftica I (a excepci6n de una
constantereal aditiva arbitraria C) utilizando su parte imaginaria.
6.3. Teoremas de Liouville
y de Morera
Teorema 1 (de Liouville). Si una fundon I es anaUtica en todo el plano C
y es acotada, entonces la misma es constante.
... Demostraci6n. Segtin las condiciones del teorema tenemos que
"1/ z E C I/(z)1 ~ M = const. Tomernos un punto arbitrario
Zo E C y considerem05 el circulo KR == {z E C: Izl < R}, donde
R > Izol. Utilizando la f6rmula para la derivada de la integral
de Cauchy, obtenemos
I 1 J I (Zo) == 27fi
8KR
I«() d( ==
«( - z)2
1 J2l!' i/(Reit)Reit
== -. 2 dt,
27ft 0 (Re it - Zo)
de donde, para valores de R sufidentemente grandes y "1/ c > 0,
resulta la estimaci6n
I 1 MR27r .
If (Zo)1 ~ 21r (R _ IZoi)2 < e.
Como e > 0 es arbitrario, entonces !'(zo) == 0, y como Zo E C es
un punto arbitrarlo, concluimos que f(z) ~ const. ..
F: r;;
•
·
•
..
. . ..
1,orema 2 (de Morera). Si una funci6n 1 es conHnua en una region. IJ C C Y su integral a 10 largo de la jrontera orientada f)G de cualquier
C,' _
trldtlgulo G @ D es igual a cera, entonces 1 E A(D) . .. • ,
~ ...... --------------.,--------------.. . ....
.. Demostraci6n. Tomemos un punto Zo E D arbitrario y consi-'
deremos el drculo Kzo= {z E C: Iz - zol < r} C D. Segun el
teorema I, p. 5~1, la fund6n
F(z) = I«) d(
(Zoo z I
es una primitiva de la fund6n 1 en el drculo K Zo' es decir,
'if z E Kzo F'(z) -:- I(z). De este hecho se deduce que 1 E A{Kzo)
y, por" consiguiente, 1 E A(D) en virtud de la arbitrarledad
de Kzo. ...
" z." , E.
6.4. Valor principal y valores li'mites
de la integral tipo Cauchy
De acuerdo con el teorema del p. 6.1, la integral tipo Cauchy
F(z) = __ I . ,I{9 d(, r:;::: (1,1or), .. (1)
2n (- z
r
(J es una fund6n continua y r una curva suave 0 suave a trozos
orientada positivamente) es una funci6n analitica en todo punto
z E <c que no pertenezca a la curva 1.
La funci6n (I ) 1 «) se denomina densidad de Cauchy y
1 ..
la funci6n ( I -) ( , n«cleo de Cauchy. Si z E 1, la integral
-z
en el segundo miembro de (1) no existe en el sentido coml"ln;
sin embargo, se Ie puede atribuir derto sentido si imponemos
restricciones complementarias a la densidad I .
.. Supongamos que 1 es una curva suave cerrada de Jordan y
que <0 E 1. Consideremos Le = {z E C: Iz - <01 = e}, donde
e > 0 es un mimero arbitrario tan pequeno como se quiera,
.el cual no supera el radio estandar de la curva 1, (Recorde-
mas que las curvas cerradas suaves de Jordan "'I tienen una
propiedad importante: 'V, 3 60 > 0 tal que V Zo E 'Y 1a cir-
cunfetencia de radio 6 < 60 y centro en Zo corta la curti'a 'Y
exactamente dos veces; el numero 60 se denomina radio estandar
de la curoa 'Y.)
Denotemos mediante rtla parte de la CUl-va 'Yque se
encuentra fuera de 1a circunferenda L •. Es evidente que la integral
(2)
no existe en el sentido comt1n.
Definici6n. Ellimite lim F.«o) (si existe) se denornina valor principal de
.-->+0
la integral tipo Cauchy en el punto (0 y se denota mediante F«o).
La notaci6n del va-
lor principal de la integral .
tipo Cauchy coincide con la
notacion de la Integral tipo
Cauchy, pues, como regIa,
si la integral no existe en el
sentido comlin, se considera
su valor principal.
Para que 1a . integral ·
tipo Cauchy exista en el sen-
tido del valor principal es
suficiente que V (oE , la
funci6n J cumpla 1a condi-
cion de HOlder con exponen-
te 0 < h ~ 1 Y coristante M:
o
I
f
\
\
' .....
Fig. 8
---
(3M>O):V«lE'Y,(2E,) IJKd-J«2)I~MKl-(2Ih. (3)
En efecto, escribamos FiKo) Em 1a forma
F.«o) = ~ J l(Q -/«0) d( + /«~) 1 ~ ..
. 2n ( - (0 2'K~ . (-:- (0
f, . f,
r
" ,., , ,
. '.' .
Teniendo en cuenta la condici6n (3) es fadl demostrarla existencia
de la integral impropia uniformemente convergente
1 f«) ~ 1«0) . 1
=" ... .. , dt" 11m --~ --..
{ - {o ' 0-+0 211"i
"E' ,n.
r,
Supongamos que' L~ es la parte de la circunferencia L<
que esta fuera de la region D limitada por la curva 'Y. Sea T la
tangente a 'Y en el punto (o (fig. 8). Entonces,
lim
0-+0
d{ = lim
( - (0 0-+0
d{
'" .. -
(- (0
L' <
d(
.. , __ ,m •• , --
(- (0
'P2 't
d( eel
= 211"i - lim ,'," " ,= 211"i - lim i ,dt ==,
<-+0 ( - (0 0-+0 celt
L~ 'PI
= 211'i - i lim(cp2 - CPt> = 21C'i - 1I'i = 7ri,
, 0-+0
As! pues,
1«) - 1«0) d( + 1«0).
(- (0 2
Por consiguiente, el valor principal de la integral tipo Cauchy se
determina por medio de la formula
1«0) 1
F«o)'= ",. "" + '
2 27ri
1«) - /«(0)
m_ ... "" .. " " "" d( I
( - (0" , "
" En
Una curva cerrada de Jordan 'Y divide todo el plano C en
dos regiones: una finita D+ y otta D- que contiene el punto del
infinito. En cada una de estas regiones la integral tipo Cauchy
detennma una funct6n analitica. Sea (0 E 'Y un punto arbitrario.
Surge la cuesti6n sobre la existencia de los lfmites
lim F(z) y
z-+(u
zED+
lim F(z}.
z-+(o '
zED-
Si estos limites existen se denominan, respectivamente, valor li-
mite de la integral tipo Cauchy en el punto (0 por la izqtderda
(derecha) de la curoa 'Y y se denotan mediante P+«o) y P-«o).
Si dichos valores existieran seria muyutil establ~cer una relaci6n
entre ellos y el valor principal de la integral tipo Cauchy P«o).
H;allaremos esta relaci6n suponiendo que la fund6n J es analitica
en la curva 'Y.
Elijamos e > 0 tan pequeno que el cfrculo K 0 = {( E C:
I( - (01 ~ e} secontenga en la region de analiticidad de J.
Mediante Of denotemos la parte de la cuI'va 'Y que pertenece al
circulo K o. Tenemos:
P+«o) = lim P(z) = lim ~ J J«() d( =
z--(o z .... (o 21r~ ( - Z
zED+ z ED+ r
= lim (_1 J. J«() d( + _1 J f(() de) =
z .... (o 211"i ( - z 21ri ( - z
zED+ r, 6.
= lim (_1 I f«) d( + _1 I f«) de) =
%--(0 27ri ( - z 27ri ( - Z
zED+ r. L~
= ~ (/ f«() d( + I f«() de)
27rl ( - (0 . (- (0
r. L~
(en cada una de las integrates hemos pasado al limite bajo el
signo integratpues las curvas a 10 largo de las cuales se efectua la
integracion no contienen el punto (0). Por tanto, para todo e > 0
tan pequeno como se quiera es valida la igualdad
Entonces podemos pasar en esta igualdad allimite cuando e -.+ 0,
obteniendo
. 1 J f«) hm-
2
· . -;;--; d( = P«o),
0 .... 0 1r~ ') - ~o
r,
, . .. "
. 1 hm _._-
0 .... 0 211"i
r~
= lim
0 .... 0
-
1(0 .. ". d( =
(- (0
1
.
27fi
, " -
2 '
puesto que
lim
0 .... 0
d( .... 7ri lim
(- (0 ' e .... O
r~
Asi pues,
y de manera amiloga
d(
EO .
( -(0
r~
1(0 - I.~~o) d( = O.
(- (0 .
- f(o)
F «o) ~ - .. - + F«o}.
2
-
Para demostrar la ultima igualdad, en vez de L~ . hay
que tomar L~ I que es la parte de la circunferencia Lo contenida
en D+. Entonces .
1 lim _ .... -
e ..... O 21ri
L" •
d( .
(- (0
= -7ft.
En los libros de texto, las f6rmulas
•
se conocen con el nombre de f617nulas de Sojotski, pues fueron
obtenidas en el ano 1873 por el matematico ruso Iu. V. Sojots-
ki (1842-1927). Las f6nnulas de Sojotski siguen siendo validas
bajo condiciones mas .generales que las impuestas· a la fun-
ci6n ,.
6.5. F6rmulas de Schwarz y de Poisson
't Sea 'YR :::: {( E c: 1(1 = R}, ( = Re I , 0 ~ t ~ 21r, Y sea Uo uria
funci6n definida en la circunferencia 1R' tal que
uo«() :::: Uo (Reit ) = UO(t), uo(O) :::: UO(21r).
Se denomina fonnula de Schwarz a la iguaJdad
y la integral de (1) lleva el nombre de integral de Schwarz.
Veamos las propiedades de la fundon f"
1) Escribamos la formula (1) en la forma
f(z) = ~ J Uo«() 2 d( _ ~ / uo«() d(.
21r~ ( - Z 21rl (
(2)
rn ra
La segunda integral en la f6rmula (2) es una constante y la primera
es una integral tipo Cauchy. Por consiguiente, f es una fundon
analitica en toda regi6n que no contenga puntos de la curva 'YR;
particularmente, f EA(KR), donde KR = {z E C: Izi < R}.
2) Puesto que uo«() == I, obtenemos
1 J.2d( 1 J d(
f(z) :::: 21ri ( - z - 21ri T"
rn fn
Si z E KR , entonces !(z) :::: 2 .-1 = 1.
3) Hallemos Re J(z) tomando z = reil(' E KR. Tenemos:
2,.. . .
1 / "f Relt + r ell('
Re!(z)=Re- uo(Re') R °1 • dt= 21r el - rell('
o
1 J201" it (Reit + reiI(') (Re-it - re- ilO )
= Re - Uo (Re ) (Of " ) ( "t ° ) dt = 21r Re' - rellO Re-z - re-11('
o
". "
~.' ,
.. . ...
,
.... : . ,
,;.
I;· . , ,
" ,
,
-: .
: . • I
,
.. ., • I I I II'
,
. . :.
. ., ,
1
=Re-
21r
o
1 21r 2 2
=Re
21r
~~~---~----
R2 + r2 - 2Rr COS (t - ip)
o
21r 2 2
1 it ' R - r ' --
= u(rei9').
La.formula
se denominaf6rmula de Poisson yla integral del segundo miembro
de la formula (3), integral de Poisson.
De la propiedad 2) de la fundon 1 se deduce la igualdad
1
21r
21r '
o
(4)
•
que se verifica 'r;f z E K R, Z = r el'P .
4) Demostremos que la fllndon (r, ip) F I u(r, ip) es con-
tinua en la adherencia KR y que u(R, ip) = uo(Rei9'), es dedr,
u(r, ip) ===* Uo (Re it ) cuando z = rei'P )' --' Rita 10 largo de to-
do camino contenido en K R . Para ella necesitaremos lasiguienteMateriales relacionados
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