(Serie Manuales N 49) Víctor Hugo Ponce - Mecánica clásica-EDIUNC (2010) - Mario Sánchez

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Mecánica cl ásica
Vı́ctor Hugo Ponce
Dedicado a Yoli, por todo
y porque este libro no hubiera sido posible
sin su apoyo.
Agradecimientos
Deseo agradecer a los docentes del Instituto Balseiro que me hicieron conocer la Mecánica
clásica: Jośe Cotignola, Leonardo Mascheroni y Nicolás Martinic, a todos los colegas con los que
compart́ı las ćatedras de Mećanica: Andŕes Garćıa, Cristina Terrile, Maŕıa Teresa Causa, Manuel
Tovar, Horacio Wio, Norberto Vaieretti, Alberto Oliva, Jorge Regollini, Pablo Fainstein, Enzo
Dari, Veŕonica Garea, Gustavo Demarco, Sergio Grillo, Griselda Garcı́a, Henry Herce, Cecilia
Ventura, Gabriela Puente, Mario Scheble, Marı́a Teresa Malachevsky, Agustı́n Rauschert, Guiller-
mo Pregliasco, y en especial a los alumnos con los que aprendimos Mecánica con placer y esfuerzo
a lo largo de tantas horas en el aula.
A la Universidad Nacional de Cuyo por haber hecho posible la publicación de este libro, en
especial a los Doctores Carlos Passera, Manuel Tovar y a los Profesores René Gotthelf y Maŕıa
Delia Vivante.
A Anabella Procopio y Emilio Figueroa por su ayuda en la preparación del manuscrito.
Contenido
Prólogo......................................................................................................................................1
Caṕıtulo 1: Fundamentos de la Mecánica cĺasica.....................................................................3
Caṕıtulo 2: Formulacíon lagrangiana de la Dinámica cĺasica................................................47
Caṕıtulo 3: Problema de dos cuerpos con fuerzas centrales...................................................85
Caṕıtulo 4: F́ısica de Colisiones...........................................................................................109
Caṕıtulo 5: Cuerpos ŕıgidos. Tensor de inercia....................................................................135
Caṕıtulo 6: Dinámica del cuerpo rı́gido...............................................................................169
Caṕıtulo 7: Oscilaciones......................................................................................................215
Caṕıtulo 8: Pequẽnas oscilaciones.......................................................................................229
Caṕıtulo 9: Formulacíon hamiltoniana de la Mecánica cĺasica...........................................259
Caṕıtulo 10: Oscilaciones no lineales. Caos........................................................................301
Caṕıtulo 11: Teoŕıa especial de la Relatividad....................................................................315
Bibliograf́ıa..........................................................................................................................375
Índice alfab́etico..................................................................................................................379
Índice general .....................................................................................................................383
Prólogo
Este libro fue gestándose a lo largo de tres décadas de cursos de Mecánica cĺasica dictados en
el Instituto Balseiro a estudiantes de las carreras de Fı́sica e Ingenierı́a Nuclear. Es el resultado final
de las sucesivas notas de clase que en el transcurso de ese tiempo fueron creciendo al incorporar
nuevos temas y aplicaciones y enriqueciéndose con los aportes de mis colegas de cátedra y los
alumnos que tomaron este curso.
El proṕosito que me guió al darle forma final a estas notas es en primer lugar transmitir a
las generaciones venideras de docentes y alumnos la experiencia adquirida al enseñar y aprender
Mecánica cĺasica, unido al intento de compartir el placer y la belleza que encierra este capı́tulo
del conocimiento humano. Nacida en su forma presente con los aportes que Galileo realizara
a comienzos del siglo XVII, reveló todo su potencial en la descripción de la Naturaleza en los
inicios del siglo XVIII cuando Newton enunció las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos
sometidos a interacciones mutuas. Los comienzos del siglo XIX fueron propicios para potenciar el
formalismo mateḿatico y generalizar el campo de aplicación de la Mećanica Newtoniana a través
de las contribuciones, entre otros, de Lagrange, Euler y Hamilton. Finalmente, las dos primeras
décadas del siglo XX fueron testigos de laúltima gran revolucíon de la F́ısica cĺasica introducida
por Einstein con sus teorı́as de la Relatividad que ampliaron elámbito de aplicación de la Mećanica
clásica a todo el rango de velocidades y masas de los cuerpos macroscópicos.
El libro est́a dividido en once capı́tulos donde se desarrollan los métodos formales dirigidos a
predecir la evolucíon de cuerpos macroscópicos sometidos a interacciones mutuas, y a presentar
las principales aplicaciones.
Un par de textos que han sido referentes básicos para escribir este libro y constituyen lecturas
recomendadas a la hora de aclarar o ampliar los temas desarrollados sonMecánica Clásicade
Herbert Goldstein[1] yMecánicade Lev D. Landau y Evgenii M. Lifshitz[2].
Los temas tratados en este libro y las aplicaciones presentadas excederı́an el tiempo habitual de
clases de un semestre de las carreras de grado de Fı́sica e Ingenierı́a. Algunos temas identificados
como opcionales son desarrollados con mayor detenimiento y profundidad que lo habitual en
beneficio de aquellos lectores especialmente interesados en ellos, y de otros cuya curiosidad por
ver de qúe tratan espero pueda ser recompensada con el placer que encontré al escribirlos.
Cada caṕıtulo se completa con la presentación de ejemplos donde se trata con detalle la apli-
cacíon del formalismo a problemas concretos. Porúltimo, se proponen ejercicios a resolver por el
lector que le permitiŕan tener una medida de su manejo del tema. No está deḿas subrayar la impor-
tancia tanto de comprender los razonamientos y deducciones que llevan a resolver los ejemplos,
como la de ejercitar lo aprendido con la resolución de los ejercicios propuestos.
Todas las referencias bibliográficas pueden consultarse en la Biblioteca del Instituto Balseiro-
Centro At́omico Bariloche.
Este libro presupone que el lector posee conocimientos básicos de ańalisis vectorial,́algebra
lineal y ćalculo diferencial e integral en una o más variables.
1
MECÁNICA CL ÁSICA
2
Capı́tulo 1
Fundamentos de la Mec ánica cl ásica
1.1. Introducci ón
La Mećanica cĺasica es un intento del hombre por comprender el mundo que lo rodea. Para ello,
se erige en observador del resto del universo más alĺa de śı mismo. Observar significa aquı́ medir
y conservar el registro de lo medido. Pero la intención no es la de tener ”fotografı́as” de partes del
universo en diferentes momentos y circunstancias, sino la de comprender las razones del cambio
en esas iḿagenes. Nada es inmutable, todo se modifica en torno al observador.
El observador debe tener elementos para registrar con la mayor precisión posible los otros
componentes del universo. Debe separar entonces los objetos que van a ser motivo de su estu-
dio de aqúellos que usará como instrumentos de medida. Definimos entonces tres componentes:
observador, instrumentos de medición y sistema f́ısico.
Para que el estudio del sistema fı́sico sea lo ḿas preciso posible es necesario que la pertur-
bacíon que sobréel causa el instrumento de medida sea mı́nimo. De la misma forma debe ser
minimizada la influencia del observador sobre el instrumento de medida. En el Complemento I
al final de este Capı́tulo analizaremos en ḿas profundidad las perturbaciones causadas sobre un
objeto al realizar una medición de alguna de sus propiedades.
¿Cúales son los objetos que forman el universo de la Mecánica cĺasica? Usando la capacidad
de observación del hombre hasta fines del siglo diecinueve, dichos objetos son los cuerpos ma-
teriales, que ocupan un lugar en el espacio tridimensional percibido por nuestros sentidos.Estos
cuerpos pueden subdividirse sucesivamente en fracciones cada vez más pequẽnas hasta alcanzar
un elemento b́asico que llamaremos partı́cula o punto material. Estos puntos materiales no pueden
superponerse, y por yuxtaposición constituyen todos los cuerpos conocidos. Existen diferentes
tipos de materia, que se manifiestan en las propiedades de un cuerpo y en la forma en que los
cuerpos vecinos perciben su presencia.
EL OBJETIVO BÁSICO DE LA MECÁNICA CL ÁSICA ES DETERMINAR EL MECANISMO POR EL QUE LOS
CUERPOS INTERACT́UAN ENTRE ŚI , Y PREDECIR LA FORMA EN QUE EVOLUCIONAŔAN A CAUSA DE
DICHAS INTERACCIONES.
La Mećanica cĺasica deja de lado otro componente básico del mundo tal como lo perciben en
forma directa los sentidos del hombre, cual es la luz. Se asume que la luz no participa ni modifica
3
MECÁNICA CL ÁSICA
las interacciones entre cuerpos materiales. Veremos al final de este curso que en realidad la luz
posee muchas de las propiedades que en primer lugar se asignaron a la materia, y que no siempre
es posible realizar estudios separados de estos dos componentes del mundo en que vivimos.
1.2. Espacio y tiempo
Los conceptos fundamentales de la fı́sica son los de espacio y tiempo. La posición de cada
part́ıcula de un cuerpo material queda determinada por tres números reales en el espacio tridimen-
sional. La forma ḿas simple de definir estos números es mediante las coordenadas cartesianas
ortogonales: se elige un punto O y tres direcciones mutuamente ortogonales que pasan por el
mismo y llamadas ejes coordenados: las coordenadas(x, y, z) son las distancias entre los planos
definidos por pares de dichos ejes y planos paralelos a los mismos que pasan por el punto A. Esos
tres ńumeros ordenados(x, y, z) definen lo que llamamos el vector posición de la part́ıcula:
−→r ≡ (x, y, z)
y gráficamente representa el segmento orientado que nace en el origen de coordenadas O y termina
en el punto P, tal como lo muestra la figura 1.1
Figura 1.1:Coordenadas cartesianas ortogonales
Compararemos las coordenadas de la partı́cula con las de un testigo que se repita periódica-
mente, por ejemplo la posición del sol en el cielo. Esto es lo que llamamos un reloj y dicha posi-
ción se identifica con una variable llamada tiempo. Suponemos que tanto las coordenadas como el
tiempo son variables continuas representadas por números reales.
La velocidad del cuerpo en cada una de las tres direcciones se define como la tasa de variación
de la coordenada respectiva en relación al tiempo transcurrido. Empleando el concepto de derivada,
el cuerpo posee tres velocidades dadas por:
4
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
dx/dt = ĺım
t2−t1→0
x(t2)− x(t1)
t2 − t1
(1.1)
con expresiones similares para las velocidades en dirección y y z. El vector velocidad queda
definido por:
−→v = (dx
dt
,
dy
dt
,
dz
dt
)
Las componentesx, y, z del vector posicíon o lasdxdt ,
dy
dt ,
dz
dt del vector velocidad dependen
de la forma en que elijamos las direcciones de los ejes coordenados. Dado un origen O tenemos
infinitas ternas de direcciones mutuamente ortogonales que pasan por el mismo, y para cada una
de ellas habŕa diferentes componentes que definan el mismo vector.
En la figura 1.2 representamos el caso más sencillo de un vector en un plano, definido en dos
sistemas coordenados.
Figura 1.2:Rotacíon de ejes coordenados en el plano
La rotacíon de los ejes ortogonales en unánguloθ produce una transformación en las compo-
nentes que definen el mismo vector:
−→a = (x, y)
−→a ′ = (x′, y′)
donde:
x′ = x cos θ + y sin θ
y′ = y cos θ − x sin θ
Ésta es una transformación lineal en las componentes del vector, y representa la rotación del
sistema de ejes coordenados.
5
MECÁNICA CL ÁSICA
1.3. Objetivos de la Mec ánica cl ásica
La Mećanica cĺasica estudia el movimiento de los cuerpos macroscópicos que se mueven con
velocidades muy pequeñas frente a la de la luz; quedan fuera de su descripción los cuerpos del
orden del tamãno at́omico. La Mećanica cúantica generaliza la Mecánica cĺasica de modo que se
puedan describir feńomenos al nivel atómico. La Teoŕıa especial de la Relatividad de Einstein pro-
duce la generalización de la Mećanica cĺasica para cuerpos que se mueven a velocidades cercanas
a la de la luz.
LA MECÁNICA CL ÁSICA ES UNA TEOŔIA QUE PERMITE DESCRIBIR EL MOVIMIENTO DE LOS
CUERPOS Y PREDECIR SU EVOLUCÍON.
Como toda teorı́a, est́a fundamentada en principios surgidos de la observación de los feńomenos
fı́sicos. Proponemos un conjunto de principios, el mı́nimo posible, y a partir de ellos deducimos
propiedades de la evolución de los cuerpos. Mientras nuestras predicciones coincidan con lo que
observamos en la naturaleza esos principios se asumen válidos. Cuando se note una discrepancia
debeŕan ser modificados o reemplazados.
Un concepto b́asico de toda teorı́a es que no debe tener elementos arbitrarios. Por ejemplo
no debe haber puntos privilegiados en el espacio sin razón para ello. Supondremos entonces que
las leyes de la F́ısica tendŕan la misma forma en todos los puntos del espacio (esto significa por
ejemplo quefuerza = masa×aceleración vale como relacíon en todo el universo, pero la fuerza
puede y en general es diferente según cúal sea el punto que consideremos). Concretamente, las
leyes en que se basa la teorı́a tienen una forma independiente del origen de coordenadas elegido:
por ejemplo, la segunda ley de Newton:
−→
F (−→r , t) = m d
2
dt2
−→r (t)
es una expresión independiente del origen elegido para describir el vector posición−→r (t). En el
mismo sentido, cuando existen dos observadores en movimiento relativo el uno respecto del otro,
no hay raźon lógica para decidir quién est́a en reposo y quién en movimiento. Esto nos lleva a
enunciar el
PRINCIPIO DE RELATIVIDAD : LA FORMA QUE ADOPTAN LAS LEYES DE LA FÍSICA ES LA MISMA PARA
TODOS LOS OBSERVADORES EN MOVIMIENTO UNIFORME RELATIVO ENTRE SÍ .
No es el mismo caso cuando se consideran observadores en marcos de referencia acelerados,
donde cambiará por ejemplo la forma de la segunda ley de Newton a través de la aparición de
fuerzas ficticias, ligadas a la aceleración de quien observa el movimiento de los cuerpos.
1.4. Sistemas de referencia
El sistema de coordenadas cartesianas ortogonales describe el vector posición de un punto
como la combinación lineal de tres vectores unitarios a lo largo de direcciones mutuamente orto-
gonales:
6
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
−→r = xêx + yêy + zêz
Este sistema no es elúnico ni en ocasiones el ḿas conveniente para describir la evolución
de un punto. Si por ejemplo dicho punto está limitado a moverse sobre una superficie esférica
seŕa más conveniente el sistema de coordenadas esféricas, y en otras circunstancias podrá serlo el
de coordenadas cilı́ndricas.
En coordenadas esféricas presentadas en la figura 1.3 los vectores unitarios sonêr, êθ, êϕ,
dirigidos en las direcciones de máximo crecimiento de las coordenadasr, θ, ϕ :
−→r = rêr
Por ello, estas direcciones dependen del punto considerado:
dêr = dθêθ + sin θdϕêϕ
dêθ = −dθêr + cos θdϕêϕ
dêϕ = − sin θdϕêr − cos θdϕêθ
Figura 1.3:Coordenadas esféricas
En coordenadas cilı́ndricas de figura 1.4 los vectores unitariosêρ, êϕ est́an dirigidos en las
direcciones de ḿaximo crecimiento de las coordenadasρ, ϕ del plano normal al ejez. Ahora las
7
MECÁNICA CL ÁSICA
direccioneŝeρ, êϕ dependen del punto considerado en tanto queêz es fija, independiente de dicho
punto:
dêρ = dϕ.êϕ
dêϕ = −dϕ.êρ
Figura 1.4:Coordenadas cilı́ndricas
Dejamos como un ejercicio expresar la posición, velocidad y aceleración de un punto en estos
tres sistemas. Los resultados son:
−→r (t) = xêx + yêy + zêz
−→v (t) = d
−→r (t)
dt
=
dx
dt
êx +
dy
dt
êy +
dz
dt
êz
−→a (t) = d
2−→r (t)
dt2
=
d2x
dt2
êx +
d2y
dt2
êy +
d2z
dt2
êz
−→r (t) = r(t)êr
−→v (t) = d
−→r (t)
dt
=
dr
dt
êr + r
dθ
dt
êθ + r sin θ
dϕ
dt
êϕ8
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
−→a (t) = d
2−→r (t)
dt2
= [
d2r
dt2
− r(dθ
dt
)2 − r sin θ(dϕ
dt
)2]êr
+[2
dr
dt
dθ
dt
+ r
d2θ
dt2
− r sin θ cos θ(dϕ
dt
)2]êθ +
[2 sin θ
dϕ
dt
dr
dt
+ 2r cos θ
dθ
dt
dϕ
dt
+ r sin θ
d2ϕ
dt2
]êϕ
−→r (t) = ρ(t)êρ + z(t)êz
−→v (t) = d
−→r (t)
dt
=
dρ
dt
êρ + ρ
dϕ
dt
êϕ +
dz
dt
êz
−→a (t) = d
2−→r (t)
dt2
= [
d2ρ
dt2
− ρ(dϕ
dt
)2]êρ
+[2
dρ
dt
dϕ
dt
+ ρ
d2ϕ
dt2
]êϕ +
d2z
dt2
êz
1.5. Cinem ática de una partı́cula
La evolucíon de una partı́cula en el espacio tridimensional queda determinada por dos vectores
independientes uno del otro: su posición −→r (t) y su velocidad−→v (t). La aceleracíon −→a (t) va a
quedar determinada por la segunda ley de Newton.
La posicíon−→r (t) est́a definida por el vector radialr(t)êr , en tanto que la velocidad−→v =
vrêr + vtêt tendŕa en general una componente radialdrdt êr y una tangencialvtêt tal como vemos
en la figura 1.5
La componente tangencial define junto con−→r un plano. Un observador en el origen ve un
desplazamiento de la orientación de la part́ıcula que puede representar por una rotación alrededor
de un ejêen normal al plano(êt, êr), con velocidad angular
Ω =
vt
r
=
v. sinα
r
Tanto la direccíon del eje de rotación como la magnitud de la velocidad quedan determinadas
por el vector llamado velocidad angular
−→Ω =
−→r ×−→v
r2
(1.2)
donde vemos que
−→Ω tiene la direccíon ên normal al plano de rotación. Adeḿas, el sentido de
la rotacíon queda definido por el sentido de movimiento del tirabuzón que gira desde el vector
−→r hacia el−→v . A su vez, si conocemos el vector velocidad angular−→Ω podemos determinar la
velocidad tangencial:
9
MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.5:Posicíon y velocidad de una partı́cula en tres dimensiones
−→vt =
−→Ω ×−→r
Dado un cuerpo que sigue una trayectoria−→r (t) pasante por un punto−→r (t0), podemos suponer
que instant́aneamente se mueve en el plano definido por−→r (t0),−→v (t0). Su aceleración en ese
punto tiene una componente radialarêr . Podemos aproximar la trayectoria en las cercanı́as del
punto−→r (t0) por un ćırculo que pasa por−→r (t0), que es tangente a−→v (t0) y que tiene por radio el
valorR0 tal quear = v2(t0)/R. De esta forma se describen exactamente la posición, velocidad y
aceleracíon radial de la partı́cula por el solo hecho de moverse en el cı́rculo de radioR0. Este es
el llamado eje instantáneo de rotación (figura 1.6)
1.6. Leyes de Newton
La fı́sica aristot́elica supońıa que a cada forma de materia le correspondı́a una posicíon natural
en el universo, y si se la alejaba de esa ubicación tend́ıa a retornar a la misma a menos que una
accíon externa se lo impidiera. A los cuerpos terrestres les correspondı́a el centro del universo, de
modo que una piedra lanzada por los aires tendı́a caer y acercarse todo lo que pudiera a ese centro.
La primera ley de Newton reemplaza la hipótesis de Arist́oteles y tiene como antecedente obser-
vaciones de Galileo, manifestando que para cualquier observador en movimiento no acelerado un
10
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.6:Eje instant́aneo de rotación
cuerpo que no está sometido a acciones externas conserva el estado de movimiento en que se en-
cuentra: permanece en reposo o en movimiento uniforme. Como la velocidad de un cuerpo es un
concepto relativo (depende del estado de movimiento del observador), la primera ley de Newton
dice estrictamente que
UN CUERPO NO SOMETIDO A ACCIONES EXTERNAS CONSERVA EL ESTADO DE MOVIMIENTO EN QUE
SE ENCUENTRA CUANDO SE LO OBSERVA DESDE UN SISTEMA INERCIAL, ES DECIR NO
ACELERADO.
Expresada de esta forma, la primera ley de Newton es una prescripción para determinar un
marco de referencia inercial: si un cuerpo aislado del resto del universo se mueve con velocidad
uniforme, es que lo estamos observando desde un sistema inercial.
La segunda ley de Newton indica que cuando hay acciones externas aplicadas al cuerpo,éste
modifica su estado de movimiento uniforme variando su velocidad. La variación de velocidad de-
pende del agente externo actuante sobre el cuerpo. En general todos los generadores de fuerzas
son otros cuerpos: será la interaccíon gravitatoria entre las masas de dos cuerpos, o la interacción
electromagńetica si est́an cargados, o un resorte que los une. A la intensidad de la acción se la
llama fuerza, es un vector pues modifica las tres componentes de la velocidad del cuerpo. Si hace-
mos actuar la fuerza generada por un cuerpo sucesivamente sobre otros cuerpos de diferente tamao
pero con las mismas propiedades (por ejemplo la misma carga eléctrica), encontramos experimen-
talmente que las aceleraciones producidas tienen la misma dirección y sentido pero diferentes
intensidades. La segunda ley de Newton dice entonces que:
V ISTO DESDE UN MARCO DE REFERENCIA INERCIAL, EL CAMBIO EN LA VELOCIDAD DE UN
CUERPO ES PROPORCIONAL A LA FUERZA EJERCIDA SOBRÉEL, SIENDO LA CONSTANTE DE
PROPORCIONALIDAD UN ESCALAR CARACTEŔISTICO DEL CUERPO LLAMADO MASA INERCIAL:
11
MECÁNICA CL ÁSICA
m
d2−→r
dt2
= −→F (−→r , t) (1.3)
Se comprueba por observaciones de las acciones de varios cuerpos sobre uno dado el principio
de superposición de fuerzas:
EL CUERPO EVOLUCIONA COMO SOMETIDO A UNAÚNICA FUERZA OBTENIDA DE LA SUMA
VECTORIAL DE LAS FUERZAS INDIVIDUALES.
La segunda ley de Newton es una definición de fuerza: para determinar el campo vectorial de
fuerzas producido por un ente (por ejemplo varios cuerpos) colocamos un cuerpo en cada punto
del espacio y medimos la aceleración que sufre;́esta es proporcional a la fuerza actuante en ese
punto.
La masa inercial es una propiedad del cuerpo. El mismo valorm identifica la masa gravitatoria,
que aparece en la definición de la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos:
−→
f 12 = −gm1m2
−→r 12
r312
donde
−→
f 12 es la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el 2 y
−→r 12 = −→r 2 −−→r 1 el vector con origen
en 1 y extremo en 2.g es una constante positiva. Mediciones cuidadosas muestran que la masa
inercial y la gravitatoria son id́enticas con una precisión de una parte en1012.
La tercera ley de Newton es la más sustanciosa, nos dice que
LAS ACCIONES MUTUAS QUE DOS CUERPOS EJERCEN ENTRE SÍ ESTÁN REPRESENTADAS POR
FUERZAS DE IGUAL MAGNITUD Y DIRECCIÓN Y DE SENTIDOS OPUESTOS:
−→
f 12 = −
−→
f 21
donde
−→
f ij representa la fuerza sobre el cuerpo j producida por la acción del cuerpo i.
Esta ley no es estrictamente válida si consideramos que las interacciones se propagan con
velocidad finita (por ejemplo las interacciones electromagnéticas o gravitatorias se propagan con
la velocidad de la luzc = 3× 108m/s). Se definen dos formas para esta ley de acción y reaccíon
entre cuerpos: la forma fuerte donde las fuerzas además de iguales y de sentido contrario son
colineales (figura 1.7), y la forma débil donde no lo son y por lo tanto definen una cupla (figura
1.8).
Las interacciones gravitatorias pertenecen a la forma fuerte, las electromagnéticas a la d́ebil.
La interaccíon entre dos cuerpos debe depender solamente de las propiedades del par: su coor-
denada relativa−→r 12 = −→r2−−→r1 , eventualmente su velocidad relativa−→v 12 = −→v2−−→v1 , y propiedades
internas de los cuerpos (cargas, momentos magnéticos, etc.). En el caso de la forma fuerte las
12
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.7:Fuerzas colineales
fuerzas est́an aplicadas en la dirección−→r 12 y no pueden depender de otras direcciones como la
de la velocidad relativa. Por el contrario, las fuerzas electromagnéticas dependen de la posición y
velocidad relativa del par de cargas.
Un ańalisis riguroso de las leyes de Newton y una interpretación alternativa de las mismas
puede encontrarse en el texto de José y Saletan,[3] y en el artı́culo de Eisenbud[4].
1.7. Sistemas de una partı́cula
Si tenemos el caso de una partı́cula movíendose en un campo de fuerzas conocido, la segunda
ley de Newton permite determinar la posición de la part́ıcula comofuncíon del tiempot. Para ello
es necesario conocer las condiciones iniciales del movimiento, y por ser la segunda ley de Newton
una ecuacíon diferencial lineal de segundo orden debemos fijar la posición y velocidad al tiempo
inicial t0 < t :
m
d2−→r
dt2
= −→F (−→r , t)
−→r (t0) = −→r0
d−→r
dt
| t=t0 = −→v0
En el caso general de un sistema de n partı́culas donde actúa una fuerza sobre cada una de ellas,
producida por acciones externas y por interacciones entre las partı́culas, tendremos un sistema de
n ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas entre sı́:
m
d2−→r i
dt2
= −→F i(−→r 1,−→r 2, ...−→r n, t), i = 1, 2, ...n
13
MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.8:Fuerzas no colineales
−→r i(t0) = −→r i0
d−→r i
dt
| t=t0 = −→v i0
Va a ser mucho ḿas dificultoso encontrar las soluciones−→r i(t), y en general será necesario
recurrir a la integración nuḿerica de las ecuaciones diferenciales acopladas. Tal es el caso del
problema de los tres cuerpos sometidos a atracciones gravitatorias mutuas.
Hay ocasiones en que la dificultad no reside en obtener las funciones−→r i(t) con la precisíon
deseada, sino que estas soluciones son inestables respecto de los valores fijados para las condi-
ciones iniciales: un pequeño cambio en una posición o velocidad inicial
| −→r i(0)−−→r ′i(0) |�| −→r i(0) |
produce para un tiempo de evolución lo suficientemente grande una divergencia entre las posi-
ciones:
| −→r i(t)−−→r ′i(t) | / | −→r i(0)−−→r ′i(0) |→ ∞
En estos casos el movimiento es caótico y carece de sentido el cálculo de la evolucíon para un
dado conjunto de valores fijados de posición y velocidad iniciales, pues en la prácticaéstas no se
pueden fijar con precisión absoluta. Śolo tendŕa relevancia un ańalisis estad́ıstico de la evolucíon
del sistema. Por el momento consideraremos problemas con soluciones estables, dejando para más
adelante el tratamiento del caos.
La unicidad de la solución de las ecuaciones de Newton frente a las condiciones iniciales
impuestas es analizada en el trabajo de A. Dhar[5], quien determina las condiciones necesarias y
suficientes para esta unicidad.
14
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
1.7.1. Teoremas de conservaci ón
Los teoremas de conservación son consecuencia directa de las leyes de Newton y su verifi-
cacíon experimental sirve para comprobar aquéllas. Para el caso de un cuerpo de masam
EL IMPULSO LINEAL , DEFINIDO POR
−→
P = m−→v , ES CONSTANTE EN UNA DIRECCÍON EN QUE LA
FUERZA APLICADA ES NULA.
La verificacíon es trivial a partir de la segunda ley de Newton:
m
d2xi(t)
dt2
= Fi(−→r , t)
Pi = m
dxi(t)
dt
= constante
si Fi(−→r , t) = 0.
El impulso lineal, tambíen conocido como cantidad de movimiento o momentum, puede uti-
lizarse para reescribir las tres leyes de Newton de una manera más compacta. Las dos primeras
leyes se resumen diciendo que el impulso lineal de un sistema deN part́ıculas no sometido a
acciones externas se conserva:
−→
P =
N∑
i=1
mi−→v i(t) = constante
Para el caso de dos partı́culas se reduce a:
−→
P = m1−→v 1(t) +m2−→v 2(t) = constante
que implica:
−→
P 1(t) +
−→
P 2(t) = constante
entonces:
d
dt
−→
P 1(t) +
d
dt
−→
P 2(t) = 0 (1.4)
La variacíon del impulso lineal de cada una se debe a la presencia de la otra, y puede depen-
der de la distancia relativa entre las partı́culas, su velocidad relativa y parámetros propios de las
mismas tales como la masami, carga eĺectricaqi, etćetera. Al vector que representa esa acción lo
llamaremos fuerza ejercida por una partı́cula sobre la otra:
d
dt
−→
P 1(t) =
−→
f 21
y de (1.4) obtenemos la expresión de la tercera ley de Newton:
15
MECÁNICA CL ÁSICA
−→
f 12 = −
−→
f 21
Definiremos el torque de una fuerza respecto de un punto cualquiera como el producto vecto-
rial:
−→
N = −→r ×−→F
y de la misma forma el impulso angular es el producto vectorial:
−→
L = −→r ×−→P
= m−→r ×−→v (1.5)
donde−→r es la distancia de dicho punto a la partı́cula. Comparando (1.5) con la expresión (1.2)
para la velocidad angular vemos que el impulso angular está ligado al movimiento de rotación de
la part́ıcula. Multiplicando vectorialmente la ecuación de Newton 1.3 por−→r :
−→r ×−→F = −→r ×md
−→v
dt
=
d(−→r ×−→P )
dt
− d
−→r
dt
×−→P
El último término es nulo, por lo que resulta:
−→
N =
d
−→
L
dt
De aqúı obtenemos un nuevo teorema de conservación:
EL IMPULSO ANGULAR DE UNA PART́ICULA ES CONSTANTE EN UNA DIRECCÍON EN QUE EL TORQUE
APLICADO ES NULO.
El tercer teorema de conservación requiere de la definición de trabajo realizado sobre la
part́ıcula por las fuerzas actuantes sobre ella: cuando la partı́cula se mueve a lo largo de la trayec-
toria entre dos puntos 1 y 2 como mostramos en la figura 1.9, el trabajo realizado por las fuerzas
se define por:
W12 =
∫ 2
1
−→
F d−→r
Ésta es una integral curvilı́nea a lo largo de la trayectoria seguida por la partı́cula. Usando la
segunda ley de Newton:
−→
F d−→r = md
−→v
dt
−→v dt = 1
2
m
dv2
dt
dt = d(
1
2
mv2)
entonces:
W12 =
1
2
mv2 |21= T2 − T1 (1.6)
dondeT = 12mv
2 se denomina energı́a cińetica de la partı́cula.
16
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.9:Trabajo realizado por la fuerza aplicada
EL TRABAJO REALIZADO POR LAS FUERZAS ACTUANTES SE TRADUCE EN LA VARIACÍON DE LA
ENERǴIA CIN ÉTICA.
Cuando la fuerza actuante es tal que el trabajo realizado entre los puntos 1 y 2 es independiente
del camino seguido se dice que esa fuerza es conservativa, en cuyo caso el trabajo realizado en un
circuito cerrado es nulo:
WC =
∮
C
−→
F d−→r = 0
Si es posible definir una superficie cerrada S para la que la frontera sea la curva C, entonces se
puede aplicar el teorema de Stokes:∮
C
−→
F d−→r =
∫
S
(−→∇ ×−→F )d−→s (1.7)
Definiendo un circuito cerradoC infinitesimal rodeando un punto del espacio, como (1.7) vale
independientemente del punto y la forma de la curva, debe ser:
−→∇ ×−→F = 0
Por último, un campo vectorial cuyo rotor es nulo puede siempre representarse como el gra-
diente de una función escalar, entonces las fuerzas que llamaremos conservativas se expresan por:
−→
F = −−→∇−→r V (
−→r ) (1.8)
donde explicitamos el signo menos por conveniencia para la posterior definición del papel que
jugaŕa la funcíonV , llamada enerǵıa potencial.
La expresíon (1.8) indica que
17
MECÁNICA CL ÁSICA
LA FUERZA CONSERVATIVA ACTUANTE EN UNA DIRECCIÓN CUALQUIERA ES LA DERIVADA DE LA
ENERǴIA POTENCIAL EN ESA DIRECCÍON (ESTO ES: EL GRADIENTE) CON SIGNO CAMBIADO.
Volviendo a la expresión (1.6) para el trabajo realizado por la fuerza conservativa, obtenemos
queT1 + V1 = T2 + V2, es decir:
T (−→r ) + V (−→r ) = constante = E (1.9)
La suma de energı́a cińetica ḿas enerǵıa potencial se llamará enerǵıa total, y el tercer teorema
de conservación (1.9) dice entonces que
SI LAS FUERZAS ACTUANTES SON CONSERVATIVAS, LA ENERGÍA TOTAL ES CONSTANTE EN EL
CURSO DE LA EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA PART́ICULA .
Es conveniente notar que sólo est́an definidas variaciones de la energı́a potencial y no el valor
absoluto, y lo mismo para la energı́a cińetica que cambia con el sistema inercial usado.
1.8. Ejemplos
1.8.1. Proyectil movi éndose en el vacı́o
Vamos a estudiar el movimiento de proyectiles que se mueven a alturas muy pequeñas frente
al radio terrestre, de forma que podamos suponer que experimentan una aceleración constante
−g en la direccíon de la vertical local. La atḿosfera ejerce una resistencia al movimiento del
proyectil manifestada en una fuerza opuesta a la dirección del movimiento y que es una función
de la velocidad del cuerpo. En primer lugar dejamos de lado esta fuerza por lo que consideramos
un proyectil de masam moviéndose en el vacı́o que es disparado desde la superficie con una
velocidad−→v 0 y direccíonθ0 conocidas tal como lo mostramos en la figura 1.10.
Las ecuaciones del movimiento en las dos coordenadasx, y son
m
..
x= 0 (1.10)
m
..
y= −mg (1.11)
con condiciones iniciales:
x(t = 0) = 0 (1.12)
y(t = 0) = 0 (1.13).
x (t = 0) = v0 cos θ0 (1.14)
.
y (t = 0) = v0 sin θ0 (1.15)
18
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.10:Trayectoria de un proyectil disparado en el vacı́o
donde usamos la notación dxdt =
.
x, etc. Las soluciones de las ecuaciones 1.10, 1.11 que satis-
facen las condiciones iniciales son:
x(t) = v0t cos θ0 (1.16)
y(t) = −1
2
gt2 + v0t sin θ0 (1.17)
Podemos obtener la trayectoria del proyectily = f(x) eliminandot entre (1.16) y (1.17):
y = − gx
2
2v0 cos2 θ0
+ x tan θ0
Ésta es la ecuación de una parábola que pasa por el origen de coordenadas, tal como vemos en
la figura 1.10. El alcancea del disparo es el valor dex(6= 0) para el quey = 0:
a =
v20
g
sin 2θ0
en tanto la alturah se alcanza al tiempo en que se anula
.
y:
.
y= −gt+ v0 sin θ0
th =
v0
g
sin θ0
19
MECÁNICA CL ÁSICA
entonces:
h = y(th) =
v20
2g
sin2 θ0
El alcance ḿaximo se obtiene para una inclinaciónθ0 = 45o:
amáx =
v20
g
en tanto la altura ḿaxima se logra paraθ0 = 90o:
hmáx =
v20
2g
1.8.2. Proyectil movi éndose en la atm ósfera. (Opcional)
Al moverse en la atḿosfera el proyectil colisiona con las moléculas del aire transfiriéndoles
impulso y enerǵıa. La consiguiente reducción en la velocidad del proyectil se describe por medio
de una fuerza de frenamiento dirigida en la dirección de la misma y actuando en el sentido opuesto,
que no depende de la posición cuando el proyectil se mueve en un medio homogéneo. La tasa de
transferencia de impulso depende de la velocidad del proyectil respecto de las moléculas del aire,
por lo tanto la fuerza de frenamiento es una función
−→
F ret =
−→
f (−→v ).
Observaciones experimentales y descripciones de la interacción entre el fluido y el proyectil
justifican el uso de una ley de potencias para la fuerza de retardo:
−→
F ret = −kvn
−→v
v
Para velocidades pequeñas menores a25m/s es aceptable una función linealn = 1; para
velocidades mayores hasta la del sonido en el gas (330m/s para aire a presión y temperatura
normales) es ḿas adecuada una función cuadŕatican = 2; de alĺı en ḿas la dependencia de la
fuerza de frenamiento en la velocidad se acerca nuevamente a la linealidad[10].
Consideremos el caso de dependencia lineal de la fuerza de frenamiento con la velocidad del
cuerpo. Las ecuaciones (1.10,1.11) se reemplazan por:
..
x= −k′ .x (1.18)
..
y= −g′ − k′
.
y (1.19)
dondek′ = k/m, g′ = g/m; operando sobre (1.18):
d
.
x
.
x
= −k′dt
ln
.
x= −k′t+ C
20
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.11:Trayectorias de un proyectil sometido a una fuerza de frenamiento lineal con la velocidad, en
función del coeficiente de frenamiento y para dos valores delángulo de disparo
.
x (t) = eCe−k
′t
Fijamos el factor constante para que se satisfaga la condición inicial (1.14):
.
x (t) = v0 cos θ0e−k
′t
Integrando nuevamente obtenemos:
x(t) =
v0
k′
cos θ0
(
1− e−k′t
)
(1.20)
La ecuacíon (1.19) puede integrarse una vez:
dy
dt
+ k′y = −g′t+ C1
La constanteC1 resultante de la cuadratura se fija a través de las condiciones iniciales (1.13,1.15):
dy
dt
+ k′y = v0 sin θ0 − g′t (1.21)
Ésta es una ecuación diferencial inhomoǵenea de primer orden; su solución general es la suma
de la solucíon de la ecuación homoǵeneadydt + k
′y = 0:
yh(t) = Ce−k
′t (1.22)
21
MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.12:Alcance y enerǵıa perdida por friccíon en el aire como función del coeficiente de rozamiento
más una solución particular que se propone de la forma
yp(t) = f(t)e−k
′t
Reemplazando en (1.21):
df
dt
= ek
′t (v0 sin θ0 − g′t)
resulta:
f(t) = ek
′t
[
v0
k′
sin θ0 +
g′
k′2
(
1− k′t
)]
Finalmente, la solución general es:
y(t) = Ce−k
′t +
v0
k′
sin θ0 +
g′
k′2
(
1− k′t
)
y la de nuestro problema con condición inicialy(t = 0) = 0:
y(t) =
1
k′
(
v0 sin θ0 +
g′
k′
)(
1− e−k′t
)
− g
′
k′
t (1.23)
El frenamiento del aire disminuirá tanto el alcance como la altura del proyectil. Ahora la
ecuacíon de laórbita no es tan sencilla como en el caso de tiro en el vacı́o:
22
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
y(x) =
(
v0 sin θ0 +
g′
k′
)
x
v0 cos θ0
+
g′
k′2
ln
(
1− k
′x
v0 cos θ0
)
y el alcance dado pory(x = a) = 0 conviene obtenerlo en forma numérica. En la figura 1.11
presentamos las trayectorias para una velocidad inicialv0 y diferentes valores del coeficiente de
frenamientok′ y del ángulo de disparoθ0.
Figura 1.13:Alcance en funcíon delángulo de inclinacíon para un coeficientek′ = 0,1s−1 de frenamiento
lineal env. El alcance ḿaximo se presenta paraθ0 = 41o22′
Naturalmente, el alcance disminuye a medida que aumenta el coeficiente de frenamientok′ de
la misma forma que aumenta la energı́a cedida por el proyectil al aire. La figura 1.12 muestra los
resultados obtenidos.
Porúltimo, la figura 1.11 muestra que para valores apreciables del coeficiente de frenamiento
k′ es de esperar que el alcance máximo se produzca paráangulos de disparoθ0 menores que45o,
la figura 1.13 muestra el alcance como función deθ0 parak′ = 0,1s−1.
La raźon reside en que en ausencia de frenamiento el alcance máximo ocurre a45o. Al moverse
en la atḿosfera la enerǵıa cedida por el proyectil al aire crece con el camino recorrido, el que a su
vez aumenta con elángulo de disparo. Por lo tanto el máximo se corre áangulos menores a45o.
1.8.3. Problema del cohete
Consideremos un cohete que posee una masam, compuesta de la masa propiam0 más la masa
de combustiblemg. El quemado del combustible produce una expulsión de gas con velocidad
23
MECÁNICA CL ÁSICA
constantev respecto del cohete, y supondremos que la masa expulsada por unidad de tiempo es
constante. Estudiaremos el problema suponiendo que no existen fuerzas externas actuando sobre
el cohete por lo que el impulso lineal total del cohete más gases expulsados es constante (ver figura
1.14):
P = Pc(t) + Pg(t) = constante
Figura 1.14:Cohete en movimiento al tiempot y diferenciales de masa de gas expulsados a tiempos
anteriores
La variacíon en el impulso lineal del cohete presenta un término debido a la disminución de
masa y otro producido por un probable cambio en su velocidad:
dPc
dt
=
dmc
dt
vc(t) +mc
dvc
dt
(t)
dmc
dt
< 0
en tanto que el impulso lineal del gas expulsado varı́a en el intervalot, t + dt por el agregado de
masa−dmcdt dt con velocidadvc(t)− v
dPg
dt
= −dmc
dt
(vc(t)− v)
La conservacíon del impulso lineal total:
dPc
dt
+
dPg
dt
= 0
determina que:
mc
dvc
dt
+
dmc
dt
v = 0 (1.24)
que se integra fácilmente:
vc(t)− vc(0) = −v ln
mg(t) +m0
mg(0) +m0
dondem0 es la masa propia del cohete, sin combustible. La velocidad final alcanzada cuando se
quema todo el combustible resulta ser:
24
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
vc(∞) = vc(0) + v ln
mg(0) +m0
m0
Analicemos ahora el problema desde otro punto de vista: ¿Por qué se acelera el cohete?: no
hay fuerzas externas por lo que son las fuerzas internas los agentes productores del movimiento.
La magnitud de estas fuerzas internas puede obtenerse mediante la siguiente consideración: en el
instantet podemos considerar al cohete constituido por dos cuerpos moviéndose con la misma
velocidad como se muestra en la figura 1.15, uno de masam0 + mg(t + dt) y otro es la masa
| dm | de combustible que será expulsada at+dt: el cambio en el impulso del diferencial de masa
de combustible es− | dm | v, por lo que la fuerza de reacción sobre el resto del cohete es:
F =
| dm |
dt
v
Figura 1.15:Fuerzas de acción y reaccíon entre el cohete y el diferencial de masa de gas expulsado el
tiempot
La segunda ley de Newton para el cohete de masam(t) = m0 +mg(t) es:
F = m(t)
dvc(t)
dt
y resulta:
| dm |
dt
v = m(t)
dvc(t)
dt
que es equivalente a (1.24).
La primera descripción considera al cohete como un cuerpo de masa variable, la segunda
supone que en cada instante son dos cuerpos que se separan por acción de las fuerzas internas.
1.9. Sistemas de partı́culas
1.9.1. Coordenadas del centro de masas
Consideramos un sistema deN part́ıculas como el de figura1.16, estando cada una de ellas
sujeta a fuerzas externas y a las fuerzas que el resto de las partı́culas ejercen sobre la misma.Ésta es
la representación general de uno o varios cuerpos macroscópicos, que consideramos constituidos
25
MECÁNICA CL ÁSICA
por la uníon más o menos rı́gida de part́ıculas o puntos materiales. Definimos la masa total y el
punto centro de masas por las relaciones:
M =
N∑
i=1
mi
−→
R =
N∑
i=1
mi−→r i/M
Figura 1.16:Sistema de partı́culas, donde se muestra el vector centro de masasR y un vector relativo entre
part́ıculasrij
Definimos los impulsos lineal, angular y energı́as cińetica y potencial totales del sistema como
la suma de dichas magnitudes sobre lasN part́ıculas. Podemos hallar esas expresiones en términos
de la coordenada del centro de masas y las coordenadas relativas de las partı́culas respecto de dicho
punto. Siendo:
−→r i =
−→
R +−→r ′i
encontramos que:
N∑
i=1
mi−→r ′i = 0 (1.25)
26
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
entonces el impulso lineal total es:
−→
P =
N∑
i=1
mi
d−→r i
dt
=
N∑
i=1
mi[
d
−→
R
dt
+
d−→r ′i
dt
] (1.26)
= M−→V + d
dt
N∑
i=1
mi−→r ′i = M
−→
V
EL IMPULSO LINEAL TOTAL DE UN SISTEMA DE PART́ICULAS ES EQUIVALENTE AL DE UNA
PART́ICULA DE MASA M MOVI ÉNDOSE CON EL CENTRO DE MASAS DEL SISTEMA.
El impulso angular total también se simplifica usando (1.25):
−→
L =
N∑
i=1
mi[
−→
R +−→r ′i]× [
d
−→
R
dt
+
d−→r ′i
dt
]
= −→R ×−→P +
N∑
i=1
mi−→r ′i ×
d−→r ′i
dt
EL IMPULSO ANGULAR TOTAL DE UN SISTEMA DE PART́ICULAS ES EQUIVALENTE AL DE UNA
PARTÍCULA DE MASA M MOVI ÉNDOSE CON EL CENTRO DE MASAS DEL SISTEMA, MÁS EL IMPULSO
ANGULAR DE LAS PART́ICULAS RELATIVO AL CENTRO DE MASAS.
La enerǵıa cińetica total del sistema de partı́culas es:
T =
1
2
N∑
i=1
mi(
−→
V +−→v ′i)2
=
1
2
N∑
i=1
mi(V 2 + 2
−→
V −→v ′i + v′2i )
donde:
−→
V = d
−→
R
dt ,
−→v ′i =
d−→r ′i
dt . El término cruzado es:
N∑
i=1
mi
−→
V −→v ′i =
−→
V
N∑
i=1
mi
d−→r ′i
dt
= −→V d
dt
N∑
i=1
mi−→r ′i = 0
27
MECÁNICA CL ÁSICA
Luego:
T =
1
2
MV 2 +
1
2
N∑
i=1
miv
′2
i (1.27)
LA ENERǴIA CIN ÉTICA TOTAL DE UN SISTEMA DE PART́ICULAS ES EQUIVALENTE AL DE UNA MASA
M MOVI ÉNDOSE CON EL CENTRO DE MASAS DEL SISTEMA, MÁS LA ENERǴIA CIN ÉTICA DE LAS
PARTÍCULAS RELATIVA AL CENTRO DE MASAS.
Analizaremos ahora el trabajo realizado por las fuerzas actuantes sobre las partı́culas cuan-
do el sistema evoluciona de una configuración a otra, representadas por las posiciones de lasN
part́ıculas :
1 ≡ {−→r i(1)}
2 ≡ {−→r i(2)}
La fuerza total actuante sobre una partı́cula es:
−→
Fi =
−→
F
e
i +
N∑
j=1
−→
fji
donde
−→
F
e
i es la fuerza externa aplicada a la partı́cula i , y
−→
fji la fuerza que la partı́cula j ejerce
sobre lai.
Vamos a considerar el caso en que todas las fuerzas actuantes son conservativas, es decir
derivables del gradiente de una función escalar de las posiciones:
−→
F
e
i = −
−→∇riVi(−→r i)
−→
f ji = −
−→∇riVji(−→r i,−→r j)
Además, por la tercera ley de Newton:
−→
f ji = −
−→
f ij
Calculamos el trabajo realizado por el par de fuerzas internas
−→
fij y
−→
fji cuando desplazamos
las part́ıculasi, j desde sus posiciones iniciales−→r i(1),−→rj (1) a las finales−→r i(2),−→rj (2). El trabajo
total realizado por dichas fuerzas al pasar el sistema de partı́culas de la configuración1 a la2 es:
Wij(1,2) =
∫ 2
1
−→
fji(−→r i,−→rj )d−→r i +
∫ 2
1
−→
fij(−→r i,−→rj )d−→rj
=
∫ 2
1
−→
fij(−→r i,−→rj )(d−→r j − d−→r i)
=
∫ 2
1
−→
fij(−→r i,−→rj )d−→r ij
28
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
La fuerza interna
−→
fij(−→r i,−→rj ) puede generarse como el gradiente de una función enerǵıa po-
tencialVij(−→r i,−→rj ). Por ser una fuerza entre partı́culasi y j no puede depender en forma indepen-
diente de las posiciones−→r i,−→rj de las part́ıculas respecto del origen de coordenadas elegido, sólo
puede depender del vector relativo−→r ij = −→r j − −→ri representado en la figura 1.16. Más áun, su
magnitud no puede depender de las componentesxij = xj − xi pueséstas están referidas a las
orientaciones elegidas para los ejes coordenados que son elementos externos al par de partı́culas
i, j. La enerǵıa potencialVij podŕa depender entonces derij y en general de magnitudes escalares
como la carga eléctrica y la masa (independientes del marco de referencia externo).
Vij = Vij(rij)
y la fuerza resulta:
−→
fij = −
−→∇−→r jVij(rij) = −
dVij(rij)
drij
−→∇−→r jrij
= −dVij(rij)
drij
−→r ij
rij
Retornemos al trabajo realizado por el par de fuerzas internas
−→
fij ,
−→
fji cuando son conservati-
vas:
Wij(1,2) = −
∫ 2
1
dVij(rij)
drij
−→r ij
rij
d−→r ij (1.28)
y siendo:
−→r ij
rij
d−→r ij = 1rij
1
2d(r
2
ij) = drij
Wij(1,2) = −
∫ 2
1
dVij(rij)
drij
drij
= Vij(rij(1))− Vij(rij(2)
El trabajo de todas las fuerzas actuantes sobre lasN part́ıculas es la suma de los realizados
por las fuerzas externas más los realizados por los pares de fuerzas internas recién calculados:
W TOTAL(1,2) =
N∑
i=1
WEXTi (1,2) +
N∑
i,j=1(i>j)
Wij(1,2)
Para fuerzas externas e internas conservativas resulta:
W TOTAL(1,2) =
N∑
i=1
[Vi(1)− Vi(2)]
+
N∑
i,j=1(i>j)
[Vij(1)− Vij(2)]
29
MECÁNICA CL ÁSICA
Definiendo la enerǵıa potencial total como la suma de las energı́as potenciales generadoras de
las fuerzas externas sobre cada partı́cula, ḿas las enerǵıas potenciales entre pares de partı́culas:
V =
N∑
i=1
Vi(−→r i) +
∑
i,j(i<j)
Vij(rij) (1.29)
Conclúımos que
PARA FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS CONSERVATIVAS, EL TRABAJO REALIZADO POR LAS
MISMAS SE PUEDE EXPRESAR COMO MENOS EL INCREMENTO DE LA FUNCIÓN ENERǴIA POTENCIAL
TOTAL .
Resulta entonces:
W TOTAL12 = V (1)− V (2) (1.30)
Finalmente, definimos la energı́a total como la suma de (1.27) y (1.29):
E = T + V (1.31)
1.9.2. Ecuaciones del movimiento y teoremas de
conservaci ón para un sistema de partı́culas
Las ecuaciones del movimiento de un sistema de partı́culas son las que provienen de la apli-
cacíon de la segunda ley de Newton a cada una de ellas:
d
−→
Pi
dt
= −→F exti +
N∑
j=1,j 6=i
−→
f ji (1.32)
De esas N ecuaciones podemos extraer una que dé cuenta de la evolución del impulso lineal
total: suḿandolas
d
−→
P
dt
≡
N∑
i=1
d
−→
Pi
dt
=
N∑
i=1
−→
F
ext
i (1.33)
Las fuerzas internas no aparecen porque se anulan de a pares. Reemplazando en (1.33) el
resultado (1.26) obtenemos la ecuación de evolucíon:
M
d2
−→
R
dt2
=
N∑
i=1
−→
F
ext
i (1.34)
EL CENTRO DE MASAS SE MUEVE COMO SI LAS FUERZAS EXTERNAS ESTUVIERAN APLICADAS
SOBRE UNA PART́ICULA DE MASA M EN DICHO PUNTO.
30
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Definimos:
CONSTANTE DEL MOVIMIENTO O INTEGRAL DEL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PART́ICULAS ES
TODA FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS Y VELOCIDADES QUE SE MANTIENE CONSTANTE DURANTE
LA EVOLUCI ÓN TEMPORAL DEL SISTEMA.
Las integrales del movimiento ḿas f́aciles de identificar y que son másútiles para describir
dicha evolucíon son la enerǵıa, el impulso lineal e impulso angular. Aplicando esta definición a
(1.34) vemos que:
EL IMPULSO LINEAL TOTAL SERÁ UNA INTEGRAL DEL MOVIMIENTO EN UNA DIRECCI ÓN EN QUE LA
PROYECCÍON DE LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS EXTERNAS SE ANULE.
Para obtener la ecuación de evolucíon del impulso angular total multiplicamos vectorialmente
las ecuaciones del movimiento (1.32) por el vector posición−→r i y sumamos sobre las N partı́culas:
N∑
i=1
−→r i ×
d
−→
Pi
dt
=
d
dt
N∑
i=1
−→r i ×
−→
Pi =
d
−→
L
dt
=
N∑
i=1
−→r i ×
−→
F
ext
i +
N∑
i,j(i6=j)
−→r i ×
−→
fji
Hacemos explı́cita en la doble suma aquella sobre pares de fuerzas
−→
fij = −
−→
fji:
N∑
i,j(i6=j)
−→r i ×
−→
fji =
N∑
i,j(i<j)
−→r i ×
−→
fji +
N∑
i,j(i>j)
−→r i ×
−→
fji
=
N∑
i,j(i<j)
[−→r i −−→rj ]×
−→
fji
que se anula cuando las fuerzas de acción y reaccíon sean colineales (condición fuerte de la tercera
ley de Newton). En este caso obtenemos
d
−→
L
dt
=
N∑
i=1
−→r i ×
−→
F
ext
i
que es la ecuación de evolucíon del impulso angular total. Concluimos entonces que
PARA FUERZASDE ACCIÓN Y REACCIÓN COLINEALES, EL IMPULSO ANGULAR TOTAL SE
CONSERVA EN UNA DIRECCÍON EN QUE LA PROYECCÍON DEL TORQUE DE LAS FUERZAS EXTERNAS
SEA NULO.
31
MECÁNICA CL ÁSICA
El teorema de conservación para la energı́a total (1.31) del sistema de partı́culas se obtiene a
partir de la ecuación del movimiento para cada partı́cula:
mi
d−→vi
dt
= −→Fi
ext
+
N∑
j=1
−→
fji
El trabajo de las fuerzas aplicadas es:
W12 =
N∑
i=1
∫ 2
1
[−→Fi
ext
(−→r i) +
N∑
j=1(j 6=i)
−→
fji]d−→r i
=
N∑
i=1
∫ −→r i(2)
−→r i(1)
mi
d−→vi
dt
d−→r i
=
N∑
i=1
∫ −→vi (2)
−→vi (1)
mi
1
2
dv2i
=
1
2
N∑
i=1
mi[vi(2)2 − vi(1)2]
= T2 − T1
Este resultado, unido a la expresión 1.30 v́alida para fuerzas conservativas provee el teorema
de conservación de la enerǵıa total:
SI LAS FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS SON CONSERVATIVAS LA ENERǴIA TOTAL E = T + V DEL
SISTEMA ES UNA CONSTANTE DEL MOVIMIENTO.
1.10. Ejemplos
1.10.1. El problema del hombre y el bote
Un problema de dińamica elemental con un resultado aparentemente inesperado es el siguiente[6]:
Un hombre se encuentra en un extremo de un bote, y en el instantet = 0 comienza a moverse
hacia el otro extremo donde se detiene. Debemos encontrar el desplazamiento total del bote con-
siderando dos situaciones:
a) que no hay fuerzas de rozamiento con el agua, y
b) que existe roce y dicha fuerza es proporcional a la velocidad del bote.
Este es un problema de dos cuerpos sujetos a moverse en una dimensión.
Caso a):
No hay fuerzas externas, por lo que el centro de masas del sistema debe permanecer en reposo.
Tal como se muestra en la figura 1.17, tomamos un bote de longitud2` con su centro de masas en
el punto medio, y fijamos el origen del sistema inercial de coordenadas coincidente con ese punto
en el instante inicial.
32
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.17:Estados inicial y final de hombre y bote cuando no hay fuerzas externas actuantes
La posicíon del centro de masas totalXCM es:
XCM =
mh`
M
(1.35)
M = mh +mb
y luego del desplazamiento del hombre:
XCM =
mbXb +mhXh
M
(1.36)
Igualando los segundos miembros de (1.35) y (1.36), y teniendo en cuenta que:
Xb −Xh = `
obtenemos:
Xb =
2mh`
M
que es la respuesta del caso a).
Caso b):
Cuando existe fuerza de roce externa, el centro de masas total no permanecerá en reposo, sino
que obedecerá la siguiente ecuación del movimiento:
M
dVCM (t)
dt
= −kVb(t) (1.37)
dondeVCM , Vb son las velocidades del centro de masas y el bote. Integrando desde el tiempo
t = 0 :
33
MECÁNICA CL ÁSICA
M [VCM (t)− VCM (0)] = −k[Xb(t)−Xb(0)] (1.38)
y como la velocidad del centro de masas es nula al iniciarse el movimiento del hombre, y también
lo es un largo tiempo después de haberse detenidoéste:
Xb(∞) = Xb(0) = 0 (1.39)
Encontramos que el bote sufre un desplazamiento nulo cuando actúa una fuerza de roceF =
kVb(t), independientemente del valor de la constantek.
La figura 1.18 presenta los estados inicial y final de la evolución del sistema hombre-bote.
Figura 1.18:Estados inicial y final de hombre y bote cuando hay una fuerza externa de roce actuante
proporcional a la velocidad del bote respecto del agua
La paradoja surge de que con una fuerza de roce, por pequeña quéesta sea, el desplazamiento
del bote es nulo, mientras que sin fuerza de roce el desplazamiento es finito. Para aclarar este
punto describamos en detalle el movimiento del bote: al comenzar a moverse el hombre el bote
se desplaza en sentido contrario y en ausencia de rozamiento con el agua el impulso lineal total
es nulo a todo tiempo. Cuando hay rozamiento aparece un impulso lineal neto en el sentido del
movimiento del hombre y cuandoéste se detiene respecto del bote, como el impulso lineal del cen-
tro de masas (1.37) es una función continua del tiempo el conjunto hombre-bote deberá continuar
el movimiento con ese impulso, entonces el bote deberá cambiar el sentido de su movimiento y
volveŕa sobre sus pasos. La velocidad con que el bote inicia este nuevo desplazamiento es la co-
rrespondiente al centro de masas total en el instantet0 en que el hombre se detiene; de la ecuación
(1.38):
Vb(t0) = VCM (t0) = −
k
M
Xb(t0) (1.40)
A partir de ese instante la evolución del sistema hombre-bote estará dada por la ecuación
34
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
M
dVb(t)
dt
= −kVb(t)
cuya solucíon es:
Vb(t) = Vb(t0).e−k(t−t0)/M
y:
Xb(t) = Xb(t0).e−k(t−t0)/M (1.41)
donde hemos hecho uso de la relación (1.40).
El ańalisis mateḿatico del resultado (1.41) indica que si tomamosk = 0 (no hay roce en
absoluto) el bote permanece desplazado la distancia que recorrió hasta que el hombre se detuvo.
En cambio si suponemos que el roce existe pero es muy pequeño, el bote quedará desplazado la
cantidadXb(t0) para cualquier valor del tiempo tal que
t− t0 <<
M
k
pero tiende luego lentamente a retornar a su posición inicial. La posicíon a tiempo infinito para un
rozamiento pequẽno que se lo hace tender a cero está dada por el lı́mite:
ĺım
k→0
ĺım
t→∞
Xb(t0).e−k(t−t0)/M = 0
Este es el caso de rozamiento débil que tiende a cero pero que no es cero. La posición a tiempo
infinito para un rozamiento que es cero está dada por el resultado (1.39), pero también puede
obtenerse de (1.41) haciendo tender primero a cero el parámetro k, y luego a infinito el tiempo:
ĺım
t→∞
ĺım
k→0
Xb(t0).e−k(t−t0)/M = ĺım
t→∞
Xb(t0) = Xb(t0)
Vemos en este ejemplo la relevancia que tiene el orden en que se toman los lı́mites en funciones
de varias variables.
La descripcíon f́ısica es que una fuerza de rozamiento débil casi no frena el movimiento del
bote, por lo que la velocidad del centro de masas será muy pequẽna al detenerse el hombre. Siendo
Vb(t0) = VCM (t0) el bote se mueve lentamente, el frenamiento producido por el roce es suave y
el bote se detiene justo al llegar a la posición inicial. Este retorno exacto a la posición inicial śolo
ocurre para fuerzas de rozamiento lineales con la velocidad.
1.10.2. El problema de la cu ña y la masa deslizante
Vamos a considerar el problema mostrado en la figura 1.19 de una cuña en forma de triángulo
rect́angulo de masaM , apoyada en uno de sus catetos sobre un piso horizontal y sometida a
la accíon de la fuerza de gravedad. Sobre su hipotenusa desliza una masam. No hay fuerzas
disipativas de rozamiento. La cuña desliza sin roce sobre un plano horizontal, en tanto la masa,
35
MECÁNICA CL ÁSICA
tambíen sin roce, lo hace sobre la hipotenusa de la cuña. Act́ua la fuerza de gravedad. Queremos
calcular:
a) El tiempo que emplea la masam en caer desde una alturah respecto del suelo, partiendo
del reposo tantom comoM .
b) Deseamos conocer la trayectoria dem y
c) la fuerza de reacción que la cũna ejerce sobre ella.
Vamos a emplear varios caminos para llegar a estos resultados. Usaremos ahora las leyes de
Newton de la dińamica, y empleando las facilidades que brindan las constantes del movimiento
resolveremos todos los puntos planteados.
Solución a partir de las leyes de Newton y/o integrales del movimiento
Comenzamos planteando el problema, cuerpos en juego, coordenadas a utilizar y posibles
restricciones entre estas coordenadas (condiciones de vı́nculo o ligadura):
El sistema consiste de 2 cuerpos que podemos suponer están limitados a moverse en un plano
vertical. Necesitamos ası́ 4 coordenadas, que por ser las fuerzas externas verticales conviene ele-
girlas como coordenadas cartesianas ortogonales.
El sistema coordenado debe ser inercial para que enél valgan las leyes de la dinámica. Por ello
su origen no estará ligado a la cũna sino fuera e independiente de ella.
El piso ejerce una fuerza sobre la cuña de modo que cancele la componente vertical de las
fuerzas actuantes sobreésta, e impone que solamente pueda deslizarse en dirección horizontal.
Ésta es una condición de v́ınculo que limita los grados de libertad de la cũna: śolo tiene como
coordenada libre la abscisaX de uno de sus puntos.
Figura 1.19:Coordenadas independientesx,y,X
Por su parte, la masam no puede ubicarse en cualquier punto del plano, solamente puede ha-
cerlo sobre los puntos(x, y) situados sobre la hipotenusa de la cuña. Esto restringe las coordenadas
36
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
independientes a 2, que vamos a tomar como las(x, y) dem; la coordenadaX de la cũna queda
definida por(x, y) pues:
X = x+ y cotα (1.42)
Resulta aśı que tenemos un sistema con dos grados de libertad, y hemos propuesto las coorde-
nadas cartesianas(x, y) de la masam para describir su evolución. Nuestra meta será hallarx(t),
y(t).
Analicemos ahora la posible existencia de integrales del movimiento que nos faciliten el cálcu-
lo dex(t), y(t). Veamos las fuerzas externas actuantes: ellas son la de la gravedad actuando sobre
m y M , y la de reaccíon del piso sobreM . No hay fuerzas en la dirección horizontal, por lo que
el impulso lineal total en direcciónx se conserva:
M
dX
dt
+m
dx
dt
= constante (1.43)
Como al tiempot = 0 ambas masas están en reposo, la constante es nula.
Reescribimos la ecuación (1.43) en t́erminos de las coordenadas independientesx, y:
M
dx
dt
+M
dy
dt
cotα+m
dx
dt
= 0 (1.44)
Esta ecuación puede integrarse inmediatamente para darnos la ecuación de la trayectoria, esto
esy = f(x):
(M +m)dx+M cotαdy = 0
y = −M +m
M cotα
(x− x0) + h (1.45)
donde ya hemos incorporado las condiciones iniciales:
x(t = 0) = x0
y(t = 0) = h
Una conclusíon interesante del resultado (1.45) es que la trayectoria es rectilı́nea (ver figura
1.20), y su pendiente está entre la pendiente− tanα del caso del plano inclinado (cuña fijaó masa
M →∞), y la cáıda libre vertical cuandoM/m→ 0:
Necesitamos otra ecuación para tener totalmente determinadas las coordenadasx, y como fun-
ciones del tiempo. Recurrimos al hecho de que las fuerzas externas son conservativas, y las fuerzas
internas de acción y reaccíon satisfacen la tercera ley de Newton: la acción de la cũna sobre la
masam es igual y de signo contrario a la reacción de la masam sobre la cũna. Vemos adeḿas
de la figura 1.20 que la fuerza
−→
F v de la cũna sobre la masam, que para cuerpos en contacto que
deslizan sin rozamiento debe ser normal a la superficie de contacto, realiza un trabajo a lo largo de
la trayectoria de la masa m. Ese trabajo será igual y de signo contrario al que realiza la reacción
dem sobre la cũnaM .
37
MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.20:Trayectoria de la masa m
Podemos calcular el valor de la fuerza de vı́nculo
−→
F v, pues sabemos que es normal a la
hipotenusa y que junto a la fuerza de gravedad−mgŷ produce una resultante en la dirección
de la trayectoria; de la figura 1.20 encontramos las siguientes relaciones entre las componentes de
mgŷ,
−→
F v y la resultante
−→
F R :
mg − FR. sinβ = Fv. cosα
FR. cosβ = Fv. sinα
donde: tanβ = M+mM tanα.
DespejamosFv reemplazando en la primera ecuaciónFR = Fv. sinα/ cosβ
Fv. cosα = mg − Fv. sinα. tanβ
Fv =
mg
cosα+ sinα. tanβ
=
mg. cosα
cos2 α+ M+mM sin
2 α
que podemos reducir a:
Fv =
mg. cosα
1 + mM sin
2 α
Vemos que este resultado satisface las situaciones lı́mites conocidas:
siM/m→ 0 tenemos cáıda libre y no hay fuerza de reacción de la cũna sobre m:
38
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Fv = 0
Si m/M → 0 tenemos el equivalente a una cuña fija, y la fuerza de reacción cancela la
componente del peso en dirección normal al plano:
Fv = mg. cosα
Además vemos que la fuerza de vı́nculo es independiente del tiempo, de acuerdo con la trayec-
toria rectiĺınea que sigue la masam.
Siendo las fuerzas externas conservativas, y nulo el trabajo de las fuerzas internas desconoci-
das, la enerǵıa mećanica del sistema se conserva, que es la energı́a cińetica de las masas más la
enerǵıa potencial de las fuerzas aplicadas: la de la gravedad y la reacción del piso (estáultima no
realiza trabajo porque el desplazamiento del cuerpo es normal al sentido de la fuerza):
E =
1
2
M
dX
dt
2
+
1
2
m(
dx
dt
2
+
dy
dt
2
) +mgy
y el valor constante de la energı́a es el inicial:E = mgh. Escribimos esta expresión usando la
condicíon de v́ınculo (1.42) y la de la trayectoria (1.45); con la primera:
E =
1
2
M(
dx
dt
+ cotα.
dy
dt
)2 +
1
2
m(
dx
dt
2
+
dy
dt
2
) +mgy
=
1
2
(M +m)
dx
dt
2
+
1
2
(m+M cot2 α)
dy
dt
2
(1.46)
+M cotα.
dx
dt
.
dy
dt
+mgy
y de la segunda:
dx
dt
= − M
M +m
cotα.
dy
dt
obtenemos finalmente:
E =
1
2
(m+M cot2 α)(
dy
dt
)2 +mgy = mgh
Esta es la ecuación diferencial buscada para determinary(t):
dy
dt
= −A.
√
h− y
con:
A =
√
2g
1 + MM+m cot
2 α
39
MECÁNICA CL ÁSICA
El signo menos proviene de que la velocidaddydt es siempre negativa de acuerdo a las condiciones
iniciales.
La integral es inmediata:
dy√
h− y
= −Adt
−
√
h− y |y(t)y(t=0)= −
A
2
.t
Integramos entret = 0 que corresponde ay = h y t = T que es el tiempo de arribo de la masa
m al piso:y = 0
√
h =
A
2
.T
Entonces el tiempo que tarda en caer es:
T =
√
2h
g
[1 +
M
M +m
cot2 α] (1.47)
En la situacíon ĺımiteM/m→ 0 encontramos el resultado esperado para caı́da libre:
T =
√
2h
g
Tambíen encontramos este resultado cuando la pendientetanα = ∞ (α = π2 ).
Un complemento para la resolución de problemas de Mecánica cĺasica partiendo de las leyes
de Newton y los teoremas de conservación es el excelente texto Mecánica elemental de Juan G.
Roederer.[7]
1.11. Complemento I: El proceso de medici ón. (Opcional)
En Mećanica cĺasica las mediciones requeridas son las de posición, velocidad y aceleración de
los puntos materiales que conforman un cuerpo. Con la medición de la posicíon−→r (t) a tiempos
sucesivos podemos construir la trayectoria seguida por cada partı́cula y por consiguiente la del
cuerpo. Luego podemos comparar esta información con la prediccíon que a partir de las condi-
ciones iniciales provee el formalismo teórico, verificando la validez de los principios en que se
basa nuestro formalismo
A partir del valor de−→r (t) en dos instantes sucesivos podemos obtener el vector velocidad
−→v (t) ' (−→r (t2) − −→r (t1))/(t2 − t1) con una precisión que dependerá de cúan cercanas en el
tiempo sean las mediciones de la posición. Repitiendo el procedimiento con la velocidad podemos
conocer una aproximación a la aceleración−→a (t) ' (−→v (t2) − −→v (t1))/(t2 − t1). Esta medicíon
es importante porque a través de la aceleración de una partı́cula de masa conocidam podemos
determinar el valor del campo de fuerzas presente en cada punto del espacio. La medición de la
masa de un cuerpo se realiza por comparación de aceleraciones de dicha masa y de la masa (del
40
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
mismo tipo de material) que es tomada como unidad y ubicada en el mismo punto de un campo
de fuerzas; la balanza es el instrumento que realiza esta comparación en el campo gravitatorio
generado por la Tierra.
¿Cúal es la precisíon con la que puede medirse la posición y velocidad de una partı́cula? En
principio dependen de la menor subdivisión que pueda observarse en la regla usada para medir
la posicíon, y en la precisíon del reloj empleado para medir el intervalo temporal. Si fuera ası́,
no habŕıa ĺımite en la posibilidad de mejorar la precisión, pero como veremos a continuación la
realidad es otra.
Toda medicíon consiste en registrar mediante el ojo desnudo o un instrumento la coincidencia
de dos puntos materiales: la aguja del reloj sobre una marca de la esfera, o la del punto material
sobre una divisíon de la regla. La información obtenida queda guardada en la memoria del obser-
vador o como una marca indeleble en el papel o en la memoria electrónica de un instrumento de
medida. Por ejemplo, la partı́cula al pasar por un punto puede activar un mecanismo que al mismo
tiempo deje una marca en la regla y detenga el reloj. La acción que produce estos registros de
acuerdo a las leyes de la dinámica est́a acompãnada de una reacción equivalente sobre la partı́cula,
perturbando por consiguiente su movimiento ulterior.Es dable imaginar que la menor perturbación se produciŕa cuando el agente productor del
registro de la posición sea la luz, eliminando ası́ el contacto mećanico entre partı́cula e instrumento
de medida. Pero aún aśı existe una perturbación sobre la trayectoria: la cantidad elemental de luz
es una entidad llamada fotón, que act́ua como una partı́cula en su interacción con el punto material.
La figura 1.21 presenta un esquema del dispositivo para registrar la posición:
Figura 1.21:Observacíon óptica de un objeto
La extensíon espacial ḿınima de cualquier onda es del orden de su longitud de onda; por ello,
la dimensíon espacial ḿınima de un fot́on de luz de frecuencia circularν es∆x = c/ν , dondec
es la velocidad de la luz. Por consiguiente, dicho fotón determinaŕa la posicíon del punto material
con una precisión
∆x = c/ν
41
MECÁNICA CL ÁSICA
El impulso lineal de dicho fotón esp = hν/c dondeh = h/2π = 1, 055 × 10−34J × s
(Joule× segundo) es la constante de Planck. Al reflejarse, el cambio de impulso del fotón es del
orden dep
∆p ≈ p = hν/c
con lo que resulta la siguiente relación entre la precisión con que conocemos la coordenada de la
part́ıcula y la dispersíon que generamos en su impulso:
∆p∆x ≈ h (1.48)
Entonces, cuanto mejor midamos la posición más indeterminación tendremos en el impulso de
la part́ıcula, y viceversa.́Esta es la famosa relación de indeterminación de Heisenberg, obtenida
por nosotros para un caso particular de medición de posicíon por medio de dispersión de luz, pero
válida en una situación general[8][9].
Veamos cúales son los errores relativos en la medición de la posicíon y velocidad de un cuerpo
aeǵun lo que indica la relación de indeterminación de Heisenberg. Elegimos un cuerpo esférico
de10−6 metros de radio (1micrón) con una densidad de103 kg/m3 (equivalente a la del agua); su
masa resultam ∼= 4× 10−15Kg. . Es un cuerpo microscópico pero áun grande comparado con las
dimensiones de uńatomo, cuyo radio es del orden de10−10metros. Proponiendo medir la posición
con una precisión∆x = 10−9 metros, la relacíon 1.48 produce
∆p ≈ h
∆x
≈ 10−25Kg ×m/s
de modo que el error relativo en la medición del impulso lineal es
∆p
p
=
∆v
v
≈ 10
−10
v
Aún para un cuerpo tan pequeño como el propuesto, hallamos precisiones altı́simas en las
mediciones de coordenada y velocidad, mientras no pretendamos considerar velocidades menores
quev = 10−5m/s.
Entonces supondremos de ahora en más que nuestras partı́culas son lo suficientemente masivas
y rápidas como para despreciar la relación de indeterminación de Heisenberg, y considerar que en
cada instante podemos conocer con precisión arbitraria tanto su posición como su velocidad.
1.12. Complemento II: Sistemas de unidades
Usaremos preferentemente las unidades Standard Internacionales SI. Las magnitudes funda-
mentales son masa, tiempo y longitud, que en este sistema son el kilogramo, segundo y metro:
Masa→Kilogramo [kg]
Tiempo→Segundo [s]
Longitud→Metro [m]
Agregando la unidad de corriente eléctrica como magnitud fundamental podemos luego de-
ducir todas las unidades subsidiarias requeridas en los problemas donde se pongan en juego inte-
racciones gravitacionales o electromagnéticas:
42
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Corriente eĺectrica→Ampère [A]
Las unidades subsidiarias son:
Fuerza→Newton= 1 kg.m/s2 [N]
Enerǵıa→Joule= 1 N.m [J]
Potencia eĺectrica→Watt= 1 J/s [W]
Carga eĺectrica→ Coulomb= 1 A.s [C]
Presíon→ Pascal= 1 N/m2 [Pa]
Es habitual usar otra unidad de fuerza relacionada al ”peso ”de los cuerpos en la superficie
terrestre. Está definida por la fuerza ejercida por la atracción terrestre sobre un kilogramo, se la
llama kilogramo-fuerza y vale:
1 kilogramo-fuerza=9,80665 [N]
1.13. Problemas
1. Se lanza una piedra desde el suelo en dirección vertical estando sometida a la fuerza de
gravedad. ¿En qué punto de su trayectoria tiene la piedra su valor máximo de aceleración? Con-
sidere dos casos:
a) No hay resistencia del aire.
b) La fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad.
2. Un cãnón se encuentra ubicado a una alturah respecto del suelo. Calcular elángulo de
disparo para tener el alcance máximo.
3. Calcular la velocidad lı́mite que alcanza un proyectil de masaM atráıdo por la Tierra y
sometido a la friccíon producida por el aire. Considere:
a. Una fuerza de fricción lineal env: F = −k−→v .
b. Una fuerza de fricción cuadŕatica env: F = −kv−→v .
c. Indique las razones por las que la velocidad lı́mite depende (o no) de la velocidad inicial del
cuerpo.
4. Dos personas se encuentran en la proa y popa de un bote, el conjunto de los tres cuerpos
tiene una masa de400Kg.. Despreciando el rozamiento con el agua analizar el movimiento del
bote cuando la persona a proa lanza un cuerpo de10Kg. con una velocidad de10m/s hacia la
otra persona, que lo detiene. Indicar qué pasa con el bote cuando el cuerpo se mueve por el aire y
en el instante en que es detenido por la persona a popa.
5. Un proyectil de0, 1Kg disparado por un arma se incrusta en un bloque de madera de10Kg
que cuelga en reposo de un hilo fijo al techo (figura 1.22). Luego del impacto el bloque mante-
niendo tenso el hilo incrementa su altura respecto del piso en0, 20m. Determine la velocidad del
proyectil antes del impacto. ¿Cambiarı́a en algo la respuesta si a causa del impacto aumentase la
temperatura del conjunto bloque-proyectil?
43
MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.22:Problema 5: Proyectil impactando sobre un bloque de madera suspendido
6. Un bloque de masam desliza sin friccíon por una superficie como la de la figura 1.23
sometido a un campo de fuerzas gravitacional constante.
a) Indique las integrales del movimiento.
b) determine desde qué altura ḿınima se lo debe dejar caer para que el bloque alcance el punto
B moviéndose en contacto con la superficie.
c) Determine la velocidad del bloque en ese punto.
44
FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 1.23:Problema 6: Masa m deslizando sin roce por una curva plana
45
MECÁNICA CL ÁSICA
46
Capı́tulo 2
Formulaci ón Lagrangiana de la Din ámica cl ásica
2.1. Introducci ón
En el Caṕıtulo 1 determinamos la evolución de un sistema de partı́culas a partir del conocimien-
to de las fuerzas que actúan sobre cada una de ellas. Las situaciones en que podemos conocer todas
las fuerzas que actúan sobre cada partı́cula de un sistema fı́sico son ḿas bien la excepción y no
la regla; por ejemplo para un cuerpo macroscópico ŕıgido conocemos que las distancias entre las
part́ıculas que lo forman permanecen constantes, pero no conocemos las fuerzas entre ellas que
producen ese resultado. Entonces, el caso más general es aquél en que se conocen parte de las
fuerzas actuantes y el efecto en la evolución causado por aquéllas que desconocemos.
En este Caṕıtulo vamos a presentar un método pŕactico para resolver este problema, donde
hayN part́ıculas cuyos movimientos están restringidos por la presencia de fuerzas desconocidas.
Este formalismo fue dado a conocer por el matemático y f́ısico italiano Joseph-Louis de Lagrange
en 1788, quien previamente habı́a alcanzado un generalizado reconocimiento de la comunidad
cient́ıfica europea como autor del cálculo de variaciones (ḿetodo para la b́usqueda de ḿaximos y
mı́nimos de funcionales).
El formalismo de Lagrange para resolver sistemas de partı́culas como los que nos ocupan
fue la piedra angular sobre la que se cimentaron los desarrollos posteriores, que trascendieron el
ámbito de la Mećanica newtoniana al resto de la Fı́sica cĺasica y a la actual Mecánica cúantica.
Este formalismo permite iniciar un estudio sistemático de las llamadas integrales del movimien-
to, las que ya hemos presentado en el Capı́tulo anterior. Corresponden a la conservación de ciertas
magnitudes en sistemas fı́sicos y en general en el mundo natural, que han adquirido con el tiem-
po un nivel de confianza y estatus de inviolabilidad aún superiora la de las leyes básicas del
movimiento.
Para una mejor comprensión o profundizacíon del tema recomendamos los textos de H. Goldstein[1]
y Landau y Lifshitz[2].
2.2. Vı́nculos
Un sistema deN part́ıculas posee3N coordenadas independientes. La evolución de cada una
de ellas queda determinada por una ecuación de movimiento del tipo
47
MECÁNICA CL ÁSICA
mi
d2−→r i
dt2
= −→F ei +
N∑
j 6=i
−→
fij
Un sistema de partı́culas o los cuerpos macroscópicos tienen habitualmente limitado el número
de coordenadas independientes o el espacio disponible para su evolución debido a condiciones de
vı́nculo (tambíen llamadas condiciones de ligadura) impuestas por el entorno o actuantes entre
los cuerpos del sistema. Ası́, un cuerpo ŕıgido mantiene constantes las distancias entre todos sus
puntos, o un gas en un recipiente tiene limitada la posición de las moĺeculas componentes.
LOS VÍNCULOS SON AGENTES PRODUCTORES DE FUERZAS, EXTERNAS O INTERNAS DEL SISTEMA,
PERO EN LUGAR DE CONOCER EL VALOR DE ESAS FUERZAS CONOCEMOS AHORA EL EFECTO QUE
PRODUCEN SOBRE LOS CUERPOS DEL SISTEMA EN ESTUDIO.
Mateḿaticamente, los v́ınculos son relaciones entre las coordenadas que limitan el número de
variables independientes. Cuando la relación entre las coordenadas es una ecuación del tipo:
f(−→r1 ,−→r2 , ....−→rN , t) = 0 (2.1)
el v́ınculo se denomina holónomo. Cuando no es posible establecer una ecuación de este tipo, sino
que tenemos una desigualdad o ecuación diferencial a satisfacer donde aparte de las coordenadas
aparecen sus velocidades, el vı́nculo es no hoĺonomo. Adeḿas, seǵun que la relacíon dependa ex-
plı́citamente o no del tiempo el vı́nculo se clasificaŕa en réonomo o escleŕonomo respectivamente:
Holónomos
{
f(−→r 1,−→r 2, ....−→r N ) = 0 : Esclerónomos
f(−→r 1,−→r 2, ....−→r N , t) = 0 : Reónomos
}
No− holónomos
{
f(−→r 1,−→r 2, ....−→r N , t) > 0
f(−→r 1, d−→r 1/dt, ...., t) = 0
}
Las ecuaciones (2.1) pueden emplearse para definir un nuevo conjunto de coordenadas que
sean independientes entre sı́:
f(x1, y1, z1, x2, ....., xN , yN , zN , t) = 0 (2.2)
que nos permite despejar por ejemplox1 en t́erminos del resto de las coordenadas:
x1 = f1(y1, z1, x2, ....., xN , yN , zN , t) (2.3)
reduciendo en uno el número de coordenadas independientes.
Si existenK condiciones de este tipo tenemos solamente3N−K coordenadas independientes
que constituyen los grados de libertad del sistema. Es posible obtener las coordenadas−→r i ≡
{xi, yi, zi} como funciones explı́citas de3N −K variables independientesqn:
48
FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE LA DINÁMICA CL ÁSICA
xi = Fxi(q1, q2, ....q3N−K , t)
yi = Fyi(q1, q2, ....q3N−K , t)
zi = Fzi(q1, q2, ....q3N−K , t) (2.4)
Resolver el problema consiste en hallar la evolución de las3N −K coordenadasqi.
Estas nuevas variables se denominan coordenadas generalizadas, no necesariamente son coor-
denadas cartesianas ortogonales y pueden no tener dimensiones de longitud.
Cuando los v́ınculos son holońomicos es posible definir coordenadas generalizadas, en este
caso el problema dińamico consiste en hallar la evolución temporal de las mismas; para ello es
necesario definir3N − K ecuaciones del movimiento que amalgaman las leyes de Newton para
lasN part́ıculas y lasK condiciones de v́ınculo. Una dificultad adicional es el desconocimiento de
las fuerzas generadas por los vı́nculos. Seguidamente vamos a derivar un método sisteḿatico para
tratar este problema. No existe en cambio un método sisteḿatico para tratar sistemas con vı́nculos
no holońomicos.
2.3. Principio de los Trabajos Virtuales
SE DENOMINA DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE UN SISTEMA A UN CAMBIO INFINITESIMAL EN LAS
COORDENADAS DE LAS PART́ICULAS O CUERPOS QUE LO COMPONEN, QUE ES COMPATIBLE CON LAS
CONDICIONES DE V́INCULO A UN DADO TIEMPO T.
La diferencia importante con un desplazamiento real reside en queéste se lleva a cabo en un
intervalo de tiempo, pudiendo entonces producirse cambios en las condiciones de vı́nculo. Vemos
en figura 1.21 para una partı́cula sujeta a deslizarse sobre un alambre a su vez en movimiento
(vı́nculo réonomo) la diferencia entre ambos desplazamientos:
Las fuerzas externas generadas por los vı́nculos son en general normales al desplazamiento
permitido a las partı́culas, śolo en el caso de fuerzas no conservativas (de roce) habrá resultantes
no nulas en la dirección del movimiento.
En el caso de fuerzas internas producidas por los vı́nculos, por ejemplo una ligadura que fija
la distancia entre dos partı́culas, por el principio de acción y reaccíon esos pares de fuerzas de
vı́nculo son iguales, colineales y de sentidos opuestos. Un desplazamiento virtual del par se puede
descomponer en una traslación
−→∆t de un punto cualquiera seguida de una rotación−→∆r alrededor
de este punto, como muestra la figura 2.2
La rotacíon produce desplazamientos virtuales normales a las fuerzas de vı́nculo y es cero el
trabajo realizado, en tanto que para la traslación es diferente de cero el trabajo virtual de cada
fuerza por separado pero se cancelan mutuamente.
Vamos a concentrar nuestro estudio de la dinámica a aquellos sistemas donde las fuerzas de
vı́nculo no realizan trabajo durante un desplazamiento virtual de las partı́culas. De hecho, si un
vı́nculo realizara trabajo se modificarı́a su enerǵıa interna y deberı́a ser considerado como parte
integrante del sistema de cuerpos en estudio. Entonces los problemas que estudiaremos de ahora
en ḿas se refieren a
49
MECÁNICA CL ÁSICA
Figura 2.1:Desplazamientos virtual y real de una partı́cula
SISTEMAS MECÁNICOS: DONDE EL TRABAJO DE LAS FUERZAS DE V́INCULO ES NULO AL
REALIZAR UN DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE LAS PARTÍCULAS DEL SISTEMA:
N∑
i=1
−→
F
v
i .δ
−→r i = 0 (2.5)
Cuando un sistema de partı́culas est́a en equilibrio, la fuerza total actuante sobre cada una debe
ser nula:
−→
F i =
−→
F
a
i +
−→
F
v
i = 0
−→
F
a
i : fuerza aplicada sobre la partı́cula, resultante de todas las fuerzas externas e internas que no
sean de v́ınculo.
−→
F
v
i : fuerza producida por los vı́nculos sobre la partı́culai.
Multiplicando cada fuerza
−→
F i por el desplazamiento virtual de la partı́cula y sumando sobre
el sistema:
N∑
i=1
[−→F ai +
−→
F
v
i ].δ−→r i = 0
y haciendo uso de la hipótesis de que el trabajo virtual de las fuerzas de vı́nculo es nulo, ecuación
2.5, obtenemos:
N∑
i=1
−→
Fi
a
.δ−→r i = 0 (2.6)
50
FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE LA DINÁMICA CL ÁSICA
Figura 2.2:Desplazamiento virtual de dos partı́culas unidas rı́gidamente
que es el
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES: CUANDO UN SISTEMA EST́A EN EQUILIBRIO EL
TRABAJO DE LAS FUERZAS APLICADAS A LO LARGO DE UN DESPLAZAMIENTO VIRTUAL ES NULO.
En el caso de v́ınculos independientes del tiempo (esclerónomos) los desplazamientos posibles
de las part́ıculas coinciden con los desplazamientos virtuales, entonces la condición de equilibrio
obtenida que nos dice que el trabajo de las fuerzas aplicadas es nulo, es equivalente en el caso de
fuerzas conservativas a que la energı́a potencial sea un extremo (máximo o ḿınimo).
Los desplazamientos virtualesδ−→r i no son linealmente independientes debido a la presencia de
condiciones de v́ınculo. En cambio śı lo son los desplazamientos de las coordenadas generalizadas
qj , que son incrementosδqj en dichas coordenadas realizados sobre el sistema de partı́culas para
un dado valor del tiempo. La relación entre ambos desplazamientos es:
δ−→r i =
3N−K∑
j=1
∂−→r i
∂qj
δqj (2.7)
y reemplazando en (2.6) obtenemos:
3N−K∑
j=1
(
N∑
i=1
−→
F
a
i .
∂−→r i
∂qj
)δqj = 0
Debido a que tanto las coordenadasqj como sus desplazamientosδqj son independientes entre
śı, cada uno de los coeficientes de losδqj debe ser nulo, lo que genera3N −K ecuaciones a ser
satisfechas por las coordenadas generalizadasqj en la configuracíon de equilibrio:
51
MECÁNICA CL ÁSICA
N∑
i=1
−→
F
a
i .
∂−→r i
∂qj
= 0, j = 1, 2..,3N −K
Estas ecuaciones nos permiten, conocidas las fuerzas aplicadas, determinar las posiciones