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Resistencia de Materiales I
Resúmenes y Problemas de Clase
Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones Industriales U.D. de Resistencia de Materiales
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid Curso 2007-08
Anotaciones
Presentación
Estas notas se han concebido como material de apoyo didáctico para la asignatura de “Re-
sistencia de Materiales I”, asignatura semestral que imparte el Departamento de Mecánica Es-
tructural y Construcciones Industriales de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid. Se
pretende dar al alumno la posibilidad de contrastar con ellas sus apuntes de clase y, de esta
manera, ayudarle a comprender mejor las ideas transmitidas por el profesor.
De acuerdo con los objetivos de la asignatura, se proporciona primero una introducción a
la teoŕıa de la elasticidad lineal, para luego particularizar los conceptos básicos de esta teoŕıa
en el estudio del sólido prismático, objeto de la resistencia de materiales clásica. La resistencia
de materiales se presenta aśı como un caso particular de la teoŕıa de la elasticidad, cuando se
asumen determinadas hipotésis cinemáticas sobre el movimiento de las secciones transversales del
sólido prismático. Siguiendo el temario de la asignatura, en esta segunda parte, tras introducir
el concepto de esfuerzo, se analiza únicamente el estado de tracción-compresión. El análisis de
la torsión, la cortadura, la flexión y las solicitaciones combinadas se deja para la asignatura de
“Resistencia de Materiales II”.
El contenido de estas notas se ha dividido en 25 lecciones, correspondientes a los puntos
incluidos en el temario de la asignatura. Al final de cada lección se incluyen problemas resueltos,
cuyo objeto es ilustrar los conceptos más importantes.
No se trata de remplazar los muchos libros de texto que, desde diferentes ópticas, abordan la
teoŕıa de la elasticidad y la resistencia de materiales. Por el contrario, la idea ha sido componer
un resumen introductorio, escrito en un lenguaje asequible, que sirva de punto de partida para
la consulta de esos libros. Aśı, para facilitar esta labor, en las páginas finales se incluye una lista
de referencias bibliográficas donde el alumno interesado puede ampliar los conceptos expuestos.
Francisco Beltrán
Madrid, septiembre de 2007
I
II
Índice
1. Equilibrio Interno. Vector tensión. 1
1.1. El sólido elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Acciones exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Equilibrio estático y elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Componentes intŕınsecas del vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.1. Obtener componentes intŕınsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Matriz de tensiones 9
2.1. Tensiones sobre planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Estado tensional en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1. Cálculo de matriz de tensiones y vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Ecuaciones de equilibrio 19
3.1. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio . . . . . 22
4. Tensiones principales 25
4.1. Tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Invariantes de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4. Elipsoide de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.1. Cálculo de tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Ćırculos de Mohr 31
5.1. Ćırculos de Mohr en tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Representación de tensiones en los ćırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1. Componentes intŕınsecas del vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2. Cálculo de la orientación del vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III
5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4. Tensiones máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5. Estados tensionales ciĺındrico y esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5.1. Estado ciĺındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5.2. Estado esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6.1. Representación de un estado tensional en el diagrama de Mohr . . . . . . 44
5.6.2. Obtención de tensiones principales con el diagrama de Mohr . . . . . . . . 46
6. Concepto de deformación 49
6.1. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Matrices de giro y deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3.1. Cálculo de la matriz de deformación y el giro en el entorno de un punto . 53
7. Deformaciones longitudinales y transversales 55
7.1. Ecuaciones cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2. Significado de los términos de la matriz de deformación . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3. Deformación según una dirección: galgas extensométricas . . . . . . . . . . . . . 58
7.4. Distorsión de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.5.1. Cálculo de variaciones de longitud y de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . 60
8. Deformaciones principales. Deformación volumétrica 65
8.1. Deformaciones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2. Invariantes de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3. Variación unitaria de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4. Deformación volumétrica y desviadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.5.1. Galgas extensométricas y deformaciones principales . . . . . . . . . . . . 68
9. Comportamiento elástico. Constantes elásticas. 71
9.1. Ensayo de tracción simple. Ley de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2. Deformación en sentido transversal. Coeficiente de Poisson. . . . . . . . . . . . . 75
9.3. Comportamiento elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.Leyes de Hooke generalizadas.Ecuaciones de Lamé. 79
10.1. Leyes de Hooke generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.1.1. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.1.2. Sistema de referencia general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2. Módulo de elasticidad transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3. Módulo de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.4. Deformaciones y tensiones de origen térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.5. Ecuaciones de Lamé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV
10.6.1. Deformación con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.6.2. Determinación de constantes elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.6.3. Tensiones debidas a deformaciones impuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.6.4. Tensiones debidas a aumento de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.El problema elástico. Principio de Saint-Venant. 89
11.1. Planteamiento general del problema elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.2. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3. Principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.4.1. Aplicación del principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.Estados elásticos planos 97
12.1. Estados elásticos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.1.1. Deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.1.2. Tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.2. Direcciones y tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3.1. Suma de estados tensionales planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3.2. Orientación del corte de una chapa con defectos . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.3.3. Comparación entre estados tensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.Trabajo de las fuerzas aplicadas. Enerǵıa elástica 109
13.1. Concepto de enerǵıa de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2. Coeficientes de influencia y de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2.1. Coeficientes de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2.2. Coeficientes de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
13.3. Cálculo de la enerǵıa de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13.3.1. Cálculo en función de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13.3.2. Cálculo en función de los desplazamientos eficaces . . . . . . . . . . . . . 112
13.3.3. Cálculo en función de las matrices de tensión y deformación . . . . . . . . 113
13.3.4. Unicidad de la enerǵıa de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.4.1. Matriz de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.4.2. Ciclos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.Principio de los trabajos virtuales 119
14.1. Tensiones y fuerzas estáticamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.2. Desplazamientos cinemáticamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.3. Ecuación de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.4. Principio de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14.5. Principio de las fuerzas virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
V
15.Teoremas energéticos 125
15.1. Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.2. Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.3. Teorema de Menabrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.4.1. Cálculo de reacciones hiperestáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.4.2. Aplicación del teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
16.Deformación anelástica y rotura 131
16.1. Finalización del comportamiento elástico: materiales dúctiles y materiales frágiles 131
16.2. Tensión equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.3. Coeficiente de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.Criterios de fluencia 135
17.1. Criterios de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.1.1. Tensión tangencial máxima (Tresca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.1.2. Enerǵıa de distorsión máxima (von Mises) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.1.3. Criterio simplificado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
17.2.1. Plastificación de una placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18.Criterios de rotura frágil 141
18.1. Criterios de rotura frágil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.1.1. Tensión principal máxima (Rankine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.1.2. Criterio simplificado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.1. Coeficientes de seguridad según el criterio de Mohr . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.2. Tensiones de rotura requeridas para coeficiente de seguridad dado . . . . 144
19.Hipótesis de la Resistencia de Materiales 147
19.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.2. Definición de sólido prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.3. Hipótesis generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
20.Concepto de esfuerzo. Diagramas. 151
20.1. Concepto de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
20.2. Esfuerzos normal y cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
20.3. Momentos de flexión y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.4. Diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
20.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
20.5.1. Cálculo de reacciones y diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . 155
21.Condiciones de sustentación y enlace 159
21.1. Reacciones en las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2. Tipos de apoyos y enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2.1. Tipos de apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2.2. Tipos de enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
VI
21.3. Sistemas isostáticos e hiperestáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
21.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
21.4.1. Cálculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (1). . . . . . . . . . . . . 164
21.4.2. Cálculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (2) . . . . . . . . . . . . . 166
21.4.3. Cálculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (3) . . . . . . . . . . . . . 169
22.Tracción y compresión. Tensiones y desplazamientos. 177
22.1. Definición de estado de tracción-compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.2. Estado de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.3. Estado de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
22.4. Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
23.Esfuerzo normal variable. Peso y fuerza centŕıfuga. 181
23.1. Ecuación de equilibrio bajo esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
23.2. Esfuerzos normales de peso propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
23.3. Esfuerzos normales por fuerza centŕıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
23.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
23.4.1. Esfuerzo normal variable en un pilote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
24.Esfuerzo normal. Sustentación hiperestática. 189
24.1. Potencial interno asociado al esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
24.2. Tracción-compresión hiperestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
24.2.1. Aplicación del teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
24.2.2. Aplicación de la compatibilidad de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . 191
24.3. Tensiones ocasionadas por defectos de montaje o cambios de temperatura . . . . 192
24.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
24.4.1. Barra ŕıgida sujeta mediante tirantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
24.4.2. Esfuerzos normales en una unión roscada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
25.Anillos, cables y arcos funiculares 201
25.1. Anillos circulares sometidos a fuerzas radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
25.1.1. Fuerzas centŕıfugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
25.1.2. Presión interior. Vasijas de pared delgada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
25.2. Equilibrio de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
25.2.1. Ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable . . . . . . . . . . . . . . 204
25.2.2. Ecuación fundamental de la estática de cables . . . . . . . . . . . . . . . . 206
25.2.3. Rectificación del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
25.2.4. Fórmula de Stevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
25.3. Arcos funiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
25.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
25.4.1. Tensiones térmicas en un anillo bimetálico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
25.4.2. Cable para teleférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Bibliograf́ıa 216
VII
A
Lección 1
Equilibrio Interno. Vector tensión.
1.1. El sólido elástico
La Mecánica del Sólido Ŕıgido se ocupa de predecir las condiciones de reposo o movimiento
de los sólidos ŕıgidos bajo la acción de fuerzas exteriores. Un sólido ŕıgido es aquel en el que las
distancias entre sus puntos no sufren variación durante la aplicación de las fuerzas exteriores.
En las aplicaciones de la ingenieŕıa mecánica y estructural se requiere verificar la seguridad de
los componentes mediante la comparación de las fuerzas internas a que se ven sometidos durante
su trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construcción. La determinación
de dichas fuerzas internas no puede hacerse, en un caso general, si se mantiene la hipótesis de
que los componentes se comportan como sólidos ŕıgidos. Debe suponerse que los componentes
son sólidos deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen constantes
al aplicar un sistema de fuerzas exteriores.
La Teoŕıa de la Elasticidad es una primera aproximación al estudio de los sólidos deformables.
Esta teoŕıa se ocupa de calcular el estado de deformación, o desplazamiento relativo, dentro de
cuerpos sólidos sometidos a sistemas de fuerzas en equilibrio. El estado de deformación permite,
a través de las propiedades del material, obtener las fuerzas internas a que se ve sometido el
sólido.
La Teoŕıa de la Elasticidad trabaja sobre una idealización de los cuerpos sólidos reales que
llamaremos sólido elástico. El sólido elástico es un sólido deformable que recupera su forma
inicial al retirar las fuerzas aplicadas.
En los caṕıtulos que siguen supondremos que el sólido elástico ocupa un volumen V del
espacio tridimensional R3 y que tiene una superficie exterior S (figura 1.1). Supondremos además
que el sólido elástico está constituido por un material:
Homogéneo: El material tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.
Isótropo: En cada punto, las propiedades del material son las mismas en cualquier dirección.
Continuo: En el material no existen distancias intersticiales, es decir, no existen “huecos”
en el material por pequeño que sea el volumen del mismo que se tome.
Las hipótesis anteriores, aunque son únicamente una aproximación a los materiales reales,
simplifican mucho el tratamiento matemático y en la mayoŕıa de los casos proporcionan resul-
tados suficientemente aproximados desde el punto de vista ingenieril.
1
2 LECCIÓN 1. EQUILIBRIO INTERNO. VECTOR TENSIÓN.
VZ
X Y
S
Figura 1.1: Sólido elástico
1.2. Acciones exteriores
Consideraremos dos clases de acciones sobre el sólido elástico:
1. Fuerzas de superficie: Son fuerzas por unidad de superficie aplicadas sobre la superficie S
del sólido. Constituyen un campo vectorial definido en S:
!fs =
!
"#
X̄
Ȳ
Z̄
$
%&
Un ejemplo t́ıpico de esta clase de fuerzas es la presión de un fluido actuando sobre la
superficie del sólido.
2. Fuerzas de volumen: Son fuerzas por unidad de volumen aplicadas sobre la materia que
forma el sólido. Constituyen un campo vectorial definido en V :
!fv =
!
"#
X
Y
Z
$
%&
Ejemplos de esta clase de fuerzas son las fuerzas gravitatorias (peso) y las fuerzas de
inercia.
1.3. EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ELÁSTICO 3
Las fuerzas puntuales, esto es, actuando sobre puntos del sólido, son idealizaciones que cor-
responden a fuerzas de superficie o de volumen actuando sobre una superficie o un volumen muy
pequeño, respectivamente. Se trata entonces de fuerzas concentradas, que pueden considerarse
como casos particulares de los dos tipos de acciones anteriores. En efecto, una fuerza puntual
!F aplicada en el punto P del sólido se puede entender como un campo !fv definido en V de la
forma siguiente:
!fv = !F "P
donde "P es la distribución de Dirac en el punto P . De este modo, la resultante del campo !fv
actuando sobre el sólido es la fuerza concentrada !F aplicada en P :
'
V
!fv dV = !F
'
V
"P dV = !F en P
1.3. Equilibrio estático y elástico
Cuando sobre el sólido elástico actúan las acciones exteriores !fs y !fv , el equilibrio estático
del sólido exige que se cumplan las condiciones:
1. Resultante nula de fuerzas: La resultante de las fuerzas aplicadas debe ser nula:
'
S
!fs dS +
'
V
!fv dV = 0
2. Resultante nula de momentos: La resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas con
respecto a cualquier punto del espacio (por ejemplo, el origen de coordenadas) debe ser
nula: '
S
!r ! !fs dS +
'
V
!r ! !fv dV = 0
donde !r es el vector de posición (figura 1.2).
Si no se cumplen las condiciones de equilibrio estático, la aplicación de las acciones acciones
exteriores da lugar al movimiento del sólido. Dicho movimiento puede estudiarse con bastante
aproximación mediantelas ecuaciones de la Mecánica del Sólido Ŕıgido.
Sin embargo, nosotros estaremos interesados en estudiar la deformación del sólido elástico en
los casos en que se cumplen las condiciones de equilibrio estático y, por tanto, no hay movimiento
de sólido ŕıgido.
Al aplicar al sólido elástico un sistema de acciones exteriores, aparecen fuerzas interiores
dentro del volumen del sólido. Como se ha dicho, obtener y caracterizar estas fuerzas interiores
es imprescindible si se quiere evaluar la capacidad del sólido para resistir con seguridad el sistema
de acciones exteriores.
Para analizar estas fuerzas interiores se puede dar un corte imaginario al sólido elástico
mediante una superficie ! que lo divida en dos partes A y B (figura 1.3). El equilibrio de cada
una de estas dos partes implica que, a través de la superficie de corte, una parte ejerce sobre la
otra fuerzas que equilibran las acciones exteriores aplicadas sobre ella.
Es importante darse cuenta de que, por el principio de acción-reacción, las fuerzas de A sobre
B a través de la superficie de corte son iguales y de signo contrario a las fuerzas que ejerce B
sobre A a través de la misma superficie.
4 LECCIÓN 1. EQUILIBRIO INTERNO. VECTOR TENSIÓN.
Z
X Y
r
Figura 1.2: Vector de posición en el equilibrio estático
Cualquiera que sea la superficie imaginaria ! que se utilice, las dos partes en que queda
dividido el sólido elástico deben estar en equilibrio, con las acciones exteriores aplicadas sobre
ellas y las fuerzas internas que le transmite la otra parte a través de la superficie de corte. Esto
es lo que se conoce como equilibrio elástico: las acciones exteriores están en equilibrio con las
fuerzas internas que aparecen en el sólido por aplicación de las mismas. Es decir, cualquier parte
del sólido, por pequeña que sea ésta, debe estar en equilibrio estático si se tienen en cuenta las
acciones externas y las fuerzas internas.
1.4. Vector tensión
Sobre una fracción "# de la superficie de corte ! alrededor del punto P , la parte B del
sólido ejerce una fuerza "!f (fuerza interna) sobre la parte A (figura 1.4).
Se define el vector tensión !# en el punto P asociado a la superficie de corte ! como:
!# = ĺım
!"!0
"!f
"#
=
d!f
d#
1.4. VECTOR TENSIÓN 5
Σ
Corte�imaginario
B
A
A través�de�esta�superficiela�parte�B�está�actuando�sobrela�parte A
Figura 1.3: Equilibrio elástico
6 LECCIÓN 1. EQUILIBRIO INTERNO. VECTOR TENSIÓN.
A
ΔΩΔf
P
Figura 1.4: Fuerza interna ejercida en el entorno del punto P
Se trata de una magnitud vectorial cuyas componentes tienen dimensiones de fuerza por
unidad de superficie. Hay que tener en cuenta los puntos siguientes:
El vector tensión !# está asociado al punto P . Para una misma superficie de corte !, el
vector tensión cambia de un punto a otro de la superficie.
En cada punto P , el vector tensión !# está asociado a la superficie de corte !; para otra
superficie de corte el vector tensión en P adoptaŕıa otro valor.
Al tomar ĺımites, el vector tensión !# está asociado realmente a la orientación del plano
tangente a la superficie de corte ! en el punto P .
Haciendo abstracción, en cada punto P del sólido elástico, se tiene un vector tensión !#
para cada orientación !n= ( $, %, &) de los planos ' que pasan por P , siendo $, % y & los
cosenos directores de la dirección normal al plano !n:
!# = !#(P,!n) = !#(P,$, %, &)
La dirección normal al plano !n se entiende que tiene el sentido hacia afuera del material,
es decir, apuntando hacia la parte del sólido que ha sido eliminada por el corte imaginario
(parte B en las figuras 1.3 y 1.4) y que, por tanto, ejerce la fuerza "!f sobre la parte que
permanece (parte A en las figuras 1.3 y 1.4).
En el Sistema Internacional, la unidad de tensión es el Pascal (Pa):
1 Pa =
1 N
1 m2
En la práctica se trabaja con tensiones mucho más grandes que 1 Pa y se utiliza el megapascal
(MPa), unidad un millón de veces superior al Pascal. Un megapascal equivale a una fuerza de 1
N distribuida sobre una superficie de 1 mm2.
1.5. COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN 7
π
P
n σσn
τ
Figura 1.5: Componentes intŕınsecas del vector tensión
1.5. Componentes intŕınsecas del vector tensión
El vector tensión !# asociado a un punto P y al plano ', puede proyectarse en la dirección de la
normal al plano !n y sobre el plano (figura 1.5). Estas dos proyecciones, #n y ( , respectivamente,
son conocidas como componentes intŕınsecas del vector tensión.
Las componentes intŕınsecas del vector tensión se obtienen de la manera siguiente:
1. Componente normal:
!n " ($, %, &) (vector unitario, sentido hacia afuera del material)
#n = !# · !n (producto escalar)
!#n = #n !n
2. Componente tangencial:
!( = !# # !#n
1.6. Ejercicios resueltos
1.6.1. Obtener componentes intŕınsecas
Obtener las componentes intŕınsecas del vector tensión:
!#=
!
"#
1
2
3
$
%& MPa
definido en un punto P , con respecto al plano ' dado por la ecuación x # y = 0.
Solución:
8 LECCIÓN 1. EQUILIBRIO INTERNO. VECTOR TENSIÓN.
X
Y
Z
n
Figura 1.6: Ejercicio resuelto: sentido elegido de la normal al plano '
El plano ' es el plano bisector del primer octante (figura 1.6). Se puede tomar:
!n =
!
"#
1"
2
# 1"
2
0
$
%& ó !n =
!
"#
# 1"
2
1"
2
0
$
%&
Tomamos el primero de estos dos vectores, asumiendo entonces que el vector tensión dado
actúa sobre el material situado en x # y < 0. Las componentes intŕınsecas serán:
#n = !# · !n =
1$
2
# 2$
2
= # 1$
2
MPa
y
( =
(
#2 # #2n =
)
12 + 22 + 32 # ( 1$
2
)2 =
*
13, 5 MPa
Lección 2
Matriz de tensiones
2.1. Tensiones sobre planos coordenados
Cuando se utiliza un sistema de referencia cartesiano, las componentes intŕınsecas del vector
tensión sobre planos paralelos a los planos coordenados, esto es, planos con normales !n iguales a
(1,0,0), (0,1,0) ó (0,0,1), se designan según se indica en la figura 2.1. Los sentidos positivos son
los que se dan en la figura.
2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales
En un punto P del sólido elástico consideremos planos paralelos a los planos coordenados
que delimiten un volumen infinitesimal alrededor del punto (figura 2.2).
Nótese que las normales en planos paralelos opuestos son iguales y de signo contrario. Si
los planos paralelos opuestos se “confundieran” en el punto P (figura 2.3), por el principio de
acción-reacción, las componentes intŕınsecas del vector tensión a cada lado de cada plano seŕıan
iguales y de signo contrario. La forma convencional de representar este hecho es dibujando las
componentes intŕınsecas en P sobre las caras del cubo infinitesimal centrado en el punto P
(figuras 2.4 y 2.5).
La representación de las figuras 2.4 y 2.5 no debe inducir a confusión. Las acciones repre-
sentadas en forma de tensiones son las acciones de primer orden sobre el volumen infinitesimal
alrededor de P . Como se verá más adelante, existen otras acciones de segundo orden, tales como
las derivadas de fuerzas de volumen !fv y las variaciones de las componentes intŕınsecas de una
cara a otra del cubo infinitesimal. Sin embargo, el equilibrio del cubo exige que las acciones de
primer orden estén equilibradas, ya que ninguna acción de segundo orden podŕıa equilibrar una
acción de primer orden desequilibrada.
El equilibrio de fuerzas de primer orden actuando sobre el volumen infinitesimal es inmediato,
ya que las fuerzas actuando sobre caras paralelas opuestas son iguales y de signo contrario. El
equilibrio de fuerzas de segundo orden dará lugar a las ecuaciones de equilibrio interno del sólido
elástico (lección 3).
En cuanto al equilibrio de momentos de primer orden, si se toman momentos respecto al
centro del cubo infinitesimal, se tiene:
Eje X: 2 ((yz dx dz dy2 ) # 2 ((zy dx dy
dz
2 ) = 0
9
10 LECCIÓN 2. MATRIZ DE TENSIONES
Z
X Y n�(1,0,0)
n�(0,0,1)
n�(0,1,0)P
PP
σnz
σnx
σny
τzy
τzx
τxz
τxy
τyx
τyz
Figura 2.1: Componentes intŕınsecas del vector tensiónsegún planos coordenados
Eje Y: 2 ((zx dy dx dz2 ) # 2 ((xz dy dz
dx
2 ) = 0
Eje Z: 2 ((xy dz dy dx2 ) # 2 ((yx dz dx
dy
2 ) = 0
de donde se deduce:
(yz = (zy (zx = (xz (xy = (yx
Las tres igualdades anteriores se conocen con el nombre de teorema de reciprocidad de ten-
siones tangenciales. El teorema implica que son iguales las componentes de las tensiones tangen-
ciales correspondientes a dos planos perpendiculares entre śı en la dirección normal a la arista de
Z
X Y
nz
P
nx
ny-ny
-nzdy
dxdz
Figura 2.2: Entorno del punto P
2.2. RECIPROCIDAD DE TENSIONES TANGENCIALES 11
Z
X Y
nzPnx
ny-ny
-nz
-nx
Figura 2.3: Entorno del punto P . Planos paralelos a los planos coordenados
su diedro. Nótese que, por el convenio de signos utilizado, el sentido de las tensiones tangenciales
es tal que ambas componentes se dirigen hacia la arista o ambas se separan (figuras 2.6 y 2.7).
Z
X Y
σnz
σnx
σny
τzy
τzx
τxz
τxy τyx
τyz
σnz
σny
σnx
Figura 2.4: Entorno del punto P . Tensiones sobre volumen elemental (1)
12 LECCIÓN 2. MATRIZ DE TENSIONES
Z
XY
σnz
τzyτzx
τxz
τxy τyx
τyz
σnz
σnyσnx
Figura 2.5: Entorno del punto P . Tensiones sobre volumen elemental (2)
2.3. Estado tensional en el entorno de un punto
El estado tensional en un punto P se conocerá cuando sea conocido el vector tensión según
cualquier plano que pase por el punto. A continuación veremos que esto puede conseguirse a
partir de las componentes intŕınsecas de los vectores de tensión según planos paralelos a los
planos coordenados.
Sea en el entorno de P un plano ' con normal !n igual a ($,%,&). Se busca el vector tensión !#
que actúa sobre el plano (figura 2.8). Para ello, se plantea el equilibrio de un tetraedro delimitado
por el plano ' y tres planos paralelos a los planos coordenados que pasan por P . La distancia
de P al plano ' es la altura h del tetraedro.
Según se representa en la figura 2.8, las áreas de las caras del tetraedro son: #, #x, #y y #z ,
con #x = #$, #y = # % y #z = # &. Las fuerzas de volumen son !fv = (X, Y, Z).
El equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:
Eje X: X 13 # h + #x# # #nx#$ # (yx # % # (zx # & = 0
Eje Y: Y 13 # h + #y # # (xy #$ # #ny # % # (zy # & = 0
Eje Z: Z 13 # h + #z # # (xz #$ # (yz # % # #nz # & = 0
Si se hace tender a cero el volumen del tetraedro (esto es, si h #% 0), el plano ' tenderá a
pasar por P y, además, los términos relativos a las fuerzas de volumen se anularán. En este caso,
simplificando, se obtienen las tres igualdades siguientes:
#x = #nx $ + (yx % + (zx &
2.3. ESTADO TENSIONAL EN EL ENTORNO DE UN PUNTO 13
X
Y
σny
σny
σnx
σnx τxy
τxy
τyx
τyx
σny
σny
σnx
σnx τxy
τxy
τxy
τxy
Teorema�dereciprocidad
Figura 2.6: Reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares
#y = (xy $ + #ny % + (zy &
#z = (xz $ + (yz % + #nz &
o en forma matricial:
!# =
!
"#
#x
#y
#z
$
%& =
+
,-
#nx (yx (zx
(xy #ny (zy
(xz (yz #nz
.
/0
!
"#
$
%
&
$
%&
y en notación vectorial:
!# = [T ]!n
La matriz [T ] se conoce con el nombre de matriz de tensiones. De acuerdo con el teorema
de reciprocidad de tensiones tangenciales, la matriz de tensiones es una matriz simétrica, que
τ
τ
τ
τ
Tensiones�tangenciales�posibles�en�esquinas�a�90º
Figura 2.7: Implicación de la reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares
14 LECCIÓN 2. MATRIZ DE TENSIONES
n( )α,β,γ
σ (σ ,σ ,σ )x y z
Z
X
Y
Ωy
Ωz
Ωx
Ω
Z
X
Y
σnz
σnx
σny
τzy
τzx
τxz
τxyτyx
τyz
P
Figura 2.8: Tensión sobre un plano arbitrario en el punto P
2.4. EJERCICIOS RESUELTOS 15
puede escribirse:
[T ] =
+
,-
#nx (xy (xz
(xy #ny (yz
(xz (yz #nz
.
/0
En relación con la matriz de tensiones, es importante darse cuenta de los puntos siguientes:
Si se conoce la matriz de tensiones en el punto P entonces se conoce el estado tensional
en P , ya que a partir de la matriz de tensiones se puede obtener el vector tensión !# para
cualquier orientación de plano !n.
La matriz de tensiones representa una magnitud tensorial de orden 2 que en la literatura
se conoce normalmente con el nombre de tensor de tensiones. Dentro del sólido elástico, la
matriz de tensiones [T ] es una función de punto, se trata por tanto de un campo tensorial
de orden 2.
La expresión de la matriz de tensiones depende del sistema de referencia utilizado. Al
cambiar de sistema de referecnia sus componentes cambian como las de un tensor de
segundo orden. El cambio de ejes se escribe en forma matricial del modo siguiente:
[T ]b = [Rab]t [T ]a [Rab]
donde [T ]a es la matriz de tensiones en el sistema de referencia a, [T ]b es la matriz de
tensiones en el sistema de referencia b y [Rab] es la matriz de cambio de base del sistema
a al sistema b.
La matriz [Rab] de cambio de base se construye colocando como columnas las componentes
de los vectores unitarios en la dirección de los nuevos ejes (sistema b) con respecto al sistema
de referencia viejo (sistema a), es decir:
[Rab] =
+
,-
$b1 $b2 $b3
%b1 %b2 %b3
&b1 &b2 &b3
.
/0 =
+
,-
!ib ·!ia !jb ·!ia !kb ·!ia
!ib ·!ja !jb ·!ja !kb ·!ja
!ib · !ka !jb · !ka !kb · !ka
.
/0
donde ($b1, %b1, &b1), ($b2, %b2, &b2) y ($b3, %b3, &b3) son los vectores unitarios en las direc-
ciones de los ejes del sistema b, referidos al sistema a.
La matriz [Rab] es una matriz ortonormal, es decir, su traspuesta coincide con la inversa:
[Rba] = [Rab]#1 = [Rab]t
2.4. Ejercicios resueltos
2.4.1. Cálculo de matriz de tensiones y vector tensión
Del interior de un sólido elástico se separa mediante cortes imaginarios un cubo de 10 cm de
lado. Las acciones que ejerce el resto del sólido sobre el cubo son las representadas en la figura
2.9. No existen fuerzas exteriores aplicadas sobre el cubo.
Se pide:
16 LECCIÓN 2. MATRIZ DE TENSIONES
Z
X Y
1�MPa
1�MPa
1�MPa
1�MPa
16�MPa
6�MPa 16�MPa
4�MPa 6�MPa
4�MPa6�MPa
Figura 2.9: Acciones del resto del sólido sobre un cubo de material
1. La matriz de tensiones en el sistema de referencia con ejes paralelos a las aristas del cubo,
válida para cualquier punto del cubo.
2. Vector tensión en el centro del cubo con respecto a un plano que forme ángulos iguales
con los planos coordenados (!n = ( 1"
3
, 1"
3
, 1"
3
)).
Solución:
1. De acuerdo con la figura, tomando como origen del sistema de referencia la esquina de la
base más alejada del punto de vista, se tiene que:
#nx = #6 +
z
10
12 MPa (z en cm)
(xy = 0
(xz = 0
#ny = #4 #
z
10
12 MPa (z en cm)
(yz = 1 MPa
#nx = 0
2.4. EJERCICIOS RESUELTOS 17
luego:
[T ] =
+
,-
#6 + z10 12 0 0
0 #4 # z10 12 1
0 1 0
.
/0 MPa (z en cm)
2. El centro del cubo tiene como coordenadas (5,5,5) cm. En consecuencia, sustituyendo en
la expresión de la matriz de tensiones:
!# = [T ]!n =
+
,-
0 0 0
0 #10 1
0 1 0
.
/0
!
""#
1"
3
1"
3
1"
3
$
%%& =
1$
3
!
"#
0
#9
1
$
%& MPa
18 LECCIÓN 2. MATRIZ DE TENSIONES
Lección 3
Ecuaciones de equilibrio
3.1. Ecuaciones de equilibrio interno
Las ecuaciones de equilibrio interno definen las condiciones que deben cumplir las compo-
nentes de la matriz de tensiones [T ] para que un volumen interior del sólido elástico se encuentre
en equilibrio con los volúmenes que le rodean.
Las ecuaciones se obtienen planteando el equilibrio de fuerzas de un elemento diferencial
de volumen alrededor de un punto P de un sólido elástico sometido a un campo de fuerzas de
volumen !fv = (X, Y, Z).
Sea [T ] la matriz de tensiones en el punto P :
[T ] =
+
,-
#nx (xy (xz
(xy #ny (yz
(xz (yz #nz
.
/0
En la figura 3.1 se representan las componentes del vector tensión en los centros de las caras
de un elemento diferencial de volumen centrado en el punto P . Al tratarse de un elemento
diferencial, dichas componentes pueden considerarse que son los valores medios en cada cara.
Entonces, el equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:
Dirección X:
X dx dy dz + (#nx + !"nx!x
1
2dx) dy dz # (#nx #
!"nx
!x
1
2dx) dy dz
+ ((yx +
!#yx
!y
12dy) dx dz # ((yx #
!#yx
!y
1
2dy) dx dz
+ ((zx + !#zx!z
1
2dz) dx dy # ((zx #
!#zx
!z
1
2dz) dx dy = 0
Dirección Y:
Y dx dy dz + ((xy +
!#xy
!x
1
2dx) dy dz # ((xy #
!#xy
!x
1
2dx) dy dz
+ (#ny +
!"ny
!y
1
2dy) dx dz # (#ny #
!"ny
!y
1
2dy) dx dz
+ ((zy + !#zy!z
1
2dz) dx dy # ((zy #
!#zy
!z
1
2dz) dx dy = 0
19
20 LECCIÓN 3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Z
X Y
P
P
dy
dxdz
σ + ∂σ /∂ny ny y��1/2�dyτ + ∂τ /∂yz yz y��1/2�dy
τ + ∂τ /∂yx yx y��1/2�dyσ − ∂σ /∂ny ny y��1/2�dy
τ − ∂τ /∂yx yx y��1/2�dy
τ − ∂τ /∂yz yz y��1/2�dy
σ − ∂σ /∂nz nz z��1/2�dz
σ + ∂σ /∂nz nz z��1/2�dz
σ + ∂σ /∂nx nx x��1/2�dx
τ + ∂τ /∂zy zy z��1/2�dz
τ + ∂τ /∂zx zx z��1/2�dz
τ − ∂τ /∂zy zy z��1/2�dz
τ − ∂τ /∂zx zx z��1/2�dz
σ − ∂σ /∂nx nx x��1/2�dx
τ + ∂τ /∂xy xy x��1/2�dxτ + ∂τ /∂xz xz x��1/2�dx τ − ∂τ /∂xz xz x��1/2�dxτ − ∂τ /∂xy xy x��1/2�dx
Figura 3.1: Equilibrio de un elemento diferencial de volumen
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 21
Dirección Z:
Z dx dy dz + ((xz + !#xz!x
1
2dx) dy dz # ((xz #
!#xz
!x
1
2dx) dy dz
+ ((yz +
!#yz
!y
1
2dy) dx dz # ((yz #
!#yz
!y
1
2dy) dx dz
+ (#nz + !"nz!z
1
2dz) dx dy # (#nz #
!"nz
!z
1
2dz) dx dy = 0
Simplificando las ecuaciones anteriores se obtiene :
)#nx
)x
+
)(yx
)y
+
)(zx
)z
+ X = 0
)(xy
)x
+
)#ny
)y
+
)(zy
)z
+ Y = 0
)(xz
)x
+
)(yz
)y
+
)#nz
)z
+ Z = 0
Y como, por el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales, se cumple que:
(yx = (xy (zx = (xz (zy = (yz
se tiene finalmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, definido
en el volumen V del sólido elástico, para las componentes de la matriz de tensiones [T ]:
)#nx
)x
+
)(xy
)y
+
)(xz
)z
+ X = 0
)(xy
)x
+
)#ny
)y
+
)(yz
)z
+ Y = 0
)(xz
)x
+
)(yz
)y
+
)#nz
)z
+ Z = 0
El sistema anterior son las ecuaciones de equilibrio interno del sólido elástico. En notación
vectorial puede escribirse como:
div [T ] + !fv = 0 en V
o también:
&[T ] + !fv = 0 en V
3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno
En la superficie S del sólido elástico, las fuerzas de superficie !fs deben ser equilibradas por
fuerzas internas. En un punto P situado sobre la superficie S, en el que el plano tangente a S
tiene un vector normal !n, debe cumplirse que (figura 3.2):
!fs # [T ]!n = 0
22 LECCIÓN 3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO
n
P
S
-n n
P fs[T]�(-n)
S
Figura 3.2: Equilibrio en la superficie del sólido elástico
Es decir, debe cumplirse que:
!fs = [T ]!n en S
Entonces, si el vector normal exterior a la superficie S es !n = ($, %, &) y las fuerzas de
superficie aplicadas en S son !fs = (X̄, Ȳ , Z̄), las ecuaciones de equilibrio en el contorno son:
!
"#
X̄
Ȳ
Z̄
$
%& =
+
,-
#nx (xy (xz
(xy #ny (yz
(xz (yz #nz
.
/0
!
"#
$
%
&
$
%& en S
3.3. Ejercicios resueltos
3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio
En el sólido de forma tetraédrica representado en la figura 3.3, existe el estado tensional
siguiente:
[T ] =
+
,-
3y z 0
z #5x 0
0 0 2z
.
/0 MPa (x,y,z en m)
Determinar:
1. Fuerzas de volumen.
2. Fuerzas de superficie en la cara vista ABC, particularizando en el centro de gravedad de
la misma.
3.3. EJERCICIOS RESUELTOS 23
A B
C
aa
2a
X
Y
Z
Figura 3.3: Sólido de forma tetraédrica
Solución:
1. A partir de las ecuaciones de equilibrio interno, se tiene que:
X = #!"nx!x #
!#xy
!y #
!#xz
!z = 0
Y = #!#xy!x #
!"ny
!y #
!#yz
!z = 0
Z = #!#xz!x #
!#yz
!y #
!"nz
!z = #2
MN
m3
2. El vector normal a la cara vista del sólido es:
!n =
!AB ! !AC
| !AB ! !AC |
=
1111111
!i !j !k
#a a 0
#a 0 2a
1111111
| !AB ! !AC |
=
2a2!i + 2a2!j + a2 !k
a2
$
4 + 4 + 1
=
!
""#
2
3
2
3
1
3
$
%%&
Utilizando las ecuaciones de equilibrio en el contorno:
!fs = [T ]!n =
+
,,-
3y z 0
z #5x 0
0 0 2z
.
//0
!
""#
2
3
2
3
1
3
$
%%& =
!
""#
2y + 2z3
2z
3 #
10x
3
2z
3
$
%%&
El centro de gravedad de la cara vista tiene como coordenadas (a3 ,
a
3 ,
2a
3 ) (promedio de
coordenadas de los puntos de las esquinas). Particularizando para el centro de gravedad
de la cara vista, se tiene:
24 LECCIÓN 3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO
!fs =
!
""#
2a
3 +
2
3
2a
3
2
3
2a
3 #
10
3
a
3
2
3
2a
3
$
%%& = a
!
""#
10
9
#69
4
9
$
%%& MPa (a en m)
Lección 4
Tensiones principales
4.1. Tensiones y direcciones principales
En un punto P del sólido elástico el estado tensional viene dado por el valor de la matriz
de tensiones [T ] en dicho punto. La matriz de tensiones es una matriz simétrica de orden 3 con
coeficientes reales. Vamos a ver que esta forma de la matriz de tensiones implica lo siguiente:
En cada punto P del sólido elástico existen al menos tres planos ortogonales entre śı de
modo que el vector tensión !# asociado a ellos tiene componente intŕınseca tangencial (
igual a cero. Es decir, según esos planos, el vector tensión sólo tiene componente intŕınseca
normal: !#= !#n.
Las direcciones de las normales a dichos planos, !n1, !n2 y !n3 se llaman direcciones principales
de tensión en el punto P .
Las componentes intŕınsecas normales de los vectores de tensión según esos planos, #1, #2
y #3 se llaman tensiones principales en el punto P . Por convenio, ordenaremos las tensiones
principales de forma que: #1 ' #2 ' #3.
La deducción de la existencia de las tensiones y direcciones principales es como sigue. Las
componentes ($, %, &) de las direcciones principales en el punto P , si existen, deberán cumplir::
!n =
!
"#
$
%
&
$
%&
!# = [T ]!n = #n !n
(condición de que la componente intŕınseca tangencial ( sea nula)
Es decir, las direcciones principales !n y las tensiones principales #n, si existen, deben cumplir:
{[T ] # #n [I ]}!n = 0
donde [I ] es la matriz identidad.
La relación anterior expresa un problema de autovalores para la matriz [T ] en el punto P
del sólido elástico.
25
26 LECCIÓN 4. TENSIONES PRINCIPALES
Como [T ] es una matriz simétrica de orden 3 con coeficientes reales, [T ] tiene 3 autoval-
ores reales1, que llamaremos #1, #2 y #3. Estos autovalores son las tensiones principales. En
consecuencia, las tensiones principales existen, tal y como las hemos definido.
Cada autovalor #i, i = 1 . . .3, tiene un autovector asociado !ni, que se obtiene resolviendo el
sistema de ecuaciones:
{[T ] # #i [I ]}!ni = 0
con la condición adicional de que si las componentes de !ni son ($i, %i, &i), debe cumplirse que:
$2i + %
2
i + &
2
i = 1
Por ser [T ] una matriz simétrica, los autovectores son ortogonales entre śı cuando los auto-
valores #1, #2 y #3 son distintos2. Es decir:
!n1 · !n2 = 0
!n1 · !n3 = 0
!n2 · !n3 = 0
De esta forma, las direcciones principales, tal y como las hemos definido, son ortogonales entre
śı.
Si hay algún autovalor doble o triple, los autovectores asociados a los mismos definen un
espacio vectorial de dimensión 2 ó 3, respectivamente. En estos casos, más que una sola di-
rección principal, el autovalor tiene asociado todo un plano, o todo el espacio, de vectores de
dirección principal. De dicho plano o de todo el espacio se pueden extraer dos ó tres vectores,
respectivamente, que sean ortogonales entre śı.
4.2. Invariantes de tensiones
Desdoblando la ecuación vectorial:
{[T ] # #n [I ]}!n = 0
en tres ecuaciones escalares, el problema de autovalores de la matriz [T ] se escribe:
+
,-
#nx # #n (xy (xz
(xy #ny # #n (yz
(xz (yz #nz # #n
.
/0
!
"#
$
%
&
$
%& = 0
Se trata de un sistema de ecuaciones homogéneo, función de un parámetro real #n.
Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial ($ = % = & = 0), el determinante
de la matriz de coeficientes debe ser nulo, esto es:
1111111
#nx # #n (xy (xz
(xy #ny # #n (yz
(xz (yz #nz # #n
1111111
= 0
La ecuación anterior es una ecuación de tercer grado en #n, con tres ráıces reales3, que son
1Desde el punto de vista del Álgebra Lineal, la matriz [T ] representa un endomorfismo en R3, que asocia cada
vector de orientación !n con un vector tensión!". El endomorfismo es simétrico por ser [T ] una matriz simétrica.
La teoŕıa de los endomorfismos simétricos es la que justifica que la matriz [T ] tiene 3 autovalores reales y que los
autovectores asociados son ortogonales entre śı.
2Ver la nota anterior.
3Por ser [T ] una matriz simétrica.
4.3. SISTEMA DE REFERENCIA PRINCIPAL 27
los valores de las tensiones principales. Dicha ecuación puede ponerse como:
##3n + I1 #2n # I2 #n + I3 = 0
con:
I1 = #nx + #ny + #nz
I2 = #nx#ny + #nx#nz + #ny#nz # (2xy # (2xz # (2yz
I3 = det[T ]
La solución de esta ecuación de tercer grado son las tensiones principales #1, #2 y #3 en el
punto P .
Las tensiones principales son una caracteŕıstica intŕınseca del estado tensional en el punto P
y, por tanto, independiente del sistema de referencia seleccionado para la matriz de tensiones [T ].
En consecuencia, los coeficientes I1, I2 e I3 deben ser independientes del sistema de referencia.
Estos coeficientes se conocen con el nombre de invariantes de tensiones, primero, segundo y
tercero, respectivamente.
El valor de los invariantes en cada punto P no cambia al cambiar el sistema de referencia
utilizado para definir [T ].
4.3. Sistema de referencia principal
En cada punto P del sólido elástico tenemos pues tres direcciones principales !n1, !n2 y !n3
ortogonales entre śı. De este modo, se puede definir en el punto P un sistema de referencia
según estas tres direcciones (figura 4.1). En dicho sistema de referencia la matriz de tensiones
será diagonal:
[T ] =
+
,-
#1 0 0
0 #2 0
0 0 #3
.
/0
Para un estado tensional dado, el sistema de referencia anterior se conoce con el nombre de
sistema de referencia principal en el punto P . Es importante darse cuenta de que el sistema de
referencia principal está asociado a un estado tensional concreto y que, además, cambia de un
punto a otro del sólido elástico.
4.4. Elipsoide de tensiones
En un punto P del sólido elástico, bajo un estado tensional dado, el elipsoide de tensiones
es el lugar geométrico de los extremos del vector tensión !#, con origen en P , correspondiente a
todas las orientaciones !n de plano posibles en el punto.
Se trata de un elipsoide con centro en P y con semiejes iguales a las tensiones principales.
En efecto, utilizando el sistema de referencia principal en el punto P , correspondiente al estado
tensional dado, el vector tensión !# para la dirección !n es:
!# = [T ]!n=
+
,-
#1 0 0
0 #2 0
0 0 #3
.
/0
!
"#
$
%
&
$
%& =
!
"#
$#1
% #2
& #3
$
%&
28 LECCIÓN 4. TENSIONES PRINCIPALES
Z
X Y
n2n3
n1P
Figura 4.1: Sistema de referencia principal
Y las coordenadas del extremo del vector tensión !# con respecto a P serán:
x = $#1
y = % #2
z = & #3
2
34
35
en el sistema de referencia principal
y como se cumple que:
$2 + %2 + &2 = 1
se tendrá entonces:
6
x
#1
72
+
6
y
#2
72
+
6
z
#3
72
= 1
que en el sistema de referencia principal es la ecuación de un elipsoide con semiejes iguales a las
tensiones principales.
4.5. EJERCICIOS RESUELTOS 29
4.5. Ejercicios resueltos
4.5.1. Cálculo de tensiones y direcciones principales
La matriz de tensiones en un punto P de un sólido elástico, para un determinado estado
tensional, viene dada por:
[T ] =
+
,-
5 1 2
1 0 1
2 1 0
.
/0 MPa
con respecto a un sistema de referencia cartesiano ortogonal.
Determinar las tensiones principales y sus direcciones principales asociadas.
Solución:
1. Tensiones principales.
Igualando a cero el determinante:
1111111
5 # # 1 2
1 ## 1
2 1 ##
1111111
= 0
se obtiene la ecuación cúbica:
F (#) " ##3 + 5 #2 + 6 # # 1 = 0
La ecuación se puede resolver por tanteos, buscando los ceros de F (#) a partir de sus
cambios de signo. Resulta lo siguiente: #1 = 5,97 MPa , #2 = 0,149 MPa y #3 = -1,12
MPa.
2. Direcciones principales
La dirección principal asociada a #1, !n1 = ($1, %1, &1), se obtiene a partir del sistema de
ecuaciones: +
,-
5 # 5, 97 1 2
1 #5, 97 1
2 1 #5, 97
.
/0
!
"#
$1
%1
&1
$
%& = 0
Al ser las tensiones principales diferentes (no hay ráıces dobles ni triples en la ecuación de
tercer grado que hemos resuelto en el punto anterior), sólo hay dos ecuaciones independi-
entes en el sistema. Tomando las dos primeras:
#0, 97$1 + %1 + 2 &1 = 0
$1 # 5, 97 %1 + &1 = 0
y sabiendo que:
$21 + %
2
1 + &
2
1 = 1
resulta: $1 = 0,92, %1 = 0,21 y &1 = 0,34.
30 LECCIÓN 4. TENSIONES PRINCIPALES
La dirección principal asociada a #2, !n2 = ($2, %2, &2), se obtiene a partir del sistema de
ecuaciones: +
,-
5 # 0, 149 1 2
1 #0, 149 1
2 1 #0, 149
.
/0
!
"#
$2
%2
&2
$
%& = 0
Tomando las dos primeras ecuaciones:
4, 851$2 + %2 + 2 &2 = 0
$2 # 0, 149 %2 + &2 = 0
y sabiendo que:
$22 + %
2
2 + &
2
2 = 1
resulta: $2 = -0,362, %2 = 0,798 y &2 = 0,482.
La dirección principal asociada a #3, !n3 = ($3, %3, &3), se obtiene a partir de la condición
de que sea ortogonal a !n1 y a !n2:
!n3 = !n1 ! !n2 =
1111111
!i !j !k
0, 92 0, 21 0, 34
#0, 362 0, 798 0, 482
1111111
=
!
"#
#0, 170
#0, 567
0, 810
$
%&
Lección 5
Ćırculos de Mohr
5.1. Cı́rculos de Mohr en tensiones
Los ćırculos de Mohr1 en tensiones proporcionan una representación gráfica plana de los
infinitos vectores tensión !# asociados a un punto P de un sólido elástico sometido a un sistema
de acciones exteriores. Para la obtención de esta representación gráfica se parte de lo siguiente:
Se utiliza el sistema de referencia principal en el punto P .
Las tensiones principales en P se ordenan, sin pérdida de generalidad, de mayor a menor:
#1 ' #2 ' #3
En el sistema de referencia principal, cualquier vector tensión !#en el punto P se puede
obtener como:
!# =
+
,-
#1 0 0
0 #2 0
0 0 #3
.
/0
!
"#
$
%
&
$
%& =
!
"#
$#1
% #2
& #3
$
%&
donde !n = ($, %, &) es el vector normal correspondiente al plano sobre el que actúa el vector
!#. Entonces, se tiene que:
|!#|2 = #2 = #21$2 + #22%2 + #23&2
Y, por la definición de componentes intŕınsecas ( y #n de !#, se tiene:
#2 = #2n + (
2
Combinando las dos expresiones anteriores, se cumple que:
#2n + (
2 = #21$
2 + #22%
2 + #23&
2
Por otro lado, la componente normal #n del vector !# es:
#n = !# · !n = ($#1, % #2, & #3)
!
"#
$
%
&
$
%& = #1$2 + #2%2 + #3&2
1Otto Mohr (1835-1918), ingeniero estructural alemán pionero en la aplicación de métodos gráficos para la
resolución de problemas de la teoŕıa de la estructuras.
31
32 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
Y también sabemos que:
$2 + %2 + &2 = 1
Las tres ecuaciones anteriores proporcionan una relación entre las tensiones principales #1,
#2 y #3 en el punto P , las componentes del vector unitario ($, %, &) normal a un plano y las
componentes intŕınsecas del vector tensión en el punto P según ese plano, #n y ( :
#21$
2 + #22%
2 + #23&
2 = #2n + (
2
#1$
2 + #2%2 + #3&2 = #n
$2 + %2 + &2 = 1
De donde se obtiene:
&2 =
(#n # #1) (#n # #2) + (2
(#3 # #1) (#3 # #2)
%2 =
(#n # #1) (#n # #3) + (2
(#2 # #1) (#2 # #3)
$2 =
(#n # #2) (#n # #3) + (2
(#1 # #2) (#1 # #3)
Los cocientes anteriores deben ser positivos, ya que corresponden a números reales $, %, &
elevados al cuadrado. Analicemos uno por uno los tres cocientes.
1. Cociente de $2.
$2 =
(#n # #2) (#n # #3) + (2
(#1 # #2) (#1 # #3)
' 0
El denominador del cociente es un número positivo, por ser #1 ' #2 ' #3, según nuestro
convenio. En consecuencia, debe cumplirse:
(#n # #2) (#n # #3) + (2 ' 0
o lo que es lo mismo:
(#n #
#2 + #3
2
)2 # (#2 # #3
2
)2 + (2 ' 0
y la condición de que $2 sea positivo se traduce en que:
(#n #
#2 + #3
2
)2 + (2 ' (#2 # #3
2
)2
En el plano (#n, () la ecuación de la circunferencia de centro ("2+"32 , 0) y radio
"2#"3
2 es:
(#n #
#2 + #3
2
)2 + (2 = (
#2 # #3
2
)2
Luego la condición que debe cumplirse, derivada de que $2 ' 0, es que los puntos (#n, ()
que representan los vectores tensión en el punto P , han de encontrarse fuera del ćırculo de
radio "2#"32 centrado en el punto (
"2+"3
2 , 0) (primer ćırculo de Mohr, figura 5.1).5.1. CÍRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 33
σn
σ2
σ3
τ Zona�posible:�exterior�del�círculo
Figura 5.1: Primer ćırculo de Mohr C1
2. Cociente de %2.
%2 =
(#n # #1) (#n # #3) + (2
(#2 # #1) (#2 # #3)
' 0
El denominador del cociente es un número negativo, por ser #1 ' #2 ' #3, según nuestro
convenio. En consecuencia, debe cumplirse:
(#n # #1) (#n # #3) + (2 ( 0
o lo que es lo mismo:
(#n #
#1 + #3
2
)2 # (#1 # #3
2
)2 + (2 ( 0
y la condición de que %2 sea positivo se traduce en que:
(#n #
#1 + #3
2
)2 + (2 ( (#1 # #3
2
)2
En el plano (#n, () la ecuación de la circunferencia de centro ("1+"32 , 0) y radio
"1#"3
2 es:
(#n #
#1 + #3
2
)2 + (2 = (
#1 # #3
2
)2
34 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
Luego la condición que debe cumplirse, derivada de que %2 ' 0, es que los puntos (#n, ()
que representan los vectores tensión en el punto P , han de encontrarse dentro del ćırculo
de radio "1#"32 centrado en el punto (
"1+"3
2 , 0) (segundo ćırculo de Mohr, figura 5.2).
3. Cociente de &2.
&2 =
(#n # #1) (#n # #2) + (2
(#3 # #1) (#3 # #2)
' 0
El denominador del cociente es un número positivo, por ser #1 ' #2 ' #3, según nuestro
convenio. En consecuencia, debe cumplirse:
(#n # #1) (#n # #2) + (2 ' 0
o lo que es lo mismo:
(#n #
#1 + #2
2
)2 # (#1 # #2
2
)2 + (2 ' 0
y la condición de que &2 sea positivo se traduce en que:
(#n #
#1 + #2
2
)2 + (2 ' (#1 # #2
2
)2
En el plano (#n, () la ecuación de la circunferencia de centro ("1+"22 , 0) y radio
"1#"2
2 es:
(#n #
#1 + #2
2
)2 + (2 = (
#1 # #2
2
)2
σn
σ1
σ3
τ Zona�posible:�interior�del�círculo
Figura 5.2: Segundo ćırculo de Mohr C2
5.1. CÍRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 35
σn
σ1
τ Zona�posible:�exterior�del�círculo
σ2
Figura 5.3: Tercer ćırculo de Mohr C3
Luego la condición que debe cumplirse, derivada de que &2 ' 0, es que los puntos (#n, ()
que representan los vectores tensión en el punto P , han de encontrarse fuera del ćırculo de
radio "1#"22 centrado en el punto (
"1+"2
2 , 0) (tercer ćırculo de Mohr, figura 5.3).
Si combinamos en una sola representación las tres condiciones obtenidas para la posición de
los puntos (#n, () que representan los vectores tensión en el punto P , se tiene la representación
de la figura 5.4, en la que se ve que la zona de puntos de tensión posibles en la comprendida
entre los tres ćırculos de Mohr.
Cuando dos tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de estado
ciĺındrico. Nótese que en ese caso uno de los ćırculos de Mohr tiene radio nulo y los dos otros
ćırculos se superponen. En ese caso los puntos de tensión posibles están sobre una circunferencia.
Cuando las tres tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de
estado esférico o estado hidrostático. En este caso los tres ćırculos de Mohr coinciden en un
punto situado sobre el eje de #n, que es el único punto de tensión posible.
36 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
σn
σ1
σ3
τ
Zona�posible
σ2
Figura 5.4: Representación de Mohr de las componentes de tensión posibles en el punto P
5.2. Representación de tensiones en los ćırculos de Mohr
5.2.1. Componentes intŕınsecas del vector tensión
Dado un estado tensional en el punto P del sólido elástico, a cada orientación !n " ($, %, &)
definida en P con respecto al sistema de referencia principal, le corresponde un punto A "
(#n, () dentro de la representación de Mohr, dado por:
#n = #1$2 + #2%2 + #3&2
y
!( = !# # !#n =
!
"#
$#1
% #2
& #3
$
%& # #n
!
"#
$
%
&
$
%& =
!
"#
$ (#1 # #n)
% (#2 # #n)
& (#3 # #n)
$
%&
luego,
( = ±
(
$2 (#1 # #n)2 + %2 (#2 # #n)2 + &2 (#3 # #n)2
Normalmente se elige un signo positivo para ( y, de esta forma, se trabaja con el semiplano
superior del plano (#n, (). De este modo, a cada orientación !n " ($, %, &) definida en P le
corresponde un solo punto A " (#n, () de tensión en la representación de Mohr.
5.2.2. Cálculo de la orientación del vector normal
Rećıprocamente, la posición de un punto A = (#n, () en la representación de Mohr puede
utilizarse para conocer la orientación del vector normal !n= ( $, %, &) que da lugar a las com-
ponentes intŕınsecas (#n, ().
5.2. REPRESENTACIÓN DE TENSIONES EN LOS CÍRCULOS DE MOHR 37
σn
σ1
σ3
τ
σ2
A’
A
C1
C2
C3
α γ
circunferenciaconcéntrica�a�C3circunferenciaconcéntrica�a�C1
Figura 5.5: Construcción para la determinación de los parámetros $, %, &
Se emplea la construcción geométrica siguiente (figura 5.5):
1. Trazar circunferencias concéntricas con C1 y C3 que pasen por el punto A, hasta que corten
a C2.
2. Se unen estos puntos de corte con los extremos del diámetro del ćırculo C2, obteniéndose
los ángulos 8$ y 8&. Como se verá a continuación, se cumple que:
$2 = cos2 8$
&2 = cos2 8&
3. Se obtiene %2 utilizando la relación:
%2 = 1 # $2 # &2
Nótese que de esta forma se obtienen los cuadrados de los parámetros $, %, & y, por tanto,
quedan determinados los módulos de las componentes del vector normal !n, pero no su signo:
$ = ± cos 8$
% = ± cos 8%
& = ± cos 8&
38 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
Aśı, a cada punto A " (#n, () dentro de la representación de Mohr le corresponden hasta
ocho orientaciones del vector normal !n, obtenidas permutando los signos positivos y negativos:
($, %, &), ($, #%, #&), ($, #%, &), ($, %, #&), (#$, %, &), . . ..
La construcción geométrica definida más arriba se basa en lo siguiente:
En todos los puntos de una circunferencia concéntrica a C1 se tiene el mismo valor de $2.
En todos los puntos de una circunferencia concéntrica a C3 se tiene el mismo valor de &2.
En los puntos de la circunferencia C2 se tiene que % = 0.
Entonces, en el punto A$ de la figura 5.5 se tiene el mismo valor de $2 que en el punto A y,
además, % es nulo. En el punto A$ se tiene:
1 # $2
$2
=
&2
$2
por ser % nulo
Sustituyendo los valores de $ y & en el punto A$ se obtiene:
1# $2
$2
=
("!n#"1) ("!n#"2) + # !2
("3#"1) ("3#"2)
("!n#"2) ("!n#"3) + # !2
("1#"2) ("1#"3)
=
(#1 # #2) [(#$n # #1) (#$n # #2) + ( $2]
(#2 # #3) [(#$n # #2) (#$n # #3) + ( $2]
donde (#$n, ( $) son las coordenadas del punto A$. Además, como % es nulo en el punto A$, resulta
que:
(#$n # #1) (#$n # #3) + ( $2 = 0 #% ( $2 = #(#$n # #1) (#$n # #3)
y sustituyendo:
1# $2
$2
=
(#$n # #1) (#3 # #2)
(#2 # #3) (#$n # #3)
= #(#
$
n # #1)
(#$n # #3)
= #(#
$
n # #1)(#$n # #3)
(#$n # #3)2
=
( $2
(#$n # #3)2
= tan2 8$
De donde se deduce que $ = ± cos 8$.
5.3. Casos particulares
5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal
Tratamos de ver ahora en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos de
tensión correspondientes a planos que contienen al primer eje principal, es decir, planos cuyo
vector normal !n tiene su primera componente nula: $ = 0 (figura 5.6).
El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actúan sobre la cuña de material alrededor
del punto P representada en la figura 5.6 nos da las ecuaciones siguientes:
#2 s cos * = #n s cos * + ( s sin *
#3 s sin * = #n s sin * # ( s cos *
siendo * el ángulo que forma el vector normal al plano !n con el eje principal II . De las dos
ecuaciones anteriores se deduce que:
( =
#2 # #3
2
sin 2*
#n =
#2 + #3
2
+
#2 # #3
2
cos 2*
5.3. CASOS PARTICULARES 39
III
I
II PP
n
τ
σnIII
II IIθ
n
III
II
n
τ
σn
θθ
σ3
σ2
S
Figura 5.6: Planos que contienen al eje principal I
Estas últimas relaciones son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia correspondiente
al primer ćırculo de Mohr C1 (figura 5.7). Lo que indica que los puntos de tensión correspon-
dientes a planos que contienen al primer eje principal se encuentran sobre la circunferencia C1,
σn
σ2
σ3
τ
C1
2θ
(σ , τ)n Punto�que�define�el�vector�tensión�parala�normal n
Doble�del�ángulo�que�forma�la�normal con�el�eje�IIn
Figura 5.7: Planos que contienen al eje principal I. Puntos de tensión sobre la circunferencia C1
40 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
III
I
II PP
n
τ
σnIII
II Iθ
n
III
I
n
τ
σn
θθ
σ3σ1
S
Figura 5.8: Planos que contienen al eje principal II
de modo que el ángulo del radio vector asociado a cada punto de tensión con el eje de #n es el
doble del ángulo que forma el vector normal al plano !n con el eje principal II de tensiones.
5.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal
Análogamente, veamos ahora en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos
de tensión correspondientes a planos que contienen al segundo eje principal, es decir, planos
cuyo vector normal !n tiene su segunda componente nula: % = 0 (figura 5.8).
El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actúan sobre la cuña de material alrededor del
punto P representada en la figura 5.8 nos proporciona, como antes, las ecuaciones paramétricas
siguientes:
( =
#1 # #3
2
sin 2*
#n =
#1 + #3
2
+
#1 # #3
2
cos 2*
siendo * el ángulo que forma el vector normal al plano !n con el eje principal I .
Estas últimas relaciones son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia correspondiente
al segundo ćırculo de Mohr C2 (figura 5.9). Lo que indica que los puntos de tensión correspondi-
entes a planos que contienen al segundo eje principal se encuentran sobre la circunferencia C2,
de modo que el ángulo del radio vector asociado a cada punto de tensión con el eje de #n es el
doble del ángulo que forma el vector normal al plano !n con el eje principal I de tensiones.
5.4. TENSIONES MÁXIMAS 41
σn
σ1
σ3
τ
C2
2θ
(σ , τ)n Punto�que�define�el�vector�tensión�parala�normal n
Doble�del�ángulo�que�forma�la�normal con�el�eje�In
Figura 5.9: Planos que contienen al eje principal II. Puntos de tensión sobre la circunferencia C2
5.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal
Por último, veamos en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos de tensión
correspondientes a planos que contienen al tercer eje principal, es decir, planos cuyo vector
normal !n tiene su tercera componente nula: & = 0 (figura 5.10).
El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actúan sobre la cuña de material alrededor del
punto P representada en la figura 5.10 nos proporciona, como antes, las ecuaciones paramétricas
siguientes:
( =
#1 # #2
2
sin 2*
#n =
#1 + #2
2
+
#1 # #2
2
cos 2*
siendo * el ángulo que forma el vector normal al plano !n con el eje principal I .
Estas últimas relaciones son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia correspondiente
al tercer ćırculo de Mohr C3 (figura 5.11). Lo que indica que los puntos de tensión correspondi-
entes a planos que contienen al segundo eje principal se encuentran sobre la circunferencia C3,
de modo que el ángulo del radio vector asociado a cada punto de tensión con el eje de #n es el
doble del ángulo que forma el vector normal al plano !n con el eje principal I de tensiones.
5.4. Tensiones máximas
De los ćırculos de Mohr correspondientes al estado tensional en un punto P se pueden obtener
las tensiones máximas que actúan en el punto P .
Con respecto a las tensiones normales, las máximas vienen dadas por las tensiones princi-
pales, #1 o #3, que son los puntos extremos de la representación de Mohr sobre el eje #n.
42 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
III
I
II PP
n
τ
σnII
II Iθn
II
I
n
τ
σn
θθ
σ2
σ1
S
Figura 5.10: Planos que contienen al eje principal III
Con respecto a las tensiones tangenciales, la máxima viene dada por el radio del ćırculo C2:
(max =
#1 # #3
2
σn
σ1
σ2
τ
C3
2θ
(σ , τ)n Punto�que�define�el�vector�tensión�parala�normal n
Doble�del�ángulo�que�forma�la�normal con�el�eje�In
Figura 5.11: Planos que contienen al eje principal III. Puntos de tensión sobre circunferencia C3
5.5. ESTADOS TENSIONALES CILÍNDRICO Y ESFÉRICO 43
σn
σ =σ1 2
σ3
τ
C =�C1 2
Figura 5.12: Ćırculos de Mohr en estado de tensión ciĺındrico
Esta tensión se da sobre un plano que contiene al eje principal intermedio (II), a ± 45o con los
ejes principales I y III.
5.5. Estados tensionales ciĺındrico y esférico
5.5.1. Estado ciĺındrico
Si son iguales dos tensiones principales, #1 = #2 ó #2 = #3, el estado tensional se conoce con
el nombre de estado ciĺındrico.
Si #1 = #2, la circunferencia C3 se reduce a un punto y la circunferencia C1 coincide con C2.
Es decir, el área sombreada de la figura 5.4 se reduce a la circunferencia C1 " C2 (figura 5.12). En
este caso solamente está determinada la dirección principal correspondiente a la tensión principal
#3. Cualquier dirección contenida en un plano normal a la dirección principal correspondiente a
#3 es una dirección principal.
Igualmente, si #2 = #3, la circunferencia C1 se reduce a un punto y la circunferencia C2
coincide con C3. Es decir, el área sombreada de la figura 5.4 se reduce a la circunferencia
C2 " C3. En este caso solamente está determinada la dirección principal correspondiente a la
tensión principal #1. Cualquier dirección contenida en un plano normal a la dirección principal
correspondiente a #1 es una dirección principal.
Cuando dos tensiones principales son iguales, puede verse que los estados tensionales corre-
spondientes presentan simetŕıa ciĺındrica en torno a la única dirección principal que está deter-
minada. De ah́ı que un estado tensional de estas caracteŕısticas se denomine estado ciĺındrico.
Por ejemplo, en un estado ciĺındrico con #1 = #2 los vectores tensión correspondientes a
cualquier plano ' cuya normal forme un ángulo &̂ con la dirección principal correspondiente
a #3 tienen las mismas componentes intŕınsecas. En efecto, utilizando el sistema de referencia
principal:
44 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
!#=
!
"#
#x
#y
#z
$
%& =
+
,-
# 0 0
0 # 0
0 0 #3
.
/0
!
"#
$
%
&
$
%& =
!
"#
$#
% #
& #3
$
%&
cuyas componentes intŕınsecas son:
#n = !# · !n = #($2 + %2) + #3&2 = #(1# &2) + #3&2 (independiente de $ y %)
( =
(
#2($2 + %2) + #23&2 # #2n =
(
#2(1 # &2) + #23&2 # #2n (independiente de $ y %)
5.5.2. Estado esférico
Si en vez de ser iguales dos, son iguales las tres tensiones principales, el elipsoide de tensiones
es una esfera y todas las direcciones son principales. Los ćırculos de Mohr se reducen a un punto:
para cualquier plano ' el vector tensión correspondiente es normal al plano y carece, por tanto,
de componente tangencial. Además, su módulo es constante.
Este estado tensional presenta simetŕıa en torno al punto P en el que se considera el estado
tensional y, por ello, recibe el nombre de estado esférico. Por analoǵıa con el estado tensional que
existe en un cuerpo sumergido en un ĺıquido, se le denomina también a veces estado hidrostático.
Desde el punto de vista de la respuesta del material, a veces tiene interés descomponer la
matriz de tensiones en suma de la correspondiente a un estado hidrostático [T0] y otra corre-
spondiente a un estado desviador [Td]:
[T ] =
+
,-
#nx (xy (xz
(xy #ny (yz
(xz (yz #nz
.
/0 =
+
,-
p 0 0
0 p 0
0 0 p
.
/0 +
+
,-
#nx # p (xy (xz
(xy #ny # p (yz
(xz (yz #nz # p
.
/0
= [T0] + [Td]
donde 3 p = #nx +#ny +#nz . La matriz [T0] es la matriz volumétrica y la matriz [Td] es la matriz
desviadora.
5.6. Ejercicios resueltos
5.6.1. Representación de un estado tensional en el diagrama de Mohr
Las tensiones principales en un punto de un sólido son: #1 = 4 MPa, #2 = 2 MPa y #3 = #1
MPa. Determinar anaĺıtica y gráficamente el punto que corresponde en el diagrama de Mohr al
vector tensión del plano cuya normal forma ángulos de 45o y 120o con las direcciones principales
2 y 3, respectivamente.
Solución:
1. Solución anaĺıtica
5.6. EJERCICIOS RESUELTOS 45
La matriz de tensiones con respecto al sistema de referencia principal es:
[T ] =
+
,-
4 0 0
0 2 0
0 0 #1
.
/0 MPa
El vector normal al plano que se da en el enunciado es !n = ($, %, &), con:
% = cos(45o) =
1$
2
& = cos(120o) = # cos(60o) = #1
2
$ =
(
1 # %2 # &2 = ±1
2
#% $ = 1
2
(se toma la ráız positiva)
El vector tensión asociado al plano será entonces:
!# =
+
,-
4 0 0
0 2 0
0 0 #1
.
/0
!
"#
0, 50
0, 7071#0, 50
$
%& =
!
"#
2, 00
1, 4142
0, 50
$
%&
Las componentes intŕınsecas de este vector son:
#n = !# · !n = (2, 00, 1, 4142, 0, 50)
!
"#
0, 50
0, 7071
#0, 50
$
%& = 1, 75 MPa
y
( =
(
|!#|2 # #2n =
(
22 + 1, 41422 + 0, 502 # 1, 752 = 1, 785 MPa
La representación de este punto en el diagrama de Mohr se da en la figura 5.13. Nótese
que se ha tomado la ráız positiva de ( y que, por tanto, el punto se sitúa en el semiplano
superior.
2. Solución gráfica
Para representar el punto se requieren el ángulo 8$ y el ángulo 8&:
8$ = arc cos$ = arc cos (0, 50) = 60o
8& = 120o (dato)
Como el ángulo 8& = 120o es mayor que 90o, se toma el ángulo suplementario, 60o, para
obtener la representación de Mohr del punto dado.
En la figura 5.13 se da la construcción geométrica. Tras dibujar los tres ćırculos de Mohr
a partir de los valores de las tensiones principales, desde los extremos del diámetro del
ćırculo C2 se trazan rectas que forman ángulos de 8$ = 60o y 180 # 8& = 60o con el eje de
abcisas. Las rectas cortan a la circunferencia C2 en los puntos A y B.
A continuación se trazan las circunferencias concéntricas con C1 y C3 que pasan por A y
B, respectivamente. La intersección de ambas circunferencias nos da el punto buscado.
46 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
τ ( )MPa
σn
-1 (MPa)42
(1,75,�1,785)
α = 60º
C1 C3
C2
γ = 120º180−120 = 60º
A B
Figura 5.13: Representación del punto en el diagrama de Mohr
5.6.2. Obtención de tensiones principales con el diagrama de Mohr
Las tensiones principales extremas en un punto de un sólido son: 100 y 50 MPa. El vector
tensión correspondiente a un plano ', cuya normal forma un ángulo de 45o con la dirección
principal 1, tiene un módulo de # = 85 MPa y forma con la normal al plano un ángulo * = 12, 5o.
Se pide determinar gráficamente el valor de la tensión principal intermedia #2.
Solución:
La construcción geométrica se da en la figura 5.14. Los datos del problema permiten dibujar
el ćırculo C2. Trazando desde el extremo izquierdo (tensión principal menor #3) una recta a 45o
con el eje horizontal se obtiene el punto A.
Por otro lado, las componentes intŕınsecas del vector tensión !# dado son:
#n = 85 cos(12, 5o) = 82, 99 MPa
y
( =
(
|!#|2 # #2n =
(
852 # 82, 992 = 18, 4 MPa
La representación de este punto (#n, () en el diagrama de Mohr es el punto B de la figura
5.14. El centro del ćırculo C1 se encuentra en la mediatriz de AB. La intersección de la mediatriz
5.6. EJERCICIOS RESUELTOS 47
Figura 5.14: Determinación del centro del ćırculo C1
con el eje de abcisas se produce para #n = 61, 6 MPa. En consecuencia, la tensión principal #2
es:
#2 = 50 + (61, 6 # 50) ! 2 = 73, 2 MPa
48 LECCIÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
Lección 6
Concepto de deformación
6.1. Vector desplazamiento
Sea un punto P dentro de un sólido elástico. Sea !r0 " (x0, y0, z0) el vector de posición del
punto P antes de aplicar ninguna acción sobre el sólido (figura 6.1).
Al aplicar al sólido un sistema de fuerzas !fv, !fs, el punto P sufre un desplazamiento, de
forma que su nuevo vector de posición es el !r1 " (x1, y1, z1).
Se define como vector desplazamiento del punto P , !"p, la diferencia:
!"p = !r1 # !r0 =
!
"#
x1 # x0
y1 # y0
z1 # z0
$
%& =
!
"#
u
v
w
$
%&
Dentro del sólido elástico, el vector desplazamiento !"p es una función de punto. Se trata por
tanto de un campo vectorial, el campo de desplazamientos, definido dentro del sólido elástico y
asociado a cada sistema de fuerzas que actúe sobre el mismo.
Cabe señalar los puntos siguientes:
Aunque la definición del vector desplazamiento tiene mucha más generalidad, nosotros
estamos únicamente interesados en el desplazamiento de los puntos del sólido elástico en
los casos en que los v́ınculos exteriores del sólido son suficientes para impedir su movimiento
de sólido ŕıgido1.
La teoŕıa de la elasticidad lineal postula que la diferencia entre las coordenadas de P antes
de la aplicación del sistema de fuerzas, (x0, y0, z0), y después de la aplicación del mismo,
(x1, y1, z1), es muy pequeña, despreciable con respecto a las dimensiones del sólido. En
consecuencia, se definen las componentes del vector !"p como funciones de las coordenadas
(x, y, z) del punto P , sin distinguir entre el estado anterior o posterior a la aplicación
de las fuerzas. En lo sucesivo, nosotros asumiremos este postulado, que se conoce con el
nombre de hipótesis de pequeños desplazamientos y que resulta válido en la mayoŕıa de las
aplicaciones prácticas.
Supondremos que no hay desgarros en el material durante la aplicación del sistema de
fuerzas exteriores. Por lo tanto, las componentes u " u(x, y, z), v " v(x, y, z), w "
1Ver sección 1.3.
49
50 LECCIÓN 6. CONCEPTO DE DEFORMACIÓN
Z
X Y
r0
P P
r1
δp
Figura 6.1: Definición del vector desplazamiento !"p
w(x, y, z) del vector desplazamiento !"p, por el fenómeno f́ısico que representan, deben ser
funciones continuas, ya que un mismo punto del sólido no puede desplazarse a dos sitios
diferentes.
6.2. Matrices de giro y deformación
Sea Q otro punto del sólido elástico infinitamente próximo a P . Si se analiza el desplazamiento
de estos dos puntos al aplicar un sistema de fuerzas exteriores se tiene (figura 6.2):
!PQ$ = d!r0 + !"p + d!"p y también
!PQ$ = !"p + d!r1
luego:
d!r1 = d!r0 + d!"p
y además:
6.2. MATRICES DE GIRO Y DEFORMACIÓN 51
P(x,y,z) P’
Q’Q(x+dx,�y+dy,�z+dz)
dr0 dr1
δp
δ δp p+�d
Posición�inicial
Posición�deformada
Figura 6.2: Desplazamientos en el entorno del punto P
d!"p =
!
"#
du
dv
dw
$
%& =
+
,,-
!u
!x
!u
!y
!u
!z
!v
!x
!v
!y
!v
!z
!w
!x
!w
!y
!w
!z
.
//0
!
"#
dx
dy
dz
$
%& = [M ] d!r0
Entonces tenemos que:
d!r1 = d!r0 + [M ] d!r0
Es decir, la separación d!r1 entre los puntos P y Q en el estado que resulta tras aplicar el sistema
de fuerzas es igual a la separación inicial !r0 más una transformación lineal de la separación
inicial dada por la matriz [M ].
La matriz [M ] puede descomponerse en suma de una matriz simétrica y otra matriz anti-
simétrica:
[M ] =
1
2
{[M ] + [M ]t}
9 :; <
simétrica
+
1
2
{[M ] # [M ]t}
9 :; <
antisimétrica
= [D] + [H ]
La matriz simétrica [D] se conoce con el nombre de matriz de deformación y la matriz
antisimétrica [H ] se llama matriz de giro.
Entonces podemos escribir que la posición relativa de los puntos P y Q durante la aplicación
de fuerzas exteriores cambia del modo siguiente:
d!r1 = d!r0 + [D] d!r0 + [H ] d!r0
Se debe recordar que la transformación lineal de un vector dada por una matriz antisimétrica
es equivalente a un producto vectorial de un vector !+ formado a partir de las componentes de
la matriz por el vector sobre el que se aplica la transformación. Si las componentes de la matriz
52 LECCIÓN 6. CONCEPTO DE DEFORMACIÓN
son infinitesimales, la transformación puede interpretarse como un giro infinitesimal de sólido
ŕıgido alrededor del eje definido por el vector d!+ (figura 6.3).
d!+ ! d!r =
1111111
!i !j !k
d+x d+y d+z
dx dy dz
1111111
=
!
"#
d+y dz # d+z dy
d+z dx # d+x dz
d+x dy # d+y dx
$
%& =
+
,-
0 #d+z d+y
d+z 0 #d+x
#d+y d+x 0
.
/0
9 :; <
componentes de d!+
!
"#
dx
dy
dz
$
%&
Es decir, durante la aplicación de un sistema de fuerzas, dos puntos próximos P y Q del
sólido elástico se mueven uno con respecto al otro:
Girando uno con respecto al otro: giro de sólido ŕıgido dado por la matriz [H ]. Esta
transformación no produce tensiones (fuerzas internas) en el material, ya que la distancia
entre los dos puntos no cambia.
Distorsionando o estirando el material: el movimiento relativo distinto del giro, dado por
la matriz de deformación [D]. Esta transformación produce tensiones (fuerzas internas) en
el material.
La matriz [H ] representa un giro puro, esto es, sin deformación, únicamente cuando el entorno
del punto P sufre un giro pequeño o infinitesimal. Esto es, cuando las componentes de [H ] son
pequeñas, tal como