lineas electricas 2 - copia

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CAPITULO 1 
 
INTRODUCCION.- ELEMENTOS DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 
 
1.1 INTRODUCCION 
 
 Para cada transmisión de energía eléctrica entre dos puntos, existen numerosas 
soluciones técnicamente viables, sin embargo, apenas un número relativamente pequeño 
es capaz de asegurar un servicio técnicamente óptimo y además a un costo mínimo. Bajo 
el punto de vista económico, la solución más adecuada es aquella en que la suma de los 
costos de las pérdidas de energía durante la vida útil de línea, mas el costo de inversión, 
sea mínima. 
 
 El trabajo del proyecto mecánico se inicia una vez concluidos los estudios de 
optimización, después de la definición del nivel de tensión, tipos de estructuras, 
composiciones de los cables conductores y los cables de guardia , composición de las 
cadenas de aisladores, etc. El proyecto definitivo obedecerá, entonces, a los parámetros 
así determinados. 
 
Las líneas aéreas de transmisión de energía eléctrica constan fundamentalmente 
de dos partes. Una parte “Activa”, representada por los cables conductores que según la 
teoría electromagnética, sirven de guías a los campos eléctrico y magnético que son los 
agentes del transporte de energía. Otra parte “Pasiva”, constituida por los aisladores, los 
herrajes y estructuras, que aseguran las distancias de conductores al suelo y entre si. 
Ademas las líneas poseen, elementos accesorios, dentro los cuales debemos mencionar 
los cables de guardia o aterramientos destinados a interceptar y descargar a tierra, las 
ondas de sobre tensión de origen atmosférico que de otra forma, afectarian a los 
conductores, provocando fallas en los aislamientos , consecuentemente. la interrupción 
del servicio. 
 
El proyecto mecánico de una línea aérea de transmision cuida, pues, no solo el 
dimensionamiento de todos sus elementos, de forma de asegurar su buen 
funcionamiento considerando las solicitudes de naturaleza mecánica a las que son 
sometidas, sino también de su adecuacion al terreno que atraviesa. 
 
 Cada línea debe ser tratada como un caso particular. Las normas especifican las 
máximas solicitudes admisibles de los elementos de las líneas, y de los factores mínimos 
de seguridad. Como, también. indican cuales son los esfuerzos solicitados que deben ser 
considerados en el proyecto y la manera de calcularlos. Igualmente son especificadas las 
distancias mínimas entre conductores y entre estructuras y tierra. 
 
Siendo los cables conductores los elementos activos de transporte de energia y 
que son sometidas a tensiones elevadas, todos los demas elementos de transmisión deben 
ser dimensionados en funcion de esas tensiones, como tambien en funcion de las 
solicitudes mecanicas que estas transmiten a las estructuras. 
CAPITULO 1 
1.2 CONFIGURACION DE UNA LINEA TRANSMISION 
 
Una línea de transmisión esta compuesta principalmente de las siguientes partes: 
 
1.- Conductores de fase y accesorios. 
2.- Estructuras aislantes. 
3.- Estructuras de soporte. 
4.- Fundaciones. 
5.- Hilos de guardia o pararrayos. 
6.- Aterramientos. 
7.- Accesorios. 
 
 
 
 
 
Fig.1.1 Principales Elementos de una Línea de Transmisión 
 
 
1.2.1.- Cables Conductores en Líneas de Transmisión 
 
A través de los cables conductores se realiza el proceso de transmisión de energía 
eléctrica en una línea de transmisión. Un cable conductor ideal debería tener alta 
conductividad eléctrica, poseer buena resistencia mecánica, resistir bien las intemperies, 
tener bajo peso específico y costos no elevados. 
 
Dentro de los materiales que mejor complementan estas características se destacan el 
aluminio y el cobre, cuyas propiedades principales son mostradas en la Tabla 1.1. 
 
 
 
Cable de Guardia 
Conductores 
Aisladores 
Estructuras 
Fundaciones 
CAPITULO 1 
TABLA 1.1. 
 
CARACTERÍSTICAS ALUMINIO COBRE 
 
- Conductividad a 20ºC 61% IACS 97% IACS 
- Resistividad en microhm/cm a 20 º 2,828 1,7774 
- Coeficiente térmico de resistividad, 0,0115 0,00681 
en microhm/cm por ºC. 
- Coeficiente térmico de expansión lineal 0,000023 0,000017 
 por ºC. 
- Densidad a 20 ºC en gr/cm2 2,703 8,89 
- Carga de ruptura en kg/mm2 16 – 21 35 – 47 
- Modulo de elasticidad final kg/mm2 7.000 12.000 
 
 IACS- Referente al cobre químicamente puro, padrón internacional, conductividad 
de 100% medido a 20 ºC. Abreviatura del termino Ingles “internacional Annealed 
Copper Standard”. 
 
En las líneas de transmisión aéreas son utilizados cables conductores obtenidos por el 
acordonamiento de hilos,puesto que un conductor sólido, debido a las vibraciones, 
producirá fatiga mecánica y consecuentemente fracturará en el punto de conexión a la 
cadena de aisladores. 
 
Estos cables acordonados, compuesto de hilos del mismo diámetro, obedecen a la misma 
ley de formación: 
 
N=3n (n + 1) + 1 
 
Donde: 
 
N = número total de hilos componentes 
n= número de camadas 
 
De este modo, un cable conductor con dos camadas, por ejemplo, tendrá 6 X 3 + 1 = 19 
hilos. 
 
Si el diámetro por cada hilo es “d”, el diámetro del cable conductor será: 
 
D = (2n + 1) d 
 
Las camadas adyacentes son estiradas en direcciones opuestas resultando en una 
adherencia completa de las camadas una sobre las otras. 
 
Normalmente los cables conductores empleados en líneas de transmisión poseen hilos de 
aluminio dispuestos en camadas, con o sin alma de acero. 
CAPITULO 1 
En el primer caso, tenemos el cable de aluminio reforzado por un núcleo, o alma, de 
acero ( ACSR, “aluminio conductor steel reinforced” o CAA, cable de aluminio con 
alma de acero); en el segundo caso el cable posee solamente hilos de aluminio 
agrupados, constituyéndose en cable tipo CA, cables de aluminio. 
 
Una camada de hilos conductores acordonados de forma helicoidal constituye, en 
esencia, un largo solenoide. 
 
Como ejemplo, el cable CAA HAWK (Halcón) comprende el cable con área de 
aluminio de 477 MCM, 26 hilos de aluminio en 2 camadas de 7 hilos de acero. 
 
El cable CA Código VIOLET comprende el cable con área de 715,5 MCM, 37 hilos y 3 
camadas de aluminio sobre el conductor central. 
 
En líneas de transmisión a partir de 220 KV, se emplean haz de conductores por fase, 
procurando mejorar las características técnicas de la misma. 
 
1.2.2.- Aisladores 
 
Los cables conductores son empalmados a las estructuras de transmisión por el empleo 
de aisladores, cuya función consiste en aislar eléctricamente los conductores energizados 
en las líneas de transmisión y resistir las solicitaciones mecánicas y eléctricas oriundas 
de los conductores. 
 
Las solicitaciones mecánicas impuestas a los aisladores son de tres tipos: 
 
 Fuerzas Verticales, debido al peso propio de los conductores. 
 Fuerzas Horizontales Axiales, oriundas de la suspensión de los conductores sobre 
el suelo, en el sentido horizontal de la línea. 
 Fuerzas Horizontales Transversales, en el sentido perpendicular a los ejes 
longitudinales de las líneas, debido a la acción del viento sobre los cables. 
 
Un aislador debe aun ser resistente a las variaciones y poluciones ambientales, soportar 
los choques térmicos, minimizar el número de reposición a lo largo del tiempo.. 
 
La porcelana vitrificada, o vidrio templado y resinas sintéticas son materiales 
normalmente empleados en la fabricación de aisladores. 
 
Básicamente son usados dos tipos de aisladores en líneas de transmisión. 
 
a) Aisladores Tipo Pin, Mono Cuerpo o Multi Cuerpo.- Fijados a la estructura a 
través deun pin de acero, cuya parte superior posee una cabeza de plomo 
fileteada, sobre la cual se aperna el aislador. Son normalmente usados hasta 
tensiones de 69 KV. 
CAPITULO 1 
 
 
 
b) Aisladores Tipo Suspensión.- Son usados para tensiones encima de 69KV, Fig. 
1.3. 
Las características fundamentales que deben tener los aisladores de suspensión son las 
siguientes: 
 
 Resistencia electromecánica; 
 Carga máxima de trabajo; 
 Resistencia al impacto; 
 Resistencia a los choques térmicos; 
 
Generalmente son usados en líneas de alta tensión y extra alta tensión, los aisladores tipo 
suspensión poseen las siguientes variantes sobre los aisladores de pino: 
 
 El costo inicial de la cadena de suspensión es mas bajo que el aislador de pin 
equivalente. 
 También los costos de substitución son menores, visto que las unidades con 
defecto pueden ser cambiadas sin sustituir toda la cadena. 
 Es mas fácil fabricar dieléctricos homogéneos, para los aisladores del tipo 
suspensión que para el tipo pin. 
 La flexibilidad de las cadenas de suspensión reduce las tensiones mecánicas y 
ecualiza las tensiones en los conductores adyacentes a los vanos. 
 La misma cadena de suspensión puede ser usada para soportar líneas de 
cualquier tensión, variando el número de aisladores en la cadena. 
 
Los aisladores usados en líneas de transmisión, deben ser verificados mediante los Test 
siguientes: 
FIG. 1.2
CAPITULO 1 
* Test Mecánico 
 
Una unidad en suspensión es sometida a una tensión mecánica del orden e 1.2 veces 
la máxima carga de trabajo y un aislador de pin a un momento flector cerca de 2.5 la 
carga máxima de trabajo. 
 
* Test de Temperatura 
 
El aislador es inmerso alternativamente en baños de agua a 7 ºC y 70ºC durante una 
hora. 
 
* Test de Porosidad 
 
El aislador es pesado, inmerso en agua sobre presión por 24 horas y entonces 
repesado. Cualquier alteración del peso indica ingreso de agua en el aislador. 
 
La Fig. 1.3 muestra un aislador Tipo Disco, pieza componente de una cadena de 
suspensión. En ella están mostradas las partes constituyentes del aislador: Concha, 
campanilla, cuerpo del aislador y conexión bola. 
 
Introduciendo el conexión bola de un aislador en la concha del siguiente, puede ser 
construida. una cadena de aisladores con la longitud necesaria para una determinada 
tensión. Diámetro de 10 a 11 pulgadas son usadas en cadenas de aisladores en 
suspensión. 
 
 
 
FIG. 1.3 
CAPITULO 1 
1.2.3. Ferreteria de Línea 
 
La ferretería esta constituida por las piezas que deben soportar los cables y conectarlos a 
las cadenas de aisladores. 
 
La grampa de suspensión es un dispositivo que recibe al cable conductor o conecta a la 
cadena de suspensión, protegiendo los filamentos conductores de daños permitiendo la 
flexión natural de la pieza inferior de su canal. Es normalmente una pieza 
multiarticulada, permitiendo el movimiento en cualquier dirección en que este sujeto el 
conductor. 
 
 Una grampa de suspensión junto con su respectiva cadena, para 230 KV, se muestra en 
la figura 1.4, donde se percibe el gancho platillo-tenedor (concha-garfo) entre la cadena 
y el alambre. 
 
 
FIG. 1.4
Cabalote
Ojal-Bola
Aislador
Socket-Horquilla 
Grampa de Suspensión 
CAPITULO 1 
Las cadenas de anclaje, mas allá de los esfuerzos normales que deben soportar las 
cadenas de suspensión, están dimensionadas para recibir los esfuerzos originados por los 
traccionamientos de los cables conductores. Normalmente están constituidas de una 
columna simple de aisladores o de diversas columnas en paralelo. 
 
 
 
La figura 1.5 muestra una cadena de anclaje y el pasaje del conductor, para el nivel de 
tensión de 230kv, con las diversas piezas constituyentes del equipo. 
 
Todavía cabe mencionar los “Espaciadores”, dispositivos usados en líneas de 
transmisión que poseen más de un conductor por fase, impidiendo de esa forma que los 
mismos se toquen, procurando evitar daños en los conductores, como el tipo mostrado 
en la figura 1.6. 
 
 
 
FIG. 1.5
FIG. 1.6
Socket-Horquilla 
Grampa de Suspensión 
Aislador 
Socket-Horquilla 
Cuello Muerto 
CAPITULO 1 
Amortiguadores de Vibraciones. 
 
Las líneas aéreas producen vibraciones debido a la presencia del viento. A objeto de 
proteger a los conductores contra tales vibraciones, se emplean amortiguadores las 
cuales impiden las vibraciones que antingen a los conductores y grampas de los 
soportes. 
 
Un ejemplo de este amortiguador es el de tipo “Stockbridge”, figura 1.7 que consiste de 
dos pesos unidos a los conductores a través de soportes flexibles, permitiéndoles captar 
la energía de las vibraciones de los cables; teniendo una frecuencia natural diversa, 
vibran en frecuencia diferente, disipando la energía por friccion en las manijas flexibles. 
 
El uso de espaciadores a cada 50- 60 metros reduce la amplitud, para haces de dos 
conductores; a pequeños valores, aun así puede ser necesario el uso de amortiguadores. 
 
Para haces de tres o cuatro conductores por fase, por otro lado, se puede tornar 
innecesario el uso de estos amortiguadores. 
 
FIG. 1.7
Conductor
Peso 
Conexión 
Grampa 
Tuerca 
Arandela de Presión 
Perno 
Contratuerca 
CAPITULO 1 
1.2.4 Estructuras de Apoyo 
 
Las estructuras de transmisión tienen por objetivo sustentar los cables conductores y 
elementos asociados, como aisladores, ferreterías y cables para-rayos. Pudiendo ser 
encarada como una viga vertical enterrada en el suelo. Una torre de transmisión fija 
sujeta los siguientes esfuerzos. 
 
a) Cargas Verticales 
Son derivados de los componentes verticales de fraccionamiento de cables, peso propio 
y peso de accesorios de fijación de cables. 
 
b) Cargas Horizontales Transversales 
 
Derivados de acción de viento sobre los cables, debido a esfuerzos de jalado de los 
conductores. Componentes transversales de los esfuerzos de traccionamiento de los 
cables. 
 
 
c) Cargas Horizontales Longitudinales 
 
Aparecen debido a la acción del viento en dirección de la línea, de los componentes 
horizontales y longitudinales de los cables de traccionamiento. 
 
 Resulta de estos tipos de esfuerzo, que las estructuras de transmisión pueden ser 
clasificados en dos tipos: 
-Estructuras Auto-soportadas 
-Estructuras Atirantadas. 
 
En el primer caso la torre transmite todos los esfuerzos directamente para sus 
fundaciones, lo que no sucede como las Torres Atirantadas. 
 
En estas últimas la estructura, parte de los esfuerzos es absorbido para la tirantes 
(riendas) y otra parte por las fundaciones, los cables conductores pueden ser colocados 
en estructuras según la disposición triangular, horizontal y vertical, siendo esta ultima 
usada en líneas de circuito doble, figura 1.8 y 1.9, con este ultimo se muestra las partes 
principales de una torre Auto-soportada. 
 
CAPITULO 1 
 
 
 
FIG. 1.8 Disposición Triangular 
CAPITULO 1 
 
FIG. 1.9 
Puntina 
Cuerpo 
Cuerpo 
Patas 
Patas
Grilla 
Nivel Suelo
Fundación 
Brazos
CAPITULO 1 
 
 
 
MATERIAL 
 
Normalmente las torres de transmisión son fabricadas de acero, principalmente encima 
de 230Kv. Para tensiones mas bajas la madera y el concreto son los más utilizados. 
El concreto es tratado por un proceso de centrifugado resultando estructuras armadas y 
huecas facilitando el transporte y la instalación. 
Tiene la ventaja de poder utilizar mano de obra local, como montaje relativamente 
simple y rápido. 
Las estructuras de maderas usadas se derivan de algunas especies de eucalipto y deben 
ser tratadas como creosota de forma que puedan resistir la intemperie y ataques de 
microorganismos. Dependiendo la eficacia de este tratamiento, se puede tener una vida 
útil de línea bastante larga. 
 
Los cables de guardia generalmente son de Acero Galvanizado y tienen la función de 
proteger a los conductores de fase contra las descargas atmosféricas. Su diámetro varia 
de 3/8 a ½ pulgadasy estan rigidamente aterradas a la estructura. 
 
1.2.5 Fundaciones para Estructuras 
 
Básicamente existen cinco tipos de fundaciones: a) grilla de acero; b) zapata de 
concreto; c) bloques de concreto; d) anclaje en roca, y e) pilotes o estacas. Una 
descripción de cada tipo de fundación, conjuntamente con las condiciones que 
establecen su proyecto, uso, ventajas y desventajas, es hecha a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1 
 
 
a) Fundaciones en Grillas de Acero 
 
 Hay varios tipos de fundaciones en grillas de acero, mas dos son las más 
comunes: el de tipo “miembro edificado”, teniendo la misma inclinación que el 
montante de la torre y unida al sistema de grilla de bastante profundidad debajo del nivel 
del suelo. (Fig. 1.10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10 
Fundación en grilla de acero con pernos ajustables para varias profundidades. 
 
 El segundo tipo es el “piramidal”, cuyo centróide de la base esta unido a la “pata” 
(montante) de la torre, al nivel del suelo, por una línea imaginaria teniendo la misma 
inclinación que el montante de la torre. La resistencia al arrancamiento de ambos tipos 
depende directamente del peso de tierra colocada sobre la grilla y del ángulo de 
inclinación del terreno. 
 
 Las cargas horizontales son causadas por las componentes horizontales de la última 
diagonal encima de la base, y son soportadas por la resistencia pasiva del suelo. La 
ventaja de este tipo de fundaciones es que ella puede ser adquirida junto con la torre de 
acero. La desventaja es que esas fundaciones normalmente pueden ser proyectadas antes 
de cualquier estudio de suelos, y pudiendo sufrir modificaciones por una mezcla pobre 
CAPITULO 1 
de cemento sobre la grilla si las condiciones de suelo no fueron tomadas en cuenta en el 
proyecto original. 
 
 
 
b) Fundación en Zapata de Concreto 
 
 Existen varios tipos de zapatas de concreto que pueden ser proyectadas, siendo 
los dos más comunes las zapatas con pilares inclinados (Fig. 1.11) y las con pilares 
verticales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11 Fundación en Zapata de Concreto. 
 
En el uso, del tipo pilar inclinado, el centróide de la base está sobre una línea con 
el montante de la pata de la torre. Como en el caso de las fundaciones en grillas, eso 
elimina más el cizallamiento horizontal en la cima del montante, reduciendo la 
sobrecarga del momento adicional causado solamente por la componente horizontal de 
la tensión en la diagonal mas baja sobre el tope del pilar. 
 
Generalmente este tipo de fundación puede ser menor que el tipo pilar vertical, a 
causa de la reducción del momento sobre la fundación. Sin embargo una desventaja esta 
en el hecho de que ese tipo de fundación es en general colocado con el uso de un 
gabarito o plantilla, que vuelve al sistema más caro. 
La zapata de tipo vertical es común y puede ser instalada con o sin plantilla. Los 
tamaños de la zapata y de los pilares son generalmente mayores que en la inclinada, 
debido al momento adicional causado por un cambio en la inclinación de la pierna de la 
torre. 
 
Ambos tipos de fundación son proyectados para resistir el arrancamiento, de la 
misma manera que las grillas. Ambas pueden ser usados donde la presión máxima 
CAPITULO 1 
admisible del suelo es menor que la necesaria que permita la viabilidad del proyecto de 
fundaciones en grillas. 
 
c) Fundación en Bloques de Concreto 
 
 Este tipo de fundación puede ser inclinado o vertical, con o sin una base 
expandida. En general ella es una columna de un diámetro especial con una expansión 
en la base si es necesario (Fig. 1.12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 Fundación en Bloques de Concreto. 
 
 Este tipo de fundación es aceptable para terrenos arcillosos y para materiales 
granulares, densos, que pueden conformar bloques. Los tipos con o sin expansión 
resisten al arrancamiento de la misma manera que las grillas, esto es, el peso del suelo 
sobre la base y la fricción del suelo contra el concreto resisten al arrancamiento. 
 
La mayor ventaja de este tipo de fundación es el hecho de que ella necesita un 
volumen menor, y de una excavación menor que las otras. 
 
 
d) Anclaje en Rocas 
 
Esta fundación es usada en rocas de buena calidad, usualmente encontradas en 
las proximidades de la superficie del suelo. En general se necesita de pequeñas 
excavaciones y poco relleno (Fig. 1.13). 
 
CAPITULO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 Anclaje en Piedras, Ajustable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1 
e) Fundación en Pilotes (Estacas) 
 
 Este tipo de fundación debe se considerado solamente cuando una buena muestra 
de tierra, que servirá de apoyo, no aparece a una profundidad normal para la fundación. 
Un ejemplo es presentado en la Fig. 1.14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14 Fundación con Pilotes. 
 
 En el proyecto de las fundaciones en pilotes, es común considerar como carga 
admisible de arrancamiento la mitad del valor real. La resistencia al arrancamiento es 
siempre dependiente de la fricción de deslizamiento entre las estacas y el suelo. Otros 
valores podrán ser usados si las pruebas de suelo o las pruebas de cargas en estacas 
indicaran que la resistencia al arrancamiento de la estaca es mayor o menor. 
 
CAPITULO 2 
MODELO CLIMATICO PARA LINEAS DE TRANSMISION 
 
2.1 INTRODUCCION 
 
Un Modelo Climático para el Cálculo Mecánico de las Líneas de Transmisión, 
debe ser compatible con las condiciones climáticas de temperatura, presión de viento, 
manguito de hielo y características de la altitud geográfica del país. Un modelo que 
brinde la seguridad y confiabilidad al Sistema de Transmisión al cual esta asociada. 
También debe unificar los aspectos climatológicos adoptados en el diseño de las 
Líneas, considerando criterios técnico-económicos, tendiendo a mejorar y 
homogeneizar su desempeño. 
Debido a las diferencias marcadas de los lugares por donde atraviesan las líneas 
transmisión, estas están sometidas a diferentes condiciones de carga. Por lo que 
existe la necesidad de un modelo zonificado de acuerdo a las características propias 
de las zonas del país y que brinde un alto grado de confiabilidad al menor costo 
posible. 
Las líneas en Bolivia atraviesan sectores con diversas características climáticas como 
son: 
a) Zona Oriental: Zonas planas y llanas, con una altitud media de los 300 
msnm, sectores con lluvias y vegetación abundantes. La altitud en este sector varía 
de los 0msnm a los 500 msnm. 
b) Zona Subtropical; Zonas con desniveles de terreno muy pronunciados, 
mayoritariamente montañosa, con lluvias y vegetación abundantes, incluyen parte de 
los Yungas. En esta zona la altitud varía de los 500 msnm a los 2.000 msnm. 
c) Zona de los Valles; Se pueden distinguir los valles y cabeceras de valles. 
Son lugares con bastantes serranías, sectores con lluvias y vegetación de nivel 
regular a escaso. En esta zona la altitud varía de los 2.000 msnm a los 3.000 msnm. 
d) Zona Andina; Zona conformada por la parte altiplánica, sector plano con 
una altitud media de los 4.000 msnm y un sector montañoso en la parte de las 
cordilleras. En esta zona la altitud varía de los 3.000 msnm a los 4.500 msnm. 
e) Zona de Cordillera; Zona de la cordillera alta con terrenos muy 
irregulares, con lluvias y vegetación escasa. En esta zona la altitud supera los 4.500 
msnm.
CAPITULO 2 
Ilustración 2.1: Sistema de Transmisión, Fuente TDE
 
ANDINA VALLES LLANOSUBTROPICAL
0
500
2000
3000
4000
5000
MSNM
 
Ilustración 2.2: Perfil altimétrico de Bolivia
CAPITULO 2 
 
2.2 PARAMETROS CLIMATICOS PARA LAS HIPOTESIS DE CARGA 
 
Las variaciones de las condiciones atmosféricas son riesgos que afectan a las líneas. 
Por lo tanto los datos básicos del proyecto deberán ser obtenidosen puestos de 
observación meteorológica de la propia región o en regiones climáticas semejantes, 
es preciso que esta información sea confiable. Tratándose de fenómenos naturales, 
los eventos meteorológicos tienen una naturaleza completamente aleatoria, y 
consecuentemente pueden ser analizados y clasificados por procesos estadísticos y 
probabilísticos, eso requiere evidentemente un número grande de registros, hechos 
que ocurren en varios años. 
 Para un trabajo seguro, la toma de datos debería ser tomada por aparatos 
registradores automáticos y continuos, exenta de fallas humanas. 
 Las informaciones meteorológicas necesarias para el establecimiento de las 
hipótesis de carga se refieren a los parámetros siguientes: 
 * Velocidad máxima de viento (ráfagas), con determinada probabilidad de ser 
excedida. 
 * Temperatura más probable asociada a la acción de los vientos de máxima 
intensidad. 
 * Temperatura media plurianual (media de las medias anuales) 
 * Temperatura mínima absoluta plurianual, con la probabilidad de ser 
excedida. 
 * Temperatura máxima absoluta plurianual, con la probabilidad de ser 
sobrepasada. 
 * Temperatura media de las máximas, plurianuales. 
 * Formación de Manguito de Hielo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 Estructura Derrumbada por Acción del Viento 
 
Los parámetros climáticos que intervienen en el cálculo mecánico de líneas de 
transmisión son: 
 Temperatura (°C) 
 Presión de Viento (kg/m²) 
 Manguito de Hielo (mm) 
CAPITULO 2 
Dichos parámetros determinan el valor de las flechas, esfuerzos verticales, 
transversales y longitudinales (tensiones del conductor) a los que están sometidos 
todos los componentes de la línea, ya sean estructuras, conductores, aisladores, 
ferretería y fundaciones. 
A continuación se muestran mapas de dichos parámetros, los cuales se obtuvieron de 
diversas fuentes, principalmente del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología 
SENAMHI:
2.2.1 Temperaturas 
 
Para el caso de las temperaturas se muestran isotermas elaboradas en base a las 
publicaciones del SENAMHI, de mapas con un periodo de 30 años (del 1961 al 
1990). Para el caso de las temperaturas máximas y mínimas se complementaron con 
datos meteorológicos del periodo 1994 – 2004. 
 
 
Ilustración 2.3: Mapa de Temperatura Media, Periodo 1961-1990 
 
Ilustración 2.4: Temperatura Máxima, Periodo 1990 - 2000 
SERVICIO NACIONAL DE 
METEREOLOGIA E HIDROLOGIA 
SENAMHI 
CAPITULO 2 
 
 
Ilustración 2.5: Mapa de Temperatura Máxima Media, Periodo 1961 - 1990 
 
 
Ilustración 2.6: Temperatura Mínima Media, Periodo 1961 - 1990
 
Con relación a la Temperatura coincidente al viento máximo, por la falta de 
registros se adopta la recomendación de la IEC826, de adoptar como Temperatura 
Coincidente, a la temperatura mínima incrementada en 15°C 
 
 
 
 
SERVICIO NACIONAL DE 
METEREOLOGIA E HIDROLOGIA 
SENAMHI 
SERVICIO NACIONAL DE 
METEREOLOGIA E HIDROLOGIA 
SENAMHI 
CAPITULO 2 
2.2.2 Presión de Viento 
 
El trabajo realizado en las Instalaciones de Horningsgrinde, Alemania Occidental 
para los Grupos de Trabajo de Electricidad de Francia, de los Laboratorios de 
Reasearch de Centrales Eléctricas, de Inglaterra, y del Centro el Degli Ricerca 
Eléctrica, de Italia, y otros, han contribuyendo decididamente para entender mejor a 
los vientos en sí y de su efectos sobre las líneas. 
 Estos estudios consideran los diversos factores de importancia fundamental 
en la opción de los llamados “vientos de proyecto” a partir de los datos disponibles, 
dentro los cuales se debe notar: 
 Los datos meteorológicos a ser usados en el proyecto deben ser obtenidos en 
ambientes no muy lejos de la línea, de forma que las fuerzas geofísicas que 
provocan los vientos sean las mismas en ambos ambientes. 
 El viento atmosférico y altamente turbulento próximo a la superficie del suelo 
y su velocidad media varía con la altura sobre el suelo. 
 
 La variación de velocidades medias y su grado de turbulencia dependen de la 
naturaleza del terreno sobre el cual sopla el viento, cuando mayor sea el 
grado de rugosidad de la superficie, mayor será el aumento de velocidad de 
viento incidente sobre objetos de alturas mayores sobre la tierra. 
 La velocidad instantánea del viento en un determinado punto es una función 
aleatoria de tiempo y solo puede ser descrita en términos estadísticos. 
 En general los vientos se presentan como ráfagas de frentes poco extensas 
apenas algunas centenas de metros. 
 La Presión de Viento es calculada en base a la densidad del aire y la 
velocidad de viento como lo indica la siguiente fórmula: 
2**
2
1
po Vq 
 
Donde la densidad, varia en función a la altitud y la temperatura. 
(kg/m³) 
*6416000
*6416000
*
*00367.01
293.1










ALTt
ALTt
t
 
Donde: 
 = densidad del aire 
t = temperatura coincidente 
ALT = altitud mínima del tramo de línea 
 
a) Densidad del Aire 
En Bolivia se tienen líneas con una altitud desde los 200msnm hasta los 5.000msnm, 
razón por la cual la densidad del aire tiene mucha variación. 
 
b) Velocidades de Viento Máximas 
Los modelos adoptados para las velocidades de viento pueden ser: 
Nesc Ligera (96km/hr) y 180km/hr 
Nesc Ligera (96km/hr) y 140km/hr 
Nesc Media (64km/hr) y 140km/hr 
Además se cuenta con el Mapa de Velocidades de Vientos Máximas, en el cual las 
velocidades de viento varían desde los 40 nudos (74km/hr) hasta los 80 nudos 
CAPITULO 2 
(148km/hr), basado en un registro de las Estaciones Meteorológicas del SENAMHI 
en el periodo 1948 – 1978. 
 
Ilustración 2.7: Mapa de Velocidades Máxima de Viento 
 
Los registros de datos del periodo 1994 al 2005 nos dan velocidades máximas 
(ráfaga) de viento de 64km/hr hasta los 140km/hr. 
c) Velocidad de Viento Reducida, Se adopta la recomendación de la IEC, en la 
cual la Velocidad de Viento Reducida es 0.6 de la velocidad máxima. 
d) Rugosidad 
De acuerdo a la rugosidad del terreno se tienen las zonas siguientes: 
- Plano y abierto – Zonas A 
- Montañoso – Zonas B y C 
 
2.2.3 Manguito de Hielo 
 
El mapa de hielo, se elabora en función al mapa altimétrico, latitud y el mapa de días 
con heladas, de acuerdo a estos mapas se ve una concordancia que el factor 
preponderante es la altitud, de donde se define la siguiente tabla: 
 
Altitud (msnm) 
Hielo 
(mm) 
DE A 
0 3000 Sin hielo 
3000 4000 6 
4000 4500 12 
> 4500 20 
 
Tabla 2.1: Espesores de Manguito de Hielo 
 
CAPITULO 2 
 
Ilustración 2.8: Mapa de días con helada 
 
 Hielo Combinada con Viento 
En las zonas donde exista manguito de hielo, se debe comprobar la hipótesis 
combinada de Hielo mas la Presión de Viento. La velocidad asociada al manguito de 
hielo de 6mm será de 64km/hr. Valor recomendado por la NESC. 
 
2.3 MODELO CLIMATICO PARA EL CALCULO MECANICO DE 
ESTRUCTURAS 
 
El Modelo Climático planteado trata de representar los estados al que estará sometida 
la estructura a lo largo de su vida útil. Se verifican hipótesis tanto para Cargas Vivas 
Extremas, Cargas Muertas y Contención de Fallas. 
 
2.3.1 Cargas Vivas Extremas 
a. Viento Máximo, con Temperatura Asociada a esta velocidad y Sin Hielo, a 0°, 
45° y 90°. 
b. Hielo con Viento, Hielo Medio, Viento Asociado a Temperatura Mínima. 
c. Hielo Extremo, Hielo Máximo, Sin Viento, a Temperatura Mínima. 
 
Para estas condiciones se plantean un Factor de Seguridad de 1.1, valor que 
considera los posibles defectos de los materiales, constructivos, conectividad entre 
elementos, etc. 
 
2.3.2 Cargas Muertas 
d. Cargas durante la Construcción y Mantenimiento, Sin Hielo, Sin Viento y 
Temperatura Media. 
 
En estas hipótesis las estructuras no deben fallar, por lo que se adopta un Factor de 
Seguridad de 2.0 
 
2.3.3 Contención de Fallas 
e. Rotura de conductor, Sin Hielo, Sin Viento y Temperatura Mínima 
f. Rotura de cable de guarda, Sin Hielo, Sin Viento y Temperatura Mínima 
CAPITULO 2 
g. Contención en “cascada” (para estructuras de amarre), Sin Hielo, Sin Viento y 
TemperaturaMedia. 
 
Estas son cargas excepcionales, por lo que al igual que en las hipótesis para cargas 
vivas extremas se plantea un factor de seguridad de 1.1, tomando en cuenta que 
podrían existir defectos de los materiales, constructivos, conectividad entre 
elementos, etc. 
 
2.4 MODELO PARA EL CALCULO MECANICO DE CONDUCTORES 
Para las condiciones de flechado se plantean los siguientes cargas máximas, valores 
que han sido utilizados en el diseño de varias líneas de transmisión y que son 
recomendadas por varias Normas. 
 
HIPOTESIS 
% DE TENSION RESPECTO UTS 
DE LOS CONDUCTORES 
Conductor 
ACSR 
Cable de guarda 
EHS 
Viento Máximo, sin hielo, a temperatura asociada 40% 40% 
Hielo máximo, sin viento y temperatura mínima 40% 40% 
Temperatura mínima 33% 25% 
EDS, condición de carga diaria 18% 14% 
Tabla 2.2: Condiciones de flechado de conductores
 
Además, se deben instalar en función a los vanos, Amortiguadores de Vibración que 
protejan a los conductores de las vibraciones eólicas. 
 
2.5 ZONAS CLIMATICAS PARA EL DISEÑO DE LINEAS DE 
TRANSMISION 
Las Zonas Climáticas se han clasificado en zonas de acuerdo a su altitud, 
resumiéndose los valores correspondientes a las Temperaturas Máximas, 
Temperaturas Medias, Temperaturas Mínimas: 
 
 Zona A: 0msnm – 500msnm; tierras calientes, zona de los Llanos 
 Zona B: 500msnm – 2000msnm; zonas Sub-tropicales. 
 Zona C: 2000msnm – 3000msnm; Valles. 
 Zona D: 3000msnm – 4500msnm, zona Andina. 
 Zona E: Altitudes mayores a los 4500msnm, áreas puntuales de tratamiento 
especial. 
 
ZONAS CLIMATICAS DE BOLIVIA 
ZONA A B C D E
ALTITUD (msnm) 0 ‐ 500 500 ‐ 2000 2000 ‐ 3000 3000 ‐ 4500 > 4500
COLOR
Tmáx [°C] 36 34 32 30 22
Tmed [°C] 26 22 18 14 12
Tmin [°C] 0 ‐5 ‐10 ‐15 ‐20
Vmax [KM/H] 130 120 120 120 120
Espesor Hielo
[MM De Radio] 0 0 0 6‐12 24 
CAPITULO 2 
 
 
Ilustración 2.9: Zonas Climáticas para el Diseño de Líneas de Transmisión
CAPITULO 2 
2.6 DETERMINACION DE LAS HIPOTESIS DE CARGA 
 Ya vimos anteriormente, que las condiciones meteorológicas son las que 
determinan el comportamiento de los cables de líneas aéreas de transmisión. Estas 
pueden ser resumidas a las variaciones de las temperaturas, a las intensidades de los 
vientos y a la formación de manguito de hielo. Combinaciones adecuadas de ellas 
pueden conducir a diversas cargas, por tanto de exigencias a los cables. 
Temperaturas extremadamente bajas, vientos de intensidad máxima y manguitos de 
diámetros mayores, son las condiciones de mayor exigencia para los cables. Por otro 
lado, temperaturas elevadas, provocan tracciones bajas en los conductores, afectando 
a las Alturas de Seguridad de la líneas, como consecuencia provocan mayores 
flechas. La práctica, por otro lado, muestra que las tracciones de mayor permanencia, 
correspondientes a temperaturas medias anuales, pueden ser aquellas que mayor 
peligro presentan para la integridad de los cables durante la vida útil de las líneas, 
debido a las vibraciones inducidas por los mismos vientos o brisas siempre presentes. 
Esas vibraciones pueden, a plazos más o menos largos provocar la ruptura por fatiga 
de las hebras que componen los cables, en el punto de sujeción de las grampas de 
sujeción. Sus efectos serán tanto mayores, cuando mayores serán las tracciones a las 
que se sometan. 
 De un modo general, las hipótesis de carga usualmente adoptada para los 
proyectos de líneas aéreas son las siguientes: 
 Primera Hipótesis – Condición de Trabajo de Mayor Duración. Corresponde 
a esta condición, la temperatura media anual considerada, sin el efecto del viento, ni 
formación de manguito de hielo. 
 Segunda Hipótesis – Condición de Máximo Viento. Se considera la línea 
sometida a vientos de máxima intensidad, a la temperatura más probable de 
ocurrencia. 
 Tercera Hipótesis – Condición de Flecha Mínima. Se considera la línea 
sujeta a menor temperatura absoluta, sin la existencia de vientos. 
 Cuarta Hipótesis – Condición de flecha máxima. Es la condición 
correspondiente a la temperatura más alta de los cables debido al la temperatura 
ambiente elevada y la temperatura máxima media debido al efecto térmico (Joule) 
provocado por el flujo de la corrientes en los cables. 
Quinta Hipótesis – Condición de Manguito de Hielo. Se considera la línea 
con el Manguito de Hielo, a la temperatura Mínima absoluta, sin la presencia de 
viento. 
A estas hipótesis de carga, normalmente se asocian restricciones en los 
cables. Para la primera hipótesis es la siguiente: 
 “En condición de trabajo de mayor duración, en el caso que no hayan sido 
adoptados medidas de protección contra los efectos de vibración, se recomienda que 
el esfuerzo de tracción en los cables conductores no sobrepase el 18% de su carga 
nominal de ruptura”. 
 Para la segunda, la tercera y quinta hipótesis: 
 “En ninguna hipótesis el esfuerzo de tracción en los cables puede superar el 
40% de la carga nominal de ruptura del mismo, para cables de aluminio, CAA. y el 
50% para cables de cobre”. 
 
 
 
CAPITULO 2 
2.7 RIESGO DE FALLA DE UNA LINEA DE TRANSMISION 
 
Observaciones en caso de fallas en líneas de transmisión se ve que raramente se 
verifica la ruptura de los cables, debido al bajo efecto de los vientos. Eso puede ser 
atribuido al hecho de que por cuestiones de seguridad contra la fatiga del material, se 
aplican factores de seguridad elevadísimos (de 3 a 4), en el caso de las solicitaciones 
debidas a las cargas máximas. Ordinariamente son las estructuras que sufren el 
colapso (Figura 2.3). 
 
 
 
Figura 2.2 Riesgo de Falla de una Línea Aérea. 
 
Si admitimos que es posible obtener una distribución de los esfuerzos de los 
vientos sobre los elementos de las estructuras de una línea a través de una función de 
densidad probabilística, como también una función idéntica para la resistencia 
mecánica de las estructuras, el Riesgo de Fallas podrá ser expresado numéricamente. 
Sea, en la figura 2.11, la curva )(VPV la Densidad Probabilística de los Vientos y 
)(VPR la Densidad Probabilística de Resistencia de las Estructuras; el Riesgo de 
Falla de las Líneas, podrá ser calculado por: 
Riesgo de falla = área achurada = 


dvVPf ).( , 
O el riesgo de falla para cualquiera de los valores de V definidos en )(VPv : 
dVVPVPR Rv .)().(


 
Fuerza de Viento Pv (V) Resistencia a la Tracción de 
los Conductores PR (V)
Riesgo de Falla Pf (V) 
Fuerza de Viento 
CAPITULO 3 
 
COMPORTAMIENTO MECANICO DE CONDUCTORES 
 
Los cables conductores son elementos activos de transporte de energia y son 
sometidas a tensiones elevadas, todos los demas elementos de transmisión deben ser 
dimensionados en funcion de estas tensiones, como tambien en funcion de las 
solicitaciones mecanicas que estas transmiten a las estructuras. Por esa razon 
comensaremos con el estudio del comportamiento mecánico de los conductores. 
 
3.1 COMPORTAMIENTO DE CABLES SUSPENDIDOS-VANOS 
AISLADOS 
 
Un cable extendido entre dos puntos suficientemente elevados, para que no se 
apoye sobre sobre el suelo , adquiere una forma caracteristica que recibe el nombre de 
“Catenaria”. Los conductores de las líneas aéreas de transmisión, normalmente 
constituidas por cables, describen curvas semejantes a la Catenaria. 
 
Los puntos de suspensión de los conductores de una línea aérea, pueden estar a 
una misma altura o, como ocurre mas frecuentemente, a alturas diferentes. Estudiaremos 
los dos casos separadamente. 
 
3.1.1 Soportes a las Mismas Alturas 
 
La Fig. 3.1, representa un conductor suspendido en dos soportes rígidos, A y B, 
separados entre si por una distancia “A”. Esta distancia comúnmente recibe el nombre 
de “Vano”. Como los puntos A y B estan a una misma altura ,la curva descrita por los 
conductores será simétrica, en su punto mas bajo, o vértice O, encontrándose sobre un 
eje que pasa a media distancia entre AyB. 
 
 
La distancia OF = f recibe el nombre de “Flecha”. En las líneas de transmisión, 
las alturas de suspensión (H) de los conductoresestan directamente relacionados con el 
valor de las flechas y con las distancias de los vértices de las curvas al suelo (hs). 
 
 
 
Fig. 3.1 Conductor Suspendido en Dos Soportes de la Misma Altura. 
La flecha como veremos, depende del vano, la temperatura y del valor de 
CAPITULO 3 
tracción aplicada al cable en su fijación entre A y B . La altura (hs), denominada 
“Altura de Seguridad” es establecida por normas en función del nivel de tensión de la 
línea, del tipo y accidentes topográficos del terreno. 
 
Entonces tenemos: 
 
P[kgf/m] peso unitario del conductor 
 L[m] longitud del conductor 
Siendo: 
L>A 
 
 Consideremos los ejes OX y OY los cuales vamos a relacionar con la ecuación 
de equilibrio. Sea M un punto cualquiera limitando la longitud del conductor OM = s. 
Este segmento del conductor estará en equilibrio con la fuerza que se ejercen sobre ella, 
representada por el peso del conductor ps, la traccion en el punto O, designada por T o 
y cuya direccion es tangente a la curva en O , o sea horizontal , y la traccion T , cuya 
direccion es tangente a la curva en M , haciendo con la horizontal un ángulo  ' 
 
Proyectando esas fuerzas sobre el eje OY, tenemos: 
 
 Tsen ' = p*s (3.1) 
Y sobre el eje OX 
 Tcos ' =T O (3.2) 
Si en lugar de considerar un segmento de longitud “s” de la curva, 
consideraremos todo un tramo OB = L/2 de la curva, el punto M se desplazará al punto 
B y la fuerza T pasará a ser tangente de la curva en B. En esa condición 
 Tsen = 
2
pl
 (3.3) 
 Tcos  = To. (3.4) 
 
 Fig.3.2 Fuerzas Actuantes 
Una vez que la fuerza T equilibra a las demás, ella es representada por la reacción 
CAPITULO 3 
de la estructura, al sistema de fuerzas actuantes: 
a) Una fuerza horizontal y constante T o = T cos  
h) Una fuerza vertical V = T sen = pL/ 2, por tanto igual al peso del semivano del 
conductor , referido a su longitud real 
 T=
'COS
TO (3.5) 
 
Si dividimos la Ec.(3.1) por la Ec. (3.2), tenemos: 
 
 tg ' =
oT
ps
 (3.6) 
 
 ' =arct tg 
oT
ps
 (3.7) 
 
Estas expresiones muestran que siendo To constante, lo mismo no ocurre con T, 
que varía a lo largo de la curva, en función del la distancia s , del punto considerado al 
vértice de la catenaria. Ella será mínima para  =O (en el punto 0), cuando entonces T 
=To, será máxima en A o B, cuando: 
 ' = =arctg 
To
pL
2
 (3.8) 
 
Siendo T la fuerza de tracción axial en el cable, su relacion de trabajo ( ) 
también varía, desde un mínimo, junto al vértice de la curva, hasta un máximo, junto a 
los puntos de suspensión . 
Por cuestiones de seguridad, las diverzas normas establecen limitaciones para los 
máximos esfuerzos de tracción aceptables, en los cables conductores, en función de la 
carga de ruptura de los cables. 
Tmax= k Trup 
 
Donde k representa el coeficiente de reduccion, variable para diversos 
condiciones de funcionamiento, que se discutirá más adelante. 
 
La variación de T en líneas usuales es bastante pequeño, principalmente cuando 
los soportes estan en el mismo nivel y los vanos tienen valores normales, pues los 
ángulos  también son pequeños. En los cálculos despreciamos esta variacion. 
 
Ejemplo 3.1 
 
Una línea de transmisión de 115 kV debe ser construida con cables de aluminio 
con alma de acero (ACSR), compuesto de 30 hebras de aluminio y 7 hebras de acero 
galvanizado, con una sección de 210,3 mm2. (Especificado bajo el código Oriole) 
CAPITULO 3 
seccion 336.400 CM * la carga de ruptura es igual a 7.735 kgf, su peso de 0,7816 kgf./ 
m. Admitiendo el conductor tensionado para una tracción To = 1.545 kgf, calcular el 
valor de traccion T en los puntos de suspensión , en un vano de 350 m y un vano de 
1.000 m. 
Solucion: 
 
Debemos usar las Ecs. (3.7) y (3.8), admitiendo, para el efecto comparativo, L A. 
a) Para el vano de 350m : 
 
 =arctg
To
pL
2
=arctg
1545*2
350*781,0
 
 = 5,05925  
Luego 
T=
cos
To
=
05925,5cos
1545
=1551,0428kgf 
Aumento de tracción %391,0T 
 
b) para el vano de 1.000 m 
1545*2
1000*7816,0
2
arctg
To
pL
arctg  
19494,14 
y 
6592,1593
19494,14cos
1545
cos


To
T kgf 
 
Aumento de la tracción %1495,3T 
 
Analizando los resultados obtenidos, verificamos que en el primer caso, el 
aurnento del traccion es absolutamente despreciable, mientras que en el Segundo caso, 
merece mayor atencion . Un vano de 350 m podría ser considerado normal en líneas de 
esta tension, en cuanto que el vano de 1.000 m sería excepcional en cualquier línea. 
 
Ejemplo 3.2 
 
¿Admitiendo que la longitud desarrollada de los cables es aproximadamente igual al los 
vanos horizontales, con que valor del vano de la línea del ejemplo anterior, sufrirá 
ruptura el conductor? 
 
Solucion : 
 
Por la Ec.(3.5) 
CAPITULO 3 
T
To
TTo  cos 
para 
kgTo 1545 y kgfT 7735 (tension de ruptura del cable ) 
4782,78199741.0
7735
1545
cos   
por la Ec (3.6) 
p
Totg
A
To
pL
tg
 2,
2
 (L A) 
Luego: 
m
tg
A 95,19393
7816,0
*1545*2


 
 
Por tanto, con un vano del orden de 19.400 m, con una tracción To, junto al 
vertice de la parabola , no superior a 1.545 kgf, es decir, aproximadamente 20% de la 
traccion de ruptura, el cable no resistiría los esfuerzos de traccion junto a los apoyos, y 
ocurriria la ruptura (teóricamente ). 
 
a) Ecuaciones de Cables Suspendidos. Cálculo de Flechas 
 
Consideraremos nuevamente el sistema de la fig. 3.1: vemos que 
 
To
ps
tg 
'
 (3.9) 
siendo 
 z
dx
dy
tg ' (3.10) 
podemos escribir 
 
To
ps
z  (3.11) 
 
Diferenciando encontraremos 
dZ= 22 dydx
To
p
ds
To
p
 
o 
21 Z
To
p
dx
dZ
 
 
donde 
 dx
To
p
Z
dZ

 21
 (3.12) 
Integrando la Ec.(3.12), tenemos 
CAPITULO 3 
 x
To
P
ZZe  )1(log
2 (3.13) 
 
cuya constante de integracion es nula, para X=0, Z= 0.De la Ec.(3.13) 
podemos obtener 
xTopeZZ )/(21  
 xTopeZZ )/(21  
 
Restando miembro a miembro 
 
2
)/()/( xToPxToP ee
Z

 (3.14) 
Como dxdyZ / , obtenemos, por integración 
C
pTo
x
p
To
y 






/
cosh 
para 0x ; 0y ; 10cosh  ;luego, ./1 pToC  por tanto 
 











 1
/
cosh*
pTo
x
p
To
y (3.15) 
que es la ecuación catenaria 
 
Designando pToC /1  tenemos 
 





 1cosh
1
1 C
x
Cy (3.16 a ) 
 
el termino cosh
/
x
To p
 
 
 
 se puede desarrollar en la siguienteserie 
 
 
2 4
2 4
1 1 1 1
cosh 1 ........
2 4! !
n
n
x x x x
C C C n C
  
      
  
 (3.17) 
 
En las lineas de transmisión el valor de 1C , es siempre muy grande, del orden 
superior a 1000 , lo que hace que esa serie sea rapidamente convergente, como 
muestra la expresion 3.3. En esas condiciones es suficiente considerar los dos primeros 
terminos de la serie, haciendo esta sustitución en la Ec. (3.16), obtenemos: 
 
To
px
C
x
y
22
2
1
2
 
que es la ecuación de una Parábola 
 
CAPITULO 3 
Calculamos ahora las expresiones para las flechas . Para la catenaria hacemos en ( 3.16a) 
2
A
x  ; ;fy  
 
 





 1
2
cosh
1
1 C
A
Cf (3.16b) 
 
Para la parábola, usando el mismo raciocinio que en (1.18 a), tenemos 
 
 
To
pA
f
8
2
 (3.18b) 
 
Ejemplo 3.3 
 
Verificar la convergencia de la serie y calcular las flechas de la línea 
descritos en el ejemplo 3.1. 
 
Solución 
7144,1976
7816,0
1545
1  p
To
C 
 
 Usando el mayor valor de x en la línea que es igual a A/2 podemos calcular: 
2
6
1
6
6
1
6
4
1
4
4
1
4
2
1
2
1
2
2
46080!6
;
384!4
;
82 C
A
C
x
C
A
C
x
C
A
C
x
 
Para el efecto comparativo de los vanos de 350 y 1000 m, encontraremos 
los valores indicados en la tabla, que muestra la convergencia rápida de las 
condiciones de la serie. Muestra, igualmente. que el error que cometemos al usar 
la ecuación de la paràbola en lugar de la ecuación de la catenaria es 
insignificante: 5,1 mm en los vanos de 350m y 337.8 mm en los vanos de 1000m, 
respectivamente, es decir 0,066% y 0,53% del valor calculado por la ecuación 
exacta .Siendo errores que pueden ser perfectamente tolerados en problemas 
prácticos de transmisión. 
 
Vanos 
 A 
 [m] 
1
0 C
p
T
 
1
2
2
8C
A
 
 
1
4
4
384C
A
 
1
6
6
46080C
A
 
Flechas[m] 
 
Eq(1.16b) 
 
Eq(1.18b)
 
350 
1000 
 
1976,7144 
1976,7144 
3919*10 6 
31990*10 6
2*20 6 
170*10 6
 
0 
0 
 
7,7515 
63,5741 
 
7,746 
63,2363 
 
 
CAPITULO 3 
b) Cálculo de Longitud de los Cables 
 
La longitud desarrollada por una curva cualquiera, de acuerdo a la Geometría 
Analítica, esta dado por : 
 dx
dx
dy
L
x
x
2/122
1
1













 (3.19) 
 
De acuerdo con la Ec.(3.14) 
1C
x
senh
dx
dy
 
Como 
1
2
1
1cosh
C
x
senh
C
x
 
Integrando, encontraremos la longitud entre el vértice y un punto de la abscisa: 
 
1
1 C
x
senhCLx  (3.20) 
Considerado la curva entera, en el vano A, tendremos, 
  m
C
A
senhCL
1
1 2
2 (3.21) 
Efectuando el desarrollo en serie, obtenemos: 
 



























n
C
A
nC
A
C
A
C
A
CL
1
5
1
3
11
1 2!
1
...
!5
1
2!3
1
2
2 (3.22) 
 Una vez más estamos frente a una serie rápidamente convergente. En la mayoría de los 
casos, es suficiente considerar solo los dos primeros términos: 
 
2
23
2
1
3
2424 To
pA
A
C
A
AL  (3.23) 
Como TopAf 8/2 [Ec.(3.18)], tenemos 
  m
A
f
AL
3
8 2
 (3.24) 
que es la ecuación de la longitud de una parábola , desarrollada en función de la 
flecha y de su abertura. 
 
CAPITULO 3 
Ejemplo 3.4 
 
Cuales son los valores de las longitudes de los cables de la línea descritas en el 
anterior Ejemplo 3.1, en los vanos de 350 m y 1000m. calculados a través del proceso 
exacto y el proceso aproximado. 
Solución 
a) Cálculo por el proceso exacto, del ejemplo3.2 7144,19761 C 
Luego 
1
1 2
2
C
A
senhCL  
7144,1976*2
7144,1976*2
A
senhL  
;1000)1 mParaAa  
mL 6977,10101000  
 
mParaAa 350)2  
4573,350350 L 
 
 
b) cálculos por el proceso aproximado: 
  m
A
f
AL
3
8 2
 (3.24) 
 
 
Del Ejemplo3.3 7464,7350 f e mf 2363,631000  ; luego 
 
 
)1b 350*3
)7464,7(*8
350
2
350 L 
 
;4572,350350 mL  
 
)2b 1000*3
)2363,63(8
1000
2
1000 L 
CAPITULO 3 
 
 L 1000 = 1010,6635 m 
 
Comparando los resultados, verificamos que, si calculamos las longitudes usando 
las ecuaciones simplificadas, los errores serian ,: 
 
a) vano 350m , error de 0,002m, o sea ,0,0006% 
 b)vano 1000m, error de 0, 034m, o sea , 0,003 38% 
 
Lo que demuestra que los procesos de calculo aproximados, representados por 
las ecuaciones de las parabolas , son plenamente satisfactorias. 
 
 
 
 
3.2 SOPORTES A ALTURAS DIFERENTES 
 
La Fig. 3.3 muestra el cable extendidó entre dos apoyos rígidos cuyas alturas A 
y B son diferentes entre si , siendo el vano medido con la horizontal igual a A. Sea h la 
diferencia de alturas entre A y B. 
 
 
Fig. 3.3 Cable Suspendido entre Soportes con Alturas Diferente 
 
Si prolongamos la curva AB hasta el punto B ' , situado a una misma altura que el punto 
A obtenemos un vano nivelado eA , llamado “Vano Equivalente”, y la catenaria 
correspondiente a ese vano, de acuerdo con la Ec (3.16 a ), tenemos 


















 1cosh1cosh
1
2
1
1
121 C
x
C
x
Cyyh 
CAPITULO 3 
O 







1
2
1
1
1 coshcosh C
x
C
x
Ch 
que puede ser transformada en: 
1
21
1
21
1 22
2
C
xx
senh
C
xx
senhCh

 
 
o de acuerdo Fig. 3.3 
 
1
'
1
1 22
2
C
A
senh
C
A
senhCh  (3.25) 
De esta ecuación podemos obtener 
 
11
1
11
'
2
cos
2
2
1
22 C
A
ech
C
h
C
A
senhC
h
C
A
senh  (3.26) 
resolviendo esta ecuación obtenemos A ' , y, consecuentemente, el vano equivalente, 
que de acuerdo con la Fig. 3.3, será 
'AAAe  
De la serie de senohiperbolica 
...;
!5!3
53

xx
xsenhx 
entonces 
...
!3
1
2
'
22
3
11
'
1
'







C
A
C
A
C
A
senh 
Usando la serie de co–secante 
...;
360
7
6
1
cos
3

xx
x
ech , 
...
122/
1
2
cos
111

C
A
CAC
A
ech 
 
Tomando solamente las primeros terminos , y sustituyendo en la Ec.(3.26) 
 
Tenemos eliminadas las funciones trigonometricas 
 ;
2
1
' C
A
h
A  (3.28) 
y el vano equivalente sera 
  m
A
hC
AAe
12 
CAPITULO 3 
                        m
Ap
hTo
AAe
2
                                                                    (3.29) 
 
La carga vertical en el punto de suspension A, sera 
 kgfp
Ap
hTo
ApAV eA 






2
2
1
2
1
 
o 
  kgf
A
hToAp
VA  2
 (3.30a) 
 
En el punto inferior B tenemos 
pC
A
h
A
hCA
pAAV eB 




 




  1
1' 2
22
1
 
o 
  kgf
A
hToAp
VB  2
 (3.31a) 
Las cargas verticales tambien pueden ser cal culadas, en la forma siguiente: 
 
a) Actuando sobre el soporte superior: 
  pAV eA 2
1
 (3.30b) 
b) actuando sobre el soporte inferiorb1 ) cuando :2/EAA  
  kgfpAAV eB 




 
2
 (3.31b) 
 
c)cuando :2/eAA  
  kgfpAAV eB 




 
2
 (3.31b) 
Esa segunda manera de calcular es preferida en la fase del proyecto, una vez 
que 2/eA es facil de determinar gráficamente durante la localizacion de las estructuras 
sobre los perfiles. Las ecuaciones son equivalentes y ellos llevan a los mismos 
resultados. 
 
Como To es constante en cualquier punto de la curva, mientras que la tracción 
axial en el cable no será constante, su valor podra calcularse por la suma vectorial de 
To con los componentes verticales AV y BV .Con cierto trabajo podemos hacer la 
siguiente demostración 
CAPITULO 3 
22
0
2
AA VTT  O 
2
0
2
0
1 











T
V
T
T AA 
Entonces 
2/12
0
1















T
V
T
T A
O
A 
 
Desarrollando esta ecuación en serie binominal, obtenemos 
...
4*2
1
2
1
11
4
0
2
0
2/12
0




























T
V
T
V
T
V AAA 
 
Tomando los dos primeros terminos que 
2
00 2
1
1 






T
V
T
T AA O 
0
2
0 2T
V
TT
A
A  
 
Note que de la Ec. (3.30b) 
2
pA
V eA  
por tanto 
;
882 0
2
0
22
0
2
pfp
T
pA
T
pA
T
V
e
eeA 





 
 
finalmente para el punto mas alto 
 pfTT eA  0 (3.32) 
 
De la misma manera, para el punto mas bajo, llegamos a 
  phfTT eB  0 (3.33) 
donde 
0
2
8T
pA
f
e
e  
es la flecha correspondiente al vano equivalente eA 
 
Ejemplo 3.5 
 
Dos apoyos de la línea de 138 kV descrita en el ejemplo. 3.1 en alturas 
diferentes, la diferencia de altura del vano horizontal de 350m, es igual a 40m. Calcular 
las fuerzas verticales y axiales en los puntos A y B,siendo A el punto más alto. 
 
CAPITULO 3 
Solucion 
 
De los ejemplos anteriores: kgfT 15450  7144,19761 C e kgfp 7816,0 
 
Tenemos 
)a Fuerzas verticales 
)1a Soporte superior [Ec.(3.30)] 
kgf
A
hTAp
VA 3514,313350
1545*40
2
7816,0*350
2
0  
 
 )2a soporte inferior [Ec.(3.31)] 
kgf
A
hTAp
VB 791,392
1545*40
2
7816,0*350
2
0  
El signo negativo significa que la traccion BV esta dirigida de abajo para arriba y que 
2/eAA  
Veamos entonces : 
Ap
hT
AAe
02 (3.29) 
 
mAe 820,8017816,0*350
1545*40*2
350  
luego 
2
350 e
A
A  
De otra manera, podemos usar las Ecs. (3.30b) y (3.31b): 
kgfpAV eA 3514,3137816.0*8204,801*2
1
2
1
 
kgfpA
A
V eB 7914,397816,0*3502
8204,801
2





 




  
que confirman lo que fue expuesto anteriormente 
)b Fuerzas axiales en el cable 
)1b En el soporte superior [Ec.(3.32)]: 
pfTT eA  0 
donde 
   
m
T
pA
f
e
e 65,401545*8
7816,0*8204,801
8
2
0
2
 
kgfTA 772,15767816.0*65,401545  
Otra opcion de cálculo seria usar el teorema de Pitágoras para calcular la resultante en el 
punto A: 
CAPITULO 3 
    kgfTVTT AAA 46,157635,3131545
2
222
0
2  
 
)2b En en el soporte inferior [Ec. (3.33)]: 
    ,508,1545*4065,4015450 kgfphfTT eB  
Tambien 
    kgfTVTT BBB 51,154579.391545 222202  
Se verifica que, junto al soporte superior, la tracción en el cable es 
aproximadamente 1,95% mayor que T 0 , en otros términos, la tracción equivalente en el 
vértice de la catenaria. En los casos de desniveles muy acentuado, este hecho deberá 
ser tomado en consideración en los cálculos, porque puede redundar en factores de 
trabajo mayores, que aquellas establecidas por las normas . 
 
3.2.1 Longitudes de Cables en Vanos en Desnivel 
 
Consideraremos el vano en desnivel de la Fig. 3.4. la ecuación referida al eje 
111 YXO puede derivarse de la Ec. (1.16): 
1
1
11 cosh C
X
Cy  
Sea 0x e 0y las coordenadas del punto A en ese sistema, efectuemos un cambio 
de los ejes de coordenados, de forma que su origen coincida con A. Tendremos el 
sistema AXY. Donde x e y son las coordenadas de un punto cualquiera de la curva 
 
Figura 3.4 Vano en Desnivel 
relativo al nuevo sistema de coordenadas .La ecuación de la curva que sustituye a (3.20) 
sera: 
 








1
0
1
0 coshcosh
C
x
C
xx
Cy (3.34) 
 
CAPITULO 3 
Consideremos el punto B(A,B): para ese punto la ecuación sera : 
 








1
0
1
0
1 coshcosh C
x
C
xA
CB (3.35) 
Sea ds una longitud elemental del conductor . Tenemos 
1
0
2/12
cosh1
C
xx
dx
dy
dx
ds 














 
 
y, consecuentemente 
 







 
1
0
1
0
0
1 C
x
senh
C
xA
senhCdsL
A
 (3.36) 
 
Resolviendo, simultáneamente, (3.34) y (3.36), obtendremos el valor de L. Para ello 
elevar ambas expresiones al cuadrado y hacer la diferencia 22 BL  - recordando, que 
1cosh 22  xsenhx , obtenemos 
 





 



1
0
1
0
1
0
1
0
1
222 coshcosh12
C
x
senh
C
xA
senh
C
x
C
xA
CBL 
 
 Podemos simplificar esta ecuación utilizando las conocidas fórmulas de suma y 
sustracción de los arcos hiperbolicos. Obtenemos finalmente 
 
 






1
1
222 cosh12
C
A
CBL (3.37) 
 
Pero 
12cosh2 2  xxsenh ; 
1
2
1 2
21cosh
C
A
senh
C
A
 
 
luego 
1
2
1
222
2
4
C
A
senhCBL  
O 
 
1
2
1
22
2
4
C
A
senhCBL  (3.38) 
 
Si desarrollamos en série el término hiperbólico de la Ec. (3.37) tendremos 
 
CAPITULO 3 







1
4
4
1
2
2
1
222
242
112
C
A
C
A
CBL 







1
2
2
2
1
2
4
222
12
1
12 C
A
A
C
A
ABL 
 
 






1
2
2
22
12
1
C
A
ABL (3.39) 
 
Para esta ecuación, empleamos solamente dos terminos de la serie, y ella representa la 
longitud del conductor en forma parabólica 
 
Ejemplo 3.6 
 
Calcular la longitud del conductor para la situación descrita en el ejemplo 3.5 
Empleando las ecuaciones (3.38) y (3.39) 
Solucion 
Son datos : 7144,19761 C mA 350 e mB 40 
 
a) Por la ecuación Ecuación (3.38) 
      msenhL 7144,19762
350
7144,1976440 222  
mL 73272,352 
luego 
 
b)Por la ecuación (3.39) 
     
 
 mL 






2
2
22
7144,197612
350
135040 
 
mL 73225,352 
Vemos que tambien que en este caso ambas ecuaciones dan resultados dentro de 
la tolerancias normales de problemas práctico de Ingenieria . En el caso, la relación ah / 
es relativamente pequeña, por ser líneas reales tipicas. Sin embargo, en el caso de 
relaciones ah / elevadas , el error puede ser mayor y afectar los valores de las flechas 
significativamente. 
3.2.2 Flechas en Vanos Inclinados 
 
En el caso de dos vanos inclinados hay dos formas de medir las flechas, y eso 
puede ser de interés práctico, como muestran las Fig. (3.3) y (3.4) 
 
CAPITULO 3 
a) la flecha sf , representada por la mayor distancia vertical entre la linea que 
une los puntos de apoyo del cable en un punto de la curva; esta flecha es importante, 
cuando el perfil del terreno es mas o menos paralelo a la linea entre los puntos de apoyo 
 
b) la flecha fo medida entre unalínea horizontal que pasa por el apoyo inferior 
y el punto mas bajo de la curva del cable: hay situaciones en que ella es importante, 
pues define el levantamiento del cables a obstáculos que la línea cruza en ese punto. 
Veremos las mismas: 
 
Caso (a) 
El cálculo riguroso de la lecha sf es muy trabajoso.Podemos simplificar 
sustituyendo la catenaria por la parábola. Por tanto hacemos el desarrollo de la serie del 
segundo miembro de la Ecuacion (3.34) de la cual emplearemos apenas los dos 
primeros terminos . Tenemos : 
 
 
1
0
1
2
2
0
2
1
2
2
0
1
*
222 C
xx
C
x
C
x
C
xx
Cy 










 (3.40) 
Para el punto B, con la misma aproximacion By  ; luego, 
 
1
0
1
2
2 C
Ax
C
A
B  (3.41) 
Eliminando 0x de las ecuaciones (3.40) y (3.41) encotramos 
 






A
B
C
A
x
C
x
y
11
2
22
 (3.42) 
que es la ecuación de parábola en desnivel , con el origen de las coordenadas en A 
Con esta ecuacion podemos construir la curva por puntos. 
 
El coeficiente angular de la tangente en un punto de esa parabola es obtenido derivando 
la ecuacion (3.42) 
 






A
B
C
A
C
x
dx
dy
11 2
 (3.43) 
En el punto P, correspondiente a sfy  la tangente es paralela a la recta AB ; luego , su 
coeficiente angular es igual a AB / .Igualando la(3.43) a AB / obtenemos 
 
2
A
x  
Sustituyendo ese valor en la (3.42) obtenemos 
 












A
B
C
AA
C
A
y p
11
3
228
 (3.44) 
De la Fig. 3.4 podemos verificar 
 ps y
B
f 
2
 (3.45) 
CAPITULO 3 
Como py es negativa , tenemos 













A
B
C
AA
C
AB
f s
11
3
2282
 
y, simplificando, el obtenemos 
 
0
2
1
2
88 T
pA
C
A
f s  , (3.46) 
la ecuación que, vemos es identica a la Ec. (3.18b). Esto nos permite concluir que el 
valor de la flecha máxima en un vano desnivelado tiene el mismo valor que la flecha en 
un vano igual , pero nivelado 
 
Caso b). 
 
De la Fig. 3.4 tenemos que 
 h
T
pA
hff
e
e  2
0
2
0 8
 (3.47) 
por la Ec.(3.29) 
 
Ap
hT
AAe
02 (3.48) 
 
que sustituida en la anterior nos da , tomando en cuenta (3.46) 
 
 






ssss
s f
h
f
h
f
h
f
h
ff
216
1
216 2
22
0 (3.49) 
 
y finalmente 
 
2
0 4
1 






s
s f
h
ff (3.50) 
 
Ejemplo 3.7 
 
Determinar los valores de las flechas sf y 0f para la situacion descrita en el ejemplo 3.5 
Solucion 
a) por las Ecs.(3.18) y (3.46) tenemos 
 
m
T
pA
f s 746,71545*8
7816,0*350
8
2
0
2
 
b) Por la Ec. (3.50) 
22
0 7464,7*4
40
17464,7
4
1 




 






s
s f
B
ff 
CAPITULO 3 
mf 6556,00  
 
3.3 VANOS CONTINUOS 
 
Los vanos aislados son relativamente poco frecuente en las líneas de transmision, 
que en la realidad, se constituyen en una sucesión de un numero grande de vanos 
que no pueden tratarse separadamente, porque los puntos de la suspensión no están 
rígidos, como admitimos en los conductores aislados desde el punto de vista 
mecanico. Los esfuerzos son transmitidos de un vano para otro. Dé ahí la necesidad 
de considerar la sucesión de vanos. 
 
Retornemos a la Fig. 3.1 e imaginemos que en el vano A, intercalados n 
soportes de la misma altura , resultando n+1 vanos de longitudes  1/  nAa como 
muestra la Fig3.5 .Admitamos tambien que los soportes intermediarios sean rigidos 
y que el cable pueda deslizarse libremente sobre estos soportes intermediarios .En 
esas condiciones se tomara en cada uno de los vanos intermediarios , curvas iguales. 
 
 
 
Fig. 3.5 División de un Vano por n Apoyos Intermediarios Igualmente 
Espaciados 
 
Esta division de vanos afecta a los valores de las fuerzas verticales y tambien 
a las fuerzas axiales T. Las fuerzas verticales en los apoyos pueden ser calculados 
por 
 
22
papl
VV BA  . (3.51) 
las fuerzas axiales seran entonces 
cos
0TTT BA  
para 
 
02T
pa
arctg (3.52) 
En cada estructura intermediaria actuarán simplemente las fuerzas verticales, una 
CAPITULO 3 
vez que los componentes horizontales T0 de las tracciones se anulan. Las fuerzas 
verticales serán, entonces, 
 paplV  (3.53) 
 
Ejemplo 3.8 
 
Imaginemos que un vano aislado de 1 000 m. cuyos valores fueron calculadas en los 
ejemplos anteriores, se subdivide en cinco vanos iguales de 200m, de las mismas alturas 
que A y B. Cuales son los esfuerzos que actúan en las estructuras terminales A y B y 
sobre las estructuras intermedias ? 
Solución: 
De los ejemplos anteriores para el vano de 1 000 rn, la tracción horizontal era 
kgfT 15450  después de la subdivisión, nosotros necesitamos calcular el nuevo 0T de 
la línea. Para eso, nosotros podemos usar el raciocinio que sigue. 
Para el vano aislado, la longitud del cable esta dado por (3.24): 
;
3
8 2
A
f
AL  
Después de ser subdividido tenemos 5/' AA  e 5/' LL  ; luego 
 
5
3
8
55
2'
A
fAL
 
 
A
f
AL
3
258 2'
 
y por tanto 2'2 25 ff  , donde 
5
' ff  
para el vano aislado la flecha del cable esta dado por (3.18b) 
0
2
8T
pA
f  
después de la subdivisión tenemos 5/' ff  e 5/' AA  luego 
 
To
A
p
f
8
5
5
2






 
 0
2
58 T
pA
f  
 
CAPITULO 3 
y por tanto 00 5TT  `, donde 
5
0
0
T
T  
 
a) Estructuras terminales 
)1a fuerzas verticales 
 
kgf
ap
V 16,78
2
200*7816,0
2
*
 
)2a fuerzas axiales 
 
cos
0TTT BA  
 
194,14
5
1545
2
200*7816,0
2 0
 arctg
T
pa
arctg 
donde 
kgfTT BA 72,3189695,0
5/1545
 
 
)b Estructuras Intermediarias 
)1b Fuerzas verticales 
kgfapV 32,156200*7816,0  
)2b Fuerzas axiales 
Las mismas que en las estructuras terminales . Comparando estos resultados con 
aquellos obtenidos en el Ej. 3.1, verificamos que la subdivisión del vano no sólo trajo 
una reducción en las cargas verticales, como era de espera, sino también en las cargas 
axiales, en otros términos, la solicitaciones en los cables. 
Las flechs a su vez, se reducieron, en este caso: 
 
5
' ff  
Veamos lo que pasa cuando el vano A es subdividido por estructuras 
desigualmente espaciadas. Para la comodidad de razonar las consideremos, con las 
mismas alturas, como la Fig. 3.6. 
 
CAPITULO 3 
 
Fig. 3.6 Subdivisión de un Vano por n Vanos Desiguales 
 
Las fuerzas horizontales 0T son constantes y iguales en todas las estructuras y ellos 
están absortos por las estructuras terminales, mientras, que en las estructuras intermediarias, 
ellas se anulan. Las fuerzas verticales en las estructuras terminales son proporcionales a los 
semivanos vecinos, 
 
p
a
VA 2
1 y p
a
VB 2
3 
mientras que las fuerzas verticales que actúan en las estructuras intermediarias son 
iguales a la suma delos pesos de los cables de los dos semivanos vecinos, 





 




 
222
3232
32
aa
p
aa
pVVVc 
o, genéricamente, 
  kgfaapV ji 




 

2
 (3.54) 
 Las tracciones axiales iT y JT serian también diferentes siendo mayores en los 
cables en los lados de los vanos mas grandes 
 Por su parte las flechas, se distribuirá en la razón de los cuadrados de los vanos. Ellos 
serán más grandes en los vanos más grandes o sea 
 
2









j
i
ji a
a
ff (3.55) 
 
CAPITULO 3 
Ejemplo 3.9 
 Calcular las fuerzas verticales y axiales de los conductores cerca al punto de suspensión 
de un estructura que es flanqueada de vanos ma 3001  y ma 5002  y cuyas 
estructuras adyacentes están en la misma altura. El cable es el mismo de los ejemplos 
anteriores y la tracción horizontal es de 1 545 [kgf] 
 
Solución 
 )a Por la Ec.(3.54) 
kgf
aa
pV 64,312
2
500300
7816,0
2
21 




 




  
)b Fuerzas axiales, lado del vano menor  1T 
3395,4
1545*2
300*7816,0
,
cos
0
1  arctg
T
T 

 
luego 
kgfT 44,1549
9971,0
1545
1  
 
El lado del vano más grande (T 2 ): 
2081,7
1545*2
500*7816,0
 arctg 
 
luego 
kpT 3073,15572  
 
flechasc) 
 
;6913,5
1545*8
300*7816,0
8
2
0
1
2
1 mT
pa
f  
 
;809,15
1545*8
500*7816,0
8
2
0
2
2
2 mT
pa
f  
 
Por los resultados de (b) vemos que los cables en los lados de los vanos más 
grande son los más solicitados, asi como las estructura de suspension. 
 
Finalmente, analizaremos el caso más general y tambien el mas frecuente en las 
lineas transmisión; una sucesión de vanos desiguales y los cables suspendidos en alturas 
diferentes . La Fig 3.7 muestra una linea de transmisión que atrabiesa un terreno 
CAPITULO 3 
accidentado lo cual examinemos caso por caso. 
 
Estructura Terminal A 
 
Sometida a una traccion horizontal 0T y una fuerza de compresión , vertical de arriba 
para abajo , cuyo valor puede ser calculado por las Ecs. (3.31a) o (3.32b) para cada uno 
de los conductores 
pnV aao  
La fuerza de traccion del conductor  AT puede ser calculada con auxilio de las 
Ec. (3.33) y aO y el vértice de la catenaria equivalente. 
 
Estructura Intermediaria B 
 
Actuan las fuerzas verticales BAV y BCV . Como bce aA 2/ , el vértice de la 
catenaria equivalente esta “atrás” del soporte B ; luego 0BCV .La fuerza vertical 
actuante por cada conductor sera: 
  kgfnmpVVV bbBCBAB  
Los cables son solicitados a la traccion, en la suspensión en B, por la fuerza BAT , 
que solicita a los cables del vano del vano ABa y por la fuerza BCT que solicita los cables 
de lado del vano BCa .Que pueden ser calculados de forma ya vista 
 
 
Fig. 3.7 Sucesión de Vanos Desiguales a Alturas Desiguales. 
CAPITULO 3 
Estructura Intermedia C 
 
Actua sobre la estructura la fuerza vertical CV , resultante de la suma CBV y 
CDV , debidas a cada uno de los conductores: 
  kgfnmpVVV ccCDCBC  
Las fuerzas axiales en lo cables son BCT y CDT , respectivamente en los vanos BCa y 
CDa 
 
Estructuras Intermedia D 
 
La fuerza vertical sobre la estructura y por conductor sera: 
 
  kgfnmpVVV cdDEDCD  
Las fuerzas axiales en los cables son DCT y DET , respectivamente del lado de los 
vanos CDa y BEa 
 
Estructura Intermedia E 
 
El vértice de la catenaria en el vano DEa coincide con el punto de suspensión de 
los conductores. Por lo tanto no colabora con la componente de la fuerza vertical 
actuando sobre la estructura. Luego , 
 kgfpnVV eEFE  
Las fuerzas axiales en el cable son 0TTED  y EFT respectivamente, en el lado de los 
vanos DEa y EFa 
A esta altura , cabe la introducción de dos conceptos bastante importantes para los 
proyectos de líneas: vano Medio y vano Gravante de una estructura 
 
Vano Medio de una Estructura 
 
Es igual a la semisuma de los vanos adyacentes a ella 
  maaa jin 2

 (3.56). 
Llamado tambien ¨Vano Viento¨ 
 
Vano Gravante ( Peso) de una Estructura 
 
Es un vano ficticio  Ga que multiplicado por el peso unitario de los conductores 
indica el valor de la fuerza vertical que un cable transmite a la estructura que lo 
soporta.Tambien denominado “vano de peso” 
 
CAPITULO 3 
Así, de acuerdo Fig. 3.6,tendremos los siguientes vanos gravantes: 
 
 Estructura A , aGC na  ; 
Estructura B, bbGB nma  ; 
Estructura C CCGC nma  ; 
Estructura D DEdddGD amnma  ; 
Estructura E eGE na  
 
El ultimo caso de vanos desiguales con alturas desiguales , por proposito no se 
incluyó en el analisis anterior , y es aquella ilustrado en la Fig3.8. En una situación que 
debe ser evitado siempre que sea posible en las lineas reales principalmente en las de 
tensiones mas elevadas En general, por errores en la selección de la ruta y las fallas de 
orientación apropiada de los topógrafos encargados de los trabajos de exploracion , 
reconocimiento y levantamientos, fijan los puntos obligatorios de la línea, como, por 
ejemplo , vértices entre las alineaciones, en lugares inadecuados. 
 
La estructura B sera solicitada, en este caso, por dos fuerzas verticales 
BAV y BCV , dirigidas de abajo para arriba tendiendo a suspenderla: 
 BCBAB VVV  
Esa situación es conocida en la práctica como “arrancamento” o 
“colgado”. Ella es inadmisible en los aisladores pendientes que en su caso 
pierden su verticalidad . Con aisladores de pins , podra tolerarse en pequeño 
grado , en caso de absoluta necesidad .No ocurre tanto en las lineas primarias 
rurales , siendo raro observar a uno o mas aisladores arrancados de sus pins y 
colgados los conductores aproximadamente 0,5 o incluso 1,0 m sobre el 
travesaño de la estructura. 
 
 
Fig. 3.8 Situacion de Arrancamiento. 
CAPITULO 3 
Ejemplo 3.10 
 
En el tramo de la línea ilustrado en Fig. 3.7, fueron medidos en escala, las 
siguientes distancias : 
;234maAB  mhAB 45,15 ; ;31mna  mmb 203 
maBC 175 mhBC 30,25 ; mnb 95 mmc 276 
;476maCD  mhCD 75,14 ; mnc 197 ; mmd 290 
;152maDE  mhDE 20,8 ; mnd 152 ; mme 0 
 mne 214 
La componente horizontal de la traccion en los cables en la condicion de la 
flecha maxima, sin viento es de 1020kp. Calcular: 
 
)a vanos medios ; 
)b vanos gravantes 
)c cargas verticales sobre las estructuras 
)d tracciones en los cables junto a los soportes. 
 Solucion: 
)a Vanos medios de acuerdo con la Ec.(3.56), tenemos : 
)1a estructura A 
m
a
a ABm 1172
234
2
0


 ; 
)2a estructura B 
m
aa
a BCABm 5,2042
175235
2




 
)3a estructura C 
m
aa
a CDBCm 5,3252
476175
2



 
 
)4a estructura D 
m
aa
a DECDm 0,3142
152476
2




 
)b vanos gravantes; de acuerdo con la definición de vano gravante 
)1b estructura A, 
mna aG 31 
)2b estructura B, 
mnma bbG 10895203  
)3b estructura C 
mnma CCG 473197276  
CAPITULO 3 
)4b estructura D 
;442152290 mnma ddG  
 
)5b estructura E 
mna eG 21421400  
)c Cargas verticales sobre las estructuras, por conductor 
 
)1c estructura A 
;22,2431*7816,0 kgfpaV GA  
)2c estructurasB 
kgfpaV GB 41,84108*7816,0  
)3c estructura C 
;70,369473*7816,0 kgfpaV GC  
)4c estructura D 
kgfpaV GD 47,345442*7816,0  
 
d) Tracciones en los cables, cerca de los soportes- debemos emplear las Ecs. (3.32) para 
los soportes superiores y (3.33) para los soportes inferiores, haciendo los cálculos, 
primeramente de los vanos equivalentes (3.29) y las flechas que corresponden a los 
vanos equivalentes: