Variedades_diferenciables - Oscar Santamaría

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Variedades Diferenciables
Una introduccíon
Oscar Santamaria Santisteban
– 15 de noviembre de 2014 –
UNPRG
Lambayeque-Perú
c©2008 by racso
Contenido
1. Preliminares topoĺogicos 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Subespacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Espacios identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Acción de un grupo sobre un espacio topológico . . . . . .. . . . 12
1.5. Espacios de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6. Bases para una topologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Variedades diferenciables 33
2.1. Espacios localmente euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2.2. Variedades topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Algunas propiedades topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
2.4. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5. Estructuras diferenciables sobre conjuntos . . . . . . . .. . . . . 72
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3. Aplicaciones Diferenciables 81
3.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2. El espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.1. Primera construcción del Espacio Tangente . . . . . . .. 100
3.2.2. Segunda construcción del Espacio Tangente . . . . . . .. 112
3.3. El Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4. Diferencial de una Aplicación Diferenciable . . . . . . .. . . . . 134
3.4.1. Linealidad de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.2. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
I
II Contenido
3.4.3. Diferencial de una función (enfoque usando la construc-
ción algebraica deTpM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.5. El espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4. Particiones de la unidad 151
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2. Existencia de particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . .. 156
5. Inmersiones. Incrustaciones. Subvariedades 159
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2. Inmersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3. Incrustaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6. Submersiones. Transversalidad 205
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2. Submersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.3. Transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7. Campos Vectoriales 231
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2. Campos Vectoriales Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
7.3. Campos vectoriales relacionados por una aplicación .. . . . . . . 242
7.4. Curvas Integrales y Flujo Local de un Campo Vectorial . .. . . . 245
7.4.1. Curvas Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.4.2. Flujo Local o Grupo Uniparamétrico . . . . . . . . . . . . 250
7.5. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.6. Campos Vectoriales Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262
7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
A. 269
A.1. Definiciones y algunos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Bibliograf ı́a 273
O. Santamaria S.
Caṕıtulo 1
Preliminares topológicos
1.1. Introducción
En propósito de este capı́tulo es presentar una revisión rápida de las principales
nociones topológicas, las mismas que a su vez permitirán un mejor entendimiento
de lo que será tratado en los capı́tulos que siguen, donde todo girará en torno al
objeto principal llamadovariedad diferenciable.
Como sabemos, dada una funciónf : X → Rn, definida en un conjuntoX ⊆ Rm,
un aspecto importante a estudiar es la continuidad de esta. En los cursos básicos
de análisis, dicha noción es expresada en términos de losfamososǫ’s y δ’s. Para
ser más precisos, recordemos que una funciónf : X ⊆ Rn → Rm es continua
en un puntoa ∈ X, si para todoǫ > 0 es posible obtener unδ > 0 de tal forma
quef(X ∩ B(a, δ)) ⊆ B(f(a), ε). Aquı́, B(x, r) denota a una bola abierta de
centrox y radior > 0. No interesa el tipo de norma que se utilize para analizar la
continuidad, pues al fin y al cabo dos normas cualesquiera enRn son equivalentes.
Cuando la noción de continuidad es vista fuera del contextode los espacios eucli-
dianos, esta se hace un poco más complicada, pues no siempredispondremos de
una norma. Por ejemplo, ¿cómo analizar la continuidad de una función definida
en un espacio cociente, en donde las rectas son vistas como puntos? Una manera
de arreglar esta situación es a través del concepto de métrica, pero esto no basta.
Necesitamos de un concepto mucho mas general, y este es el detopoloǵıa so-
bre un conjunto. Luego de observar las propiedades que cumplen las colecciones
de conjuntos abiertos en un espacio euclidiano, o más generalmente en un espacio
métrico, se llega a la Definición 1.1, que veremos a continuación. Dado un conjun-
to no vacı́oX, denotaremos porP(X) a la colección de todos los subconjuntos
1
2 1.1.Introduccíon
deX, es decir,P(X) es el conjunto de partes deX.
DEFINICI ÓN 1.1. SeaX un conjunto no vaćıo. Se llamatopologı́a sobreX a un
subconjuntoT deP(X) que cumple con las siguientes propiedades:
T.1. Los conjuntos∅ (vaćıo) yX son elementos deT .
T.2. Toda reuníon arbitraria de elementos deT es un elemento deT .
T.3. Toda intersección finita de elementos deT es un elemento deT .
Observacíon 1.1. El par (X,T ) es denominadoEspacio Topoĺogico.Si en un
determinado contexto está claro qué topologı́a se está utilizando entonces(X,T )
es denotado simplemente comoX.
A los elementos deT se les denominaconjuntos abiertosenX. Por otro lado, un
conjuntoC ⊆ X escerrado enX si su complemento,X −C, es elemento deT .
En conveniente decir algunas palabras acerca de la condici´on (T.1): Lo que se
pide es que el conjunto vacı́o,∅, sea un elementodeT . Esto no deberı́a causar
confusión con el hecho de que∅ es un subconjunto deT , lo cual siempre es
verdad. Por ejemplo, en la colecciónT = {{1}, {2}, {1, 2}} se tiene que∅ ⊆ T
pero∅ /∈ T .
EJEMPLO 1.1. En todoconjuntoX es posible definir al menos dos topologı́as:
T0 := {∅, X} y P(X) :=conjunto de partes deX. La primera de ellas es llamada
topoloǵıa trivial o tambiéntopoloǵıa indiscreta, mientras queP(X) se denomina
topoloǵıa discreta. Para cualquier otra topologı́aR que eventualmente se pueda
definir sobreX, siempre se tendrá queT0 ⊆ R ⊆ P(X). Es decir, la topologı́a
discreta es lamenor topoloǵıa (en el sentido de la inclusión de conjuntos) mientras
queP(X) es la más grande que se puede definir sobre cualquier conjunto.
EJEMPLO 1.2. Sead una métrica definida en el espacio euclidianoRm. En el
espacio métrico(Rm, d), un conjuntoA ⊆ Rn esconjunto abierto enRm si para
cada puntop deA existe una bola abierta, de centrop, contenida enA. Es sencillo
mostrar que la colección de abiertos enRm constituye una topologı́a sobreRm
(ver item A.1, en el apéndice).
La topologı́a cuyos abiertos se describen haciendo uso de lamétrica euclidiana se
denominatopoloǵıa usual. En otras palabras, la topologı́a usual delRm es aquella
que es generada por la métrica euclidiana.
DEFINICI ÓN 1.2 (Continuidad. Homeomorfimos). Sean(X,T ) e (Y,R) espa-
cios topoĺogicos. Una funcíon f : (X,T ) → (Y,R) escontinuaenX si para
todoV∈ R, se tiene quef−1(V ) ∈ T .
Si adeḿas de continua,f es una biyección con inversaf−1 : (Y,R) → (X,T )
tambíen continua, entoncesf se denominahomeomorfismo. En este caso, se dice
que los espacios topológicos(X,T ) e (Y,R) sonhomeomorfos.
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 3
EJEMPLO 1.3.
1. Considere el espacio topológico(X,P(X)) y sea(Y,R) un espacio topológi-
co arbitrario.Cualquier función f : (X,P(X)) → (Y,R) es continua. En
efecto, dado cualquierA ∈ R se tiene en particular quef−1(A) ⊆ X luego
f−1(A) ∈ P(X).
2. En el otro extremo si(Y,T0) es un espacio topológico tal queT0 es latopo-
loǵıa trivial sobreY , entoncestoda funciónf : (X,T ) → (Y,T0), definida
en un espacio topológico cualquiera(X,T ), es continua. Esto es inmediato de
ver puesf−1(∅) = ∅ ∈ T y f−1(Y ) = X ∈ T .
3. Suponiendo queX es un conjunto con más de un elemento, es imposible que
exista un homeomorfismo entre(X,T0) y (X,P(X)), conT0 y P(X) las
topologı́as trivial y discreta, respectivamente. En efecto, si existiera algún ho-
meomorfismof : (X,T0) → (X,P(X)) entonces, en particular, consideran-
do el conjunto{x} ∈ P(X), para algúnx ∈ X, se tiene quef−1({x}) es
diferente tanto al conjunto vacı́o como al mismoX, puesX tiene más de un
elemento yf es biyectiva. Esto muestra qyef−1({x}) /∈ T0 y, por tanto,f no
es continua.
EJEMPLO 1.4. Dado cualquierx ∈ Rn+1, denote por‖x‖M y ‖x‖ a las normas
del máximo y euclidiana dex, respectivamente. Considere los conjuntos
Cn =
{
x ∈ Rn+1 : ‖x‖M = 1
}
y Sn =
{
x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1
}
,
ambos con la topologı́a inducida por la topologı́a usual delRn+1. Estos espacios
son homeomorfos (Fig. 1.1), y para mostrarlo basta definirf : Cn → Sn por medio
def(x) =
x
‖x‖ . Esta función es un homeomorfismo cuya inversa es la aplicación
g : Sn → Cn definida comog(x) = x‖x‖M
.
Fig. 1.1: Construcción de
un homeomorfismo entre
Cn y Sn
O. Santamaria S.
4 1.1.Introduccíon
Dentro de la topologı́a, los homeomorfismos forman una clasemuy importante
de funciones. Estos permiten establecer unaclasificacíon topoĺogicade espacios
topológicos. Para ser más precisos, imagine queF es la colección detodoslos
espacios topológicos. DadosX, Y ∈ F declaramos queX ∼ Y si, y solo si, estos
espacios son homeomorfos. Es sencillo ver que∼ es una relación de equivalencia
en F , lo que ocasiona una partición deF . La clasificación topológica consiste
entonces en obtener una lista completa de estas clases de equivalencias.
De manera coloquial se suele decir que ante dos espacios homeomorfos, a un
topólogo le da lo mismo estudiar a uno u otro de estos espacios. De hecho suele
suceder que aparecen en matemática espacios muy abstractos que, sin embargo,
pueden ser vistos como objetos “más reales” por medio de algún otro espacio
homeomorfo (vea el Ejemplo 1.11). En este caso, la estrategia que se utiliza es
estudiar el espacio “que se puede ver” y ası́, con la información obtenida y con
la seguridad dada por el homeomorfismo, se obtiene información sobre el espacio
abstracto. En realidad el problema de la clasificación topológica es primordial en
topologı́a, y hasta el momento no se ha logrado obtener una completa solución.
Los avances que se han logrado hasta la actualidad, han sido posibles debido que
se ha tenido que restringir dicha clasificación a determinadas clases de espacios.
Incluso con estas restricciones, la topologı́a muchas veces tiene que recurrir a
otras ramas de la matemática. Por ejemplo, recurre al álgebra asociando a cada
espacio un grupo algebraico, llamadogrupo fundamental. Si dos espacios son
homeomorfos, por ejemplo, sus respectivos grupos fundamentales son isomorfos.
Con este resultado se puede demostrar queS1 × S1 no es homeomorfo aS2.
DEFINICI ÓN 1.3. Un propiedadP de espacios topológicos es uninvariante to-
pológicoo propiedad topológicasi es preservada por medio de homeomorfismos.
Es decir, una propiedadP de espacios topológicos es uninvariante topoĺogicosi
siempre que un espacio topológicoX tenga la propiedadP , entonces todo espacio
homeomorfo aX también tendrá dicha propiedad.
EJEMPLO 1.5. Las propiedades de ser espacio de Hausdorff, separable, prime-
ro enumerable, segundo enumerable y metrizable son, todas ellas, invariantes to-
pológicos (vea el capı́tulo 4 de [15]). Conexidad y compacidad son también inva-
riantes topológicos.
La propiedad de ser acotado no es una propiedad topológica.Por ejemplo el es-
pacioX =] − 1, 1[ es acotado, y además es homeomorfo aR, sin embargo este
último no es acotado. La funciónf : ] − 1, 1[→ R definida porf(x) = tan(π
2
x)
es un homeomorfismo entre estos espacios.
Observacíon 1.2. Los invariantes topológicos también ayudan en la tarea dela
clasificación topológica. Por ejemplo,R y R2, ambos con su respectiva topo-
logı́a usual, no son homeomorfos. En efecto, si existiera algún homeomorfismo
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 5
f : R → R2 entre ellos, entoncesf : R − {0} → R2 − {f(0)} también deberı́a
ser homeomorfismo. Pero eso es imposible porqueR−{0} es disconexo mientras
queR2 − {f(0)} es conexo. ❚
1.2. Subespacios topológicos
En el Ejemplo 1.6, que veremos a continuación, estudiaremos una forma de cons-
truir espacios topológicos. La idea es mostrar que dado cualquier espacio to-
pológicoX, cada subconjunto de este puede ser dotado de una topologı́aa partir
de la topologı́a deX. Esto trae como consecuencia que algunas propiedades deX
seanheredadaspor estos subconjuntos.
EJEMPLO 1.6 (Topologı́a de subespacio). Sea(X,T ) un espacio topológico,S
un subconjunto deX e i : S →֒ X la función inclusión. Recordar que esta función
es definida comoi(x) = x, para todox ∈ S. Entonces la colección
i∗T :=
{
i−1(V ) ⊆ S : V ∈ T
}
= {V ∩ S : V ∈ T } ,
es una topologı́a sobreS, la cual es llamadatopoloǵıa de subespacio. En este caso,
el par(S, i∗T ) es llamadosubespacio topológico de(X,T ).
EJEMPLO 1.7. Como caso particular del Ejemplo 1.6, se tiene que toda superficie
regularS ⊆ Rn, es subespacio topológico deRn (Fig. 1.2).
Fig. 1.2: Toda superficie
regularS ⊆ Rn es subes-
pacio topológico deRn
Volviendo al caso general, considere nuevamente un espaciotopológico(X,T )
y S un subconjunto deX. En el caso de definir alguna otra topologı́a sobreS,
digamosR, la continuidad de la inclusióni : (S,R) →֒ (X,T ) solamente es
válida cuandoR contiene ai∗T . Esto significa, por tanto, quei∗T es la topo-
logı́a más pequeña (en el sentido de la inclusión de conjuntos) respecto a la cual
i : S →֒ X es continua. Formalizamos esto en el resultado que sigue.
PROPOSICIÓN 1.1. La funcíon inclusíon i : (S,R) →֒ (X,T ) es continua si, y
solamente si,i∗T ⊆ R.
O. Santamaria S.
6 1.2.Subespacios topológicos
Demostracíon. Suponga quei : (S,R) →֒ (X,T ) es continua y seaA ∈ i∗T .
Por definición dei∗T se tiene queA = i−1(V ), para algúnV ∈ T . Pero la
continuidad dei implica quei−1(V ) ∈ R, es decir,A ∈ R. Luegoi∗T ⊆ R.
Recı́procamente, suponga quei∗T ⊆ R. Dado cualquierU ∈ T , se tiene que
i−1(U) ∈ i∗T ⊆ R, luegoi−1(U) ∈ R. Esto muestra quei : (S,R) →֒ (X,T )
es continua. ❚
PROPOSICIÓN 1.2. SeaS un subespacio topológico deX. Para cada espacioZ
y cada funcíon f : Z → S, la composicíon i ◦ f : Z → X es continua si, y
solamente si,f : Z → S es continua.
Demostracíon. SeanT una topologı́a sobreX, i∗T la respectiva topologı́a de
subespacio sobreS y R una topologı́a sobreZ.
En primer lugar suponga quei◦f : Z → X es continua. Dado cualquierA ∈ i∗T ,
este debe ser de la formaA = i−1(V ), para algúnV ∈ T . La continuidad dei◦ f
implica que(i ◦ f)−1(V ) es elemento deR. Pero(i ◦ f)−1(V ) = f−1(i−1(V )) =
f−1(A), entonces se tiene quef−1(A) ∈ R. Luegof es continua.
Recı́procamente, siendo la composición de funciones continuas una función que
tiene también esta propiedad, se concluye, suponiendof continua, quei ◦ f tam-
bién lo es. ❚
COROLARIO 1.1. Seaf : X → Y una funcíon continua. Sif(X) ⊆ Y es provis-
to de la topoloǵıa de subespacio entoncesla funciónf : X → f(X) es continua.
Demostracíon. Denote porf̃ a la funciónf : X → f(X), y considere la inclusión
i : f(X) →֒ Y . Comoi ◦ f̃ = f , y f es continua, entonces de la Proposición 1.2
resulta quẽf es continua. ❚
PROPOSICIÓN 1.3. SeaS un subespacio topológico deX. Sif : X → Y es una
función continua entonces la restricciónf |S : S → Y tambíen es continua.
Demostracíon. Si i : S →֒ X es la función inclusión, la cual es continua, entonces
f ◦ i : S → Y es continua. Perof |S = f ◦ i. ❚
Observacíon 1.3. Si X es un espacio topológico,S un subespacio topológico
deX y f : X → Y una función continua. Entonces, considerando af(S) con
la topologı́a de subespacio, la restricciónf : S → f(S) es también una función
continua. En efecto, esto es consecuencia inmediata del Corolario 1.1 y la Propo-
sición 1.3.
EJEMPLO 1.8. Generalizando el Ejemplo 1.6, considere un conjunto arbitra-
rio X, un espacio topológico(Y,G ) y una funciónf : X → Y . Entonces la
colección
T :=
{
f−1(A) ⊆ X : A ∈ G
}
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 7
es una topologı́a sobreX (ver item A.2. del apéndice) y, por tanto,(X,T ) es
un espacio topológico. En este caso,T se le conoce comotopoloǵıa sobreX,
inducida porG y f .
1.3. Espacios identificacíon
Continuando con la construcción de espacios topológicos, en el Ejemplo 1.9 es-
tudiaremos otra manera de realizar tales construcciones. Ello permitirá incluso
analizar espacios cociente. Como veremos, en muchos de estos casos es posible
obtener alguna representación más concreta, lo cual facilita el estudio de tales
cocientes.
EJEMPLO 1.9 (Topologı́a identificación). Sea(X,T ) un espacio topológico,Y
un conjunto arbitrario yp : (X,T ) → Y una función sobreyectiva. Entonces la
colección
p∗T =
{
B ⊆ Y : p−1(B) ∈ T
}
es una topologı́a sobreY (ver item A.3. del apéndice). En este casop∗T se
denominatopoloǵıa identificacíon sobreY , determinada porT y p. El respec-
tivo espacio(Y, p∗T ) recibe el nombre deespacio identificación, y la función
p : (X,T ) → (Y, p∗T ) se denominafunción identificacíon.
Dada una topologı́a cualquieraR sobreY , la funciónp : (X,T ) → (Y,R) es
continua en un único caso:R debe estar contenida enp∗T . Esto significa que
p∗T es la topologı́a más grande (en el sentido de la inclusión de conjuntos) res-
pecto a la cual la función sobreyectivap : X → Y es continua. Para formalizar
esto damos el siguiente resultado.
PROPOSICIÓN 1.4. Una funcíon sobreyectivap : (X,T ) → (Y,R) es continua
si, y solamente si,R ⊆ p∗T .
Demostracíon. Suponga en primer lugar quep : (X,T ) → (Y,R) es continua.
Dado cualquierV ∈ R, la continuidad dep implica quep−1(V ) ∈ T . Pero por
definición dep∗T esto implica queV ∈ p∗T . LuegoR ⊆ p∗T .
Recı́procamente, suponga queR ⊆ p∗T . Dado cualquierU ∈ R se tiene que
U ∈ p∗T , luegop−1(U) ∈ T . Esto es precisamente la definición de continuidad.
Es decir,p es continua. ❚
A continuación otra propiedad importante de las funcionesidentificación.
PROPOSICIÓN 1.5. Seap : X → Y la función identificacíon. Para cada espacio
topológicoZ y cada funcíon f : Y → Z, f es continua si, y solamente si, la
composicíonf ◦ p : X → Z es continua.
O. Santamaria S.
8 1.3.Espacios identificación
Demostracíon. Suponiendof continua entonces la continuidad dep implica que
f ◦ p también goza de esta propiedad.
Recı́procamente, suponga quef ◦ p : X → Z es continua. Dado cualquierU en la
topologı́a deZ, la continuidad def ◦p garantiza que el conjunto(f ◦p)−1(U) está
en la topologı́a deX. Siendo(f ◦ p)−1(U) = p−1(f−1(U)), de la definición de
topologı́a identificación se concluye quef−1(U) ∈ p∗T . Luegof es continua. ❚
PROPOSICIÓN 1.6. Sean (X,T ) e (Y,R) espacios topológicos y sea
p : (X,T ) → (Y,R) una funcíon sobreyectiva y continua. Sip es abierta o ce-
rrada entoncesR = p∗T .
Demostracíon. De la continuidad dep y de la Proposición 1.4 se deduce que
R ⊆ p∗T . Por tanto, solamente queda demostrar quep∗T ⊆ R. SeaV ∈ p∗T
entonces, de la definición dep∗T se deduce quep−1(V ) ∈ T .
1. Suponga quep es función abierta. En este casop(p−1(V )) es elemento deR.
Siendop sobreyectiva se tiene queV = p(p−1(V )). Por tantoV ∈ R. Luego
p∗T ⊆ R.
2. Suponga quep es función cerrada. ComoX − p−1(V ) es cerrado enX, enton-
cesp(X − p−1(V )) es cerrado enY . Perop(X − p−1(V )) = Y − V entonces
Y − V es cerrado enY , luegoV ∈ R.
En cualquier caso, seap abierta o cerrada, se tiene quep∗T ⊆ R. ❚
La Proposición 1.6 establece que toda función sobreyectiva continuap : X → Y ,
que además es abierta o cerrada, es la función identificación.
DEFINICI ÓN 1.4. Seap : X → Y una funcíon identificacíon. Una funcíon
f : X → Z respeta las identificaciones dep si para todox, y ∈ X tal que
p(x) = p(y) se tiene quef(x) = f(y).
PROPOSICIÓN 1.7. Seap : X → Y una funcíon identificacíon y f : X → Z
continua. Sif respeta las identificaciones dep entonces existe unáunica funcíon
continuaϕ : Y → Z tal queϕ ◦ p = f .
Demostracíon. Seay ∈ Y . Los elementos del conjuntop−1({y}) son tales que si
a, b ∈ p−1({y}) entoncesp(a) = y = p(b). Sabiendo quef respeta las identifica-
ciones dep entoncesf(a) = f(b). Esto muestra quef es constante enp−1({y}),
para caday ∈ Y , lo cual sugiere definir la funciónϕ : Y → Z como
ϕ(y) = f
(
p−1({y})
)
.
Comoϕ ◦ p = f y siendof continua entoncesϕ ◦ p es continua. PeroY tiene
la topologı́a identificación, entonces de la Proposición1.5 se deduce queϕ es
continua.
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 9
Por otro lado, observe que si existiera otra funciónψ : Y → Z tal queψ ◦ p = f
entoncesϕ ◦ p = ψ ◦ p. Dado cualquiery ∈ X existe algúnx ∈ X tal que
p(x) = y. Entonces
ϕ(y) = ϕ(p(x)) = ϕ ◦ p(x) = ψ ◦ p(x) = ψ(y).
Luegoϕ = ψ y, por tanto,ϕ es única. ❚
COROLARIO 1.2. Seanp : X → Y y q : X → Z funciones identificación tales
que una respeta las identificaciones de la otra. EntoncesY y Z son espacios
homeomorfos.
Demostracíon. Comoq respeta las identificaciones dep entonces existe una única
función continuah : Y → Z tal queh ◦ p = q. Análogamente, el hecho quep res-
pete las identificaciones deq garantiza la existencia de una única función continua
g : Z → Y tal queg ◦ q = p.
Además de esto, dado cualquiery ∈ Y , existe algúnx ∈ X tal quep(x) = y,
luego
g ◦ h(y) = g ◦ h(p(x)) = g ◦ (h ◦ p)(x) = g ◦ q(x) = p(x) = y.
Análogamente se muestra queh ◦ g(z) = z, para cadaz ∈ Z. Por tantog = h−1
y los espaciosY , Z son homeomorfos. ❚
EJEMPLO 1.10(Espacios cociente). Sea(X,T ) un espacio topológico yE una
relación de equivalencia sobreX. El conjunto cociente resultante, denotado por
X/E, puede ser visto como un espacio identificación, considerando para ello la
función q : X → X/E, que a cadax ∈ X le asocia la clase de equivalencia
q(x) ∈ X/E, y considerando sobreX/E la topologı́aq∗T . Recordar queq(x) :=
{y ∈ X : y E x} ≡ [x].
El espacio identificación(X/E, q∗T ) es llamadoespacio cociente deX módu-
lo E, y la respectiva función identificaciónq : (X,T ) → (X/E, q∗T ) es llamada
función cociente.
Por definición, un conjuntoV ⊆ X/E es elemento deq∗T si, y solamente si,
q−1(V ) ∈ T . Pero en este caso observe que
q−1(V ) = {x ∈ X : [x] ∈ V }
y como cada clase[x] es un subconjunto deX entonces el conjuntoq−1(V ) puede
ser visto como la unión de los conjuntos[x] ⊆ X tales que[x] ∈ V . Por tanto,V
es subconjunto abierto enX/E si, y solamente si, dicha unión es subconjunto
abierto enX.
O. Santamaria S.
10 1.3.Espacios identificación
EJEMPLO 1.11. En el cuadradoX = [0, 1]× [0, 1], con la topologı́aT inducida
por la topologı́a usual delR2, considere la relaciónE según la cual cada punto
(0, y) se identifica con(1, y), mientras que los demás puntos se identifican consigo
mismo. Es claro que esta es una relación de equivalencia sobre X, lo cual da
origen al espacio cocienteX/E.
Fig. 1.3: La relaciónE sobreX origina un espacio homeomorfo aS1 × [0, 1]
Con el propósito de obtener un “modelo visible” deX/E, considere la funciónidentificaciónf : X → S1 × [0, 1], definida porf(x, y) = (cos 2πx, sen 2πx, y).
Observe quef(x1, y1) = f(x2, y2) si, y solo si,(x1, y1) = (x2, y2) ó x1 = 1,
x2 = 0 ey1 = y2, es decir, si y solo siq(x1, y1) = q(x2, y2), dondeq : X → X/E
es la función identificación. Por tanto,f respeta las identificaciones deq y a su
vezq respeta las identificaciones def . Esto implica, según el Corolario 1.2, que
X/E es homeomorfo al cilindroS1 × [0, 1] (Fig. 1.3).
EJEMPLO 1.12. Considere el rectánguloX = [0, 3] × [0, 1] y la relación que
identifica los puntos(0, y) con los puntos(3, 1 − y), y los demás puntos se iden-
tifican consigo mismo. El espacio cociente obtenido recibe el nombre decinta de
Möbius. Un “modelo real” de este espacio cociente se obtiene tomando una tira
de papel, doblamos uno de los extremos de tal forma que el punto (0, 0) queda
identificado con(3, 1) mientras que(0, 1) queda identificado con(3, 0) (Fig. 1.4).
(0, )y
(3,1- )y
(0,0)
(3,1)
Fig. 1.4: Construcción de la cinta de Möbius
EJEMPLO 1.13(Espacio proyectivo). Considere el espacioX = Rm+1−{0}, con
topologı́a inducida por la topologı́a usual delRn+1. Dadosx = (x1, . . . , xm+1) e
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 11
y = (y1, . . . , ym+1) enX, definimos una relación∼ según la cualx ∼ y si, y
solo si, existe un número realλ 6= 0 tal quey = λx. En otras palabras,x ∼ y si
tantox comoy pertenecen a una misma recta que pasa por el origen deRm+1, sin
que nix ni y sean este origen (Fig. 1.5).
x
y
[ ]x
y
x
[ ]x
Fig. 1.5: Construcción de los espacios proyectivosRP(1) y RP(2)
1. Es sencillo mostrar que la relación∼ es de equivalencia. En efecto: la igualdad
x = 1 ·x implica quex ∼ x, para todox ∈ X, es decir,∼ es reflexiva. Además
de esto, six, y ∈ X son tales quex ∼ y entonces existe algún número real
λ 6= 0 tal quey = λx. Esta última igualdad implica quex = ( 1
λ
)y, y como
1
λ
6= 0 se concluye quey ∼ x, por tanto,∼ es simétrica. Finalmente, dados
x, y, z ∈ X tales quex ∼ y ey ∼ z, entonces existen números realesλ1 6= 0 y
λ2 6= 0 tal quey = λ1x y z = λ2y. Luegoz = (λ1λ2)x, de dondex ∼ z. Esto
muestra que la relación∼ es transitiva.
2. Siendo∼ una relación de equivalencia sobreX, esta determina el conjunto
cocienteX/ ∼, cuyos elementos son clases de equivalencia, las mismas que
denotaremos por[x]. Este conjunto cociente, de ahora en adelante será denota-
do porRP(n).
Denote comoR∗ al conjuntoR− {0}. Por definición de clase de equivalencia,
[x] = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : y = λx , λ ∈ R∗}
es decir,
[x] = {λx ∈ X , λ ∈ R∗}.
Observe que el conjunto[x] ∪ {0} representa geométricamente a una recta en
Rm+1 que pasa por el origen0 ∈ Rm+1.
3. Considere ahora lafunción cocienteπ : X → RP(m), la misma que a cada
x ∈ X le hace corresponder la clase de equivalenciaπ(x) = [x]. Como el
conjuntoX = Rm+1 − {0} es un espacio topológico, dotamos aRP(m) de
la topologı́a cociente (Ejemplo 1.10). Esto es, un conjuntoA ⊆ RP(m) es
O. Santamaria S.
12 1.4.Acción de un grupo sobre un espacio topológico
abierto enRP(m) si y solo siπ−1(A) es abierto enX. Este espacio topológico
es conocido como elespacio proyectivo real m-dimensional.Las razones para
ponerm-dimensional quedarán claras más adelante.
La proyecciónπ : X → RP(m) es una función abierta. Para demostrarlo con-
sidere las funcionesft : X → X definidas comoft(x) = tx, parat 6= 0. Es
claro que para cada número realt 6= 0, la funciónft es un homeomorfismo.
SeaU ⊆ X un conjunto abierto enX. Debemos demostrar queπ(U) es abierto
enRP(m) y, en vista de la topologı́a deRP(m), esto equivale a demostrar que
π−1(π(U)) es abierto enX. Peroπ−1(π(U)) =
⋃
t6=0
ft(U) y como cada conjun-
to ft(U) es abierto se concluye queπ−1(π(U)) es también un conjunto abierto
enX.
4. Observe finalmente que six = (x1, . . . , xm+1) es un punto enX tal quexi 6= 0,
para algúni ∈ {1, 2, . . . , m+ 1}, entonces
x = (x1, . . . xm+1) = xi
(
x1
xi
, . . . ,
xi−1
xi
, 1,
xi+1
xi
, . . . ,
xm+1
xi
)
.
La anterior igualdad indica entonces que
(x1, . . . xm+1) ∼
(
x1
xi
, . . . ,
xi−1
xi
, 1,
xi+1
xi
, . . . ,
xm+1
xi
)
y, por lo tanto,
[x1, . . . , xi, . . . , xm+1] =
[
x1
xi
, . . . ,
xi−1
xi
, 1,
xi+1
xi
, . . . ,
xm+1
xi
]
.
Esto sugiere la idea de que cada punto[(x1, . . . , xm+1)] en el espacio proyecti-
vo,RP(m), puede ser localizado conociendo solamentem-parámetros, lo cual
deja entrever alguna correspondencia entre puntos deRP(m) y Rm. Aclarare-
mos esta idea en el capı́tulo siguiente.
1.4. Accíon de un grupo sobre un espacio topológico
Presentaremos a continuación otra manera de construir espacios topológicos, a
partir de espacios dados y sobre los cuales interviene un grupo. Lo que daremos
en realidad es un caso particular de la noción general de acción de un grupo sobre
un conjunto. En este caso, el conjunto es un espacio topológico.
DEFINICI ÓN 1.5 (Acción de un grupo sobre un espacio topológico). SeaX un
espacio topoĺogico yG un grupo. Una funcíonA : G ×X → X se llamaacción
deG sobreX, si cumple con las siguientes propiedades:
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 13
a.1) Para cadag ∈ G, la funciónAg : X → X definida porAg(x) = A(g, x) es
un homeomorfismo
a.2) Sie es el elemento identidad deG, el respectivoAe : X → X es la funcíon
identidad.
a.3) Para todoh, g ∈ G se tieneAg·h = Ag ◦ Ah.
En este caso diremos queG actúa sobreX por medio deA.
El productog · h, que aparece en el item (a.3) de la Definición 1.5, se realiza
teniendo en cuenta la operación de grupo definida enG.
EJEMPLO 1.14. Considere el grupo multiplicativoG = R − {0} ≡ R∗ y el
espacio topológicoR, con la topologı́a usual. Defina la funciónA : R∗ × R → R
por medio de la reglaA(t, x) = tx. Esta función es una acción deG sobreR. En
efecto,
1. Es sencillo comprobar que para cadat ∈ G, la funciónAt : R → R definida
porAt(x) = t · x es un homeomorfismo.
2. Como el elemento identidad del grupoG ese = 1 entoncesAe(x) = 1 ·x = x,
es decirAe es la función identidad.
3. Para todos, t ∈ G se tiene que
As·t(x) = (s · t) · x = s · (t · x) = As(t · x) = As(At(x)).
LuegoA es una acción deG = R∗ sobreR.
EJEMPLO 1.15. SeaG = Mov(Rn) el conjunto de los movimientos rı́gidos
enRn, es decir, el conjunto de funcionesTM,a : Rn → Rn definidas comoTM,a(x) =
Mx+ a, conM variando en el grupoO(n) de matrices ortogonales1 y a variando
enRn. Es sencillo comprobar queG es un grupo bajo la composición usual de
funciones.
A continuación considere la funciónA : G× Rn → Rn definida por
A(TM,a, x) = TM,a(x).
En este caso, para cadaTM,a ∈ G, la funciónATM,a : Rn → Rn es definida
por ATM,a(x) = Mx + a; esta función es un homeomorfismo, con inversa da-
da por (ATM,a)
−1(x) = M−1(x − a). La transformaciónTI,0 es el elemento
identidad deG, y para esta transformación se tiene queATI,0(x) = TI,0(x) =
1Una matrizM de ordenn× n es ortogonal siM t ·M = I
O. Santamaria S.
14 1.4.Acción de un grupo sobre un espacio topológico
Ix + 0 = x, es decirATI,0 es el homeomorfismo identidad. Finalmente ob-
serve queATM,a◦TN,b(x) = TM,a(TN,b(x)) = MNx + Mb + a mientras que
ATM,a ◦ ATN,b(x) = ATM,a(Nx + b) = M(Nx + b) + a, es decirATM,a◦TN,b =
ATM,a ◦ ATN,b . Por tanto,A es una acción deG = Mov(Rn) sobreX = Rn.
Observacíon 1.4.Tal como se manifestó en el párrafo anterior a la Definición 1.5,
una acción de un grupo sobre un espacio topológico permiteconstruir un nuevo
espacio topológico. Para ser más precisos, dados un espacio topológicoX, un
grupoG y una acciónA : G ×X → X, definimos enX una relación∼ según la
cual para todox, y ∈ X, x ∼ y si, y sólo si, existe algúng ∈ G tal quey = Ag(x).
Es sencillo mostrar que, en efecto,∼ es una relación de equivalencia sobreX (ver
item A.4. del apéndice), lo que origina un conjunto cociente, que denotaremos por
X/G. Como sabemos, los elementos deX/G son clases de equivalencia, dadas
en este caso como
[x] = {y ∈ X : y ∼ x} = {Ag(x) : g ∈ G}. (1.1)
En este contexto, cada clase[x] es llamadáorbitade x ∈ X y será denotada
porGx.
Tal como se vió en el Ejemplo 1.10, siT es la topologı́a sobreX y
π : (X,T ) → X/G es la función que a cadax ∈ X le hace corresponder la
respectiva claseπ(x) ≡ [x] ≡ Gx, entonces en el cocienteX/G podemos consi-
derar la topologı́a identificaciónπ∗T . En particular, un subconjuntoV ⊆ X/G es
elemento deπ∗T si, y solo si,π−1(V ) es elemento deT . En palabras más sim-
ples, un conjuntoV ⊆ X/G es abierto enX/G si, y solo si,π−1(V ) es abierto
enX.
EJEMPLO 1.16. Considere la acciónA del grupo multiplicativoG = R∗ sobre el
espacioR (ejemplo 1.14). La órbita del puntox = 0 es
G0 = {At(0) : t ∈ G} = {t · 0 : t ∈ G} = {0}
mientras que para cadax 6= 0,
Gx = {At(x) : t ∈ G} = {t · x : t ∈ G} = R∗ .
Es decir, órbita del0 ∈ R = X es el conjunto unitario{0}, mientras que la órbita
de cada elemento no nulox ∈ X es el mismoG = R∗. Luego,X/G = {{0}, R∗}.
Por otro lado, considere la acción dada en el Ejemplo 1.15. En este caso, la órbita
del puntox = 0 ∈ Rn es dada por
G0 = {ATM,a(0) : TM,a ∈ G}
= {M0 + a : M ∈ O(n) , a ∈ Rn}
= {a : a ∈ Rn} = Rn.
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 15
Pero además, para cada elementox 6= 0 enRn se tiene
ATM,x(0) = TM,x(0) =M · 0 + x = x,
lo cual muestra quex ∼ 0 (según la relación dada en la Obervación 1.4). Por
tanto, para todox ∈ Rn,Gx = G0 = Rn. LuegoX/G = {Rn}. ❚
En el siguiente resultado, consideramos un espacio topológico (X,T ), un gru-
poG actuando sobreX, por medio de la acciónA : G×X → X, y consideramos
también la respectiva función cocienteπ : (X,T ) → (X/G, π∗T ). En este con-
texto se tiene el resultado que sigue.
PROPOSICIÓN 1.8. π : (X,T ) → (X/G, π∗T ) es una funcíon abierta, esto es,
transforma cada elemento deT en un elemento deπ∗T .
Demostracíon. En primer lugar observe que para cada conjuntoB ⊆ X,
π−1(π(B)) =
⋃
g∈G
Ag(B).
En efecto, six ∈ π−1(π(B)) entoncesπ(x) ∈ π(B), lo cual implica que existe
algúny ∈ B tal queπ(x) = π(y). Pero esta igualdad implica quex ∼ y y, por
tanto, existe algúng ∈ G tal quex = Ag(y) ∈ Ag(B) ⊆
⋃
g∈GAg(B), es decir,
x ∈ ⋃g∈GAg(B). Recı́procamente, six ∈
⋃
g∈GAg(B) entoncesx ∈ Ag(B),
para algúng ∈ G, lo cual asegura la existencia de algúnq ∈ B tal quex = Ag(q)
y, por tanto,x ∼ q. Esta equivalencia entrex y q implica queπ(x) = π(q), luego
x ∈ π−1(π(q)) ⊆ π−1(π(B)).
En segundo lugar mostramos queπ : (X,T ) → (X/G, π∗T ) es una función
abierta. Para ello seaU ⊆ X un elemento arbitrario enT . Para comprobar que
π(U) es elemento deπ∗T debemos demostrar queπ−1(π(U)) ∈ T . Pero hemos
visto en la primera parte de esta demostración que
π−1(π(U)) =
⋃
g∈G
Ag(U),
y comoAg : X → X es un homeomorfismo, para cadag ∈ G, entoncesAg(U) es
abierto enX, para todog ∈ G, luego⋃g∈GAg(U) es también un conjunto abierto
enX. Esto es lo que querı́amos. ❚
Un hecho particular que se puede observar sobre la función cociente
π : X → X/G es que esta en general no es inyectiva. En efecto, basta elegir
enX dos puntos distintos pero que sean equivalentes entre si. Elhecho que sean
equivalentes implica que ellos originan la misma clase de equivalencia, lo cual
quiere decir que tienen la misma imagen medianteπ.
O. Santamaria S.
16 1.4.Acción de un grupo sobre un espacio topológico
Sin embargo, con alguna restricción adicional sobre la acciónA : G×X → X es
posible lograr que los espaciosX y X/G sean topológicamente equivalentes, por
lo menos localmente. Formalizamos esta restricción en la definición que sigue.
DEFINICI ÓN 1.6. Sea (X,T ) un espacio topológico. Una accíon
A : G × X → X espropiamente discontinuasi para cada puntox ∈ X exis-
te alǵunUx ∈ T tal queUx ∩Ag(Ux) = ∅, para todog 6= e.
EJEMPLO 1.17. La acción dada en el Ejemplo 1.14 no es propiamente discon-
tinua. En efecto, al elegir cualquier entornoU del punto0 ∈ R se tiene que
0 ∈ At(U) para todot ∈ G = R∗. LuegoU ∩At(U) 6= ∅.
La acción del Ejemplo 1.15 tampoco es propiamente discontinua. Dejamos los
detalles de la demostración como un ejercicio.
PROPOSICIÓN 1.9. Sea (X,T ) un espacio topológico y G un grupo. Si
A : G × X → X es una accíon propiamente discontinua entonces la función
cocienteπ : X → X/G es un homeomorfismo local.
Demostracíon. El propósito aquı́ es verificar que para cada puntox ∈ X existe
algún conjuntoU ⊆ X, abierto enX, tal quex ∈ U , π(U) es abierto enX/G y
π : U → π(U) es un homeomorfismo.
Sea entoncesx ∈ X un punto arbitrario. Como la acciónA es propiamente discon-
tinua, existe un conjunto abiertoUx ⊆ X, tal quex ∈ Ux y Ux∩Ag(Ux) = ∅, para
todo elementog ∈ G, con g 6= e. Mostraremos que la restricción
π|Ux : Ux → π(Ux) es un homeomorfismo.
En efecto, de la Proposición 1.8 sabemos queπ : (X,T ) → (X/G, π∗T ) es
función abierta, por tanto,π(Ux) es conjunto abierto enX/G. Además, siendo
π : X → X/G continua, de la Observación 1.3 se deduce queπ|Ux : Ux → π(Ux)
es continua.
π|Ux : Ux → π(Ux) es inyectiva (por tanto biyectiva). En efecto, seana, b ∈ Ux
tales queπ(a) = π(b). Esto implica en particular quea ∼ b, luego existe algún
g ∈ G tal queb = Ag(a). Comoa es elementoUx entoncesAg(a) es elemento
deAg(Ux), lo cual a su vez implica queb ∈ Ag(Ux), es decir,b ∈ Ux ∩ Ag(Ux).
SiendoA una acción propiamente discontinua resulta de esto queg = e (elemen-
to identidad deG), y como ademásAe es el homeomorfismo identidad, resulta
b = Ag(a) = Ae(a) = a.
Para completar la prueba queπ|Ux : Ux → π(Ux) es un homeomorfismo, sólo
queda mostrar la continuidad de(π|Ux)−1 : π(Ux) → Ux Para ello basta observar
que dado un abiertoV en el subespacioUx deX, se tiene que((π|Ux)−1)−1(V ) =
π|Ux(V ) es abierto en el subespacioπ|Ux(Ux) deX/G pues, tal como vimos en la
Proposición 1.8, la proyección canónicaπ : X → X/G es una función abierta.❚
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 17
A continuación obtendremos más ejemplos de espacios topológicos. Estos surgen
cuando ciertos grupos en particular, actúan sobre ciertosespacios en particular.
EJEMPLO 1.18(Nuevamente el espacio proyectivo). Considere la esfera unitaria
Sm ⊆ Rm+1, como subespacio topológico deRm+1.
La función identidad,I : Sm → Sm, es un homeomorfismo. Lo mismo sucede
con la función antı́podãf : Sm → Sm, la cual es definida por̃f(p) = −p, para
todo p ∈ Sm. En efecto, en cuanto ãf basta observar que siU es un conjunto
abierto enSm entonces̃f−1(U) = −U es también un conjunto abierto enSm, por
tanto,f̃ es continua. Siendõf = f̃−1 se concluye quẽf−1 : Sm → Sm también
es continua. Además el conjuntoG = {I, f̃} es un grupo, bajo la composición
usual de funciones.
Ahora considere la funciónA : G × Sm → Sm definida porA(g, p) = g(p).
EntoncesA es una acción deG sobreSm. La comprobación de esto es inmediata.
De hecho, dado cualquierg ∈ G, solo se tienen las posibilidades queg = I o que
g = f̃ . En cualquier caso, la respectiva funciónAg : Sm → Sm será tal queAI = I
y Ag = Af̃ = f̃ , es decir,Ag es un homeomorfismo. AdemásAg◦h = Ag ◦ Ah.
Por tanto, se verifican las condiciones a1), a2) y a3) dadas enla Definición 1.5.
Tiene sentido ahora considerar el espacio cocienteSm/G. ¿Cómo son sus elemen-
tos? Son las clases (órbitas)
Gx = {AI(x), Af̃ (x)} = {−x, x}, para cadax ∈ Sm
Este espacioSm/G se llamaEspacio Proyectivom-dimensional. Compárese con
el espacio obtenido en el Ejemplo 1.13. Dotamos al conjuntoSm/G de la to-
pologı́a cociente (o identificación) y seaπ̃ : Sm → Sm/G la respectiva función
cociente. Esta hace corresponder a cadax ∈ Sm la clasẽπ(x) = {−x, x}.
La acciónA : G × Sm → Sm es propiamente discontinua. Para demostrar es-
to, sólo hay que tener en cuenta el elementof̃ ∈ G (recuerde queG solamen-
te tiene dos elementos, la identidadI y la antı́podaf̃ ). Observe también quẽf
transforma cada hemisferioH+i = {(x1, . . . , xm+1) ∈ Sm : xi > 0} (respect.
H−i = {(x1, . . . , xm+1) ∈ Sm : xi < 0}) en su opuesto, es decir,Af̃ (H+i ) = H−i
(respect.Af̃(H
−
i ) = H
+
i ). Cada uno de estos hemisferios es parte de la topologı́a
deSm y ademásH±i ∩Af̃ (H±i ) = ∅. Como cada puntox∈ Sm pertenece a alguno
de estos hemisferios se concluye queA es propiamente discontinua.
EJEMPLO 1.19. Los espaciosRP(m) y Sm/G, de los ejemplos 1.13 y 1.18, res-
pectivamente, son homeomorfos. Para mostrar esto considere la función
h : : Sm/G→ RP(m)
definida por
h({−x, x}) = [x].
O. Santamaria S.
18 1.4.Acción de un grupo sobre un espacio topológico
Observe queh es una biyección, cuya inversa es dada porh−1 : RP(m) → Sm/G
tal que
h−1([x]) =
{
− x||x|| ,
x
||x||
}
.
En efecto, para toda clase[x] ∈ RP(m), conx ∈ Rn+1 − {0}, se tiene
h ◦ h−1 ([x]) = h
({
− x‖x‖ ,
x
‖x‖
})
=
[
x
‖x‖
]
= [x]
y análogamente, para cada clase{−x, x} ∈ Sm/G, conx ∈ Sm,
h−1 ◦ h ({−x, x}) = h−1 ([x]) =
{
− x‖x‖ ,
x
‖x‖
}
= {−x, x} .
Para mostrar la continuidad deh, observe el esquema dado en la Fig. 1.6(a), don-
de π y π̃ son las respectivas funciones identificación (o cociente). No es difı́cil
ver queh ◦ π̃ = π ◦ i entonces la continuidad deπ ◦ i (esta es la composición
de dos funciones continuas) implica la continuidad deh ◦ π̃, y a su vez de la
Proposición 1.5 resulta la continuidad deh.
Sm π̃ //
i
��
h ◦ π̃
π ◦ i
$$❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
Sm/G
h
��
Rm+1 − {0} π // RP(m)
(a)
Rm+1 − {0} π //
ϕ
��
h−1 ◦ π
π̃ ◦ ϕ
$$❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏❏
❏
RP(m)
h−1
��
Sm
π̃
// Sm/G
(b)
Fig. 1.6
De manera similar se comprueba la continuidad deh−1 : RP(m) → Sm/G. Para
ello observe el esquema dado en la Fig. 1.6(b), dondeϕ : Rm+1 − {0} → Sm, es
definida comoϕ(x) =
x
‖x‖ . Comoϕ es continua entonces̃π ◦ ϕ es continua, y
siendoπ̃ ◦ ϕ = h−1 ◦ π se concluye queh−1 ◦ π es también continua. Luego, de
la Proposición 1.5 se concluye en la continuidad deh−1.
EJEMPLO 1.20 (El toro m-dimensional). Considere el espacio euclidianoRm,
con su topologı́a usual. Para cada puntok = (k1, . . . km) ∈ Zm, defina la función
Tk : Rm → Rm poniendoTk(x) = x + k. Esta funciónTk es llamadatraslación
enteradeRm.
Cuandok = 0 enZm entoncesT0(x) = x + 0 = x, para todox ∈ Rm, es decir,
T0 es la función identidad delRm.
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 19
Seax ∈ Rm y k ∈ Zm−{0}. Entonces existe un abiertoU enRm, conx ∈ U , tal
queU ∩Tk(U) = ∅. En efecto, para mostrar esto basta considerarU = B(x, 1/2),
bola abierta de centrox y radio 1/2, pues para este conjunto se tieneTk(U) =
B(x + k, 1/2). Luego, dado cualquiery ∈ U , es decir‖y − x‖ < 1/2, y siendo
‖k‖ ≥ 1 (puesto que las coordenadas dek son todas enteras) se tiene
1 ≤ ‖k‖ = ‖y − x+ k − (y − x)‖
≤ ‖y − x‖+ ‖k − y + x‖ < 1/2 + ‖y − (k + x)‖.
De esto resulta que‖y − (k+ x)‖ > 1/2 lo cual significa quey /∈ B(x+ k, 1/2),
es decir,y /∈ Tk(U).
Dadas dos traslaciones enterasTk y Ta se tieneTk ◦ Ta = Tk+a, lo cual significa
que la composición de traslaciones enteras es nuevamente una traslación entera.
Además de esto, no es difı́cil ver que(Tk)−1 = T−k, es decir, la inversa de una
traslación entera es también una traslación entera.
El conjuntoG formado por todas las traslaciones enterasTk del Rm, constituye
un grupo bajo la composición usual de funciones. Esto puedeprobarse fácilmente
a partir de la discusión anterior. Siguiendo el camino del Ejemplo 1.18, defina
la funciónA : G × Rm → Rm comoA(Tk, x) = Tk(x). Resulta también de la
discusión anterior queA define una acción propiamente discontinua deG enRm.
Si C es un abierto enRm y π : Rm → Rm/G es la aplicación cociente entonces
π−1(π(C)) =
⋃
k∈Zm Tk(C). Como cadaTk es un homeomorfismo resulta de esto
queπ−1(π(C)) es abierto enRm, luegoπ es una función abierta (aunque esto ya
lo sabı́amos en general a partir de la Proposición 1.8). El espacio cocienteRm/G
se denomina torom-dimensional, y sus puntos están dado por las órbitas
Gx = {x+ k : k ∈ Zm}.
x
Gx
x
...
...
...
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
...
...
...
Gx
Fig. 1.7:Órbitas enR2 y R3
EJEMPLO 1.21(Haciendo el toroRm/G “más visible”). En primer lugar, como
caso particular del Ejemplo 1.20, considerem = 1. Veremos a continuación que
O. Santamaria S.
20 1.4.Acción de un grupo sobre un espacio topológico
el espacioR/G ≡ T 1 es topológicamente equivalente aS1. Para mostrar esto
considere la aplicaciónf : R → S1 definida por
f(t) = (cos 2πt, sen 2πt),
y considere también aS1 con la topologı́a identificación, determinada porf y la
topologı́a usual deR. Para cadas, t ∈ R, es claro queπ(t) = π(s) si, y solo si,
f(t) = f(s), lo cual implica quef respeta las identificaciones deπ : R → R/G
y, a su vez,π respeta las identificaciones def . Resulta entonces del Corolario 1.2
queR/G es homeomorfo aS1. Observe que con las respectivas topologı́as usuales
sobreR y S1, la funciónf es sobreyectiva, continua y abierta, por tanto, de la Pro-
posición 1.6 deducimos que en este caso la topologı́a identificación y la topologı́a
usual sobreS1 son lo mismo.
Fig. 1.8: Identificación de
R/G conS1
..
.
x
x+1
x+2
x
x+1
x+2
..
.
S
1
R R
En general, elm-toro Tm ≡ Rm/G puede ser identificado topológicamente con
el espacio
S1 × . . .× S1︸ ︷︷ ︸
m−veces
.
Para mostrar esto considere la funciónf : Rm → S1 × · · · × S1 definida por
f(t1, . . . , tm) = (e
2πit1 , . . . , e2πitm)
y proceda como en lı́neas anteriores. Recuerde quee2πitk = (cos 2πtk, sen 2πtk).
EJEMPLO 1.22. En este ejemplo,R2 es considerado con su topologı́a usual. Dado
n ∈ Z, una funciónTn : R2 → R2 definida porT (x, y) = (x+ n, y) se denomina
traslación lateral entera deR2. SeaG el grupo, bajo la composición usual de
funciones, formado por todas las traslaciones laterales enteras deR2. Para cada
enteron, la aplicaciónTn : R2 → R2 es un homeomorfismo y el grupoG actúa
enR2 de forma propiamente discontinua. Lo que haremos aquı́ es identificar el
espacio cocienteR2/G con un espacio más concreto.
Defina la funciónf : R2 → S1 × R tal que
f(x, y) = (e2πix, y)
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 21
Fig. 1.9: Identicación deR2/G con el cilindro
y considere aS1 × R con la topologı́a identificación, determinada porf y la
topologı́a usual deR2. Dados los puntos(x1, y1) y (x2, y2) en R2, la igualdad
f(x1, y1) = f(x2, y2) se cumple si y solo six2 = x1 + k, para algún enterok,
y ademásy1 = y2. Por tanto,Tk(x1, y1) = (x2, y2). Esto implica que los pun-
tos (x1, y1) y (x2, y2) están en la misma órbita ó, lo que es lo mismo, las órbitas
π(x1, y1) y π(x2, y2) son iguales, conπ : R2 → R2/G la función cociente.
Se observa en este caso que tantof comoπ respetan entre si las identificaciones.
Por lo tanto, del Corolario 1.2 deducimos que el espacioR2/G es homeomorfo al
cilindro S1 × R (Fig. 1.9). ❚
Hemos visto cómo obtener nuevos espacios topológicos, a partir de un espacio
topológico dado y de la acción de un grupo sobre dicho espacio. Concretamente,
una acción permite definir una relación de equivalencia sobre el espacio dado, lo
que a su vez origina un espacio topológico cociente. Algunos de ellos quizás muy
abstractos pero al final homeomorfos a algún espacio “más visible”.
Finalmente, veremos a continuación otra manera de construir espacios topológi-
cos.
Considere la función continuaf : X → Y entre los espacios topológicosX eY .
EnX defina una relaciónR declarando que dos elementosx, y ∈ X están relacio-
nados (lo que escribiremosxRy) si, y solo si,f(x) = f(y). Es sencillo comprobar
que, en efecto,R es una relación de equivalencia sobreX, lo que origina al con-
junto cocienteX/R. Dotamos aX/R de la topologı́a identificación, determinada
por π : X → X/R y la topologı́a deX. En esta condiciones lo que estamos ha-
ciendo en realidad es definiendoR de tal forma quef respete las identificaciones
deπ (Definición 1.4). Entonces la Proposición 1.7 garantiza la existencia de una
única funciónϕ : X/R → Y tal queϕ ◦ π = f . Comof es continua entonces
ϕ◦π es continua y como ademásX/R tiene la topologı́a co-inducida entonces de
la Proposición 1.5 se concluye queϕ es continua. Se tiene también queϕ es in-
yectiva. En efecto, dados̄x, ȳ enX/R tales queϕ(x̄) = ϕ(ȳ), y siendox̄= π(a),
ȳ = π(b), para ciertosa, b ∈ X, entoncesϕ(π(a)) = ϕ(π(b)), lo cual implica que
O. Santamaria S.
22 1.5.Espacios de Hausdorff
f(a) = f(b). Pero si esto ocurre entoncesaRb y, por tanto,̄x = π(a) = π(b) = ȳ.
Esto muestra queϕ e inyectiva. Además de esto es sencillo comprobar queϕ es
sobreyectiva.
Observe que no estamos suponiendo af como funcíon identificacíon. Pero si lo
fuera entonces el Corolario 1.2 garantiza queX/R es homeomorfo aY , con ho-
meomorfismo dado precisamente porϕ : X/R → Y . Ahora es natural preguntar-
se, ¿suponiendo queϕ : X/R → Y es homeomorfismo, entonces esf : X → Y
una función identificación? La respuesta es afirmativo, y lo formalizamos en el
resultado que sigue.
PROPOSICIÓN 1.10. Si ϕ : X/R → Y es un homeomorfismo entonces
f : X → Y es una funcíon identificacíon.
Demostracíon. SeaR la topologı́a sobreY tal queϕ : X/R → (Y,R) es un
homeomorfismo. Lo que debemos demostrar entonces es queR = f∗T , donde
T es la topologı́a sobreX. SeaU ∈ R. Comoϕ es continua entoncesϕ−1(U)
está en la topologı́a (identificación) deX/R. Luegoπ−1(ϕ−1(U)) ∈ T . Sien-
do f−1(U) = π−1(ϕ−1(U)) se concluye queU ∈ f∗T . Recı́procamente, sea
V ∈ f∗T entoncesf−1(V ) ∈ T . Como f−1(V ) = π−1(ϕ−1(V )) entonces
π−1(ϕ−1(V )) ∈ T , luego ϕ−1(V ) es abierto enX/R. Pero sabemos que
ϕ : X/R → (Y,R) un homeomorfismo entoncesϕ(ϕ−1(V )) ∈ R. Siendo
V = ϕ(ϕ−1(V )) se concluye queV ∈ R. ❚
1.5. Espacios de Hausdorff
DEFINICI ÓN 1.7. Un espacio topoĺogico(X,T ) es unespacio de Hausdorffsi
para cualesquiera par de puntosx, y ∈ X, conx 6= y, existenU ∈ T y V ∈ T
tales quex ∈ U , y ∈ V yU ∩ V = ∅.
Observacíon 1.5.Sea(X,T ) un espacio topológico. Una sucesión(xn)n∈N enX
converge a un elementox ∈ X si para todoU ∈ T , conx ∈ U , existe algún
N ∈ N tal que para todon ≥ N se tiene quexn ∈ U .
Una caracterı́stica interesante en un espacio de Hausdorffes que en estos es posi-
ble garantizar la unidad del lı́mite para sucesiones convergentes. En un espacio no
Hausdorff, una sucesión puede converger a más de un punto.Por ejemplo,enRn
con la topoloǵıa trivial, T = {∅,Rn}, toda sucesíon es convergente y converge a
todos los puntos deRn
EJEMPLO 1.23. Todo espacio métrico, con la topologı́a generada por la métri-
ca, es espacio de Hausdorff. En particularRn con la métrica usual es espacio de
Hausdorff.
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 23
La propiedad de ser Hausdorff es una propiedad hereditaria,es decir, si un espacio
topológico es Hausdorff, todo subespacio de este tambiéntiene dicha propiedad.
Ser Hausdorff es también una propiedad topológica, es decir, si un espacio to-
pológico es Hausdorff entonces todo espacio homeomorfo a este también tiene
esta propiedad.
EJEMPLO 1.24(Foliación del Plano). En el espacio topológicoR2, considerado
con su topologı́a usual, defina una relación de equivalenciaR, de tal forma que
las clases de equivalencia resultantes son las rectas verticalesx = constante, si
|x| ≥ 1, y los gráficos de las funcionesfa(x) = (1 − x2)−1 + a, si |x| < 1, para
todoa ∈ R (Fig. 1.10.a). Es decir, dos puntosp y q enR2 están relacionados si
ambos pertenecen a una misma recta vertical o si ambos pertenecen al gráfico de
alguna funciónfa.
1-1
1
(a) Foliación deR2
1-1
U V
~ ~
p~ q~
(b) Las vecindades dex = −1 y x = 1
se intersectan siempre
Fig. 1.10
El espacio identificación (o cociente)R2/R, obtenido mediante la anterior re-
lación, no es de Hausdorff. Para mostrar esto considere enR2/R los puntos
p̃ = [(−1, 0)] y q̃ = [(1, 0)]. Observe quẽp 6= q̃ y, como subconjuntos deR2,
las clases̃p y q̃ son las rectas verticalesx = −1 y x = 1, respectivamente. Con-
sidereŨ y Ṽ dos abiertos cualesquiera enR2/R tales quep̃ ∈ Ũ y q̃ ∈ Ṽ .
SeanU, V ⊆ R2 conjuntos abiertos tales queπ(U) = Ũ y π(V ) = Ṽ , don-
de π : R2 → R2/R es la respectiva función cociente. En particular los puntos
p = (−1, 0) y q = (1, 0) son elementos deU y V , respectivamente. SiendoU y V
abiertos enR2, existenδ1 > 0 y δ2 > 0 tales queB(p, δ1) ⊆ U y B(q, δ2) ⊆ V .
Seaε = mı́n{δ1, δ2} > 0. Es claro que el puntop1 =
(
−1 + ε
2
, 0
)
es elemento de
B(p, δ1) y, por tanto, elemento deU . Análogamente, el puntop2 =
(
1− ε
2
, 0
)
es
elemento deB(q, δ2), luego elemento deV . Considerando
a =
1(
1− ε
2
)2 − 1
O. Santamaria S.
24 1.5.Espacios de Hausdorff
se tiene quep1, p2 ∈ Gráfico(fa), lo cual implica que las respectivas clases
p̃1 = [p1] y p̃2 = [p2] son iguales. En particular,̃U∩Ṽ 6= ∅. Esto muestra que cual-
quiera sea la elección dẽU y Ṽ enR2/R, vecindades dẽp y q̃, respectivamente,
estas siempre tendrán intersección no vacı́a.
EJEMPLO 1.25. Considere los conjuntosA = {(x, 0) ∈ R2 : x ≤ −1}, B =
{(x, 0) ∈ R2 : x ≥ 1} y C = {(0, y) ∈ R2 : y > 0} y seaS = A ∪ B ∪ C. Con
el fin de introducir una topologı́a enS considere la funciónh : S → R definida
por
h(x, 0) = 1− |x| , si (x, 0) ∈ A ∪B ; h(0, y) = y , si (0, y) ∈ C.
Entonces las restriccionesh1 = h|A∪C : A ∪ C → R y h2 = h|B∪C : B ∪ C → R
inducen topologı́asτ1 y τ2 enA ∪ C y B ∪ C respectivamente. Por tanto, enS
podemos considerar la topologı́aτ generada porτ1 y τ2, es decir, los elementos de
τ son uniones de la formaU ∪ V , siendoU ∈ τ1 y V ∈ τ2.
Fig. 1.11: EspaciosS
y R2/R
fa
El espacio topológico(S, τ) es homeomorfo al espacio cocienteR2/R del Ejem-
plo 1.24. Para demostrarlo, considere la funciónf : R2 → S definida por
f(x, y) =



(x, 0), si |x| ≥ 1;
(0, ea), si (x, y) ∈ gráfico de
fa(t) =
1
1−t2
+ a, con|t| < 1,
(Fig. 1.11). EnR2 definimos la relación de equivalencia, según la cual dos ele-
mentos(x, y) y (z, w), enR2, están relacionados sif(x, y) = f(z, w). Observe
que esta forma de definir dicha relación coincide con lo que hicimos en los dos
párrafos que preceden a la Proposición 1.10. El espacio cociente que resulta según
esta relación es el espacioR2/R, del Ejemplo 1.24.
Considerando la topologı́aτ construida enS es sencillo demostrar quef es con-
tinua y abierta, por lo tanto, de la Proposición 1.6 resultaqueτ coincide con la
topologı́a identificación, determinada porf y la topologı́a deR2. Resulta entonces
de la Proposición 1.7 que existe una única función continuaϕ : R2/R → S tal que
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 25
ϕ ◦ π = f . A su vez, del Corolario 1.2 se deduce queϕ es un homeomorfismo y,
por tanto, los espaciosS y R2/R son homeomorfos. En particularS no es espacio
de Hausdorff. ❚
En un producto cartesianoX ×X, el conjuntoD := {(x, y) ∈ X ×X : x = y}
se denominadiagonal deX ×X.
PROPOSICIÓN 1.11. Un espacio topoĺogico(X,T ) es Hausdorff si, y solo si, la
diagonalD es conjunto cerrado en el espacio productoX ×X.
Demostracíon. Suponga que(X,T ) es espacio de Hausdorff. Dado cualquier
(x, y) ∈ (X × X) − D implica quex 6= y enX, de lo cual se deduce que
existenU, V ∈ T tales quex ∈ U , y ∈ V y U ∩ V = ∅. Pero siU y V
son disjuntos entonces para cada(z, w) ∈ U × V se tiene quez 6= w. Luego
U × V ⊆ (X ×X)− D .
Recı́procamente, suponga queD es conjunto cerrado. Seanx, y ∈ X tales que
x 6= y. Como(X × X) − D es conjunto abierto entonces existe una vecindad
U ×V de(x, y) contenida en(X ×X)−D , conx ∈ U ∈ T ey ∈ V ∈ T . Pero
el hecho se serU × V subconjunto de(X ×X)−D implica queU ∩ V = ∅. Por
tantoX es espacio de Hausdorff. ❚
Los siguientes resultado muestran condiciones bajo las cuales la imagen de un es-
pacio de Hausdorff, mediante alguna función que satisfagaalgunos requerimien-
tos, es también un espacio de Hausdorff. El Ejemplo 1.24 muestra una función
π : R2 → R2/R en la cualR2 es Hausdorff peroR2/R = π(R2) no lo es.
PROPOSICIÓN 1.12. Si f : (X,T ) → (Y,R) es funcíon continua e(Y,R) es
espacio de Hausdorff entonces
{(x, y) ∈ X ×X : f(x) = f(y)}
es un subconjunto cerrado deX ×X.
Demostracíon. Considere un punto arbitrario(x, y) en el complemento del con-
junto A = {(x, y) ∈ X × X : f(x) = f(y)}. Entoncesf(x) 6= f(y) y, por
serY espacio de Hausdorff, existenU, V ∈ R, vecindades def(x) y f(y), res-
pectivamente,tales queU ∩ V = ∅. Siendof continua se tiene quef−1(U) y
f−1(V ) son elementos deT , además quex ∈ f−1(U) e y ∈ f−1(V ). Entonces
f−1(U) × f−1(V ) es conjunto abierto enX × X, (x, y) ∈ f−1(U) × f−1(V ) y
(f−1(U)× f−1(V ))∩A = ∅. Esto muestra que para cada(x, y) ∈ (X ×X)−A
existe un abiertoW(x,y) ⊆ (X×X)−A. Luego(X×X)−A es conjunto abierto
y, por tanto,A es conjunto cerrado. ❚
O. Santamaria S.
26 1.5.Espacios de Hausdorff
PROPOSICIÓN 1.13. Seaf : (X,T ) → (Y,R) una funcíon abierta y sobreyec-
tiva. Si el conjunto{(x, y) ∈ X × X : f(x) = f(y)} es cerrado enX × X
entoncesY es espacio de Hausdorff.
Demostracíon. SeaA = {(x, y) ∈ X ×X : f(x) = f(y)}. Seana, b ∈ Y tales
quea 6= b. Entonces existenx, y ∈ X tales quef(x) = a y f(y) = b. Pero siendo
a 6= b esto implica que(x, y) está en el complemento del conjuntoA, y como este
es cerrado existenU, V ∈ T , conx ∈ U ey ∈ V tales queU ×V ⊆ X×X −A.
Siendof abierta entoncesf(U) ∈ R y f(V ) ∈ R, ademása ∈ f(U), b ∈ f(V )
y f(U) ∩ f(V ) = ∅. LuegoY es de Hausdorff. ❚
PROPOSICIÓN 1.14. Seaf : (X,T ) → (Y,R) una funcíon continua, abierta y
sobreyectiva. EntoncesY es espacio de Hausdorff si, y solo si, el conjunto
A = {(x, y) ∈ X ×X : f(x) = f(y)}
es cerrado enX ×X.
Demostracíon. SuponiendoY de Hausdorff entonces, por serf continua, se de-
duce de la Proposición 1.12 queA es cerrado. Recı́procamente, suponiendo queA
es conjunto cerrado enX × X entonces por serf abierta y sobreyectiva resulta,
de la Proposición 1.13, queY es espacio de Hausdorff. ❚
El Ejemplo 1.24 muestra que el cociente de un espacio de Hausdorff no necesa-
riamente tiene esta propiedad. En los siguientes resultados se analiza la topologı́a
de los espacios cociente (Ejemplo 1.10), y espacios obtenidos por la acción de un
grupo (Observación 1.4).
COROLARIO 1.3. Sea(X,T ) un espacio topológico,E una relacíon de equiva-
lencia sobreX yπ : X → X/E la respectiva funcíon identificacíon. Si el conjunto
∆ = {(x, y) ∈ X×X : π(x) = π(y)} es cerrado enX×X yπ es funcíon abierta
entoncesX/E es espacio de Hausdorff.
Demostracíon. Esto es consecuencia inmediata de la Proposición 1.13 ❚
COROLARIO 1.4. SeanG un grupo,X un espacio topológico yA : G×X → X
una accíon. Entonces el espacio cocienteX/G es de Hausdorff si, y solo si, el
conjunto
A = {(x, y) ∈ X ×X : π(x) = π(y)}
es cerrado enX ×X.
Demostracíon. De la Proposición 1.8 sabemos queπ : X → X/G es función
abierta, y como ademásπ es continua y sobreyectiva, el resultado se sigue de la
Proposición 1.14. ❚
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 27
PROPOSICIÓN 1.15. SeanG un grupo, (X,T ) un espacio topológico y
A : G×X → X una accíon. Entonces el espacio cocienteX/G es de Hausdorff
si, y solo si, para cada par de puntos no equivalentesx, y ∈ X existenU, V ∈ T ,
conx ∈ U ey ∈ V , tales queU ∩Ag(V ) = ∅, para todog ∈ G.
Demostracíon. Suponga que el espacioX/G es de Hausdorff. Seanx, y ∈ X
tal quex no es equivalente ay. Entonces los puntos̃x = π(x) e ỹ = π(y) son
distintos enX/G y, por ser este un espacio de Hausdorff, existen vecindadesŨ y
Ṽ de x̃, ỹ, respectivamente, tal quẽU ∩ Ṽ = ∅. SeanU, V ∈ T vecindades dex
e y, respectivamente, tales quẽU = π(U) y Ṽ = π(V ). Si existiera algúng ∈ G
tal queU ∩ Ag(V ) 6= ∅ entonces existe algúnz ∈ U y z ∈ Ag(V ). Esto último
implica la existencia de algúnω ∈ V tal quez = Ag(ω). Pero siω ∈ V entonces
π(z) = π(ω) ∈ Ṽ y tambiénπ(z) ∈ Ũ . Es decir,Ũ ∩ Ṽ 6= ∅. Por tantoŨ ∩ Ṽ = ∅
implica queU ∩ Ag(V ) = ∅ para todog ∈ G.
Recı́procamente, considere enX/G puntosx̃ e ỹ tales quẽx 6= ỹ. Seanx, y ∈ X
tales quex̃ = π(x) e ỹ = π(y). El hecho de ser̃x 6= ỹ implica quex no es
equivalente cony y, por hipótesis, existenU, V ∈ T , conx ∈ U e y ∈ V , tal
queU ∩ Ag(V ) = ∅, para todog ∈ G. SeaŨ = π(U) y Ṽ = π(V ). Si existiera
algún z̃ ∈ Ũ ∩ Ṽ entonces existena ∈ U , b ∈ V tales queπ(a) = z̃ = π(b).
En particular esto implica quea es equivalente ab, luego existe algúng ∈ G tal
quea = Ag(b). Perob ∈ V entoncesAg(b) ∈ Ag(V ), es decir,a ∈ Ag(V ). A
su vez esto implica quea ∈ U ∩ Ag(V ) y, en particularU ∩ Ag(V ) 6= ∅. Una
contradicción. Por tanto,̃U ∩ Ṽ = ∅ y entoncesX/G es espacio de Hausdorff.❚
1.6. Bases para una topoloǵıa
A continuación estudiaremos colecciones especiales contenidas en una topologı́a.
En principio, una topologı́a puede resultar una colección“demasiado grande”, y
sin embargo cada elemento de esta puede expresarse en términos de una colección
que, teóricamente, es “más pequeña”. Por ejemplo, enX = Rn los elementos de
su topologı́a usual, es decir, los conjuntos abiertos enRn, pueden ser de una infini-
dad de formas, pero lo común entre todos estos abiertos es que siempre se pueden
expresar como unión de bolas abiertas. Esto sugiere entonces que, de alguna ma-
nera, la colección de bolas abiertas es especial respecto ala topologı́a usual.
DEFINICI ÓN 1.8 (Base para una topologı́a). Sea(X,T ) un espacio topológico.
Una coleccíon B ⊆ T es una base paraT si cada elemento deT es uníon de
elementos deB.
Es decir,B es una base paraT si para cadaV ∈ T existe una colecciónB0 ⊆ B
tal queV =
⋃
B∈B0
B. Los elementos de una base se llamanconjuntos abiertos
O. Santamaria S.
28 1.6.Bases para una topologı́a
básicoso tambiénabiertos b́asicos. Si T tiene aB como base se dirá queT es
generada porB.
EJEMPLO 1.26.
1. En todo espacio topológico(X,T ) se tiene queT es base para si misma.
2. En todo conjuntoX, la colecciónB = {{x} : x ∈ X} es una base pa-
raP(X).
3. Si(X, d) es un espacio métrico yT es la topologı́a generada pord entonces la
colecciónB formada por todas las bolas abiertas en(X, d) es una base paraT .
4. En un espacio métrico(X, d), la topologı́aT generada pord también admite
como base a la colecciónB formada por todas las bolas abiertas de radio ra-
cional. Observe que esta colección está contenida en la base dada en el item
anterior.
5. En un espacio métrico(X, d), es posible hallar una colección más pequeña
que las mencionadas en los dos items anteriores, pero que aún sigue siendo
base para la topologı́a generada pord. Esta colección es formada por todas las
bolas abiertas de radio1/n, conn = 1, 2, . . .
DEFINICI ÓN 1.9 (Base local). Sea(X,T ) un espacio topológico yx ∈ X. Una
coleccíonBx ⊆ T se denominabase local enx si satisface las siguientes condi-
ciones:
1. x ∈ B, para todoB ∈ Bx y
2. para cadaV ∈ T , conx ∈ V , existe alǵunB ∈ Bx tal queB ⊆ V .
En el siguiente resultado se muestra cómo construir o generar una topologı́a a
partir de una colección dada de subconjuntos, siempre que esta colección satisfaga
algunas condiciones.
PROPOSICIÓN 1.16. SeaX un conjunto. Una familiaB ⊆ P(X) es base para
alguna topoloǵıa sobreX si, y solamente si, valen las siguientes condiciones:
1. Para cadax ∈ X existe alǵunB ∈ B tal quex ∈ B.
2. Para cadaB1, B2 ∈ B y cadax ∈ B1 ∩ B2, existe alǵunBx ∈ B tal que
x ∈ Bx ⊆ B1 ∩B2.
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 29
Demostracíon. Suponga inicialmente queB es base para alguna topologı́aT
sobreX. Para mostrar (1) observe que siendoX elemento deT entonces, por
la definición de base, existe alguna subcolecciónB0 ⊆ B tal queX =
⋃
B∈B0
B.
En particular, cadax ∈ X estará en algúnB ∈ B0 ⊆ B. Por otro lado, para
mostrar (2), seanB1 y B2 elementos deB y seax un elemento arbitrario de
B1 ∩ B2. ComoB ⊆ T entoncesB1 ∩ B2 ∈ T , luego existeB0 ⊆ B tal que
B1 ∩ B2 =
⋃
B∈B0
B. En particular esto implica que existe algúnB ∈ B0 ⊆ B tal
quex ∈ B ⊆ B1 ∩B2.
Recı́procamente, suponga queB es una colección de subconjuntos deX, que
satisface (1) y (2). ConsiderandoT como la colección conformada por el con-
junto vacı́o y todas las posibles uniones que se puedan formar usando los elemen-
tos deB, entonces es sencillo mostrar queT es una topologı́a sobreX, y que
ademásB es base para esta topologı́a. ❚
La continuidad de una función puede ser estudiada en términos de bases.
PROPOSICIÓN 1.17. Seaf : (X,T ) → (Y,R) una funcíon entreespacios to-
pológicos yB una base paraR. Entoncesf es continua si, y solamente si, para
cada elementoB ∈ B se tiene quef−1(B) ∈ T .
Demostracíon. En primer lugar suponga quef es continua. Como cada elemento
B ∈ B es también elemento deR entonces la continuidad def garantiza que
f−1(B) ∈ T . En segundo lugar suponga queB, base deR, tiene la propiedad
enunciada. Dado cualquierV ∈ R existeB0 ⊆ B tal queV =
⋃
B∈B0
B, luego
f−1(V ) =
⋃
B∈B0
f−1(B), y como cadaf−1(B) es elemento deT , se concluye
quef−1(V ) es también elemento deT . Entoncesf es continua. ❚
En las dos definiciones que siguen se distinguen aquellos espacios cuya topologı́a
admite base enumerable.
DEFINICI ÓN 1.10(Espacio primero contable). Un espacio topoĺogico(X,T ) es
primero contable si en cada punto deX existe una base local enumerable.
DEFINICI ÓN 1.11 (Espacio segundo contable). Un espacio topoĺogico (X,T )
es segundo contable siT tiene alguna base enumerable.
Para un espacio primero contable también se acostumbra utilizar la denominación
espacio que satisface el primer axioma de enumerabilidad. De la misma forma,
para un espacio segundo contable también se dice que es unespacio que satisface
el segundo axioma de enumerabilidad. Veremos a continuación que la colección
de espacios segundo contables es más pequeña que la de espacios primero conta-
bles.
O. Santamaria S.
30 1.6.Bases para una topologı́a
PROPOSICIÓN 1.18. Todo espacio topológico segundo contable es primero con-
table.
Demostracíon. Sea(X,T ) un espacio topológico yx ∈ X arbitrario. Suponien-
do que bajo esta topologı́a dicho espacio es segundo contable, existe una base
enumerableB paraT . A su vez, usando esta base considere la colección enume-
rable
Bx = {B ∈ B : x ∈ B}.
EntoncesBx es una base local enx. ❚
No todo espacio primero contable es segundo contable. Por ejemplo, un conjun-
to X no enumerable, con la topologı́a discreta, no puede ser segundo contable;
pues si lo fuera entonces cualquiera sea la base de dicha topologı́a, esta debe con-
tener como abiertos básicos a conjuntos de la formaUx = {x}, conx ∈ X. Pero
siendoX no enumerable entonces tal base tampoco podrı́a serlo.
Un espacio topológico(X,T ) esseparablesi existe algún subconjuntoS ⊆ X
enumerable y denso.
PROPOSICIÓN 1.19. Todo espacio topológico segundo contable es separable.
Demostracíon. Suponiendo que(X,T ) es espacio topológico segundo contable,
existe una base enumerableB paraT . EnX considere el subconjuntoS formado
eligiendo un solo elemento, y solo uno, de cada conjunto no vacı́oB ∈ B. Ob-
serve en particular que la enumerabilidad deB trae como consecuencia queS es
enumerable. Para mostrar queS es denso considere un punto cualquierax ∈ X
y cualquierV ∈ T , conx ∈ V . Nuevamente por serB una base paraT , di-
cho abiertoV puede escribirse como la unión de elementos deB, lo cual implica
quex debe estar en algúnB0 ∈ B. Pero por la construcción deS, uno de los
elementos deB0 es también elemento deS, luegoS ∩B0 6= ∅. De esto se deduce
que también se tieneS ∩ V 6= ∅. SiendoV arbitrario se concluye queS es denso
enX. LuegoX es espacio separable. ❚
PROPOSICIÓN 1.20. Todo espacio ḿetrico es segundo contable si, y solo si, es
separable.
Demostracíon. Suponiendo que el espacio métrico es segundo contable, resul-
ta de la Proposición 1.18 que es separable. Recı́procamente, suponga que(X, d)
es separable. Entonces existe algún conjuntoS ⊆ X que es a la vez enume-
rable y denso. Para cadas ∈ S considere el menor número naturalns para el
cual la bola abiertaB(s, 1/ns) está contenida enX y luego forme la colección
Bs = {B(s, 1/n) : n ≥ ns, n ∈ N} constituida por bolas abiertas concéntri-
cas de radio1/n, para todon ≥ ns. A continuación considere la colección
O. Santamaria S.
Cap. 1:Preliminares topoĺogicos 31
B =
⋃
s∈S
Bs. ComoS y Bs, para cadas ∈ S, son enumerables se concluye
queB también tiene esta propiedad. El siguiente paso consiste en mostrar que
esta colecciónB es una base para la topolgı́a generada pord. SeaV un conjunto
abierto y considere un punto arbitrariox ∈ V . Por definición de conjunto abier-
to en un espacio métrico, existe algúnε > 0 tal que la bola abiertaB(x, ε) está
contenida enV . Pero para talε > 0 existe un entero positivon, suficientemente
grande, de tal forma que1/n < ε/2. El hecho de serS denso enX, garantiza
queS ∩ B(x, 1/n) 6= ∅, luego existe algúns ∈ S que a la vez está enB(x, 1/n).
Pero sis ∈ B(x, 1/n) entonces también ocurre quex ∈ B(s, 1/n). Además de
esto observe queB(s, 1/n) ∈ Bs ⊆ B, es decir,B(s, 1/n) ∈ B. Afirmamos
queB(s, 1/n) ⊂ B(x, ε). Para ver esto considere punto arbitrarioy ∈ B(s, 1/n),
entonces
d(y, x) ≤ d(y, s) + d(s, x) < 1
n
+
1
n
=
2
n
< 2
(ε
2
)
= ε,
lo cual muestra quey ∈ B(x, ε). Luegox ∈ B(s, 1/n) ⊂ B(x, ε) ⊂ V . Esto
muestra que para cadax ∈ V existe algúnB ∈ B tal quex ∈ B ⊂ V . LuegoV
es unión de elementos deB. ❚
Como caso particular de la Proposición 1.20 podemos mencionar que el espacio
euclidianoRn es segundo contable, pues dicho espacio es separable. También es
sencillo mostrar que sif : X → Y es una función sobreyectiva, continua yX
es espacio primero contable (respect. segundo contable) entoncesY es primero
contable (respect. segundo contable). Aún más, las propiedades de ser primero
contable o segundo contable son propiedades topológicas (Definición 1.3), y tam-
bién propiedades hereditarias.
PROPOSICIÓN 1.21. Seaf : (X,T ) → (Y,R) una funcíon sobreyectiva y con-
tinua. Sif es funcíon abierta yB = {Bλ}λ∈L es una base paraT entonces
{f(Bλ)}λ∈L es base paraR.
Demostracíon. Comof es función abierta entonces{f(Bλ)}λ∈L es una colección
de elementos deR. SeaU un elemento arbitrario deR y y ∈ U arbitrario. La
continuidad def garantiza quef−1(U) ∈ T . Dadox ∈ f−1(U) tal quef(x) = y
entonces, por el hecho de serB una base deT , existe algúnB ∈ B tal que
x ∈ B ⊆ f−1(U). De esto resulta quey ∈ f(B) ⊆ f(f−1(U)) = U . Esto
implica que cada elemento deB se puede escribir como unión de elementos de la
colección{f(Bλ)}λ∈L, por tanto, esta es base deR. ❚
COROLARIO 1.5. Seaf : (X,T ) → (Y,R) una funcíon sobreyectiva y conti-
nua. Sif es funcíon abierta y(X,T ) es segundo contable entonces(Y,R) es
tambíen segundo contable.
O. Santamaria S.
32 1.6.Bases para una topologı́a
Demostracíon. Inmediata a partir de la Proposición 1.21. ❚
EJEMPLO 1.27. El espacio proyectivoRP(m) (Ejemplo 1.13) es un espacio de
Hausdorff y segundo contable.
Demostracíon. SeaX = Rm+1 − {0}. Como la funciónπ : X → RP(m) es
continua, abierta y sobreyectiva entonces, por la Proposición 1.14, será suficiente
demostrar que el conjuntoA := {(x, y) ∈ X ×X : π(x) = π(y)} es cerrado en
X ×X, para ası́ concluir queRP(m) es espacio de Hausdorff.
Observe queπ(x) = π(y) si y solo siy = λx para algúnλ ∈ R− {0}, por tanto,
A = {(x, y) ∈ X ×X : y = λx, λ ∈ R− {0}}.
Además siendoyj = λxj entoncesxiyj − xjyi = xi(λxj) − xj(λxi) = 0. Esto
sugiere considerar la funciónf : X ×X → R definida como
f(x, y) =
n+1∑
i,j=1
i<j
(xiyj − xjyi)2.
Siendof continua,{0} cerrado enR y A = f−1({0}), se concluye queA es
cerrado enX ×X.
Por otro lado, comoX = Rm+1 − {0} es un espacio segundo contable, y siendo
π : X → RP(m) función continua, sobreyectiva y abierta entonces resulta del Co-
rolario 1.5 queRP(m) es también segundo contable. ❚
DEFINICI ÓN 1.12. Sea (X,T ) un espacio topológico. Una coleccíon
U ⊆ P(X) es un cubrimiento deX si ⋃A∈U A = X. CuandoU ⊆ T , en-
toncesU se llama cubrimiento abierto.
SeaU ⊆ P(X) un cubrimiento deX. Una coleccíon B ⊆ U es un subcubri-
miento deU siX =
⋃
B∈B B.
PROPOSICIÓN 1.22(Teorema de Lindelöf). Si (X,T ) es un espacio topológico
segundo contable entonces todo cubrimiento abierto deX admite un subcubri-
miento enumerable.
Demostracíon. SeaU ⊆ T un cubrimiento abierto deX y seaB una base
enumerable deT , la cual existe por ser(X,T ) segundo contable. Para cada
conjuntoB ∈ B elija un únicoUB ∈ U tal queB ⊆ UB. Entonces la colección
de estosUBes enumerable y además, por serB base,
X =
⋃
B∈B
B ⊆
⋃
B∈B
UB ⊆ X.
Es decir, la colección{UB} es un subcubrimiento abierto deX. ❚
O. Santamaria S.
Caṕıtulo 2
Variedades diferenciables
Es este capı́tulo serán estudiados espacios topológicosque localmente son difeo-
morfos a subconjuntos abiertos de algún espacio euclidiano. A partir de ahora,Rn
(n ≥ 1) será considerado con su topologı́a usual, es decir, la topologı́a genera-
da por la métrica euclidiana. Una variedad diferenciable es una generalización de
las superficies regularesk-dimensionales estudiadas en un primer curso de geo-
metrı́a diferencial. Aunque una superficie regular siempreestá contenida en algún
Rn, veremos que una variedad diferenciable no necesariamentelo está, y aún ası́
localmente “se parece” a algún espacio euclidiano. Este parecido local es expre-
sado por un conjunto de funciones que se encargan de transformar “porciones
adecuadas” de una variedad diferenciable en bolas abiertaso conjuntos abiertos
de algúnRn. Es más, si una de estas “porciones” es difeomorfo a algún abierto
deRn, entonces todas las porciones que elijamos deben tener estapropiedad, es
decir, todas deben ser difeomorfas a abiertos de espacios euclidianos de la misma
dimensión.
En la definición de variedad diferenciable, algunos consideran que dichos espa-
cios deben ser Hausdorff y segundo contable. Aunque pareciera que estos son
demasiados requisitos, en realidad la mayorı́a de los espacios que aparecen en
las aplicaciones tienen estas propiedades. De ahı́ que la tendencia sea considerar
estas exigencias desde la definición misma. Ver por ejemploel capı́tulo 1 en [3]
(aunque este autor supone la segunda enumerabilidad luego de definir variedad
diferenciable sin esta condición), vea también los capı́tulos 1 en [14], 1 en [16],
8 en [21], 1 en [27], 2 en [28], 1 en [29], 1 en [40], 5 en [41], 5 en[49] y 7 en
[50], entre otros. Adoptaremos aquı́ la oponión de la mayorı́a, y en su momento
aclararemos con ejemplos la existencia de espacios localmente homeomorfos a
espacios euclidianos, pero que no son Hausdorff o no tienen base contable.
33
34 2.1.Espacios localmente euclidianos
2.1. Espacios localmente euclidianos
DEFINICI ÓN 2.1. Un espacio topoĺogico(X,T ) es localmente euclidiano si pa-
ra cadax ∈ X existe alǵunV ∈ T , conx ∈ V , que es homeomorfo a un abierto
U de alǵun espacio euclidianoRm, conm ≥ 0.
En este caso, el enterom ≡ d(x) se denominadimensíon local deX enx.
EJEMPLO 2.1. Considere el subespacio topológico deR3,
M := {(x, 0, 1) : y ∈ R} ∪ {(x, y, z) : z = 0}
SeaM1 = {(x, 0, 1) : y ∈ R} y M2 = {(x, y, z) : z = 0}. Es claro que
M1 ∩M2 = ∅, y además estos conjuntos son abiertos enM . Entonces dado cual-
quier cualquier puntop ∈ M , si p ∈ M1, basta elegirV = M1, U = R y la
funciónϕ : V → R definida comoϕ(x, 0, 1) = x. Si p ∈ M2 considereV = M2,
U = R2 y ψ : M2 → R2 dada comoψ(x, y, 0) = (x, y). En cada caso se obtiene
un homeomorfismo entre un abierto deM y un abierto de un espacio euclidiano
y, por tanto,M es localmente euclidiano. Observe que en cada punto deM1 la
dimensión local es1 y enM2 la dimensión local es2.
R
2
R
( ,0,1)x
x
( , ,0)x y
( , )x y
j y
M1
M2
Fig. 2.1: Espacio localmente euclidiano
EJEMPLO 2.2. Considere el conjuntoR provisto de latopoloǵıa del comple-
mento finito(o también llamadatopoloǵıa co-finita), denotada porTcf . Bajo esta
topologı́a, un conjuntoU ⊆ R es abierto si, y solo si,U = ∅ o R− U es finito.
1. Cada subespacioS de (R,Tcf), tiene también la topologı́a del complemento
finito.
En efecto, siU ⊆ S es abierto en la topologı́a de subespacio, entonces existe
algúnA ∈ Tcf tal queU = A ∩ S. ComoA ∈ Tcf , este es de la forma
A = R− F para algún conjunto finitoF ⊆ R, luego
U = (R− F ) ∩ S = S − (S ∩ F ),
O. Santamaria S.
Cap. 2:Variedades diferenciables 35
y comoS ∩ F es finito, se concluye queU es abierto en la topologı́a co-finita
sobreS.
Recı́procamente, suponiendo queU es abierto en la topologı́a del complemento
finito sobreS, entonces este conjunto es de la formaU = S − F , para algún
conjunto finitoF ⊆ S. Pero siendoF finito, el conjuntoR − F es elemento
deTcf , luego(R−F )∩S = S−F = U , es decir,U es abierto en la topologı́a
de subespacio.
2. El espacio(R,Tcf) es no-Hausdorff. En efecto, dados dos puntos cualesquiera
x, y ∈ R tales quex 6= y, entonces para todo par de vecindadesU, V ∈ Tcf , de
x ey respectivamente, se tieneU ∩ V 6= ∅. Pues si fueraU ∩ V = ∅ entonces,
en particular,V ⊆ R− U , lo cual es imposible, puesV es infinito yR− U es
finito.
3. Considerando además aRn (n ≥ 1) con la topologı́a usual, toda función conti-
nuaϕ : (R,Tcf) → Rn es constante. En efecto, siϕ no fuera constante existen
x, y ∈ X tales quex 6= y y ϕ(x) 6= ϕ(y). En la topologı́a usual existen abiertos
U ⊆ Rn y V ⊆ Rn tales queϕ(x) ∈ U , ϕ(y) ∈ V y U ∩ V = ∅. La con-
tinuidad deϕ implica que tantoϕ−1(U) comoϕ−1(V ) son elementos deTcf .
Además de esto, la igualdadU ∩ V = ∅ implica queϕ−1(U) ∩ ϕ−1(V ) = ∅,
sin embargo esta última igualdad es imposible, pues al serϕ−1(U) subconjunto
deR− ϕ−1(V ) y ϕ−1(V ) subconjunto deR− ϕ−1(U) entonces tantoϕ−1(U)
comoϕ−1(V ) son conjuntos finitos, lo cual implicarı́a queRn es finito, y esto
es una contradicción.
4. El espacio topológico(R,Tcf) no es localmente euclidiano, pues como cada
elementoU ∈ Tcf tiene también la topologı́a co-finita entonces toda funci´on
continuaϕ : U → ϕ(U) ⊆ Rn debe ser constante. Pero si esto es ası́,ϕ no
podrı́a ser homeomorfismo.(R,Tcf) tampoco es localmente euclidiano de di-
mensión0, pues si lo fuera, los homeomorfismosϕ : U → R0 obligan a queU
sea conjunto unitario, lo cual es imposible enTcf .
La noción dedimensíon local en un puntoes consistente, en el sentido de queno
puede haberun punto en un espacio localmente euclidiano que pertenezcaa dos
abiertos, que a su vez sean homeomorfos a abiertos de espacios euclidianos de
distinta dimensión. En realidad la validez de esta afirmación estásustentada en
los resultados que veremos a continuación.
TEOREMA 2.1 (Invariancia del dominio). SiU es un conjunto abierto enRm y
f : U → Rm una aplicacíon continua e inyectiva, entoncesf(U) es un conjunto
abierto enRm.
O. Santamaria S.
36 2.1.Espacios localmente euclidianos
Este teorema se debe al matemático holandés Liutzen E. J. Brouwer. Como con-
secuencia se tiene el siguiente:
TEOREMA 2.2 (Invariancia de la dimensión). SiU ⊆ Rn y V ⊆ Rm son subcon-
juntos abiertos y homeomorfos entoncesn = m.
Demostracíon. Suponga quen < m. En este caso considere la función inclusión
i : Rn →֒ Rm, dada por
i(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
m−n
).
Es claro quei es continua e inyectiva, sin embargo, el conjuntoi(Rn) no puede ser
abierto enRm y, por tanto, no puede contener ningún subconjunto abiertodeRm.
Por hipótesisU y V son homeomorfos y seaf : V → U tal homeomorfismo.
Entonces la aplicacióng = i|U ◦ f : V → Rm es continua e inyectiva. Luego se
tendrı́a queV es abierto yg(V ) = i(U) ⊆ i(Rn) no puede ser abierto enRm. Esto
contradice al Teorema 2.1.
De manera similar se procede si suponemosn > m. En este caso considere la
inclusióni : Rm →֒ Rn. ❚
COROLARIO 2.1(Consistencia de la dimensión local). SiX es un espacio local-
mente euclidiano, entonces la dimensión locald : X → Z+0 est́a bien definida y es
localmente constante.
Demostracíon. Seax ∈ X un punto arbitrario y suponga que existen enteros
m,n ≥ 0, abiertosV1 y V2 enM , abiertosU1 enRm y U2 enRn, y homeomorfis-
mosϕ1 : V1 → U1 y ϕ2 : V2 → U2. ComoV1 ∩ V2 es abierto enM entonces los
conjuntosϕ1(V1 ∩ V2) ⊆ U1 ⊆ Rm y ϕ2(V1 ∩ V2) ⊆ U2 ⊆ Rn son abiertos. Pero
ademásϕ2 ◦ ϕ−11 : ϕ1(V1 ∩ V2) → ϕ2(V1 ∩ V2) es un homeomorfismo, entonces
resulta del Teorema 2.2 quem = n. Esto muestra que la función dimensión local
d : X → Z+0 asigna a cadax ∈ X un único enterom ≥ 0 y d|V1∩V2 es constante.
Luegod es localmente constante. ❚
COROLARIO 2.2. SiX es un espacio topológico conexo y localmente euclidiano
entonces la