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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AMBIENTAL Análisis diferencial de flujo HH231 MECÁNICA DE FLUIDOS Problemas en Clase VII Problema 01 Una corriente uniforme de velocidad V se inclina un ángulo 𝜶 del eje x. El flujo es estacionario, bidimensional e incompresible. Las componentes de velocidad cartesiana son 𝒖 = 𝑽 𝐜𝐨𝐬𝜶 y 𝒗 = 𝑽 𝐬𝐞𝐧𝜶. Genere una expresión para la función de corriente para este flujo. Problema 02 Un campo de flujo bidimensional estacionario incompresible en el plano 𝒙𝒚 tiene una función de corriente dada por 𝝍 = 𝒂𝒙𝟐 − 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅𝒄𝒙𝒚, donde 𝒂, 𝒃, 𝒄 y 𝒅 son constantes. a) Obtenga expresiones para las componentes de velocidad 𝒖 y 𝒗. b) Verifique que el campo de flujo satisface la ecuación de flujo incompresible. Problema 03 Un cálculo CFD bidimensional estacionario incompresible del flujo a través de un ducto ramificado bidimensional asimétrico revela el patrón de línea de corriente que se ilustra en la figura, donde los valores de 𝝍 están en unidades de m2/s y W es el ancho del ducto normal al plano de la página. Se muestran los valores de la función de corriente 𝝍 en las paredes del ducto. ¿Qué porcentaje del flujo pasa a través de la rama superior del ducto? 2-6 Problema 04 Un flujo se separa en una esquina aguda a lo largo de una pared y forma una burbuja de separación de recirculación como se bosqueja en la figura (se muestran las líneas de la función de corriente). El valor de la función de corriente en la pared es cero y el de la línea de corriente superior que se muestra es algún valor positivo 𝝍𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓. Explique el valor de la función de corriente en el interior de la burbuja de separación. En particular, ¿es positiva o negativa? ¿Por qué? ¿Dónde en el flujo 𝝍 tiene un mínimo? Problema 05 Jesse Pinkman, un estudiante graduado, corre un paquete computacional CFD para su proyecto de investigación de maestría y genera una gráfica de líneas de corriente de flujo (contornos de función de corriente constante). Los contornos son de valores de función de corriente igualmente espaciados. El profesor Walter White observa la gráfica e inmediatamente señala una región del flujo y dice: “¡Mira qué rápido se desplaza el flujo aquí!”. ¿Qué notó el profesor White acerca de las líneas de corriente en dicha región?, ¿y cómo supo que el flujo era rápido en dicha región? Problema 06 Considere el siguiente campo de velocidad bidimensional estacionario incompresible: �⃗⃗� = (𝒖, 𝒗) = (−𝒂𝒙𝟐)𝒊 + (𝟐𝒂𝒙𝒚)𝒋 , donde 𝒂 es una constante. Calcule la presión como función de 𝒙 y 𝒚. Problema 07 Considere el siguiente campo de velocidad bidimensional estacionario incompresible: �⃗⃗� = (𝒖, 𝒗) = (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒊 + (−𝒂𝒚 + 𝒄𝒙𝟐)𝒋 , donde a, b y c son constantes. Calcule la presión como función de 𝒙 y 𝒚. 3-6 Problema 08 Considere flujo bidimensional estacionario incompresible debido a un torbellino lineal/sumidero en espiral con centro 𝒛. En la figura se muestran las líneas de corriente y los vectores de velocidad. El campo de velocidad es 𝒖𝒓 = 𝑪/𝒓 y 𝒖𝜽 = 𝑲/𝒓, donde C y K son constantes. Calcule la presión como función de 𝒓 y 𝜽 Problema 09 Considere el siguiente campo de velocidad bidimensional estacionario incompresible: �⃗⃗� = (𝒖, 𝒗) = (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒊 + (−𝒂𝒚 + 𝒄)𝒋 , donde a, b y c son constantes. Calcule la presión como función de 𝒙 y 𝒚. Problema 10 Considere el flujo estacionario incompresible paralelo laminar de un fluido viscoso que se desliza entre dos paredes verticales infinitas. La distancia entre las paredes es 𝒉 y la gravedad actúa en la dirección 𝒛 negativa (hacia abajo en la figura). No hay gradiente de presión aplicado (forzado) que conduzca al flujo: el fluido se desliza sólo por la gravedad. La presión es constante en todas partes en el campo de flujo. Calcule el campo de velocidad y dibuje el perfil de velocidad con el uso de las variables adimensionales adecuadas. 4-6 Problema 11 Los primeros dos términos viscosos en la componente 𝜃 de la ecuación de Navier-Stokes son 𝝁 = [ 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 (𝒓 𝝏𝒖𝜽 𝝏𝒓 ) − 𝒖𝜽 𝒓𝟐 ]. Expanda esta expresión, tanto como sea posible, con el uso de la regla del producto, y produzca tres términos. Ahora combine los tres términos en uno solo. Sugerencia: use la regla del producto a la inversa; es posible que implique algo de ensayo y error. Problema 12 Un líquido newtoniano incompresible está confinado entre dos cilindros circulares un cilindro sólido interior de radio 𝑹𝒊 y un cilindro exterior en reposo hueco de radio 𝑹𝟎 (el eje z está normal hacia fuera del plano de la página). El cilindro interior rota a velocidad angular 𝝎𝒊. El flujo es estacionario, laminar y bidimensional en el plano 𝒓𝜽. El flujo también es simétrico rotacionalmente, lo que significa que nada es función de la coordenada 𝜽 (𝒖𝜽 y P son funciones sólo del radio r). El flujo también es circular, lo que significa que la componente de velocidad 𝒖𝒓 = 𝟎 en todas partes. Genere una expresión exacta para la componente de velocidad 𝒖𝜽 como función de radio 𝒓 y los otros parámetros en el problema. Puede ignorar la gravedad. (Sugerencia: el resultado del problema 12 es útil.) 5-6 Problema 13 Considere flujo en canal bidimensional totalmente desarrollado: flujo entre dos placas paralelas infinitas separadas por una distancia 𝒉, con ambas placas en reposo y un gradiente de presión forzado 𝒅𝑷 𝒅𝒙⁄ que conduce el flujo (𝒅𝑷 𝒅𝒙⁄ es constante y negativo). El flujo es estacionario, incompresible y bidimensional en el plano 𝒙𝒚. Las componentes de velocidad están dadas por 𝒖 = (𝟏 𝟐𝝁⁄ )(𝒅𝑷 𝒅𝒙⁄ )(𝒚𝟐 − 𝒉𝒚) y 𝒗 = 𝟎, donde 𝝁 es la viscosidad del fluido. Genere una expresión para la función de corriente 𝝍 a lo largo de la línea rayada vertical. Por conveniencia, sea 𝝍 = 𝟎 a lo largo de la pared inferior del canal. ¿Cuál es el valor de 𝝍 a lo largo de la pared superior? Problema 14 Un líquido fluye por una superficie plana inclinada en una película laminar estable y completamente desarrollada de espesor 𝒉. Simplificar las ecuaciones de continuidad y Navier Stokes para modelar este campo de flujo. Obtener expresiones para el perfil de velocidad del líquido, la distribución de la tensión de corte, el caudal volumétrico y la velocidad media. Relacionar el espesor de la película líquida a la caudal volumétrico por unidad de profundidad de superficie normal al flujo. Calcular el caudal volumétrico en una película de agua 𝒉 = 𝟏 𝒎𝒎. de espesor, fluyendo sobre una superficie de 𝒃 = 𝟏 𝒎 de ancho, inclinada a 𝜽 = 𝟏𝟓° respecto a la horizontal. 6-6 Problema 15 Una película liquida viscosa de espesor constante fluye de forma laminar sobre una placa inclinada con un ángulo 𝜽. El perfil de velocidades es 𝒖 = 𝑪𝒚(𝟐𝒉 − 𝒚) 𝒗 = 𝒘 = 𝟎 Determine la constante 𝑪 en función del peso específico, la viscosidad y el ángulo 𝜽. (Planteé la ecuación de Navier-Stokes en la componente 𝑥) Determine el flujo volumétrico 𝑸 por unidad de ancho (perpendicular al papel) en función de estos parámetros. Problema 16 Se propone un flujo incompresible tridimensional que tiene la siguiente forma vectorial: �⃗⃗� = 𝑲𝒙𝒊 + 𝒌𝒚𝒋 − 𝟐𝑲𝒛�⃗⃗� a) Determine el campo de presiones 𝒑(𝒙, 𝒚, 𝒛) usando las ecuaciones de Navier-Stokes, si �⃗⃗� = −𝒈�⃗⃗� . b) ¿Es un flujo irrotacional? Prof. Omar Bejarano G. 27 de agosto de 2020
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