AF 17 10 2019 (1)

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Un Curso de Análisis Funcional
Demetrio Stojanoff
Dedicado al General Perón
October 17, 2019
Índice
I Análisis funcional básico 5
1 Espacios normados 6
1.1 Normas de vectores, funcionales y operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Ejemplos más famosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Cálculo de algunos duales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 El lema de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Subespacios finitodimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Algunos ejemplos de operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Funcionales y Operadores 47
2.1 Hahn Banach: El dual es grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Recordando Baires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Teorema de la imagen abierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Teorema del gráfico cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Principio de acotación uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Dualidad y adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Proyectores y subespacios complementados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8 Ejercicios del Cap. 2 - Funcionales y Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Espacios de Hilbert 84
3.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Teorema de representación de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4
∑
i∈I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Bases ortonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6 Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Ejercicios del Cap. 3 - Espacio de Hibert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1
4 Operadores en espacios de Hilbert 110
4.1 El adjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Clases de operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 Positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4 La ráız cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Descomposición polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6 Subespacios invariantes y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7 Operadores de rango finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.8 Ejercicios del Cap 4: Operadores en EH’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5 Espacios localmente convexos 145
5.1 Seminormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Espacios localmente convexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Hahn Banach versión separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4 Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5 Topoloǵıas débiles en espacios normados y ELC’s . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.6 Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.7 Una caracterización de la reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.8 Miscelánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.9 Ejercicios del Cap 5: ELC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
II Teoŕıa espectral. 171
6 Espectro 172
6.1 Álgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2 Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.1 El espectro depende del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.2 Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3 Espectro de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4 Espectro de autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.5 Cálculo funcional continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5.1 El caso autoadjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5.2 Camuyo sobre el CFC para operadores normales . . . . . . . . . . . . 197
6.6 Espectro dividido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.7 Propiedades de la ráız cuadrada positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8 Ejercicios del Cap. 6 - Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7 Operadores compactos 215
7.1 Definiciones y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.2 Fredholm inicia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3 Espectro de compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4 Representaciones espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.5 Fredholm sigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2
7.6 Ejercicios del Cap. 7 - Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8 La traza 243
8.1 Traza no acotada para positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.2 La traza como funcional lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.3 Los Hilbert Schmit son un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.4 Los operadores traza son un Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.5 Los preduales de L(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.6 Ejercicios del Cap. 8 - La traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9 C∗-álgebras 258
9.1 C∗-álgebras de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.2 Álgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2.1 Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2.3 El espectro depende del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.4 Transformada de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3 C∗-álgebras, propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.4 Cálculo funcional continuo en una C∗-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.5 Positivos en una C∗-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.6 Estados y la construcción GNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10 Operadores no acotados 289
10.1 Definiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.2 Operadores simétricos y autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.3 Teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
III Resultados Preliminares 306
A Topoloǵıa 307
A.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.2 Cerrados, ĺımites y clausuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
A.3 Bases y sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
A.3.1 Topoloǵıa inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.4 Clases de ET’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 314
A.4.1 Numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
A.4.2 Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.4.3 Herencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.5 Continuidad básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.6 Redes y subredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
A.7 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.8 Sucesiones en espacios N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
A.9 Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
3
A.10 Productos y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.10.1 Topoloǵıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.10.2 Topoloǵıa producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.10.3 Topoloǵıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
A.10.4 Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
A.11 Existencia de muchas funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.11.1 Lema de Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.11.2 Teorema de Tietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.11.3 Embbedings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.12 Espacios métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
A.13 Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
A.14 Compactos en EM’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
A.15 Compactificación de Alexandrov: Un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.16 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
A.17 Stone Čech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A.18 Métricas uniformes en C(X, Y ), con Y un EM . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
A.19 Teoremas de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4
Parte I
Análisis funcional básico
5
Caṕıtulo 1
Espacios normados
Llamemos K = R o C. Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio topológico
(E, τ) en el que E es un K-espacio vectorial, y además
1. La topoloǵıa τ es de Hausdorff.
2. Las operaciones vectoriales
E × E 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ E y K× E 3 (λ , x) 7→ λx ∈ E (1.1)
son continuas, respecto a las topoloǵıas producto en E × E y en K× E.
En particular esto hace que, para cada x ∈ E fijo, las aplicaciones
Tx : E → E dada por Tx(y) = x+ y and
Mx : K→ E dada por Mx(λ) = λx
(1.2)
sean continuas. Observar que cada traslación Tx es un hómeo, con inversa T−x . Esto dice
que, fijado un x ∈ E, podemos calcular siempre los entornos de x como
Oτ (x) = x +Oτ (0)
def
=
{
x+ U = Tx(U) : U ∈ Oτ (0)
}
.
O sea que para caracterizar una topoloǵıa de EVT en E, basta con conocer una base (o
incluso una sub-base) de entornos del cero de E.
1.1 Normas de vectores, funcionales y operadores.
Veremos en principio los ejemplos de EVT’s dados por una métrica. En el contexto de
espacios vectoriales, interesan particularmante las métricas d que cumplen dos condiciones
de compatibilidad con la estructura: Fijado el par (E, d), donde E es un K-EV y d una
métrica en E, se pide que para todo λ ∈ K y todos los vectores x, y, z ∈ E se cumpla
• Que d sea invariante por translaciones, o sea que d(x+ z , y + z) = d(x , y) .
6
• Que sea homogénea: d(λx , λ y) = |λ| d(x , y) .
Estas métricas se definen a traves de la noción de norma en el espacio vectorial.
1.1.1. Fijemos un K-espacio vectorial E. Diremos que una función ‖ · ‖ : E → R+ es
1. Una norma, si cumple que para todo λ ∈ K y todo par x , y ∈ E,
(a) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.
(b) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
(c) Se tiene que ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0.
La métrica resultante se define como d (x, y) = ‖x− y‖, para x, y ∈ E.
2. En tal caso, el par (E, ‖ · ‖) pasa a llamarse un espacio normado (shortly: EN).
3. El par (E, ‖ · ‖) se llamará espacio de Banach (adivinen: EB) si la métrica d hace
de E un EM completo (mirar antes la Prop. 1.1.2 de abajo).
4. Si (E, ‖ · ‖) es un espacio normado, denotaremos por BE = {x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1} a su
bola cerrada de radio uno.
5. Diremos que la función ‖ · ‖ de arriba es una seminorma, si cumple (a) y (b) pero no
necesariamente (c). 4
Proposición 1.1.2. Sea (E, ‖ · ‖) un EN. Luego:
1. La d (x, y) = ‖x− y‖ (para x, y ∈ E) es, efectivamente, una métrica en E.
2. Con la topoloǵıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translaciones
E 3 y 7→ y + x y las flechas K 3 λ 7→ λx (con x fijo) son continuas.
3. La función norma es continua. Más aún, vale la desigualdad∣∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣∣ ≤ ‖x− y‖ = d (x, y) , para todo par x, y ∈ E . (1.3)
Demostración. En principio podemos observar que d (x, y) = ‖x− y‖ = 0 ⇐⇒ x = y, por
la condición (c) de la definición de normas. La d es simétrica porque | − 1| = 1. Además,
una desigualdad triangular se deduce fácilmente de la otra. Con eso d ya es una métrica.
Para ver que (E, τd) es un EVT, basta mencionar que la continuidad en la Ec. (1.1) se deduce
directamente de las condiciones (a) y (b) de la definición de norma. Por ejemplo
‖λx− µ y‖ ≤ ‖λx− µx‖+ ‖µx− µ y‖ = |λ− µ| ‖x‖+ |µ| ‖x− y‖ ,
para x, y ∈ E y λ, µ ∈ K cualesquiera, por lo que K × E 3 (λ, x) 7→ λx es continua. La
Ec. (1.3) es otra consecuencia fácil de la desigualdad triangular de las normas. �
7
El hecho de que toda norma defina una métrica sobre un espacio vectorial dado, nos permite
hablar de los conceptos topológicos habituales como abiertos y cerrados; junto con ellos
aparecen en forma natural otros algo más complejos, como por ejemplo el borde de un
conjunto, un conjunto nunca denso (magro) o un conjunto denso en todo el espacio.
Como en ET’s generales, diremos que un EN es separable si tiene un denso numerable.
También se puede “completar” un normado, obteniendo un Banach que tiene al anterior
como subespacio denso. Esto se puede hacer a mano, pero será más fácil un poco más
adelante (ver Obs. 2.1.14). Además tiene sentido definir funciones continuas en un EN. La
cosa se pone interesante cuando uno se cuestiona la continuidad de las funciones K-lineales.
Ahora daremos las notaciones sobre este tema:
Notaciones 1.1.3. Sean E y F dos K-EV’s.
1. Denotaremos por E ′
def
= {ϕ : E → K : ϕ es lineal } al espacio dual algebráico de E.
2. Llamaremos Hom (E,F )
def
= {T : E → F : T es K-lineal } al espacio de transforma-
ciones lineales (se abrevia TL) entre E y F .
3. Si T ∈ Hom (E,F ) y x ∈ E, escribiremos T x en lugar de T (x) cuando sea posible.
Esto se hace por analoǵıa con las matrices, y para ahorrar paréntises. Llamaremos
(a) kerT
def
= T−1({0}) = {x ∈ E : T x = 0} ⊆ E, al núcleo de T .
(b) R(T )
def
= T (E) = {T x : x ∈ E} ⊆ F , al rango (o imagen) de T .
Observar que tanto kerT ⊆ E como R(T ) ⊆ F son subespacios.
4. Si ahora pensamos que (E, ‖·‖ ) es un EN, no siempre vale que toda ϕ ∈ E ′ es continua
respecto de ‖ · ‖. Lo mismo si F es también normado y T ∈ Hom (E,F ).
5. Por ello de denomina dual “topológico” de E al K-EV
E∗
def
= {ϕ ∈ E ′ : ϕ es ‖ · ‖-continua } = E ′ ∩ C
(
(E, ‖ · ‖),K
)
. (1.4)
6. Si E era un C-EV, denotaremos por E ′R y E∗R a sus duales pensándolo como R-EV (o
sea las funcionales ϕ : E → R que son R-lineales). 4
1.1.4. El hecho de pedirle a una TL que sea continua suena raro. De hecho en Kn son mucho
más que continuas, son las cosas por las que uno quiere aproximar otras funciones para que
sean “suaves”. Sin embargo, al subir a dimensión infinita la “mayoŕıa” de las funcionales no
son continuas. Antes de seguir mostremos un ejemplo para convencer al lector incrédulo:
Llamemos SF = K(N) al subespacio de KN (todas las sucesiones en K) generado porla “base
canónica” infinita E = {en : n ∈ N}. Obviamente cada en es la sucesión que tiene todos
ceros salvo un uno en el lugar n-ésimo. El espacio SF consta de las “sucesiones finitas”, en
el sentido de que a partir de un momento todas sus entradas se anulan.
8
Pongamos en SF la norma supremo ‖x‖∞ = supn∈N |xn| , para x = (xn)n∈N ∈ SF . Defi-
namos ahora una funcional no continua: Sea ϕ ∈ SF ′ dada por la fórmula
ϕ(x) =
∑
n∈N
n2 · xn para cada x = (xn)n∈N ∈ SF .
Cada tal suma es en realidad finita, por lo que está bien definida. La linealidad es clara.
Ahora bien, si tomamos la sucesión (en
n
) de puntos de SF , vemos que ‖enn ‖∞ =
1
n
−−−→
n→∞
0, por
lo que en
n
‖ · ‖∞−−−→
n→∞
0SF en el espacio normado SF . Sin embargo, ϕ( enn ) = n para todo n ∈ N,
que no converge a ϕ(0SF ) = 0 . Luego esta ϕ es una funcional lineal y no es continua ni en el
cero de SF . Veamos, ahora śı, una caracterización de la continuidad de las funcionales. 4
Proposición 1.1.5. Sea (E, ‖ · ‖) un EN y sea ϕ ∈ E ′. Entonces
ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖E∗
def
= sup
x∈BE
|ϕ(x)| <∞ . (1.5)
En tal caso, se tiene la siguiente igualdad:
‖ϕ‖ = sup
‖x‖=1
|ϕ(x)| = mı́n
{
M ∈ R : |ϕ(x)| ≤M ‖x‖ para todo x ∈ E
}
. (1.6)
Además, ϕ 7→ ‖ϕ‖ es una norma en E∗, con la que resulta ser un espacio normado.
Demostración. Supongamos que ‖ϕ‖ = +∞. Luego para todo n ∈ N debe existir un
xn ∈ BE tal que |ϕ(xn)| ≥ n2. Si ahora consideramos la sucesión yn = xnn , tendremos que
‖yn‖ =
‖xn‖
n
−−−→
n→∞
0 pero |ϕ(yn)| =
|ϕ(xn)|
n
≥ n para todo n ∈ N .
O sea que una tal ϕ no podŕıa ser continua ni en cero (recordar que ϕ(0) = 0). Esto prueba
la flecha =⇒ de la Ec. (1.5). Para ver la rećıproca observemos que si ‖ϕ‖ <∞, entonces
|ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ para todo x ∈ E . (1.7)
En efecto, si x 6= 0, tomemos y = x‖x‖ . Entonces, como ‖y‖ = 1, tenemos que
|ϕ(x)|
‖x‖
= |ϕ(y)| ≤ sup
z∈BE
|ϕ(z)| = ‖ϕ‖ =⇒ |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ .
De (1.7) deducimos que |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ(x − y)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x − y‖ para todo par x, y ∈ E.
Esto muestra que una tal ϕ es re-continua.
Sea ahora M0 el mı́nimo de la Ec. (1.6) (en principio digamos que es el ı́nfimo). Por la (1.7),
es claro que M0 ≤ ‖ϕ‖. La otra desigualdad surge de la definición de ‖ϕ‖, porque de ella
sale directo que ‖ϕ‖ ≤ M para todos los M del conjunto a minimizar en la Ec. (1.6). En
particular hay mı́nimo y vale la Ec. (1.6). Finalmente, el hecho de que ϕ 7→ ‖ϕ‖ define una
norma en E∗ es de verificación inmediata, y se deja como ejercicio. �
Veamos ahora el resultado análogo para TL’s entre normados:
9
Proposición 1.1.6. Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E,F ), definamos
‖T‖ = ‖T‖L(E,F )
def
= sup
x∈BE
‖T x‖F . (1.8)
Entonces vale lo siguiente:
1. Nuestro T ∈ C(E,F ) ⇐⇒ ‖T‖ <∞.
2. En tal caso vale que ‖T x‖F ≤ ‖T‖ ‖x‖E para todo x ∈ E.
3. ‖T‖ = sup
‖x‖E=1
‖T x‖F = mı́n
{
M ∈ R : ‖T x‖F ≤M ‖x‖E para todo x ∈ E
}
.
A estos operadores T se los llama acotados. Denotaremos por
L(E,F ) = Hom (E,F ) ∩ C(E,F )
al espacio (normado v́ıa T 7→ ‖T‖) de tales operadores.
Demostración. La prueba coincide mutatis mutandis con la de la Prop. 1.1.5. Basta cambiar
ϕ por T y | · | por ‖ · ‖F cuando haga falta. �
Como vimos, a las funcionales ϕ ∈ E∗ y a los operadores T ∈ L(E,F ) (para E y F dos EN’s)
se los suele adjetivar como “acotados” en lugar de continuos. Esto no es del todo cierto. Lo
que pasa es que se asume que la acotación se refiere a sus restricciones a la bola BE .
Observación 1.1.7. Sean E y F dos K-EV’s y T ∈ Hom(E,F ). Entonces se tiene que
T ∈ L(E,F ) ⇐⇒ T es continua en el punto 0 ∈ E . (1.9)
Esto se debe a la igualdad T x − T y = T (x − y) y a que T 0E = 0F . Recordar que por la
métrica que usamos, una sucesión xn −−−→
n→∞
x ⇐⇒ x− xn −−−→
n→∞
0.
En particular se tiene que las ϕ ∈ E ′ cumplen que
ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ ϕ(xn) −−−→
n→∞
0 para toda sucesión xn
‖ · ‖−−−→
n→∞
0 en E . (1.10)
Usaremos sistemáticamente este criterio en lo que sigue (casi siempre sin citar). 4
Observación 1.1.8. Sea E un EN y sea ϕ ∈ E ′. Repasando la Prop. 1.1.5 se obtiene la
siguiente mecánica (que usaremos hasta el cansancio) para estudiar una tal ϕ :
• Para mostrar que ϕ ∈ E∗ (o sea que ϕ es continua) basta con agenciarse una cota
M ∈ R tal que |ϕ(x)| ≤M ‖x‖ para todo x ∈ E .
10
• En tal caso, para calcular exactamente ‖ϕ‖ uno candidatea una M como arriba que
intuya que es la óptima en el sentido de la Ec. (1.6). Luego para verificar que efectiva-
mente lo es, y por ello valdŕıa que ‖ϕ‖ = M , basta encontrar una sucesión
(xn)n∈N en BE tal que |ϕ(xn)| −−−→
n→∞
M .
Usando las fórmulas (1.5) y (1.6), si el candidato M cumple ambas cosas (es una cota
por arriba y se lo aproxima desde la bola) ya sabremos que ‖ϕ‖ = M .
El mismo proceso sirve para calcular la ‖T‖ de un T ∈ L(E,F ) como en la Prop. 1.1.6.
Veamos un ejemplo: El normado será el espacio SF de sucesiones finitas definido en 1.1.4
(con la ‖ · ‖∞). Consideremos la funcional ϕ ∈ S ′F dada por la fórmula
ϕ(x) =
∑
n∈N
xn
n2
para cada x = (xn)n∈N ∈ SF .
Nuestro candidato para ‖ϕ‖ es el número M =
∑
n∈N
1
n2
<∞. Por un lado tenemos que
|ϕ(x)| =
∣∣∣ ∑
n∈N
xn
n2
∣∣∣ ≤ ∑
n∈N
|xn|
n2
≤ ‖x‖∞
∑
n∈N
1
n2
= M ‖x‖∞
para todo x = (xn)n∈N ∈ SF . Aśı que ya sabemos que ϕ ∈ S∗F con ‖ϕ‖ ≤M .
El siguiente paso es aproximar desde la bola: Para cada entero k ∈ N definamos el vector
yk =
k∑
n=1
en = (1, . . . , 1, 0, 0, . . . ) ∈ SF (la cantidad de unos es k). Notemos que ‖yk‖∞ = 1
para todo k ∈ N, por lo que la sucesión de vectores (yk)k∈N vive en la bola BSF . Además
ϕ(yk) =
k∑
n=1
1
n2
−−−→
k→∞
∑
n∈N
1
n2
= M .
Luego ‖ϕ‖ = M y a otra cosa. Como habrán notado, la mecánica en cuestión, más que
calcular la ‖ϕ‖, sirve para probar que una cadidato M que uno saca de la galera cumple
que ‖ϕ‖ = M . El criterio de elección de tales candidatos depende del contexto y de la
intuición del que lo busque. No se puede dar recetas para todo en la vida.
Para ejercitar la intuición y la metodoloǵıa propuesta dejamos otro ejemplo para el lector
intuitivo: Se trata de calcular la norma del operador T : SF → SF dado por
T x =
(
(1− 1
n
)xn
)
n∈N
para cada x = (xn)n∈N ∈ SF . 4
Observación 1.1.9. Sean E,F y G tres EN’s y sean T ∈ L(E,F ) y A ∈ L(F,G). Como
componer continuas da continua (y lo mismo con las K-lineales), nos queda que la com-
posición AT = A ◦T ∈ L(E,G). Pero mejor aún, por la definición de normas de operadores
dada en (1.8), que utiliza supremos, tenemos la siguiente desigualdad:
‖AT‖L(E,G) = sup
x∈BE
‖AT x‖ ≤ sup
x∈BE
‖A‖L(F,G) ‖T x‖ = ‖A‖L(F,G) ‖T‖L(E,F ) . (1.11)
11
En particular, si llamamos L(E) = L(E,E), este espacio normado es también una K-álgebra,
y la norma es “matricial”, en el sentido de que si
T , A ∈ L(E) , entonces ‖AT‖ ≤ ‖A‖ ‖T‖ .
Si pedimos que E sea Banach, entonces L(E) es lo que se llama un álgebra de Banach,
porque como se verá en el Teo. 1.1.10 que viene a continuación, el espacio L(E) sera también
un EB, que es además K-álgebra, con una norma matricial. 4
Teorema 1.1.10. Sean E y F dos EN’s. Pensemos a L(E,F ) como un EN con la norma
de la Ec. (1.8). Entonces vale que
1. Si F es Banach, entonces también L(E,F ) es un Banach.
2. En particular el dual E∗ = L(E,K) es un Banach para cualquier espacio normado E.
3. Si asumimos que E∗ 6= {0}, entonces
L(E,F ) es Banach ⇐⇒ F es Banach .
Demostración. Asumamos que F es un EB. Si nos dan una sucesión (Tn)n∈N en L(E,F )
que es de Cauchy, para cada x ∈ E tenemos que
‖Tn x− Tm x‖F = ‖(Tn − Tm)x‖F ≤ ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ −−−−−→
n ,m→∞
0 .
Luego (Tn x)n∈N es de Cauchy en F . Por la completitud de F podemos definir la función
T : E → F dada por T x = ĺım
m∈N
Tm x para cada x ∈ E .
Es fácil ver que T ∈ Hom (E,F ) (ĺımites de sumas y todo eso). Y tenemos convergencia
“puntual” por definición. Para concluir que L(E,F ) es Banach nos faltaŕıa ver que
T ∈ L(E,F ) y que ‖Tn − T‖L(E,F ) −−−→
n→∞
0 .
Veamos primero lo segundo: Dado un ε > 0, hay un n0 ∈ N tal que ‖Tn − Tm‖ < ε2 siempre
que n , m ≥ n0 . Si fijamos un n≥ n0 y tomamos cualquier x ∈ E, se tiene que
‖(T − Tn)x‖ = ‖T x− Tn x‖
?
= ĺım
m→∞
‖Tm x− Tn x‖ ≤ sup
m≥n0
‖Tm x− Tn x‖ ≤
ε
2
‖x‖ .
En efecto, la igualdad
?
= surge de que tanto sumar un vector fijo como tomar norma son
funciones continuas en F (Prop. 1.1.2). Como la desigualdad de arriba vale con el mismo
n para todos los x ∈ E , podemos tomar supremo sobre BE , con lo que
‖T − Tn‖ = sup
x∈BE
‖(T − Tn)x‖ ≤ sup
x∈BE
ε
2
‖x‖ < ε , para todo n ≥ n0 .
12
En resumen, ya sabemos que ‖Tn − T‖L(E,F ) −−−→
n→∞
0. En particular, existe un Tm tal que
‖T − Tm‖ ≤ 1 =⇒ ‖T‖ = ‖T − Tm + Tm‖ ≤ ‖T − Tm‖+ ‖Tm‖ ≤ 1 + ‖Tm‖ <∞ . (1.12)
Luego T ∈ L(E,F ) y lista la completitud. La rećıproca sale fijando una ϕ ∈ E∗ no nula. Si
ahora tomamos una sucesión (yn)n∈N de Cauchy en F , podemos definir
Tn ∈ L(E,F ) dadas por Tn x = ϕ(x) · yn para x ∈ E y n ∈ N .
Unas cuantas directas muestran que ‖Tn − Tm‖ = ‖ϕ‖ ‖yn − ym‖F para todo par n,m ∈ N.
Usando que L(E,F ) es Banach, debe existir un T ∈ L(E,F ) tal que ‖Tn − T‖ −−−→
n→∞
0.
Ahora basta elegir un x0 ∈ E tal que ϕ(x0) = 1 y poner y = T x0 . �
Observación 1.1.11. En la prueba anterior hay un exceso de hipótesis. Para el item 3
basta pedir que E 6= {0}. Si bien nadie probó todav́ıa que que todo EN no trivial tiene
funcionales continuas no nulas, más adelante veremos que eso es cierto. Nos adelantamos un
poco para ir motivando el teorema de Hahn-Banach. 4
Antes de terminar esta sección básica y pasar a los ejemplos, mostraremos un criterio para
testear completitud de un EN que se usará varias veces en lo que sigue.
Proposición 1.1.12. Sea E un EN. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1. El esapcio (E, ‖ · ‖) es un Banach (i.e., es completo).
2. Toda serie absolutamente convergente es convergente (todo en E). Más precisamente,
dada una sucesión (xn)n∈N en E, se tiene que∑
n∈N
‖xn‖ <∞ =⇒
∑
n∈N
xn es convergente (con la norma) a un punto x ∈ E .
En tal caso, vale que ‖x‖ ≤
∑
n∈N
‖xn‖.
Demostración. Asumamos primero que E es un EB. Luego, para mostrar la convergencia de
la serie, basta ver que la sucesión yn =
n∑
k=1
xk es de Cauchy en E. Pero si n < m,
‖ym − yn‖ =
∥∥∥ m∑
k=n+1
xk
∥∥∥ ≤ m∑
k=n+1
‖xk‖ −−−−−→
n,m→∞
0 ,
por la hipótesis de que
∞∑
n=1
‖xn‖ <∞. Aśı que existe lim
n→∞
yn = x =
∞∑
n=1
xn . Además,
‖x‖ = ĺım
n→∞
‖yn‖ = ĺım
n→∞
∥∥∥ n∑
k=1
xk
∥∥∥ ≤ ĺım
n→∞
n∑
k=1
‖xk‖ =
∞∑
k=1
‖xk‖ ,
13
donde se usó que la función E 3 z 7→ ‖z‖ es continua. Creamos ahora en la condición dos,
y tomemos una sucesión de Cauchy (yn)n∈N en E. Para cada k ∈ N elijamos un
mk ∈ N tal que ‖yr − ys‖ < 2−k para los r, s ≥ mk .
Luego definamos inductivamente n1 = m1 y nk = max{mk , nk−1 + 1} para k > 1 (esto
para que los nk sean crecientes). Nos queda una subsucesión (xk)k∈N = (ynk)k∈N tal que
‖xk+1 − xk‖ < 2−k para todo k ∈ N. Tomemos finalmente la telescópica
z1 = x1 y zk+1 = xk+1 − xk para k ∈ N .
Como ‖zk+1‖ ≤ 2−k para todo k ∈ N, la serie
∑∞
r=1 zr es absolutamente convergente y
por ello convergente. Pero cada
k∑
r=1
zr = xk = ynk . Aśı que la subsucesión (ynk)k∈N es
convergente a un y ∈ E, y arrastra con ella a toda la (yn)n∈N porque esta era de Cauchy. �
1.2 Ejemplos más famosos.
La gracia de los EVT’s y los EN’s, y por ende del análisis funcional en general, es que la teoŕıa
se hizo como forma de abstraer propiedades ya conocidas de muchos ejemplos matemáticos
muy importantes, que se estudiaban separadamente. Esto simplificó los conceptos involu-
crados, y permitió desarrollar una teoŕıa nueva (con aplicaciones directas a esos ejemplos
y much́ısimos nuevos que fueron apareciendo). Y lo bueno es que esa teoŕıa explotó, obte-
niendo gran cantidad de resultados cualitativamente importantes y generando un mundo
nuevo dentro del análisis.
A continuación enumeraremos los ejemplos más conocidos. En general, las pruebas de que
las normas descritas cumplen la desigualdad triangular requieren de cuentas no demasiado
fáciles, dentro del contexto de cada ejemplo. Dejaremos sistemáticamente esas pruebas como
ejercicios para el lector.
Ejemplo 1.2.1. Es sencillo ver que toda norma ‖·‖ sobre R es de la forma ‖x‖ = a · |x|
(x ∈ R), donde a = ‖1‖ > 0. En efecto, la propiedad (b) de la definición de norma nos dice
que ‖x‖ = |x| ‖1‖ para cualquier x ∈ R.
También está claro que toda función de la forma R 3 x 7→ a|x|, con a > 0, es una norma
sobre R. Es conocido el resultado Q = R que nos dice que este espacio es separable.
Ejemplo 1.2.2. Si consideramos el espacio C, vale la misma observación que en el ejemplo
anterior cuando se lo considera como un C-EV. Tomando Q+ iQ, vemos que C es separable.
Ejemplo 1.2.3. Más generalmente, en Kn podemos definir varias normas: Dado un vector
x = (x1 , . . . , xn) ∈ Kn, consideremos
1. ‖x‖∞ = máx
1≤k≤n
|xk|.
14
2. ‖x‖p =
(
n∑
k=1
|xk|p
) 1
p
para los exponentes 1 ≤ p <∞.
3. El caso particular p = 2 se denomina generalmente espacio Eucĺıdeo.
Las mismas consideraciones que en los ejemplos anteriores nos dicen que estos espacios son
separables.
Ejemplo 1.2.4. Sean X un conjunto y (E, ‖ · ‖) un EN. Se definen
1. `∞(X,E) = {f : X → E acotadas }, o sea que
f ∈ `∞(X,E) si ‖f‖∞
def
= sup
x∈X
‖f(x) ‖E <∞ .
Es fácil ver que ‖ · ‖∞ es una norma en `∞(X,E).
2. Veamos que si E era un EB, entonces `∞(X,E) es completo, y queda un EB. La prueba
es casi idéntica que la del Teo. 1.1.10, pero la repetimos para que se vaya asentando.
Sea (fn)n∈N una sucesión de Cauchy en `
∞(X,E). Dado un x ∈ X, sabemos que
‖fk(x)− fm(x)‖E ≤ ‖fk − fm‖∞ para todo k,m ∈ N. Luego cada sucesión (fn(x) )n∈N
es de Cauchy en E. Como E es completo, podemos definir la función
f : X → E dada por f(x) = ĺım
n→∞
fn(x) , para todo x ∈ X ,
que es nuestra candidata a ĺımite. Nos falta verificar dos cosas:
‖fn − f‖∞
?−−−→
n→∞
0 y f
?
∈ `∞(X,E) .
Dado ε > 0, sea n1 ∈ N tal que ‖fk − fm‖∞ < ε2 para todo k,m ≥ n1 . Si k ≥ n1 ,
‖fk(x)−f(x)‖E
�
= ĺım
m→∞
‖fk(x)−fm(x)‖E ≤ sup
m≥n1
‖fk(x)−fm(x)‖E ≤
ε
2
< ε , (1.13)
para todos los x ∈ X a la vez. La igualdad �= se deduce de que fm(x) −−−→
m→∞
f(x),
usando la norma es continua. La Ec. (1.13) muestra que ‖fn− f‖∞ −−−→
n→∞
0. Tomando
un n tal que ‖fn− f‖∞ < 1 y laburando como en la Ec. (1.12) sale que f ∈ `∞(X,E) .
3. Si X tiene una topoloǵıa τ , consideraremos el espacio de funciones continuas y acotadas
Cb(X,E) = C(X,E) ∩ `∞(X,E) =
{
f ∈ C(X,E) : ‖f‖∞ = sup
x∈X
‖f(x) ‖ <∞
}
,
En la Prop. A.18.4 se prueba que Cb(X,E) es cerrado en `
∞(X,E). Observar que eso
es más que suficiente para asegurar que también Cb(X,E) es un EB.
15
4. En el caso de que el espacio X sea compacto, se tiene Cb(X,E) = C(X,E).
5. Recordemos que cuando E = K notamos Cb(X,K) = Cb(X) y C(X,K) = C(X). Si X
es un compacto Hausdorff, Cb(X) = C(X) es también separable, por Weierstrass (si
no lo conocen, chusmeen el Teo. 3.6.3).
6. En cambio, si X es cualquier conjunto infinito y E 6= {0}, se tiene que `∞(X,E) nunca
es separable, porque las caracteŕısticas de subconjuntos de X (multiplicadas por un
y ∈ E \ {0}) son no numerables, viven en `∞(X,E) y distan siempre ‖y‖ entre śı. 4
Ejemplo 1.2.5. Consideremos ahora los epacios de sucesiones escalares dentro de KN. Us-
aremos la notación x = (xn)n∈N para dichas sucesiones.
1. Fijado un exponente p tal que 1 ≤ p <∞, consideremos los espacios
`p = `p(N) =
{
x ∈ KN :
∞∑
n=1
|xn|p <∞
}
.
En ellos se considera la norma
‖x‖p =
(∑
n∈N
|xn|p
) 1
p
.
Con estas normas, cada espacio `p es un Banach (sale como en el Ejem. 1.2.4).
2. Miremos ahora el espacio de sucesiones “finitas”
SF = SF (N) = K(N) =
{
x ∈ KN : existe un n0 ∈ N tal que xn = 0 si n ≥ n0
}
,
que puede interprestarse como la “unión” de todos los Kn, n ∈ N. Este K-EV tiene
dimensión algebráica numerable, porque tiene a la bases canónica {en : n ∈ N}, donde
cada en es la función caracteŕıstica del conjunto {n}.
Observar que SF ⊆ `p para todo p ∈ [1,∞). Más aún, nuestro SF es claramente denso
en cada `p con su norma(truncando colas de series). Considerando el subconjunto
Q(N) = SF ∩QN uno muestra que todos los `p son separables.
El párrafo anterior conlleva a una conclusión sorprendente: no todo subespacio de un
normado E tiene porque ser cerrado como subconjunto de X. Esto contradice la
intuición erreénica, y hace falta que nos vayamos acostumbrando a descartarla e ir
generando una intuición banájica. Para abreviar, en lo que sigue escribiremos
S v E para decir que S ⊆ E es un subespacio cerrado de E .
16
3. El espacio de sucesiones acotadas
`∞ = `∞(N) =
{
x ∈ KN : ‖x‖∞ = sup
n∈N
|xn| <∞
}
es también un Banach con dicha norma supremo. Como `∞ = `∞(N , K), sabemos por
1.2.4 que `∞ es Banach y no es separable. Contiene a SF , pero ahora no queda denso.
4. Dos subespacios importantes de `∞ son los siguientes:
c =
{
x ∈ `∞ : existe el ĺım
n→∞
xn
}
y c0 =
{
x ∈ c : ĺım
n→∞
xn = 0
}
. (1.14)
Ambos son subespacios cerrados de `∞, lo que los transforma en sendos espacios de
Banach, siempre con la norma ‖ · ‖∞ . Observar que c0 v `∞ porque es, en realidad,
la clausura en `∞ de SF . De paso, eso dice que c0 es separable.
Por otra parte, si definimos la sucesión 1 ∈ c como la constantemente igual a 1, es
fácil verificar que c = c0 ⊕ K · 1, por lo que también c es separable. La prueba de
que c es un Banach no tiene dificultades serias, salvo que escribirla requiere de una
gran sopa de letras. A pesar de ello recomendamos hacerla para que sopas parecidas
no empeoren el entendimiento de futuras pruebas que tendrán, además, sutilezas.
5. Ahora podemos generalizar los ejemplos anteriores onda 1.2.4 : Fijemos E un EN, y
p ∈ [1,∞). Dentro del espacio de sucesione EN, consideremos el subespacio
`p(N, E) = `p(E) =
{
(xn)n∈N ∈ EN :
∑
n∈N
‖xn‖p <∞
}
.
Obtenemos un normado con la norma p resultante. Esto se puede extender más aún,
definiendo `p(I, E), donde I es cualrquier conjunto. Hace falta repasar un poco de
sumas “desordenadas”, o sea series no numerables de términos positivos (o chusmear
la futura sección 3.4).
6. Incluso más, podemos considerar el producto P =
∏
n∈N
En , donde cada (En, ‖ · ‖n) es
un EN, y tomar el subespacio `p(T ) =
{
(xn)n∈N ∈ P :
∑
n∈N
‖xn‖pn <∞
}
, dándole una
estructura de espacio normado mediante la súper-norma p. 4
Ejercicio 1.2.6. Probar que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces `p(N) ⊆ `q(N). Ya que estamos,
mostrar que si p < q, entonces la inculsión es estricta. 4
Ejemplo 1.2.7. Sea X un conjunto y sobre él consideremos el espacio de medida (X,Σ, µ),
donde Σ es una σ-álgebra de conjuntos de X y µ : Σ→ R+∪{+∞} es σ-aditiva. Llamaremos
Med(X,Σ) al conjunto de funciones f : X → K que son Σ-medibles.
17
1. Fijemos un exponente p ∈ [1,+∞). Se define el espacio
Lp = Lp(X , Σ , µ) =
{
f ∈ Med(X,Σ) :
∫
X
|f(t)|p dµ(t) <∞
}
que es un espacio vectorial “seminormado” con la
‖f‖p =
(∫
X
|f |p dµ
) 1
p
, para f ∈ Med(X,Σ) .
La demostración de que se trata realmente de una seminorma (lo que garantiza que Lp
es un K-EV) es la famosa desigualdad de Minkowski.
2. Fijada una f ∈ Med(X,Σ), definimos su supremo esencial como el número
‖f‖∞ = ess sup(f) = ı́nf
{
M > 0 : tal que µ
(
|f | > M
)
= 0
}
,
con ‖f‖∞ =∞ si no hay tales M . Luego definimos el espacio vectorial seminormado
L∞ = L∞(X,Σ, µ) = {f ∈ Med(X,Σ) : ‖f‖∞ <∞ } .
En este caso es trivial que ‖ · ‖∞ es una seminorma en L∞(X,Σ, µ).
3. Es fácil ver que el conjunto N = N(X,Σ, µ) =
{
f ∈ Med(X,Σ) : µ
(
|f | 6= 0
)
= 0
}
es
un subespacio de Med(X,Σ). Una cuenta directa muestra que
N = {f ∈ Med(X,Σ) : ‖f‖p = 0} ⊆ Lp para cada 1 ≤ p ≤ ∞ .
Luego se pueden definir los espacios normados Lp = Lp(X,Σ, µ) = Lp(X,Σ, µ)/N
(asumimos conocido el cociente de EV’s), porque en ellos la ‖ · ‖p baja haciéndose
una buena norma. Como hace todo el mundo, abusaremos sitemáticamente de la
notación dicendo que un elemento f ∈ Lp es una función (en Lp) en vez de su clase
de equivalencia. En los cursos de medida seguro que se ha demostrado que el espacio
(Lp, ‖ · ‖p) es completo, por lo que estamos hablando de espacios de Banach.
4. Cabe recordar que si µ (X) <∞, entonces L∞ ⊆ Lp para todo 1 ≤ p <∞, y además
lim
p→∞
‖f‖p = ‖f‖∞ para toda f ∈ L
∞ . (1.15)
En efecto, dada f ∈ L∞, podemos suponer (sin pérdida de generalidad) ‖f‖∞ = 1 .
En tal caso, como |f |p ≤ 1 salvo un conjunto de medida nula, se tiene que∫
X
|f |p dµ ≤
∫
X
1 dµ = µ (X) <∞ =⇒ f ∈ Lp . (1.16)
Para probar la Ec. (1.15), tomumos un A < 1 y llamamos Y = {x ∈ X : |f(x)| > A}.
Por la definición del supremo esencial vemos que µ(Y ) > 0. Además
A · µ(Y )
1
p = (Ap)
1
p ·
(∫
X
χY
) 1
p
=
(∫
Y
Ap
) 1
p
≤
(∫
Y
|f |p
) 1
p
≤ ‖f‖p ≤ µ(X)
1
p ,
18
donde la última desigualdad se sigue de la Ec. (1.16). Luego
A ≤ lim inf
p→∞
‖f‖p ≤ lim sup
p→∞
‖f‖p ≤ 1 .
Como el A < 1 era cualquiera, sale que ĺım
p→∞
‖f‖p = 1 = ‖f‖∞ .
Luego también vale que L∞ ⊆ Lp (se divide por el mismo N ). Ojo que la inclusion
es de conjuntos. Porque L∞ es un EB con su norma, aunque L∞ 6v Lp porque como
subespacio de los Lp es fácil ver que es denso en cada uno de ellos con su ‖ · ‖p . 4
Ejemplo 1.2.8. Dada cualquier función ϕ : [a, b]→ R y cualquier partición
Π ≡ {a = t0 < t1 < .... < tn = b} de [a, b] ,
definamos la variación de ϕ en Π como
V (ϕ,Π) =
n∑
k=1
|ϕ (tk)− ϕ (tk−1) | .
Sea P el conjunto de tales particiones Π de [a , b]. El espacio
BV[a, b] = {ϕ : [a, b]→ R : V (ϕ) def= sup
Π∈P
V (ϕ,Π) <∞}
cosiste de las llamadas funciones de variación acotada (VA) sobre [a, b].
Se ve fácilmente que la flecha ϕ 7→ V (ϕ) es una seminorma. El número V (ϕ) se llama la
variación de ϕ. Los ejemplos más fáciles de funciones de VA son las monótonas. En ese
caso, para cualquier partición Π vale que
V (ϕ,Π) = |ϕ(b)− ϕ(a)| =⇒ V (ϕ) = |ϕ(b)− ϕ(a)| <∞ .
Por otro lado, no es dificil ver que V (ϕ) = 0 si y sólo si ϕ es constante. En efecto, la igualdad
V (ϕ) = 0 =⇒ V (ϕ,Π) = 0 para toda Π ∈ P , y si u ∈ (a, b], podemos tomar la partición
Π = {a , u , b} (o Π = {a , b} si u = b), con lo que
|ϕ(u)− ϕ(a)| ≤ V (ϕ,Π) = 0 =⇒ ϕ(u) = ϕ(a) =⇒ ϕ = ϕ(a)1 .
Ahora śı podemos dar una norma para el espacio BV[a, b], poniendo
‖ϕ‖BV = |ϕ(a)|+ V (ϕ) para cada ϕ ∈ BV[a, b] .
Es una seminorma por ser la suma de dos de ellas. Pero ahora tenemos que ‖ϕ‖BV = 0 =⇒
ϕ ≡ 0, porque la ϕ debe ser constante y ϕ(a) = 0.
El espacio BV[a, b] es no separable. Esto sale tomando las funciones caracteŕısticas fx =
ℵ[x , b] para todos los x ∈ [a , b], que distan más que 2 entre śı y son no numerables.
Para ver que es un EB, conviene advertir primero que ‖ϕ‖∞ ≤ ‖ϕ‖BV (ya que |ϕ(x)| ≤
|ϕ(a)|+ |ϕ(x)−ϕ(a)| ), por lo que BV[a, b] ⊆ `∞[a , b] y el ĺımite ϕ de una Cauchy (ϕn)n∈N
en BV[a, b] existe en `∞[a , b] (con su norma). Dejamos como ejercicio ver que ϕ ∈ BV[a, b]
y que la convergencia es la correcta. Se usa que V (ϕ,Π) = lim
n→∞
V (ϕn , Π) para cada Π ∈ P ,
por la convergencia uniforme. 4
19
Ejemplo 1.2.9. Sea α ∈ R∗
+
. Las funciones lipschitzianas de orden α son las funciones
ϕ : [a, b]→ K que satisfacen que su norma
‖ϕ‖Lα
def
= |ϕ(a)|+ sup
t6=s
|ϕ(t)− ϕ(s)|
|t− s|α
<∞ .
El hecho de que ‖ ‖Lα sea una norma sale igual que en el ejemplo anterior. Es facil ver que
toda tal ϕ ∈ C[a, b]. Más aún, si fijamos un par t 6= s en (a, b), tenemos que
|ϕ(t)− ϕ(s)|
|t− s|α
≤ sup
x 6=y
|ϕ(x)− ϕ(y)|
|x− y|α
def
= Sϕ <∞ =⇒ |ϕ(t)− ϕ(s)| ≤ Sϕ · |t− s|α . (1.17)
Por eso se las llama lipschitzianas. De hecho, es fácil ver que una ϕ cumple la desigualdad
de la derecha de (1.17) para alguna constante Sϕ < ∞ ⇐⇒ ‖ϕ‖Lα < ∞. Estas funciones
son interesantes sobre todo cuando 0 < α ≤ 1. Porque sinó pasa lo siguiente:
Si α > 1, las únicas funciones lipschitzianas de orden α son las constantes. En efecto, si
‖ϕ‖Lα < ∞ con α > 1, entonces ϕ tiene que ser derivable en el abierto (a, b), y además se
debe cumplir que ϕ′ ≡ 0. Es porque dado un x0 ∈ (a, b), el cociente incremental cumple que
|ϕ(x0)− ϕ(x0 + h)|
|h|
(1.17)
≤ Sϕ · |h|
α
|h|
= Sϕ · |h|1−α −−→
h→0
0 .
Luego,por algún Teorema de Análisis I ya tenemos que ϕ debe ser constante. 4
Ejemplo 1.2.10. Sea (X, τ) un ET compacto Hausdorff. Llamemos B(X) ⊆ P(X) la σ-
álgebra de los Borelianos de X (la σ-álgebra generada por τ). Una medida boreliana compleja
es una µ : B(X)→ C que es σ-aditiva y sólo toma valores finitos.
La variación total de una tal µ es la medida positiva |µ| definida por
|µ|(A) = sup
π∈PD(A)
nπ∑
k=1
|µ(Ek)| para cada A ∈ B(X) , (1.18)
donde PD(A) es el conjunto de particiones finitas π = {E1 , . . . , Enπ} de A (los Ek ∈ B(X)
y
d⋃
Ek = A). Una de las utilidades de |µ| es que se la necesita para la desigualdad∣∣∣ ∫
X
f dµ
∣∣∣ ≤ ∫
X
|f | d |µ| , (1.19)
que vale para cualquier f ∈ C(X) (y para toda f que sea µ-integrable). Otra es que sirve
para definir la regularidad: una medida µ es regular si |µ| cumple que
|µ|(A) = sup { |µ|(K) : K ⊆ A y K es compacto }
= ı́nf { |µ|(G) : A ⊆ G y G es abierto }
, para todo A ∈ B(X) . (1.20)
20
El espacio Mr(X) de medidas complejas regulares es un normado con la norma
‖µ‖ = |µ|(X) , para cada µ ∈Mr(X) .
El que |µ| sea finita para toda µ ∈Mr(X) y la triangular |µ+ ν|(X) ≤ |µ|(X) + |ν|(X) son
resultados t́ıpicos de teoŕıa de la medida, que asumiremos (ver 1.9.26). Observar que
|µ(A)| ≤ |µ(A)|+ |µ(X \ A)| ≤ |µ|(X) = ‖µ‖ , para µ ∈Mr(X) y A ∈ B(X) .
Usando esto se puede mostrar que (Mr(X), ‖ · ‖ ) es un Banach, cuenta que dejamos como
ejercicio. Las pruebas de las afirmaciones de este ejemplo están detalladamente propuestas
como una serie de ejercicios en la sección final: desde el 1.9.13 hasta la Obs. 1.9.26. 4
1.3 Cálculo de algunos duales.
Calcularemos ahora “los duales” de algunos ejemplos anteriores. En general esto se hace
con los llamados teoremas de representación. Ellos consisten en tomar un espacio conocido
y hacerlo actuar sobre otro EN como funcionales acotadas. O sea “representarlo” como el
dual de otro a través de una aplicación lineal isométrica sobre. Lo dif́ıcil de este proceso
suele ser ver que una representación dada es sobre, o sea que toda funcional acotada debe
ser alguna de las representadas del espacio conocido. Esto se entenderá mejor mirando los
siguientes ejemplos.
Antes de empezar, recordemos la función sgn : C→ S1 ∪ {0}, dada por
sgn z =
z
|z|
para z ∈ C \ {0} y sgn 0 = 0 .
Una cuenta que usaremos seguido dice que(
sgn z
)
· z = z
|z|
· z = |z|
2
|z|
= |z| para todo z ∈ C \ {0} . (1.21)
La igualdad de los bordes obviamente sigue valiendo para z = 0.
En los siguientes ejemplos usaremos sistematicamente la receta propuesta en la Obs. 1.1.8
para calcular normas de funcionales.
1.3.1. Queremos identificar los duales de c0 y de `
1.
Empecemos representando a `1 dentro de c∗0 . Dada y = (yn)n∈N ∈ `1 definamos la funcional
ϕy : c0 → K dada por ϕy(x) =
∑
n∈N
xn yn , para cada x = (xn)n∈N ∈ c0 .
La siguiente cuenta mostrará que la serie es convergente y que ϕy es acotada: Fijado x ∈ c0 ,
|ϕy(x)| =
∣∣∣∑
n∈N
xn yn
∣∣∣ ≤∑
n∈N
|xn yn| ≤ ‖x‖∞
∑
n∈N
|yn| = ‖x‖∞ ‖y‖1 . (1.22)
21
La parte derecha dice que la serie es absolutamente convergente y por ello converge, aśı
que ϕy(x) está bien definida. Mirándola de nuevo, ahora para todo x ∈ c0 , nos dice que
‖ϕy‖ ≤ ‖y‖1 para cualquier y ∈ `1. Entonces ya tenemos una representación R ∈ L(`1 , c∗0)
dada por R(y) = ϕy . Veamos que es isométrica: Fijado el y ∈ `1 y un N ∈ N, tomemos
xN =
N∑
k=1
sgn yk ek = (sgn y1 , . . . , sgn yN , 0 , 0 , . . . ) ∈ SF ⊆ c0 . (1.23)
Observar que, usando la Ec. (1.21), tenemos que ϕy(xN) =
N∑
k=1
sgn yk yk =
N∑
k=1
|yk| . Por otra
parte ‖xN‖∞ ≤ 1 para cualquier N ∈ N, porque | sgn z| ≤ 1 para cualquier z ∈ C. Juntando
todo y agrandadno indefinidamente el N ∈ N, llegamos a que
‖ϕy‖ = sup
‖x‖∞≤1
|ϕ(x)| ≥ sup
N∈N
|ϕ(xN)| = sup
N∈N
N∑
k=1
|yk| = ‖y‖1 .
Esto muestra que la representación R es isométrica. Falta ver que llena al dual c∗0 . Para
probarlo, fijemos una ϕ ∈ c∗0 y definamos yn = ϕ(en) ∈ K para cada n ∈ N. Esto nos da la
candidata y = (yn)n∈N . Es fácil ver que en los x ∈ SF se cumple que
ϕ(x) = ϕ
( ∑
n∈ J
xn en
)
=
∑
n∈ J
xn yn = ϕy(x) ,
donde el J ∈ PF (N) es el soporte finito de x. Con las xN ∈ BSF ⊆ Bc0 de (1.23) relativas a
éste y se ve que ‖y‖1 ≤ ‖ϕ‖ por lo que y ∈ `1 and ϕy ∈ c∗0 . Luego ϕ y ϕy son funcionales
continuas que coinciden en el denso SF ⊆ c0 , por lo que deben ser la misma. En resumen,
c0
∗ ∼= `1 v́ıa la representación `1 3 y 7→ ϕy ∈ c∗0 . (1.24)
El dual de `1: La idea es exactamente la misma, aunque ahora nos dará que (`1)∗ ∼= `∞.
En efecto, dada z = (zn)n∈N ∈ `∞, volvemos a definir
ϕz : `
1 → K dada por ϕz(y) =
∑
n∈N
yn zn , para cada y = (yn)n∈N ∈ `1 . (1.25)
La Ec. (1.22) sigue valiendo en éste contexto (cambiando x por z) lo que dice que la serie
camina, ϕz ∈ (`1)∗ y ‖ϕz‖ ≤ ‖z‖∞ (porque ahora la variable es el y ∈ `1). La representación
es isométrica usando los vectores yN = sgn zN · eN ∈ SF ⊆ `1. En efecto, todos tienen
‖yN‖1 = | sgn zN | ≤ 1 y cumplen que ϕz(yN) = |zN |, por lo que ‖z‖∞ ≤ ‖ϕz‖.
Para ver que esto llena el dual de `1 se argumenta igual que en el caso de c0 . El dato clave
es que SF sigue siendo denso en `1.
Mucho más dif́ıcil es describir (`∞)∗, porque `∞ no tiene un denso en el que se puedan hacer
cuentas lineales tranquilizadoras. Pero al menos se puede ver que (`∞)∗ es “grande”, porque
śı se puede meter a `1 adentro de (`∞)∗ con el mismo curro de siempre (de hecho con la
misma acción y desigualdades que describimos antes sobre c0). El tema es que no lo llena
ni ah́ı. Observar que, dada ϕ ∈ (`∞)∗, se puede seguir poniendo yn = ϕ(en) y armar un y
de `1. Pero no se sabe si la ϕy actúa como ϕ en todo `
∞ porque SF no es más denso. 4
22
Ejercicio 1.3.2. En forma similar a lo anterior, probar que si
1 < p, q <∞ y 1
p
+ 1
q
= 1 =⇒ (`p)∗ ∼= `q . (1.26)
La acción es como arriba, haciendo series de productos y usando Hölder en vez de (1.22). 4
1.3.3. Veamos los duales de los espacios Lp del Ejem. 1.2.7: Sea (X,Σ, µ) un espacio de
medida. Se pide una condición importante: Hace falta que la medida µ sea σ-finita (o sea
que X es unión numerable de subconjuntos de medida finita).
Entonces dados p , q ∈ (1 , ∞) exponentes duales, es decir que 1
p
+ 1
q
= 1, se tiene que
Lp(X,Σ, µ)∗ ∼= Lq(X,Σ, µ) .
Acá la dualidad es parecida al caso discreto de los `p, pero cambiando series por integrales.
La desigualdad de Hölder asegura que si f ∈ Lp y g ∈ Lq, entonces fg ∈ L1 y además
ϕq f
def
=
∫
X
f g dµ cumple que |ϕq f | ≤
∫
X
|f g| dµ ≤ ‖g‖q ‖f‖p .
Luego la flecha Lq 3 g 7→ ϕg ∈ (Lp)∗ está bien definida, es lineal y reduce normas. Con
cuentas usando funciones signo y con |g|q/p = |g|q−1 ∈ BLp (para una g ∈ Lq con ‖g‖q = 1)
sale que la representación es isométrica, o sea que ‖ϕg‖ = ‖g‖q para toda g ∈ Lq.
Para ver que es sobre se necesita usar el teorema de Radon-Nikodym : Con una ϕ ∈ (Lp)∗
se produce integrando una medida µϕ � µ (ver Def. 1.9.19) cuya “derivada” será la g ∈ Lq.
Esto es lo que exige que µ sea σ-finita, porque es la hipótesis del teorema de R-N. Los detalles
debeŕıan repasarlos del curso que hayan hecho de teoŕıa de la medida.
En forma similar, aunque con cuentas más fáciles, también sale que
L1(X,Σ, µ)∗ ∼= L∞(X,Σ, µ) .
Acá es interesante observar que para espacios “continuos” (por ejemplo X = R con µ la
Lebesgue), el espacio L1(X,Σ, µ) no es el dual de otro, como pasaba con `1 ∼= c∗0 . Esto no
parece facil de probar, pero sin embargo más adelante podremos hacerlo (Ejer. 5.6.7). 4
1.3.4. Fijemos ahora un compacto Hausdorff (X, τ) y pensemos en el dual del espacio
C(X) = C(X,C), que vimos que es un Banach con la ‖ · ‖∞ . Consideremos el espacio
normado Mr(X) de medidas borelianas complejas regulares, del Ejem. 1.2.10. Recordemos
que si µ ∈ Mr(X) se define la medida positiva finita |µ| ∈ Mr(X), llamada variación total
de µ, y que ‖µ‖ = |µ|(X). El teorema de representación de Riesz asegura que
Mr(X) ∼= C(X)∗ .
Veamos la parte fácil de eso: Dada µ ∈Mr(X), definamos ϕµ ∈ C(X)′ por la fórmulaϕµ(f) =
∫
X
f dµ , para cada f ∈ C(X) .
23
La definición es buena porque las continuas son integrables para toda µ ∈Mr(X). Además
|ϕµ(f)| =
∣∣∣ ∫
X
f dµ
∣∣∣ (1.19)≤ ∫
X
|f | d |µ| ≤ ‖f‖∞ |µ|(X) = ‖µ‖ ‖f‖∞
para toda f ∈ C(X). Luego ϕµ ∈ C(X)∗ y ‖ϕµ‖ ≤ ‖µ‖. Usando que µ es regular se
puede mostrar que en realidad vale que ‖ϕµ‖ = ‖µ‖. La cuenta es fácil usando funciones
simples sobre particiones π = {E1 , . . . , En} de X con los coeficientes sgnµ(Ek). Eso sale
como en los ejemplos anteriores, porque sus integrales aproximan el valor |µ|(X) dado en la
Ec. (1.18). La regularidad sirve para aproximar esas simples por continuas (salvo conjuntos
|µ|-pequeños), usando Tietze y la definición (1.20) de regularidad. Los detalles quedan para
el lector regular (ver los ejercicios 1.9.13 - 1.9.27).
Las cuentas anteriores dicen que tenemos a Mr(X) representado isométricamente adentro de
C(X)∗. Lo que es mucho más complicado es ver que para toda ϕ ∈ C(X)∗ se puede conseguir
µ ∈ Mr(X) tal que ϕ = ϕµ . Esto requiere de una demostración no menos trabajosa que la
construcción de la medida de Lebesgue. Para convencerse basta un ejemplo:
En C([0, 1]) tomemos la funcional f 7→
∫ 1
0
f(t) dt , pero hecha con la integral de Riemann.
Entonces la µ que la produce no es otra que la mismı́sima medida de Lebesgue en los
borelianos del [0, 1]. Y nuestro teorema debeŕıa construirla a ella entre tantas otras. 4
1.4 El lema de Riesz.
Empecemos fijando una serie de notaciones sobre subespacios:
Notaciones 1.4.1. Sea E un EN.
1. Escribiremos S v E para decir que S ⊆ E es un subespacio cerrado de E.
2. Dado cualquier A ⊆ E, notaremos span {A} al subespacio generado por A:
span {A} def=
⋂ {
S ⊆ E : A ⊆ S y S es un subespacio de E
}
.
3. Llamaremos span {A} v E al subespacio cerrado generado por A:
span {A} def= span {A} =
⋂ {
S ⊆ E : A ⊆ S y S v E
}
.
Un ligero ejercicio es mostrar la segunda igualdad de arriba. Usa esto:
Si S ⊆ E es un subespacio, entonces S v E.
O sea que la clausura de un subespacio sigue siendo subespacio. Ya que van a hacer la
cuenta, observen que vale en el contexto general de EVT’s. Solo hace falta tomar redes en
vez de sucesiones para la prueba general. Y recordar la Ec. (1.1). 4
24
1.4.2. Sea E un EN , y fijemos un subespacio cerrado S v E. Como en cualquier EM, se
tiene definida la función “distancia a S”, d ( · , S) : E → R+ dada por
d (x,S) def= ı́nf
y∈S
‖x− y‖ = ı́nf
z∈x+S
‖z‖ , para cada x ∈ E .
Por ser S cerrado, vale que d (x,S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S. Además, un cambio elemental de
variables asegura que en el espacio af́ın x+ S la distancia con S no cambia:
para todo z ∈ x+ S se tiene que d (z,S) = d (x,S) , (1.27)
porque x+ S = z + S. En forma aún más fácil uno puede mostrar que
λx+S = λ (x+S) =⇒ d (λx , S) = |λ|·d (x , S) para todo x ∈ E , λ ∈ K . (1.28)
Ahora bien, en los espacios Eucĺıdeos (más adelante en los Hilbert) se tiene que siempre
existe un z0 ∈ x+ S que es ortogonal a S, y por lo tanto (Pitágoras mediante) cumple que
‖z0‖ = d (z0 , 0) = d (x,S)
?
= mı́n
z∈ x+S
‖z‖ . (1.29)
Naturalmente cabe preguntarse si algo semejante (que el ı́nfimo que define la distancia a un
S v E sea siempre un mı́nimo) pasará en cualquier espacio normado E.
A priori podŕıa pensarse que alcanzaŕıa con que E sea un Banach (aproximar y tomar ĺımite).
Sin embargo, en general es falso, aún para Banach’s, porque hace falta que la bola BE tenga
un tipo especial de convexidad para que los aproximantes sean necesariamente de Cauchy.
Veremos primero un contraejemplo y luego una forma muy util de reinterpretar la Ec. (1.29),
pero sólo con ı́nfimos, que vale en general. 4
Ejemplo 1.4.3. El espacio base será C[0, 1], que es Banach. Consideremos el subespacio
X = {f ∈ C[0, 1] : f(0) = 0} v C[0, 1] . Luego X es un Banach .
Por otro lado, consideremos la funcional ϕ : X → C dada por
ϕ(f) =
∫ 1
0
f(t) dt para cada f ∈ X .
Es claro que ϕ es lineal. La desigualdad
∣∣ ∫ 1
0
f(t) dt
∣∣ ≤ ‖f‖∞ y la Prop. 1.1.5, nos dicen que
ϕ ∈ X ∗ con ‖ϕ‖ ≤ 1. Llamemos M = kerϕ v X . Es claro que M 6= X , o sea que M es un
subespacio de X que es cerrado y propio.
Ahora supongamos que existe un f0 ∈ X tal que ‖f0‖∞ = 1 = d (f0 ,M) como uno buscaba
en la Ec. (1.29). Ya veremos adónde nos lleva. Para cada f ∈ X \M definamos
cf =
ϕ(f0)
ϕ(f)
=
∫ 1
0
f0(t)dt∫ 1
0
f(t)dt
que produce un g = f0 − cf · f ∈ kerϕ =M .
25
Por lo tanto, como d (f0 ,M) = 1, podemos deducir que
|cf | · ‖f‖∞ = ‖cf · f‖∞ = ‖f0 − g‖∞ ≥ 1 =⇒ |ϕ(f0)| · ‖f‖∞ ≥ |ϕ(f)| . (1.30)
Ahora consideremos la sucesión de funciones fn(t) = t
1
n en X \M. Como
‖fn‖∞ = 1 ∀ n ∈ N
(1.30)
=⇒ |ϕ(f0)| ≥ |ϕ(fn)| =
t
1
n
+1
1
n
+ 1
∣∣∣1
0
=
1
1
n
+ 1
−−−→
n→∞
1 ,
es decir que |ϕ(f0)| ≥ 1. Pero una cuenta de Análisis 1 nos hace ver que, por otra parte,
f0 ∈ C[0, 1] , f0(0) = 0 y ‖f0‖∞ = 1 =⇒ |ϕ(f0)| ≤
∫ 1
0
|f0(t)| dt < 1 . 4
En cualquier caso subsiste una idea de ”cuasiortogonalidad” inducida por el famoso Lema
de F. Riesz que damos ahora. Una manera de visualizar su enunciado es imaginarse al
subespacio S como un plano, que uno translada con muchos vectores unitarios, y luego
busca maximizar la distancia vs. S entre todos los planos paralelos que quedan.
Lema 1.4.4. Sea E un EN. Dado un S v E tal que S 6= E se tiene que, para cada ε > 0
existe algún vector unitario xε ∈ E (o sea que ‖xε‖ = 1) tal que d (xε , S) ≥ 1− ε.
Demostración. Vamos a suponer que ε < 1 y que S 6= {0} (sino todo es una boludez). Como
0 ∈ S, tenemos que 0 ≤ d (x , S) ≤ ‖x‖ para todo x ∈ E. Como S es cerrado y propio,
existe por lo menos un z ∈ E tal que d (z , S) = ı́nf
y∈ z+S
‖y‖ = 1. Luego
existe un yε ∈ z + S tal que 1 ≤ ‖yε‖ < (1− ε)−1 . (1.31)
La Ec. (1.27) nos asegura que d (yε , S) = d (z,S) = 1. Llamemos xε =
yε
‖yε‖
∈ BE .
Finalmente, usando la Ec. (1.28) y la Ec. (1.31) llegamos a que
d (xε , S) = d
(
yε
‖yε‖
, S
)
=
d (yε , S)
‖yε‖
=
1
‖yε‖
> 1− ε . �
Ejemplo 1.4.5. Volviendo al ejemplo anterior al Lema (y usando las notaciones del mismo),
se puede construir expĺıcitamente una sucesión de vectores unitarios {fn}n∈N en X tales que
d (fn ,M) −−−→
n→∞
1. Es la de antes: fn(t) = t
1
n . Los detalles quedan a cargo del lector. 4
1.5 Isomorfismos.
Hay dos tipos de isomorfismos en la categoŕıa de EN’s, los isométricos y los comunes. En el
caso isométrico se habla de “igualdad” entre los espacios, como el los ejemplos de duales que
vimos hace poco. En los demás casos se habla de isomorfos y no es para tanto. Pero vale la
penar fijar bien qué cosas se preservan por cada tipo de isomorfismo.
26
Notaciones 1.5.1. Sean E y F dos EN’s.
1. Diremos que E y F son isométricos (o que son el mismo) si existe un
U ∈ L(E,F ) tal que U es sobre y ‖Ux‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E .
En tal caso escribiremos que E ∼= F y que U es un “isomorfismo isométrico”.
2. En cambio E y F son isomorfos si existe un
T ∈ L(E,F ) biyectivo tal que también T−1 ∈ L(F,E) . (1.32)
En tal caso escribiremos que E ' F y a T se lo bate “isomorfismo” (o también iso).
A los operadores lineales biyectivos pero no bicontinuos se los mencionará como isomorfismos
K-lineales. La palabra iso (sola) se reserva para los del item 2. 4
Los isomorfismos entre EN’s son hómeos entre sus topoloǵıas resultantes. Pero preservan
propiedades métricas mejores que los hómeos a secas, porque al ser lineales son más que sólo
bicontinuos. Veamos:
Proposición 1.5.2. Sean E y F dos EN’s tales que E ' F . Sea T ∈ L(E,F ) el mentado
isomorfismo. Entonces:
1. Sean M = ‖T‖ y m = ‖T−1‖−1. Entonces tenemos que
m ‖x‖
E
≤ ‖T x‖
F
≤ M ‖x‖
E
para todo x ∈ E . (1.33)
2. Con las mismas constantes m y M se tiene que
m ·BF ⊆ T (BE) ⊆M ·BF . (1.34)
3. Una (xn)n∈N es E es de Cauchy ⇐⇒ (T xn)n∈N es de Cauchy en F .
4. E es Banach ⇐⇒ F es Banach.
5. La bola BE es compacta ⇐⇒ BF lo es.
Demostración. Es claro que para cualquier x ∈ E vale que ‖T x‖
F
≤ ‖T‖ ‖x‖
E
. Además,
‖x‖
E
= ‖T−1(T x)‖
E
≤ ‖T−1‖ ‖T x‖
F
=⇒ m ‖x‖
E
≤ ‖T x‖
F
.
Veamos (1.34): Si y ∈ mBFy tomamos el único x ∈ E tal que T x = y entonces, por (1.33),
m ‖x‖ ≤ ‖T x‖ = ‖y‖ ≤ m =⇒ x ∈ BE =⇒ y ∈ T (BE) .
La otra inclusión de (1.34) sale por la definición de ‖T‖. Usando (1.33) y que T es lineal,
sale el item 3. Los otros dos son consecuencias directas de 3, porque al ser continuas, tanto
T como T−1 preservan convergencias y compacidad. Para probar 5 hay que usar (1.34) y
que x 7→ λx (con λ 6= 0) es hómeo tanto en E como en F . �
27
Ejercicio 1.5.3. Sean E y F dos EN’s y tomemos T ∈ Hom(E,F ). Probar que la Ec. (1.34)
(para dos constantes m y M dadas) implica que T ∈ L(E,F ) y que es un iso bicontinuo.
Incluso sale que ‖T‖ ≤ M y que ‖T−1‖ ≤ m−1. Lo mismo puede deducirse de la Ec. (1.33),
si uno asume previamente que T era EPI. 4
1.5.4. Sea E un K-EV, y sean N1 y N2 dos normas en E. En tal caso se dice que N1 y N2
son normas equivalentes si existen m,M > 0 tales que
mN1(x) ≤ N2(x) ≤M N1(x) para todo x ∈ E . (1.35)
Esto equivale a que (E,N1) ' (E,N2) como espacios normados, por ejemplo con el isomor-
fismo I1,2E = IE : (E,N1) → (E,N2). En efecto, basta tomar M = ‖I
1,2
E ‖. La acotación por
abajo equivale a que I2,1E = (I
1,2
E )
−1 sea acotada. La rećıproca sale tomando cualquier otro
isomorfismo T , y se deja como ejercicio.
Ejemplos de normas equivalentes son todas las ‖ · ‖p con 1 ≤ p ≤ ∞, siempre que uno las
use solo en Kn, con el n fijo . De hecho vale que, si 1 < p <∞, entonces
‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ ‖x‖1 =
∑
k∈In
|xk| ≤ n · ‖x‖∞ para todo x ∈ E .
La aparición de ese n hace ya sospechar que la cosa se arruina al agrandar las dimensiones.
En efecto, si ahora uno labura con el espacio SF del Ejem. 1.2.5 (las sucesiones “finitas”), ahi
tienen sentido todas las ‖ · ‖p , pero nunca son equivalentes entre śı. Eso se puede probar a
mano, o usando que si lo fueran, los respectivos `p en los que SF es denso (o c0 para p =∞),
tendŕıan que ser iguales como conjuntos (Prop. 1.5.2). Es fácil ver que eso no pasa.
En la mayoŕıa de los ejemplos infinitodimensionales, es raro que aparezcan dos normas
equivalentes (salvo buscarlas ad hoc, por ejemplo tomando 2 · ‖ · ‖). En cambio, como
veremos en la siguiente sección, en los finitodimensionales todas las normas que uno pueda
inventar para un espacio fijo son equivalentes. 4
1.6 Subespacios finitodimensionales.
Un problema t́ıpico del AF es que la bola BE de un normado E no siempre es compacta. En
ésta sección dilucidaremos exactamente cuando śı lo es y cuando no. Adivinen.
Proposición 1.6.1. Sea E un EN tal que dimE = n <∞. Luego todo K-isomorfismo (sólo
lineal) Ψ ∈ Hom(Kn , E) es automáticamente un iso de EN’s, o sea que es un hómeo. En
Kn usamos, en principio, la norma Eucĺıdea ‖ · ‖2 .
Demostración. Tomemos la base {x1 , . . . , xn} de E dada por xk = Ψ(ek) , k ∈ In . Luego
Ψ(α) =
n∑
k=1
αk xk , para α = (α1 , . . . , αn) ∈ Kn .
28
Veamos que la Ψ es continua (de ida). En efecto, para todo α ∈ Kn vale que
‖Ψ(α)‖ ≤
n∑
k=1
|αk| ‖xk‖ ≤ máx
k∈In
‖xk‖ ·
n∑
k=1
|αk| ≤
(
n ·máx
k∈In
‖xk‖
)
‖α‖2 ,
por lo que Ψ ∈ L(Kn , E). Nos falta mostrar que Φ = Ψ−1 ∈ L(E , Kn). Lo enunciamos aśı:
Todo K-iso Φ ∈ Hom(E , Kn) debe ser continuo.
Supongamos que no lo es, i.e. ‖Φ‖ =∞. Entonces existe una sucesión (xn)n∈N en BE \ {0}
cuyas imágenes yn = Φ(xn) cumplen que an = ‖yn‖ −−−→
n→∞
+∞. Luego la sucesión de los
zn = a
−1
n xn −−−→
n→∞
0E mientras que del otro lado ‖Φ(zn)‖ = a−1n ‖yn‖ = 1 para todo n ∈ N.
Sin embargo la cáscara Sn−1 = {w ∈ Kn : ‖w‖2 = 1} es compacta en el espacio Eucĺıdeo
Kn. Luego existe una subsucesión (ynk)k∈N de (yn)n∈N tal que esta otra sucesión
Φ(znk) = a
−1
nk
ynk −−−→
k→∞
w para cierto w ∈ Sn−1 .
Como ya vimos en la primera parte que Ψ = Φ−1 ∈ L(Kn , E) (tiene que ser continuo), sale
que znk = Ψ
(
Φ(znk)
)
−−−→
k→∞
Ψ(w). Pero arriba vimos que znk −−−→
k→∞
0. Encima Ψ es un
K-iso, por lo que tiene que valer que w ∈ Sn−1 =⇒ w 6= 0 =⇒ Ψ(w) 6= 0. Todo este
desastre provino de suponer que Φ no era continuo. Aśı que lo es y a otra cosa mariposa. �
Corolario 1.6.2. Sea E un EN de dimE = n <∞. Entonces:
1. Si F es otro EN con dimF = n, entonces E ' F v́ıa cualquier iso lineal.
2. Dos normas N1 y N2 en E son equivalentes. O sea que existen m,M > 0 tales que
mN1(x) ≤ N2(x) ≤M N1(x) para todo x ∈ E . (1.36)
3. Nuestro E con cualquier norma queda Banach.
4. También cumple que BE (con una norma cualquiera) es compacta.
Demostración. Si A : E → F es un iso lineal, y T ∈ Hom(E , Kn) es algún iso, la Prop. 1.6.1
nos asegura que tanto T como AT−1 : Kn → F deben ser isos de los buenos. Componiendo
queda que A era anche hómeo. O sea que E ' F v́ıa cualquier iso lineal.
En particular, la identidad I1,2E = IE : (E,N1) → (E,N2) es continua para los dos lados, o
sea que es iso. Luego las desigualdades de (1.36) son consecuencia de la Ec. (1.33).
La completitud y la compacidad de la bola BE salen combinando la Prop. 1.6.1 con la
Prop. 1.5.2, usando que lo que se pide lo cumple Kn con la norma Eucĺıdea. �
Corolario 1.6.3. Sea E un EN. Luego todo subespacio finitodimensional es cerrado.
29
Demostración. Sea S ⊆ E un tal subespacio. Por el Cor. 1.6.2, el tal S es un normado con
la norma de E que debe ser completo. Aśı que tiene que ser cerrado en E. �
Corolario 1.6.4. Sea E un EN. Si tenemos que dimE = ∞, entonces la bola cerrada
BE = {x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1} no es compacta.
Demostración. Por un proceso inductivo y aplicando sistematicamente el Lema de Riesz
1.4.4, podemos construir una sucesión (xn)n∈N de vectores unitarios de E tales que
si Sn
def
= span {x1 , . . . , xn} entonces d (xn+1 , Sn) ≥
1
2
,
para todo n ∈ N. Notar que el Lema 1.4.4 pide que los subespacios sean cerrados y propios.
Por un lado los Sn 6= E porque dimE = ∞. Por otro lado, el Cor. 1.6.3 nos asegura que
dimSn <∞ =⇒ Sn v E para cada n ∈ N, por lo que el proceso inductivo funciona.
En particular tenemos que ‖xn − xm‖ ≥ 12 para todo par n,m ∈ N tal que n 6= m. Y todos
los xn viven en BE , por lo que la bola no puede ser compacta. �
Corolario 1.6.5. Sean E y F dos EN’s y asumamos que dimE < ∞. Entonces todo
operador A ∈ Hom (E , F ) es continuo (i.e., acotado). No se presume que A sea mono.
Demostración. Fijemos una base {x1 , . . . , xn} de E como K-EV. Si y =
∑
k∈In
yk xk ∈ E,
‖Ay‖ =
∥∥∥ ∑
k∈In
yk Axk
∥∥∥ ≤ ∑
k∈In
|yk|
∥∥Axk∥∥ ≤ ( máx
k∈In
‖Axk‖
) ∑
k∈In
|yk| .
Llamemos C = máx
k∈In
‖Axk‖ <∞ y definamos otra norma en E por la fórmula
‖| y ‖| def=
∑
k∈In
|yk| para cada y =
∑
k∈In
yk xk ∈ E .
Por el Cor. 1.6.2 existe M > 0 tal que ‖| y ‖| ≤M ‖y‖ para todo y ∈ E. Luego
‖Ay‖ ≤ C ‖| y ‖| ≤ CM ‖y‖ para todo y ∈ E =⇒ A ∈ L(E , F ) . �
1.7 Cocientes.
Sea E un EN. Dado un S v E, consideramos la relación de equivalencia usual
x ∼S y si x− y ∈ S para pares x , y ∈ E .
Es claro que E/S def= E/∼s = {x + S : x ∈ E} es un K-EV (para eso no hace falta que S
sea cerrado). La proyección ΠS : E → E/S es un epimorfismo K-lineal, dado por
ΠS x = x
def
= x+ S ∈ E/S para cada x ∈ E .
30
Pero ahora queremos definir en E/S una norma adecuada: La mejor candidata será tomar
la ‖x ‖ como la distancia de x a S. Observar que, como S v E, para cada x ∈ E vale que
d (x , S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S ⇐⇒ x = 0. Además, calcular la d (x , S) = ı́nf
z∈x+S
‖z‖ no es
otra cosa que minimizar las normas entre todos los integrantes de la clase de x (que es la
variedad af́ın paralela a S “puesta” arriba de x). Aśı que eso usaremos:
Proposición 1.7.1. Sean E un EN y S v E tal que S 6= E. Luego la fórmula
‖x+ S‖ def= d (x , S) = ı́nf
z∈x+S
‖z‖E para x+ S ∈ E/S con x ∈ E (1.37)
define una norma en E/S que lo hace EN. Además valen estas propiedades:
1. La proyección ΠS al cociente cumple que ΠS ∈ L(E,E/S) con ‖ΠS‖ = 1.
2. Si E era Banach, también lo será E/S con su nueva norma.
Demostración. Por lo que dećıamos arriba, la única clase con norma cero es la trivial. Ya
vimos en la Ec. (1.28) que d (λx , S) = |λ| d (x , S) para cualesquiera λ ∈ K y x ∈ E. Para
ver la desigualdad triangular fijemos x, y ∈ E y w ∈ S. Luego‖x+ y + S‖ = ‖(x+ w) + y + S‖ = ı́nf
z∈S
‖(x+ w) + (y + z)‖ ≤ ‖x+ w‖+ ı́nf
z∈S
‖y + z‖ .
Tomando ahora ı́nfimo sobre w ∈ S nos queda que ‖x+ y + S‖ ≤ ‖x+ S‖+ ‖y + S‖.
Es sabido que ΠS es K-lineal. Como d (x , S) ≤ ‖x‖ (para todo x ∈ E), vemos que ‖ΠS‖ ≤ 1.
La desigualdad ‖ΠS‖ ≥ 1 es otra manera de enunciar el Lema de Riesz 1.4.4.
Asumamos ahora que E es completo, y sea (xn)n∈N una sucesión en E tal que (xn + S)n∈N
es de Cauchy en E/S. Para ver que converge, alcanza mostrarlo para alguna subsucesión,
por lo que podemos suponer (como en la prueba de la Prop. 1.1.12) que
‖(xn+1 − xn) + S‖ < 2−n para todo n ∈ N . (1.38)
Fijemos y1 = x1 . La Ec. (1.38) nos premite construir inductivamente, para cada n ∈ N,
un vector yn+1 ∈ xn+1 + S tal que ‖yn+1 − yn‖ < 2−n. El criterio para series dado en la
Prop. 1.1.12 nos da que la sucesión (yn)n∈N es de Cauchy en E y converge a un y ∈ E. Luego
xn + S = ΠS(xn) = ΠS(yn)
‖ · ‖−−−→
n→∞
ΠS(y) = y + S . �
En general no es cierto en los espacios normados que una suma de subespacios cerrados
tenga que seguir siendo cerrada. Contraejemplos de esto se mostrarán a su debido tiempo
(Ejer. 2.7.4). Hay en el medio una sutil noción de ángulo entre subespacios, que veremos
más adelante, y éste ángulo decide cuando śı y cuando no. Pero ahora veremos que si uno
de los subespacios es de dimesión finita, entonces la cosa seguro que anda bien:
Corolario 1.7.2. Sea E un EN. Si tenemos dos subespacios S,F v E y además asumimos
que dimF <∞, entonces se tiene que S + F = {x+ y : x ∈ S e y ∈ F} v E.
31
Demostración. Consideremos el cociente ΠS : E → E/S. El curro es notar primero que
F + S = Π−1S
(
ΠS(F)
)
, lo cual es una cuenta algebráica estandard.
Ahora bien, el Cor. 1.6.3 nos asegura que ΠS(F) v E/S, porque es un subespacio de di-
mensión no menos finita que la de F . Pero como ΠS es continua, trae para atrás cerrados
en cerrados. �
Ejercicio 1.7.3. Sea E un EN. Dado un S v E, probar que
1. La ΠS ∈ L(E,E/S) es abierta, por lo que la topoloǵıa de abajo es la cociente.
2. Si tanto S como E/S son Banach’s con sus normas, entonces anche E es Banach. 4
Sin necesidad de usar que la proyección al cociente es abierta, veremos que los cocientes
tienen su versión “acotada” de la propiedad universal:
Proposición 1.7.4. Sean E y F dos EN’s y sea S v E. Consideremos el normado E/S
con la norma cociente, y la proyección ΠS ∈ L(E , E/S). Luego:
1. Un operador lineal A : E/S → F es acotado ⇐⇒ A ◦ ΠS ∈ L(E , F ).
2. Además vale que ‖A‖ = ‖A ◦ ΠS‖.
Demostración. Para probar 1, lo no trivial es ver que A es continuo siempre que B
def
= A◦ΠS
lo sea. Para mostralo tomemos un ρ = ΠS x ∈ E/S con x ∈ E. Para todo z ∈ S vale que
‖Aρ‖ = ‖A ( ΠS x )‖ =
∥∥A ( ΠS (x− z) )∥∥ ≤ ‖B‖L(E ,F ) ‖x− z‖ .
Usando que ‖ρ‖ = inf
z∈S
‖x − z‖, deducimos que ‖Aρ‖ ≤ ‖B‖ ‖ρ‖ para todo ρ ∈ E/S . Con
eso hemos probado que A ∈ L(E/S , F ) con ‖A‖ ≤ ‖B‖. La otra desigualdad se deduce de
que ‖B‖ = ‖A ◦ ΠS‖ ≤ ‖A‖ ‖ΠS‖ y de que ‖ΠS‖
1.7.1
= 1. �
Corolario 1.7.5. Sean E y F dos EN’s y sea S v E. Luego:
1. Dado un T ∈ L(E , F ) tal que S ⊆ kerT , el “bajado algebráico”
T̃ ∈ Hom (E/S , F ) definido por la ecuación T̃ ◦ ΠS = T , (1.39)
cumple que T̃ ∈ L(E/S , F ) i.e., un operador acotado baja acotado al cociente.
2. Además vale que ‖ T̃ ‖ = ‖T‖,
Demostración. Es una consecuencia directa de la Prop. 1.7.4, porque el bajado T̃ (cuya BD
y propiedades algebráicas damos por conocidas) cumple que T̃ ◦ ΠS = T ∈ L(E , F ). �
32
Hiperplanos
Es claro que el núcleo de un operador acotado es cerrado. Pero la rećıproca de eso es falsa en
general. Basta tomar la identidad de un E pensado con dos normas no equivalentes (núcleo
ni tiene). Sin embargo, la cosa es más agradable para las funcionales: Ser el ker de una
funcional puede caracterizarse aśı: Dado un subespacio H ⊆ E (propio),
existe ϕ ∈ E ′ tal que H = kerϕ ⇐⇒ existe un x ∈ E tal que E = H⊕ span {x} , (1.40)
y a tales H se los llama hiperplanos. En efecto, como ϕ 6= 0, tomando cualquier x /∈ kerϕ
la prueba de ⇒ en (1.40) es fácil, ya que y − ϕ(y)
ϕ(x)
· x ∈ kerϕ para todo y ∈ E.
La rećıproca sale cocientando por H, porque E/H 'K span {x} 'K K. En otras palabras,
tenemos que los hiperplanos son aquellos subespacios H ⊆ E tales que E/H 'K K.
Una cosa interesante de los hiperplanos es que tienen que ser cerrados o densos. Esto es aśı
porque H ⊆ H ⊆ E y no queda mucho lugar (recordar que H v E).
Ahora veremos que cuando el codominio de una TL es finitodimensional (y esto incluye a
las funcionales), entonces la cerrazón del ker śı alcanza para asegurar continuidad:
Proposición 1.7.6. Sean E y F dos EN’s y asumamos que dimF < ∞. Sea T : E → F
una transformación K-lineal no nula. Entonces se tiene que
T ∈ L(E,F ) (i.e., T es continua) ⇐⇒ kerT v E .
En particular, una ϕ ∈ E ′ \ {0} cumple que ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ kerϕ es un hiperplano cerrado.
Demostración. Observar que T se puede “bajar” a un K-monomorfismo
T̃ : E/ kerT → F tal que T̃ ◦ ΠkerT = T =⇒ dim
(
E/ kerT
)
≤ dimF <∞ .
Si asumimos que kerT v E, entonces la Prop. 1.7.1 dice que E/ kerT es un EN con la norma
cociente. Entonces, por el Cor. 1.6.5, sabemos que T̃ ∈ L(E/ kerT , F ). Finalmente, como
también ΠkerT es continua, queda que T = T̃ ◦ ΠkerT ∈ L(E,F ).
La rećıproca sale porque kerT = T−1({0}) y los métricos son T1 . �
Proposición 1.7.7. Sea E un EN. Dados x ∈ E y ϕ ∈ E∗ \ {0} se tiene que
d (x , kerϕ ) = |ϕ(x)| ‖ϕ ‖−1 (1.41)
Demostración. Llamemos S = kerϕ v E. Sea ϕ̃ ∈ (E/S)∗ el bajado de ϕ al cociente E/S
definido en (1.39). Como S es un hiperplano tenemos que E/S ' K, por lo que
|ϕ̃(x )| = ‖ϕ̃ ‖ ‖x ‖ para toda clase x ∈ E/S con x ∈ E .
Por otro lado, el Cor. 1.7.5 asegura que ‖ϕ‖ = ‖ϕ̃ ‖. Luego, todo x ∈ E cumple que
d (x , kerϕ )
(1.37)
= ‖x ‖ = |ϕ̃(x )|
‖ϕ̃ ‖
(1.39)
=
|ϕ(x)|
‖ϕ ‖
. �
33
1.8 Algunos ejemplos de operadores.
El lector habrá notado que apenas definimos espacios normados ya empezamos a trabajar
con sus operadores acotados. Esto se justifica porque la teoŕıa es una especie de álgebra
lineal topológica-métrica y los objetos que interesan son las funciones lineales en este nuevo
ambiente. Vimos algunos ejemplos de funcionales, pero faltan ver operadores acotados para ir
acostumbrándose a las macanas que hacen. Como dećıamos antes, los principales ejemplos ya
exist́ıan antes de que se pergreñara la teoŕıa. Fundamentalmente los operadores diferenciales
(aunque estos no suelen ser acotados), integrales, y las diferenciales de funciones suaves entre
normados, a las que se les pide acotación.
Sin embargo, en esta sección focalizaremos en operadores que hacen cosas a las que uno
no está acostumbrado al laburar en Kn. El principlal generador de contraejemplos para
intuiciones pifiadas es el famoso operador shift que presentamos a continuación.
1.8.1 (El shift). Trabajemos en un espacio E de sucesiones, por ejemplo c0 o `
p(N) para
cualquier p ∈ [1 , ∞]. Definamos al operador S ∈ L(E), que llameremos el shift, como
S(x) = (0 , x1 , . . . , xn , . . . ) para x = (xn)n∈N ∈ E . (1.42)
Es decir que S “corre” o “shiftea” las entradas de x a la derecha en un lugar, y completa
con un cero en la primera. Formalmente se puede escribir que
S(x) = (yn)n∈N , donde y1 = 0 e yn+1 = xn para cada n ∈ N .
Observar que S es mono, más aún es isométrico (normas con series o supremos ni ven al
nuevo cero, y las demás entradas son las mismas de antes aunque en otros lugares). Pero
ovbiamente S no es epi. De hecho R(S) = {(yn)n∈N ∈ E : y1 = 0} v E.
Esto sólo ya contradice el Teor. de la dimensión de las matrices, que dice que si son endos
y monos deben ser epis. Pero es aún peor, porque S es inversible a izquierda pero no a
derecha. En principio es claro que no puede haber un A ∈ L(E) tal que SA = IE porque S
no era epi. Pero si definimos T ∈ L(E) como el shift para el otro lado:
T (y) = (y2 , y3 , . . . , yn , . . . ) para y = (yn)n∈N ∈ E ,
nos queda que T tacha el y1 y corre el resto de y al principio. Es claro que ‖T‖ = 1 y queeste T śı es epi, pero ahora no es mono. Además se ve inmediatamente que TS = IE .
Otra cosa que pasa con S es que no tiene autovalores (aún si ponemos K = C). En efecto,
λ = 0 no sirve porque S era mono. Y si tomamos λ 6= 0 y existiera un x ∈ E tal que
S x = λx, entonces tendŕıamos que Sn x = λn x para todo n ∈ N. Pero si miramos bien,
vemos que Sn x tiene n ceros al principio. Paso a paso, uno muestra que todas las entradas
de x son nulas y x = 0, lo que no nos sirve como autovector.
Pero la cosa es aún más rara con T , porque tiene “demasiados” autovalores. Fijensén que
si tomamos λ tal que |λ| < 1 y hacemos el vector xλ = (λn)n∈N , entonces xλ ∈ E porque
tanto el supremo como las series a la p convergen bien para las geométricas. Ahora,
T xλ = (λ
2 , λ3 , . . . , λn , . . . ) = λ xλ .
34
Creer o reventar. Todo un disco D de autovalores para T . Y ninguno para S. A pesar de
que son operadores bueńısimos. Ya los volveremos a ver a estos shifts (conocidos como los
shifts unilaterales) a lo largo del texto. 4
1.8.2. Operadores de multiplicación.
Caso continuo: Pongamos que E = Lp = Lp(X,Σ, µ), para algún p ∈ [1 , ∞]. Fijemos una
f ∈ L∞ y definamos su operador de multiplicación
Mf ∈ L(Lp) dado por Mf h = f · h para las h ∈ Lp . (1.43)
Es claro que multiplicarlas por una acotada no saca a las h de su Lp. De hecho vale que
‖Mf h‖p =
( ∫
X
|f |p · |h|p d µ
)1/p ≤ ‖f‖∞ ( ∫X |h|p d µ )1/p = ‖f‖∞ ‖h‖p .
Esto muestra que efectivamente Mf ∈ L(Lp) con ‖Mf‖ ≤ ‖f‖∞ . Pero vale que
‖Mf‖ = ‖f‖∞ para toda f ∈ L∞ . (1.44)
Para verlo, fijemos un ε ∈ (0, ‖f‖∞ ). Si llamamos Aε = {x ∈ X : |f(x)| ≥ ‖f‖∞ − ε} (para
un representante de la “clase” f), sale que µ(Aε) > 0. Si la medida fuera infinita, cambiemos
Aε por alguien de medida positiva y finita dentro de él. Tomemos ahora la función
hε(x) = µ(Aε)
−1/p · ℵAε para x ∈ X .
Una cuenta directa muestra que ‖hε‖p = 1, por lo que hε ∈ BLp . Pero si calculamos
‖Mf hε‖p = ‖f · hε‖p =
(
µ(Aε)
−1 ∫
Aε
|f |p d µ
)1/p
≥
(
µ(Aε)
−1 ∫
Aε
(‖f‖∞ − ε)p d µ
)1/p
= ‖f‖∞ − ε .
Esto nos dice que ‖Mf‖ ≥ ‖f‖∞ − ε para cualquier tal ε, o sea que ‖Mf‖ ≥ ‖f‖∞ .
El espacio L∞, además de ser Banach, es una K-álgebra, usando el producto punto a punto
de las funciones. Observar que ‖f · g‖∞ ≤ ‖f‖∞ ‖g‖∞ para cualquier par f, g ∈ L∞. Una
cosa aśı se llama álgebra de Banach y se estudiará sistemáticamente más adelante (en el
Cap. 6). Otra álgebra aśı es L(E) para cualquier espacio E de Banach. El producto ah́ı es
la composición de los operadores.
La idea de este ejemplo es que da una representación isométrica L∞
M
↪→ L(Lp) por operadores
de multiplicación que, en el caso discreto (o sea `p), se verán como operadores “diagonales”.
Notar que M ∈ L
(
L∞ , L(Lp)
)
. Al decir esto, impĺıcitamente aseguramos que M es K-
lineal. Esto es bien fácil de probar, y también es fácil que Mf ·g = Mf ◦Mg para f, g ∈ L∞
cualesquiera. Aśı que M es un morfismo isométrico de álgebras.
Caso discreto: Si X = N, Σ = P(N) y µ es “contar”, uno tiene que Lp = `p. Alĺı esta
representación M se ve aśı: Dada la sucesión x = (xn)n∈N ∈ `∞, tenemos que
Mx y = (xn yn)n∈N ∈ `p para cada y = (yn)n∈N ∈ `p , (1.45)
35
por lo que podemos pensar que Mx es una matriz infinita diagonal actuando en las columnas
infinitas de `p, porque lo que hace es multiplicar cada coordenada por un número distinto.
Sigue valiendo que ‖Mx‖ = ‖x‖∞ y que MxMy = Mxy para todo par x , y ∈ `∞, donde el
producto en `∞ está dado por x y = (xn yn)n∈N ∈ `∞.
Autovalores: Observar que Mx en = xn en para todo n ∈ N. Por ello todas las entradas xn
de x pasan a ser autovalores para Mx , con autovector en (los canónicos).
Sin embargo, en el caso X = [0, 1] con la medida usual, podemos tomar el operador Mt que
multiplica las h por la función f(t) = t, para t ∈ [0, 1]. Y lo que pasa es que el tal Mt
no tiene nigún autovalor. En efecto, si Mt h = λh, entonces (t − λ)h(t) = 0 (ctp). Esto
obligaŕıa a que la h sea nula (ctp), y no nos serviŕıa como autovector.
Inversibles: Dejamos como ejercicio caracterizar las f ∈ L∞ (o las x ∈ `∞) tales que Mf es
un iso en el sentido de la Ec. (1.32), o sea que Mf sea “inversible” en L(L
p). Observar que
si existiera la inversa de un Mf , no le quedaŕıa otra que ser M1/f . El tema es ver cuándo
eso existe y es acotado. Sugerimos hacerlo primero en el caso discreto, usando la Ec. (1.33).
Después eso se generaliza al caso continuo con los supremos esenciales (onda los Aε).
Veamos un ejemplo raro: Sea x = ( 1
n
)n∈N ∈ `∞, que produce el operador Mx ∈ L(`p). Por
un lado Mx no tiene al cero como autovalor, porque es mono. Sin embargo Mx no es epi (y
por ende no es iso), por ejemplo porque el mismı́simo x ∈ `p (si p > 1) pero x /∈ R(Mx) (si
p 6=∞). Observar que su supuesta inversa seŕıa “multiplicar por n en la n-ésima entrada”,
lo que seguro no camina (no es acotado y ni siquiera “cae” siempre en `p). 4
1.8.3 (Núcleos). Laburemos ahora en L2 = L2(X,Σ, µ). Pensemos en el espacio X × X
con la medida producto µ× µ. Si me dan una función k ∈ L2(X ×X), que llamaremos un
núcleo, observar que es una función de dos variables k(x, y) para x, y ∈ X (más bien es una
clase). Definamos el operador Tk ∈ L(L2) por la fórmula
(Tk f)(x) =
∫
X
k(x, y) f(y) dµ(y) para cada f ∈ L2 y cada x ∈ X . (1.46)
Observar que, como k ∈ L2(X ×X), las funciones X 3 y kx7−→ k(x, y) viven en L2(X) para
casi todo x ∈ Y (por Fubini-Tonnelli). Por Hölder, eso muestra que los valores
|(Tk f)(x)| ≤ ‖kx‖2 ‖f‖2 <∞ para casi todo x ∈ X .
Como siempre, la linealidad de Tk sale sin problemas. Ahora calculemos
‖Tk f‖22 =
∫
X
|(Tk f)(x)|2 dµ(x) ≤ ‖f‖22
∫
X
‖kx‖22 dµ(x)
= ‖f‖2
2
∫
X
∫
X
|k(x, y)|2 dµ(y) dµ(x) = ‖k‖2
2
‖f‖2
2
.
En resumen, vemos que efectivamente Tk ∈ L(L2) con ‖Tk‖ ≤ ‖k‖2 .
36
Es interesante observar que la fórmula (1.46) que define a Tk tiene una clara semejanza con el
producto de una matriz por un vector. Se multiplica escalarmente la “fila x” de k, moviendo
su ı́ndice y, por las entradas en y del vector f . De hecho, en el caso discreto `2, el núcleo
k =
(
k i,j
)
i,j∈N es una matriz infinita y fórmula (1.46) se traduce exactamente a
(Tk x)i =
∑
j∈N
k i,j xj para cada x = (xj)j∈N ∈ `2 y cada i ∈ N , (1.47)
que es la multiplicación matricial sin vueltas. Si bajamos más aún al caso finito, donde es un
producto común de una matriz por un vector, veremos que la cota ‖Tk‖ ≤ ‖k‖2 es demasiado
grande. De hecho ‖k‖2 es la norma Frobenius de la matriz k, que suele ser mucho mayor
que la norma “espectral”, que es su norma como operador sobre Kn con la norma Eucĺıdea.
Esto nos hace pensar, con razón, que puede haber núcleos k mucho más “grandes” que los
de cuadrado integrable, que produzcan v́ıa (1.46) un operador Tk ∈ L(L2). Continuará. 4
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1.9 Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados
Ejercicios aparecidos en el texto
1.9.1. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 1.1.2: Sea (E, ‖ · ‖) un EN. Luego:
1. La d (x, y) = ‖x− y‖ (para x, y ∈ E) es una métrica en E.
2. Con la topoloǵıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translaciones E 3 y 7→ y + x
y las flechas K 3 λ 7→ λx (con x fijo) son continuas.
3. La función norma es continua. Más aún, vale la desigualdad∣∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣∣ ≤ ‖x− y‖ = d (x, y) , para todo par x, y ∈ E . 4
1.9.2. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 1.1.6: Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E,F ),
‖T‖ def= ‖T‖L(E,F ) = sup
{
‖T x‖F : x ∈ E y ‖x‖E ≤ 1
}
.
Entonces vale lo siguiente:
1. ‖T‖ = sup
x∈BE
‖T x‖F = mı́n
{
M ≥ 0 : ‖T x‖F ≤M ‖x‖E para todo x ∈ E
}
.
2. T ∈ C(E,F ) ⇐⇒ ‖T‖ <∞.
1.9.3. Calcular la norma del operador de multiplicación T ∈ L(SF ) dado por T x =
(
(1 − 1n )xn
)
n∈N
para cada x = (xn)n∈N ∈ SF . Probar que se puede extender a L(`p) manteniendo su norma, para todo
exponente p ∈ [1 , ∞].
1.9.4. Hacer los detalles de las cuentas de todos los ejemplos de las Secciones 1.2 y 1.3. Parte de este laburo
(medidas, espacios Lp) se propone con bastante detalle en