Matematicas Financieras y evaluacion de proyectos Serrano 2ed

Vista previa del material en texto

Matemáticas financieras 
y evaluación de proyectos
Matemáticas financieras 
y evaluación de proyectos
Segunda edición
J AV I E R S E R R A N O R O D R Í G U E Z
Matemáticas financieras y evaluación de proyectos
2ª edición 
ISBN: 978 958 682 792 8
© 2011 
© Javier Serrano Rodríguez
© Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.
© Universidad de los Andes. 
Facultad de Administración,
Comité de Investigaciones y Publicaciones, 2011
Calle 21 No. 1-20, P.7, Ed. SD
Ediciones Uniandes
Carrera 1 No. 19-27, Aulas 6, A.A. 4976, 
Teléfonos 3394949 ext. 2133 
fax extensión 2158
Bogotá, Colombia
infeduni@uniandes.edu.co
http://ediciones.uniandes.edu.co/
Todos los derechos son reservados. Esta publicación no 
puede ser reproducida total ni parcialmente. No puede ser 
registrada por un sistema de recuperación de información, 
en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, 
fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, 
fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo y por 
escrito de la editorial.
Diseño de carátula
Ana Paula Santander
Armada electrónica
Alfaomega Colombiana S.A. 
Printed and made in Mexico
Empresas del Grupo
Colombia: Alfaomega Colombiana S.A. 
Carrera 15 Nº 64a - 29, Bogotá 
PBX (57-1) 210 0122 
fax (57-1)606 8648 
cliente@alfaomega.com.co
México: Alfaomega Grupo Editor S.A. de C.V. 
Pitágoras 1139, Col. del Valle de México D.F. 
Fax. (52-55) 5575 2420 - 5575 2420 
Sin costo 01-800-020-4396 
Argentina: Alfaomega Grupo Editor Argentino S.A. 
(AGEA) Paraguay 1307 P.B. of. 11, Buenos Aires, 
Tel./Fax.: (54-11) 4811 7183 / 8352 /0887 
ventas@alfaomegaeditor.com.ar
Chile: Alfaomega Grupo Editor S.A. 
Dr. a Sierra 1437, Providencia, Santiago, 
 
agechile@alfaomega.cl
 
www.alfaomega.com.mx
catalogación 
u niversidad de los andes
Serrano Rodríguez, Javier
Matemáticas financieras y evaluación de proyectos / Javier Serrano Rodríguez. ª ed. -- Bogotá : 
Alfaomega : Universidad de los Andes, Facultad de Administración, Ediciones Uniandes, 
p.  ;  x  cm.
isbn:----
. Matemáticas financieras . Evaluación de proyectos . Administración financiera . Empresas 
- Finanzas I. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Administración II. Tít. 
 cdd . sbua
 
22 
atencionalcliente@alfaomega.com.mx
Ll

Hecho en México
Contenido
Introducción 17
Capítulo 1. Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento 19
La evaluación de proyectos como parte del ciclo del proyecto 22
Términos básicos 23
Diagramas de flujo 26
Ejemplos de diagramas de flujo 29
Ejercicios para resolver 31
Capítulo 2. La tasa de interés de oportunidad y las relaciones de equivalencia 33
Concepto de equivalencia 33
Relaciones de equivalencia más importantes 37
Resumen de las relaciones de equivalencia 61
Observaciones respecto a la utilización de las relaciones de equivalencia 61
Ejercicios resueltos 62
Ejercicios para resolver 65
Capítulo 3. Interés nominal y efectivo 69
Presentación 69
Interés efectivo: pagos vencidos 70
Interés efectivo: pagos anticipados 73
Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR) 78
Tasas de interés reales y nominales. Crecimientos reales y nominales 80
Interés continuo 81
Resumen 83
Ejercicios resueltos 84
Ejercicios para resolver 87
Capítulo 4. Indicadores para medir la bondad 
económica de un proyecto de inversión 91
Valor presente neto 91
Tasa interna de retorno 96
Relación beneficio-costo 106
Costo anual equivalente (CAE) 107
Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes 108
Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil 113
Rentabilidad de los recursos propios 114
Resumen 116
Ejercicios resueltos 117
Ejercicios de recapitulación o autoevaluación 125
Ejercicios para resolver 129
Capítulo 5. Matemáticas financieras: resumen 
a través de problemas avanzados 135
Tasas de interés: nominales y efectivas 135
Relaciones básicas y tasas efectivas 138
Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión 141
Amortización y reestructuración de créditos 146
Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico 150
Gradientes, con crecimiento constante, a perpetuidad 
o con una duración finita 153
Solución analítica versus solución exhaustiva 162
Capítulo 6. Información financiera. Estructura operacional 
y apalancamiento operacional 167
Información financiera 167
Balance general y estado de pérdidas y ganancias 168
El flujo de caja de una empresa o de un proyecto 172
EBITDA y flujo de caja libre para la firma 173
Función de producción y los costos involucrados 
en un proyecto de inversión 175
Punto de equilibrio y apalancamiento operacional. 
Riesgo operacional 177
Capítulo 7. Rentabilidad del proyecto en sí y rentabilidad 
del capital propio aportado al proyecto 183
Tratamiento de la depreciación 184
Tratamiento de otras cuentas 187
Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de 
fondos para el proyecto 189
Utilización de la depreciación acelerada 192
Ahorro en impuestos 193
Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto. Flujo 
de caja para el capital propio aportado al proyecto 
o flujo de caja libre para el inversionista 193
Rentabilidad de los recursos propios aportados 
al proyecto y uso de la depreciación acelerada 197
Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí 
y de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto 198
Otros costos en la evaluación de proyectos 206
Ejercicio de recapitulación 209
Proyecciones financieras 212
Ejercicios para resolver 214
Respuestas a los problemas 219
Capítulo 8. Flujo de caja libre para el proyecto 
y para el inversionista: casos 227
Caso 1 227
Caso 2 238
Caso 3 251
Capítulo 9. Financiamiento de vivienda 257
Metodología general para la determinación de las cuotas 
a pagar (amortización más intereses) 258
Relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales 
involucrados en el financiamiento de vivienda: un resumen 259
Línea en pesos, amortización constante durante 
la vigencia del préstamo. Intereses sobre saldos 260
Línea en pesos, cuota mensual uniforme o constante durante 
toda la vigencia del préstamo (“Payment”) 261
Línea en UVR, con una cuota de amortización constante en UVR 262
Línea en UVR, con cuota de amortización en UVR, 
decreciente por un factor g 263
Ejemplo, Crédito Hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR 265
Cuota uniforme con crecimiento constante de un año al siguiente 270
Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro 
para el fomento de la construcción 273
Ejercicios 276
Capítulo 10. Rentabilidad de títulos y riesgo de tasa de interés 283
Valor de un título a descuento 283
Valor de mercado de un bono a tasa fija 284
Principales relaciones en bonos 286
Riesgo de tasa de interés. Duration y convexidad 287
Valoración de inversiones a precios de mercado 294
Tasas implícitas 294
Aproximación utilizando duration y convexidad 296
Ejercicios resueltos 298
Valoración a precios de mercado 305
Ejercicios para resolver 309
Capítulo 11. Costo promedio ponderado de capital 
y valor económico agregado (VEA) 313
Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital 314
Cálculo del costo promedio ponderado 
de capital para una empresa 320
Ejemplos sobre cálculo del costo de capital 325
Valor del apalancamiento financiero 330
Valor económico agregado (VEA) 332
Valor económico agregado: dos aproximaciones 
a través de un ejemplo 335
Ejercicios para resolver 340
Respuestas a los problemas 343
Capítulo 12. Tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos 349
Tratamiento de un proyecto en términos 
de valor esperado y varianza 352
Utilización del valor esperado y de la varianza para 
la toma de decisiones de inversión 358
Simulación de Montecarlo 361
Frontera eficiente en media y varianza 372
Análisis del riesgoa través del análisis de escenarios 381
Ejemplos 382
Ejercicios 392
Capítulo 13. Riesgo operacional y financiero: 
ajustes a la tasa de descuento 399
Modelo CAPM: planteamiento general 400
Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos 404
Utilización del modelo CAPM para estimar el costo 
de la aportación patrimonial. Estimación del WACC (CPPC) 409
Estimación del costo promedio ponderado de capital 
en Colombia: una aproximación a través de un minicaso 414
Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia 418
Ejercicios 423
 
Bibliografía 431
 
Javier Serrano Rodríguez 
Profesor titular de la Facultad de Administración de la Universidad de 
los Andes. Es ingeniero Cum Laude de la Universidad Industrial de 
Santander, con posgrados en Ingeniería Industrial y Ciencia Política 
de la Universidad de los Andes. Tiene una maestría en Operations 
Research de la Universidad de Pittsburg, Pa, donde también adelantó 
estudios de doctorado en Ingeniería Industrial. 
Su experiencia académica pasa los treinta años como profesor de 
la Universidad de los Andes, donde ha sido decano de la Facultad 
de Administración, director del MBA, fundador y director de la 
especialización en Finanzas, director del programa Alta Gerencia y del 
magíster en Ingeniería Industrial; en la actualidad es el director de la 
Escuela de Posgrados de la Facultad.
El profesor Serrano dicta clases en el área de Finanzas, en particular, 
los cursos de Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión, 
Finanzas Corporativas y Mercado de Capitales; tanto en programas 
de posgrado (MBA y especializaciones) como de pregrado. Su 
experiencia académica se complementa con su experiencia profesional 
en la consultoría y en cargos directivos en el mundo empresarial 
latinoamericano.
Agradecimientos
Un agradecimiento a todos mis estudiantes de la Facultad de 
Administración de la Universidad de los Andes, en sus diferentes 
programas de Maestría, de Pregrado y de Alta Gerencia, que 
durante varias promociones contribuyeron con sus observaciones 
y preguntas al desarrollo de este libro. Un agradecimiento 
especial a la doctora María Lorena Gutiérrez Botero, Decana de 
la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes por 
su apoyo permanente, consejo, observaciones y sugerencias. La 
Dra. Gutiérrez ha corregido las diferentes ediciones del libro; en 
ese proceso ha hecho observaciones, correcciones y adiciones de 
gran importancia y valor que aumentaron significativamente la 
riqueza de la versión original. Para esta edición conté con el apoyo 
de Paola García H., quien ayudó en la edición del documento, 
revisó la versión original e hizo observaciones significativas al 
desarrollo de esta nueva edición; para ella mis agradecimientos. 
Así mismo quiero agradecer y dedicar el libro a mi esposa, Clara 
Elvira Varela Cortés, por su apoyo permanente a mi trabajo como 
profesor en la Universidad de los Andes y consultor de empresas 
en Jaser Consultores Asociados Ltda. También quiero agradecer a 
los dos decanos anteriores de la Facultad de Administración de la 
Universidad de los Andes, Raúl Sanabria T. (q.e.p.d.) y Jorge Hernán 
Cárdenas S., quienes con su apoyo y confianza contribuyeron a la 
primera edición de esta obra. Finalmente, un agradecimiento especial 
a todos los profesores que han utilizado el libro, quienes han hecho 
observaciones importantes que han contribuido a su enriquecimiento.
 
 [17]
�
 Introducción 
 
 
 
Este libro de matemáticas financieras y evaluación de proyectos es el resultado del tra-
bajo docente del profesor Javier Serrano Rodríguez en sus cursos de pregrado y 
posgrado en la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes, durante los 
últimos 30 años, especialmente en el curso de Gerencia Financiera del MBA y en el 
curso de Análisis de Decisiones de Inversión y Financiamiento en el Magíster en Admi-
nistración Ejecutivo (EMBA), del cual ha sido su profesor en las nueve promociones del 
programa. 
 
En el libro se exponen conceptos básicos de matemáticas financieras y evaluación de 
proyectos, que se ilustran con múltiples ejemplos basados en aplicaciones de la vida 
real. Su enfoque es integral, ya que a partir de la presentación de los elementos bási-
cos de las matemáticas financieras desarrolla los indicadores para medir la bondad 
económica de un proyecto de inversión, a la vez que profundiza en la construcción del 
flujo de caja para hacer la evaluación de un proyecto de inversión o la valoración de 
una empresa, lo cual se complementa con el análisis de temas más avanzados como el 
costo promedio ponderado de capital, EVA y riesgo. En esta nueva edición se han 
complementado y actualizado varios capítulos incluidos en la primera edición, enfati-
zando el uso de Excel en la parte computacional; se incluye la estimación de la frontera 
eficiente en media varianza y la utilización del CAPM para estimar el costo de la apor-
tación patrimonial en el cálculo del costo promedio ponderado de capital. Se ha 
ampliado la base de ejercicios, incluyendo un nuevo capítulo con problemas de dife-
rente naturaleza y dificultad, que resumen la tipología de problemas que va a 
encontrar cualquier profesional en el área financiera, especialmente en lo que se llama 
tradicionalmente como matemáticas financieras; y otro capítulo de casos, para analizar 
problemas más complejos e ilustrar el efecto de diferentes decisiones, incluyendo al-
gunas de modelaje financiero. 
 
El libro está diseñado para un curso completo de evaluación de proyectos para estu-
diantes con elementos básicos de finanzas y algún entrenamiento matemático. Parte 
de lo sencillo y avanza hacia lo complejo, en forma tal que el estudiante va evaluando 
su avance en el tema, y se complementa con ejercicios para resolver al final de la ma-
yoría de capítulos. El estudiante debe aprovechar esos ejercicios como una alternativa 
de autoevaluación, y el profesor la solución a los mismos para dar retroalimentación a 
sus estudiantes sobre su progreso en el conocimiento de los temas. 
 
 
 
 
 
 
 [19]
�
 
Los proyectos se pueden clasificar en dos categorías básicas: proyectos de inversión y 
proyectos de financiamiento. En un proyecto de inversión se realizan desembolsos ne-
tos al comienzo del proyecto para obtener unos ingresos netos después del período de 
construcción y arranque durante el resto de la vida útil del proyecto, en forma tal que 
el inversionista recupere el monto de la inversión realizada y obtenga un rendimiento 
acorde con sus expectativas y con las condiciones del mercado. Por ello en un proyec-
to de inversión lo que importa es la rentabilidad obtenida por el inversionista durante 
la vida útil del proyecto. En un proyecto de financiamiento, por ejemplo un crédito, se 
reciben unos recursos al comienzo del proyecto y se adquiere la obligación de repagar 
el financiamiento otorgado y los gastos financieros correspondientes al mismo, de 
acuerdo con las condiciones establecidas en el mercado; por ello lo que importa en el 
proyecto de financiamiento es el costo del financiamiento. A continuación dos ejem-
plos de cada una de las dos categorías de proyectos: 
 
A.� Proyectos de inversión 
 
�� Un proyecto consistente en montar una fábrica de cerveza requiere una inver-
sión durante el período de montaje, una vez que se ha tomado la decisión de 
construir la planta con base en las expectativas de rentabilidad del negocio y 
se ha asegurado el financiamiento correspondiente. Terminado el período de 
montaje y de pruebas, se procede a la producción de cerveza dentro de una 
estrategia comercial que parte del análisis del mercado correspondiente. La 
venta de cerveza genera unos ingresos brutos de los cuales se descuentan im-
puestos de venta, costos de la mercancía vendida y gastos operativos para 
generar una utilidad operativa o utilidad antes de intereses e impuestos. A 
partir de esta utilidad operativa se estima la utilidadneta teniendo en cuenta 
los gastos financieros y la provisión para impuestos. Con la información ante-
rior se procede a la construcción de un flujo de caja periódico (anual, mensual) 
que se contrasta con los desembolsos realizados durante el período de monta-
je para determinar la rentabilidad del proyecto. La decisión de construir o no la 
planta se toma con base en los estimativos de inversión requerida, pronósticos 
de ventas, precio de la cerveza, costos de producción, gastos de operación, 
etc. Por ello en el momento de analizar la decisión de construir o no la planta, 
lo que se tiene es un estimativo de rentabilidad que se puede dar o no. Lo an-
terior implica que la decisión se toma bajo incertidumbre, y que en últimas la 
rentabilidad va a depender del escenario económico que finalmente ocurra. 
 
�� Un fondo de inversión recauda unos recursos del público para invertirlos en un 
portafolio de inversiones, tal y como ocurre con un fondo de pensiones obli-
Capítulo 1 
 
PROYECTOS DE INVERSIÓN Y PROYECTOS DE FINANCIAMIENTO
[20] 
Capítulo 1
[20] J A V I E R S E R R A N O
�
gatorias administrado por una sociedad administradora de fondos de pensio-
nes y cesantías. Al final de cada mes, los aportes del patrono y los descuentos 
al trabajador se invierten con los correspondientes a los otros afiliados al fon-
do, en un portafolio de títulos valores. La rentabilidad que genera el portafolio 
de títulos valores, una vez deducida la comisión que cobra la administradora, 
se capitaliza a la cuenta de capitalización individual del afiliado, en forma tal 
que con los recursos aportados por el patrono, los descuentos al trabajador y 
los rendimientos obtenidos se acumula una suma que es la que se va a utilizar 
para comprar un seguro de renta vitalicia una vez el afiliado cumple con todos 
los requisitos para obtener la pensión de jubilación de cuerdo con el marco le-
gal correspondiente. 
 
B. Proyectos de financiación 
 
�� Una empresa de acueducto va a realizar una inversión por valor de 10.000 mi-
llones de pesos, de los cuales el 60% se financia con un crédito bancario a 10 
años, con una tasa de interés del 24% anual, que se paga mes vencido. Du-
rante el período de construcción la empresa recibe el monto del financia-
miento (6.000 millones de pesos), de acuerdo con un cronograma de desem-
bolsos y con el avance de la construcción. Al comienzo la empresa de 
acueducto paga los intereses correspondientes, que liquidados al 2% mensual 
sobre el saldo inicial, suman 120 millones de pesos mensuales. Una vez que 
comienza el período de amortización a capital, el saldo de la deuda disminuye 
con la correspondiente amortización periódica, lo cual hace que los intereses 
también disminuyan. El costo del financiamiento estará determinado por los 
gastos financieros a pagar al banco (intereses del 2% mensual), comisiones de 
administración o de compromiso que pueda cobrar el banco, y otros costos en 
que pueda incurrir la empresa para obtener el financiamiento (p. ej., constitu-
ción de garantías). 
 
�� Una familia va a adquirir un apartamento como vivienda por valor de 100 mi-
llones de pesos y recurre a un banco para que le financie un 70% bajo la 
modalidad de un crédito hipotecario, que utiliza la vivienda adquirida como 
garantía al banco. Selecciona una modalidad de financiamiento en pesos con 
una cuota constante durante el período de amortización del crédito (p. ej., 15 
años o 180 meses). El grupo familiar se compromete a pagar una cuota uni-
forme de “A” pesos mensuales, durante los 180 meses de vigencia del 
crédito; el monto de esta cuota se estima en forma tal que el banco obtiene el 
repago o amortización del crédito y el costo de financiamiento del mismo. Pa-
ra el grupo familiar, usuario del crédito, el costo depende de los intereses que 
cobra el banco y de otros costos necesarios para poder tener acceso al crédito 
(p. ej., seguros de vida, gastos de hipoteca). 
 
 
 [21] [21]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento
�
En estos cuatro proyectos que se acaban de mencionar hay unos elementos comunes: 
Una o varias decisiones a analizar. Por ejemplo, realizar la construcción de la cerve-
cería de acuerdo con el escenario esperado y la incertidumbre que rodea al proyecto, 
definir el portafolio en el cual se van a invertir los recursos recaudados por la adminis-
tradora, realizar aportes voluntarios para aumentar el monto de la pensión, tomar un 
crédito por 6.000 millones de pesos en las condiciones establecidas por parte de la 
compañía de acueducto o recurrir a otras fuentes de financiamiento, y finalmente to-
mar el crédito hipotecario para adquirir la vivienda por parte del grupo familiar o 
posponer su decisión si el monto de la cuota a pagar resulta muy elevado frente a sus 
ingresos. 
 
Un horizonte de tiempo. La vida útil de la cervecería, el tiempo durante el cual se van 
a hacer aportes al fondo de pensiones, el período de amortización del crédito por parte 
de la empresa de acueducto o los 180 meses durante los cuales el grupo familiar va 
amortizar o pagar el crédito obtenido para adquirir la vivienda. 
 
Un flujo de caja que cambia de signo. En el proyecto de construcción de la cerve-
cería, unos desembolsos (inversiones) al comienzo y un flujo de caja neto y positivo 
(ingresos menos costos y gastos) una vez que comienza la etapa productiva. En el caso 
del fondo de pensiones, el afiliado aporta al fondo durante un tiempo, acumula una 
suma y después recibe un ingreso mensual correspondiente a su mesada pensional, 
una vez se cumplan los requisitos para la pensión de jubilación. En el financiamiento 
de la empresa de acueducto, al desembolso de 6.000 millones de pesos durante el 
período de construcción, que constituye un ingreso financiero para la empresa, le va a 
seguir un período de amortización del crédito en el cual hay que pagar amortización a 
capital y los gastos financieros correspondientes al financiamiento. El grupo familiar 
que va a adquirir la vivienda recibe un ingreso proveniente del crédito con el cual 
completa el monto que va a pagar por la vivienda adquirida; posteriormente tiene que 
pagar una cuota mensual de “A” pesos, que contiene amortización a capital e 
intereses. 
 
Una rentabilidad esperada para un proyecto de inversión o un costo de financiamien-
to para un proyecto de financiación. La rentabilidad esperada o el costo de 
financiamiento dependerá del flujo de caja asociado, esto es el flujo de caja que cam-
bia de signo al cual se acaba de hacer referencia. En el caso de un proyecto de 
financiación, el costo del financiamiento dependerá de los intereses y comisiones que 
el establecimiento de crédito está cobrando y de otros costos asociados (p. ej., consti-
tución de garantías). 
 
Un escenario de análisis de la decisión. El resultado de la decisión dependerá en últi-
mas del escenario que ocurra respecto al comportamiento de las variables que pueden 
afectar el proyecto (p. ej., inflación, tasas de interés, ingresos). La volatilidad del esce-
nario determina en buena parte el riesgo que va a enfrentar el inversionista, o el costo 
[22] 
Capítulo 1
[22] J A V I E R S E R R A N O
�
del financiamiento (p. ej., la devaluación en una situación donde el financiamiento de 
la empresa de acueducto hubiera sido en euros o a tasa de interés variable). 
 
 
L A E V A L U A C I Ó N D E P R O Y E C T O S C O M O P A R T E 
D E L C I C L O D E L P R O Y E C T O 
 
La evaluación de proyectos constituye una etapa del denominado ciclo de proyecto, 
que comienza con la identificación de alternativas, estudios de prefactibilidad para se-
leccionar las más relevantes o promisorias, recolección de información para 
documentar las alternativas bajo evaluación,construcción de metodologías e indicado-
res para medir su conveniencia, evaluación de alternativas, selección de la alternativa 
más conveniente según los indicadores seleccionados, e implantación de esa alternati-
va o proyecto. En esta última fase se van a concretar los beneficios identificados en las 
etapas previas. 
 
El Grupo del Banco Mundial identifica ocho etapas bien definidas en el ciclo del pro-
yecto, para aquellos que aspiran a contar con su financiamiento1: estrategia de 
asistencia para el país, identificación, preparación, evaluación inicial, negociaciones y 
aprobación del directorio, implementación y supervisión, implementación y conclusión, 
evaluación final, todo ello como parte de un proceso de planeación. Se cuenta además 
con metodologías y documentación bien definida para cada una de las diferentes 
etapas. 
 
La diferenciación entre las etapas del ciclo del proyecto es muy importante; sin embar-
go, a veces no se le da la suficiente relevancia. A manera de ejemplo, la mayor parte 
del material que se cubre en este libro se aplica y es útil en el análisis de la toma de la 
decisión en situaciones tales como: ¿se hace o no el proyecto?, ¿se posterga la deci-
sión o la iniciación del proyecto?, ¿se continúa con la implementación del proyecto?, 
¿se cierra el negocio o se continúa operando?, ¿se toma el crédito o se hace con recur-
sos propios?, ¿cuál es la combinación entre deuda y patrimonio que se va a utilizar 
para financiar el proyecto o la inversión?, ¿cuál es la rentabilidad de este fondo de in-
versión?, ¿se invierte o no en el fondo? Con estos ejemplos se puede apreciar el tipo 
de decisiones que se analizan bajo diferentes supuestos, incluyendo la proyección en el 
tiempo del negocio que se está considerando. 
 
Una vez tomada la decisión de realizar el proyecto, lo importante es la ejecución de las 
actividades necesarias para llevarlo a cabo, su gestión, incluyendo el control sobre el 
uso de los diferentes recursos involucrados, para lograr los objetivos buscados con el 
proyecto o con la decisión. Por ello, todo el análisis que se hace para tomar la decisión 
sirve como referencia para guiar la ejecución del proyecto y para identificar las causas 
�������������������������������������������������
1 Grupo del Banco Mundial, Ciclo del Proyecto, Proyectos y Programas, página web del Banco Mundial, 
www.worldbank.org. 
 [23] [23]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Términos básicos
�
de posibles desfases entre lo proyectado y lo ejecutado. Posteriormente se analizará si 
se alcanzó o no la rentabilidad esperada. Como se desprende de lo anterior, la etapa 
de implantación es crítica para el logro de los objetivos de proyecto y para alcanzar los 
beneficios esperados con la ejecución del mismo. Es de esperar la presencia de desfa-
ses entre lo planeado, lo ejecutado y los resultados finalmente obtenidos, ya que en la 
ejecución se van a presentar desfases importantes que van a afectar los resultados es-
perados. Sin embargo, proyectos bien formulados pueden fracasar si no se toman las 
precauciones necesarias en la fase de implantación. Para un adecuado control de las 
actividades involucradas, en la etapa de implementación se suele disponer de herra-
mientas especializadas de gestión y control de proyectos, que permiten hacer 
seguimiento a las actividades planeadas, identificar desfases y sus causas, y tomar las 
decisiones necesarias a tiempo. 
 
Como tal, la evaluación de proyectos comprende el desarrollo de una serie de metodo-
logías que le permiten al inversionista analizar una o varias alternativas de inversión y 
de financiamiento, buscando seleccionar la más adecuada según uno o varios criterios, 
tales como rentabilidad, valor presente neto o valor económico agregado, dentro de 
un horizonte de planeamiento incierto que requiere una consideración adecuada del 
riesgo que enfrenta el inversionista. Como se presenta a lo largo de este libro, la con-
sideración simultánea de las dos dimensiones de rentabilidad esperada y riesgo lleva a 
que las decisiones no sean obvias, como consecuencia de la ponderación que ese in-
versionista le puede dar a estas dos dimensiones, que en últimas depende de varios 
factores: tamaño de la inversión, situación financiera del inversionista, propensión o 
aversión al riesgo, etc. 
 
Los aspectos computacionales inherentes a las matemáticas financieras y a la evalua-
ción de proyectos han perdido importancia como consecuencia del desarrollo 
tecnológico, permitiendo que el analista se concentre en los aspectos conceptuales y 
en las consecuencias que una determinada decisión puede traer sobre la situación fi-
nanciera de la empresa. Las herramientas computacionales cada vez son más 
amigables y permiten acercar los temas de matemáticas financieras y evaluación de 
proyectos a profesionales de disciplinas no técnicas (p. ej. abogados, psicólogos, médi-
cos) que antes sentían estos temas como algo alejado, no obstante la importancia que 
ellos tienen en el ejercicio de su profesión. 
 
 
T É R M I N O S B Á S I C O S 
 
A continuación se definen algunos términos de uso frecuente en matemáticas financie-
ras y evaluación de proyectos, a manera de glosario. Sin embargo, en el transcurso del 
libro se vuelven a retomar algunos de estos términos, para explicar su sentido, profun-
dizar la definición y su utilización, establecer indicadores para su medición y plantear 
su utilización en el análisis de una situación real, como puede ser el análisis de un pro-
yecto de inversión o de financiamiento. 
[24] 
Capítulo 1
[24] J A V I E R S E R R A N O
�
1.� Alternativa de inversión: un proyecto o una decisión cuya implantación contribu-
ye a alcanzar uno o varios objetivos estratégicos de una empresa o una 
organización. 
2.� Proyecto de inversión: programación en el tiempo de una serie de inversiones 
buscando que más adelante se genere una serie de beneficios que justifiquen des-
de el punto de vista económico las inversiones que se realizaron inicialmente. 
3.� Plan de inversiones: corresponde al conjunto de proyectos necesarios para lograr 
el cumplimiento de los objetivos estratégicos de una empresa dentro de un hori-
zonte de planeamiento, por ejemplo 5 años. 
4.� Financiamiento de un proyecto: se refiere a la mezcla de recursos (crédito, patri-
monio, etc.) que se va a utilizar para financiar los desembolsos que requiere la 
implantación de un proyecto de inversión. 
5.� Plan de financiamiento: trata de la combinación de recursos de financiamiento de 
corto, mediano y largo plazo que se va a utilizar para financiar el plan de inversio-
nes durante el horizonte de planeamiento de la empresa. En este sentido, para 
todo plan de inversiones debe existir el correspondiente plan de financiamiento. 
6.� Proyecto de financiamiento: al inicio se reciben los desembolsos de un crédito; 
posteriormente se hacen los pagos por amortización a capital y pagos de intereses. 
7.� Interés: algunos lo definen como el costo por utilizar el capital en el caso de un 
financiamiento o el retorno por invertir una suma determinada en un proyecto, 
posponiendo el consumo actual. Usualmente se mide por el incremento entre una 
suma original invertida o tomada en préstamo y el monto final acumulado o pa-
gado. 
 
 El interés ganado en términos absolutos, medido en pesos, de una inversión, 
durante un período de tiempo, se calcula como: 
 
Interés = Cantidad final acumulada - inversión inicial 
 
 Si el dinero fue tomado en préstamo, el interés en términos absolutos, medido 
en pesos, será: 
 
 Interés = Cantidad pagada - préstamo inicial 
 
 La expresión porcentual o tasa de interés se calcula así: 
 
 
inicial Cantidad
tiempo de unidad por Interés
interés deTasa � 
 
 
8.� Período de interés: unidad de tiempo para expresar la tasa de interés. El interés se 
puede expresar en períodosanuales, semestrales, diarios, etc. Cualquiera que sea 
el período que se utilice para expresar el interés, siempre debe haber una corres-
pondencia o equivalencia con otros períodos de tiempo; por ejemplo, si el interés 
 [25] [25]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Términos básicos
�
se expresa en términos mensuales, se debe poder expresar también en términos 
semestrales o anuales. 
9.� Vida útil de un proyecto de inversión: período de tiempo durante el cual se justifi-
ca, desde el punto de vista económico, mantener operando el proyecto. En otras 
palabras, período de tiempo durante el cual los beneficios generados por el pro-
yecto superan los costos en que incurre el proyecto. 
10.�Retorno sobre la inversión: corresponde al rendimiento porcentual que genera 
una inversión, medida ésta a través de la relación entre los beneficios netos en el 
período (descontando los costos) y el tamaño promedio de la inversión durante el 
período de tiempo considerado. 
11.�Apalancamiento financiero: utilización de la deuda financiera para aumentar la 
rentabilidad de los recursos propios aportados a un proyecto o a una empresa. 
12.�Estructura de costos de un proyecto o de un negocio: combinación entre costos 
fijos y costos variables, para varios niveles de producción. 
13.�Tasa impositiva: porcentaje de las utilidades que se debe pagar como impuestos. 
14.�Estados proforma: estados financieros de un proyecto o de una empresa proyec-
tados en el tiempo (p. ej., balance, estado de pérdidas y ganancias, flujo de 
efectivo). 
15.�Estructura financiera: combinación de todas las fuentes de financiamiento de una 
empresa en un momento dado. 
16.�Estructura de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de mediano y 
largo plazo, que utiliza una empresa en un momento dado. 
17.�Estructura marginal de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de 
mediano y largo plazo, que va a utilizar la empresa para financiar un proyecto o el 
plan de inversiones durante su horizonte de planeamiento. 
18.�Flujo de fondos: resultado neto de representar o resumir en el tiempo todos los 
ingresos y los egresos de un proyecto o de una empresa, para cada uno de los 
períodos que se está considerando. 
19.�Riesgo: variabilidad de los resultados de un proyecto alrededor de su valor pro-
medio o valor esperado, como consecuencia de la incertidumbre existente en el 
horizonte de planeamiento. 
20.�Causación: movimiento de registro contable que no corresponde necesariamente 
a un movimiento de efectivo o de caja (p. ej., el cargo por depreciación que afecta 
el estado de resultados sin afectar el flujo de caja de la empresa). 
21.�Valor económico agregado: magnitud de valor que agrega un proyecto a una 
empresa o la gestión de una administración a una empresa. 
22.�Análisis de decisiones de inversión: comparación entre varias alternativas de in-
versión de acuerdo a un conjunto de criterios. 
23.�Valor de salvamento (contable): valor en libros de un activo al final de su 
período de depreciación. 
24.�Valor de salvamento (económico): valor que se puede recibir por el activo al final 
de su vida útil; también se conoce como valor terminal o valor de disposición. 
25.�Valor nominal de un bono: cantidad que se va a recibir por el bono el día de su 
vencimiento, si la amortización del mismo se hace a través de un solo pago. 
[26] 
Capítulo 1
[26] J A V I E R S E R R A N O
�
26.�Valor de reposición de un activo: valor al cual se puede adquirir un activo similar 
en una fecha determinada; similar implica un activo con las mismas características. 
27.�Valor de mercado de un activo usado: valor al cual se puede vender en el merca-
do un activo usado en una fecha dada. 
28.�Alternativas mutuamente excluyentes: de las alternativas bajo consideración, so-
lamente se va a escoger una. También, la escogencia de una alternativa excluye a 
las otras bajo consideración. 
29.�Alternativas colectivamente exhaustivas: el conjunto de alternativas bajo conside-
ración constituye el universo de alternativas posibles. 
30.� Inflación: crecimiento en el índice de precios durante un período dado de tiempo; 
también se define como la pérdida del poder adquisitivo del dinero durante un 
período dado de tiempo. 
31.�Devaluación: aumento porcentual en el precio de una divisa (p. ej., el dólar), du-
rante un período determinado. 
32.� Inversión permanente en un proyecto de inversión: inversión permanente en acti-
vos fijos y en capital de trabajo que requiere el proyecto de inversión, para que 
pueda operar en condiciones aceptables. 
 
 
D I A G R A M A S D E F L U J O 
 
Una de las herramientas más importantes para el análisis financiero de una empresa o 
de un proyecto son los diagramas de flujo, que representan en el tiempo los flujos de 
fondos o de caja que va a necesitar el proyecto (egresos) y los flujos de fondos o de 
caja que va a generar el proyecto (ingresos), si se trata de un proyecto de inversión. Si 
se trata de un proyecto de financiamiento, representan los desembolsos del crédito 
(ingresos financieros) en el momento en que ellos se producen, el plan de amortiza-
ción a capital según lo acordado y los intereses que se tienen que pagar, en fechas 
específicas, según el contrato de crédito. Los elementos básicos de un diagrama de 
flujos son: 
 
1.� Escala de tiempo: representa la unidad de tiempo básica con relación a la cual se 
van a medir todas las variables cuyo comportamiento depende del tiempo: año, 
mes, semana. 
2.� Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total 
dentro del cual se va a analizar el proyecto de inversión (p. ej., la vida útil del pro-
yecto de inversión). 
3.� Período básico de análisis: corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se 
divide todo el horizonte de tiempo de un proyecto de inversión, para su análisis. 
Por ejemplo, un proyecto con una vida útil de 5 años se puede dividir en períodos 
mensuales, trimestrales o anuales como períodos básicos de análisis. Entre más 
pequeño sea el período básico de análisis, más realista va a ser la representación 
del proyecto pero más compleja su solución numérica. La escogencia del período 
 [27] [27]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Diagramas de flujo 
�
básico de análisis debe ser un compromiso entre la realidad y la simplicidad para la 
solución computacional del problema. 
4.� j-ésimo período básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos 
se concentran al final del período (fecha j, para el j-ésimo período de análisis), sin 
tener en cuenta la forma como efectivamente se producen durante el j-ésimo 
período. Corresponde a una convención para simplificar los cálculos que va a afec-
tar los resultados. A mayor longitud del período básico, mayor la fuente de error, 
como consecuencia de esta aproximación. 
5.� Fechas dentro de un proyecto de inversión: la fecha cero corresponde a la fecha 
actual o de arranque del proyecto. En muchos proyectos, la inversión inicial se 
concentra en la fecha cero, que corresponde al inicio del primer período, mientras 
que la fecha uno (1) corresponde a la finalización del primer período básico de 
análisis. Todos los ingresos y egresos del proyecto durante el primer período bási-
co de análisis, excepto la inversión inicial, se concentran en la fecha 1 o fecha de 
finalización del primer período. La fecha dos (2) corresponde a la fecha de finaliza-
ción del segundo período básico de análisis, que empieza en la fecha uno (1), y así 
sucesivamente. La fecha j-1, es el inicio del j-ésimo período, que termina en la fe-
cha j. 
6.� Flujos de efectivo: los ingresos o flujos de efectivo positivos (como ingresos por 
ventas, ingresos operacionales, pagos que se reciben por amortización de créditos, 
intereses obtenidos poruna inversión, ingresos por venta de activos, etc.) se re-
presentan con flechas hacia arriba. En el caso de los egresos o flujos de efectivo 
negativos (como inversiones, pagos de intereses por un financiamiento, cuotas 
que se pagan por gastos de operación, etc.) se utilizan flechas hacia abajo. Usual-
mente, los ingresos y egresos se netean, colocando, a manera de resumen, el valor 
neto (ingresos menos egresos) en una fecha dada. 
 
En el Cuadro 1.1 se muestran los ingresos y egresos totales de un proyecto de inver-
sión con una vida útil de 5 años: 
 
Cuadro 1.1 
 
Fecha 0 1 2 3 4 5
Año 1 2 3 4 5
Inversión -3.000.000 
Ingresos totales 0 900.000 1.300.000 1.800.000 2.300.000 3.000.000
Egresos totales 0 400.000 500.000 800.000 900.000 1.200.000
Ingreso neto -3.000.000 500.000 800.000 1.000.000 1.400.000 1.800.000
 
 
Los ingresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final del 
año. Los egresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final 
del año. Los ingresos netos (ingresos menos egresos) se calculan y representan al final 
[28] 
Capítulo 1
[28] J A V I E R S E R R A N O
�
del año. Por lo tanto el diagrama de flujos resumido correspondería a la última fila en 
el Cuadro 1.1, que se muestra en la Figura 1.1 
 
 
Figura 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el Cuadro 1.2 se muestran los desembolsos, amortizaciones a capital, saldos al co-
mienzo de cada período e intereses sobre saldos de un proyecto de financiamiento, 
correspondiente a un crédito por valor de $80.000.000, a 6 años, amortización a capi-
tal en cuatro contados iguales al final de los años 3, 4, 5 y 6; intereses pagaderos año 
vencido, sobre el saldo de capital al comienzo del año; tasa de interés del 20%. 
 
Cuadro 1.2 
 
Fecha 0 1 2 3 4 5 6
Año 1 2 3 4 5 6
Tasa de interés 20,00% 
Desembolso 80.000.000 
Amortización capital 0 0 0 -20.000.000 -20.000.000 -20.000.000 -20.000.000
Saldo, comienzo año 0 80.000.000 80.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000
Intereses -16.000.000 -16.000.000 -16.000.000 -12.000.000 -8.000.000 -4.000.000
Flujo resumen 80.000.000 -16.000.000 -16.000.000 -36.000.000 -32.000.000 -28.000.000 -24.000.000
 
 
Los ingresos corresponden al desembolso del crédito en la fecha cero, esto es en el 
comienzo del año 1. Los egresos corresponden a la amortización a capital, al final de 
����������������������������������������������������������	
��
�
���
���
���
���
���
���
�
���
���
�
���
���
�
���
���
 [29] [29]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Ejemplos de diagramas de flujo
�
los años 3, 4, 5 y 6 y al pago de intereses al final de cada año, para todos los 6 años. 
El saldo al comienzo de cada período no corresponde a un flujo de caja, sino a un re-
sultado que define el valor sobre el cual se liquidan los intereses. 
 
En la Figura 1.2 se muestra el diagrama de flujo para los flujos parciales: 
 
 
Figura 1.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E J E M P L O S D E D I A G R A M A S D E F L U J O 
 
Ejemplo 1 
 
Suponga que se realiza una inversión de $10.000 mensuales durante 15 meses, al final 
de los cuales se recibe un ingreso de $200.000. El diagrama de flujo sería (cifras en 
miles): 
Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 15 meses. 
Período básico de análisis: mes. 
Diagrama de flujo, en miles de pesos, en la Figura 1.3: 
 
 
 
 
 
 
 
��
���
���
���������� ���������� ���������� ���������� ��������� 	��������
�
�
� 
 	 � �
���������� ���������� ���������� ����������
[30] 
Capítulo 1
[30] J A V I E R S E R R A N O
�
Figura 1.3 
�
 
Ejemplo 2 
 
Un proyecto de inversión con una vida útil de 6 años, que se va a analizar anualmente, 
para determinar su rentabilidad; el flujo neto del j-ésimo año (ingresos de efectivo me-
nos egresos de efectivo) se representa por FJ, mientras que la inversión que se 
concentra en la fecha cero se representa por I0. 
 
Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 6 años. 
Período básico de análisis: año. 
Diagrama de flujo en la Figura 1.4: 
 
Figura 1.4 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Un crédito a 2 años por valor de 100 millones de pesos, que se desembolsa en la fecha 
cero y se va a amortizar en dos pagos iguales, uno al final del primer año y otro al final 
del segundo año. El interés del crédito es del 20% nominal anual pagadero semestre 
������ ������
�������
���������������������������������������������������������������� ���������������������	 
����
���� ��� �� �� ��� �� �
��
��
�� ��
� � ��
��
 [31] [31]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Ejercicios para resolver
�
vencido; esto es, se paga un 10% al final de cada semestre sobre el saldo del crédito al 
comienzo del semestre. 
 
Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 2 años. 
Período básico de análisis: semestre, ya que los intereses se pagan cada 6 meses. 
Diagrama de flujo en la Figura 1.5: 
 
Figura 1.5 
 
 
 
E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R 
 
Establecer los diagramas de flujo para: 
 
1. Un bono ordinario con una madurez de 3 años, amortizaciones iguales al final 
de cada año; intereses del 24% anual pagaderos semestralmente; esto es, al fi-
nal de cada semestre se paga un 12% sobre el saldo al comienzo del semestre. 
2. Un proyecto con una vida útil de 4 años, con una inversión de 1.000 millones 
de pesos, que se realiza en la fecha cero. Los flujos netos de fondos para los 4 
años son respectivamente de -300, 600, 800, 1.200 millones de pesos. Al final 
de los 4 años, los activos completamente depreciados se venden por 500 millo-
nes de pesos. 
3. Un crédito a 2 años por valor de 80 millones de pesos, que se amortiza en un 
solo pago al final de los 2 años. Intereses del 24% anual, pagaderos trimestre 
vencido, sobre saldos; esto es, al final de cada uno de los 8 trimestres se paga 
un interés del 6% sobre el saldo al comienzo del trimestre. 
4. El mismo problema 3, pero con amortización semestral (cuatro pagos iguales, al 
final de cada semestre). 
5. Un proyecto de inversión con los flujos de caja que se muestran en el Cuadro 
1.3: 
 
 
����������������������������������������������������
��
���
��
��
��
�
��
�
���
[32] 
Capítulo 1
[32] J A V I E R S E R R A N O
�
Cuadro 1.3 
 
Fecha 0 1 2 3 4 5 6 7 
Año 1 2 3 4 5 6 7 
Inversión -2.000.000 
Ingresos totales 0 700.000 1.000.000 1.300.000 1.600.000 2.000.000 2.300.000 2.700.000 
Egresos totales 0 350.000 500.000 700.000 900.000 1.200.000 1.300.000 1.600.000 
 
 
 [33]
Capítulo 2 
 
LA TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD 
Y LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA 
 
Una de las mayores equivocaciones en el análisis financiero consiste en el tratamiento 
igual de cantidades de dinero recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Con fre-
cuencia en la realización de un análisis de rentabilidad de un negocio se suman 
directamente como utilidad total las utilidades que se obtienen durante un horizonte 
de tiempo, por ejemplo 10 años, sin que se considere la diferencia que existe entre los 
mismos pesos nominales en diferentes épocas del tiempo. Cuando este es el caso, la 
cifra de rentabilidad que se obtiene carece de sentido; y es necesario homogeneizar 
las cantidades recibidas antes de proceder a la suma de las mismas. La homogeneiza-
ción de las cantidades recibidas en puntos diferentes del tiempo se hace a través de 
las denominadas relaciones de equivalencia que constituyen el punto central de este 
capítulo. 
 
 
C O N C E P T O D E E Q U I V A L E N C I A 
 
Para introducir el concepto de equivalencia se va a considerar el siguiente problema, 
que corresponde a un proyecto de inversión que requiereuna inversión de 
$1.000.000, y va a producir unos ingresos para el inversionista durante los próximos 
10 años según lo mostrado en el Cuadro 2.1: 
 
Cuadro 2.1 
 
Año Flujo de efectivo 
1 $ 150.000
2 $ 200.000
3 $ 250.000
4 $ 300.000
5 $ 350.000
6 $ 400.000 
7 $ 450.000 
8 $ 500.000 
9 $ 550.000
10 $ 600.000
 
La Figura 2.1 muestra el diagrama de flujos de ingresos para los 10 años, en miles de 
pesos: 
 
 
[34] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
Figura 2.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En términos nominales la suma de los ingresos para los 10 años es igual a 
$3.750.000. La equivocación que se comete frecuentemente consiste en concluir que 
la rentabilidad del negocio es del 275% para los 10 años cuando en realidad sólo lle-
ga a un 25,88% como se verá en el Capítulo 4. Esta equivocación consiste en darle la 
misma importancia a pesos recibidos en diferentes puntos del tiempo. 
 
Se puede afirmar que en términos generales las personas tienen una preferencia por 
el dinero en el tiempo; ella lleva a los individuos a preferir una cantidad P hoy en lu-
gar de esa misma cantidad P dentro de 1 año. Algunos argumentan que eso es así 
dado que la moneda pierde poder adquisitivo por el proceso inflacionario y que lo 
que hoy se puede adquirir con la cantidad P es superior a lo que se podrá adquirir con 
esa misma cantidad dentro de 1 año. Otros argumentan que al disponer hoy de la 
cantidad P, la pueden invertir a una tasa de interés i y recibir un ingreso por intereses 
igual a �� que sumado a la cantidad original permitirá acumular una suma iPP� ó 
P(1+i) al final del año, suma mayor que la disponible al comienzo. 
 
Si bien es cierto que el dinero pierde poder adquisitivo en el tiempo, para un inversio-
nista la preferencia en el tiempo proviene de las oportunidades de inversión que él 
pueda encontrar para sus excedentes monetarios. En otras palabras, si el inversionista 
deja inmovilizado su dinero en una caja fuerte o en una cuenta bancaria (sin intentar 
obtener ninguna reciprocidad), la equivalencia de una cantidad futura versus una 
cantidad presente sería la misma ya que la suma acumulada al final del período sería 
idéntica. Sin embargo, si el inversionista dispone de alternativas de inversión que le 
generen un interés determinado, la equivalencia en el tiempo sería mayor; ya que al 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 añ os 
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600 
 [35]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Concepto de equivalencia
invertir en esas oportunidades podría acumular una mayor cantidad al final del perío-
do que se está considerando. Lo anterior se ilustra mediante un ejemplo: 
 
 
Ejemplo 2.1 
 
Se invierte una cantidad inicial de $1.000.000 en alternativas que pagarán un interés 
anual del 35%; al final del primer año, el inversionista dispondrá de la siguiente suma: 
 
Principal: P = 1.000.000 
Interés: iP = 350.000 
Suma total: iPP � = 1.000.000 + 350.000 = 1.350.000 
 iPP � = )1( iP � = 1.000.000 (1,35) = 1.350.000 
 
Gráficamente la situación se representaría de la siguiente forma: 
 
Figura 2.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el inversionista existe una equivalencia en el tiempo que se podría definir di-
ciendo que para él, recibir $1.350.000 dentro de 1 año sería equivalente a recibir una 
cantidad de $1.000.000 hoy, de acuerdo con las alternativas disponibles. Si la tasa de 
interés fuera igual a cero (equivalente a decir que el inversionista no tiene alternativas 
de inversión) la suma acumulada sería de $1.000.000. 
 
Para este inversionista, con oportunidades alternas de inversión del 35%, si alguien le 
ofreciera tomar en préstamo esa cantidad y devolverle $1.300.000 dentro de un año, 
a riesgos iguales, la oferta sería inaceptable ya que él dispone de alternativas que le 
permiten acumular $1.350.000 al final del año. Por el contrario, si dispone 
$1.000.000 en la fecha cero y le ofrecen $1.400.000 al final del año y le garantizan la 
eliminación del riesgo, deberá prestar el dinero, debido a que con las alternativas dis-
ponibles no puede acumular esa cantidad. 
�
� � �
1.000.000
1.350.000
[36] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
El ejemplo anterior ilustra el concepto de equivalencia definido alrededor de la tasa de 
interés de oportunidad (TIO). Si la tasa de interés de oportunidad para un período es 
igual a i, disponer de una cantidad P hoy, será equivalente a disponer de una canti-
dad )1( �� � dentro de un período; o en forma similar, recibir una cantidad )1( �� � 
dentro de un período será equivalente a recibir una cantidad P hoy. 
 
El concepto de equivalencia que se acaba de presentar se establece alrededor de la 
tasa de interés de oportunidad definida como la tasa de interés correspondiente a las 
alternativas convencionales de inversión que están disponibles para una empresa o 
un individuo. Como la tasa de interés de oportunidad es diferente para los individuos 
o las empresas, las sumas correspondientes a las equivalencias en el tiempo también 
lo serán; un par de ejemplos aclaran la situación anterior. 
 
 
Ejemplo 2.2 
 
Para un individuo cuyas oportunidades de inversión están en el sistema financiero, a 
través de la modalidad de cuentas de ahorro, en un momento donde los intereses que 
se están pagando son del 4% efectivo anual, la equivalencia en el tiempo se daría en 
términos de una tasa de interés de oportunidad del 4% anual, que corresponde al 
rendimiento anual de la cuenta de ahorro antes de impuestos. Por otro lado, otro in-
dividuo con mayores conocimientos del mercado de capitales, al poder obtener 
rendimientos mayores, tendrá una tasa de interés de equivalencia superior ya que su 
tasa de interés de oportunidad también es superior; por ejemplo, una inversión en 
títulos emitidos por el gobierno central, tal y como ocurre con los TES en Colombia o 
con los treasuries en Estados Unidos, que usualmente generan una rentabilidad supe-
rior a las cuentas de ahorro, que suelen ser las de menor rendimiento en el sistema 
financiero. 
 
 
Ejemplo 2.3 
 
Una empresa, en el sector industrial, donde la rentabilidad anual del negocio es del 
30% después de impuestos, tendrá una tasa de interés de equivalencia inferior a otra 
empresa que pertenezca a otro sector industrial donde la rentabilidad anual sea del 
40% después de impuestos. Cuando este es el caso, las inversiones marginales se 
evaluarán en la primera empresa a una tasa de interés igual o superior al 30% anual, 
mientras que en la segunda empresa esas inversiones se evaluarán a una tasa de in-
terés igual o superior al 40% anual. 
 
En los ejemplos anteriores se ha mencionado la palabra impuestos, cuya considera-
ción es crucial en la evaluación de proyectos tal y como se ilustrará en los capítulos 
siguientes. En general, las decisiones de inversión y financiamiento se analizan des-
pués de impuestos. 
 [37]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Relaciones de equivalencia más importantes
 
R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A M Á S I M P O R T A N T E S 
 
Equivalencias considerando distintos horizontes de planeamiento 
Equivalencia futura de una suma presente 
 
En el numeral anterior se estableció que al invertir una cantidad P a una tasa de in-
terés i se obtiene una suma acumulada igual a )1( iP � al final del primer año. La 
aplicación repetitiva de este resultado permite obtener la relación de equivalencia más 
importante en el campo de las matemáticas financieras, debido a que proporciona la 
equivalencia cuando se consideran diferentes horizontes de planeamiento. Para ilus-
trar lo anterior, se parte de una cantidad inicial P y de una tasa de interés de 
oportunidad igual a i. Al final del primer año, la suma acumulada será: 
 
Principal: P 
Interés:iP 
Suma acumulada al final del primer año: F1 
 
F1 = iPP� = )1( iP � 
 
 
Para el segundo año, el principal corresponde a la suma acumulada al final del primer 
año; la aplicación del ejercicio anterior lleva a: 
 
Principal: )1( iP � 
Interés: )1( iiP � 
Suma acumulada al final del primer año: F2 
 
2F = )1()1( iiPiP ��� = )1)](1([ iiP �� = 2)1( iP � 
 
Para el tercer año, y procediendo en una forma similar, se obtendrá: 
 
Principal: 2)1( iP � 
Interés: 2)1( iiP � 
Suma acumulada al final del tercer año: F3 
 
�3F 
22 )1()1( iiPiP ��� = )1]()1([ 2 iiP �� = 3)1( iP � 
 
La repetición del ejercicio anterior lleva a la fórmula general para encontrar la equiva-
lencia de sumas recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Para este caso 
particular, la equivalencia futura de una suma presente. 
 
n
n iPF )1( �� (1) 
[38] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
En la expresión anterior, nF corresponde a la suma futura equivalente dentro de n 
períodos a una suma presente igual a P. Gráficamente, se tiene: 
 
 
Figura 2.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un ejemplo aclara la aplicación de la fórmula anterior. 
 
 
Ejemplo 2.4 
 
Se invierte una suma de $1.000.000 durante 10 años a una tasa de interés anual 
igual al 35%; no se retiran los intereses, se capitalizan cada año y se reinvierten a la 
misma tasa de interés. La suma que se acumulará al final de los 10 años se obtiene de 
la siguiente forma: 
 
� �
� �
� �
556.106.20106,20*000.000.1
35,1*000.000.1
35,01*000.000.1
1*
10
10
10
10
10
10
10
��
�
��
��
F
F
F
iPF
 
 
En la situación anterior, el inversionista podría retirar $20.106.556 al final del año 10. 
Es decir, para la tasa de interés considerada, disponer de $1.000.000 hoy será equiva-
lente a disponer de $20.106.556 dentro de 10 años. En forma similar, para esa tasa 
de interés, $20.106.556 recibidos dentro de 10 años serían equivalentes a recibir 
$1.000.000 en la fecha presente, tal y como se muestra en la Figura 2.4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n
años
0 1 2 3 n-2 n-1 n
años
P
FN = P(1+1)N
 [39]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 Relaciones de equivalencia más importantes
 
Figura 2.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, se puede decir que para una tasa de interés de equivalencia o tasa de 
interés de oportunidad del 35%, el valor actual o presente correspondiente a una 
cantidad igual a $20.106.556 recibidos dentro de 10 años es igual a $1.000.000. Es-
tos valores permiten mostrar el efecto ilusorio del dinero, especialmente cuando se 
está trabajando con tasas de interés elevadas. 
 
Vale la pena destacar varios aspectos sobre la relación de equivalencia: 
 
1. En la relación de equivalencia está presente el concepto de interés compuesto o 
interés sobre intereses, figura que no siempre está permitida según las disposicio-
nes del Código de Comercio (anatocismo). Esto es, en la fórmula (1) está implícita 
la capitalización de intereses al final del período para el cual se están causando. 
2. No se retira cantidad alguna de dinero durante los n años que se están contem-
plando; todos los retiros se hacen al final del período n. 
3. La tasa de interés permanece constante durante los n años, lo cual era necesario 
en el pasado para facilitar la realización de los cálculos. Si este no es el caso, se 
puede utilizar la siguiente relación: 
 
)1(*)1(*............*)1(*)1(* 121 NNN iiiiPF ����� � 
 
Que se transforma en (1), si las tasas de interés de cada período son iguales. 
4. La relación es válida independientemente de la longitud de tiempo que se esté 
considerando para el período básico, siempre y cuando los intereses se refieran a 
ese período de tiempo. Un ejemplo aclara lo anterior. 
 
 
Ejemplo 2.5 
 
Un fondo de inversión liquida intereses diariamente, equivalentes a una tasa nominal 
anual del 9,75937%, que corresponde a un interés diario del 0.026738%, para un 
 
0 1 2 3 8 9 10
años
0 1 2 3 8 9 10
años
1.000.000
F10 = 20.106.556
[40] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
año de 365 días. Suponga un depósito de $10.000.000 que se coloca en el banco por 
38 días, devengando ese interés diario. La cantidad acumulada al final de los 38 días 
será: 
 
� �
� �
� �
10.102.1080102108,1*000.000.10
00026738,1*000.000.10
00026738,01*000.000.10
1
38
38
38
38
38
38
38
��
�
��
��
F
F
F
iPF d
 
 
La suma anterior indica que el monto ganado por concepto de intereses durante el 
período de 38 días es igual a $102.108. 
 
Una notación comúnmente utilizada para la representación de los factores en las 
fórmulas de equivalencia es: 
 
� 	 � �niniPF �� 1,,/ 
 
Donde F/P se lee F dado P. Esta notación era útil cuando el valor del factor se tenía 
que encontrar en tablas de factores para un interés i y un número de períodos n, lo 
cual ha perdido toda vigencia, como consecuencia de los desarrollos en las herra-
mientas de computación. De esta forma, la fórmula para la equivalencia, que la 
mantenemos por propósitos de notación, será: 
 
� 	niPFPF ,,/� 
 
 
Ejemplo 2.6 
 
Un fondo de inversión paga un interés del 1,01% mensual. Suponga que se hace una 
inversión en el fondo por valor de $8.500.000, durante 24 meses, sin realizar retiros 
durante este período. La cantidad acumulada al final de los 24 meses será: 
 
� �
� �
� �
10.818.419272755.1*000.500.8
0101,1*000.500.8
0101,01*000.500.8
1
24
24
24
24
24
24
24
��
�
��
��
F
F
F
iPF m
 
 
La cantidad acumulada al final de los 24 meses será de $10.818.419. 
 
 
 
 
 
 [41]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 Relaciones de equivalencia más importantes
 
Equivalencia presente de una suma futura 
 
La expresión anterior, para la determinación de la suma futura equivalente a una su-
ma presente, se puede utilizar para encontrar el equivalente presente de una suma 
futura. Despejando de la expresión básica, se obtiene: 
 
� �n
n
i
F
P
�
�
1
 (2) 
 
A continuación se presenta la representación gráfica: 
 
Figura 2.5 
 
 
Un ejemplo aclara la utilización de la expresión anterior. 
 
 
Ejemplo 2.7 
 
Suponga que alguien le ofrece la promesa de entregarle $100 millones dentro de 20 
años. Se quiere determinar el valor actual (valor real) de esa promesa, si la tasa de 
interés de equivalencia es del 35% anual. 
 
� �
� �
357.247
27,404
000.000.100
35,1
000.000.100
35,01
000.000.100
20
20
�
�
�
�
�
P
P
P
P
 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n
años
0 1 2 3 n-2 n-1 n
años
P=FN/(1+i)N
FN
[42] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
La cifra anterior pone de manifiesto el efecto ilusorio del dinero. El valor actual o real 
de los $100.000.000 recibidos dentro de 20 años es de $247.357. 
 
En la expresión para encontrar el equivalente presente de una suma futura es intere-
sante observar el efecto del tiempo (n) y de la tasa de interés (i). 
 
1. Efecto del tiempo: para la misma suma anterior, se consideran 3 épocas para la 
recepción de los $100 millones: 5, 10 y 20 años. Los equivalentes presentes res-
pectivos, a una tasa de interés del 35%, son: 
 
Cuadro 2.2 
 
n n)35.01(
1
�
 P 
5 0,223014 22.301.350 
10 0,049735 4.973.502 
20 0,002474 247.357 
 
Los resultados presentados en el Cuadro 2.2 muestran cómo el equivalente pre-
sente de una suma futura disminuye drásticamente cuando esa suma futura se 
aleja en el tiempo. 
 
2. Efecto de la tasa de interés: considere la suma de $100 millones a recibirse 
dentro de 10 años. Se requiere determinar los equivalentes presentes para tres ta-sas de interés diferentes: 20%, 35% y 45%. 
 
Cuadro 2.3 
 
I � �101
1
i�
 P 
 20% 0,161506 16.150.558 
 35% 0,049735 4.973.502 
 45% 0,024340 2.433.997 
 
Los resultados presentados en el Cuadro 2.3 muestran cómo el equivalente pre-
sente de una suma futura disminuye cuando se incrementa la tasa de interés. 
Cuando las tasas de interés son elevadas, el valor presente de sumas alejadas en 
el tiempo es muy bajo. Esto hace que proyectos de tardío rendimiento como son 
los proyectos de desarrollo, difícilmente pasen un examen o estudio de viabilidad 
económica; y por eso en épocas recesivas es necesario bajar las tasas de interés 
para lograr una reactivación de la economía. 
 [43]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 Relaciones de equivalencia más importantes
 
La representación del factor para hallar el equivalente presente de una suma futura 
es: 
 
� 	
� �ni
niFP
�
�
1
1
,,/ 
 
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será: 
 
� 	niFPFP ,,/� 
 
 
Ejemplo 2.8 
 
Una persona debe acumular en 10 años $38 millones; para esto va a invertir en un 
fondo de inversión que le ofrece un interés semestral del 6,8%. ¿Cuál es el monto 
que se debe invertir en el fondo en la fecha cero? 
 
� �
� �
326.194.10
727563,3
000.000.38
068,1
000.000.38
068,01
000.000.38
20
20
�
�
�
�
�
P
P
P
P
 
 
 
Valor futuro de una serie uniforme 
 
Otra relación de equivalencia que puede resultar útil es la correspondiente a la equi-
valencia entre una serie uniforme de pagos iguales al final de cada período, durante n 
períodos, y una suma futura al final de esos n períodos. En la Figura 2.6 se muestra la 
situación a contemplar en términos gráficos: 
 
Figura 2.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n
años
0 1 2 3 n-2 n-1 n
años
FN =P[(1+i)N-1]/i
A A A A A A
N
[44] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
Donde “A” se refiere al flujo periódico (ingreso o egreso) al final de cada período; por 
ejemplo, se refiere a anualidades iguales en el caso de que los períodos sean de 1 
año. Para propósitos de la presentación se supone, como lo muestra la gráfica, que se 
trata de egresos o depósitos en un fondo. El equivalente futuro de cada uno de los 
desembolsos estará dado por: 
 
Cuadro 2.4 
 
Egresos Equivalente futuro
1 � � 11 �� niA
 2 � � 21 �� niA 
3 � � 31 �� niA 
… … 
(n-2) � �21 iA � 
(n-1) � �11 iA � 
N A 
 
Por lo tanto, la suma acumulada al final de los n períodos es igual a: 
� �� � � �� � � � � �� 	111...11 1221 ���������� �� iiiiAF nn 
 
Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i) se obtiene: 
� � � �� � � �� � � � � � � �� 	1231 111...111 iiiiiAFi nnn ������������ � 
 
Restando de esta expresión la anterior, se obtiene: 
� � � �� �� 	111 ����� nnn iAFFi 
 
Despejando F de la expresión anterior: 
� �� 	
i
iA
F
n
n
11 ��
� (3) 
 
 
Ejemplo 2.9 
 
Suponga que se hacen depósitos a un fondo de inversión por un valor de $25.000 al 
final de cada mes durante 5 años. El primer depósito se hace dentro de 1 mes, mien-
tras que el último se hace al final del mes 60. El fondo paga un interés del 2.5% 
 [45]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 Relaciones de equivalencia más importantes
 
mensual; además, los intereses se reinvierten dentro del mismo fondo a la misma tasa 
de interés. El diagrama de flujo de caja se muestra en la Figura 2.7. La cantidad acu-
mulada al final de los 60 meses se calcula de acuerdo con la expresión anterior: 
 
Figura 2.7 
 
 
 
 
� �� 	
� 	
790.399.3
025.0
74,994.84
025,0
139979,4000.25
025,0
1025,01000.25
60
60
60
60
60
�
�
�
�
��
�
F
F
F
F
 
 
En una hoja electrónica Excel el valor futuro de una serie uniforme se calcula utilizan-
do la función “Valor futuro” de un pago periódico, VF (i,n,A), donde i corresponde a 
la tasa de interés periódica, n al número de períodos y A la anualidad o pago periódi-
co. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VF(0,025,60,25.000). 
 
 
Ejemplo 2.10 
 
Considere la situación anterior, pero suponga que los depósitos se hacen en una forma más 
real, al comienzo de cada período. El primero se hace en el período cero, por lo cual se ga-
narán intereses durante los 60 períodos; el segundo al final del año 1 y comienzo del 2, por 
lo cual se ganarán intereses durante 59 períodos, y así sucesivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 58 59 60 
F
… …
A A A A A A
0 1 2 3 58 59 60 
[46] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
Figura 2.8 
 
 
 
Una forma de resolver este caso consiste en considerar por aparte el primer depósito, 
que genera intereses durante 60 períodos, y luego los 59 depósitos restantes, como 
se muestra a continuación: 
 
1. Depósito en la fecha 0: 
 
� � 995.109025,1*000.25 6060 ��F 
 
 
Figura 2.9 
 
 
 
2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 59 meses. La cantidad acumulada 
al final del mes 59 se obtiene aplicando la relación (3): 
� �� 	
� 	
477.292.3
025,0
1292478,4*000.25
025,0
1025,01*000.25
59
59
59
59
�
�
�
��
�
F
F
F
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 58 59 60 
F
… …
A A A A A A
0 1 2 3 58 59 60 
 [47]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 
Relaciones de equivalencia más importantes
 
Figura 2.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la Figura 2.11 se muestran los dos valores resultantes de lo que se acaba de 
presentar en 1 y 2; un valor de $3.292.478 al final del mes 59 y un valor de 
$109.995 al final del mes 60. 
 
Figura 2.11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de los $3.292.478 en el mes 59, al final del mes 60, sería: 
 
� � 790.374.3025,1*5960 �� FF 
 
3. El total acumulado al final del mes 60 sería: 
 
784.484.3790.374.3994.10960 ���F 
 
En la Figura 2.12 se resume el planteamiento del problema y su resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 58 59 60 
F59 
… … 0 1 2 3 58 59 60 
 
25.000 
 
… 
0 1 2 3 56 57 58 59 60 
3.292.478 
109.995 
[48] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
Figura 2.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La representación del factor para encontrar el valor futuro de una serie uniforme 
es: 
� 	 � �
i
i
niAF
n 11
,,/
��
� 
Es decir, dada una serie periódica uniforme de valor A, durante n períodos y un 
interés periódico i, calcular el valor futuro acumulado al final de los n períodos. 
 
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será: 
 
� 	niAFAF ,,/� 
 
 
Ejemplo 2.11 
 
Una persona desea ahorrar $1.500.000 mensualmente en un fondo que genera un 
interés mensual del 1,5%. ¿Cuánto acumulará en el fondo después de hacer 12 de-
pósitos, si el primero lo hace en un mes? ¿Cuánto acumulará si el primero lo hace 
inmediatamente? 
 
Si el primer depósito se hace en un mes: 
� �� 	
� 	
817.561.19
015,0
25,427.293
015,0
1195618,1*000.500.1
015,0
1015,01*000.500.1
12
12
12
12
12
�
�
�
�
��
�
F
F
F
F
 
 
Si el primer depósito se hace inmediatamente y siguiendo los pasos indicados ante-
riormente se obtiene que: 
0 1 2 3 4 56 57 58 59 60
25.000 25.000
3.484.784
meses
 [49]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
1. Depósito en la fecha 0: 
 
� � 427.793.1015,1*000,500.1 1212 ��F 
 
2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 11 meses: 
� �� 	
� �� 	
894.794.17
015,0
40,923.266
015,0117794,1*000.500.1
015,0
1015,01*000.500.1
11
11
11
11
11
�
�
�
�
��
�
F
F
F
F
 
 
El valor de la cantidad anterior, al final del mes 12, sería: 
 
� � 817.061.18015,1*1112 �� FF 
 
3. El total acumulado al final del mes 60 sería: 
 
244.855.19817.061.18427.793.112 ���F 
 
 
Valor presente de una serie uniforme 
 
Para encontrar la expresión del valor presente de una serie uniforme, definida en la 
misma forma utilizada en la deducción de la expresión (3), se trae a valor presente la 
suma acumulada al final de los n años, resultante de aplicar la misma expresión (3): 
 
Figura 2.13 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n 0 1 2 3 n-2 n-1 n
P
… …
A A A A A A
 Relaciones de equivalencia más importantes
[50] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
El resultado correspondiente será: 
 
� �
� � 
�
�
�
�
�
��
� n
n
ii
i
AP
1
11
 (4) 
 
 
Ejemplo 2.12 
 
Considere la misma serie uniforme de pagos vencidos del ejemplo 2.9; esto es una 
serie uniforme de 60 pagos mensuales por valor de $25.000 cada uno, al final del 
respectivo mes. Se quiere calcular el valor presente de la serie uniforme, si la tasa de 
interés de oportunidad es del 2,5% mensual. 
� �� 	
� �
� 	
� �
716.772
10999,0
74,994.84
39979,4 025,0
139979,4 000.25
025,01 025,0
1025,01*000.25
60
60
60
60
60
60
�
�
�
�
�
��
�
P
P
P
P
 
 
Figura 2.14 
 
 
 
En una hoja electrónica de Excel el valor presente de una serie uniforme se calcula 
utilizando la función valor actual de una serie periódica uniforme, VA(i,n,A), donde i 
es la tasa de interés, n el número de períodos y A el valor de la serie periódica uni-
forme. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VA(0,025,60,25.000). 
 
La representación del factor para hallar el valor presente de una serie uniforme es: 
 
� 	 � �
� �n
n
ii
i
niAP
�
��
�
1
11
,,/ 
 
 
0 1 2 3 58 59 60 
772,716
… …
25,000 
0 1 2 3 58 59 60 
 [51]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será: 
 
� 	niAPAP ,,/� 
 
 
Ejemplo 2.13 
 
Considere la misma serie uniforme de pagos anticipados del ejemplo 2.10. 
 
1. Serie uniforme de depósitos para los últimos 59 pagos. El valor presente se obtie-
ne aplicando la relación (4): 
� �� 	
� �
� 	
� �
034.767
10731,0
94,311.82
29247,4*025,0
1292478,4*000.25
025,01*025,0
1025,01*000.25
59
59
�
�
�
�
�
��
�
P
P
P
P
 
 
 
2. Valor presente de los 60 pagos: 
 
034,792000,25034,767 ���P 
 
En la Figura 2.15 se resume el planteamiento del problema y los resultados del 
mismo. 
 
Figura 2.15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 58 59 60
792.034
… …
A A A A A A
0 1 2 3 58 59 60 
 Relaciones de equivalencia más importantes
[52] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
Serie uniforme equivalente a un valor futuro 
 
La expresión (3), que corresponde al valor futuro de una serie uniforme, se puede 
utilizar para encontrar el equivalente en términos de una serie uniforme para una su-
ma futura: 
 
 
Figura 2.16 
 
 
 
El resultado correspondiente será: 
 
� � 
�
�
�
�
��
�
11 ni
i
FA (5) 
 
 
Ejemplo 2.14 
 
Suponga que al término de 6 meses se desea retirar una suma de $6.000.000 de una 
cuenta de ahorros, depositando una suma constante al final de cada mes. Si el interés 
que se puede obtener mensualmente es del 1,8%, ¿qué cantidad debe ahorrarse ca-
da mes? 
 
� �
� 	 936.95515932,0*000.000.6
11297,0
018,0
*000.000.6
1018,01
018,0
*000.000.6
6
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
A
A
A
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n0 1 2 3 n-2 n-1 n ……
A A A A A A
F
 [53]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n0 1 2 3 n-2 n-1 n ……
A A A A A A
P
Figura 2.17 
 
 
 
En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor futuro 
se calcula utilizando el comando PAGO (i,n,0,F), donde i es la tasa de interés periódi-
ca, n el número de períodos, 0 un indicador de que los pagos son vencidos y F el 
valor futuro, al final de los n períodos. Para resolver el ejemplo anterior, la función 
sería PAGO(0.018,6,0,6.000.000). Si los pagos son vencidos, se utiliza un 1 como 
indicador; en vez de cero, también se puede dejar en blanco, para pagos vencidos. 
 
La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor 
futuro es: 
 
� 	
� � 
�
�
�
�
��
�
11
,,/ ni
i
niFA 
 
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será: 
 
� 	niFAFA ,,/� 
 
 
Serie uniforme equivalente a un valor presente 
 
La expresión (4), que corresponde al valor presente de una serie uniforme, se puede 
utilizar para encontrar la serie uniforme dado un valor presente: 
 
Figura 2.18 
 
 
 
 
 
 
 Relaciones de equivalencia más importantes
[54] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
El resultado correspondiente será: 
 
� �
� � 
�
�
�
�
��
�
�
11
1
n
n
i
ii
PA (6) 
 
Ejemplo 2.15 
 
Se quiere saber cuál es el pago mensual (al final de cada mes) que se debe realizar 
por un crédito de $6.000.000 a 6 años (72 meses), si la tasa de interés mensual es del 
2,3%. 
 
 
1)023,01(
)023,01(*023,0
*000.000.6 72
72
��
�
�A 
 
 A = 6.000.000*0,028554 = 171.325 
 
 
Figura 2.19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor presente 
se calcula utilizando la función PAGO(i,n,P). Para resolver el ejemplo anterior, la fun-
ción sería PAGO(0.023,72,6.000.000). 
 
La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor 
presente, es: 
 
� 	 � �
� � 
�
�
�
�
��
�
�
11
1
,,/ n
n
i
ii
niPA 
 
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será: 
 
� 	niPAPA ,,/� 
 
0 1 2 3 70 72 0 1 2 3 70 71 72 … … 
 A = $171.325 
P = $ 6.000.000 
 [55]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 
Valor presente de una serie infinita que tiene un crecimiento 
constante igual a g 
 
En muchos casos se tiene una situación donde los flujos de caja crecen de un período 
al siguiente con un crecimiento constante, en forma tal que: 
 
FJ = FJ-1 * (1+g), donde g es la tasa de crecimiento periódica. 
 
Si el flujo de caja se extiende hasta infinito, se puede encontrar una expresión cerrada 
que permite calcular el valor presente de la serie, en términos del flujo de caja al final 
del primer período, la tasa de interés y la tasa de crecimiento. 
 
Para encontrar la fórmula a que se hace mención, suponga que el ingreso al final del 
primer período, D1, es igual a D. 
 
El ingreso al final del segundo período, D2, es igual a D*(1+g) 
 
El flujo de caja al final del tercer período, D3, es igual a: 
 
2
23 )1(*)1(* gDgDD ���� 
 
 El flujo de caja al final del cuarto período, D4, es igual a: 
 
3
34 )1(*)1(* gDgDD ���� 
 
 
En general, 
 
1
1 )1(*)1(*
�
� ����
J
JJ gDgDD 
 
En la Figura 2.20 se muestra el resumen de la secuencia de ingresos que se compor-
tan de acuerdo con el modelo de crecimiento constante, para una serie infinita: 
 
Figura 2.20 
 0 1 2 3 4 5
D1
D2
D3
D4
D5
�������
 Relaciones de equivalencia más importantes
[56] J A V I E R S E R R A N O
Capítulo 2
 
El valor presente de esta serie, en términos generales, sería igual al