Problemas resueltos de Resistencia de Materiales I II (1)

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“ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga”
Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil
Escuela de Ingeniería Civil
PROBLEMAS RESUELTOS DE
RESISTENCIA DE MATERIALES
I - II
Autor:
Calderón Quispe, Gilmer
( gilmercq@Gmail.com,gilmercq@hotmail.com )
Estudiante de Ingeniería Civil
Presentacion
1
Índice General
1 Esfuerzo Deformación 3
2 Parámetros de origen 4
3 Método de tres Momentos 5
1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Metodo Viga conjuagda 13
5 Torsion 14
6 Deformaciones 15
7 esfuerzos por flexion 16
8 deflexion de vigas 17
9 Slope Deflection 18
10 Hardy Cross 19
11 Metodo de fuerzas 23
1 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
Capítulo
1
Esfuerzo Deformación
1.1 Definiciones
1.1.1 Solución de Problemas
Ejercicio N° 1
Durante el montaje de un nudo de 3 barras resulto que la barra media era más larga
en 5x10´4L . Calcular las tensiones en las barras después de realizar el montaje del
nudo considerando E “ 2x105Mpa.
30°
30°
C B A
  
Solución:
3
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
 



@CF
@BF
@AF
A
C
4A
C
B A
C D
n
n
A
A
A
N
A
CEF
CEF
CFF
A
(a)
A
C
B
A A
ABF
ACF
ABF
(a) (b)
(a)
(b)
De la figura 1
ÿ
Fx “ 0
´ FAB sin 30
˝
` FAd sin 30
˝
“ 0
FAB “ FAD ..................................... (I)
ÿ
Fy “ 0
FAB cos 30
˝
` FAD cos 30
˝
´ FAC “ 0
?
3FAB “ FAC ..................................... (II)
Del gráfico 2
δ “
δAB
cos 30˝
..................................... (III)
δ ` δAC “ ∆ ..................................... (IV)
Remplazando
FAB
2?
3
L
AE
`
FACL
AE
“ 5x10´4
σABp
4
3
q `
?
3σAB “ 5x10
´4
σAB “
„
5x10´4x105x2
4` 3
?
3

σAB “ σAD “ 32.622Mpa [tración]
σAC “ 56.503Mpa
[compresión]
Resistencia de Materiales I-II
pagina 4
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 2
Calcular las tensiones que se surgen en las barras durante el montaje del nudo a causa
de que la barra AD es más corta que su longitud nominal δ “ 0.001L. El material de
las barras es de acero cuyo módulo de elasticidad es 2.1x105Mpa.
Solución:
 


@CF
@BF
@AF
A
C
4A
C
B A
C D
n
A
A
A
N
A
CEF
CEF
CFF
A
(a)
A
C
B
A A
ABF
ACF
ABF
(a) (b)
(a)
(b)
(b)
De la figura a
ÿ
Fx “ 0
?
2
2
FAD “ FAB ..................................... (I)
ÿ
Fy “ 0
FAD cos 45
˝
“ 0
?
2
2
FAD “ FAC ..................................... (II)
FAC “ FAB ..................................... (III)
Resistencia de Materiales I-II
pagina 5
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura b
MN “ δAB ´ δAC
AM “
?
2δAC
MA˝ “
?
2
2
pδAB ´ δACq
AA
1
“ AM `MA˝ ` A˝A
1
Remplazando valores
?
2δAC `
?
2
2
pδAB ´ δACq ` δAD “ δ
?
2
˜
FAC
?
2
2
L
2AE
¸
`
?
2
2
«
FABL
AE
´
FAC
?
2
2
2AE
ff
`
FADL
AE
“ 0.001L
FAC
2AE
`
?
2
2
FAB
AE
´
?
2
2
ˆ
?
2
4
˙
FAC
AE
`
FAD
AE
“ 0.001
FAB
2AE
`
?
2
2
FAB
AE
´
1
4
FAB
AE
`
2
?
2
FAB
AE
“ 0.001L
ˆ
1
2
`
?
2
2
´
1
4
`
2
?
2
˙
FAB
A
“ 0.001x2.1x105
FAB
A
“ σAB “ 88.558Mpa
[tracción]
De la relación siguiente
FAB
2A
“
FAC
2A
ñ
1
2
σAB “ σAC ademas σAD “
2
?
2
σAB
σAC “ 44.279Mpa
[Compresión]
σAD “ 125.240Mpa
[tración]
Ejercicio N 3
La viga AC articulada en un muro absolutamente rígido es sostenida por un tirante
BD. Determinar la posición del punto B de unión del tirante con la viga partiendo de
la condición que el peso del tirante sea mínimo , si l “ 6m, h “ 3m P “ 40KN , la
densidad del acero es ρ “ 7.85x103Kg{m3, la tensión admisible rσs “ 160Mpa, el peso
de un metro de la viga es p “ 1KN
Resistencia de Materiales I-II
pagina 6
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura
ÿ
MA “ 0
FBD sinα pxq ´ 40 p6q ´ 1 p6q p3q “ 0
3x
?
x2 ` 9
FBD “ 240` 18
FBD “
86
?
x2 ` 9
x
pKNq (I)
Hallando el esfuerzo de FBD
σBD “
FBD
A
“ σadm “ 160Mpa “ 160000Kpa
se sabe que
ρ “
m
v
ρA
?
x2 ` 9 “ m; mg “ W ppesoq
A “
W
ρg
?
x2 ` 9
σBD “
86
?
x2`9
x
W
ρg
?
x2`9
W “
86 px2 ` 9q
ρgσadm
x
Del dato dW
dx
“ 0 g; ρ;σadm “ CTE
Derivando se tiene
86 px2 ´ 9q
ρgσadmx2
x “ ˘3m
x “ 3m
Resistencia de Materiales I-II
pagina 7
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 4
Una viga absolutamente rígida se sostiene por un tensor y un tornapuntas , ambos
de acero, cuyas secciones tienen unas áreas iguales a ABE “ 2cm2 ;ACD “ 4cm2. El
tensor es más corto que su dimensión nominal es δ “ 0.1 %. Calcular las tensiones en
el tornapuntas y en el tensor después de realizar el montaje, considerando a “ b “ c “
d “ 1m; E “ 2x105Mpa
Solución:
Resistencia de Materiales I-II
pagina 8
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura N° 1
ÿ
MA “ 0
´ FBE sin 45
˝
p1q ` FCD sinα
2
?
5
FCd “
?
2
2
FBE
Del gráfico 2 se observa
BB1 “
?
2δBE; CC˝ “ 2
?
2δBE p4ABB1 „ 4AC˝Cq
MC “ 2
?
2δBE sinα “
2
?
2
?
5
δBE ; C
1M “ δCD
C 1M `MC “ δ “ CC 1
δCD `
2
?
2
?
5
δBE “ δ
?
5FCD
4 ˚ 0.2 ˚ 105
`
2
?
2
?
5
ˆ
?
2FBE
2 ˚ 0.2 ˚ 105
˙
“
0.1
?
5
100
?
5FCD
4 ˚ 0.2 ˚ 105
`
4
2
?
5 ˚ 0.2 ˚ 105
ˆ
4FCD
?
10
˙
“
0.1
?
5
100
ˆ
?
5
4
`
16
2
?
5 ˚
?
10
˙
FCD “
0.1
?
5
100
`
0.2 ˚ 105
˘
FCD “ 26.456KN 6 FBE “ 33.464KN
Resistencia de Materiales I-II
pagina 9
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Hallando las tensiones
σCD “
26.456
4
“ 6.614KN{cm2
σBE “
33.464
2
“ 17.732KN{cm2
σCD “ 6.614KN{cm
2
[Tacción]
σBE “ 16.732KN{cm
2
[Compresión]
Ejercicio N° 5
Calcular el peso teórico (sin tener en cuenta los pesos de los elementos de unión) de
un nudo de dos barras dispuestas simetricamente, considerando que las barras están
frabricadas de un material igual, cuya tensión admisible de tracción es dos veces más
grande que su tensión admisible de compresión: rσtrs “ 2rσcomprs. Examinar dos casos:
a) en el nudo está aplicada una sola una fuerza horizontal Ph y b) en el nudo esta
aplicado solo una fuerza vertical Py. ¿Para qué valor del ángulo α el peso será mínimo
? Calcularlo considerando que la densidad ρ del material es conocida.
Solución:
Considerando la carga horizontal: Ph
Resistencia de Materiales I-II
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura 1(a)
ÿ
y “ 0
FAB sinα ´ FAC sinα “ 0
FAB “ FAC (I)
ÿ
Fx “ 0
´ FAB cosα ´ FAC cosα ` Ph “ 0
FAB “
1
2
ˆ
Ph
cosα
˙
(II)
Cuando se aplica la fuerza horizontal Ph las barras estarán en tracción
σAB “
FAB
A
; ρ “
m
v
ñ ρA
ˆ
l
cosα
˙
“ m1
ρgA
ˆ
l
cosα
˙
“ W1 ñ A “
W1 cosα
ρgl
σtr “ σAB “
1
2
`
Ph
cosα
˘
W1 cosα
ρgl
ñ W1 “
Phρgl
2σtr cos2 α
W2 “
Phρgl
2σtr cos2 α
; Wnodo “
Phρgl
σtr cos2 α
W1 “
Phρgl
2σtr cos2 α
W2 “
Phρgl
2σtr cos2 α
[Tracción]
Wnodo “
Phρgl
σtr cos2 α
[Para α “ 0˝]
Considerando la carga vertical: Py
De la figura 1(b) se tiene
ÿ
Fx “ 0
´ FAB cosα ` FAC cosα (I)
ÿ
Fy “ 0
FAB sinα ` FAC sinα ´ Py “ 0
2FAB “
Py
sinα
ñ FAB “
Py
2 sinα
(II)
Resistencia de Materiales I-II
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Del gráfico se observa claramente que AB esta en tracción y AC esta en Compresión por
tanto sus esfuerzos serán σtr ^ σcomp respectivamente
σAB “ σtr “
FAB
A1
; W1 “
ρAlg
cosα
; A “
W1 cosα
ρgl
σtr “
pPy{2 sinαq
pW1 cosαq { pρglq
ñ W1 “
Pyρgl
σtr sin 2α
σAC “ σcomp “
1
2
σtr “
Py{ p2 sinαq
pW2 cosαq { pρglq
1
2
σtr “
Pyρgl
W2 sin 2α
ñ W2 “
2Pyρgl
σtr sin 2α
Wtotal “ W1 `W2 “
3Pyρgl
σtr sin 2α
Hallando el mínimo dW
dα
“ 0
3Pyρgl
σtr
ˆ
´2 cos 2α
sin2 2α
˙
“ 0 ùñ 2α “ 90˝ ùñ α “ 45˝
6
W1 “
Pyρgl
σtr sin 2α
W2 “
2Pyρgl
σtr sin 2α
Wtotal “ W1 `W2 “
3Pyρgl
σtr sin 2α
[Para α “ 45˝ min]
Ejercicio N° 6
En la columna escalonada de la figura construir los diagramas de las fuerzas longitudi-
nales , de las tensiones y de los desplazamientos longitudinales.
Resistencia de Materiales I-II
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
Hallando R en la figura 1
ÿ
Fy “ 0
´R ` 120` 60´ 20 “ 0 ùñ R “ 160KN
Hallando esfuerzos
í σ1 ˚ 15´ 160 “ 0ñ σ1 “ 32KN{cm
2 [Tracción]
í σ2 ˚ 10` 120´ 160 “ 0 ñ σ2 “ 4KN{cm
2 [Tracción]
í σ3 ˚ 5` 120` 60´ 160 “ 0 ñ σ3 “ ´4KN{cm
2 [Compresión]
Hallando los desplazamientos
para 0 ă x ă 20
δ “
32x
E
ñ
"
δpx“0q “ 0
δpx“20q “
640
E
Para 20 ă x ă 60
δ “
32 ˚ 20
E
`
4 px´ 20q
E
ñ
"
δpx“20q “
640
E
δpx“60q “
800
E
Para 60 ă x ă 140
δ “
32 ˚ 20
E
`
4 ˚ 40
e
´
4 px´ 60q
E
“ 1040´ 4x
ñ
"
δpx“60q “
800
E
δpx“140q “
480
E
Resistencia de Materiales I-II
pagina 13
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 7
En la estructura mostrada calcular:
1. Las fuerzas normales de las barras
2. Los esfuezos normales de las barras
3. las deformaciones de las barras
4. El giro que experimenta la barra rígida E “ 2x107Kg{cm2
5. El desplazamiento de los puntos A y C
--
+
+
+
3T
IF IIF
(a) (b)
A
C
A
C
A
C
o
barra rigida
1T/m
3T
1T/m
Solución:
--
+
+
+
3T
IF IIF
(a) (b)
A
C
A
C
A
C
o
barra rigida
1T/m
3T
1T/m
Resistencia de Materiales I-II
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Del equilibrio de la figura 1(a)
ÿ
Mo “ 0
1000 ˚ 7 ˚ 3.5` 3000 ˚ 3.5´ 7FI ´ 1000 ˚ 5 ˚ 2.5´ pFII sin 45
˝
q 5 “ 0
7FI `
5
?
2
2
FII “ 22500 (1)
CC 1 “ δII
?
2 (2)
Por semejanza
a
AA1O „
a
CC 1O
δI
7
“
?
2δII
5
ñ
1
7
„
700FI
1 ˚ 2 ˚ 107

“
800
?
2FII
1 ˚ 2 ˚ 107
ñ FI “
16FII
5
(3)
Remplazando (3) en (1)
7
ˆ
16FII
5
˙
`
5
?
2FII
2
“ 22500
FII “ 867.536Kg FI “ 2776.115Kg
Hallando Esfuerzos para: A1 “ A2 “ 1cm2
σI “ 2776.115Kg{cm
2
[Compresión]
σII “ 867.536Kg{cm
2
[Tracción]
Hallando Desplazamientos
AA1 “ δI “ 0.0972cm
[Se comprime]
AA1 “
?
2δII “ 0.0694cm
[Se Alarga]
Hallando giro: tan θ “ δI
7
θ “ 0.795˝
[Antihorario (ö)]
Hallando las deformaciones
δ “
σl
E
ñ
$
’
’
&
’
’
%
δI “
2776.115˚700
2˚107
“
0.0972cm
rAcorta.s
δII “
867.536˚800
?
2
2˚107
“
0.0491cm
rAlarg.s
Resistencia de Materiales I-II
pagina 15
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 8
Una escalera de acero está sujeta a una pared al nivel de los escalones primero y undé-
cimo (fig a). Considerando que la pared es absolutamente rígida, calcular las reacciones
en los apoyos de la escalera para el caso cuando sobre ella se encuentran tres perso-
nas de peso 1KN cada una dispuestas en los escalones quinto, noveno y décimocuarto
contando desde abajo.
Solución:
Por ser absolutamente rigído se cumple
δ1 ` δ2 ` δ3 “ 0 (I)
ÿ
Fy “ 0
RA `RB “ 3P (II)
Entre paso y paso la dist. es l
4
σ3 pAq `Rb “ 0 ñ σ3 ´
Rb
A
; δ3 “ ´
4Rbl
10AE
σ2 pAq `Rb ´ P “ 0 ñ σ3 ´
P ´Rb
A
; δ2 “
4 pP ´Rbq l
10AE
σ1 pAq `Rb ´ 2P “ 0 ñ σ1 ´
2P ´Rb
A
; δ2 “
2 p2P ´Rbq l
10AE
Resistencia de Materiales I-II
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Remplazando valores
´
4 pP ´Rbq l
10AE
`
4 pP ´Rbq l
10AE
`
2 p2P ´Rbq l
10AE
“ 0
´ 2Rb ` 2 pP ´Rbq ` 2P ´Rb “ 0
Rb “ 0.8KN Ra “ 2.2KN
Ejercicio N° 9
Calcular ∆A y ∆aen la figura mostrada donde E “ 2˚1011N{m2; µ “ 0.3, P “ 30000N
y a “ 10cm
Solución:
Recordando fórmulas :
ε “
σ
E
; ε1 “ µε “ ´µ
σ
E
;
∆A
A
“ ´2µ
σ
E
(ε : Deformación unitaria longitudinal)
(ε1 : Deformación unitaria transversal)
Hallando los valores pedidos
σ “ ´
30000
0.22 ´ 0.12
“ ´1 ˚ 106N{m2
ε1 “ ´0.3
´1 ˚ 106
2 ˚ 1011
“ 1.5 ˚ 10´6
ñ ∆a “ 2aε “ 2 ˚ 100 ˚ 1.5 ˚ 10´6 “ 0.0003mm
Resistencia de Materiales I-II
pagina 17
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Hallando la variación de área
∆A “
´2 ˚ 0.3 p´1 ˚ 106q
2 ˚ 1011
`
2002 ´ 1002
˘
“ 0.09m2
Ejercicio N° 10
Una barra escalonada empotrada en sus extremos rígidamente esta cargada con una
fuerza P “ 200KN en la sección m y con una fuerza 4P en la sección n ´ n a lo
largo de eje de la barra hay un orificio pasante de diámetro d˝ “ 2cm; los diámetros
exteriores de los escalones son: D1 “ 6cm, D2 “ 4cm D3 “ 8cm. El material es de
acero, E “ 2.1 ˚ 105Mpa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B , construir los
diagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales σ y de los desplazamientos
longitudinales de las secciones transversales de la barra
Solución:
De la figura (a)
ÿ
Fy “ 0
RA `RB ´ 5P “ 0 ñ RA `RB “ 5P (I)
δ1 ` δ3 ` δ3 ` δ4 “ 0 (II)
4 ˚ 20RA
π p62 ´ 22qE
`
4 ˚ 10 pRA ´ P q
π p42 ´ 22qE
`
4 ˚ 20 pRA ´ P q
π p82 ´ 22qE
`
4 ˚ 20 pRA ´ 5P q
π p82 ´ 22qE
Remplazando para P “ 200KN y luego en (I)
RA “ 266.667KN RB “ 733.333KN
Resistencia de Materiales I-II
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Hallando Esfuerzos
σ1 “
4 ˚ 266.667
π p62 ´ 22q
ñ
σ1 “ 10.610KN{cm
2
[Tracción]
σ2 “
4 p266.667´ 200q
π p42 ´ 22q
ñ
σ2 “ 7.074KN{cm
2
[Tracción]
σ2 “
4 p266.667´ 200q
π p82 ´ 22q
ñ
σ2 “ 1.415KN{cm
2
[Tracción]
σ4 “
4 p266.667´ 1000q
π p82 ´ 22q
ñ
σ2 “ ´15.562KN{cm
2
[Compresión]
Hallando las deformaciones
E “ 2.1 ˚ 105Mpa « 0.21 ˚ 105KN{cm2 [Acumulado]
δ1 “
4 ˚ 266.667 ˚ 20
π p62 ´ 22q 0.21 ˚ 105
“ 0.010cm
δ “ 0.0106cm
δ2 “
4 p266.667´ 200q 10
π p42 ´ 22q 0.21 ˚ 105
“ 0.00337cm
δ “ 0.0141cm
δ3 “
4 p266.667´ 200q 20
π p82 ´ 22q 0.21 ˚ 105
“ 0.00135cm
δ “ 0.0156cm
δ4 “
4 p266.667´ 1000q 20
π p82 ´ 22q 0.21 ˚ 105
“ 0.00148cm
δ “ 0cm
Resistencia de Materiales I-II
pagina 19
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 11
Calcular el desplazamiento vertical del nudo A bajo la acción de una fuerza P “ 200KN ,
si el diagrama de tracción del material de las barras tiene la forma de la función lineal
a trozos representada en el gráfico . Considerar que σ˝ “ 120Mpa, E “ 7 ˚ 105Mpa,
A “ 10cm2 y l “ 3m.
Solución:
ACF
ABF
(a) (b)
De la figura 1
ÿ
Fx “ 0
´ FAB sin 60
˝
` FAC sin 60
˝
“ 0
FAB “ FAC (I)
ÿ
Fy “ 0
FAB cos 60
˝
` FAC cos 60
˝
´ 200 “ 0
FAB “ 200KN
σ “ σAB “ σAC “
200 ˚ 1000
10 ˚ 10´4
“ 200Mpa
Resistencia de Materiales I-II
pagina 20
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Del gráfico 2 hallar ε
ε “
σ˝
E1
`
σ ´ σ˝
E2
ε “
120
7 ˚ 105
`
200´ 120
0.5 ˚ 7 ˚ 105
“ 4 ˚ 10´4
Hallando las deformaciones de las barras
δAC “ δAB “ δ
δ “ 4 ˚ 10´4 ˚ 300
δ “ 0.12cm
∆A “
δAC
cos 60˝
∆A “ 0.24cm
Ejercicio N° 12
¿A qué ángulo α hace falta aplicar en el nudo la fuerza P para que el desplazamiento
de éste se efectúe por la vertical? Las longitudes de las barras son iguales, están hechas
de un mismo material. El área de la sección de la barra AD es dos veces mayor que el
area de la sección de las barras AB y AC.
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Solución:
De la figura (a)
ÿ
y “ 0
FAB ` FAC cos 30
˝
` FAD cos 60
˝
´ p cosα “ 0 (I)
ÿ
Fx “ 0
FAC sin 30
˝
` FAD sin 60
circ´ p sinα “ 0 (II)
De la figura (b)
δAB “
δAD
cos 60˝
“
δAC
sin 60˝
FABl
AE
“
FADl
2AE
p2q “
FAC l
AE
ˆ
2
?
3
˙
FAB “ FAD (III)
?
3
2
FAB “ FAC (IV)
Remplazando (III) (IV) en (I) y (II)
FAB `
?
3
2
FAB
ˆ
?
3
2
˙
`
1
2
FAB “ p cosα
9
4
FAB “ p cosα (V)
?
3
2
FAB
ˆ
1
2
˙
`
?
3
2
FAB “ p sinα
3
?
3
4
FAB “ p sinα (VI)
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Dividiendo (VI) entre (V) se tiene
?
3
3
“ tanα
ñ
tan´1
´?
3
3
¯
“ 30˝ “ α
Ejercicio N° 13
En la estructura de la figura, el tirante A es de aluminio, la columna C es de acero y la
barra horizontal B es rígida, si el esfuerzo admisible en la columna: σadm “ 1100kg{cm2
calcule el máximo valor de la carga ”P” Eac “ 2.2x106kg{cm2 EAl “ 0.7x106kg{cm2.
Solución:
De la figura 1(a)
ÿ
My “ 0
30Fal ` 10Fac ´ 30P “ 0
3Fal ` Fac “ 3P (I)
δal
30
“
∆` δac
10
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δal “ 3∆` 3δac
Fal ˚ 60
8 ˚ 0.7 ˚ 106
“ 3
ˆ
Fac ˚ 30
25 ˚ 2.2 ˚ 106
˙
` 0.006
15
2
ˆ
1
0.7
˙
Fal “
90Fac
25 ˚ 2.2
` 6000 (II)
De (I) y(II) : Asumiendo σadm para acero
σ “ 1100 “
Fac
25
ñ Fac “ 27500kg
Remplazando en (II)
Fal “ 4760kg ñ σal “ 595kg{cm
2 [Dentro de rango Adm]
6 P “ Fal `
Fac
3
ñ 13926.667kg
De (I) y(II) : Asumiendo σadm para aluminio
1100 “
Fal
8
ñ Fal “ 8800kg
Remplazando en (II)
Fac “ 53952.381kg ñ σac “ 2158.095kg{cm
2 [Fuerade rango Adm]
6 P “ 13926.6667kg
Ejercicio N° 14
Una barra absolutamente rígida se sostiene por tres tirantes paralelos con áreas de
secciones iguales a A “ 10cm2. Calcular los esfuerzos en los tirantes y hallar el valor
admisible de la carga a partir de la tensión admisible rσs “ 160Mpa.
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Solución:
De la figura (a)
ÿ
Fy “ 0
F1 ` F2 ` F3 “ 0 (I)
ÿ
MC “ 0
´ F1 p3aq ´ F2 paq ` P p2aq “ 0
2P “ F2 ` 3F1 (II)
De la figura (b)
M mA1C 1 „M nC 1B1
δ1 ´ δ3
3a
“
δ2 ´ δ3
a
ñ 2δ3 “ 3δ3 ´ δ1
p2F3q l
2AE
“
3F2 p2lq
AE
´
F1l
AE
F1 ´ 6F2 ` F3 “ 0 (III)
Resolviendo los 3 sistemas se tiene; ademas para σ “ 16KN{cm2
F1 “
13P
21
“ 0.619P ñ P ď 258.462
F2 “
P
7
“ 0.143P ñ P ď 1120
F3 “
5P
21
“ 0.238P ñ P ď 1344
6 P “ 258.462KN
Ejercicio N° 15
Una placa absolutamente rígida de sección rectangular esta apoyada con sus ángulos
sobre columnas de longitudes y secciones iguales. Sobre la placa gravita una fuerza
concentrada P “ 100KN aplicada en el punto k que divide la diagonal AC en razon
1 : 2. Calcular la sección de las barras a partir de la tensión admisible rσ “ 50Mpas y
determinar el asiento máximo del ángulo de la placa. Viene dado: a “ 4.5m, b “ 3m
l “ 1m, E “ 2x105Mpa
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Solución:
De la figura (a)
ÿ
Fy “ 0
Fa ` 2Fb ` Fc “ 0 (I)
ÿ
Mk “ 0
´ Fa
ˆ
3m
2
˙
` P
´m
2
¯
` Fc
ˆ
3m
2
˙
´ Fa ` Fc “
P
3
(II)
De la figura (b)
δa ` δc
2
“ δb ñ δa ` δc “ 2δb
Fal
AE
`
Fcl
AE
“ 2
Fbl
AE
Fa ` Fc “ Fb (III)
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Resolviendo (I), (II) y (III)
Fa “
P
12
para P “ 100KN í Fa “ 8.333KN
Fb “ Fd “
P
4
para P “ 100KN í F “ 25KN
Fc “
5P
12
para P “ 100KN í Fc “ 41.667KN
El esfuerzo máximo se dará en Fc
σ “ 50Mpa “ 5KN{cm2
Fc
A
“ 5 6 A “ 8.333cm2
El asiento máximo se ara debido a la fuerza Fc
δmax “
41.667 ˚ 100
8.333 ˚ 0.2 ˚ 105
˚ 10 “ 25mm
Ejercicio N° 16
Una barra absolutamente rígida AD esta articulada en el punto D de una pared también
absolutamente rígida y sometida por tres tornapuntas 1, 2 y 3: Calcular los esfuerzos
en los tornapuntas y la magnitud del parámetro d la carga P a partir de la tensión
admisible rσs “ 160Mpa , si las secciones de todos los tornapuntas tienen igual área
A “ 2cm2
Solución:
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De la figura 1
ÿ
MD “ 0
pF1 sin 30
˝
q
´
2
?
3a
¯
´ 2P p3aq ´ P p2aq ` pF2 sin 45
˝
q p2aq ` pF3 sin 45
˝
q paq “ 0
?
3F1 ´ 6P ´ 2P `
?
2F2 `
?
2
2
F3 “ 0
?
3F1 `
?
2F2 `
?
2
2
F3 “ 8P (I)
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De las relaciones geométricas
M AA1D „M BB1D
2δ1
2
?
3a
“
?
2δ2
2a
ñ 2δ1 “
?
6δ2
2
„
F1 p4aq
AE

“
?
6
«
F2
`
2
?
2a
˘
AE
ff
2F1 “
?
3F2 (II)
Además se tiene
?
2δ2 “ 2
?
2δ3
F2
`
2
?
2a
˘
AE
“ 2
«
F3
`?
2a
˘
AE
ff
F2 “ F3 (III)
De las ecuaciones (I), (II) y (III)
F1 “ 1.914P F2 “ F3 “ 2.209P
Hallando P
σ “ 160Mpa “ 16KN{cm2 ñ
2.209P
2
“ 16
P “ 14.486KN
Ejercicio N° 17
Una barra absolutamente rígida, representada en la figura, esta articulada en un cuerpo
absolutamente rígido mediante barras de acero. Calcular los esfuerzos en las barras, así
como el área de la sección A de estas, si la tension admisible de tracción es rσstr “
160Mpa y la de compresión rσscomp “ 50Mpa. La magnitud del parámetro de la carga
es P “ 100KN
Solución:
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De la figura (a)
ÿ
MA “ 0
FBE sin 45
˝
paq ` FCG sin 30
˝
p2aq ´ 100 p3aq “ 0 (I)
?
2
2
FBE ` FCG “ 300
De la figura (b)
2BB1 “ CC 1 (II)
BB1 “
?
2δBE “
?
2
FBE
`?
2a
˘
AE
BB1 “ 2
ˆ
FBE
AE
˙
a
CC 1 “ 2δCG “ 2
ˆ
FCG
AE
˙ˆ
4a
?
3
˙
CC 1 “
8
?
3
ˆ
FCG
AE
˙
a
Remplando en (II)
2
„
2FBEa
AE

“
8
?
3
ˆ
FCGa
AE
˙
?
3FBE “ 2FCG (III)
De (I) y (III)
FBE “ 190.702KN FCG “ 165.153KN
Solo hay esfuerzo de tracción
rσs “ 160Mpa “ 16KN{cm2
6
190.702
A
“ 16 ñ A “ 11.919cm2
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	Esfuerzo Deformación
	Parámetros de origen
	Método de tres Momentos
	Definición
	Metodo Viga conjuagda
	Torsion
	Deformaciones
	esfuerzos por flexion
	deflexion de vigas
	Slope Deflection
	Hardy Cross
	Metodo de fuerzas
	Fundamento teorico