tarea 3

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PROPIEDADES DE LA TRANFORMADA Z 
Espinosa Sorcia Marcos Agustín
Universidad Politécnica de Puebla. Tercer Carril del Ejido Serrano S/N, San Mateo Cuanalá, Mpio. Juan C. Bonilla, Puebla, México. 
Profesor: Gabriel Linares García
RESUMEN
Como se ha mencionado en los temas anteriores, la transformada de Laplace tiene una importancia fundamental en la representación y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la transformada Z.
El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en plantear una transformación que cubra una más amplia gama deseñales. 
Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente.
Palabras clave: funciones, modelado, graficas, señales, ecuaciones, transformadas.
1. Transformada Z 
El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continua
es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente
La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.
Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define
1. Propiedades
Propiedad de Derivación 
Las derivadas de cualquier orden de F(z) convergen en la región de convergencia. Esto nos da una herramienta para determinar nuevos pares de transformación. Derivando la ecuación con respecto , se obtiene:
Multiplicando por − z, la expresión anterior, resulta la propiedad:
Teorema del Valor Inicial 
Es posible determinar el término inicial, f (0), de una secuencia f (k), a partir de la transformada correspondiente. Si se tiene F(z) de la forma:
Se observa que conforme la variable tiende a cero, todos los términos del lado derecho de la igualdad tienden a cero excepto f (0). Esto es equivalente a:
Teorema del Valor Final
Para determinar el comportamiento de una secuencia f (k) en estado estático, esto es f (k) con k tendiendo a infinito, es posible recurrir directamente a la transformada de la función. La condición para realizar esto es que F(z) no tenga polos fuera del círculo unitario, lo cual determina que f (k) sea una función acotada, y por lo tanto finita, cuando k tiende a infinito. Por lo anterior, el teorema del valor final podrá ser aplicado sólo en los casos en los que (z − 1) F(z) sea analítica para |z| ≥ 1.
En tales casos el teorema se enuncia de la siguiente forma:
Propiedad de Multiplicación por 
Sean las secuencias f (k) y g(k) definidas para k = 0, 1, 2, 3, ..., n.
 Si entre ellas se establece la siguiente relación:
Entonces la transformada G(z) se determina como sigue:
Propiedad de Sumación
Sean las secuencias f (k) ↔ F(z) y g(k) ↔ G(z). 
Si entre ellas es posible establecer la relación: 
La transformada G(z) puede definirse en términos de F(z), de la siguiente forma:
Como demostración considérese que la secuencia g(k) es la suma de los k + 1 primeros términos de la secuencia f (k); tal que f (k) = g(k) − g (k − 1), para k = 0, 1, 2, ..., n; y que g (− 1) = 0. Entonces, la transformada F(z) puede expresarse como:
Corrimiento a la Derecha 
Suponga que la señal f (k), la cual es idéntica a cero para un tiempo negativo, es aplicada a la entrada de un sistema cuya salida es igual a la entrada, pero retrasada ´´m´´ unidades de tiempo discreto.
 La respuesta del sistema se define entonces por:
La transformada de la salida y (k) se define a su vez como:
Recordando que la secuencia f (k) fue especificado en cero para k negativo, tenemos:
La sumatoria dentro de los corchetes se reconoce como la transformada de f (k), por lo que:
Propiedad de Convolución 
Para el sistema representado en la figura 2 se tiene como entrada la función f (k) para k ≥ 0, cuya transformada es F(z)
Figura 2. 
Su salida y(k) ↔ Y(z) se define como una suma de convolución:
2. Por otra parte, por definición, la transformada de y(k) es:
Sustituyendo y(k) por su equivalente de suma de convolución:
Factorizando los términos h(i), i = 0, 1, 2, 3, ..., n.
3. Recordando la propiedad de retraso:
La transformada en cuestión resulta:
Factorizando F(z):
4. En conclusión se tiene que:
La transformada de la salida es igual al producto de la transformada de la señal de entrada por la transformada de la respuesta a impulso del sistema. Esta propiedad será de gran utilidad como base del procedimiento de analizar y sintetizar sistemas lineales discretos.
Superposición 
Se compone de las características de:
1. Homogeneidad: 
2. Aditividad:
Entonces:
Por lo tanto, la propiedad de superposición establece que si:
La transformada Z correspondiente es:
1. Tabla
Conclusión
Gracias a este trabajo pudimos practicar un poco la aplicación de la transformada z para la discretización de funciones ya que más adelante esta será fundamental para la creación de filtros y demás trabajos donde utilizaremos este tipo de transformada
Bibliografía
https://www.monografias.com/trabajos94/transformada-laplace-y-transformada-z/transformada-laplace-y-transformada-z.shtml