Ejercicios de Métodos Numéricos

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Clase Práctica capítulo 6
6.2) Determine la raíz real más grande de
f(x) = 2x3 � 11:7x2 + 17:7x� 5
a) En forma grá�ca.
b) Con el método de iteración simple de punto �jo (tres iteraciones, x0 = 3).
Nota: asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz.
Solución:
x =
2x3 � 11:7x2 +�5
11:7
Primera Iteración
x1 = g (x0) =
2 (3)3 � 11:7 (3)2 � 5
�17:7 = 3: 180 790 96
1
Segunta Iteración
x2 = g (x1) =
2 (3: 180 790 96)3 � 11:7 (3: 180 790 96)2 � 5
�17:7 = 3: 333 959 168
Tercera Iteración
x2 = g (x1) =
2 (3: 333 959 168)3 � 11:7 (3: 333 959 168)2 � 5
�17:7 = 3: 442 543 247
c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x0 = 3; = 0:001).
Solución:
Sea la función
f(x) = 2x3 � 11:7x2 + 17:7x� 5
y su derivada
f 0 (x) = 6x2 � 23: 4x+ 17: 7
Evaluando el punto x0 = 3:
Primera Iteración
f(x0) = 2 (3)
3 � 11:7 (3)2 + 17:7 (3)� 5 = �3: 2
f 0 (x0) = 6 (3)
2 � 23: 4 (3) + 17: 7 = 1: 5
Calculando
x1 = 3�
�3:2
1:5
= 5: 133 333 333
Segunda Iteración
f(x1) = 2 (5: 133 333 333)
3�11:7 (5: 133 333 333)2+17:7 (5: 133 333 333)�5 = 48:
090 074 06
f 0 (x1) = 6 (5: 133 333 333)
2 � 23: 4 (5: 133 333 333) + 17: 7 = 55: 686 666 65
Calculando
x1 = 5: 133 333 333�
48: 090 074 06
55: 686 666 65
= 4: 269 750 056
Tercera Iteración
f(x1) = 2 (4: 269 750 056)
3�11:7 (4: 269 750 056)2+17:7 (4: 269 750 056)�5 = 12:
956 243 54
f 0 (x1) = 6 (4: 269 750 056)
2 � 23: 4 (4: 269 750 056) + 17: 7 = 27: 172 441 93
2
Calculando
x1 = 4: 269 750 056�
12: 956 243 54
27: 172 441 93
x1 = 3: 792 934 48
d) Con el método de la secante (tres iteracionesx�1 = 3; x0 = 4).
Solución:
Tenemos la función
f(x) = 2x3 � 11:7x2 + 17:7x� 5
Calculando la iteraciones:
Primerra iteración
x�1 = 3 f(x�1) = 2 (3)
3 � 11:7 (3)2 + 17:7 (3)� 5 = �3: 2
x0 = 4 f(x0) = 2 (4)
3 � 11:7 (4)2 + 17:7 (4)� 5 = 6: 6
x1 = 4�
(6:6) (3� 4)
�3:2� 6:6 = 3: 326 530 612
Segunda Iteración:
x�1 = 4 f(x�1) = 2 (4)
3 � 11:7 (4)2 + 17:7 (4)� 5 = 6: 6
x0 = 3: 326 530 612 f(x0) = 2 (3: 326 530 612)
3�11:7 (3: 326 530 612)2+17:7 (3: 326 530 612)�
5 = �1: 968 853 115
x1 = 3: 326 530 612�
(�1: 968 853 115) (4� 3: 326 530 612)
6:6� (�1: 968 853 115) = 3: 481 272 709
Tercera Iteración:
x�1 = 3: 326 530 612 f(x�1) = 2 (3: 326 530 612)
3�11:7 (3: 326 530 612)2+
17:7 (3: 326 530 612)� 5 = �1: 968 853 115
x0 = 3: 481 272 709 f(x0) = 2 (3: 481 272 709)
3�11:7 (3: 481 272 709)2+17:7 (3: 481 272 709)�
5 = �0:795 915 325 8
x1 = 3: 481 272 709 �
(�0:795 915 325 8) (3: 326 530 612� 3: 481 272 709)
�1: 968 853 115� (�0:795 915 325 8) = 3:
586 275 385
e) Con el método de la secante modi�cado (tres iteraciones, x0 = 3; = 0:01).
Calcule el porcentaje aproximado de errores relativos para sus soluciones.
3
6.21 La función x3 � 2x2 � 4x+ 8 tiene una raíz doble en x = 2. Emplee
a) el método estándar de Newton-Raphson [ec. (6.6)],
b) el método de Newton-Raphson modi�cado [ec. (6.9a)], y
c) el método de Newton-Raphson modi�cado [ec. (6.13)] para resolver para la
raíz enx = 2. Compare y analice la tasa de convergencia con un valor inicialx0 = 1:2
4
6.22 Determine las raíces de las siguientes ecuaciones no lineales simultáneas, por
medio de los métodos de a) iteración de punto �jo, y b) Newton-Raphson:
y = �x2 + x+ 0:75
y + 5xy = x2
5
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
0.0074𝑥𝑖
2 − 0.284𝑥𝑖
2 + 3.335𝑥𝑖
2 − 12.183𝑥𝑖 + 5
0.0296𝑥𝑖
3 − 0.852𝑥𝑖
2 + 6.71𝑥𝑖 − 12.183
 
 
ITERACION 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖) |𝜀𝑎| 
0 16.15 -9.57445 -1.35368 
1 9.077102 8.678763 0.662569 77.920% 
2 -4.02101 128.6318 -54.864 325.742% 
3 -1.67645 36.24995 -25.966 139.852% 
4 -0.2804 8.686147 -14.1321 497.887% 
5 0.334244 1.292213 -10.0343 183.890% 
6 0.463023 0.050416 -9.25584 27.813% 
7 0.46847 8.8105 -9.22351 1.163% 
8 0.46848 2.7010 -9.22345 0.002% 
 
Utilice valores iniciales de x = y = 1:2, y analice los resultados.
 
SOLUCION: 
6.25 6 El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado se expresa
así:
V
dc
dt
= W �Qc� kV
p
c
Dados los valores de parámetros V = 1 � 106m3, Q = 1 � 105m3=a~no y W =
1 � 106g=a~no, y k = 0:25m0:5=a~no, use el método de la secante modi�cado para
resolver para la concentración de estado estable. Emplee un valor inicial c = 4g=m3
y = 0:5. Realice tres iteraciones y determine el error relativo porcentual después
de la tercera iteración.
𝑓(𝑐) = − 𝑐 = 0 𝑔(𝑐) =
𝑊−𝑘𝑉√𝑐
𝑄
 
c f ( c )
0 16
1 11.96
2 8.24
3 4.84
4 1.76
5 -1
6 -3.44
7 -5.56
8 -7.36
9 -8.84
10 -10
𝑊−𝑘𝑉√𝑐
𝑄
aEvaluando f(c)�� 
Por lo c está entre 4 y 5 
 
 
 
 
 
 
 Evaluando a este valor mediante iteraciones tenemos:
 
𝑐 = 4.62571702 𝑔/𝑚3 
Para un error 𝜀0 ≤ 10
−3 
el valor para la 
concentración de estado 
estable c será: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑐 = 4.62571702 𝑔/𝑚3 
iteracion Co g(Co) error Observacion
0 4 5
1 5 4.40983006 0.2 continua
2 4.40983006 4.75010116 0.13383054 continua
3 4.75010116 4.5513183 0.0716345 continua
4 4.5513183 4.66654527 0.04367589 continua
5 4.66654527 4.599453 0.02469213 continua
6 4.599453 4.63841616 0.01458701 continua
7 4.63841616 4.61575437 0.0084001 continua
8 4.61575437 4.62892331 0.00490966 continua
9 4.62892331 4.62126681 0.00284493 continua
10 4.62126681 4.62571702 0.0016568 continua
11 4.62571702 4.62312997 0.00096206 es raiz