Geometria Sem 5

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11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II GEOMETRÍA TEMA 5
SNII2G5
GEOMETRÍA
TEMA 5
CIRCUNFERENCIA II
DESARROLLO DEL TEMA
I. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUN-
FERENCIA
A. Ángulo Central
O a
A
B
Del gráfico se cumple:
mAB = a
B. Ángulo Inscrito
a
A
B
Del gráfico se cumple:
mAB = 2a
C. Ángulo Semi–inscrito
P B
A
ab
Del gráfico se cumple:
mAB = 2a
mAPB = 2b
D. Ángulo Ex–inscrito
x b
a
Del gráfico se cumple:
x = a + b
2
E. Ángulo Interior
q
a x
Del gráfico se cumple:
x = a + q
2
F. Ángulo Exterior
Caso 1
x P
A
B
b
a
Del gráfico A y B son puntos de tangencia
x = b – a
2
x + a = 180°
CIRCUNFERENCIA II
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIGEOMETRÍATEMA 5
Caso 2
x
T
a
b
Del gráfico T es punto de tangencia
x = b – a
2
Caso 3
x
a
b
En el gráfico:
x = b – a
2
II. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA 
CIRCUNFERENCIA
 Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una 
misma circunferencia.
A
B
C
D
 ABCD: Cuadrilátero Inscrito ó Ciclico
III. PROPIEDADES
 En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los 
ángulos opuestos son suplementarios.
a
b
DA
B
C
a + b = 180°
Nota:
a b
a
b
IV. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
 Es aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una 
circunferencia, por lo cual, deberá cumplir con las 
propiedades anteriores.
 Un cuadrilátero va a ser inscriptible si se cumple:
1) 2)
aa
3) 4)
b
b
Nota:
La medida longitudinal y la medida angular de 
una circunferencia de radio "r" es 2pr y 360º 
respectivamente. 
CIRCUNFERENCIA II
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II GEOMETRÍA TEMA 5
Problema 1
Si: mAB = mCD
4
, calcula mEF
A
B
b
D
E
F
P
A) mEF = 20° B) mEF = 60°
C) mEF = 80° D) mEF = 30°
E) mEF = 10°
UNMSM 1997
 NIVEL FÁCIL
Resolución:
De los datos y el gráfico:
mAB = 20°; mCD = 80°
En la circunferencia menor:
mP = mCD – mAB
2
 = 80° – 20°
2
mP = 30°
En la circunferencia mayor, por ser 
ángulo inscrito:
mEF
2
 = mP ⇒ mEF = 60°
Respuesta: mEF = 60°
Problema 2
En el gráfico, calcula x.
B
P
D
CxE
30°
A) 28º B) 30º 
C) 10º D) 22º 
E) 23º
UNMSM 1993
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
BA
a a
b
b
P
D
CxE
30°
Del gráfico:
30º + a + b = 180º
 a + b = 150º
En la circunferencia:
mEA+ 2a + 2b = 360º
mEA + 300º = 360º ⇒ mEA = 60º
 x = mEA
2
Por ángulo inscrito: 
x = 30°
Respuesta: 30º
Problema 3
En el gráfico, calcula: mBD – mCF,
si: mAMD – mENF=15°
A
M
B
E
N
F
C
P
D
 UNMSM 1996
 NIVEL DIFÍCIL
A) 18º B) 30º C) 15º 
D) 12º E) 20º
Resolución:
P = mAMD – mBD
2
 
Del gráfico: 
 P = mENF – mCF
2
Luego: 
mENF – mCF
2 = 
mAMD – mBD
2
mBD – mCF – mAMD – mENF
mBD – mCF = 15°
Respuesta: 15º
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. En la figura, hallar "x".
B
A
C
x
100° 40°
A) 20° B) 15° C) 5°
D) 10° E) 60° 
2. En la figura, hallar "x" si: 
 m ABP = 220°.
C
A
B
x
P
A) 40° B) 60° C) 70°
D) 30° E) 140° 
3. Hallar "x" si A y B son puntos de 
tangencia.
C
A
x
B
60°
80°
A) 70° B) 40° C) 10°
D) 20° E) 100° 
CIRCUNFERENCIA II
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIGEOMETRÍATEMA 5
4. En la figura, hallar "x".
x
80°
A) 10° B) 20° C) 30°
D) 40° E) 50° 
5. Hallar "x".
xA
F
B C
D
E
80°
A) 50° B) 60° C) 65°
D) 70° E) 100° 
PROFUNDIZACIÓN
6. Hallar "x" si O: centro de la 
circunferencia.
130°
O
x
A) 50° B) 70° C) 45°
D) 65° E) 60° 
7. Hallar "q" si "O" es centro y T punto 
de tangencia.
T
O
q4q
A) 30° B) 40° C) 10°
D) 60° E) 45° 
8. Hallar "b", O: es centro de la 
circunferencia.
E
B C
D
A 35°
O
R
b
R
A) 90° B) 60° 
C) 110° D) 140° 
E) 105° 
9. En la figura, hallar x+y
A
N
M
B
x
y
100°
20°
A) 90° B) 60° 
C) 110° D) 140° 
E) 130° 
SISTEMATIZACIÓN
10. En la figura, hallar "x".
x
80°
A) 40° B) 50° C) 45°/2
D) 20° E) 100° 
11. En la figura, hallar "q".
2q
2q
O
A) 30° B) 10° C) 60°
D) 20° E) 70° 
12. Hallar "x".
4x
5x
A) 40° B) 50° 
C) 60° D) 20° 
E) 10°