Ejercicio_Electrodin_mica

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EJERCICIO ELECTRODINÁMICA
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Facultad de Ciencias y Educación
Sergio Andres Amado Holguin - 20152135033
saamadoh@correo.udistrital.edu.co
Julio 22, 2020
Punto 1: Dos part́ıculas, cada una de masa m y cargas q y 2q respectivamente, están suspendidas por cuerdas de
longitud l a partir de un punto en común. Encuentre el ángulo θ que forma cada una de las cuerdas con la vertical.
Solución:
Figura 1: Representación gráfica del problema donde d es la distancia de separacion entre part́ıculas.
Cada part́ıcula está en equilibrio estático bajo la influencia de la tensión ~T , la fuerza gravitacional ~Fg y la fuerza
eléctrica ~FE . Tomando la part́ıcula de la derecha (part́ıcula 2) el diagrama de fuerzas seŕıa:
Figura 2: Diagrama de fuerzas para la part́ıcula derecha.
1
Universidad distrital Francisco José de Caldas. Facultad de ciencias y educación.
Realizando la sumatoria de fuerzas para el equilibrio estático en la part́ıcula de la derecha tenemos que:∑
Fy = T cos θ −mg = 0 (1)∑
Fx = FE12 − T sin θ = 0 (2)
Podemos usar la ley de Coulomb para relacionar la fuerza eléctrica que le produce la part́ıcula de la izquierda
(part́ıcula 1) a la part́ıcula de la derecha con la carga en cada part́ıcula y la separación entre ellas, quedandonos la
ecuación 2 como:
2kq2
d2
− T sin θ = 0 (3)
Al despejar la tensión de la ecuación 1, obtenemos:
T =
mg
cos θ
Ingresando el resultado anterior en la ecuación 3:
2kq2
d2
−
( mg
cos θ
)
sin θ = 0
2kq2
d2
− (tan θ)mg = 0
tan θ =
2kq2
d2mg
(4)
Para la part́ıcula de la izquierda (part́ıcula 1), el diagrama de fuerzas seŕıa:
Figura 3: Diagrama de fuerzas para la part́ıcula de la izquierda.
Realizando la sumatoria de fuerzas para el equilibrio estático en la part́ıcula de la izquierda tenemos que:∑
Fy = T cosα−mg = 0 (5)∑
Fx = T sinα− FE21 = 0 (6)
Utilizando nuevamente la ley de Coulomb podemos hallar la fuerza electrica que le produce la paŕıcula de la derecha
a la de la izquierda:
T sinα− 2kq
2
d2
= 0 (7)
Despejando la tensión de la ecuación 5 tenemos que:
T =
mg
cosα
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Ingresando el resultado en la ecuación 10 tenemos:( mg
cosα
)
sinα− 2kq
2
d2
= 0
Llegando al mismo resultado de la ecuación 4:
tanα =
2kq2
d2mg
(8)
Si observamos la ecuación (4) y la ecuación (8) podemos ver que el ángulo θ formado por la cuerda que contiene
la part́ıcula 2 con la vertical y el ángulo α formado por la cuerda que contiene la part́ıcula 1 con la vertical son
iguales.
Ahora si observamos la figura 4 podemos llegar a la siguiente relación:
Figura 4: Diagrama de mitad de la configuración inicial.
sin θ =
d
2l
⇒ d = 2l sin θ (9)
Si ingresamos la ecuación (9) en (4) tenemos que:
tan θ = �
2kq2
�4mgl2 sin
2 θ
sin2 θ tan θ =
kq2
2mgl2
(10)
Si realizamos aproximaciones de ángulos pequeños tenemos que sin θ ≈ tan θ ≈ θ entonces:
θ3 ≈ kq
2
2mgl2
θ ≈ 3
√
kq2
2mgl2
θ = α ≈
[
k
2mg
] 1
3 [q
l
] 2
3
(11)
Si no hacemos aproximaciones de ángulos pequeños, retomemos desde la ecuación 10:
sin2 θ
(
sin θ
cos θ
)
=
kq2
2mgl2
sin3 θ
cos θ
=
kq2
2mgl2
Reestructurando: (
sin3 θ
cos3 θ
)
cos2 θ =
kq2
2mgl2
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tan3 θ
(
cos2 θ
)
=
kq2
2mgl2
tan3 θ
1
cos2 θ
=
kq2
2mgl2
A partir de la identidad cos2 θ + sin2 θ = 1 podemos reorganizar la anterior expresión como:
tan3 θ
cos2 θ+sin2
cos2 θ
=
kq2
2mgl2
tan3 θ
1 + tan2 θ
=
kq2
2mgl2
Para facilidades de cálculos llamaremos ahora x = tan θ y a = kq
2
2mgl2 quedando:
x3
1 + x2
= a
x3 = a(1 + x2)
x3 = a+ ax2
x3 − ax2 − a = 0 (12)
A partir de la ecuación (12) lo que resta es obtener el valor de x, sin embargo solo se puede obtener conociendo
el valor númerico de a = kq
2
2mgl2 . Al obtener x podemos obtener el valor del ángulo θ mediante la relación que
anteriormente se hab́ıa definido:
x = tan θ = tanα
θ = α = tan−1 x (13)
En conclusión hemos obtenido el valor del ángulo θ que es igual al ángulo α con la aproximación de ángulos
pequeños (ecuación 11) y sin ninguna aproximación (ecuación 13), además se observa que sin importar la magnitud
de las dos cargas el ángulo θ y α es el mismo.
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