Análisis en Rn - CLASE 13 - parte 1

Vista previa del material en texto

Title Lorem Ipsum
Sit Dolor Amet
Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 13
1
Teorema
Sea el camino . Si entonces , es decir el camino es rectificable y 
Demostración
Si es claro . Supongamos lo contrario:. Entonces existe una partición tal que . Sea . Por la definición de limite, para tal se puede obtener un tal que 
Demostración
Tomemos una partición tal que . La partición cumple , luego y, por otro lado, refina , luego . Esto contradice , luego .
El reciproco: si es rectificable entonces , es cierto.
Propiedad
Todo camino de clase tiene longitud si y solo si, 
Propiedad
Si un camino es Lipcchitziana; , para , entonces, para cada partición del Intervalo se tiene es rectificable, su longitud no es mayor que .
	Para demostrar que un camino de clase es rectificable necesitamos el siguiente lema.
Propiedad
Un camino se dice uniformemente diferenciable cuando para todo existe con la siguiente propiedad:
	Dado cualquier se puede obtener tal que y implican , para todo .
Lema (Diferenciabilidad Uniforme)
Todo camino de clase , es uniformemente diferenciable.
Demostración
El camino derivado es continua en el compacte luego es uniformemente continua, así dado existe tal que y implican 
Para un fijo tenemos , el teorema fundamental del Calculo nos dice que y implican para cualquier . Luego es uniformemente diferenciable.
Vale el reciproco: todo camino uniformemente diferenciable es de clase .
Teorema
Todo camino de clase es rectificable y .
Demostración
Demuestraremos: 
Dado . Por la definición de la integral (que ya existe, pues es continua en , consideramos una partición puntillada existe tal que implica
 .
Demostración
Además por la diferenciabilidad uniforme de ; 
	Sea 
 con .
	Luego 
	Si . Entonces si , entonces sumando y , y aplicando la desigualdad triangular
La longitud de un camino como parámetro
Sea un camino. Una reparametrización de es un camino , donde es una función monótona sobreyectiva.(por análisis en ), esto implica que es continua. Cuando es no decreciente se tiene si es no creciente, entonces y . puede ser creciente (decreciente). asumiendo que es no creciente, puede suceder que con entonces es constante en el intervalo .
Teorema
La reparametrización es rectificable si, y solo si el camino es rectificable.
En este caso se tiene .