Estadistica-descriptiva-TELESUP-LIBROSVIRTUAL COM

Vista previa del material en texto

1 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
2 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
L 
Prefacio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a asignatura es de naturaleza práctico – teórico, orientado a desarrollar en 
el estudiante habilidades superiores del pensamiento para el 
razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma 
 
de decisiones. El curso está orientado a proporcionar al estudiante 
conocimientos estadísticos fundamentales sobre las técnicas de 
investigación estadística para recoger, analizar y mostrar 
información confiable y de calidad necesaria para la toma 
de decisiones. La asignatura está diseñada para que el 
alumno al final de cada clase desarrolle casos prácticos en 
base a datos reales. 
 
 
 
 
Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje: 
 
 
 
Unidad I: Introducción, Organización Y Presentación De Datos. 
 
 
 
Unidad II: Medidas De Tendencia Central Y Medidas De Dispersión. 
 
 
Unidad III: Análisis De Regresión Y Correlación Lineal. 
 
 
Unidad IV: Probabilidades.
3 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estructura de los Contenidos 
 
 
Introducción , 
Organización y 
Presentación de 
Datos 
 
 
Introducción, 
Concepto, Etapas del 
Desarrollo de la 
Estadística. 
 
 
 
Variables 
Cualitativas y 
Cuantitativas. 
 
 
 
Organización de 
Datos y Distribución 
de Frecuencias. 
 
 
 
Gráficas 
Estadísticas. 
 
Medidas de 
Tendencia 
Central y 
Medidas de 
Dispersión 
 
 
 
Medidas de 
Tendencia Central 
para datos no 
Agrupados. 
 
 
 
Medidas de 
Tendencia Central 
para datos 
Agrupados 
 
 
 
Medidas de 
Dispersión. 
 
 
 
Medidas de 
Posición. 
 
Análisis de 
Regresión y 
Correlación 
Lineal 
 
 
La Recta De 
Regresión Lineal 
Simple Por El 
Método De Mínimos 
Cuadrados. 
 
 
 
El Coeficiente de 
Correlación. 
 
 
 
El Coeficiente de 
Determinación. 
 
 
 
Diagrama De 
Dispersión. 
 
Probabilidades 
 
 
 
 
Experimento 
aleatorio, espacio 
muestral y suceso 
 
 
Definición de 
Probabilidad Valor, 
Eventos Mutuamente 
Excluyentes y 
Eventos no 
Excluyentes 
 
 
 
Probabilidad 
Condicional 
 
 
 
Probabilidad 
Total, Teorema De 
Bayes Y Técnicas 
De Conteo
 
 
 
 
 
 
La competencia que el estudiante debe lograr al final de 
la asignatura es: 
“Aplicar técnicas estadísticas para la recolección, 
presentación, análisis e interpretación de datos 
estadísticos.”
Índice del Contenido 
4 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
I. PREFACIO 02 
II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 - 151 
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: INTRODUCCIÓN , ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS 05-45 
1. Introducción 
a. Presentación y contextualización 
b. Competencia (logro) 
c. Capacidades 
d. Actitudes 
e. Ideas básicas y contenido 
2. Desarrollo de los temas 
a. Tema 01: Introducción, Concepto, Etapas del Desarrollo de la Estadística. 
b. Tema 02: Variables Cualitativas y Cuantitativas. 
c. Tema 03: Organización de Datos y Distribución de Frecuencias. 
d. Tema 04: Gráficas Estadísticas. 
3. Lecturas recomendadas 
4. Actividades 
5. Autoevaluación 
6. Resumen 
06 
06 
06 
06 
06 
06 
07-39 
07 
14 
19 
28 
40 
40 
41 
45 
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSION 46-83 
1. Introducción 
a. Presentación y contextualización 
b. Competencia (logro) 
c. Capacidades 
d. Actitudes 
e. Ideas básicas y contenido 
2. Desarrollo de los temas 
a. Tema 01: Medidas de Tendencia Central para datos no Agrupados. 
b. Tema 02: Medidas de Tendencia Central para datos Agrupados. 
c. Tema 03: Medidas de Dispersión. 
d. Tema 04: Medidas de Posición. 
3. Lecturas recomendadas 
4. Actividades 
5. Autoevaluación 
6. Resumen 
47 
47 
47 
47 
47 
47 
48-77 
48 
54 
66 
73 
78 
78 
79 
83 
UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL 84-114 
1. Introducción 
a. Presentación y contextualización 
b. Competencia (logro) 
c. Capacidades 
d. Actitudes 
e. Ideas básicas y contenido 
2. Desarrollo de los temas 
a. Tema 01: La Recta De Regresión Lineal Simple Por El Método De Mínimos Cuadrados. 
b. Tema 02: El Coeficiente de Correlación. 
c. Tema 03: El Coeficiente de Determinación. 
d. Tema 04: Diagrama De Dispersión. 
3. Lecturas recomendadas 
4. Actividades 
5. Autoevaluación 
6. Resumen 
85 
85 
85 
85 
85 
85 
86-105 
86 
90 
84 
95 
106 
107 
108 
114 
UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: PROBABILIDADES 115-148 
1. Introducción 
a. Presentación y contextualización 
b. Competencia 
c. Capacidades 
d. Actitudes 
e. Ideas básicas y contenido 
2. Desarrollo de los temas 
a. Tema 01: Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso 
b. Tema 02: Definición De Probabilidad, Valor, Eventos Mutuamente Excluyentes Y Eventos 
No Excluyentes 
c. Tema 03: Probabilidad Condicional. 
d. Tema 04: Probabilidad Total, Teorema de Bayes y Tecnicas de Conteo. 
3. Lecturas recomendadas 
4. Actividades 
5. Autoevaluación 
6. Resumen 
116 
116 
116 
116 
116 
116 
117-143 
117 
122 
 
127 
121 
133 
144 
145 
148 
III. GLOSARIO 149 
IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 150 
V. SOLUCIONARIO 151 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Introducción 
6 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
a)Presentación y contextualización 
 
 
Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el 
estudiante comprenda, las nociones básicas de la estadística, tablas y gráficos 
estadísticos. 
 
Para poder hacer que el alumno pueda usar estos conocimientos en su vida diaria, 
problemas simples, y dar un enfoque más analítico con respecto a los problemas. 
 
b)Competencia 
 
Recopila, organiza, sistematiza la información estadística, y representa 
mediante gráficos estadísticos. 
 
c) Capacidades 
 
 
1. Define y explica la importancia de la estadística y sus etapas. 
 
2. Describe y aplica los diferentes tipos de variables en la estadística descriptiva. 
 
3. Explica las maneras de cómo organizar datos y distribuir frecuencias. 
 
4. Explica la estructura de cada uno de los gráficos usados en la estadística 
descriptiva. 
 
 
d)Actitudes 
 
 
 Toma iniciativa y lidera al equipo en el cumplimiento de las actividades 
asignadas a su vez promueve actividades y toma de decisiones pertinentes. 
 Planifica y cumple oportunamente sus tareas o actividades diarias y presenta 
sus trabajos en forma organizada. 
 
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: 
 
 
La Unidad de Aprendizaje 01: Introducción, Organización Y Presentación De 
Datos, comprende el desarrollo de los siguientes temas: 
 
 
TEMA 01: Introducción, Concepto, Etapas del Desarrollo de la Estadística. 
TEMA 02: Variables Cualitativas y Cuantitativas. 
TEMA 03: Organización de Datos y Distribución de Frecuencias. 
TEMA 04: Gráficas Estadísticas.
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Introducción 
Concepto 
Etapas 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 1
 
del Desarrollo 
de la Estadística 
 
 
 
 
Competencia: 
 
Definir y explicar la importancia de la 
estadística y sus etapas.
8 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
Desarrollo de los Temas 
 
 
 
 
 Tema 01: Introducción, Concepto, Etapas Del
 
Desarrollo De La Estadística 
 
A. Introducción: 
 
 
La palabra "estadística" suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber: 
 
 
 
1º Como colección de datos numéricos.- Esto es el significado más vulgar de la 
palabra estadística. Se sobrentiende que dichos datos numéricoshan de estar 
presentados de manera ordenada y sistemática. 
 
Una información numérica cualquiera puede no constituir 
una estadística, para merecer este apelativo, los datos 
han de constituir un conjunto coherente, establecido de 
forma sistemática y siguiendo un criterio de ordenación. 
 
 
 
2º Como ciencia.- En este significado, La Estadística estudia el comportamiento de 
los fenómenos de masas. Como todas las ciencias, busca las características generales 
de un colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. Al investigar el sexo 
de los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un grupo numeroso de nacimientos 
y obtener después la proporción de varones. 
 
 
 
 
 
Es muy frecuente enfrentarnos con fenómenos en los que es muy difícil predecir el 
resultado; así, no podemos dar una lista, con las personas que van a morir con una 
cierta edad, o el sexo de un nuevo ser hasta que transcurra un determinado tiempo 
de embarazo. 
 
 
 
El objetivo de la estadística como ciencia es recopilar, 
e interpretar datos que en el futuro servirán para 
proyectar posibles problemáticas futuras, consiguiendo 
según estos datos, la solución más viable y rápida.
9 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
B. Concepto: 
 
 
 
Es una ciencia aplicada que nos proporciona un conjunto de 
 
métodos o técnicas para: 
 
 
 
 Recopilar. 
 
 Organizar. 
 
 Presentar Datos. 
 
 Analizar Datos. 
 
 
 
¿Quienes Usan La Estadística? 
 
 
 
Los métodos estadísticos han encontrado en la 
actualidad aplicación en el Gobierno, la 
administración de negocios, las Ciencias 
Sociales, la Sicología, las Ingenierías, las 
Ciencias Físicas y Naturales y en muchos otros 
campos de la actividad intelectual. 
 
 
 
 
Algunos ejemplos: 
 
 
 
 
 En Los Organismos De Gobierno. Los diferentes indicadores 
económicos, tales como índices de precios al por mayor y al consumidor, las 
tasas de interés, las fluctuaciones del mercado bursátil y el índice de 
producción industrial, no solamente describen el estado actual de la economía, 
sino que proporcionan pistas acerca de sus futuras tendencias. Con el auxilio 
de tales indicadores, los encargados de las políticas de los distintos 
organismos serían capaces de tomar decisiones más racionales con respecto 
a sus operaciones. 
 
 
10 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
En La Administración De Negocios. La creciente complejidad de la economía 
ha provocado un terrible grado de incertidumbre acerca de las operaciones futuras de 
cualquier empresa de negocios. Más y más compañías están usando el análisis 
estadístico como herramienta para la toma de decisiones, especialmente en áreas tales 
como investigación de mercados, predicciones y planeación a largo plazo en lo 
referente a recursos financieros y humanos. 
 
 
 
 
En La Educación Y En La Psicología. La necesidad de analizar e interpretar 
datos numéricos ha hecho necesario para educadores y para sicólogos 
tener al menos alguna comprensión básica de los métodos estadísticos. La 
necesidad del sicólogo de herramientas estadísticas especiales ha llevado al 
desarrollo de nuevas técnicas estadísticas en las últimas décadas. 
 
 
 
 
En las Ciencias Biológicas y 
en la Medicina. En la 
agricultura, se utilizan para 
determinar los efectos de clases 
de semillas, de insecticidas y de 
fertilizantes en los campos. Se 
emplea también para determinar 
los posibles efectos laterales o 
la efectividad de las medicinas y 
para proporcionar mejores 
métodos para controlar la 
diseminación de enfermedades 
contagiosas. 
 
En la Sociología, en 
la Antropología y en 
las Ciencias del 
Comportamiento. 
Las técnicas 
estadísticas se han 
aplicado a una amplia 
variedad de proyectos 
de investigación que 
impliquen el estudio de 
individuos y de grupos.
 
 
 
 
 
 
En La Ingeniería. La aplicación de los principios estadísticos al control de calidad ha 
sido una práctica aceptada durante varias décadas.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
C. Etapas de Desarrollo de la Estadística 
 
La historia de la estadística está resumida en tres grandes etapas o fases: 
 
 
1.- Los Censos: Desde el momento en que se constituye una autoridad política, la 
idea de inventariar de una forma más o menos regular la población y las riquezas 
existentes en el territorio está ligada la conciencia de soberanía y con los primeros 
esfuerzos administrativos. 
 
Los comienzos de la estadística pueden ser hallados 
en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron 
recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos 
datos relativos a la población y a las riquezas del país. 
 
 
 
2.- De La Descripción A La Aritmética Política: Las ideas mercantilistas 
entrañan una intensificación de este tipo de investigación. Colbert multiplica las 
encuestas sobre artículos manufacturados, el comercio y la población. Vauban, 
quien hace la primera propuesta de un impuesto sobre los ingresos, se señala 
como el verdadero precursor de los sondeos. La escuela inglesa proporciona un 
nuevo progreso al superar la fase puramente descriptiva. Uno de sus principales 
exponentes Petty es autor de la famosa Aritmética Política. Chaptal, ministro del 
interior francés, publica, en 1801, el primer censo general de población y 
desarrolla estudios industriales, de las producciones y de los cambios, los cuales 
se hicieron sistemáticos durante las dos terceras partes del siglo XIX. 
 
 
 
 
 
3.- Estadística Y Cálculo De Probabilidades: El cálculo de probabilidades se 
incorpora, rápidamente, como un instrumento de análisis extremadamente poderoso 
para el estudio de los fenómenos económicos y sociales y, en general, para el 
estudio de fenómenos "cuyas causas son demasiado complejas para conocerlas 
totalmente y hacer posible su análisis". Godofredo Achenwall, profesor de la 
Universidad de Gotinga, acuñó, en 1760, la palabra estadística, que extrajo del 
término italiano statista (estadista). Creía, y con sobrada razón, que los datos 
de la nueva ciencia serían el aliado más eficaz del gobernante 
consciente. 
 
 
11
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
12 
 
 
 
 
de dos tipos: 
 
 
 
 
 
n, se 
mnos 
 
 
D. Población, Elementos Y Caracteres. 
 
 
 
Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o 
colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que 
denominaremos población. 
 
 
 
 
 
Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que 
porten información sobre el fenómeno que se estudia. 
 
Por ejemplo: si estudiamos el precio de la vivienda en 
una ciudad, la población será el total de las viviendas 
de dicha ciudad. 
 
 
 
Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se 
estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un 
individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo. 
 
 
 
 
Las personas o cosas que forman parte de la 
población se denominan elementos. En sentido estadístico 
un elemento puede ser algo con existencia real, como 
un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la 
temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. 
 
Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más 
aspectos cualidades o caracteres. 
 
 
 
La población puede ser según su tamaño 
 
Población Finita: 
 
 
Cuando el número de elementos que lo forma 
pueden enumerar, por ejemplo el número de alu 
de un centro de enseñanza, o grupo clase.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
13 
 
 
 
 
Población Infinita: 
 
 
Cuando la cantidad de elementos que la 
forman no es posible numerarlo. Como 
por ejemplo si se realizase un estudio 
sobre los productos que hay en el 
mercado. Hay tantosy de tantas calidades 
que esta población podría considerarse 
infinita. 
 
 
 
Muestra: 
 
 
 
Subconjunto que seleccionamos de la población. Así, si se estudia el precio de la 
vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las 
viviendas de la ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar 
un subgrupo muestra) que se entienda que es suficientemente representativo.
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Variables 
Cualitativas 
y 
 
 
 
 
TEMA 2
Cuantitativas 
 
 
 
 
 
Competencia: 
 
Describir y aplicar los diferentes tipos de 
variables en la estadística descriptiva.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
15 
 
 
 
1 = muy en desacuerdo 
 
2 = en desacuerdo 
 
3 = indiferente 
 
4 = de acuerdo 
 
5 = muy de acuerdo 
 
 
 En variables que exploran el grado de 
acuerdo o desacuerdo frente a una 
afirmación los atributos podrían ser: 
 
 
 
 
 
 
Tema 02: Variables Cualitativas y Cuantitativas 
 
 
 
 
 
 
Las variables pueden ser clasificadas como cuantitativas (intervalares) o 
cualitativas (categóricas), dependiendo si los valores presentados tienen o no un 
orden de magnitud natural (cuantitativas), o simplemente un atributo no sometido 
a cuantificación (cualitativa). 
 
 
 
 
 
 
 
Una variable es medida utilizando una escala 
de medición. 
 
 
 
 
 
La elección de la(s) escala(s) de medición a utilizar depende, en primer lugar, del tipo 
de variable en estudio, y, además, del manejo estadístico a la que se someterá la 
información. En términos prácticos, existe una correspondencia directa entre el 
concepto de variable y escala de medición. Un atributo corresponde a un valor 
específico de una variable, como es el caso de la variable sexo, la que posee dos 
atributos: varón o mujer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
16 
 
 
 
 
Dependiendo de los valores que puede tener una variable cualitativa, ésta puede a 
su vez ser dicotómicas (cuando sólo pueden adoptar un sólo valor sin jerarquía entre 
sí; hombre - mujer, positivo-negativo, presente-ausente), o bien, poli o 
multicotómicas, si existe la posibilidad de que adopten múltiples valores (edad, 
talla, nivel socioeconómico, grupos sanguíneos, calificación previsional de usuarios). 
 
1. Las escalas de medición de una variable cualitativa son: 
 
 
 
Nominal.- Nominal, En este nivel de medición se establecen categorías 
distintivas que no implican un orden especifico. 
Ejemplo: 
 
 
Nombres de personas, de establecimientos, 
raza, grupos sanguíneos, estado civil. Estas 
variables no tienen ningún orden inherente a 
ellas ni un orden de jerarquía. 
 
 
 
Ordinal.- Cuando se establecen categorías con dos o mas niveles que 
implican un orden inherente entre sí. 
 
 
Ejemplo: 
Grados de desnutrición, respuesta a un tratamiento, nivel socioeconómico, 
intensidad de consumo de alcohol, días de la semana, meses del año. 
 
 
 
A pesar de este orden jerárquico no es posible obtener 
 
valoración numérica lógica entre dos valores. 
1. Las variables de tipo cuantitativo pueden a su vez ser 
 
clasificadas como continuas o discretas. Las escalas 
cuantitativas son reconocidas también como escalas 
intervalares o numéricas. 
 
 
 
Continua.- Cuando entre dos valores determinados existen infinitas 
posibilidades de valores. Ejemplo: El peso, la talla, la presión arterial o el 
nivel de colesterol sérico.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
17 
 
 
 
 
Discreta.- Cuando la variable a medir sólo puede adoptar un sólo valor 
numérico, entero, con valores intermedios que carecen de sentido 
Ejemplo: 
El número de hijos, de unidades vecinales del sector, 
número de exámenes de laboratorio o de pacientes 
atendidos. 
 
 
 
 
En la práctica, salvo contadas excepciones no se dispone de métodos de medición 
sofisticados como para poder medir exactamente los valores. Tanto las 
variables discretas como las continuas pueden agruparse construyendo 
intervalos, entre cuyos valores extremos se ubicarán las diferentes observaciones 
registradas. 
Sin embargo, estrictamente hablando, sólo las variables continuas pueden ser 
objeto de categorización mediante intervalos. 
 
 
 
Clasificación de Variables 
 
 
 
 
 
 
Continuas 
Cuantitativas (intervalares) 
 
Discretas
 
Ej. Presión arterial, peso, edad, talla, IMC 
 
(Índice de Masa Corporal) 
Ej. Número de hijos, episodios de 
 
infección urinaria
 
 
 
 
Categóricas (cualitativas) 
 
Dicotómicas 
 
Ej. Sexo masculino y 
femenino; vivo/muerto. 
Politómicas 
 
Ej. Grupo sanguíneo, raza, estado 
civil, grado de instrucción
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
18 
 
 
 
 
 
 
 
(por 
 
 
 
 
 
 
 
 
ción 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ejemplo: 
 
 
 
 
NOTA: 
 
 
Las variables también se pueden clasificar en: 
 
 
 
Variables unidimensionales: 
 
Sólo recogen información sobre una característica 
 
ejemplo: edad de los alumnos de una clase). 
 
 
 
Variables Bidimensionales: 
 
Recogen información sobre dos características de la pobla 
 
(por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase). 
 
 
 
 
Variables pluridimensionales: 
 
 
Recogen información sobre tres o más características (por 
 
edad, altura y peso de los alumnos de una clase). 
 
 
 
 
Ordenables: 
 
 
Aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, El nivel 
 
de estudios, etc. 
 
 
 
 
No ordenables: 
 
Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece 
orden por su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc.
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Organización 
de Datos 
y 
Distribuciónde 
 
 
 
 
TEMA 3
Frecuencias 
 
 
 
Competencia: 
 
 
Explicar las maneras de cómo organizar 
datos y distribuir frecuencias.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
20 
 
 
 
 
 
Cuando se han recopilado datos mediante un muestreo o un censo, la primera 
inquietud que aparece es sobre la manera en la que se puede realizar un análisis 
descriptivo apropiado con la información recolectada de manera que resulte 
sencillo entender lo que ocurre en la población de la que se han captado las 
observaciones. 
 
En este tema se proprocionan algunos procedimientos para la 
tabulación de datos que conducen a la formación de cuadros 
 
 
 
 
 
 
Tema 03: Organización De Datos Y 
Distribución De Frecuencias 
 
 
 
Organización de los Datos Obtenidos de una Muestra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o tablas de frecuencias. 
 
 
 
 
Organización De Los Datos Cualitativos 
 
 
 
 
Antes de iniciar el trabajo de organización de datos cualitativos, es necesario 
determinar si éstos corresponden a variables cualitativas nominales u ordinales. Si 
los datos son cualitativos nominales, se formar categorías que pueden ser 
presentadas en cualquier orden: por ejemplo los colores de preferencia de las 
personas. Si los datos son ordinales, entonces deben estar asociados a algún orden 
en su presentación. 
 
Una vez definido el tipo de variable, se obtiene mediante 
un proceso de conteo las frecuencias absolutas (número 
de veces que se repite cada respuesta), luego las 
frecuencias relativas (división de cada frecuencia 
absoluta entre el tamaño de muestra) y/o los 
porcentajes de cada respuesta (cada frecuencia relativa multiplicada por 100). 
 
También se puede encontrar las frecuencias absolutas acumuladas (Fi) 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
21 
 
 
a absolutaa 
re e número l 
(n). a 
l 
f 
 
Frecuencia relativa (hi).- 
 
 
Es la proporción del total de 
observaciones que caen dentro de 
cada modalidad o valor. Se obtiene 
dividiendo la frecuenci 
(fi) de la modalidad ent 
total de observaciones 
Frecuencia acumulada (Fi).- 
Para cada clase, valor o 
modalidad, la frecuencia acumulada 
equivale la frecuencia absoluta (fi) 
de la fila sumada a la frecuencia 
cumulada de la fila anterior. Para 
a primera fila, la frecuencia 
cumulada equivale simplemente a 
a frecuencia absoluta de la misma 
ila.
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1. Una revista conocida efectuó una encuesta respecto a lo adecuado 
de la protección policial en la ciudad. Se seleccionó un total de 419 personas. 
Las respuestas se presentan en la siguiente tabla de frecuencias: 
 
 
Respuesta Frecuencia Frecuencia Porcentaje 
 absoluta relativa 
Si 293 0.6993 69.93 
No 80 0.1909 19.09 
No sabe/ 46 0.1098 10.98 
no 
 
responde 
 
 
 
 
419 1 100 
 
 
 
 
Ejemplo 2. Se ha efectuado una encuesta a 200 madres solteras entre 15 y 25 
años de la ciudad de Piura. Los valores se agrupan en: primaria completa, 
secundaria completa y educación superior completa. El resultado del conteo se 
presenta en la siguiente tabla:
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rcentaje 
 
 
125 
 
 
0.625 
 
 
62.5 
70 0.35 35 
5 0.025 2.5 
 
200 1 100 
 
 absoluta relativa 
0 2 0.013 1.3 
1 15 0.100 10.0 
2 40 0.267 26.7 
3 55 0.367 36.7 
4 38 0.253 25.3 
 
TOTAL 
 
150 
 
1 
 
100 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
Modalidad Frecuencia 
 
absoluta 
Frecuencia Po 
 
relativa
 
 
Primaria completa 
Secundaria 
completa 
Educac.superior 
completa 
 
 
 
 
 
Organización De Datos Cuantitativos Discretos 
 
 
Cuando se tienen datos cuantitativos discretos cuyo número de resultados posibles no 
es grande, la información puede ser clasificada y presentada directamente sin pérdida 
de la identidad de la misma. En estos casos, primero se ordenan los posibles valores 
de la variable según su magnitud, y a continuación se obtienen, mediante un proceso de 
conteo, las frecuencias absolutas asociadas a cada uno de dichos valores; las 
frecuencias relativas y porcentuales se obtienen de manera similar a lo descrito para 
las variables cualitativas. 
 
 
 
Ejemplo. Consideremos la variable número de hijos y tomemos las observaciones 
de una muestra de 150 familias de zonas marginales de Lima Metropolitana. Los 
valores obtenidos se pueden agrupar en diferentes valores: 0 hijos, 1 hijo, 2 hijos, 3 
hijos o 4 hijos. Para hacer un arreglo de estas observaciones, usaremos una 
tabla como la siguiente: 
 
 
Número de hijos 
 
Frecuencia Frecuencia Porcentaje
23 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
Organización De Datos Cuantitativos Continuos 
 
 
Cuando se tiene información para una variable cuantitativa continua, las 
observaciones son usualmente diferentes entre sí, lo cual hace que la evaluación 
descriptiva a través de los valores individuales sea compleja. Para simplificar el 
análisis, los datos son clasificados de acuerdo con ciertos rangos llamados 
intervalos de clase. 
 
 
 
 
Ejemplo. Tomamos una muestra de 100 niños de 10 años de edad para estudiar 
su estatura. 
Entonces la variable estatura que es cuantitativa continúa se puede presentar en 
una tabla del siguiente tipo: 
 
 
 
INTERVALOS DE CLASE 
 
 FRECUENCIA(fi) 
 
 
[1.0mt.- 1.15mt] 
[1.15mt. - 1.30mt] 
[1.30mt.- 1.45mt] 
[1.45mt.- 1.60mt] 
 
 
3 
 
 
39 
 
 
55 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TOTAL 100 
 
 
 
 
 
A la organización de las observaciones de una muestra en una tabla para expresar la 
frecuencia de cada una de sus modalidades o valores se le conoce como distribución 
de frecuencias. En las distribuciones de frecuencia de las variables cuantitativas 
continuas, también se acostumbra colocar otras columnas además de la frecuencia 
absoluta (fi), estas nos permitirán tener una mayor información sobre los datos y nos 
facilitarán los cálculos de las medidas descriptivas o estadísticos de la muestra. Estas 
son la frecuencia relativa (hi), la frecuencia acumulada (Fi y Hi).
24 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
La organización de los datos para el caso en que la variable estadística usada tenga 
muchos valores implica e arreglo de las observaciones en intervalos de clases. El 
proceso para hallar los intervalos de clase es el siguiente: 
Debemos hallar, en primer lugar, en la muestra, el menor valor observado y el mayor 
valor observado. 
 
 
 
 
El número de intervalos no deberá ser tan pequeño (menor que 5) o tan grande 
(mayor de 15) que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de 
visualizar. La longitud del intervalo de clase deberá ser siempre la misma. 
 
Si la longitud de cada intervalo no fuera exacta, se puede 
tomar por exceso asegurándonos de este modo que la 
reunión de todos los intervalos cubrirá a todos los valores 
observados. 
 
 
 
 
Para construir los intervalos se usa los intervalos cerrados a la izquierda y 
abiertos a la derecha: [LIi, LSi[, donde LIi,es el límite inferior del intervalo y LSi, 
es su límite superior. 
 
¿Cómo decidimos cuántos intervalos de clase tomar? 
 
 
 
 
Existen varias reglas que se basan en el tamaño de nuestra 
población o muestra. Una de las reglas más usadas es la Regla 
de Sturges, regla empírica que funciona bastante bien para 
grupos de 30 a 300 observaciones. 
 
 
Esta regla nos dice que el número de intervalos de clase para 
una muestra de tamaño n será k si este resulta un número 
entero o el siguiente número entero a k, si k resulta un número 
decimal. 
La ecuación para hallar k es: k = 1 + 3.3 * log n, donde n es 
el tamaño de la muestra.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
s un 
 
 
 
La marca de clase (xi), definida como el punto medio del intervalo de clase, 
deberá tener de preferencia el mismo número de decimales que los valores 
observados. La marca de clase puede considerarse que e 
representante de los datos que caen en el intervalo . 
 
Xi = 
 𝑳𝑰𝒊 + 𝑳𝑺𝒊 
� 
 
 
Ejemplo 1. Suponga que los datos que se presentan a continuación 
corresponden a los valores de la inflación anual durante el año 2008 de un total de 
20 ciudades de una región del país. Construir la distribución de frecuencias 
8.2 12.8 10.5 9.3 12.7 10.2 9.1 10.7 8.2 12.8 8.5 11.6 8.4 10.1 
10.2 13.1 9.8 12.1 13.6 11.7 
 
 
Solución 
 
1. R = 13.6 – 8.2 = 5.4 
 
2. K = 1 + 3.3 log20 = 1 + 3.3 (1.30.10) = 1 + 4.29 = 5.29 = 5 (redondeo por 
aproximación) 
3. C = R/k = 5.4 / 5 = 1.08 = 1.1 (redondeo por exceso; los datos tienen un 
 
decimal) 
 
4. Los límites de los intervalos se obtienen del siguiente modo: 
 
LI1 = 8.2 LS1 = LI2 = 9.3 
 
LI2 = LI1 + c = 8.2 + 1.1= 9.3 LS2 = LI3 = 10.4 
 
LI3 = LI2 + c = 9.3 + 1.1 = 10.4 LS3 = LI4 = 11.5 
 
LI4 = LI3 + c = 10.4 + 1.1 = 11.5 LS4 = LI5 = 12.6 
 
LI5 = LI4 + c = 11.5 + 1.1 = 12.6 LS5 = LS4 + c = 12.6 + 1.1 = 13.7 
 
5. Las marcas de clase se calculan de la siguiente manera: 
X1 = 
 �. �+ �. � 
= �. ��; �� = 
 �. �+ ��. � 
= �. �� y así sucesivamente 
� � 
6. Para determinar las frecuencias absolutas se procede como sigue: Se toma la 
primera observación 8.2 y se busca el intervalo de clase que pertenece, es el 
8.2 – 9.3, luego se asigna una tarja en la intersección de la columna de conteo y 
la fila de ese intervalo. Se toma ahora la otra observación 12.8, la cual 
perteneceal intervalo 12.6 – 13.7, entonces se asigna una tarja en la 
intersección de la fila de este nuevo intervalo y la columna de conteo. Así 
sucesivamente hasta agotar la última observación. Sumando las tarjas se 
obtiene la frecuencia absoluta de cada clase. 
7. Para obtener las frecuencias acumuladas se procede de la siguiente forma: 
F1 = f1 = 5 F2 = F1 + f2 = 5 + 5 = 10 
 
 
 
25
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
ncia 
 
 
 
 
 
20 
 
20 
 
20 
 
20 
 
20 
 
 
 
Con los resultados anteriores se obtiene el siguiente cuadro de distribución de 
 
frecuencias 
 
 
Intervalos Marca de Tarjas Frecuencia Frecuencia Frecue 
de clase clase Xi absoluta acumulada relativa 
 fi Fi hi 
8.2 ; 9.3 8.75 ///// 5 5 5/ 
9.3 ; 10.4 9.85 ///// 5 10 5/ 
10.4 ; 11.5 10.95 // 2 12 2/ 
11.5 ; 12.6 12.05 /// 3 15 3/ 
12.6 ; 13.7 13.15 ///// 5 20 5/ 
20 1 
 
 
 
Ejemplo 2. A continuación, se presenta una lista ya ordenada de las observaciones 
hechas sobre el ingreso de las personas. 
 
 
53 57 58 61 61 63 64 66 67 68 
69 70 71 72 73 74 74 74 74 77 
77 77 78 78 79 79 79 81 81 81 
82 82 83 83 84 85 85 86 87 87 
88 90 90 90 90 92 93 94 96 97 
 
 
 
Para estos ingresos, el menor valor de la muestra es 53 
dólares y el mayor valor de la muestra es 97 dólares. Luego, el 
rango de estos valores es: 97 - 53 = 44 dólares 
 
Al aplicar la regla de Sturges con n= 50, tendremos: k= 1 + 
 
3.3*(1.69897) = 6.6, lo que equivale a tomar 7 intervalos s) 
 
 
El tamaño o amplitud de cada intervalo de clase se determina así: c=R /K= 44 / 7 
= 6.29 = 7. (redondeo por exceso, al entero superior, considerando que los datos 
son entero. Si los datos tienen decimales el proceso es el mismo). 
 
 
26
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
27 
 
 
 
 
Siguiendo el mismo proceso utilizado para el ejemplo 1, se tiene la tabla de 
 
distribución de frecuencias: 
 
 
 
 
INTERV ALOS xi fi hi Fi 
[ 5 3 ; 60 ] 56.5 3 3/ 50 3 
[ 6 0 ; 67] 63.5 5 5/ 50 8 
[67 ; 74] 70.5 7 7/50 15 
[ 7 4 ; 81] 77.5 12 12 / 50 27 
[81 ; 88] 84.5 13 13/ 50 40 
[88 ; 95] 91.5 10 10 / 50 50 
 
TOTAL 50 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
Gráficas TEMA 4
 
 
 
 
 
Estadísticas 
 
 
 
 
 
 
Competencia: 
 
 
Explicar la estructura de cada uno de los 
gráficos usados en la estadística descriptiva.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
29 
 
 
 
 
 
Tema 04: Gráficas Estadísticas 
 
 
Presentación De Los Datos Obtenidos De Una Muestra 
 
 
Una vez realizada la organización de los datos observados, es necesario 
presentar estos de forma gráfica forma visual permitirá resaltar algunos hechos 
que muestran los datos. Se verán diversos tipos de gráficos catalogados según el 
tipo de variable a presentarse.
 
 
 
 
 
 
a)Gráfica De Barras 
 
 
 
Para Una Variable Cualitativa 
 
Para una variable cualitativa, ya sea 
nominal u ordinal, la presentación de la 
información obtenida organizada en una 
distribución de frecuencias puede ser 
presentada mediante dos gráficos: gráfico 
de barras y gráfico de sectores.
 
 
En este tipo de presentación, cada barra rectangular corresponde a una modalidad. Todas 
las barras tienen base de igual longitud y altura proporcional a la frecuencia (fi) o 
frecuencia relativa (hi) que presen modalidad. Tomemos la distribución de frecuencias 
de la variable grado de instrucción, obtenida de una muestra de 150 mujeres. Se 
considerará que cada mujer pertenece al mayor grado de instrucción que ha 
concluido. 
 
 
MODALIDAD fi hi Pi 
 
Primaria Completa 
 
60 0,40 40% 
 
Secundaria Completa 55 0,37 37% 
Superior Completa 35 0,23 23% 
 150 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
30 
 
 
N
Ú
M
ER
O
 D
E 
M
U
JE
R
ES
 
60 
 
 
70 
GRÁFICA DE BARRAS 
 
50 
 
40 
 
30 Primaria Completa 
20 Secundaria Completa 
10 Superior Completa 
 
0
Primaria 
Completa 
Secundaria 
Completa 
Superior 
Completa
GRADO DE INSTRUCCIÓN 
 
 
 
 
 
También es posible realizar GRÁFICAS DE BARRAS HORIZONTALES, los 
cuales se parecen mucho a las gráficas de columnas, con la salvedad importante de 
que la función de los ejes se intercambia y el eje horizontal queda destinado a las 
frecuencias y el eje vertical a las clases. 
 
Es muy común que este tipo de gráficos se utilicen para ilustrar el tamaño de una 
población dividida en estratos como, por ejemplo, son sus edades. El ejemplo que 
se presenta es la población de un país ficticio llamado "Perulandia": 
 
 
 
 
 
A este tipo de gráficos en particular 
se le llama pirámide de edades por su 
forma. Incluso, cuando se compara 
la población masculina y femenina por 
estratos de edades, se estila utilizar el 
lado izquierdo para la población de 
un sexo y el lado derecho para el 
otro, el resultado es una "pirámide" 
casi simétrica (dependerá de la 
población en particular).
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
31 
 
 
 
 
b)Gráfica De Sectores 
 
 
 
Otra forma de presentar la información de una variable cualitativa es utilizando una 
gráfica de sectores (también denominada gráfica tipo "pie" o "pastel"). 
 
La gráfica de sectores es un círculo dividido en varios sectores proporcionales en 
tamaño a las frecuencias relativas (hi) de las diferentes modalidades. En el caso 
anterior de la distribución de frecuencias, tendremos: 
 
Primaria completa 40% de 360 grados = 144 grados 
 
 
Secundaria completa 37% de 360 grados = 133.2 grados 
 
 
Superior completa 23% de 360 grados = 82.8 grados 
 
 
 
 
 
MODALIDAD 
fi hi Pi 
 
 
Primaria Completa 60 0,40 40% 
Secundaria Completa 55 0,37 37% 
Superior Completa 35 0,23 23% 
 150 
 
 
 
 
23% 
 
 
 
 
40% 
Primaria Completa 
Secundaria Completa 
Superior Completa
 
 
37%
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
32 
 
 
 
 
c) Gráfico De Bastones 
 
 
Para una variable cuantitativa discreta (con pocos valores) es posible usar los 
gráficos de barras. Pero existe otro gráfico, diseñado para este tipo de variables y es la 
GRÁFICA DE BASTONES. En esta gráfica, la frecuencia del valor de la variable es 
representada por un segmento de recta en vez de una barra. 
 
 
 
 
Tomemos la variable número de hijos, los posibles 
valores de esta variable son 0 hijos, 1 hijo, 2 hijos, 3 hijos 
ó 4 hijos. Luego, para una muestra de 100 datos tendremos 
la distribución de frecuencias: 
 
 
 
VALOR fi Hi 
0 Hijos 7 7 / 1 0 0 = 0 . 0 7 
1 Hijo 15 15 ./ 100 = 0.15 
2 Hijos 40 40 / 100 = 0.40 
3 Hijos 25 25 / 100 = 0.25 
4 Hijos 13 13 / 100 = 0.13 
TOTAL 100 1.00 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
33 
 
 
In 
 
 
 
[ 5 [ 
5 [ 6 
[ 6 [ 
7 [ 7 
[ 8 [ 
8 
 
 
d)Histograma 
 
 
 
Para Una Variable Cuantitativa Discreta (Con Muchos 
Valores) O Continua existe una gráfica equivalente a la 
gráfica de barras, se denomina histograma. 
Esta forma de presentación también consiste en 
graficar barras, pero, a diferencia de la gráfica de barras, 
aquí las barras están pegadas unas a otras. 
 
 
Cada barra corresponde a un intervalo de clase y se acostumbra a colocar el valor 
inicial y final de cada intervalo o la marca de clase para identificar cada barra. La 
alturade cada barra puede ser proporcional a la frecuencia (fi) o la frecuencia relativa 
(hi) del intervalo. 
 
 
 
 
tervalos 
 
Xi 
 
fi 
 
Fi 
 
hi 
 
Pi 
 
2,5 ; 57,5 ] 
 
55 2 2 0,04 4% 
7,5 ; 62,5 ] 60 3 5 0,06 6% 
2,5 ; 67,5 ] 65 4 9 0,08 8% 
7,5 ; 72,5 ] 70 5 14 0,10 10% 
2,5 ; 77,5 ] 75 8 22 0,16 16% 
7,5 ; 82,5 ] 80 10 32 0,20 20% 
2,5 ; 87,5 ] 85 8 40 0,16 16% 
7,5 ; 92,5 ] 90 6 46 0,12 12% 
[ 92,5 ; 97,5 ] 95 4 50 0,08 8% 
Total 50 1,00 100% 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
34 
 
 
FR
EC
U
EN
C
IA
S 
 
 
 
 
HISTOGRAMA 
12 
 
10 
 
8 
 
6 
 
4 
 
2 
0 
60 65 
55 
 
70 75 80
 
 
85 90 95
MARCAS DE CLASE 
 
 
 
 
 
e) Polígono De Frecuencias 
 
 
Uniendo los puntos medios de los lados superiores de cada barra rectangular del 
histograma se obtiene un gráfico llamado polígono de frecuencias. El conocimiento 
del polígono de frecuencias ayudará más adelante en la búsqueda del modelo 
teórico que mejor describa a los elementos de la población de acuerdo con la 
variable que se estudia. 
 
 
 
Polígono De Frecuencias (Línea Negra)
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
35 
 
 
 
 
Otro Ejemplo De Polígono De Frecuencias (Línea Negra) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Ojiva 
 
 
 
Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene 
de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de 
igual manera que éstas, existen las ojivas mayores que y las ojivas menores 
que. 
 
Existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y 
los polígonos de frecuencias (y por esto la aplicación de la 
técnica es parcial): 
Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje horizontal, 
para la ojiva mayor que sucede con el extremo izquierdo; 
para la ojiva menor que, con el derecho. En el eje 
horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se 
colocan las fronteras de clase. 
 
 
Para el caso de la ojiva mayor que, es la frontera menor; para la ojiva menor 
que, la frontera mayor. La ojiva mayor que (izquierda) se le denomina de esta 
manera porque viendo el punto que está sobre la frontera de clase "4:00" se ven 
las visitas que se realizaron en una hora mayor que las 4:00 horas (en cuestiones 
temporales se diría: después de las 4:00 horas).
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#poligono_frec
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#dist_acum
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
36 
 
 
 
 
 
De forma análoga, en la ojiva menor que, la frecuencia que se representa en 
cada frontera de clase son el número de observaciones menores que la 
frontera señalada (en caso de tiempos sería el número de observaciones antes 
de la hora que señala la frontera). 
 
 
 
 
 
Si se utiliza una distribución porcentual acumulativa 
entonces se obtiene una ojiva (mayor que o menor que 
según sea el caso) cuyo eje vertical tiene una escala 
que va del 0% al 100%. El siguiente ejemplo es la 
misma ojiva menor que se acaba de usar, 
pero con una distribución porcentual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)Gráfica De Áreas 
 
 
 
En ocasiones, al comparar dos series de observaciones (o de 
datos) se utiliza una llamada gráfica de áreas, la cual consiste 
en rellenas el área que se encuentre debajo de las líneas que 
resultan de una gráfica de líneas. El ejemplo que se presenta 
es la comparación del total de las especies de las familias del 
orden Carnívora y las que están amenazadas, en México, 
(fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo").
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#dist_acum_p
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#series
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/g_lineas
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actualmente, y mucho en los medios masivos de comunicación, se utilizan 
gráficos para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación. 
Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o 
el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la 
frecuencia correspondiente. A este tipo de gráfica se le llama pictograma y éstos 
son dos ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)Gráfica De Dispersión 
 
 
 
Cuando se pretende ilustrar la dispersión de las observaciones realizadas, y así 
trabajar algunas cosas como correlaciones se puede utilizar una gráfica de 
dispersión.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu7.html#dispersion
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu7.html#correlacion
38 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
Por ejemplo, el ejemplo de la izquierda es la dispersión que se presenta al 
comparar el número de tesis doctorales en ciencias exactas contra el número de 
total de tesis doctorales (todo en México) en observaciones anuales entre 1984 y 
1990 (fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo", 1994, XIX (114):12): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La gráfica de la derecha es resultado de comparar el diámetro (en miles de kilómetros) 
de los planetas interiores de nuestro sistema solar contra sus densidades (en gramos 
por centímetro cúbico). Es interesante observar que los puntos parecen "seguir" una 
línea imaginaria que se asemeja a una recta, con excepción de un caso atípico: 
Mercurio. 
 
 
 
 
 
Uno de los usos de este tipo de gráficas es 
precisamente encontrar si las observaciones siguen 
algún patrón lineal (una línea de tendencia) o si 
existen valores atípicos. Para el caso del Excel, el 
programa es capaz de graficar las líneas de 
tendencias que siguen un conjunto de datos.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/???#linea_tendencia
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
39 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
i) Gráfica De Burbujas 
 
 
 
Un tipo de gráfico similar a las gráficas de dispersión son las gráficas de 
burbujas, en las cuales se presenta la dispersión de las observaciones de la 
misma forma que aquéllas, pero se le añade la posibilidad de visualizar otra 
variable representada en el tamaño del punto, pues éstos se convierten en 
círculos (burbujas) con radios proporcionales a las magnitudes que 
representan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este ejemplo compara la distancia que existe entre cada uno de los planetas 
interiores de nuestro sistema solar con respecto al Sol, contra el tiempo que 
necesitan para recorrer sus órbitas, y el tamaño de las burbujas que indica la masa 
de cada planeta. Además existen otros tipos de gráficos, cada uno con 
características particulares que les proporcionan cierta intencionalidad para su 
uso, como son las gráficas de radar y las gráficas polares.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#g_dispersion
40 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
Lecturas Recomendadas 
 
 
 
 INTRODUCCIÓN, CONCEPTO, ETAPAS DEL DESARROLLO DE LA ESTADÍSTICA. 
 
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml 
 
 ORGANIZACIÓN DE DATOS Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
 
http://www.vitutor.net/2/11/distribucion_frecuencias.html 
 
 
 
 
Actividades y Ejercicios 
 
 
 
 
 
Ingresa al link presentación de datos, lee atentamente las indicaciones, 
desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio. 
1. De los siguientes valores: 
 
Ford Toyota Nissan Hyundai Hyundai Ford 
Nissan Ford Hyundai Nissan Hyundai Toyota 
Hyundai Nissan Toyota Ford Toyota Hyundai 
Ford Hyundai 
 
a. Hallar la frecuencia absolutay relacional. 
b. Hallar la frecuencia acumulada absoluta y relacional. 
c. Realizar un grafico de barras. 
d. Dibujar un diagrama circular. 
 
 
2. Suponga que en estudio socioeconómico se observó, entre otras variables, el 
número de trabajadores eventuales que tienen las empresas comerciales de una 
región de la ciudad de Trujillo. Mediante una muestra de 30 empresas se 
encontraron los siguientes resultados. 
 
4 10 5 8 10 6 10 7 8 6 9 7 9 6 8 
8 6 7 10 8 7 8 9 7 5 9 4 7 8 6 
 
Construir el cuadro de distribución de frecuencias . 
 
3. Suponga que se ha llevado a cabo una encuesta a 28 personas elegidas al azar 
para analizar su opinión sobre la calidad de una nueva conserva que se desea 
introducir en el mercado. Los resultados observados fueron los sigui entes: 
 
Bueno Malo Bueno Excelente Regular Bueno Regular 
Regular Regular Excelente Excelente Bueno Excelente Bueno 
Bueno Excelente Bueno Malo Bueno Bueno Malo 
Bueno Excelente Bueno Bueno Excelente Bueno Excelente 
 
Construir el cuadro de distribución de frecuencias .
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
http://www.vitutor.net/2/11/distribucion_frecuencias.html
41 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
Autoevaluación 
 
 
 
 
1. Clasifique las variables referidas a la población de electores del Perú. 
 
 Preferencia electoral. 
 
 Edad del elector. 
 
 Estado socio económico del elector. 
 
 Número de integrantes en la familia del elector. 
 
 Sexo del elector. 
 
 Grado de instrucción del elector. 
 
 Ingresos mensuales del elector. 
 
 
a) 4 Cualitativas y 3 Cuantitativas 
b) 3 Cualitativas y 4 Cuantitativas 
c) 2 Cualitativas y 5 Cuantitativas 
d) 5 Cualitativas y 2 Cuantitativas 
e) 1 Cualitativas y 6 Cuantitativas 
 
2. El objetivo principal de la estadística descriptiva es: 
 
a) Describir una población. 
 
b) Hallar las regularidades que se encuentran en los fenómenos de masa. 
 
c) Inferir algo acerca de la población. 
 
d) Calcular un promedio. 
 
e) Hallar el promedio de acuerdo a la cantidad. 
 
3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es cierto respecto a una 
muestra? 
 
a) Es parte de una población. 
 
b) Debe contener al menos cinco observaciones. 
 
c) Se refiere a estadística descriptiva. 
 
d) Se refiere a una variable no contable. 
 
e) Contiene dentro a la población. 
 
 
4. Una variable cualitativa. 
 
a) Siempre se refiere a una cualidad. 
 
b) Es no numérica.
42 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
c) Siempre tiene sólo dos resultados posibles. 
 
d) Todas las anteriores son correctas. 
 
e) Es numérica. 
 
 
5. Una variable en escala nominal. 
 
a) Casi siempre es el resultado de contar algo. 
 
b) Tiene un punto cero significativo. 
 
c) Puede adquirir valores negativos. 
 
d) No puede tener más de dos categorías. 
 
e) Sólo sirve para nombrar su característica 
 
6. En una empresa, se hizo el estudio sobre las edades de los empleados y se 
obtuvo la siguiente tabla: 
 
 
EDADES Nº DE EMPLEADOS 
[20 – 25] 12 
[25 – 30] 15 
[30 – 35] 23 
[35 – 40] 11 
[40 - 45] 9 
Total: 70 
 
 
 
Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años ó más. 
 
B es el porcentaje de empleados entre 40 y 45 años. Señale A - B (aprox.) 
 
a) 65% 
b) 60% 
 
c) 63% 
d) 64% 
e) 62% 
 
 
7. La tabla muestra la distribución del ingreso familiar correspondiente a 80 
familias. 
 
fi: frecuencia absoluta simple 
Fi: frecuencia absoluta acumulada
43 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
Marca de 
Clase 
 Frecuencias 
Relativas 
45 K/50 
 
55 3k/100 
65 2k/25 
75 3k/50 
85 K/100 
 
 
 
hi: frecuencia relativa simple en tanto por uno 
 
 
Intervalo de Ingreso S/. fi Fi hi 
[160 - 170] 12 12 
[170 – 180] 48 60 
[180 – 190] 0,125 
[190 – 200] 0,075 
[200 – 210] 
 
 
Determine el número de familias que ganan menos de 200 nuevos soles. 
a) 66 
b) 70 
c) 54 
d) 76 
e) 50 
 
8. En una prueba de aptitud académica se evaluaron a “n” estudiantes y las 
notas obtenidas se clasificaron en una tabla de distribución de frecuencias 
como se muestra a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Qué porcentaje de estudiantes 
obtuvieron una nota menor que 65 
puntos o igual que 85 puntos? 
 
 
 
 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 60% 
e) 70%
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
) 
 
 
 
 
 
9. ¿Cuál de los siguientes diagramas es un histograma? 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) e 
 
 
 
10. ¿Cuál de los siguientes diagramas es una ojiva? 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44
45 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
Resumen 
 
 
 
 
UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE II:: 
 
 
 
La estadística es un auxiliar de muchas ciencias con base matemática referente a la 
recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de 
la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún 
fenómeno, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Se usa para la toma de 
decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales. 
 
 
 
Variable es una característica (magnitud, vector o número) que puede ser 
medida, adoptando diferentes valores en cada uno de los casos de un estudio. 
Clasificación de Variables: 
Cualitativos: Arrojan respuestas categóricas, miden cualidades y se les puede 
asignar después un valor numérico (codificarlas). Cuantitativos: Producen 
respuestas numéricas, miden cantidades y podemos tratar un dato cuantitativo como 
cualitativo (categorizando). 
 
 
 
Los datos recopilados en la muestra se pueden organizar en Tablas de Frecuencias. 
Estas tablas muestran: Frecuencia absoluta (fi): Resulta de contar el número de 
observaciones que "entran" en una clase Frecuencia Relativa (hi): Es la proporción 
de observaciones que "entran" en una clase Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi): Es 
el número de observaciones acumuladas. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi): es la 
proporción de observaciones acumuladas 
 
 
Las más importantes gráficas: Sector.- Consiste en dividir un círculo en tantos sectores 
como valores de la variable. La amplitud de cada sector debe ser proporcional a la 
frecuencia del valor correspondiente. Histograma.- Es un caso particular del diagrama 
anterior en el caso de variables continuas. Si los intervalos son correlativos, los 
rectángulos aparecen pegados en la representación gráfica. Barras.- Consiste en dos 
ejes perpendiculares y una barra o rectángulo para cada valor de la variable. Se suele 
colocar en el eje horizontal los valores de la variable.
http://es.wikipedia.org/wiki/Aleatoria
http://es.wikipedia.org/wiki/Condicional
http://es.wikipedia.org/wiki/Negocios
http://es.wikipedia.org/wiki/Gobierno
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
Introducción 
 
 
 
a)aaa 
a) Presentación y contextualización 
 
 
Los temas que se tratan en la presente unidad, tiene por finalidad que el estudiante 
comprenda las Medidas De Tendencia Central y Medidas de Dispersión así como 
formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados. 
Conocer además las diferentes medidas para datos agrupados y no agrupados; esto 
se puede utilizar para organizar datos y resolverlas interrogantes. 
 
b) Competencia 
 
Utiliza las medidas estadísticas adecuadamente para comprender mejor el 
comportamiento de los datos agrupados y no agrupados. 
 
c) Capacidades 
 
1 .Explica y compara los resultados obtenidos en base a las Medidas de Tendencia 
Central para datos no Agrupados. 
 
2. Describe y analiza las Medidas de Tendencia Central para datos Agrupados. 
 
3. Calcula y grafica la estructura de las Medidas de Dispersión. 
 
4. Define, analiza y grafica las medidas de posición. 
 
d) Actitudes 
 
 Toma iniciativa y lidera al equipo en el cumplimiento de las actividades 
asignadas a su vez promueve actividades y toma de decisiones pertinentes. 
 Cumple con los horarios establecidos, respeta y cumple las normas de 
convivencia en el ámbito superior universitario. 
 Planifica y cumple oportunamente sus tareas o actividades diarias y presenta 
sus trabajos en forma organizada. 
 
 
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: 
 
La Unidad de Aprendizaje 2: Medidas De Tendencia Central y Medidas de 
 
Dispersión, comprende el desarrollo de los siguientes temas: 
 
 
TEMA 01: Medidas de tendencia central para datos no agrupados. 
TEMA 02: Medidas de tendencia central para datos agrupados. 
TEMA 03: Medidas de dispersión. 
TEMA 04: Medidas de posición.
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
Medidas de 
Tendencia 
Central 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 1
Para Datos
No agrupados 
 
 
Competencia: 
Explicar y comparar los resultados obtenidos 
en base a las Medidas de Tendencia Central 
para datos no Agrupados.
49 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de los Temas 
 
 
 
 
Tema 01: Medidas de Tendencia Central 
 
Para Datos No Agrupados 
 
 
 
 
Las medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos que muestran hacia 
 
que valor (o valores) se agrupan los datos. 
 
 
 
Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central: 
 
 
 
 
La media aritmética 
 
 
 
La moda 
 
 
 
 
La mediana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Media aritmética (µ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la 
sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es 
aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos. 
 
 
 
 
 
Hay que entender que existen dos formas distintas de Hay que entender que existen 
dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales: 
sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos 
sugiere dos formas de representar la media aritmética. 
 
 
50 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 Cabe anotar que en el ejemplo 
estamos hablando de una 
población correspondiente a 
todos los alumnos de la clase. 
 
El promedio de las 10 notas es 
de 3,47. 
 
 
 
 
 
Media Aritmética para Datos No Agrupados 
 
 
Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y 
muestrales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos 
 
(N identifica el tamaño de la población, mientras que n el de la muestra). 
 
Ejemplo 
 
El profesor de la materia de estadística desea 
conocer el promedio de las notas finales de 
los 10 alumnos de la clase. Las 
notas de los alumnos son: 
 
3,2 3,1 2,4 4,0 3,5 
 
3,0 
 
3,5 
 
3,8 
 
4,2 
 
4,0 
 
 
¿Cuál es el promedio de notas de los 
alumnos de la clase? 
 
 
Solución 
 
Aplicando la fórmula tenemos: 
 
 
 
51 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
a. 
 
 
Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media 
aritmétic 
 
 
 
 
 
 
En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variación notoria se debió a que 
la media aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos 
datos. El 0,0 es una nota atípica comparada con las demás, que están ubicadas 
entre 3,0 y 4,2. 
 
Mediana (Me): 
 
Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. 
 
La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales. 
La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un 
segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento AB es el punto C. 
 
 
Ejemplo: (cantidad de datos impar) 
 
Encontrar la mediana para los siguientes 
datos: 
 
4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 5, 3 
Solución 
 
 
PASO 1: Ordenar los datos. 
 
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
 
 
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos el número de datos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado. 
Me = 3
52 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
dato. Encontrar la mediana: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de datos. 
 
 
Ejemplo: (cantidad de datos par) 
 
 
Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último 
 
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 
 
 
Solución 
 
PASO 1: Ordenar los datos. 
 
 
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 
 
 
 
 
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos el número 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la 
mediana será Me = 
 �+ � 
= 2,5. 
� 
 
Moda (Mo): indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor 
frecuencia. 
 
En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un 
conjunto de datos bimodal. Para más de dos modas hablaremos de un conjunto de 
datos multimodal. 
 
 
 
Ejemplo: Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 
personas sobre la marca de gaseosa que más consume a la semana: 
 
 
 
Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 1 
 
Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1 
 
Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 1 Marca 3 
 
Marca 3 Marca 2 Marca 3
53 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
 
PASO 1: Determinar las frecuencias de cada valor de la variable. 
 
 
 
 
 
 
La marca 1 se repite 15 veces 
 
La marca 2 se repite 6 veces 
 
La marca 3 se repite 9 veces 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASO 2: La moda representa el valor que más se se repite. Mo = Marca 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
Medidas 
De Tendencia 
Central 
Para Datos 
 
 
 
 
 
TEMA 2
 
Agrupados 
 
 
 
 
Competencia: 
 
Describir, analizar y las Medidas de 
Tendencia Central para datos Agrupados.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
55 
 
 
 
 
 
s 
 
 
Tema 02: Medidas de Tendencia Central para 
Datos Agrupados 
 
 
 
 
 
 
Cuando los datos se agrupan en tablas, la media aritmética es igual a la división 
de la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de 
datos. 
 
Media Aritmética para Datos Agrupado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La sumatoria parte desde el primer intervalo de 
clase (i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi 
la clase del intervalo i. Cuando los datos se 
agrupan en tablas de frecuencias, el cálculo de 
la media varía un poco, ya que existe una 
pérdida de información en el momento en que 
se trabaja con intervalos de 
frecuencia y no con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo, 
desconociendo el valor exacto de cada uno de ellos). 
 
 
 
Las marcas de clases (Xi) cumple la función de representar los intervalos 
de clase.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
56 
 
 
 
 
Ejemplo en Tablas 
 
 
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de 
preguntas de 81 encuestados sobre un test que consta de 
solo seis preguntas.Preguntas buenas/ personas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
PASO 1: 
 
Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia 
absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el 
valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos. 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es el 
de 3,41) preguntas buenas. 
 
Ejemplo en Tablas de Frecuencia 
 
 
Calcular la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia: 
 
 
Ni Intervalos Marca de clase ( Xi) fi 
1 40.1 48.1 44.1 3 
2 48.1 56.1 52.1 8 
3 56.1 64.1 60.1 11 
4 64.1 72.1 68.1 32 
5 72.1 80.1 76.1 21 
6 80.1 88.1 84.1 18 
7 88.1 96.1 92.1 14 
8 96.1 104.1 100.1 1 
 
 
Solución 
 
 
Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo, 
suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se repite 3 
veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicho intervalo. 
 
 
 
Paso 1: 
 
 
 
Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su 
 
frecuencia absoluta. 
 
 
 
 
�𝑐
 
∑ �𝑖 �𝑖 = 44.1 𝑥 3 + 52.1 𝑥 8 + 60.1 𝑥 11 + 68.1 𝑥 32 + 76.1 𝑥 21
 
��=1 
+ 84.1 𝑥 18 + 92.1 𝑥 14 + 100.1𝑥 1
 
= 7890.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
57
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
58 
 
 
nales): 
��=1 
 
 
Paso 2: 
 
Dividir la sumatoria sobre el número total de datos. 
 
 
𝑥 = 
 ∑ 8 �𝑖 �𝑖 
= � 
 7890 . 
6
 
108 
= 73.1
 
Ejemplo: 
 
 
Comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados y datos 
agrupados en tablas de frecuencia. 
 
Calcular la media aritmética a los siguientes datos sin agrupar y agrupándolos 
en una tabla de frecuencia (suponga que los datos son poblacio 
 
Solución 
 
 
Calculemos la media para los datos sin agrupar: 
 
 
𝜇 = 
 ∑ � 𝑖 = 
 47 . 8+ 18 .6+ 18 .6+ 12 .8+ 33 .6+ 23 .1+ ⋯+ 37 .0 
= 
 832 . 1 
= 27.74 
𝑁 30 30 
 
 
 
Luego construyamos la tabla y calculemos su media aritmética con el fin de comparar 
ambos resultados: 
 
 
Ni Intervalos Marca de clase ( Mc) fi 
1 11.0 17.4 14.2 
 
8 
2 17.4 23.8 20.6 6 
3 23.8 30.2 27.0 2 
4 30.2 36.6 33.4 5 
5 36.6 43.0 39.8 4 
6 43.0 49.4 46.2 5 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
59 
 
 
 30 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
60 
 
 
de la 
 
 
 
e la me 
 
 
Paso 1: 
Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su 
frecuencia absoluta. 
 
 
�
 
∑ ��� �𝑖 = 14.2 𝑥 8 + 20.6 𝑥 6 + 27.0 𝑥 2 + 33.4 𝑥 5 + 39.8 𝑥 4 + 46.2 𝑥 5
 
��=1 
= 822.4 
 
 
Paso 2: 
Dividir La Sumatoria Sobre El Número Total De Datos. Si Se Observa El Resultado, 
Solo Se Diferencia En Centésimos De La Media Poblacional. 
 
 
𝑥 = 
∑ ��� �𝑖
 
� 
822.4 
= 30 
= 27.41
 
 
 
Mediana para Datos Agrupados 
 
La mediana para datos agrupados en un cuadro de frecuencia se obtiene utilizando las 
frecuencias absolutas o las frecuencias relativas de la siguiente manera: 
 
 � 
�� = ��� + [ 2 
− 𝐹� − 1 
] � 
�� = ��� + 
[
 ��
 
 50% − �� − 
1 
] � ℎ�
 
 
 
 Donde m = Intervalo que contiene a la mediana 
 
Fm-1 = Frecuencia acumulada absoluta del intervalo anterior a la clase 
me (Fm) 
Hm-1= Frecuencia acumulada relativa del intervalo anterior a la clase d 
 
(Hm) 
 
fm = Frecuencia absoluta del intervalo de clase m. 
 
hm = Frecuencia relativa del intervalo de clase m. 
 
LIm = Límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana. 
 
c = Longitud del intervalo de clase. 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Calcular la mediana a partir de la siguiente tabla de frecuencia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Paso 1: 
 
 
Localizar entre que clases se encuentra la mediana. Observe que la mediana se 
encuentra en la clase 4 (*) que contiene a los elementos 24 y 25. Como n = 48 
(número par), la mediana será la media aritmética de los valores que ocupan las 
posiciones 24 y 25. 
 
 
 
Paso 2: 
 
La posición 24 corresponde al valor 40. 
La posición 25 corresponde al valor 40. 
Luego: Me = 
 40 + 40 
= 
40 
2
 
 
 
 
Ejemplo: Mediana Para Datos Agrupados En Tabla 
 
Determinar la mediana de la siguiente tabla de frecuencia:
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
61 
 
 
 
 
Solución 
Paso 1: Localizar entre que intervalos de clase se encuentra la mediana. 
 
Podemos observar que el punto que divide el 50% de los datos esta en el intervalo de 
clase 4, para ser más preciso, entre los valores 45,21 y 53,21 (hasta 45,21 hay 
agrupados el 42,50% de los datos, y hasta 53,21 se resume el 60,00% de los datos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 2: 
 
�� = ��� + [ ℎ�
 
] � = 45.21 + [
 
Me = 48.64 
] 8 
17.50
 
En el mismo ejemplo ahora vamos a encontrar la mediana, utilizando para ello las 
frecuencias absolutas. 
Paso 1: Localizar entre que intervalos de clase se encuentra la mediana. 
 
 
 Podemos observar que el punto que divide en partes iguales a la distribución esta 
 
en el intervalo de clase 4, para ser más preciso, entre los valores 45,21 y 53,21. 
 
 
 
N° Intervalos de fi Fi 
 clase 
1 21.21 29.21 5 5 
2 29.21 37.21 2 7 
3 37.21 45.21 10 17 
4 45.21 53.21 7 24 
5 53.21 61.21 12 36 
6 61.21 69.21 3 39 
7 69.21 77.20 1 40 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
61 
 
 
 40 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
62 
 
 
 
 
Paso 2: 
 
 
Hallamos m = 45.21 a 53.21 fm = 7 
 
 
LIm = 45.21 c = 8 
 
 
Fm-1 = 17 
�
 
Luego: Me = ��� + [
 2 ] � = 𝑓�
 
45.21 + [
 20 − 17
] 8 = 48.64 
7
 
 
Ubicando La Mediana En El Gráfico De Ojiva 
 
 
 
 
En un gráfico de ojiva, la mediana corresponde a la proyección del punto en eje 
horizontal que equivale al 50% de los datos. En la el gráfico de ojiva del ejemplo 
3.6.1, la mediana estaría ubicada en el sexto intervalo, entre 350 y 400: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moda Para Datos Agrupados 
 
 
Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 personas sobre la 
marca de gaseosa que más consume a la semana:
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
63 
 
 
 
Marca 
 
Fi 
 
 
Marca 1 
 
Marca 2 
 
Marca 3 
 
15 
 
6 
 
9 
 
 
 
Total 
 
 
30 
 
 
 
Solución 
Paso 1: 
Construimos la tabla de frecuencias 
 
 
 
 
 
Paso 2: 
 
 
La moda representa el valor que 
más se repite. En este caso es 
la marca 1.
 
 
 
 
 
 
 
Calculo De La Moda Mediante Fórmula 
Algunos autores suelen aplicar una fórmula para determinar la moda para tablas de 
frecuencia. 
�1 
�� = ���� + ( ) � �1 + �2 
 
 
 
 
Donde: Limo = Límite inferior del intervalo donde se ubica la moda 
 
d1 = Diferencia entre el valor de la frecuencia donde se ubica la moda y el 
valor del intervalo anterior (fm – fm-1) 
d2 = Diferencia entre el valor de la frecuencia donde se ubica la moda y el 
valor del intervalo siguiente (fm – fm+1) 
c = Longitud del intervalo de clase 
 
 
Ejemplo: Moda Para Datos Agrupados 
 
Calcular la moda a partir de la siguiente tabla de frecuencia: 
 
N° Intervalos de clase fi 
 
 
1 21.21 29.21 5 
2 29.21 37.21 2 
3 37.21 45.21 10 
4 45.21 53.21 7 
5 53.21 61.21 12 
6 61.21 69.21 3 
7 69.21 77.20 1 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
64 
 
 
 
 
encias 
)Solución 
 
Paso 1: 
 
Hemos marcado (*) el intervalo que tiene la frecuencia más alta; allí se 
 
encuentra el valor de la moda. 
 
 
 
Paso 2: 
 
 
Ubicamos el límite inferior del intervalo de clase donde se ubica la moda = 
 
53.21 Así mismo hallamos las diferencias: d1 = 12 – 7 = 5 
 
 
d2= 12 – 3 = 9 
 
El valor de c = 8 
Calculando la moda �� = 53.21 + (
 5 
8 = 56.08 
5+9 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Calcular la moda en la siguiente tabla de frecu 
 
 N Intervalos Fi 
 1 4 6 2 
 2 6 8 4 
 3 8 10 4 
 4 10 12 5 
 5 12 14 5 
Solución 
 
Paso 1: 
 
Los intervalos de clase que mas frecuencias tienen son [10- 12) y [12- 14) por 
 
tanto decimos que es un caso donde aparecen dos modas, (bimodal). 
 
 
 
Paso 2: 
 
Como hay dos modas, entonces calculando la primera moda 
 
 
LIm1 = 10; d1 = 5 – 4= 1; d2 = 5 – 5 = 0; c = 2 
Mo1 =10 + (
 1 
) 2 = 12 
1+0
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
65 
 
 
 
 
Ahora, la segunda moda: LIm2 = 12; d1 = 5 – 5 = 0; d2 = 5 – 0= 5 (Como el 5 está 
 
en el último intervalo entonces la resta siempre es con 0); c = 2 
 
 
 
 
Mo2=12 + (
 0 
) 2 = 12 
0+5 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA. Recordar que fuera de la tabla de frecuencias no hay valores por eso 
se considera como cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
Medidas 
de 
Dispersión 
 
 
TEMA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
Competencia: 
 
Calcular y graficar la estructura de las 
Medidas de Dispersión.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
67 
 
 
��=1 
��=1 
 
 
 
 
 
Las Medidas son: 
 
 
Tema 03: Medidas de Dispersión
 
 
 1. Rango 
 
2. Desviación Media 
 
3. Varianza 
 
4. Desviación Típica 
 
5. Cuasi varianza 
 
6. Cuasi Desviación típica 
 
7. Coeficiente de Variación 
 
 
 
Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero 
también es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de 
estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de 
dispersión. 
 
Rango: 
 
 
El rango o amplitud de un conjunto de datos es la diferencia entre la observación 
de mayor valor y la observación de menor valor. 
R = Xmax – Xmin 
 
 
 
Desviación media o desviación promedio: 
 
Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de todos los 
valores en relación con algún punto central, tal como la media o la mediana. 
a) Para datos no agrupados: �� =
 ∑
� | �𝑖 − 𝑥 |
b) Para datos agrupados: �� =
 
� 
 ∑� |�𝑖 − 𝑥 |𝑓𝑖 
� 
 
 
Varianza: 
 
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la 
media de una distribución estadística. Este estadístico tiene el inconveniente de 
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion5
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion6
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion7
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion8
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion9
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion10
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
68 
 
 
ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la unidad de la variable, por 
ejemplo, si la variable viene dada en cm. la varianza vendrá en cm2.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
69 
 
 
 
 
Ecuaciones de la varianza 
 
𝑁 2
 
1) Varianza poblacional: a) Datos no agrupados 𝜎 2 = 
 ∑𝑖 = 1( � 𝑖 − 𝜇 ) 
 
𝑁 
𝑘 2 
 
 
2) Varianza muestral: 
b) Datos agrupados 𝜎 2 = 
 ∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 (� 𝑖 − 𝜇 ) 
 
𝑁
 
� 2 
 [ ∑ �𝑖 ] 
� 2 � 
2 − ��=1
a) Datos no agrupados �2 = 
 ∑𝑖 = 1( � 𝑖 − 𝑥 ) = 
 ∑𝑖 =1 �𝑖 � 
�−1 �−1
� 2
𝑘 2 � 2 −
 [∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 �𝑖 ] 
b) Datos agrupados �2 = 
 ∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 (� 𝑖 − 𝑥 ) = 
 ∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 �𝑖 � 
�−1 �−1
A la varianza muestral con en el denominador n-1 se le llama 
cuasivarianza 
 
 
 
Desviación estándar o típica: 
 
 
Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota por S. Este estadístico se mide en la 
misma unidad que la variable por lo que se puede interpretar mejor. 
A la raíz cuadrada de la Cuasi varianza se le llama Cuasi desviación típica. 
 
 
 
 
Coeficiente de Variación: 
 
 
Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada 
ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que 
presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V. 
 
 
 
 
 
 
 
Todas estas medidas de dispersión vienen influidas por la unidad en la que se mide 
la variable, esto implica que si cambiamos de unidad de medida, los valores de estos 
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
70 
 
 
estadísticos se vean a su vez modificados. Además, no permite comparar por 
ejemplo, en un grupo de alumnos si los pesos o las alturas presentan más dispersión, 
pues no es posible comparar unidades de distinto tipo.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
69 
 
 
∑ 
− 
 
 
Ejemplo 1. 
Sean los datos siguientes: 32, 54, 21, 33, 45, 49, 36, 42, 57, 28, 52, 61 
a) Rango: 61 – 21 = 40 
 
b) Para calcular Varianza muestral, primero se obtiene la suma de las 
observaciones y la suma de los cuadrados de las observaciones.
12 
��=1 �𝑖 = 32 + 54 + ⋯ + 52 + 61 = 510; 𝑥 = 
∑ ���⁄� = 
510
 
12 
= 42.5
� 2 2 2 2 2∑��=1 �𝑖 = 32 + 54 + ⋯ + 52 + 61 = 23414
�2 = 
23414 
(510)2
 12 = 158.09 11
c) Desviación típica s = √158.09 = 12.573
 
d) Coeficiente de variación �𝑉 = 
 𝑠 
��100 = 
 12 . 57 3 
𝑥100 = 29.58 %
 
Ejemplo 2 
𝑥 42.5
Sean los datos presentados en la siguiente tabla 
 
 
 
x i f i x i · f i x i 2 · f i |�𝒊 − �̅|�𝒊 
 
 
 
[ 1 0 , 2 0 ) 15 1 15 225 2 8 . 3 3 
 
 
 
[ 2 0 , 3 0 ) 25 8 200 5000 1 4 6 . 6 4 
 
 
 
[ 3 0 , 4 0 ) 35 10 350 1 2 2 5 0 8 3 . 3 
 
 
 
[ 4 0 , 5 0 ) 45 9 405 1 8 2 2 5 1 5 . 0 3 
 
 
 
[ 5 0 , 6 0 55 8 440 2 4 2 0 0 9 3 . 3 6 
 
 
 
[ 6 0 , 7 0 ) 65 4 260 1 6 9 0 0 8 6 . 6 8 
 
 
 
[ 7 0 , 8 0 ) 75 2 150 1 1 2 5 0 6 3 . 3 4 
 
 
 
S u m a 42 1 8 2 0 8 8 0 5 0 5 1 6 . 6 8
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 
70 
 
 
 
 
Solución 
 
 
En este caso se trata de datos agrupados, y para hacer los cálculos usaremos las 
ecuaciones de datos agrupados. 
 
 
 
a) Media aritmética: 𝑥 = 1820 = 43.33 
42 
88050−
 (1820)2
b) Varianza: �2 = 
 42 = 223.98 
41
 
 
c) Desviación estándar: s = √223.98 = 14.96
 
d) Coeficiente de variación: CV = 14 . 96 𝑥100 = 34.53 % 
43.33 
 
e) Desviación Media: Dm = 516 .68 = 12.30 
42 
 
 
 
 
Ejemplo 3. 
 
 
El tiempo que utilizan 6 niños de igual edad para desarrollar una misma tarea fue