Ejercicios ii de Metodos numericos

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9.5) Dado el siguiente sistema de ecuaciones�
�1:1x1 + 10x2 = 120
�2x1 + 17:4x2 = 174
a) Resuélvalo grá�camente y compruebe el resultado con la sustitución en las ecua-
ciones.
Solución:
Tenemos �
�1:1x1 + 10x2 = 120
�2x1 + 17:4x2 = 174
Despejando x2
x2 =
1:1
10
x1 +
120
10
x2 =
2
17:4
x1 +
174
17:4
Gra�cando
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
x
y
b) Sobre la base de la solución grá�ca, ¿qué se espera con respecto de la condición del
sistema?
El sistema mal condicionado donde las pendientes son tan cercanas que es difícil detectar vi-
sualmente el punto de intersección, pero de que analíticamente, las rectas se intersecan.
1
c) Calcule el determinante.
Tenemos que el sistema es, �
�1:1x1 + 10x2 = 120
�2x1 + 17:4x2 = 174
Para calcular su deteminante, se tiene
D =
���� �1:1 10�1 17:4
����
= (�1:1) (17:4)� (�1) (10)
= �9: 14
d) Resuelva por medio de la eliminación de incógnitas.
Tenemos que el sistema es, �
�1:1x1 + 10x2 = 120
�2x1 + 17:4x2 = 174
Usando el método de eliminación, se tiene.
Eliminando x1 y multiplicando la primera ecuación por �2; y la segunda por, 1:1;�
�1:1x1 + 10x2 = 120
�2x1 + 17:4x2 = 174
���� (�2)(1:1)
se tiene
2:2x1 � 20x2 = �240
�2:2x1 + 19:14x2 = 191:4
de donde
�0:86x2 = �48:6
x2 =
�48:6
�0:86
x2 = 56: 511 627 91
Y el valor de x2 es,
x1 = 404: 651 162 8
9.7) Dadas las ecuaciones,
0:5x1 � x2 = �9:5
1:02x1 � 2x2 = �18:8
a) Resuelva en forma grá�ca.
Despejando en ambas ecuaciones x2;
x2 = 0:5x1 + 9:5
x2 =
1:02
2
x1 +
18:8
2
gra�cando
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
x
y
b) Calcule el determinante.
Calculando su determinante
D =
���� 0:5 �11:02 �2
����
= 0:02
c) Con base en los incisos a) y b), ¿qué es de esperarse con respecto de la condición
del sistema?
Es de esperarce que el sistema esté mal condicionado, donde las pendientes son tan cercanas
que es difícil detectar visualmente el punto de intersección, pero de que analíticamente, las rectas
se intersecan.
d) Resuelva por medio de la eliminación de incógnitas.
Elimando x1; del sistema, y multiplicando la primera ecuación por 1:02 y la seguna por �0:5
0:5x1 � x2 = �9:5
1:02x1 � 2x2 = �18:8
���� (1:02)(�0:5)
se tiene
0:51x1 � 1:02x2 = �9:69
�0:51x1 + x2 = 9:4
reduciendo términos
�0:02x2 = �0:29
x2 =
�0:29
�0:02
= 14: 5
3
y que x1; es
x1 = 10:0
e) Resuelva otra vez, pero modi�que ligeramente el elemento a11 a 0:52. Interprete sus
resultados.
Resolviendo para el nuevo valor,
0:52x1 � x2 = �9:5
1:02x1 � 2x2 = �18:8
Elimando x1; del sistema, y multiplicando la primera ecuación por 1:02 y la seguna por �0:5
0:52x1 � x2 = �9:5
1:02x1 � 2x2 = �18:8
���� (1:02)(�0:52)
se tiene
0:5304x1 � 1:02x2 = �9:69
�0:5304x1 + 1:04x2 = 9:776
al resolver el sistema se obtiene los valores
x1 = 10
x2 = 4:3
Interpretando los resultados: Al ver aumento leve de 0:2; el valor de x1 quedó invariente,
debido a que es la varieble independiente, en cambio la variable dependiente, aumento en (14:
5� 4:3 = 10: 2) de 10:2, en cuestión de producción eso podría signi�car un aumento de una cierta
caracteristica.
9.10) Dado el sistema siguiente de ecuaciones
�3x2 + 7x3 = 2
x1 + 2x2 � x3 = 3
5x1 � 2x2 = 2
a) Calcule el determinante.
Calculando el determinante se tiene
D =
0 �3 7
1 2 �1
5 �2 0
= �69
b) Use la regla de Cramer para encontrar cuáles son los valores de las x.
4
Ahora calculado el determinante para x; es decir Dx1 ;
Dx1 =
2 �3 7
3 2 �1
2 �2 0
= �68
de igual manera para Dx2 ;
Dx2 =
0 2 7
1 3 �1
5 2 0
= �101
y por último Dx3 ;
Dx3 =
0 �3 2
1 2 3
5 �2 2
= �63
Una ves tenemos los determinantes, calculamos los valores de las incognitas.
x1 =
Dx1
D
=
�68
�69 = 0:985 507 246 4
x2 =
Dx2
D
=
�101
�69 = 1: 463 768 116
x3 =
Dx3
D
=
�63
�69 = 0:913 043 478 3
c) Emplee eliminación de Gauss con pivoteo parcial para obtener cuáles serían los
valores de las x.
Exprensando el sistema en forma de matriz,0@ 0 �3 71 2 �1
5 �2 0
1A0@ xy
z
1A =
0@ 23
2
1A
Escribiendo el sistema en forma de matriz aumentada y usando la eliminacipon Gaussiana,0@ 0 �3 71 2 �1
5 �2 0
������
2
3
2
1A
intercambiando la F1 con la F3 0@ 5 �2 01 2 �1
0 �3 7
������
2
3
2
1A
restando
1
5
F1 a F2 0B@ 5 �2 00 12
5
�1
0 �3 7
�������
2
13
5
2
1CA
5
multiplicando 5F2 0@ 5 �2 00 12 �5
0 �3 7
������
2
13
2
1A
y
1
4
F2 de F3 0B@ 5 �2 00 12 �5
0 0
23
4
�������
2
13
21
4
1CA
multiplicando 4F3 0@ 5 �2 00 12 �5
0 0 23
������
2
13
21
1A
dividiendo
1
23
F3 0B@ 5 �2 00 12 �5
0 0 1
������
2
13
21
23
1CA
y de igual forma 5F3 a la F2 0BB@ 5 �2 00 12 0
0 0 1
������
2
404
23
21
23
1CCA
dividiendo
1
12
F2 0BB@ 5 �2 00 1 0
0 0 1
������
2
101
69
21
23
1CCA
y 2F2 + F1 0BBBB@
5 0 0
0 1 0
0 0 1
������
340
69
101
69
21
23
1CCCCA
y por ultimo
1
5
F1 0BBBB@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
������
68
69
101
69
21
23
1CCCCA
6
Por lo tanto
x1 =
68
69
x2 =
101
69
x3 =
21
23
d) Sustituya sus resultados en las ecuaciones originales para efectos de comprobación
Comprobando,
�3x2 + 7x3 = 2
x1 + 2x2 � x3 = 3
5x1 � 2x2 = 2
=)
�3
�
101
69
�
+ 7
�
21
23
�
= 2
68
69
+ 2
�
101
69
�
� 21
23
= 3
5
�
68
69
�
� 2
�
101
69
�
= 2
�
9.13) Dado el sistema siguiente de ecuaciones
x1 + x2 � x3 = �3
6x1 + 2x2 + 2x3 = 2
�3x1 + 4x2 + x3 = 1
por medio de: a) eliminación de Gauss simple; b) eliminación de Gauss con pivoteo
parcial; y c) método de Gauss-Jordan sin pivoteo parcial.
Exprensando el sistema en forma de matriz,0@ 1 1 �16 2 2
�3 4 1
1A0@ xy
z
1A =
0@ �32
1
1A
Escribiendo el sistema en forma de matriz aumentada y usando la eliminacipon Gaussiana,0@ 1 1 �16 2 2
�3 4 1
������
�3
2
1
1A
intercambiando la F1 con la F2 0@ 6 2 21 1 �1
�3 4 1
������
2
�3
1
1A
7
restando F2 �
1
6
F1; 0B@ 6 2 20 2
3
�4
3
�3 4 1
�������
2
�10
3
1
1CA
dividiendo F1 por 2 0B@ 3 1 11 2
3
�4
3
�3 4 1
�������
1
�10
3
1
1CA
ymultiplicando F2 por
3
2 0@ 3 1 10 1 �2
�3 4 1
������
1
�5
1
1A
agregando la F1 una a la F3 0@ 3 1 10 1 �2
0 5 2
������
1
�5
2
1A
intercambiando F2 por F3 0@ 3 1 10 5 2
0 1 �2
������
1
2
�5
1A
restando F3 �
1
5
F2 0B@ 3 1 10 5 2
0 0 �12
5
�������
1
2
�27
5
1CA
multiplicando
�5
3
F3 0@ 3 1 10 5 2
0 0 4
������
1
2
9
1A
dividiendo F3 por 4 0B@ 3 1 10 5 2
0 0 1
������
1
2
9
4
1CA
restando F2 � 2F3 0BB@ 3 1 10 5 0
0 0 1
������
1
�5
2
9
4
1CCA
8
dividiendo F2 por 5; 0BB@ 3 1 10 1 0
0 0 1
������
1
�1
2
9
4
1CCA
restando F1 � F2 0BB@ 3 0 10 1 0
0 0 1
������
1
�1
2
9
4
1CCA
restando F1 � F3 0BB@ 3 0 00 1 0
0 0 1
������
1
�1
2
9
4
1CCA
dividiendo F1 por 3; 0BBBB@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
������
�1
4
�1
2
9
4
1CCCCA
por tanto la solución del sistema por el método de Gauss, es
x1 =
�1
4
x2 = �
1
2
x3 =
9
4
9