6TA PRACTICA - COLUMNAS

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Universidad Católica de Santa María 
 Escuela Profesional de Ingeniería Civil Ing. Marco A. Sánchez Zapata 
Resistencia de Materiales II Semestre Impar 2020 1 
RESISTENCIA DE MATERIALES II 
6ta PRÁCTICA DIRIGIDA – COLUMNAS
Formula de Euler condición de los extremos 
articulados 
 
1. Calcule la carga critica Pcr para una 
columna de acero W 8 × 35 con longitud 
L=24ft y E=30×10E6psi en las 
condiciones siguientes: 
(a) La columna se pandea por flexión con 
respecto a su eje fuerte (eje 1-1) y (b) la 
columna se pandea por flexión con 
respecto a su eje débil (eje 2-2). En los dos 
casos suponga que la columna tiene 
extremos articulados. 
 
2. Resuelva el problema anterior para una 
columna de acero W 250 × 89 con 
longitud L=10 m. Sea E=200GPa. 
3. Resuelva el problema anterior para una 
columna de acero W 10 × 45 con longitud 
L=28 ft. Sea E=30x10E6psi. 
4. Una viga horizontal AB esta soportada 
mediante un pasador en el extremo A y 
soporta un momento M en el sentido de las 
manecillas del reloj en el extremo B, como 
se muestra en la figura. La viga también 
esta soportada en C por una columna con 
extremo articulado de longitud L; la 
columna está restringida lateralmente en 
0.6L desde la base en D. Suponga que la 
columna solo se puede pandear en el plano 
del marco. La columna es una barra solida 
de acero (E=200GPa) con sección 
transversal cuadrada, tiene longitud 
L=2.4m, dimensiones laterales b=70 mm. 
Sea la dimensión d = L/2. Con base en la 
carga critica de la columna, determine el 
momento permisible M si el factor de 
seguridad con respecto al pandeo es n=2.0. 
 
5. Una viga horizontal AB esta soportada en 
el extremo A y soporta una carga Q en el 
extremo B, como se muestra en la parte (a) 
de la figura. La viga también esta 
soportada en C por una columna articulada 
de longitud L. La columna tiene rigidez a 
la flexión EI. (a) Para el caso de un apoyo 
guiado en A (parte (a) de la figura), ¿cuál 
es la carga critica Qcr? (b) Repita el inciso 
(a) si el apoyo guiado en A se reemplaza 
con una columna AF con longitud 3L/2 y 
rigidez a la flexión EI (consulte la parte 
(b) de la figura). 
 
6. Una viga horizontal AB tiene un apoyo 
guiado en el extremo A y soporta una 
carga Q en el extremo B, como se muestra 
en la parte (a) de la figura. La viga esta 
soportada en C y D por dos columnas 
articuladas identicas de longitud L. Cada 
columna tiene rigidez a la flexion EI. (a) 
Encuentre una expresion para la carga 
critica Qcr. (b) Repita el inciso (a) pero 
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suponga un soporte articulado en A. 
Encuentre una expresión para el momento 
crítico Mcr. 
 
7. Una columna rectangular con dimensiones 
transversales b y h esta soportada por 
articulaciones en los extremos A y C. A la 
mitad de su altura la columna está 
restringida en el plano de la figura, pero 
puede flexionarse perpendicular al plano 
de la figura. Determine la razón h/b de 
manera que la carga critica sea la misma 
para pandeo en los dos planos principales 
de la columna. 
 
8. Tres barras circulares solidas idénticas, 
cada una con radio r y longitud L, se 
colocan juntas para formar un elemento en 
compresión (consulte la sección 
transversal que se muestra en la figura). 
Suponiendo condiciones de extremos 
articulados, determine la carga critica Pcr 
como sigue: (a) las barras actúan de 
manera independiente como columnas 
individuales y (b) las barras están unidas 
con pegamento epóxido en toda la 
longitud tal que funcionan como un solo 
elemento. ¿Cuál es el efecto en la carga 
critica cuando las barras actúan como un 
solo elemento? 
 
9. Tres columnas articuladas en sus extremos 
hechas del mismo material tienen la 
misma longitud y la misma área 
transversal (consulte la figura). Las 
columnas pueden pandearse en cualquier 
dirección. Las secciones transversales de 
las columnas son las siguientes: (1) un 
circulo, (2) un cuadrado y (3) un triángulo 
equilátero. Determine las razones 
P1:P2:P3 de las cargas críticas para estas 
columnas. 
 
10. Una columna ABC larga y esbelta está 
articulada en los extremos A y C, y 
comprimida por una fuerza axial P 
(consulte la figura). En el punto medio B 
cuenta con soportes laterales para evitar la 
flexión en el plano de la figura. La 
columna es una sección de acero de patín 
ancho (W 250 × 67) con E = 200 GPa. La 
distancia entre los soportes laterales es 
L=5.5 m. Calcule la carga permisible P 
empleando un factor de seguridad n = 2.4, 
tomando en cuenta la posibilidad de 
pandeo de Euler con respecto a cualquiera 
de los ejes centroidales principales (es 
decir, el eje 1-1 o el eje 2-2). 
 
11. El techo sobre el recibidor de un 
aeropuerto esta soportado mediante cables 
pretensados. En un nodo característico en 
la estructura del techo, un puntal AB esta 
comprimido por la acción de fuerzas de 
tensión F en un cable que forma un ángulo 
a = 75° con el puntal (consulte la figura y 
la fotografía). El puntal es un tubo circular 
de acero (E = 30,000ksi) con diámetro 
exterior d2=2.5in y diámetro interior 
d1=2.0 in. La longitud del puntal es 5.75 ft 
y se supone que este articulado en sus dos 
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extremos. Empleando un factor de 
seguridad n = 2.5 con respecto a la carga 
critica, determine la fuerza permisible F en 
el cable. 
 
12. En la figura se muestra la configuración de 
izado para levantar un tubo grande. El 
separador es una sección tubular de acero 
con diámetro exterior de 70 mm y 
diámetro interior de 57 mm. Su longitud es 
2.6 m y su módulo de elasticidad es 200 
GPa. Con base en un factor de seguridad 
de 2.25 con respecto al pandeo de Euler 
del separador, ¿Cuál es el peso máximo 
del tubo que se puede izar? (Suponga 
condiciones articuladas en los extremos 
del separador.) 
 
13. En la figura se muestra la sección 
transversal de una columna armada con 
dos vigas I de acero (secciones S 150 × 
25.7). Las vigas están conectadas por 
barras espaciadoras, o de enlace, para 
garantizar que actúen en conjunto como 
una sola columna. (El enlace está 
representado por líneas discontinuas en la 
figura.) Se supone que la columna tiene 
extremos articulados y que se puede 
pandear en cualquier dirección. 
Suponiendo E = 200 GPa y L = 8.5 m, 
calcule la carga critica Pcr para la 
columna. 
 
 
Columnas con otras condiciones de Soporte 
 
 
14. Una columna de acero (E = 30 × 106 psi) 
hecha con un perfil W 12 × 87 de patín 
ancho (consulte la figura) tiene longitud 
L=28ft, esta soportada solo en los 
extremos y se puede pandear en cualquier 
dirección. Calcule la carga permisible 
Pperm con base en la carga critica con un 
factor de seguridad n = 2.5. Considere las 
siguientes condiciones de extremos: (1) 
articulado-articulado, (2) empotrado-libre, 
(3) empotrado-articulado y (4) empotrado- 
empotrado. 
 
15. El extremo superior de una columna de 
acero W8×21 de patín ancho (E=30×103 
ksi) esta soportada lateralmente entre dos 
tubos (consulte la figura). Los tubos no 
están sujetos a la columna y la fricción 
entre los tubos y la columnano es 
confiable. La base de la columna 
proporciona un soporte fijo y la columna 
tiene 13 ft de longitud. Determine la carga 
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critica para la columna, considere el 
pandeo de Euler en el plano del alma y 
también perpendicular al plano del alma. 
 
16. La viga horizontal ABC que se muestra en 
la figura esta soportada por las columnas 
BD y CE. El apoyo articulado en el 
extremo A evita que la viga se mueva en 
sentido horizontal. Cada columna está 
articulada en su parte superior con la viga, 
pero en los extremos inferiores el soporte 
D es un soporte guiado y el soporte E está 
articulado. Las dos columnas son barras 
solidas de acero (E = 30 × 106 psi) de 
sección transversal cuadrada con ancho 
igual a 0.625 in. Una carga Q actúa a una 
distancia a de la columna BD. (a) Si la 
distancia a = 12 in, ¿cuál es el valor critico 
Qcr de la carga? (b) Si la distancia a puede 
variar entre 0 y 40 in, ¿cuál es el valor 
máximo posible de Qcr? ¿Cuál es el valor 
correspondiente de la distancia a? 
 
17. Las vigas del techo de un almacén están 
soportadas por columnas tubulares 
(consulte la figura) con diámetro exterior 
d2 = 100 mm y diámetro interior d1 = 90 
mm. Las columnas tienen longitud L = 4.0 
m, modulo E = 210 GPa y soportes 
empotrados en la base. Calcule la carga 
critica Pcr de una de las columnas 
empleando las suposiciones siguientes: (1) 
el extremo superior esta articulado y la 
viga evita el desplazamiento horizontal; 
(2) el extremo superior está fijo contra la 
rotación y la viga evita el desplazamiento 
horizontal; (3) el extremo superior esta 
articulado pero la viga se puede mover en 
sentido horizontal y (4) el extremo 
superior esta fijo contra la rotación pero la 
viga puede moverse en sentido horizontal. 
 
18. Determine la carga critica Pcr y la 
ecuación de la forma pandeada para una 
columna ideal con extremos fijos contra la 
rotación (consulte la figura) resolviendo la 
ecuación diferencial de la curva de 
deflexión. 
 
19. Un tubo de aluminio AB con sección 
transversal circular tiene un soporte 
guiado en la base y esta articulado en la 
parte superior con una viga horizontal que 
soporta una carga Q = 200 kN (consulte la 
figura). Determine el espesor requerido t 
del tubo si su diámetro exterior d es 200 
mm y el factor de seguridad deseado con 
respecto al pandeo de Euler es n = 3.0. 
(Suponga E = 72 GPa.) 
 
 
 
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Columnas con Cargas Axiales Excentricas 
 
 
20. Una barra de aluminio con sección 
transversal rectangular (2.0 in × 1.0 in) y 
longitud L = 30 in esta comprimida por 
cargas axiales que tienen una resultante P 
= 2800 lb que actúa en el punto medio del 
lado largo de la sección transversal 
(consulte la figura). Suponiendo que el 
módulo de elasticidad E es igual a 10 × 
106 psi y que los extremos de la barra 
están articulados, calcule la deflexión 
máxima δ y el momento flexionante 
máximo Mmax. 
 
21. Determine el momento flexionante M en 
la columna con extremos articulados 
sometida a cargas axiales excéntricas que 
se muestra en la figura. Luego trace el 
diagrama de momento flexionante para 
una carga axial P = 0.3Pcr. Nota: exprese 
el momento como una función de la 
distancia x desde el extremo de la columna 
y trace el diagrama en forma adimensional 
con M/Pe como la ordenada y x/L como la 
abscisa. 
 
22. Un elemento de patín ancho (W 200 × 
22.5) esta comprimido por cargas axiales 
que tienen una resultante P que actúa en el 
punto que se muestra en la figura. El 
elemento tiene módulo de elasticidad E = 
200 GPa y condiciones de extremos 
articulados. Soportes laterales impiden la 
flexión con respecto al eje débil de la 
sección transversal. Si la longitud del 
elemento es 6.2 m y la deflexión está 
limitada a 6.5 mm, ¿cuál es la carga 
máxima permisible Pperm? 
 
23. Un elemento de patín ancho (W 10 × 30) 
está comprimido por cargas axiales que 
tienen una resultante P = 20 k que actúa en 
el punto que se muestra en la figura. El 
material es acero con módulo de 
elasticidad E = 29,000 ksi. Suponiendo 
condiciones de extremo articuladas, 
determine la longitud máxima permisible 
Lmax si la deflexión no debe sobrepasar 
1/400 de la longitud. 
 
24. La columna que se muestra en la figura 
esta empotrada en la base y libre en la 
parte superior. Una fuerza P de 
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compresión actúa en la parte superior de la 
columna con una excentricidad e desde el 
eje de la columna. A partir de la ecuación 
diferencial de la curva de deflexión, 
deduzca fórmulas para la deflexión 
máxima d de la columna y del momento 
flexionante máximo Mmax en la columna. 
 
25. Una columna de caja de aluminio con 
sección transversal cuadrada esta 
empotrada en la base y libre en la parte 
superior (consulte la figura). La dimensión 
exterior b de cada lado es 100 mm y el 
espesor t de la pared es 8 mm. La 
resultante de las cargas de compresión que 
actúan sobre la parte superior de la 
columna es una fuerza P = 50 kN que 
actúa en el borde exterior de la columna en 
el punto medio de un lado, ¿Cuál es la 
longitud máxima permisible Lmax de la 
columna si la deflexión en la parte 
superior no debe sobrepasar 30 mm? 
(Suponga E = 73 GPa). 
 
 
Fórmula de la Secante 
 
26. Una barra de acero tiene sección 
transversal cuadrada con ancho b = 2.0 in 
(consulte la figura). La barra tiene apoyos 
articulados en los extremos y su longitud 
es de 3.0 ft. Las fuerzas axiales que actúan 
en el extremo de la barra tienen una 
resultante P = 20 k ubicada a la distancia 
e=0.75 in del centro de la sección 
transversal. Además, el módulo de 
elasticidad del acero es 29,000 ksi. (a) 
Determine el esfuerzo de compresión 
máximo σmax en la barra. (b) Si el esfuerzo 
permisible en el acero es 18,000 psi, ¿cuál 
es la longitud máxima permisible Lmax de 
la barra? 
 
27. Una columna articulada en sus extremos 
con longitud L = 2.1 m esta construida con 
un tubo de acero (E = 210 GPa) que tiene 
diámetro interior d1 = 60 mm y diámetro 
exterior d2=68 mm (consulte la figura). 
Una fuerza de compresión P=10kN actúa 
con excentricidad e = 30 mm. (a)¿Cuál es 
el esfuerzo de compresión máximo σmax en 
la columna? (b) Si el esfuerzo permisible 
en el acero es 50 MPa, ¿cuál es la longitud 
máxima permisible Lmax de la columna? 
 
28. Una columna de acero W 410 × 85 se 
comprime por una fuerza P = 340 kN que 
actúa con una excentricidad e=38 mm, 
como se muestra en la figura. La columna 
tiene extremos articulados y longitud L. 
además, el acero tiene módulo de 
elasticidad E = 200 GPa y esfuerzo de 
fluencia σY = 250MPa. (a) Si la longitud 
L=3 m, ¿cuál es el esfuerzo de compresión 
máximo σmax en la columna? (b) Si se 
requiere un factor de seguridad n = 2.0 con 
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respecto a la fluencia, ¿cuál es la longitud 
máxima permisible Lmax de la columna? 
 
29. Una columna de acero (E = 30 × 103 ksi) 
que esta empotrada en la base y libre en la 
parte superior está construida con un perfil 
W 8 × 35 de patín ancho (consulte la 
figura). La columna tiene longitud de 9.0 
ft. La fuerza P que actúa en la parte 
superior de la columna tiene una 
excentricidad e =1.25 in. (a) Si P = 40 k, 
¿cuál es el esfuerzo de compresión 
máximo en la columna? (b) Si el esfuerzo 
de fluencia es 36 ksi y el factor de 
seguridad requerido con respecto a la 
fluencia es 2.1, ¿cuál es la carga 
permisible Pperm? 
 
30. Una columna con extremos articulados y 
longitud L = 18 ft está construida con un 
perfil W 12 × 87 de patín ancho (consulte 
la figura). La columna está sometida a una 
carga aplicada en el centro P1 = 180 k y a 
una carga aplicada excéntricamente P2 = 
75 k. La carga P2 actúa a la distancia s = 
5.0 in del centroide de la sección 
transversal. Las propiedades del acero son 
E = 29,000 ksi y sY = 36 ksi. (a) Calcule 
el esfuerzo de compresión máximo en la 
columna. (b) Determine el factor de 
seguridad con respecto a la fluencia. 
 
31. Una columna construida con un perfil W 
14 × 53 de patín ancho con longitud L = 
15 ft esta empotrada en la base y libre en 
la parte superior (consulte la figura). La 
columna soporta una cargada en el centro 
P1 = 120 k y una carga P2 = 40 k 
soportada por una ménsula. La distancia 
desde el centroide de la columna hasta la 
carga P2 es s = 12 in. Además, el módulo 
de elasticidad es E = 29,000 ksi y el 
esfuerzo de fluencia es σY = 36 ksi. (a) 
Calcule el esfuerzo de compresión 
máximo en la columna. (b) Determine el 
factor de seguridad con respecto a la 
fluencia.