Impedancia_Compleja

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UTN:Facultad Regional Córdoba
Departamento Ingeniería Industrial
Cátedra
Electrotecnia y Máquinas Eléctricas
Tema: Impedancia Compleja y Fasores
Ing. Daniel Luna
2015
Números complejos
El conjunto de todos los números reales racionales e irracionales podemos representarlos sobre una 
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recta o eje de la siguiente forma :
 2 e Pi
 | | | | | | | | | | | | | | |-
 2 3 4
pero representar el el valor de la raíz cuadrada de un numero negativo no sería posible por ser un 
Numero Imaginario por ejemplo −1 ; −2 ;−3
Para diferenciar un numero imaginario de un Nº real usaremos la letra “J” y la definimos como :
J=−1
por lo tanto la raíz de un numero negativo podemos escribirla de la siguiente manera :
−2=−12=J 2
−4= J 2
A todos estos números imaginarios podemos representarlos también sobre una recta o eje y podemos 
formar así, un un plano complejo con un par ejes ortogonales con ordenada el eje imaginario y absisa 
el eje de los números reales.
 J imaginario
 Jy z (x,y)
 
 Reales (-) 0 x (+) Reales
 
 -J
Un punto “ Z” en plano complejo queda así definido por el par de coordenadas (x,y), siendo x la parte 
real e “y” la parte imaginaria.
Así. el número complejo tiene la forma Z = x + Jy . Donde “x” la parte real e “y” es la parte 
imaginaria.
Representación polar de un número imaginario 
Un punto del plano complejo puede representarse también a través del segmento “r” y el angulo Θ
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-2 -1 0 1
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esto es :
 J z
 y (x,y)
 r Z = x + J y Forma Binómica
 
 Θ x = r cos Θ 
 x y = r sen Θ
donde: r= x2 y 2
 
 y el ángulo Θ es : Θ= arctan 
y
x

(1) remplazando Z = r ( cos Θ + j sen Θ) Forma trigonométrica
 
 De acuerdo a la formula de Euler : e
jΘ
= cos Θ  jsen Θ 
podemos escribir un número complejo (1) con la forma : 
Z = r e jΘ (Forma exponencial de un complejo)
Otra forma también muy usada para escribir los nº complejo es la forma polar 
 
 
Z=rΘ “Steinmetz” Forma polar
 
solamente aquí obviamos el el valor de e j 
Impedancia Compleja
En los circuitos eléctricos RL y RC serie alimentados con corriente continua, los elementos como la 
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bobina y el capacitor después de haber superado 4 veces las respectivas constante de tiempo ح=
L
R
y =ح
1
CR
 y almacenar toda la energía posible sobre ellos 
LI 2
2
en la bobina y
CV 2
2
enel capacitor estos se comportan dentro del circuito como si hubiera un corto circuito en la 
bobina y un circuito abierto en el capacitor. De tal manera, que en un circuito RL serie la corriente 
solamente queda limitada por la resistencia R del circuito (corto circuito sobre la L) y en el circuito 
RC serie una vez que el capacitor se cargó completamente la corriente deja de circular (circuito abierto
sobre C).
En corriente alterna la situación es totalmente diferente, ya que al existir una variación sinusoidal de la 
tensión con el tiempo v  t=V m senwt  la corriente que circula es también variable con el tiempo y 
por lo tanto los elementos como la auto inductancia y la capacitancia producen caídas de tensión al ser 
afectados por esta variaciones de corriente ya que : v l=L
di
dt
y vc=
1
c
∫ idt .
Por lo tanto en corriente alterna los elementos de circuito como las bobinas y capacitores ofrecen 
oposición al paso de la corriente al igual que las resistencias y pasan a ser llamados en este caso 
impedancias. La designaremos con la letra Z y responden a la ley de Ohm z=
v t 
it 
Las impedancias Z, pueden ser de origen Reactivas Inductivas pura ( X L reactancia inductiva ), 
reactiva capacitiva pura ( X C Reactancia capacitiva ), o combinaciones de ambas con elementos 
Resistivos llamados simplemente impedancia.
Al cerrar un circuito RL, RC o RLC en un determinado momento (t=0) con una tensión alterna, 
también se producen los fenómenos transitorios como en corriente continua hasta que se logran las 
corrientes de régimen. Aquí no vamos a ocuparnos de estos efectos y solamente consideraremos las 
corrientes que circulan en régimen permanente. O sea después que todos los fenómenos transitorios se 
hayan atenuado.
Consideremos el circuito RL serie alimentado con un fuente de corriente alterna de la siguiente 
figura :
 
Sabemos por Euler que : V me
jwt=V m coswt J sen wt  
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v t=V me
jwt it
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Por la 2º ley de Kirchoff V me
jwt
=Ri t L
di
dt
Esta es una ecuación diferencial cuya solución tiene la forma it =K e
jwt (2) con K= cte
 
Reemplazando it  : V me
jwt
= RK e jwtKjwL e jwt
 V me
jwt
= K e jwtRJ wl   K =
V m
RJ wl 
Reemplazando el valor de K en (2) 
it =
V m
R j wL
e jwt
A la suma ( R +J wL ) = Z la denominamos Impedancia del circuito y como vemos es un número 
complejo cuya parte real le corresponde a la resistencia y la imaginaria a la Reactancia Inductiva
X L . Esta impedancia la podemos representar en el plano complejo en el primero y cuarto cuadrante
ya que el valor real de la resistencia solo puede tener valores positivos.
 
Z =
v t 
it 
= V m
eJwt
V m
e J wt
RJ wL
= R J wL
Z=R jX L
Podemos observar que el valor de esta impedancia esta íntimamente relacionada al valor (w) , o sea 
a la velocidad angular del vector V m dado por la velocidad de giro del generador , de tal manera que
a velocidades mayores habrá mayor frecuencia en las alternancia de tensiones y por lo tanto mayor 
impedancia y menor corriente en el circuito debido a este aumento de frecuencia.
Podemos graficar entonces la variación de la Reactancia inductiva con la frecuencia de v  t asi : 
Responde línealmente con la frecuencia , y a mayor frecuencia mas alto es el valor en ohm de la 
reactancia inductiva. 
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X L ohmios
w=2 f
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Claramente vemos que para frecuencia cero, presencia de corriente continua en la alimentación, la 
reactancia X L = 0 ohm como si fuera un corto circuito.
RC Serie
Si hacemos el mismo análisis para un circuito RC serie como el de la figura y planteamos las 
ecuaciones de Kirchoff
V me
jwt
= Rit 
1
c
∫ i dt
esta es una ecuación diferencial
cuya solución tiene la forma de : it=K e
jwt (3)
operando : V me
jwt
= R K e jwt
1
c
∫K e jwt dt
V me
jwt
=R K e jwt
K
jw C
e jwt
V me
jwt
=R
1
jwC
 K e jwt 
K =
V m
R
1
jwC
Reemplazando K en (3)
it =
V m
R
1
jwC
e jwt =
V m
R− j
1
wC
e jwt=
v t
R− jX C
=
v t
Z
y operando
Z=
v t
it
= R−
1
jwC
= R− jX C
el término R− j
1
wC
es la impedancia compleja Z presentada a la fuente y corresponde al cuarto 
cuadrante en el plano complejo de Z ya que su termino imaginario es negativo.
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v t = V m e
jwt
it 
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Podemos observar que esta impedancia Z varía con la frecuencia en forma inversamente proporcional, 
es decir a mayor velocidad angular el término imaginario tiende a cero y la corriente queda limitada 
por la resistencia R en serie. De esta manera para altas frecuencias un capacitor tiende a un corto 
circuito y para bajas frecuencia tiende a un circuito abierto.
Si se grafica la variación de la Reactancia capacitiva X c=
1
wc
en función de la velocidad angular w 
obtenemos :
Vemos que para velocidad w=0 es decir frecuencia f =0 ya que w=
2
T
= 2 f estaríamos 
en presencia de corriente continua y la Reactancia X C=
1
wC
 ∞ evitando el paso de la corriente, o
sea i=0 , tal cual cuando analizábamos el circuito RC serie conectado a una batería.
Representación de la Impedancia Z sobre el plano complejo
Cómo acabamos de ver que la impedancia Z esta compuesta por un parte real y otra imaginaria 
podemos representarla sobre el plano complejo de la siguiente forma.
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w
X c=
1
wC
R2 R1
JwL −J
1
wC
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Representaciónde Z enel planocomplejo
En el diagrama dibujado correspondiente a los dos circuitos series , la resistencia es un punto sobre el 
eje real y las reactancias corresponden a puntos sobre el eje imaginario siendo positivo si es una 
bobina y negativa si es un capacitor.
Se puede observar el angulo =arctan 
X
R
 que siendo R siempre positivo el angulo solo puede 
variar entre −

2
≤≤

2
. Si φ es positivo es una impedancia Inductiva y si φ es negativo es una 
impedancia capacitiva
Ejemplos para Z inductivo :
3 j 20 14,1∢45º e j90 40 [cos

3
 j sen 

3
]
Ejemplos para Z capacitivo
10− j 10 333∢−72º 333 e− j72 ,5 2 cos −45 j sen −45
 Binomial Polar Exponencial Trigonométrica
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−J
J
jX L= j wL
R1 R2
Z1=R1− jX C=R12X C2 cos1− j sen1
− jX C=− j 
1
wC

1
2
Z 2=∣Z 2∣
 2  Forma polar de Steinmetz
Z1=∣Z1∣
 1
In
du
ct
iv
o
C
ap
ac
iti
vo
Z 2=R2 jX L=R22X L2 cos2 j sen2
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Ángulo de Fase
Al aplicar una tensión senoidal sobre un circuito con una R o con una L o con una C circulará una 
corriente que también es senoidal variable con el tiempo y se puede observar la siguiente característica:
Si es un circuito con una L , la corriente retrasa un ángulo 90º con respecto a la tensión
Si es un circuito con una C . la corriente adelanta un ángulo de 90º con respecto a la tensión
Si es un circuito con una R , la corriente NO adelanta NI atrasa con respecto a la tensión.
Estos desplazamientos relativos de ángulos con respecto a la tensión se llaman Ángulo de Fase.
 
Estos efectos son los que producen cuando son elementos puros de Resistencia, inductancia o 
capacitor. Pero debido a que no es posible construir elementos puros , ya que si se fabrica una 
resistencia con alambre o resistencias sinterizadas habrá componentes inductivos debido al mismo 
bobinado de alambre. 
Lo mismo pasa con las Inductancias al fabricarlas ya que nunca podremos evitar la propia resistencia 
de los alambres del bobinado. Y en los capacitores sus propias pérdidas debido a que su dieléctrico no 
es perfecto hacen que exista una corriente de fuga, esto es, como si existiera una resistencia en 
paralelo con las placas la cual representa la perdida en el dieléctrico. 
Obviamente los valores predominantes siempre serán de acuerdo al elemento en cuestion (R,L o C) 
pero debemos tener en cuenta que nunca son elementos puros y sería correcto hablar de impedancias 
para cada uno de ellos.
Entonces cuando aplicamos una tensión sinusoidal a una Bobina el desfasaje de la corriente no será 
exactamente 90º si no algo menor debido a la componente resistiva del alambre. El mismo análisis sera
para el capacitor donde la corriente no se adelantará en 90º. De aquí la importancia los análisis con 
circuitos RL, RC, RLC.
 
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it = Im sen wt

2

v t=V m senwt 

2 wt
it=I m sen wt 
v  t=V m senwt 
wt
it = Im sen wt−

2

v  t=V m senwt 

2
wt
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Notación Fasorial
Si consideramos una tensión alterna que varía con el tiempo como v  t=V m e
jwt podemos 
representarla en el plano complejo como un vector que gira a una velocidad w=cte de la siguiente 
forma:
Aquí vemos como el vector V m va girando en sentido anti horario a medida que trascurre el tiempo.
Ahora si hacemos las proyecciones de este vector sobre los ejes Real e imaginario obtendríamos la 
forma de onda seno sobre el eje imaginario y la coseno sobre el eje Real, tal cual como la formula de 
Euler nos expresa .
Así, el vector giratorio lo llamaremos Fasor y nos representa la tensión o la corriente alterna para 
cualquier instante t y lo podemos representar como v  t=V m e
jwt y it = Im e
jwt± según el 
carácter de la Impedancia sea inductiva o capacitiva. 
Entonces, si ahora supongamos una tensión y una corriente atrasada en un ángulo φ que dibujamos en 
plano complejo y hagamos la proyección de estos vectores sobre el eje imaginario a medida que van 
girando. Obtendremos una onda sinusoidal para cada vector y que también ellas siguen desfasadas en 
φ a medida que van girando.
Por lo tanto si dibujamos a la derecha como función de wt tenemos la siguiente figura.
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J J J
V mV m
V m
para t=0
wt=0
v t=V me
j0=V mcos 0 jsen0
para t=

4w
wt=

4
v t=V me
j

4 =V mcos 

4
 jsen

4

para t=

2w
wt=

2
v t=V me
j

4 =V mcos 

2
 jsen 

2

V m
I m

v  t=V m senwt 
it = Im sen wt−
wt
I me
 jwt−
V me
jwt


2
giro anti horario
j
v  t
i t 
reales
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Los vectores de tensión y corriente giran ambos a la misma velocidad w=cte de tal manera que 
siempre tienen el mismo valor relativo φ entre ambos.
Ya estamos observando que al tratarse de una corriente que va atrasada con la tensión estamos en 
presenciade una impedancia conectada de origen Inductivo, o sea con “j” positivo Z=∣z∣e j
donde ∣z∣=R
2
wL2 y =arctan 
wL
R

Si aplicamos la Ley de Ohm a este supuesto circuito tendríamos:
i(t ) =
v(t)
Z
=
V me
jwt
z e j φ
= I m e
( jwt− jφ)
=I me
j (wt−φ) vemos como el fasor I m va desplazado en un 
ángulo φ en atraso respecto a la tensión que está en un ángulo inicial igual a cero.
Es de notar que este angulo φ proveniente de la impedancia Z, y es la razón del atraso de la corriente.
En forma general para una tensión que tenga cualquier ángulo inicial α para t = 0 podemos 
escribirla de la siguiente forma:
it  =
v t 
Z
=
V m e
j wtα 
z e j
= I me
 jwt jα− j
=I me
j wtα− 
Esta expresión estando w=cte corresponde al dominio del tiempo al aparecer e jwt tanto en
v  t comoen it  como lógicamente debe ser. Pero si dividimos ambos miembros por 2 y e jwt
nos queda:
V me
jwtα 
z e j
1
2e jwt
= I me
 jwtα− j 1
2e jwt
 
V e jα
ze j
= I e j α− de esta manera eliminamos e jwt y los valores máximos V m y I m se 
convierten en valores eficaces V e I .
V e j α−
z
=I e jα− 
V∢α
z∢
=I∢α− Equivalente fasorial de la ley de ohm 
Nuevamente dibujando los vectores en el plano complejo uno con los valores máximos y otro con los 
valores eficaces tenemos :
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V me
j wtα
I m e
j wtα−
V∢α
I∢α−
Dominiodel tiempo Dominio de la frecuencia
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(figura 2 ) (figura 3 )
Al dividir por 2 los módulos de los vectores máximos se convierten en valores eficaces por 
tratarse de corrientes y tensiones senoidales, razón por la cual se dibujan de menor tamaño. Y al 
desaparecer la variable tiempo se dice que la fig. 2 corresponde al dominio de la frecuencia por estar el
módulo de I y el ángulo φ dependiendo de la frecuencia. Efecto causado por la variación de Z debido a la 
disminución o aumento de la las Reactancias X L y X C con la frecuencia f =
w
2
.
 
Este método de los fasores reduce significativamente la resolución de los problemas en el análisis de 
circuitos.
Ejemplo: Sea el siguiente circuito donde queremos averiguar cuanto vale la impedancia Z a partir de 
los datos de corriente y tensión. También dibujaremos el diagrama de impedancia,los fasores de I , V y 
la suma de las caídas vectoriales en cada elemento de la impedancia. 
 
Solución:
Según los valores dados en el circuito vemos que :
w=5000  f =
5000
2
=796[Hertz ]
V m=150volt
I m=3amp.
=45º
La tensión es :
De trigonométrica a exponencial tenemos: v  t=V m jsen wt=e
j wt
=150 e j 5000t45
El fasor de V queda entonces: V=
V m
2

∢45
=
150
2

∢45
=106∢45
De la misma manera, la corriente de forma trigonométrica a exponencial sería:
 it = Im jsen wt−=I m jsen wt−15º =e
j wt−
=3e j 5000t−15
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v  t=150sen 5000t45º [voltios ]
it =3 sen 5000t−15º  [amperios ]
Z= ?
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el fasor de I queda entonces: I=
Im
2

∢−15º
=
3
2

∢−15º
La ley de ohm fasorial nos dice : Z
∢
=
V∢
I∢−
calculando: Z
∢
=

150
2

∢45º

3
2

∢−15º = 50
∢45º−−15º 
= 50∢60º
Pasando este valor Z de polar a binomial : Z=50∢60º=50cos 60º j sen 60º=25 j 43,3
 
Z = R j  X L = 25 j 43,3
Por lo tanto :
Los fasores de tensión y corrientes son :
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45º
−15º
60º
V
 j
150
2
3
2 I
Diagrama Fasorial 
Diagramade Impedancia  X L=wL=2 f L =43,3  L=
43,3
5000
=8,6∗10−3 [H ]
43,3
J
30
25
60º L=8,6[mHenrios]
R=25[Ohm]
Z
V R
V L
V
X L=43,3[]
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La suma de las caídas de tensiones vectoriales en cada elemento son:
V L=91,8
∢75=23,76 j 88,67 [Voltios ]
V R=
3
2

∢−15
∗25=53,0∢−15=51,19− j 13,71 [Voltios ]
Sumando parte Real e imaginaria V= V LV R = 74,9 j 74,9 = 106
∢45
[Voltios ]
Verificamos con el valor máximo dado como dato: V m=106∗2=150 [voltios ]
Impedancias en Serie y Paralelo
Las impedancias dentro de un circuito pueden estar conectadas en serie , paralelo o combinación de 
ambas. La solución para encontrar una impedancia equivalente a partir de estas combinaciones se 
resuelve con el mismo método utilizado para las resistencias en corriente continua .
Esto es :
Z Serie: 
La impedancia total equivalente ZT es la suma de las impedancias individuales.
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V L=I
∢−15º
∗X L
∢90º
=
3
2
∢−15º
∗43,3∢90=91,8∢75º
− j
 suma vectorial de caidas de tensiones 
V R
V
 j
90º
−15º
V = V RV L =
3
2
∢−15
∗25  91,8∢75
75º45º
Z1
Z 2
Z3
V
I
V 1
V 2
V 3
V=V 1V 2V 3=I Z1 I Z 2I Z 3=I Z1 Z 2 Z3
ZT=Z 1 Z 2 Z 3
I=
V
Z t
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Z Paralelo:
La recíproca de la impedancia total equivalente ZT es igual a la suma de las recíprocas individuales.
ADMITANCIA 
La inversa de la impedancia compleja Z se llama Admitancia Y=
1
Z
[ ] y es también un 
número complejo.
Sabemos que: 
Z=
V
I
[Ω ]ohm  Y=
I
V
[Ω−1]mho  [ ]
Ω
Siempre que tenemos un circuitos con impedancias en paralelo es mejor tratarlas como admitancias. 
para reducir el numero de operaciones con complejos.
Sea el siguiente circuito:
si B es :(-) inductivo y (+) capacitivo. 
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I 1 I 2 I 3I
V
Z1 Z 2 Z3
I= I 1I 2I 3 =
V
Z1

V
Z2

V
Z3
= V 
1
Z 1

1
Z 2

1
Z 3
=
V
ZT
1
Z T
=
1
Z 1

1
Z 2

1
Z 3
I =
V
ZT
V
Y 1 Y 2 Y 3
I 1 I 2 I 3
I
I=I 1I 2I 3=VY 1VY 2VY 3=V Y 1Y 2Y 3
Y 1Y 2Y 3=Y T
I=VY T
Y=G± jB G=Conductancia
B=SuceptanciaB puede ser±segun seacapacitivo o inductivo
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Resumen : Para cualquier tensión V con desfasaje inicial α .
Conversión de Impedancia a Admitancia y viceversa
Y=
1
Z
GJB=
1
R jX
=
R−JX
R2X 2
G=
R
R2X 2
y B=
−X
R2X 2
Z=
1
Y
RJX=
1
G JB
=
G−JB
G2B2
R=
G
G 2B2
y X=
−B
G2B2
En Polar es mas directo:
Y∢=
1
Z∢−
 Z
∢
=
1
Y∢−
Solamente es la inversa del módulo y ángulo con signo cambiado.
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Z∢0º=
V ∢
I∢
=R
I
V
V en fase con I
G
Y=
I −0º
V 
=Y∢0º=G
− 
V
I
R
R
jX L
Z∢=
V ∢
I∢−
=R jX L
G − jBL
Y∢−=
I∢−
V ∢
=G− jBL
V
I


Z∢−=
V∢
I∢
=R−X C
G j BC
Y∢=
I∢
V ∢
=G jBC
I atrasa  º aV
I adelanta  º aV
Z
Z
Z
Y
Y
Y
R
− jX C
-----------------------------Tema: Impedancia Compleja y Fasores----------------------------------Página: 17
Ejemplo :
Dado el diagrama fasorial de tensión y corriente determinar los valores de la admitancia Y equivalente 
y la Impedancia equivalente Z.
 
Plano complejo Z Plano Complejo Y
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Z=
V
I
=
120∢30
3∢−15
=40∢45=28.3  j28.3 [Ω ]
V=120∢30º [V ]
I=3∢−15º [A]
Y =
I
V
=
3−15
120∢30
= 0,025∢−45=0,0177− j 0,0177[Ω−1]
R=28,3[Ω]
jX L= j28 ,3[Ω ]Z Y G=0,0025[Ω−1] − jBL=− j0 ,0177
j
j
− j
− j
45º
−45º
X L
R
G
−BL
Z=R2X L2=40[Ω ]
Y=G2BL2=0,025 [Ω−1]
30º
−15º
-----------------------------Tema: Impedancia Compleja y Fasores----------------------------------Página: 18
Fuente base: Circuitos Eléctricos-Edminister.
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