SEMANA 5

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ECUACION DE LA CONTINUIDAD 
 
 (1) (2) 
 
u1; A1; 𝜌1 u2; A2; 𝜌2 
 
Se sabe que: 
SALIDA + ACUMULACION = 0 
 0 
∬𝜌(𝒗. 𝒏)𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
∭ 𝜌𝑑𝑉 = 0 
 
Como el flujo es permanente: 
LA ACUMULACION = 0 
 
∬𝜌(𝒗.𝒏)𝑑𝐴 = 0 
 
También: 
∬𝜌(𝒗. 𝒏)𝑑𝐴 = ∬𝑣𝜌𝑐𝑜𝑠 ∝1 𝑑𝐴 + ∬𝑣𝜌𝑐𝑜𝑠 ∝2 𝑑𝐴 = 0 
 
∬𝜌(𝒗. 𝒏)𝑑𝐴 = − ∬𝑣𝜌𝑐𝑜𝑠 ∝1 𝑑𝐴 + ∬𝑣𝜌𝑐𝑜𝑠 ∝2 𝑑𝐴 = 0 
 
La ecuación queda: 
−𝜌1𝑣1 ∬𝑑𝐴 + 𝜌2𝑣2 ∬𝑑𝐴 = 0 
Entonces: 
𝜌1𝑣1𝐴1 = 𝜌2𝑣2𝐴2 
 
La ecuación de la continuidad deducida a partir de la ecuación general para un 
flujo uniforme o para un fluido compresible es: 
 
𝑚 =̇ 𝜌1𝑣1𝐴1 = 𝜌2𝑣2𝐴2 
 
En el caso de que la 𝜌 es constante: 
 
𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 
Ecuación de la continuidad para un fluido incompresible 
 
Para un sistema de multicomponentes 
 
𝑚𝑖2 − 𝑚𝑖1 +
𝑑𝑀𝑖
𝑑𝑡
= 𝑅𝑖 
Donde: 
𝑚𝑖2 : velocidad de flujo de masa del componente i que sale del volumen de 
control 
𝑅𝑖 : velocidad degeneración del componente i en el volumen de control en 
kg por unidad de tiempo . 
Aquí los flujos de difusión se desprecian o se suponen sin influencia. 
 
Velocidad promedio para uso en el balance global de masa 
Si la velocidad No es constante sino que varía en distintos puntos del área de 
superficie, se defina una velocidad promedio mediante: 
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
1
𝐴
∬𝑣𝑑𝐴 
 
 
 
Variación de la velocidad en diferentes puntos de la superficie 
de control y velocidad promedio. 
Para un flujo incompresible (𝝆 constante) a través de una tubería circular de 
radio R, el perfil de velocidad es parabólico para el flujo laminar 
𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 [1 − (
𝑟
𝑅
) 𝑒2] 
Donde: 
𝑣𝑚𝑎𝑥 : Velocidad máxima en el centro del conducto circular esto es r = 0 
𝑣 : velocidad a una distancia radial (r) del centro 
R : distancia radial hacia la superficie interior del del área circular bajo 
consideración. 
 
Obtención de la velocidad media o promedio 
La velocidad promedio está representado en la siguiente ecuación en 
coordenadas cartesianas: 
𝑑𝐴 𝑒𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
Sin embargo, podemos transformarla en coordenadas polares que son mas 
apropiadas para una tubería. 
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑣𝑚𝑎𝑥
2
 
 
Ejemplo: 
Está fluyendo agua a través de un conducto circular, con un perfil de velocidad 
dado por la ecuación: 
𝑣 == 6(1 − 𝑟
2
16⁄ ) fps 
¿Cuál es la velocidad promedio del agua en el tubo de 1.5 ft? La tubería es de 8 
ft por donde ingresa el fluido. 
 
 
 
 
SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO 
ENFOQUE DE VOLUMEN DE CONTROL 
Basándonos en la Segunda Ley de Newton, encontramos relaciones integrales 
tanto para el momento lineal como para el momento angular y tomaremos en 
cuenta las aplicaciones de estas expresiones a situaciones físicas. 
RELACION INTEGRAL PARA EL MOMENTO LINEAL 
La segunda Ley de Newton del movimiento se puede enunciar de la siguiente 
manera: 
La rapidez de cambio de momento de un sistema es igual a la fuerza neta que 
actúa sobre el sistema y ocurre en la dirección de la fuerza neta. 
 
 BALANGE GENERAL DEL MOMENTO LINEAL 
 DERIVACION DE LA ECUACION GENERAL 
 Escribiendo el balance de momento lineal para el volumen de 
control de la siguiente fig: 
 
 (1) (2) 
 𝑣1𝜌1 𝑣2𝜌2 
 
 
 Volumen Superficie 
 De control de control 
 
El momento lineal en contraste con la masa y energía es una cantidad vectorial. 
El vector lineal total de momento lineal (P) de la masa total (M) de un fluido en 
movimiento con una velocidad (v) 
𝑷 = 𝑀𝒗 
Donde: 
El término 𝑀𝒗 es el momento lineal de esta masa, M en movimiento, incluida 
en el instante dado dentro del volumen de control 
La Ley de Newton puede expresarse como: La velocidad de cambio de momento 
lineal de un sistema es igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre 
dicho sistema y tiene lugar en la dirección de la fuerza neta resultante, o sea: 
∑𝑭 =
𝑑𝑷
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑀𝒗)
𝑑𝑡
 
 
Entonces la ecuación para la conservación de momento lineal con respecto a un 
volumen de control puede escribirse como: 
 
[
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒
𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙
] =
[
 
 
 
 
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 
𝑎𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 ]
 
 
 
 
−
[
 
 
 
 
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 
𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 ]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒
𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙]
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, el momento lineal no se conserva ya que es generado por fuerzas 
externas al sistema. 
Si no existen fuerzas externas, si hay conservación del momento lineal. 
Al usar el volumen de control general de la fig. anterior se pueden evaluar los 
diversos términos de la ecuación anterior usando métodos muy similares al 
desarrollo del Balance General de Masa. Para un elemento pequeño de area dA 
en la superficie de control. 
[
 
 
 
 
 
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑒𝑓𝑢𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 ]
 
 
 
 
 
= 𝒗(𝝆𝒗)(𝒅𝑨𝒄𝒐𝒔𝛼) 
Luego por algebra vectorial se sabe que: 
𝜌𝑢(𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) = 𝜌𝑑𝐴𝑢𝑐𝑜𝑠𝛼 
Se sabe: 
𝒗𝑛𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝒗𝑛. 𝒗 = 𝒏. 𝒗 
Entonces: 
𝜌𝑢(𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) = 𝜌𝑑𝐴|𝒗||𝒏|𝑐𝑜𝑠𝛼 
 
𝜌𝑢(𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) = 𝝆𝒅𝑨(𝒗. 𝒏) 
 
𝒗𝜌𝑢(𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼) = 𝝆𝒗(𝒗. 𝒏)𝑑𝐴 
Integrando entre los límites de la totalidad de la superficie de control: 
 
{
𝐸𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑒𝑡𝑎
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝐶𝑉
} = ∬𝒗(𝜌𝑣) 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝐴 = ∬𝜌𝒗(𝒗.𝒏)𝒅𝑨 
 
La velocidad de acumulación del momento lineal dentro del volumen de control 
V es 
{
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒 𝑚𝑝𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐶𝑉
} =
𝜕
𝜕𝑡
∭𝜌 𝒗𝑑𝑉 
 
Remplazando en las ecuaciones, el balance global de momento lineal para un 
volumen de control es: 
∑ 𝑭 = ∬𝜌𝒗(𝒗. 𝒏) 𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
∭𝜌𝒗𝑑𝑉 
 
A esta relación se conoce en Mecánica de fluidos como Teorema del momento, 
se puede notar también que esta ecuación es una expresión vectorial 
En coordenadas rectangulares la ecuación vectorial anterior se puede escribir 
las ecuaciones escalares componentes para las direcciones x,y,z. 
O sea: en el SI 
∬𝑣𝑥 𝜌𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
∭𝜌 𝑣𝑥𝑑𝑉 
En el sistema Ingles: 
∑𝑭𝒙 = ∬𝑣𝑥
𝜌
𝑔𝑐
𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
∭𝜌𝑣𝑥𝑑𝑉 
 
∑𝑭𝒚 = ∬𝑣𝑦𝜌𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
∭𝜌𝑣𝑦𝑑𝑉 
 
∑𝑭𝒛 = ∬𝑣𝑧𝜌𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
∭𝜌𝑣𝑧𝑑𝑉 
fuerzas. Estos se determinan de la siguiente forma: 
1) Fuerza de cuerpo (Fxg) 
Es la fuerza en la dirección x causada por la acción de la gravedad sobre 
la masa total M del volumen de control. 
Esta fuerza Fxg es Mgx 
Cuando la dirección x es horizontal, esa fuerza equivale a cero. 
 
2) Fuerza de presión (Fxp) 
Es la fuerza en dirección x causada por las presiones que actúan sobre la 
superficie del sistema fluido. Cuando la superficie de control pasa a través 
del fluido, se considera que la presión se dirige hacia adentro y 
perpendicularmente a la superficie. 
En algunos casos, parte de la superficie de control puede ser un sólido, y 
esta pared se incluye entonces dentro de la superficie de control. También 
existe una contribución a Fxp de la presión en el exterior de esa pared, 
que es comúnmente la presión atmosférica. Si se emplea presión 
manométrica la integral de la presión externa que es constante entre los 
límites de la totalidad de la superficie puede despreciarse de manera 
automática. 
 
3) Fuerza de fricción (Fxs) o cortante 
Durante el flujo del fluido está presente una fuerza de fricción o cortante 
Fxs en la dirección x que desarrolla sobre el fluido una pared sólida 
cuando la superficie de control atraviesa el sistema entre el fluido y la 
pared sólida. En algunos casos, esta fuerza defricción puede ser 
despreciable en comparación con las demás y no se toma en cuenta. 
 
4) Fuerza de la superficie sólida (Rx) 
En los casos en que la superficie de control pasa por un sólido esta 
presente (Rx), que es el componente x de la resultante de las fuerzas que 
están actuando sobre el volumen de control en dichos puntos. Esto se 
presenta en casos típicos donde el volumen de control incluye una 
sección de una tubería, así como el fluido que transporta. Esta es la fuerza 
ejercida por la superficie sólida sobre el fluido. 
 
∑𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑔 + 𝐹𝑥𝑝 + 𝐹𝑥𝑠 + 𝑅𝑥 
Puede escribirse ecuaciones similares para las direcciones Y y Z. 
 
Ejemplo: 
Fluye un fluido constantemente a través de un codo de tubo. Encontrar la fuerza 
ejercida sobre el codo cuyo diámetro se reduce en un extremo tal como se 
muestra en la fig. 
CONSERVACION DDE LA ENERGIA 
ENFOQUE DE VOLUMEN DE CONTROL 
TERCERA LEY FUNDAMENTAL 
 
La tercera ley fundamental que se va a aplicar en el análisis del flujo de fluidos 
es la Primera Ley de la Termodinámica 
RELACIÓN INTEGRAL PARA LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA 
La primera Ley de la Termodinámica también recibe el nombre de conservación 
de la energía. El balance de energía se enuncia como sigue: 
“Un cambio de la energía total (cinética, potencial e interna) es igual al trabajo 
realizado en la masa de control más el calor transferido a dicha masa. 
Matemáticamente podemos expresar como: 
𝑑𝐸 = 𝜕𝑄 + 𝜕𝑊 
La convención de signos indica que toda la energía transferida hacia el sistema 
es positiva (+). 
 
 +𝜕𝑊 
 
 
 +𝜕𝑄 
 Frontera del sistema 
Sin embargo, la primera Ley se aplica al sistema y sus alrededores y no 
únicamente al sistema. 
Entonces en su forma más básica, la primera Ley se puede escribir como: 
 
∆(𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) + ∆(𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠) = 0 
Entonces: 
∆(𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = ∆𝑈í + ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 
Luego: 
∆(𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠) = ±𝑄 ± 𝑊 
 
La convención moderna del signo, tanto para el calor (Q) como el trabajo(W), 
hace que los valores numéricos de ambas cantidades sean positivas para el 
transporte, de los alrededores hacia el sistema, a través de la frontera. 
 
∆𝑈𝑖 + ∆𝐸𝑘 + ∆𝐸𝑝 = 𝑄 + 𝑊 
 
Luego para sistemas cerrados a menudo experimentan procesos que no causan 
ningún cambio en su Ek o Ep externas, sino solamente en su energía interna. 
Para cambios finitos: 
∆𝑈𝑖 = 𝑄 + 𝑊 
 
Para pequeños cambios o cambios diferenciales 
𝑑𝑈𝑖 = 𝑑𝑄 + 𝑑𝑊 
 
Entonces la Primera Ley de la Termodinámica que se va a aplicar en el análisis 
del flujo de fluidos establece lo siguiente: 
Si se lleva un sistema a través de un ciclo, el calor total que el sistema adquiere 
de la región circundante es proporcional al trabajo realizado por el sistema sobre 
la región circundante. 
 
∮𝜕𝑄 =
1
𝐽
∮𝜕𝑊 
 
Si tenemos un ciclo termodinámico como el que aparece en la fig. El ciclo se 
realiza entre los puntos 1 y 2 a lo largo de las trayectorias indicadas, así: 
 
 2 
 a 
 p 
 b 
 1 
 𝜌 
Usando la ecuación anterior se puede escribir con relación al ciclo “a” 
∫ 𝜕𝑄 + ∫ 𝜕𝑄 = ∫ 𝜕𝑊 + ∫ 𝜕𝑊
1
2𝑎
2
1𝑎
1
2𝑎
2
1𝑎
 
 
Para la trayectoria b 
∫ 𝜕𝑄 + ∫ 𝜕𝑄 = ∫ 𝜕𝑊 + ∫ 𝜕𝑊
1
2𝑏
2
1𝑎
1
2𝑏
2
1𝑎
 
 
Restando esta última ecuación con la anterior se tiene: 
 
∫ (𝜕𝑄 − 𝜕𝑊) =
1
2𝑎
∫ (𝜕𝑄 − 𝜕𝑊) =
1
2𝑏
 
 
Como cada lado de esta ecuación representa el integrando calculado entre los 
mismos puntos pero a lo largo de trayectorias diferentes, se deduce que la 
cantidad (𝜕𝑄 − 𝜕𝑊) es igual a una función de punto o a una propiedad. A 
esta propiedad se le designa dE, que es la energía total del sistema. 
Entonces se puede escribir una ecuación alterna para la Primera Ley de la 
Termodinámica así: 
𝜕𝑄 − 𝜕𝑊 = 𝑑𝐸 
En un sistema en el cual se está llevando a cabo un proceso que está ocurriendo 
en el intervalo de tiempo dt, la ecuación se puede escribir: 
 
𝜕𝑄
𝜕𝑡
−
𝜕𝑊
𝑑𝑡
=
𝑑𝐸
𝑑𝑡