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ENSAYO DE ELECTRODINAMICA CLASICA EN GENERAL Y 
ELECTRODINAMICA ESPACIAL EN PARTICULAR 
Rebeca López Montes 
 
La Física ha visto ocurrir dos grandes revoluciones en el siglo XX: la revolución 
relativista de 1905 y la revolución cuántica de 1924. Ambas cambiaron de manera 
radical, la imagen que el hombre se había hecho de la naturaleza. Espacio, 
tiempo, energía, y tantos otros elementos de las teorías físicas fueron vistos desde 
una nueva perspectiva. 
 Si unimos el principio de incertidumbre al de relatividad, la descripción de un 
fenómeno en apariencia tan simple y tan bien conocido como el de la atracción 
entre dos cargas eléctricas adquiere formas extraños. Así surge el apantallamiento 
de la carga eléctrica, aun en el vacío. 
Para la física clásica, la del siglo XIX, tal apantallamiento de la carga eléctrica era 
un fenómeno bien conocido. Se conoce como polarización del medio y ocurre 
cuando una carga se coloca dentro de un material, como un dieléctrico, que 
contiene tanto cargas positivas como negativas. El electrón que se ha introducido 
repele a las cargas negativas y atrae a las positivas, polarizando así al medio. 
El resultado de esta polarización es que, vista de lejos, la carga negativa del 
electrón parece más pequeña, se ve apantallada por las cargas positivas que 
tienden a rodearlo. Para sentir la verdadera carga del electrón, tendremos que 
acercarnos mucho a él, más allá de la pantalla. Hasta aquí la idea prevaleciente 
en la electrodinámica clásica. 
Si seguimos la línea de pensamiento clásica, un electrón en el vacío no ha de 
sufrir los efectos del apantallamiento. El vacío clásico es un mar de tranquilidad, 
sin partículas, cargas o energía. Pero el principio de Heisenberg cambia 
radicalmente esta visión. A medida que inspeccionamos un sistema —en el 
vacío— durante tiempos cada vez más cortos, alteramos su energía, tanto más 
cuanto menor sea ese tiempo de observación. Y si ahora agregamos las ideas 
relativistas, según las cuales masa y energía son la misma cosa, vemos que una 
fluctuación en energía puede manifestarse como masa: las partículas pueden 
llegar a materializarse de la nada durante tiempos cortos. 
El vacío (cuántico-relativista), dista mucho de ser ese mar sereno que es el vacío 
clásico. En él se crean y se aniquilan partículas virtuales, que siempre vienen en 
parejas partícula-antipartícula para conservar la carga y otras cantidades. Esas 
fluctuaciones del vacío serían también polarizables por un electrón externo que se 
agregara al vacío, igual que se polarizó el medio dieléctrico que antes 
consideramos desde el punto de vista clásico. 
En consecuencia, el vacío se polariza y la carga de un electrón aislado se ve 
apantallada y decrece, en efecto, con la distancia. Esta es una conclusión 
ineludible si se unen las dos grandes revoluciones de la física contemporánea 
para crear la teoría del campo electromagnético: la electrodinámica cuántica. El 
apantallamiento de la carga eléctrica es una de tantas consecuencias de esta 
teoría que es la teoría física que mayores éxitos ha tenido en la historia de la 
ciencia. 
ELECTRODINÁMICA CLÁSICA 
La electrodinámica clásica se basa en las ecuaciones de Maxwell y sirven para 
fenómenos a escala macroscópica. 
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen 
por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James 
Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados 
experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday, entre otros, 
introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento y unificando 
los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo 
electromagnético. 
En estas ecuaciones se observa la ley de Faraday (ecuación 54 en su trabajo), la 
ecuación 56, div B = 0 de su autoría, la ley de Ampére con correcciones hechas 
por él (ecuación 112) y la ley de Gauss (ecuación 113). Éstas expresan 
respectivamente como el cambio de los campos magnéticos producen campos 
eléctricos, la ausencia experimental de monopolos magnéticos, como una 
corriente eléctrica y el cambio en los campos eléctricos producen campos 
magnéticos y cómo cargas eléctricas producen campos eléctricos. En el trabajo 
original de Maxwell se podían encontrar muchas otras ecuaciones pero se llegó a 
simplificarlas a estas cuatro. 
El aspecto más importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el 
término que introdujo en la ley de Ampére; la derivada temporal de un campo 
eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell 
publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la 
versión de la ley de Ampére con lo que se predecía la existencia de ondas 
electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad 
de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda 
electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo. 
Exceptuando la modificación a la ley de Ampére, ninguna de las otras ecuaciones 
era original. Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de 
modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de 
fuerza de Faraday. 
En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las 
reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que 
al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las 
derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se 
perdiera el término vxB que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de 
Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario 
a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz. 
 
OBTENCIÓN DE LA ECUACIONES DE MAXWELL 
Ley de Gauss 
La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una 
superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ( ) a la cantidad de fluido 
eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de 
fluidos, éste fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la 
cantidad de campo eléctrico ( ) que pasa por una superficie. Matemáticamente 
se expresa como: 
 
La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es 
igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior 
de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (ε0), así: 
 
La forma diferencial de la ley de Gauss es 
 
Donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, 
para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo 
eléctrico ( ) y nuestra expresión obtiene la forma: 
 
Ley de Gauss para el campo magnético: 
Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo 
que no existe un monopolo magnético. 
Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a 
diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta 
ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser 
cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual 
sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto 
expresa la no existencia del monopolo magnético. Matemáticamente esto se 
expresa: 
 
Donde es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética. 
Su forma integral equivalente: 
 
Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la 
integral está definida en una superficie cerrada. 
Ley de Faraday: 
La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina 
una fuerza electromotriz en un campo magnético. Esta ley es muchas veces 
llamada como ley de Faraday-Lenz, debido a que Heinrich Lenz descubrió ésta 
inducción de manera separada a Faraday pero casi simultánea. Lo primero que se 
debe introducires la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magnético 
variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito 
eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, 
así: 
, 
Como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo 
magnético es igual a: 
. 
Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico 
que se representa como: 
 
Con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday: 
 
Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la 
existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario 
cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier 
superficie limitada por el camino cerrado. 
La forma diferencial de esta ecuación es: 
 
Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también 
muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores 
eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra 
que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una 
superficie dada. 
Ley de Ampére generalizada: 
Ampére formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente 
eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampére nos dice que la circulación 
en un campo magnético ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la 
densidad de corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C, 
matemáticamente así: 
 
Donde es la permeabilidad magnética en el vacío. 
Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del 
tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. 
Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y 
posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformuló esta 
ley así: 
 
En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampére, 
además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un 
campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la 
carga. 
En forma diferencial, ésta ecuación toma la forma: 
 
Ecuaciones finales de Maxwell 
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas 
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla: 
Nombre Forma diferencial Forma integral 
Ley de Gauss 
campo 
eléctrico: 
Ley de Gauss 
para el campo 
magnético 
 
 
Ley de 
Faraday: 
 
 
Ley de Ampére 
generalizada: 
 
 
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican 
cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de 
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo 
de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y 
general. Además Maxwell descubrió que la cantidad era simplemente 
la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación 
electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, 
la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla: 
Símbolo Nombre Valor numérico 
Unidad de medida 
SI 
Tipo 
 
Velocidad de la luz en el 
vacío 
metros por 
segundo 
definido 
 
Permitividad 
 
faradios por metro derivado 
 
Permeabilidad magnética 
 
henrios por metro definido 
 
Potencial escalar y potencial vector: 
Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el 
objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial 
vector ( ) y potencial escalar ( ). Este potencial vector no es único y no tiene 
significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da 
lugar a una contribución paralela a la corriente.14 Este potencial se obtiene 
como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce 
que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a 
un rotacional, así: 
 
 
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un 
potencial escalar así: 
 
Donde el signo menos ( − ) es por convención. Estos potenciales son importantes 
porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de 
escogerlos. El campo eléctrico en función de los potenciales: 
 
Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell 
quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo 
magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de 
Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales: 
 
y la ley de Ampére generalizada 
 
Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales 
parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de 
segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda 
de una adecuada elección del gauge. 
Consecuencias físicas de las ecuaciones 
Principio de conservación de la carga: 
Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio de conservación de la 
carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global 
ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie 
cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo 
de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la 
densidad de corriente satisfacen una ecuación de continuidad. 
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampére se tiene: 
 
Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que 
(para cualquier vector ), se obtiene: 
 
o bien en forma integral: 
ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA 
Posteriormente a la revolución cuántica de inicios del siglo XX, los físicos se vieron 
forzados a buscar una teoría cuántica de la interacción electromagnética. El 
trabajo de Einstein con el efecto fotoeléctrico y la posterior formulación de la 
mecánica cuántica sugerían que la interacción electromagnética se producía 
mediante el intercambio de partículas elementales llamadas fotones. La nueva 
formulación cuántica lograda en la década de los años 40 del siglo XX describía la 
interacción de este fotón portador de fuerza y las otras partículas portadoras de 
materia. 
La electrodinámica cuántica es principalmente una teoría cuántica de campos 
renormalizada. Su desarrollo fue obra de Sinitiro Tomonaga, Julian Schwinger, 
Richard Feynman y Freeman Dyson alrededor de los años 1947 a 1949. En la 
electrodinámica cuántica, la interacción entre partículas viene descrita por un 
lagrangiano que posee simetría local, concretamente simetría de gauge. Para la 
electrodinámica cuántica, el campo de gauge donde las partículas interactúan es 
el campo electromagnético y esas partículas son los fotones. 
La electrodinámica cuántica (QED de Quantum Electrodynamics) es una de las 
teorías más precisas de cuantas se crearon en el siglo XX. Es capaz de hacer 
predicciones de ciertas magnitudes físicas con hasta veinte cifras decimales de 
precisión, un resultado poco frecuente en las teorías físicas anteriores. Por esa 
razón la teoría fue llamada "la joya de la física". Entre sus predicciones más 
exactas están: 
 El momento magnético anómalo del electrón y del muón, para el cual la 
ecuación de Dirac predecía un valor de exactamente el doble del valor 
clásico. Para el electrón la QED predica un valor: 
 
Donde: 
es la carga eléctrica del electrón. 
es la constante de Planck. 
es la velocidad de la luz en el vacío. 
es la permitividad eléctrica del vacío. 
 El valor del salto de Lamb en los niveles energéticos del átomo de 
hidrógeno. 
Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman recibieron los premios 
Nobel de Física de 1965 por su desarrollo, sus contribuciones que implicaban una 
prescripción covariantey gauge invariante para el cálculo de cantidades 
observables. La técnica matemática de Feynman, basada en sus diagramas, 
parecía inicialmente muy diferente del enfoque teórico de campos, basado en 
operadores de Schwinger y Tomonaga, pero fue más adelante demostrado como 
equivalente. El procedimiento de renormalización para dar sentido a algunas de 
las predicciones infinitas de la teoría cuántica del campo también encontró su 
primera puesta en práctica acertada en electrodinámica cuántica. 
Descripción de la teoría 
La electrodinámica cuántica es una descripción detallada de la interacción entre 
fotones y partículas cargadas de tipo fermiónico. La teoría cuántica comparte 
ciertos rasgos con la descripción clásica. De acuerdo con la descripción de la 
óptica clásica la luz viaja sobre todos los caminos permitidos, y su interferencia 
determina los frentes de onda que se propagan de acuerdo con el principio de 
Fermat. Similarmente la descripción cuántica de los fotones (y los fermiones) 
pasan por cada camino posible permitido por aberturas o sistemas ópticos. En 
ambos casos el observador detecta simplemente el resultado matemático de la 
superposición de todas las ondas consideradas a lo largo de integrales de línea. 
Una diferencia es que en la electrodinámica la velocidad efectiva de un fotón 
puede superar la velocidad de la luz en promedio. 
Además QED fue la primera teoría cuántica del campo en la cual las dificultades 
para construir una descripción completa de campos y de creación y aniquilación 
de partículas cuánticas, fueron resueltas satisfactoriamente. 
Matemáticamente, podemos decir que la electrodinámica cuántica tiene la 
estructura de una teoría de gauge abeliana con U(1) el grupo de gauge. El campo 
de gauge que media la interacción entre campos de espín-1/2 con carga es el 
campo electromagnético. 
La evolución temporal de un sistema de partículas cargadas y fotones puede ser 
calculada mediante teoría de perturbaciones. Un tipo de cálculo importante son los 
elementos de la matriz S que permiten encontrar las secciones eficaces de la 
dispersión de partícula que pueden ser medidas mediante experimentos. La 
electrodinámica cuántica reduce este tipo de cálculos a un desarrollo en serie de 
términos perturbativos que permiten encontrar con la precisión deseada esas 
secciones eficaces. Cada uno de los términos perturbativos admite una 
representación gráfica conocida como diagramas de Feynman. De hecho la 
electrodinámica cuántica fue históricamente la primera teoría donde se usaron 
diagramas de Feynman como ayuda en el cálculo perturbativo. La forma de cada 
uno de los términos perturbativos, y por tanto la representación gráfica asociada 
depende de la forma del lagrangiano que caracteriza dicha teoría. 
Adecuación experimental 
Es importante señalar que la electrodinámica cuántica no da valores concretos de 
lo que sucedería en un experimento concreto, sino sólo probabilidades de que 
suceda un determinado tipo de situación. Es por eso, que los experimentos usan 
un número relativamente grande de partículas que son dispersadas 
estadísticamente de acuerdo con las probabilidades predichas por la teoría. A 
partir de la distribución de partículas dispersadas puede medirse la sección eficaz 
comparable con las predicciones numéricas de la teoría. 
Las predicciones de la electrodinámica cuántica han sido confirmadas por los 
experimentos hasta un nivel insólito de precisión: habitualmente se tienen 
experimentos que coinciden en 12 cifras decimales correctas con las predicciones 
de la teoría. Esto hace de la electrodinámica cuántica la teoría más precisa 
construida por el hombre. 
Formulación matemática: 
La dinámica y propiedades básicas de una teoría de campo depende de la forma 
seleccionada para el lagrangiano. La selección de lagrangiano depende de las 
simetrías del grupo de gauge y del hecho de que la teoría describa 
adecuadamente la interacción entre fermiones cargados. En una teoría que 
describa campos fermiónicos interactuando mediante un campo de gauge 
bosónico asociado a partículas sin masa (fotones) cuyo grupo de gauge es 
conmutativo, el lagrangiano de partida puede tomarse como: 
 
Donde el campo ferminónico y su adjunto de Dirac son los campos que 
representan partículas de carga eléctrica, específicamente el electrón y los 
campos del positrón representados como espinor de Dirac. La parte del 
lagrangiano que contiene el tensor de campo electromagnético describe la 
evolución libre del campo electromagnético, mientras que la ecuación de Dirac con 
la derivada covariante de gauge describe la evolución libre de los campos del 
electrón y del positrón así como su interacción con el campo electromagnético. 
Ecuaciones de movimiento: 
Las ecuaciones de "movimiento" o ecuaciones de evolución temporal de la QED 
pueden obtenerse mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange del lagrangiano de 
la teoría. Insertando ese lagrangiano en las ecuaciones de Euler-Lagrange se 
obtiene la ecuación de evolución temporal de la teoría: 
 
Colocando los dos términos dentro de la ecuación de Euler-Lagrange resulta 
finalmente la siguiente ecuación de evolución para el campo fermiónico: 
 
El miembro de la izquierda es precisamente la ecuación de Dirac y el término de la 
derecha representa la interacción con el campo electromagnético. 
Las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange, aplicadas ahora al campo Aµ, 
permiten encontrar las ecuaciones de evolución del campo electromagnético: 
(3) 
 
Y la ecuación de evolución del campo electromagnético resulta finalmente: 
 
Donde el segundo miembro puede ser interpretado como la densidad de corriente 
asociada al campo fermiónico. 
Reglas de Feynman: 
Para dar cuenta de todos los efectos cuánticos, es necesario reemplazar las 
componentes de los campos en las anteriores ecuaciones diferenciales por 
operadores autoadjuntos interpretables como genuinos operadores cuánticos. En 
general eso lleva a unos sistemas de ecuaciones que no sabemos como integrar 
exactamente, pero que admiten un tratamiento perturbativo, descomponiendo el 
operador de evolución temporal en series de potencias o 
serie perturbativa. 
El cálculo de cada término de la serie anterior puede realizarse de manera casi 
automática con la ayuda de los llamados diagramas de Feynman, a los que se 
puede asociar unas reglas de Feynman. La precisión del cálculo depende de 
cuantos términos se consideran en la serie perturbativa anterior. 
Renormalización: 
Un serio problema con las reglas de Feynman es que tal que fueron establecidas 
por primera vez conducen a diagramas y términos divergentes en la serie 
perturbativa, es decir, términos no finitos que echan a perder el cálculo de los 
términos finitos. Obviamente todos los resultados físicos son finitos y esos 
términos divergentes del cálculo no son observables en la realidad. La 
renormalización es un conjunto de reglas adicionales que interpretan qué relación 
existe entre los términos calculados y los términos medibles en la realidad y 
generan reglas adicionales que permiten "normalizar" los cálculos y garantizar que 
se producen resultados numéricos finitos comparables con la realidad mediante 
experimento. 
Es conocido que el hecho de que una teoría cuántica sea una teoría de campo de 
gauge le confiere la propiedad de ser renormalizable, en el sentido de que existe 
un conjunto de reglas adicionales que permiten eliminar términos divergentes no 
observables y dar lugar a resultados finitos.