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ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIASORDINARIAS
SOLUCION A LOS PROBLEMAS DE MODELOSSOLUCION A LOS PROBLEMAS DE MODELOS
LINEALES CON VALORES INCIALES DE DENNISLINEALES CON VALORES INCIALES DE DENNIS
G. ZILLG. ZILL
Integrantes:Integrantes:    Escudero Escudero Castillo, Castillo, CarlosCarlosMerino Manchinelly, CristianMerino Manchinelly, Cristian
Ortiz Garcia, Ra´Ortiz Garcia, Raúlul
PerlPerleche eche QueQuesqu´squén, en, DanDanieliel
Ramos Nu˜Ramos Nuñez, Lucciana Vanessanez, Lucciana Vanessa
Chiclayo - Per´Chiclayo - Perúu
Junio 2011Junio 2011
  
Soluci´Solución de los Problemas de Modelos Linealeson de los Problemas de Modelos Lineales
5.1.1 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre No Amortiguado5.1.1 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre No Amortiguado
1. 1. Una masa que pesa 4 Una masa que pesa 4 liblibras se une ras se une a un a un resoresorte cuyrte cuya constana constante es te es 16 lb/pi16 lb/pie. ¿Cu´e. ¿Cuál esal es
el el per´perı́odıodo do del el movimiento movimiento arm´armónico onico simplsimple?e?
F F    == k kss  →→ 4 = 16 4 = 16ss  →→ s s  = =   11
44
xx + + w w22xx =  = 00  →→ w w22 ==    kk
mm
  ==    1616
11//22
  = = 3232
xx + 3 + 322xx =  = 00
rr22 + 32 = 0+ 32 = 0  →→ r r11  ==
√ √ 
3232ii   yy  rr22  = =  −−
√ √ 
3232ii
CCFF S S   ==  {{cos4cos4
√ √ 
22tt  , sin4 , sin4
√ √ 
22tt}}
xx((tt) ) == c c11 c cosos 44
√ √ 
22tt + + c c22 si sinn 44
√ √ 
22tt
Entonces el periodo viene dado por :Entonces el periodo viene dado por :   P P    ==
  22ππ
ww
   ==
   22ππ
44
√ √ 
22
==
  ππ
√ √ 
22
88
2. Una masa de 20 kg se une a un resorte. Si la frecuencia del movimiento arm´2. Una masa de 20 kg se une a un resorte. Si la frecuencia del movimiento arm ónicoonico
simple es 2/simple es 2/ππ  ciclos/s, ¿Cu´ ciclos/s, ¿Cuál es la constante del resorte k?¿Cu´al es la constante del resorte k?¿Cuál es la constante delal es la constante delmovimiento arm´movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una masa de 80 kg?onico simple si la masa original se reemplaza con una masa de 80 kg?
mm =  = 2020 KKgg
La frecuencia est´La frecuencia está dada por:a dada por:
f f   ==
   11
T T 
   ==
   ωω
22ππ
   ==
   22
ππ
ωω =  = 44
ωω22 = = 1616
kk
mm
 = 16; = 16; mm =  = 2020
La constante k ser´La constante k será:a:
kk = 320 = 320 N/mN/m
mm =  = 8080 Kg, ωKg, ω22 ==    kk
mm
  = = 44
La frecuencia es:La frecuencia es:
f f   ==
   11
T T 
   ==
   ωω
22ππ
   ==
   22
22ππ
f f   ==
   11
ππ
11
  
3. 3. Una masa que Una masa que pesa 24 pesa 24 libras, unida al extremo de libras, unida al extremo de un resorte, alarga a un resorte, alarga a ´́este 4 este 4 pulgadapulgadas.s.
Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posici´Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posiciónon
de equilibrio. encuentre la ecuaci´de equilibrio. encuentre la ecuación de movimiento.on de movimiento.
W W    = = 2424 lblb → → m m  = =    2424
3232
  ==    33
44
kk = =    F F 
ss
   ==    2424
11//33
  = = 7272 lb/pielb/pie
La ecuaci´La ecuación diferencial es :on diferencial es :
xx + + ω ω22xx =0 =0
xx + +
   kk
mm
xx =0 =0
xx + 96 + 96xx =0 =0
La ecuaci´La ecuación on caracaracter´cterı́stica ıstica es:es:
mm22 + 96 =0+ 96 =0
mm11  =  = 44
√ √ 
66ii
mm22  = = −− 44
√ √ 
66ii
xx((tt) ) == C  C 11 co coss 44
√ √ 
66tt + + C  C 22 s senen 44
√ √ 
66tt
Con los valores iniciales:Con los valores iniciales:
xx(0) =(0) =    C C 11  = =
 − −11
44
xx((tt) ) ==
√ √ 
6sen46sen4
√ √ 
66tt + 4 + 4
√ √ 
66C C 22 co coss 44
√ √ 
66tt
xx((00) ) = = 44
√ √ 
66    C C 22  = = 00
C C 22  =  = 00
Luego la ecuaci´Luego la ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −−11
44
 co coss 44
√ √ 
66tt
4. 4. DeteDetermirmine ne la ecuaci´la ecuación del movimiento si la masa del problema 3 al inicio se liberaon del movimiento si la masa del problema 3 al inicio se libera
desde la posici´desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.on de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
ωω22 = = 9696, , xx(0) = 0(0) = 0    xx(0) = 2(0) = 2
xx((tt) ) == C  C 11 co coss 44
√ √ 
66tt + + C  C 22 s senen 44
√ √ 
66tt
xx(0) =(0) = C  C 11   = = 00
xx((tt) ) = = 44
√ √ 
66C C 22 co coss 44
√ √ 
66tt
xx((00) ) = = 44
√ √ 
66    C C 22  =  = 22
C C 22  = =
√ √ 
66
1212
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==
√ √ 
66
1212   sen4  sen4
√ √ 
66tt
22
  
5. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera desde5. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera desde
el reposo de un punto 6 pulgadas abajo de la posici´el reposo de un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio.on de equilibrio.
W W    = = 2020 lblb → → m m  = =    2020
3232
  ==    55
88
ss =  = 66 pulg pulg  = =    11
22
 pie pie
kk = =    F F 
ss
   ==    202011
22
= = 4040    lblb
 pie pie
 La ecuaci´ La ecuación diferencial es:on diferencial es:
xx + 64 + 64xx =  = 00
Su Su sosolulucici´́on on seser´rı́aıa::
xx((tt) ) == C  C 11 co coss 88tt + + C  C 22 s senen 88tt
Con los valores iniciales.Con los valores iniciales.
xx(0) =(0) =    C C 11  = =
  11
22
xx(0)(0)  →→    C C 22  = = 00
Luego la ecuaci´Luego la ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==
  11
22 c cosos 88tt
a a ) ) EncuenEncuentre ltre la posia posici´ción de la masa en los tiempos t=on de la masa en los tiempos t=π/π/1212, , π/π/88, , π/π/66, , π/π/44    yy    99π/π/3232ss..
xx((
 π π
1212
) ) ==  −−11
44
   xx((
ππ
88
) ) ==  −−11
22
xx((
ππ
66
) ) ==  −−11
44
   xx((
ππ
44
) ) ==
  11
22
xx((
99ππ
3232
) ) ==
√ √ 
22
44
bb) ¿Cu´) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t=3al es la velocidad de la masa cuando t=3π/π/16s16s?¿E?¿En qn qu´ué de direireccicci´́on se dirige laon se dirige la
masa en este instante?masa en este instante?
La velocidad enLa velocidad en   tt = =    33ππ1616    s s eses   xx
((tt) ) ==  −−4sen84sen8tt
YY   xx((33ππ
1616
) = 4, desciende) = 4, desciende
c c ) ) ¿En qu´¿En qué e tiempos la tiempos la masa pasa masa pasa por por la pla posici´osición de equilibrio?on de equilibrio?
11
22
 co coss 88tt =  = 00
cos8cos8tt =  = 00
88tt =  = (2(2nn + 1) + 1)
ππ
22
tt = =
  (2(2nn + 1) + 1)ππ
1616
   , , nn{{00,, 11,, 22, . . ., . . . }}
33
  
6. Una fuerza de 400 N alarga un resorte 2 metros una masa de 50 kg se une al extremo6. Una fuerza de 400 N alarga un resorte 2 metros una masa de 50 kg se une al extremo
del resorte y se libera inicialmente desde la posici´del resorte y se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidadon de equilibrio con una velocidad
hacia arriba de 10 m/s. Encuentre la ecuaci´hacia arriba de 10 m/s. Encuentre la ecuación de movimiento.on de movimiento.
kk = =    F F 
ss
   ==    400400
22
  = 200  = 200   mm =  = 5050   KKgg
xx + +
   kk
mm
xx =  = 00
xx + 4 + 4xx =  = 00
Su Su solsoluciuci´́on on es:es:
xx((tt) ) == C  C 11 c cosos 22tt + + C  C 22 se senn 22tt
xx(0) =(0) = C  C 11  = = 00
xx((tt) ) = = 22C C 22 co coss 22tt
xx(0) = 2(0) = 2C C 22  = =  −−1010
C C 22  = =  −−55
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx11((tt) ) ==  −−5sen25sen2tt
7. 7. Otro resorOtro resorte cuya constte cuya constanante es te es 20 N/m 20 N/m se suspende del mismse suspende del mismo o soporsoporte, pero te, pero paraparalelleloo
al sistema resorte-masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa deal sistema resorte-masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa de
20 kg., y ambas se liberan al inicio desde la posici´20 kg., y ambas se liberan al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidadon de equilibrio con una velocidad
ascendente de 10 m/s.ascendente de 10m/s.
kk =  = 2020    N N 
mm
, , mm =  = 2020   KKgg, , ωω22 = = 11
xx + + x x =  = 00
Su Su solsoluciuci´́on on es:es:
xx((tt) ) == C  C 11 cos cos tt + + C  C 22 sen sen tt
xx(0) =(0) = C  C 11  =  = 00
xx((tt) ) == C  C 22 cos cos tt
xx(0) =(0) = C  C 22  = =  −−1010
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx22((tt) ) ==  −−10sen10sen tt
44
  
a a ) ¿Cu´) ¿Cuál masa exhibe mayor amplitud de movimiento?al masa exhibe mayor amplitud de movimiento?
AA = =
  
C C 11
22 ++ C  C 22
22
AA11  =  = 55    AA22  = = 1010
AA22  >  > AA11
bb) ¿Cu´) ¿Cuál masa se mueve m´al masa se mueve más r´as rápido en t =apido en t =  π/π/4 s?¿En4 s?¿En   π/π/2?2?
xx11((
ππ
44
) ) ==  −−55 <  < xx22((
ππ
44
) ) == − −55
√ √ 
22
xx11((
ππ
22
) ) = = 00 >  > xx22((
ππ
22
) ) ==  −−1010
c c ) ) ¿En ¿En qu´qué e instaninstantes tes las las dos dos masas masas est´están en la misma posici´an en la misma posición?¿D´on?¿Dónde est´onde están lasan las
masas masas en en estos estos instantes?¿En instantes?¿En qu´qué e direcciones direcciones se se est´están an moviendo moviendo las las masas?masas?
−−5sen25sen2tt = =  −−10sen10sen tt
−−5(25(2 sesenn tt coscos tt) ) ==  −−10sen10sen tt
sensen tt(cos(cos tt −− 1) = 01) = 0
coscos tt    = = 11    ∨∨    sensen tt    = = 00
tt    = = 22nπnπ    ∨∨    tt    == nπ nπ
tt = =  nπ nπ
Reemplazando enReemplazando en   xx11
xx11((nπnπ) ) ==  −−5sen25sen2nπnπ
= = 00,,    Pos. Pos. de de equiliequilibriobrio
xx11((tt) ) ==  −−10cos210cos2tt
xx11((nπnπ) ) ==  −−10cos210cos2nπnπ
==
  −−
1010,,    hacia hacia arribaarriba
Reemplazando enReemplazando en   xx22
xx22((nπnπ) ) ==  −−1010 sesenn nπnπ
= = 00,,    Pos. Pos. de de equiliequilibriobrio
xx22((tt) ) ==  −−1010 cocoss tt
xx22((nπnπ) ) ==  −−1010 cocoss nπnπ
Si:n par :Si:n par :  −−1010CCosos((nπnπ) ) ==  −−1010 → → hacia arriba hacia arriba
n impar :n impar :
  −−
1010CCosos((nπnπ) = 10) = 10
  →→
 hacia abajo hacia abajo
55
  
8. Una masa que pesa 32 libras alarga un resorte 2 pies. Determine la amplitud y el8. Una masa que pesa 32 libras alarga un resorte 2 pies. Determine la amplitud y el
perpeŕ́ıodo ıodo de de movimovimienmiento to si la si la masa se masa se libera inicialmenlibera inicialmente te desde un desde un punto situado 1 punto situado 1 piepie
arriba de la posici´arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s.¿Cu´on de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s.¿Cuántosantos
ciclos completos habr´ciclos completos habrá completado la masa al final de 4a completado la masa al final de 4ππ   segundos?  segundos?
W W    = = 3232  →→ m m  = =    3232
3232
  = = 1,1,    kk = =    F F 
ss
  →→ k k  = =    3232
22
   = = 1616
xx + + ω ω22xx =  = 00
xx + 16 + 16xx =  = 00
xx((tt) ) == C  C 11 c cosos 44tt + + C  C 22 se senn 44tt
xx(0) =(0) =    C C 11  == − −11
xx((tt) = 4se) = 4senn 44tt + 4 + 4C C 22 c cosos 44tt
xx(0) = 4(0) = 4C C 22  = =  −−22  →→    C C 22  = =  −−
11
22
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −− cos4cos4tt −− 1 1
22
 s senen 44tt
Su amplitud es:Su amplitud es:
AA = =
  
C C 11
22 ++ C  C 22
22
AA = =
  
−−1122 ++ −−11
22
22
AA = =
√ √ 
55
22
El periodo es:El periodo es:
T T    ==
   22ππ
omegaomega   ==
  22ππ
44
T T    ==
  ππ
22
Luego en 4Luego en 4ππ  segundos la masa habr´ segundos la masa habrá completado 4a completado 4ππ ÷÷    ππ
22
 = 8 ciclos = 8 ciclos
9. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el9. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el
sistema resorte-masa exhibe movimiento arm´sistema resorte-masa exhibe movimiento armónico simple. Determine la ecuaci´onico simple. Determine la ecuación deon de
movimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa se libera inicialmente desdemovimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa se libera inicialmente desde
un punto 6 pulgadas abajo de la posici´un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendenteon de equilibrio, con una velocidad descendente
dede    33
22
 pie/s. Exprese la ecuaci´ pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6).on de movimiento en la forma dada en (6).
W W    = = 88  →→ m m  = =    88
3232
  ==    11
44
,,    kk  = = 11    lblb
 pie pie
xx + + ω ω22xx =  = 00
66
  
xx + 4 + 4xx =  = 00
xx((tt) ) == C  C 11 c cosos 22tt + + C  C 22 s senen 22tt
xx(0) =(0) =    C C 11  ==
  11
22
xx((tt) ) ==  −−11
22
 s senen 22tt + 2 + 2C C 22 co coss 22tt
xx(0) = 2(0) = 2C C 22  = =
  33
22
 → →    C C 22  ==
  33
44
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==
  11
22
 co coss 22tt + +
  33
44
 s senen 22tt
Su amplitud es:Su amplitud es:
AA = =
  
11
22
22
++
  33
44
22
==
√ √ 
1313
44
φφ = arctan = arctan
 C  C 11
C C 22
= = 00,,588588
Luego la ecuaci´Luego la ecuación toma la siguiente forma:on toma la siguiente forma:
xx((tt) ) == A A sin(sin(ωtωt + + φ φ))
xx((tt) ) ==
√ √ 
1313
44
  si  sinn (2(2tt + 0 + 0,,5888)5888)
10. Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte10. Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte    11
44
  de pie. Esta masa se retira y se  de pie. Esta masa se retira y se
coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado acoloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a    11
33
 de pie arriba de la de pie arriba de la
posici´posición de equilibrio, con una velocidad descendente deon de equilibrio, con una velocidad descendente de    55
44
 pie/s. Exprese la ecuaci´ pie/s. Exprese la ecuación deon de
movimiento en la movimiento en la forma dada forma dada en (6). en (6). ¿En qu´¿En qué tiempe tiempos la os la masa logra masa logra un desplazamientoun desplazamiento
debajo de la posici´debajo de la posición on de de equilibrio equilibrio num´numéricamente ericamente igual igual aa    11
22
 de la amplitud? de la amplitud?
kk = =    F F 
ss
   ==    101011
44
= 40,= 40,    mm =  = 11,,6 slugs6 slugs
xx + +
   kk
mm
xx =  = 00
xx + +
   4040
11,,66
xx =  = 00
xx + 25 + 25xx =  = 00
77
  
xx((tt) ) == C  C 11 co coss 55tt + + C  C 22 s senen 55tt
xx(0) =(0) =    C C 11  ==  −−
11
33
xx((tt) ) ==
  55
33 s senen 22tt + 5 + 5C C 22 co coss 55tt
xx(0) = 5(0) = 5C C 22  ==
  55
44
 → →    C C 22  = =
  11
44
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −−11
33
 co coss 55tt + +
  11
44
 s senen 55tt
Su amplitud es:Su amplitud es:
AA = =
  
−−11
33
22
++
  11
44
22
==
   55
1212
φφ = arctan = arctan
 C  C 11
C C 22
==
  −−
00,,927927
La ecuaci´La ecuación toma la forma:on toma la forma:
xx((tt) ) ==
   55
1212
 si sinn (5(5tt −− 00,,927)927)
CuandoCuando   xx = =    11
22
AA =  = ++    55
2424
xx((tt) ) ==
   55
1212
 si sinn (5(5tt −− 00,,927) =927) =    55
2424
sin(5sin(5tt −− 00,,927) =927) =  11
22
arcsinarcsin
 1 1
22  ==  {{55tt −− 00,,927 + 2927 + 2πnπn||nn ∈ ∈  ZZ}∪{−}∪{−(5(5tt −− 00,,927) + (2927) + (2nn + 1) + 1)ππ||nn  ∈∈   ZZ}}
tt = =
  11
55
(0(0,,927 +927 +
  ππ
66
 − − 22nπnπ))
nn  ∈∈   ZZ
∪∪    tt = =
  11
55
(0(0,,927 +927 +
 5 5ππ
66
   + 2+ 2nπnπ))
nn  ∈∈   ZZ
11. 11. Una masa que pesa 64 libras alaUna masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 piesrga un resorte 0.32 pies. Al inici. Al inicio la masa se libera desdeo la masa se libera desde
un punto que est´un punto que está 8 pulgadas arriba de la posici´a 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio, con una velocidadon de equilibrio, con una velocidad
descendente de 5 pies/s.descendente de 5 pies/s.
ww =  = 6464lblb   ,,  xx(0) =(0) =  −−22
33
 pie pie   ,,  xx(0) = 5(0) = 5 pie/s pie/s
a a ) ) EncuEncuententre la re la ecuaecuaci´ción de movimiento.on de movimiento.
xx + + w w22xx = 0 y ademas sabemos que = 0 y ademas sabemos queww22 ==    kk
mm
88
  
Busqueda deBusqueda de   kk    BusqueBusqueda da dede   mm
64 64 == k k(0(0,,32)32)    W W    == mg mg
kk  = = 22000 0 664 4 == m m(32)(32)  ⇒⇒ m m  =  = 22
Luego:Luego:   ww22 ==    kk
mm
 = 100 = 100
Ecuacion Ecuacion CaracteriCaracteristica:stica:  rr22 + 100 = 0+ 100 = 0
rr11  =  = 1010ii   ,,  rr22  ==
  −−
1010ii
CCFF S S   ==  {{cos10cos10tt  , si , sinn 1010tt}}
La solucion esLa solucion es   xx((tt) ) == c c11 co coss 1010tt + + c c22 si sinn 1010tt
Condiciones iniciales :Condiciones iniciales :   xx(0) =(0) =  −−22
33
  == c c11
xx((tt) ) ==  −−1010cc11 si sinn 1010tt + 10 + 10cc22 co coss 1010tt
xx(0) = 5 = 10(0) = 5 = 10cc22 c cosos 00  ⇒⇒ c c22  = =    1122
∴∴ x x((tt) ) ==
 − −22
33
  cos10  cos10tt + +
 1 1
22
 si sinn 1010tt
bb) ¿Cu´) ¿Cuáles ales son son la ampla amplitud y litud y perpeŕ́ıodo ıodo del del movimiento?movimiento?
AA = =
  
cc2211 + + c c
22
22  ==
  
((
−−22
33
   ))22 + (+ (
11
22
))22 ==
  55
66
P P    ==
   22ππ
ww    ==
   22ππ
1010    ==
   ππ
55
Escribamos la solucion en forma sinusoidal:Escribamos la solucion en forma sinusoidal:
calculo decalculo de   φφ
Sabemos tanSabemos tan φφ = =
  cc11
cc22
==
 − −22//33
11//22
tantan φφ = =  −−44
33
 ⇒ ⇒ φ φ  = =  −−00,,927927
∴∴ x x((tt) ) ==
  55
66
 sin(10 sin(10tt −− 00,,927)927)
c c ) ¿Cu´) ¿Cuántos ciclos completos habr´antos ciclos completos habrá completado la masa al final de 3a completado la masa al final de 3ππ   segundos?  segundos?
11oscilacionoscilacion  →→    ππ
55
xoscilacionxoscilacion  →→ 3 3ππ
xx = 15 oscilaciones = 15 oscilaciones
d d ) ) En En qu´qué e momenmomento la to la masa pasa masa pasa por por la pla posici´osición de equilibrio con direcci´on de equilibrio con dirección haciaon hacia
abajo por segunda vez?abajo por segunda vez?
sin(10sin(10tt −− 00,,927) = sin(927) = sin(nπnπ))
1010tt −− 00,,927 =927 = nπ nπ
⇒⇒   nπnπ + 0 + 0,,927927
1010
   == t t
e e ) ) ¿En qu´¿En qué instantes la masa e instantes la masa alcanza sus alcanza sus desplazamientos extremos edesplazamientos extremos en cualquier ladon cualquier lado
de la posici´de la posición de equilibrio?on de equilibrio?
99
  
xx((tt) ) ==
  2525
33
  co  coss (10(10tt −− 00,,927) = 0927) = 0
1010tt −− 00,,927 =927 =   ππ
22
  ++ nπ nπ
tt = =
  (2(2nn + 1) + 1)ππ
2020    + 0+ 0,,09270927, , nn = =  {{00,, 11,, 22, . . ., . . . }}
 f  f  )  ) ¿C¿Cu´uál es la posici´al es la posición de la masa enon de la masa en   tt =  = 3?3?
xx(3) =(3) =  −−00,,597597
g g ) ¿Cu´) ¿Cuál es la velocidad instant´al es la velocidad instantánea enanea en  t t  =  = 3?3?
xx(3) =(3) =  −−55,,813813
h h ) ¿Cu´) ¿Cuál es la aceleraci´al es la aceleración enon en   tt =  = 3?3?
xx(3) = 59(3) = 59,,702702
i i ) ¿Cu´) ¿Cuál es la velocidad instant´al es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por laanea en los instantes cuando la masa pasa por la
posici´posición de equilibrio?on de equilibrio?
tt = =
  22nπnπ + 0 + 0,,927927
1010
Luego reemplazando en la ecuaci´Luego reemplazando en la ecuación del movimiento:on del movimiento:
xx((tt) ) ==
  2525
33
  co  coss (10(10tt −− 00,,927)927)
xx((
22nπnπ + 0 + 0,,927927
1010
   ) ) ==
  2525
33
  cos(2  cos(2nπnπ))
xx((
22nπnπ + 0 + 0,,927927
1010
   ) ) ==
  2525
33
 j  j ) ) ¿En qu´¿En qué inste instantes la antes la masa estmasa est´́a 5 pulgadas abajo de la posici´a 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?on de equilibrio?
xx((tt) ) ==
  55
66
 se senn (10(10tt −− 00,,927) =927) =    55
1212
sesenn (10(10tt −− 00,,927) =927) =  11
22
arcsinarcsin
 1 1
22
  ==  {{1010tt −− 00,,927 + 2927 + 2πnπn||nn  ∈∈   ZZ}∪{−}∪{−(10(10tt −− 00,,927) + (2927) + (2nn + 1) + 1)ππ||nn  ∈∈   ZZ}}
tt = =
   11
1010(0(0,,927 +927 +
  ππ
66  + 2+ 2nπnπ)), , nn  ∈ ∈ {{00,, 11,, 22, . . ., . . . }}
1010
  
k k ) ) ¿En qu´¿En qué instae instantes la mantes la masa estsa est´́a 5 pulgadas abajo de la posici´a 5 pulgadas abajo de la posición de on de equiliequilibrio apun-brio apun-
tando en direcci´tando en dirección hacia arriba?on hacia arriba?
mm = 1 slug, = 1 slug,    kk = 9 lb/pie = 9 lb/pie
12. 12. Una masa de 1 Una masa de 1 sluslug se g se sussuspende de un pende de un resoresorte cuya consrte cuya constantante es te es de 9lb/pide 9lb/pie. Al e. Al iniiniciocio
la masa se libera desde un punto que est´la masa se libera desde un punto que est á 1 pie arriba de la posici´a 1 pie arriba de la posición de equilibrio conon de equilibrio con
una velocidad ascendente deuna velocidad ascendente de
√ √ 
3 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se3 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se
dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s.dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s.
xx + + ω ω22xx =  = 00
xx + 9 + 9xx =  = 00
xx((tt) ) == C  C 11 co coss 33tt + + C  C 22 s senen 33tt
xx(0) =(0) =    C C 11  ==  −−11
xx((tt) = ) = 33 ssen3en3tt + 3 + 3C C 22 co coss 33tt
xx(0) = 3(0) = 3C C 22  ==  −−√ √ 33  →→    C C 22  = =  −−√ √ 33
33
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −− cos3cos3tt −−
√ √ 
33
33
  sen3  sen3tt
Luego la ecuaci´Luego la ecuación toma la forma:on toma la forma:
xx((tt) ) ==
   22√ √ 
33
sin(3sin(3tt + ( + (
ππ
33
  ++ π π))))
xx((tt) ) ==
   22√ √ 
33
sisinn (3(3tt + +
  44ππ
33
   ))
La velocidad es:La velocidad es:
xx((tt) ) = = 22
√ √ 
3cos(33cos(3tt + +
 4 4ππ
33
   ))
22
√ √ 
3cos(33cos(3tt + +
  44ππ
33
   ) ) = = 33
cos(3cos(3tt + +
  44ππ
33
   ) ) ==
√ √ 
33
22
1111
  
13. 13. En algunas circunstancuEn algunas circunstancuas cuando dos as cuando dos resortes paralelresortes paralelos, con constantesos, con constantes  kk11    yy   kk22, so-, so-
portan una sola masa, laportan una sola masa, la   constante de resorte efectiva del sistema  constante de resorte efectiva del sistema   se expresa se expresa
comocomo   kk    = = 44kk11kk22//((kk11 + +  k k22). Una masa que pesa 20 lb. estira un resorte 6 pulgadas y). Una masa que pesa 20 lb. estira un resorte 6 pulgadas y
a a otro resorte otro resorte 2 2 pulgadapulgadas. Los s. Los resortes se resortes se unen a unen a un un soporte rsoporte ŕ́ıgido com´ıgido común y luego aun y luego a
una placa met´una placa metálica. Como se ilustra en la figura, la masa se une al centro de la placaalica. Como se ilustra en la figura, la masa se une al centro de la placa
en la configuraci´en la configuración de resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva de esteon de resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva de este
sistema. Encuentre la ecuaci´sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desdeon de movimiento si la masa se libera inicialmente desde
la posici´la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.on de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
kk = =
   44kk11kk22
kk11 + + k k22
20 20 == k k11(1(1//22) ) 220 0 == k k22(1(1//6)6)
kk11  =  = 4040    kk22  = 120 = 120
kk = =
  4(40)(120)  4(40)(120)
40 + 12040 + 120
  = 120  = 120
ww22 ==    kk
mm
  ==    120120
55//88
 = 192 = 192
La ecuacion viene dada por:La ecuacion viene dada por:  xx + 192 + 192xx =  = 00
rr11  =  = 88
√ √ 
33ii   ,,  rr22  ==  −−88
√ √ 
33ii
CCFF S S   ==  {{cos8cos8
√ √ 
33tt  , sin8 , sin8
√ √ 
33tt}}
xx((tt) ) == c c11 c cosos 88
√ √ 
33tt + + c c22 si sinn 88
√ √ 
33tt
CalculCalculamos amos las las constanconstantes:tes:
cc11  =  = 00    cc22  ==
√ √ 
33
1212
∴∴ x x((tt) ) ==
√ √ 
33
1212
  sin8  sin8
√ √ 
33tt
14. 14. Una cierUna cierta masa alarga un resortta masa alarga un resortee    11
33
 de pie y otro resorte de pie y otro resorte    11
22
 de pie. Los dos resortes se de pie. Los dos resortes se
unen unen a a un un soporte soporte rŕ́ıgido ıgido com´común en la manera descrita en el Problema 13. Se quita laun en la manera descrita en el Problema13. Se quita la
primera masa y se coloca una que pesa 8 libras en la configuraci´primera masa y se coloca una que pesa 8 libras en la configuraci ón de resorte doble,on de resorte doble,
y se pone en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento esy se pone en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es
  π/π/
15 segundos,15 segundos,
determine cu´determine cuánto pesa la primera masa.anto pesa la primera masa.
1212
  
15. Un modelo de un sistema de resorte-masa es 415. Un modelo de un sistema de resorte-masa es 4xx  + +  e e00,,11ttxx   = 0. Por inspecci´  = 0. Por inspección de laon de la
ecuaci´ecuación diferencial solamenon diferencial solamente, describa el te, describa el comportamicomportamiento del ento del sistema durantsistema durante e un lar-un lar-
go periodo.go periodo.
16. 16. Un modelo de un sUn modelo de un sistema de reistema de resorte-msorte-masa es 4asa es 4xx++txtx = 0. Por inspecci´ = 0. Por inspección de la ecuaci´on de la ecuaciónon
diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un largo periodo.diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un largo periodo.
1313
  
5.1.2 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre Amortiguado5.1.2 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre Amortiguado
En los Problemas 17 a 20, la figura representa la gr´En los Problemas 17 a 20, la figura representa la gráfica de una ecuaci´afica de una ecuación de movimientoon de movimiento
para un sitema amortiguado resorte-masa. Use la gr´para un sitema amortiguado resorte-masa. Use la gráfica para determinar:afica para determinar:
(a)(a)si el desplazamiento inicial est´si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posici´a arriba o abajo de la posición de equilibrio yon de equilibrio y
(b)(b)si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con direcci´si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con dirección hacia abajo o haciaon hacia abajo o hacia
arriba.arriba.
17.17.
a a ) ) El desplazamEl desplazamieniento inicial est´to inicial está arriba dea arriba de
la pos. de equilibrio debido a quela pos. de equilibrio debido a que   xx    enen
0 es negativo0 es negativo
bb) La masa se libera con direcci´) La masa se libera con dirección haciaon hacia
arriba debido a que la curva est´arriba debido a que la curva está bajan-a bajan-
dodo
18.18.
a a ) El desplazamiento inicial est´) El desplazamiento inicial está abajo dea abajo de
la pos. de equilibrio debido a quela pos. de equilibrio debido a que   xx   enen
0 es positivo0 es positivo
bb) ) La masLa masa se libera se libera en el reposo porqa en el reposo porque laue la
derivada enderivada en   tt = 0 es 0 = 0 es 0
19.19.
a a ) El desplazamiento inicial est´) El desplazamiento inicial está abajo dea abajo de
la pos. de equilibrio debido a quela pos. de equilibrio debido a que   xx   enen
0 es positivo0 es positivo
bb) La masa se libera con direcci´) La masa se libera con dirección haciaon hacia
arriba arriba debido debido a a que que la la curva est´curva está a bajabajan-n-
dodo
1414
  
20.20.
a a ) ) El desplazaEl desplazamienmiento inicial est´to inicial está arriba dea arriba de
la pos. de equilibrio debido a quela pos. de equilibrio debido a que   xx   enen
0 es negativo0 es negativo
bb) La masa se libera con direcci´) La masa se libera con dirección haciaon hacia
abajo debido a que la curva est´abajo debido a que la curva está subien-a subien-
dodo
21. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2lb/pie. El me-21. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2lb/pie. El me-
dio dio ofrece ofrece una una fuerza de fuerza de amortigamortiguamienuamiento to que que es es numnum´́ericameericamente igual nte igual a a la la velvelocidadocidad
instant´instantánea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posici´anea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posici ón deon de
equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que laequilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que la
masa pas por la posici´masa pas por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanzaon de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza
su desplazamiento extremo desde la posici´su desplazamiento extremo desde la posición on de de equilibrio. equilibrio. ¿Cu´¿Cuál al es es la la posici´posición de laon de la
masa en este instante?masa en este instante?
ww = =  mg mg
4 4 == m m(32)(32)
11
88
  == m m
xx(0) =(0) =  −−11 pies pies
xx((tt) ) = = 88 pies/s pies/s
xx =  = 22libras/pielibras/pie
entoncesentonces
dxdx
dtdt
   = = ßß
dxdx
dtdt
mm22 + 8+ 8mm + 16 = 0 + 16 = 0
((mm + 4)( + 4)(mm + 4) = 0 + 4) = 0
mm11  =  = ee
−−44tt
mm22  =  = ee
−−44tt
xx((tt) ) == C  C 11ee
−−44tt ++ C  C 22ttee
−−44tt
1515
  
C C 11  ==  −−11
C C 22  = = 44
entoncesentonces
xx((tt) ) ==  −−ee−−44tt + 4+ 4ttee−−44tt
xx((tt) = 8e) = 8e−−44tt −− 1616ttee−−44tt
sisi
xx((tt) ) = = 00
entoncesentonces
tt = =
  11
44
sisi
xx((tt) ) = = 00
entoncesentonces
tt = =
  11
22
y el desplazamiento esy el desplazamiento es
xx =  = ee−−22tt pies pies
22. 22. Un resorte de Un resorte de 4 4 piepies s midmide e 8 8 piepies s de largo de largo desdespupu´́es de es de colcolgarlgarle e una masa que una masa que pesa 8pesa 8
libras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamientolibras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento
igual aigual a
√ √ 
2 veces la velocidad instant´2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuaci´anea. Encuentre la ecuación de movimiento sion de movimiento si
la masa se libera inicialmente desde la posici´la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad des-on de equilibrio con una velocidad des-
cendente de 5 pies/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamientocendente de 5 pies/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la pextremo desde la posici´osición de equilibrio. ¿Cu´on de equilibrio. ¿Cuál es la posici´al es la posición de la masa en ese instante?on de la masa en ese instante?
S S 00  = = 44 pies pies
ww = =  mg mg
8 8 == m m(32)(32)
11
44
  == m m
8 8 == k k(8(8 −− 4)4)
kk =  = 22libras/pieslibras/pies
1616
  
dd22xx
dtdt22
   ++
√ √ 
22
11//44
dxdx
dtdt
   ++
   22
11//44
xx =  = 00
mm22 + 4+ 4
√ √ 
22mm + 8 = 0 + 8 = 0
((mm + 2 + 2
√ √ 
2)(2)(mm + 2 + 2
√ √ 
2) = 02) = 0
mm11  = =  −−22√ √ 22multiplicidadmultiplicidad22
xx((tt) ) == C  C 11ee
−−22
√ √ 
22tt ++ C  C 22ttee
−−22
√ √ 
22tt
xx((tt) ) ==  −−22
√ √ 
22C C 11ee
−−22
√ √ 
22tt ++ C  C 22ee
−−22
√ √ 
22tt + (+ (−−22
√ √ 
2)2)tC tC 22ee
−−22
√ √ 
22tt
xx(0) = 0(0) = 0
xx(0) = 5(0) = 5
C C 11  = = 00
C C 22  = = 55
xx((tt) ) = = 55ttee−−22
√ √ 
22tt
xx((tt) = 5e) = 5e−−22
√ √ 
22tt −− 1010
√ √ 
22ttee−−22
√ √ 
22tt
reemplazreemplazando ando cuandocuando
tt =  = 0;0; xx(0) = 0(0) = 0
obtenemosobtenemos
tt =  = 22
√ √ 
22
reemplazandoreemplazando
xx(2(2
√ √ 
2) = 102) = 10
√ √ 
2e2e−−22
√ √ 
2(22(2
√ √ 
2)2)
23. Una masa de 1kg. se fija a un resorte cuya constante es 16N/m y luego el sistema23. Una masa de 1kg. se fija a un resorte cuya constante es 16N/m y luego el sistema
completo se completo se sumerge en sumerge en un un lĺ́ıquidıquido o que que imparte una imparte una fuerza amortiguadora igual fuerza amortiguadora igual a a 1010
veces la velocidad instant´veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si:anea. Determine las ecuaciones de movimiento si:
(a)(a)al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posici´al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posici ón deon de
equilibrio, y luegoequilibrio, y luego
(a)(a)la masa se libera inicialmente desde un punto 1metro abajo de la posici´la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la posición de equi-on de equi-
librio con una velocidad ascendente de 12 m/slibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s
mm =  = 11kgkg
kk =  = 1616N/mN/m
BB   = = 1010
1717
  
dd22xx
dtdt22
   ++
   ßß
mm
dxdx
dtdt
   ++
   kk
mm
xx =  = 00
mm22 + 10+ 10mm + 16 = 0 + 16 = 0
((mm + 8)( + 8)(mm + 2) = 0 + 2) = 0
mm11  =  = ee
−−88tt
mm22  =  = ee
−−22tt
xx((tt) ) == C  C 11ee
−−88tt ++ C  C 22ee
−−22tt
xx((tt) ) ==  −−88C C 11ee−−88tt −− 22C C 22ee−−22tt
a)a)
xx(0) = 1(0) = 1
C C 11  ==
 − −11
33
C C 22  ==
  44
33
xx((tt) ) ==
 − −11
33
   ee−−88tt ++
 4 4
33
ee−−22tt
b)b)
xx(0) = 1(0) = 1
xx(0) =(0) = − −1212
C C 11  ==
  55
33
C C 22  ==
 − −22
33
xx((tt) ) ==
  55
33
ee−−88tt ++
 − −22
33
   ee−−22tt
24. 24. En los incisEn los incisos (a) y os (a) y (b) del Probl(b) del Problema 23. deteema 23. determinrmine si e si la masa pasa por la la masa pasa por la posiposici´ción deon de
equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamientoequilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posici´extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cu´on de equilibrio. ¿Cuál es la posici´al es la posición de la masa en este instan-on de la masa en este instan-
te?te?
en a)en a)
xx((tt) ) ==
 − −11
33
   ee−−88tt ++
 4 4
33
ee−−22tt
nunca es cero, el desplazamientonunca es cero, el desplazamiento
xx(0) = 1(0) = 1metrometro
1818
  
en b)en b)
xx((tt) ) ==
  55
33
ee−−88tt ++
 − −22
33
   ee−−22tt = = 00
cuandocuando
tt =  = 00,,153153
sisi
xx((tt) ) ==
 − −4040
33
   ee−−88tt ++
 4 4
33
ee−−22tt = = 00
entoncesentonces
tt =  = 00,,384384
y el desplazamientoy el desplazamiento
xx = =  −−00,,232232metrosmetros
25. 25. Una fuerUna fuerza de za de 2 libras ala2 libras alarga un resorte 1 pie. una masa que pesa rga un resorte 1 pie. una masa que pesa 3.2 lin3.2 linras se une ras se une alal
resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amorti-resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amorti-
guamiento igual a 0.4 veces la velocidad instant´guamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea.anea.
mm = =    33,,22
3232
   = = 00,,1 slug,1 slug,    kk = =    22
11
  = = 2 2 llbb//ppiiee, , 22λλ = =    00,,44
00,,11
xx  =  = 44xx
xx +  + 22λxλx + + ω ω22xx =  = 00
xx + 4 + 4xx + 2 + 200xx =  = 00
Su Su sosolulucici´́onon
mm22 + 4+ 4mm + 20 = 0 + 20 = 0
mm = =
 − −44 ±±
  
4422 −− 4(1)(20)4(1)(20)
2(1)2(1)
mm11  ==  −−2 + 42 + 4ii
mm22  ==  −−22 −− 44ii
xx((tt) ) == C  C 11ee
−−22tt cos4cos4tt + + C  C 22ee
−−22tt sen4sen4tt
AplicaAplicando ndo los los vvalores iniciales:alores iniciales:
xx(0) =(0) =    C C 11  == − −11
xx((tt) = (4) = (4C C 22 −− 22C C 11)e)e−−22tt cos4cos4tt −− (4(4C C 11 + 2 + 2C C 22)e)e−−22tt sen4sen4tt
xx(0) = 4(0) = 4C C 22 −− 22C C 11  = = 00  →→    C C 22  = =  −−
11
22
1919
  
a a ) ) EncuEncuententre la re la ecuaecuaci´ción de movimiento si inicialmente se libera la masa desde elon de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el
reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posici´reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posición de equilibrio.on de equilibrio.
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −−ee−−22tt cos4cos4tt−−  11
22
ee−−22tt sen4sen4tt
bb) ) ExprExprese la ecuaese la ecuaci´ción de movimiento en la forma provista en (23).on de movimiento en la forma provista en (23).
Con:Con:
AA = =
  
((−−1)1)22 + (+ (−−11
22
))22 ==
√ √ 
55
22
φφ = arctan = arctan
 C  C 11
C C 22
= arc= arctatann 2 = 12 = 1,,11 +11 + π π  =  = 44,,2525
La ecuaci´La ecuación toma la forma:on toma la forma:
xx((tt) ) ==
√ √ 
55
22
   ee−−22tt sen(4sen(4tt + 4 + 4,,25)25)
c c ) ) Calcule la primerCalcule la primera vez en la a vez en la cual la masa cual la masa pasa a trpasa a trav´avés de la es de la posici´posición de equilibrioon de equilibrio
en direcci´en dirección hacia arriba.on hacia arriba.
En la posici´En la posición de equilibrioon de equilibrio   xx =  = 00
0 0 ==
√ √ 
55
22
   ee−−22tt sen(4sen(4tt + 4 + 4,,25)25)
0 = se0 = senn (4(4tt + 4 + 4,,25)25)
nπnπ =  = 44tt + 4 + 4,,2525
La primera vez que va hacia arriba conLa primera vez que va hacia arriba con   nn = 3. Luego: = 3. Luego:
tt =  = 11,,294294
26. 26. DesDespupu´́es es de de que que una una masmasa a de de 10 10 liblibras ras se se sujsujeta eta a a un un resoresorte rte de de 5 5 piepies, ´s, éste llega este llega aa
medir 7 medir 7 pies. Se pies. Se retira la retira la masa y masa y se sustituye con se sustituye con una de una de 8 8 libras. Despulibras. Despu´́es se es se colocacoloca
al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidadal sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidadinstant´instantánea.anea.
mm = =    88
3232
  ==    11
44
  slug,  slug,    kk = =    1010
22
   = = 5 5 llbb//ppiiee, , 22λλ = =    11
11//44
  = = 44
xx +  + 22λxλx + + ω ω22xx =  = 00
xx + 4 + 4xx + 2 + 200xx =  = 00
mm22 + 4+ 4mm + 20 = 0 + 20 = 0
mm = =
 − −44±±
  
4422 −− 4(1)(20)4(1)(20)
2(1)2(1)
mm11  ==  −−2 + 42 + 4ii
mm22  ==
  −−
22
−−
44ii
2020
  
xx((tt) ) == C  C 11ee
−−22tt cos4cos4tt + + C  C 22ee
−−22tt sen4sen4tt
AplicaAplicando ndo los los vvalores iniciales:alores iniciales:
xx(0) =(0) =    C C 11  == − −11
xx((tt) = (4) = (4C C 22 −− 22C C 11)e)e−−22tt cos4cos4tt−− (4(4C C 11 + 2 + 2C C 22)e)e−−22tt sen4sen4tt
xx(0) = 4(0) = 4C C 22 −− 22C C 11  = = 00  →→    C C 22  = =  −−
11
22
a a ) ) EncuEncuententre la re la ecuaecuaci´ción de movimiento si la masa se libera inicialmente desde elon de movimiento si la masa se libera inicialmente desde el
reposo de un punto situado 1 pie arriba de la posici´reposo de un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio.on de equilibrio.
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −−ee−−22tt cos4cos4tt−−  11
22
ee−−22tt sen4sen4tt
bb) ) ExprExprese la ecuaese la ecuaci´ción de movimiento en la forma provista en (23).on de movimiento en la forma provista en (23).
Con:Con:
AA = =
  
((−−1)1)22 + (+ (−−11
22
))22 ==
√ √ 55
22
φφ = arctan = arctan
 C  C 11
C C 22
= arc= arctatann 2 = 12 = 1,,11 +11 + π π  =  = 44,,2525
La ecuaci´La ecuación toma la forma:on toma la forma:
xx((tt) ) ==
√ √ 
55
22
   ee−−22tt sen(4sen(4tt + 4 + 4,,25)25)
c c ) ) CalCalcule locule los tiempos en los que la masa pass tiempos en los que la masa pasa por a por la posicila posicí́on de equilibrio en direc-on de equilibrio en direc-
ci´ción hacia abajo.on hacia abajo.
0 0 ==
√ √ 
55
22
   ee−−22tt sen(4sen(4tt + 4 + 4,,25)25)
0 = se0 = senn (4(4tt + 4 + 4,,25)25)
nπnπ  =  = 44tt + 4 + 4,,2525
tt = =
  nπnπ −− 44,,2525
44
   , , nn =  = 22,, 33,, 44, . . ., . . .
Como el movimiento comienza arriba, entoncesComo el movimiento comienza arriba, entonces    nn   = 2 est´  = 2 está en direcci´a en dirección haciaon hacia
abajo,luego se deduce que los tiempos en los que la masa va hacia abajo son:abajo,luego se deduce que los tiempos en los que la masa va hacia abajo son:
tt = =
  nπnπ −− 44,,2525
44
   , , nn =  = 22,, 44,, 66, . . ., . . .
2121
  
d d ) ) GrafiGrafique la ecuaque la ecuaci´ción de movimiento.on de movimiento.
La gr´La gráfica es:afica es:
27. 27. Una masa que pesa 10 libraUna masa que pesa 10 libras produce un alargamies produce un alargamiento de 2 pies en un resortento de 2 pies en un resorte. La masa. La masa
se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igualse une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
aa    β β    ((β β   ¿0) veces la velocidad instant´  ¿0) veces la velocidad instantánea.Determine los valores de la constante deanea. Determine los valores de la constante de
amortiguamientoamortiguamiento  β  β  de modo que el movimiento posterior sea: de modo que el movimiento posterior sea:
mm = =    1010
3232
  ==    55
1616
  slug,  slug,    kk  ==    1010
22
 = 5 lb/pie, = 5 lb/pie,    β β >> 0 0
mxmx + + β βxx + + kx kx  =  = 00
1010
3232
xx + + β βxx + 5 + 5xx =  = 00
El discriminante de la ecuaci´El discriminante de la ecuación es:on es:
 = =  β  β 22 −− 4(4( 1010
3232
)(5))(5)

 = =  β  β 22
−−
((
2525
44
  ))
a a ) ) Es sobreamoEs sobreamortiguado cuartiguado cuando:ndo:  β β 22 −− ((2525
44
 ) )  > >  0 0  ⇒⇒ β  β >>    55
22
bb) ) Es critico amEs critico amortiguado cuortiguado cuando:ando:  β β 22 −− ((2525
44
 )  ) = = 00  ⇒⇒ β  β   ==    55
22
c c ) ) Es subamoEs subamortiguado crtiguado cuando:uando:  β β 22 −− ((2525
44
 ) )  < <  0 0  ⇒⇒ β  β <<    55
22
28. 28. Una masa que Una masa que pesa 24 pesa 24 liblibras alargras alarga a 4 4 piepies s un resorteun resorte. . El moviEl movimiemientnto o posteposteriorior r tomatoma
lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual alugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a   β β ((β β ¿0) veces la¿0) veces la
velocidad instant´velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde la posici´anea. Si al inicio la masa se libera desde la posición de equilibrio conon de equilibrio con
una velocidad ascendente de 2 pies/s, muestre que cuandouna velocidad ascendente de 2 pies/s, muestre que cuando  β  β   ¿3¿3
√ √ 
2 la ecuaci´2 la ecuación de mo-on de mo-
vimiento es:vimiento es:
xx((tt) ) ==    −−33√ √ 
ββ22−−1818
ee−−22βt/βt/33 sinhsinh   2233
  
β β 22 −− 1818tt
2222
  
mm = =    2424
3232
  ==    33
44
  slug,  slug,    kk = =    2424
44
 = 6 lb/pie, = 6 lb/pie,    β β >> 0 0
mxmx + + β βxx + + kx kx  =  = 00
33
44
xx + + β βxx + 6 + 6xx =  = 00
xx + +  44
33
βxβx  + 8 + 8xx =  = 00
mm22 ++
  44
33
βmβm  + 8 = 0 + 8 = 0
mm = =
44
33
β β   ±±
  
((44
33
β β ))22 −− 4(1)(8)4(1)(8)
2(1)2(1)
mm = = − −22
33
β β   ±± 2 2
33
  
β β 22 −− 1818, , β β >> 3 3
√ √ 
22
xx((tt) ) == C  C 11ee
((−− 22
33
ββ++ 22
33
√ √ 
ββ22−−18)t18)t + C+ C22ee
((−− 22
33
ββ−− 22
33
√ √ 
ββ22−−18)t18)t
Aplicando los valores iniciales:Aplicando los valores iniciales:
xx(0) =(0) =    C C 11 + + C  C 22  = = 00
xx((tt) ) == C  C 11((−−
22
33
β β  + +
 2 2
33
  
β β 22 −− 18)e18)e((−− 2233ββ++ 2233
√ √ 
ββ22−−18)t18)t + C+ C22((−−
22
33
β β  − − 2 2
33
  
β β 22 −− 18)e18)e((−− 2233ββ−− 2233
√ √ 
ββ22−−18)18)
xx(0) =(0) = C  C 11((−−
22
33
β β  + +
 2 2
33
  
β β 22 −− 18)18)−− C C 11((−−
22
33
β β   −− 2 2
33
  
β β 22 −− 18)18)
−−2 2 == C  C 11
44
33
  
β β 22 −− 1818
C C 11  = =  −−
   33
22
  
β β 22 −− 1818
C C 22  = =
   33
22
  
β β 22 −− 1818
La ecuaci´La ecuación del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) == − −    33
22
  
β β 22 −− 1818
ee((−−
22
33
ββ++ 22
33
√ √ 
ββ22−−18)t18)t ++
   33
22
  
β β 22 −− 1818
ee((−−
22
33
ββ−− 22
33
√ √ 
ββ22−−18)t18)t
Pero:Pero:
senhsenh aa = =
  eeaa −− ee−−aa
22
Dando la forma a la ecuaci´Dando la forma a la ecuación:on:
xx((tt) ) ==  −−    33
  
β β 
22
−− 1818
ee((−−
22
33
ββ))

ee
22
33
√ √ 
ββ22−−1818 −− ee−− 2233
√ √ 
ββ22−−1818
22

2323
  
QuedaQuedarŕ́ıa ıa que que la la ecuacecuaci´ión del movimiento es:on del movimiento es:
xx((tt) ) ==  −−    33  
β β 22 −− 1818
ee((−−
22
33
ββ)) senhsenh
 2 2
33
  
β β 22 −− 1818
2424
  
5.1.3 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Forzado5.1.3 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Forzado
29. Una masa que pesa 16 libras alarga29. Una masa que pesa 16 libras alarga    88
33
 pie un resorte. La masa se libera inicialmente pie un resorte. La masa se libera inicialmente
desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posici´desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio, y el movimien-on de equilibrio, y el movimien-
to posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igualto posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
aa    11
22
 d de e la la velocidad velocidad instant´instantánea. anea. Encuentra Encuentra la la ecuaci´ecuación de movimiento si se aplica a laon de movimiento si se aplica a la
masa una fuerza externa igual amasa una fuerza externa igual a   f f ((tt) = 1) = 100 cocoss 33tt..
Primero hallamos los valores dePrimero hallamos los valores de    mm    yy    kk   para eso sabemos que  para eso sabemos que    W W    ==    mgmg, entonces, entonces
16 16 ==   mm(32); por lo tanto(32); por lo tanto    mm   ==    11
22
. Adem´. Además queas que   W W    ==    ksks, entonces 16 =, entonces 16 =    kk((88
33
) por lo) por lo
tantotanto k k  = 6; y como dato del problema tenemos = 6; y como dato del problema tenemos  β  β   ==    11
22
. Teniendo en cuenta esto plan-. Teniendo en cuenta esto plan-
teamos la ecuaci´teamos la ecuación on diferencdiferencial:ial:
dd22xx
dtdt22
  ++    11//2211//22
dxdx
dtdt
  ++    6611//22    xx = 1 = 100 ccooss 33tt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución complementaria:on complementaria:
xxcc((tt) ) ::   dd22xxdtdt22   ++    11//2211//22 dxdxdtdt   ++    6611//22    xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractacter´erı́stısticaica::    mm22 ++ m m + 12 = 0 + 12 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−11
22
 ± ±
√ √ 
4747
22
   ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S   = = ((ee−−t/t/22 coscos
√ √ 
4747
22
   tt    ;;    ee−−t/t/22 sinsin
√ √ 
4747
22
   tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11ee
−−t/t/22 coscos
√ √ 
4747
22
   tt + + c c22ee
−−t/t/22 sinsin
√ √ 
4747
22
   tt
Ahora, teniendoAhora, teniendo   f f ((tt) = 10) = 10 ccooss 33tt    aplicamos el aplicamos el m´método etodo del Opdel Operador erador Anulador, paraAnulador, para
hallar la soluci´hallar la solución particularon particular   xx p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a   f f ((tt) por () por (DD
22 + 9)+ 9)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractacter´erı́stısticaica::  mm22 + 9 = 0+ 9 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±33ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos3 = (cos3tt   ;   ; ssiinn 33tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 c cosos 33tt + + c c44 si sinn 33tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación on diferendiferencial:cial:
dd22xx
dtdt22
   ++
  11//22
11//22
dxdx
dtdt
   ++
   66
11//22
xx = 1 = 100 ccooss 33tt
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución debon debe ce cumplir con umplir con (1), y (1), y asaś́ı obteı obtenemos los nemos los valores devalores de   cc33   yy   cc44::
cc33  == c c44  ==  55
33
2525
  
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11ee
−−t/t/22 coscos
√ √ 
4747
22
   tt + + c c22ee
−−t/t/22 sinsin
√ √ 
4747
22
   tt + +
  55
33
 co coss 33tt + +
  55
33
 si sinn 33tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de  c c11 y y  c c22 hacemos uso de los datos del problema, hacemos uso de los datos del problema, x x(0) = 0(0) = 0
yy  x x (0) = 2; y obtenemos:(0) = 2; y obtenemos:
cc11  = =
  11
33
cc22  ==  −−
2929
√ √ 
4747
22
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) ==
  11
33
ee−−t/t/22 coscos
√ √ 
4747
22
   tt + + −−2929
√ √ 
4747
22
   ee−−t/t/22 sinsin
√ √ 
4747
22
   tt + +
  55
33
 co coss 33tt + +
  55
33
 si sinn 33tt
30. Una masa de 1 slug se une a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa30. Una masa de 1 slug se une a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa
se libera 1 pie abajo de la posici´se libera 1 pieabajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5on de equilibrio con una velocidad descendente de 5
pies/s, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza depies/s, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento amortiguamiento igual igual a a 2 2 veces la veces la velocidad velocidad instant´instantánea.anea.
(a)(a)Encuentre la ecuaci´Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igual aon de movimiento si una fuerza externa igual a f  f ((tt) = 1) = 122 ccos2os2tt++
3sin23sin2tt  act´ actúa sobre la masa.ua sobre la masa.
Primero expresamos la ecuaci´Primero expresamos la ecuación diferencial ya que tenemoson diferencial ya que tenemos   mm    = = 1,1,    kk    = = 5 5 yy    β β    = = 22
como datos del problema:como datos del problema:
dd22xx
dtdt22   ++
   22
11
dxdx
dtdt   ++
  55
11
   xx = 1 = 122 ccooss 22tt +  + 33 ssiinn 22tt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución complementaria:on complementaria:
xxcc((tt) ) ::
  dd22xx
dtdt22
  ++    2211
dxdx
dtdt   ++
   55
11    xx  = = 00
Ec. Ec. carcaractacter´erı́stısticaica::    mm22 + 2+ 2mm + 5 = 0 + 5 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−11±± 22ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S   = = ((ee−−tt cos2cos2tt    ;;    ee−−tt sin2sin2tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11ee
−−tt cos2cos2tt + + c c22ee
−−tt sin2sin2tt
Ahora, teniendoAhora, teniendo f  f ((tt) = 1) = 122 ccos2os2tt+3sin2+3sin2tt    aplicaplicamos el m´amos el métoetodo del Opdo del Operadoerador Anuladorr Anulador,,
2626
  
para hallar la soluci´para hallar la solución particularon particular   xx p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a   f f ((tt) por () por (DD
22 + 4)+ 4)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractacter´erı́stısticaica::  mm22 + 4 = 0+ 4 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±22ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos2 = (cos2tt   ;   ; ssiinn 22tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 c cosos 22tt + + c c44 si sinn 22tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación on diferendiferencial:cial:
dd22xx
dtdt22
   ++
  11//22
11//22
dxdx
dtdt
   ++
   66
11//22
xx = 1 = 122 ccos2os2tt +  + 33 ssiinn 22tt
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución debon debe ce cumplir con umplir con (1), y (1), y asaś́ı obteı obtenemos los nemos los valores devalores de   cc33   yy   cc44::
cc33   == − −00,,6464
cc44   == − −00,,0202
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11ee
−−tt cos2cos2tt + + c c22ee
−−tt sin2sin2tt−− 00,,64cos264cos2tt−− 00,,02sin202sin2tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de  c c11 y y  c c22 hacemos uso de los datos del problema, hacemos uso de los datos del problema, x x(0) = 1(0) = 1
yy  x x (0) = 5; y obtenemos:(0) = 5; y obtenemos:
cc11  = = 11,,6464
cc22  = = 33,,3535
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) = = 11,,6464ee−−tt cos2cos2tt + 3 + 3,,3535ee−−tt sin2sin2tt
−−
00,,64cos264cos2tt
−−
00,,02sin202sin2tt
(b)(b)Grafique las soluciones transitoria y de estado estable en los mismos ejes de lasGrafique las soluciones transitoria y de estado estable en los mismos ejes de las
coordenadas.coordenadas.
La soluci´La solución transitoria eson transitoria es   xxcc((tt), entonces:), entonces:
xxcc((tt) ) = = 11,,6464ee
−−tt cos2cos2tt + 3 + 3,,3535ee−−tt sin2sin2tt
La gr´La gráfiafica ca seserŕ́ıaıa::
2727
  
La soluci´La solución de estado estable eson de estado estable es   xx p p((tt), ), entoncentonces:es:
xx p p((tt) ) ==  −−00,,64cos264cos2tt−− 00,,02sin202sin2tt
La gr´La gráfiafica ca seserŕ́ıaıa::
2828
  
(c)(c)Grafique la ecuaci´Grafique la ecuación de movimiento.on de movimiento.
La soluci´La solución corresponde a la siguiente expresi´on corresponde a la siguiente expresión:on:
xx((tt) ) = = 11,,6464ee−−tt cos2cos2tt + 3 + 3,,3535ee−−tt sin2sin2tt−− 00,,64cos264cos2tt−− 00,,02sin202sin2tt
La gr´La gráfiafica ca seserŕ́ıaıa::
31. 31. Una masa de Una masa de 1 1 sluslug, cuando se g, cuando se une a une a un resorteun resorte, , causcausa a en ´en éste un este un alaalargamrgamieniento de to de 22
pies y luego llega al punto de reposo en la posici´pies y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio. Empezando enon de equilibrio. Empezando en  t t  =  = 0,0,
una fuerza externa igual auna fuerza externa igual a   f f ((tt) = 8) = 8 ssiinn 44tt   se aplica al sistema. Encuentre la ecuaci´  se aplica al sistema. Encuentre la ecuaciónon
de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8
veces la velocidad instant´veces la velocidad instantánea.anea.
Primero hallamos el valor dePrimero hallamos el valor de  k k, teniendo, teniendo m m  como dato para eso sabemos que como dato para eso sabemos que  W  W    == mg mg,,
entoncesentonces   W W  = (1)(32). Entonces si = (1)(32). Entonces si   W W    ==   ksks, tenemos 32 =, tenemos 32 =   kk(2) por lo tanto(2) por lo tanto   kk  = 16; = 16;
y como dato del problema tenemosy como dato del problema tenemos    β β   = 8. Teniendo en cuenta esto planteamos la  = 8. Teniendo en cuenta esto planteamos la
ecuaci´ecuación on diferendiferencial:cial:
dd22xx
dtdt22
  ++    8811
dxdx
dtdt   ++
   1616
11    xx = 8 = 8 ssiinn 44tt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución complementaria:on complementaria:
xxcc((tt) ) ::
  dd22xx
dtdt22
  ++    88
11
dxdx
dtdt
  ++    1616
11
   xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractacter´erı́stısticaica::    mm22 + 8+ 8mm + 16 = 0 + 16 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−4 4 2 2 vveecceess
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S   = = ((ee−−44tt ;;    tete−−44tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11ee
−−44tt ++ c c22tete
−−44tt
2929
  
Ahora, teniendoAhora, teniendo    f f ((tt) = ) = 88 ssiinn 44tt    aplicamaplicamos os el el m´método etodo del del Operador Operador AnuAnulador, paralador, para
hallar la soluci´hallar la solución particularon particular   xx p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a   f f ((tt) por () por (DD
22 + 16)+ 16)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractacter´erı́stısticaica::  mm22 + 16 = 0+ 16 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±44ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos4 = (cos4tt   ;   ; ssiinn 44tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 c cosos 44tt + + c c44 si sinn 44tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación on diferendiferencial:cial:
dd22xx
dtdt22
   ++
  88
11
dxdx
dtdt
   ++
  1616
11
  xx = 8 = 8 ssiinn 44tt
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución debon debe ce cumplir con umplir con (1), y (1), y asaś́ı obteı obtenemos los nemos los valores devalores de   cc33   yy   cc44::
cc33  = =  −−
11
44
cc44  =  = 00
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11ee
−−44tt ++ c c22tete
−−44tt −−  11
44
 co coss 44tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de  c c11 y y  c c22 hacemos uso de los datos del problema, hacemos uso de los datos del problema, x x(0) = 0(0) = 0
yy  x x (0) = 0; y obtenemos:(0) = 0; y obtenemos:
cc11  = =
  11
44
cc
22
 =  = 11
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) ==
  11
44
ee−−44tt ++ te te−−44tt −−  11
44
 co coss 44tt
32. 32. En el Problema 31 deterEn el Problema 31 determine la ecuacimine la ecuací́on de movimiento si la fuerzaexterna eson de movimiento si la fuerza externa es  f  f ((tt) ) ==
ee−−tt sin4sin4tt. Analice el desplazamiento para. Analice el desplazamiento para   tt  →→ α α..
Del problema 31 tenemos:Del problema 31 tenemos:
dd22xx
dtdt22   ++
   88
11
dxdx
dtdt   ++
   1616
11    xx = =  e e−−
tt
sin4sin4tt    (1)(1)
3030
  
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución complementaria:on complementaria:
xxcc((tt) ) ::
  dd22xx
dtdt22
  ++    8811
dxdx
dtdt   ++
   1616
11    xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractacter´erı́stısticaica::    mm22 + 8+ 8mm + 16 = 0 + 16 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−4 4 2 2 vveecceess
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S   = = ((ee−−44tt ;;    tete−−44tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11ee
−−44tt ++ c c22tete
−−44tt
Ahora, teniendoAhora, teniendo   f f ((tt) ) ==   ee−−tt sin4sin4tt    aplicamos el aplicamos el m´método etodo del Opdel Operador Anulador, erador Anulador, parapara
hallar la soluci´hallar la solución particularon particular   xx p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a   f f ((tt) por () por (DD
22 + 2+ 2DD + 17) + 17)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractacter´erı́stısticaica::  mm22 + 2+ 2mm + 17 = 0 + 17 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−11±± 44ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos4 = (cos4tt   ;   ; ssiinn 44tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 c cosos 44tt + + c c44 si sinn 44tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación on diferendiferencial:cial:
dd22xx
dtdt22
   ++
  88
11
dydy
dxdx
  ++
  1616
11
  yy = 8 = 8 ssiinn 44tt
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución debon debe ce cumplir con umplir con (1), y (1), y asaś́ı obteı obtenemos los nemos los valores devalores de   cc33   yy   cc44::
cc33  = =  −−
11
44
cc44  =  = 00
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11ee
−−44tt ++ c c22tete
−−44tt −−  11
44
 co coss 44tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de  c c11 y y  c c22 hacemos uso de los datos del problema, hacemos uso de los datos del problema, x x(0) = 0(0) = 0
yy  x x (0) = 0; y obtenemos:(0) = 0; y obtenemos:
cc11  = =
  11
44
cc22  =  = 11
De modo que:De modo que:
3131
  
xx((tt) ) ==
  11
44
ee−−44tt ++ te te−−44tt −−  11
44
 co coss 44tt
Por tanto si :Por tanto si :tt  −−→→ α α(valor muy grande), la expresi´(valor muy grande), la expresión on quedaquedarŕ́ıa ıa redureducida cida a:a:
xx((tt) ) ==  −−1144 co coss 44tt
33. 33. CuanCuando do una masa una masa de 2 de 2 kg. se kg. se une a une a un resorte cuya constun resorte cuya constanante te es es 32 32 N/mN/m, ´, éste lle-este lle-
ga al reposo en la posici´ga al reposo en la posición de equilibrio. Comenzando enon de equilibrio. Comenzando en    tt   = 0, una fuerza igual a  = 0, una fuerza igual a
f f ((tt) = 68) = 68ee−−22tt cos4cos4tt  se aplica al sistema. Determine la ecuaci´ se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en au-on de movimiento en au-
sencia sencia de de amortiguamortiguamienamiento.to.
Primero expresamos la ecuaci´Primero expresamos la ecuación diferencial ya que tenemoson diferencial ya que tenemos   mm   = = 2,2,   kk  = 32 y = 32 y   β β    = = 00
como datos del problema:como datos del problema:
dd
22
xxdtdt22   ++    323222    xx =  = 6868ee−−22tt cos4cos4tt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución complementaria:on complementaria:
xxcc((tt) ) ::
  dd22xx
dtdt22
  ++    323222    xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractacter´erı́stısticaica::    mm22 + 16 = 0+ 16 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±44ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos4 = (cos4tt   ;   ; ssiinn 44tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11 co coss 44tt + + c c22 si sinn 44tt
Ahora, teniendoAhora, teniendo f  f ((tt) = 68) = 68ee−−22tt cos4cos4tt    aplicaplicamos el m´amos el métoetodo del Opedo del Operadorador Anulador, parr Anulador, paraa
hallar la soluci´hallar la solución particularon particular   xx p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a   f f ((tt) por () por (DD
22 + 4+ 4DD + 20) + 20)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractacter´erı́stısticaica::  mm22 + 4+ 4mm + 20 = 0 + 20 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−22±± 44ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S   = = ((ee−−22tt cos4cos4tt    ;;    ee−−22tt sin4sin4tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33ee
−−22tt cos4cos4tt + + c c44ee
−−22tt sin4sin4tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación on diferendiferencial:cial:
dd22xx
dtdt22
   ++
  3232
22
  xx =  = 6868ee−−22tt cos4cos4tt
3232
  
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución debon debe ce cumplir con umplir con (1), y (1), y asaś́ı obteı obtenemos los nemos los valores devalores de   cc33   yy   cc44::
cc33  =  = 11
cc44  = =  −−44
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11 c cosos 44tt + + c c22 s sinin 44tt + + e e
−−22tt cos4cos4tt −− 44ee−−22tt sin4sin4tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de  c c11 y y  c c22 hacemos uso de los datos del problema, hacemos uso de los datos del problema, x x(0) = 0(0) = 0
yy  x x (0) = 0; y obtenemos:(0) = 0; y obtenemos:
cc11  = =  −−11
cc22  = =
  99
22
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) ==  −−1cos41cos4tt + +
  99
22 si sinn 44tt + + e e
−−22tt
cos4cos4tt−− 44ee
−−22tt
sin4sin4tt
34. 34. En el En el ProbProblemlema a 33, escri33, escriba la ba la ecuaecuaci´ción de movimiento en la formaon de movimiento en la forma   xx((tt) ) ==   AA sin(sin(ωtωt  + +
φφ) +) + BeBe−−22tt sin(4sin(4tt ++ θθ). ¿Cu´). ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones pasado un tiempo muyal es la amplitud de las vibraciones pasado un tiempo muy
largo?largo?
Para hallarPara hallar   AA  yy  B B  utilizamos las siguientes expresiones: utilizamos las siguientes expresiones:
AA = =
  
cc1122 ++ c c2222
BB   ==
  
cc3322 ++ c c4422
EntonEntonces ces tenemos:tenemos:
AA = =
  
((−−1)1)22 + (9+ (9//2)2)22 ==
√ √ 
8585
22
BB   ==
  
1122 + (+ (−−4)4)22 ==
√ √ 
1717
Y luego para hallarY luego para hallar   φφ  yy  θ θ  usamos: usamos:
φφ = arctan = arctan
 c c11
cc22
θθ = arctan = arctan
 c c33
cc44
As´Ası́ ı tetenenemomos:s:
3333
  
φφ = =  −−00,,2222radrad
θθ = =  −−00,,2424radrad
Finalmente la expresi´Finalmente la expresión on ququededar´arı́aıa::
xx((tt) ) ==
√ √ 
8585
22
  sin(4  sin(4tt + + −−00,,2222radrad) +) +
√ √ 
1717ee−−22tt sin(4sin(4tt + + −−00,,2424radrad))
CuandoCuando   tt  →→ α α  la  la ampamplitlitud ud ser´serı́a:ıa:
AA = =
√ √ 
8585
22
  sin(  sin(−−00,,2222radrad))
35. 35. Una Una masmasaa m m  se une al extremo de un resorte cuya constante es se une al extremo de un resorte cuya constante es  k k. D. Despespu´ués es que que la la masmasaa
alcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una rectaalcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta
horizontalhorizontal L L  seg´ según la f´un la fórmulaormula h h((tt). El valor de). El valor de h h  representa la distancia en pies medida representa la distancia en pies medida
desdedesde   LL. . V´Véasease e la la figufigurara
(a)(a)Determine la ecuaci´Determine la ecuación diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve enon diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en
un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual aun medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a   β β ((dxdx
dtdt
).).
De laLey de Hooke tenemos:De la Ley de Hooke tenemos:
mm
dd22xx
dtdt22
   ==  −−kk((ss + + x x) +) + mg mg
De la condici´De la condición de equilibrio tenemos que:on de equilibrio tenemos que: mg mg−−ksks  = 0, entonces la ecuaci´ = 0, entonces la ecuación on ququededar´arı́aıa::
mm
dd22xx
dtdt22
   ==
 − −
kxkx
3434
  
Luego incluyendo la fuerza amortiguadora:Luego incluyendo la fuerza amortiguadora:
mm
dd22xx
dtdt22
   == − −kxkx −− β β dxdx
dtdt
Ahora como dato de problema tenemos que el soporte oscila verticalmente sobre la rectaAhora como dato de problema tenemos que el soporte oscila verticalmente sobre la recta
LL  en funci´ en función deon de   hh, entonces asumiremos que la oscilaci´, entonces asumiremos que la oscilación del soporte es la misma queon del soporte es la misma quela del resorte, como consecuencia de esto comparten el mismola del resorte, como consecuencia de esto comparten el mismo   kk, entonces la ecuaci´, entonces la ecuaciónon
ququeedadaŕŕıaıa::
mm
dd22xx
dtdt22
   ==  −−kxkx −− β β dxdx
dtdt
   ++ kh kh((tt))
Ahora expresandolo como ecuaci´Ahora expresandolo como ecuación on diferencdiferencial:ial:
dd22xx
dtdt22
   ++
   β β 
mm
dxdx
dtdt
   ++
   kk
mm
xx = =
   kk
mm
hh((tt))
(b)(b)Resuelva la ecuaci´Resuelva la ecuación diferencial del inciso (a) si el resorte se alarga 4 pies con unaon diferencial del inciso (a) si el resorte se alarga 4 pies con una
masa que pesa 16 libras ymasa que pesa 16 libras y   β β   = = 2 2 ,,  h h((tt) = 5) = 5 cocoss tt   ,,  xx(0) =(0) = x x(0) = 0.(0) = 0.
Al tener los datosAl tener los datos m m =  = 11//2,2, k k  =  = 4 y4 y β  β  =  = 2 reemplazam2 reemplazamos en la ecuaci´os en la ecuación obtenida en (a):on obtenida en (a):
dd22xx
dtdt22
  ++    2211//22
dxdx
dtdt   ++
   44
11//22    xx = 40cos = 40cos tt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución complementaria:on complementaria:
xxcc((tt) ) ::
  dd22xx
dtdt22
  ++    22
11//22
dxdx
dtdt
  ++    44
11//22    xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractacter´erı́stısticaica::    mm22 + 4+ 4mm + 8 = 0 + 8 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  −−22±± 22ii
Por lo tanto:Por lo tanto:
  CCFF S S 
  = = ((
ee−−
22tt cos2cos2
tt
   ;;
   ee−−
22tt sin2sin2
tt
))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11ee
−−22tt cos2cos2tt + + c c22ee
−−22tt sin2sin2tt
Ahora, teniendoAhora, teniendo    f f ((tt) = 40cos) = 40cos tt    aplicamaplicamos os el el m´método etodo del del Operador Operador AnuAnulador, paralador, para
hallar la soluci´hallar la solución particularon particular   xx p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a   f f ((tt) por () por (DD
22 + 1)+ 1)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractacter´erı́stısticaica::  mm22 + 1 = 0+ 1 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos = (cos tt   ;   ; ssiinn tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 cos cos tt + + c c44 sin sin tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación on diferendiferencial:cial:
dd
22
xx
dtdt22
   ++  2211
22
dxdx
dtdt
   ++  4411
22
xx = 40cos = 40cos tt
3535
  
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución debon debe ce cumplir umplir con (con (1), 1), y asy aś́ı oı obtenemos btenemos los los vvaloresalores
dede  cc33   yy  cc44::
cc33  ==  5656
1313
cc44  ==
  3232
1313
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11ee
−−22tt cos2cos2tt + + c c22ee
−−22tt sin2sin2tt + +
  5656
1313
 cos cos tt + +
  3232
1313
 sin sin tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de    cc11    yy    cc22   hacemos uso de los datos del  hacemos uso de los datos del
problema,problema,   xx(0) = 0 y(0) = 0 y   xx(0) = 0; y obtenemos:(0) = 0; y obtenemos:
cc11  ==  −−
5656
1313
cc22  ==  −−
7272
1313
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) ==  −−5656
1313
ee−−22tt cos2cos2tt−− 72 72
1313
ee−−22tt sin2sin2tt + +
 56 56
1313
 cos cos tt + +
  3232
1313
 sin sin tt
36. Una masa de 100 gramos se une a un resorte cuya constante es 160036. Una masa de 100 gramos se une a un resorte cuya constante es 1600
dinas/cm. Despu´dinas/cm. Después es de de que que la la masa masa alcanza el alcanza el equilibriequilibrio, o, su su apoyapoyo o oscilaoscila
seg´según la f´un la fórmulaormula    hh((tt) = sin8) = sin8tt, donde, donde    hh   representa el desplazamiento  representa el desplazamiento
desde su posici´desde su posición original.on original.
(a)(a)En En auseausencia ncia de de amoramortigutiguamieamientnto, o, detedeterminrmine e la la ecuaecuaci´ción de movi-on de movi-
miento si la masa parte del reposo desde la posici´miento si la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio.on de equilibrio.
Primero hacemos la Primero hacemos la transformtransformaci´ación respectiva 1600on respectiva 1600dinas/cmdinas/cm =  = 11,,66N/mN/myy
luego expresamos la ecuaci´luego expresamos la ecuación diferencial ya que tenemoson diferencial ya que tenemos   mm   = = 00,,1,1,   kk   ==
11,,6 6 yy  β β  = 0 como datos del problema: = 0 como datos del problema:
3636
  
dd22xx
dtdt22
  ++    11,,6600,,11    xx = s = siinn 88tt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución on complemencomplementaria:taria:
xxcc((tt) ) ::    dd22xxdtdt22   ++    11,,6600,,11    xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractactereŕ́ısıstictica:a:    mm22 + 16 = 0+ 16 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±44ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos4 = (cos4tt   ;   ; ssiinn 44tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11 c cooss 44tt + + c c22 s sinin 44tt
Ahora, teniendoAhora, teniendo   f f ((tt) = si) = sinn 88tt    aplicamos aplicamos el el m´método etodo del Odel Operador perador Anu-Anu-
lador, para hallar la soluci´lador, para hallar la solución particularon particular x x p p((tt) , entonces multiplicamos a) , entonces multiplicamos a
f f ((tt) por () por (DD22 + 64)+ 64)
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractactereŕ́ıstısticaica::  mm22 + 64 = 0+ 64 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±88ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos8 = (cos8tt   ;   ; ssiinn 88tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 c cooss 88tt + + c c44 si sinn 88tt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación diferencialon diferencial
   dd22xx
dtdt22
   ++
11,,66
00,,11yy = s = siinn 88tt
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución on debe debe cumplir cumplir con con (1), (1), y y asaś́ı ı los los valores devalores de c c33 y y  c c44::
cc33  = = 00
cc44 = =  −−
11
33
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11 co coss 44tt + + c c22 si sinn 44tt−−
 1 1
33
 si sinn 88tt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de    cc11    yy    cc22   hacemos uso de los datos del  hacemos uso de los datos del
problema,problema,   xx(0) = 0 y(0) = 0 y   xx(0) = 0; y obtenemos:(0) = 0; y obtenemos:
3737
  
cc11  = = 00
cc22 = =  −−
22
33
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) ==  −−22
33
 si sinn 44tt−− 1 1
33
 s siinn 88tt
(b)(b)¿En ¿En qu´qué e instaninstantes tes la la masa masa pasa pasa por por la la posici´posición de equilibrio?on de equilibrio?
De la gr´De la gráfica tenemos afica tenemos que que la la masa masa pasa pasa por por la la posici´posición on de de equilibrequilibrio io enen
los instanteslos instantes   tt = =    nn44ππ  para para  nn =  = 00,, 11,, 22,, 33,, 44......
3838
  
(c)(c)¿En qu´¿En qué tie tiempos empos la mla masa aasa alcanza lcanza sus sus desplazamientosdesplazamientos extremos?extremos?
En la gr´En la gráfica observamos la expresi´afica observamos la expresión de la ecuaci´on de la ecuación de movimiento coloron de movimiento color
morado y su correspodiente derivada color negro, teniendo en cuenta demorado y su correspodiente derivada color negro, teniendo en cuenta de
que la derivada de una funci´que la derivada de una función en el punto cero es m´on en el punto cero es máxiaxima ma o o mḿ́ıniınima,ma,
entonces la gr´entonces la gráfica nos muestra los desplazamientos extremos ubicadosafica nos muestra los desplazamientos extremos ubicados
en los puntos:en los puntos:   tt =  = ((11
66
))ππ  para para  nn   N  N con excepci´con excepción de los m´on de los múltiplos de 3.ultiplos de 3.
(d)(d)¿Cu´¿Cuáles son los desplazamientos m´ales son los desplazamientos máxaximimo o y y mm´́ınınimimo?o?
Usamos el valor anterior deUsamos el valor anterior de    tt  y reemplazamos en la ecuaci´ y reemplazamos en la ecuación de movi-on de movi-
miento:miento:
xx((
ππ
66
) ) ==  −−22
33
 si sinn 4(4(
ππ
66
))−− 1 1
33
 si sinn 8(8(
ππ
66
))
y obtenemos quey obtenemos que
xxmm´́axax  = = 00,,866866
(e)(e)Grafique la ecuaci´Grafique la ecuación de movimiento.on de movimiento.
3939
  
37. Resuelva el problema de valores iniciales37. Resuelva el problema de valores iniciales
dd22xx
dtdt22
   + 4+ 4xx = =  −−5sin25sin2tt +  + 33 ccooss 22tt,,   xx(0) =(0) =  −−1,1,  xx(0) = 1(0) = 1
Este tipo de problemas no tienen soluci´Este tipo de problemas no tienen solución on usando usando el el m´método etodo de de coefi-coefi-
ciencientes tes indetermiindeterminados; nados; pero pero se se pueden pueden resolvresolver er medianmediante te el el m´método etodo dede
variaci´variación de par´on de parámetros.ametros.
De igual forma hallamos primero la soluci´De igual forma hallamos primero la solución complementariaon complementaria  xxcc((tt):):
dd22xx
dtdt22
   + 4+ 4xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractactereŕ́ısıstictica:a:    mm22 + 4 = 0+ 4 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±22ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos2 = (cos2tt   ;   ; ssiinn 22tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == u u11((tt)cos2)cos2tt + + u u22((tt)sin2)sin2tt
Definimos el wronskiano del CFS:Definimos el wronskiano del CFS:
W W    ==




cos2cos2tt   sin2  sin2tt
−−2sin22sin2tt   2cos2  2cos2tt




= 2= 2 ccooss22 22tt + 2 + 2 sisinn22 22tt = 2(1) = 2 = 2(1) = 2
Ahora las expresionesAhora las expresiones   uu11((tt) ) yy  uu22((tt) se obtienen de la siguiente forma:) se obtienen de la siguiente forma:
uu11((tt) ) ==
  
0 0 ssiinn 22tt
−−5sin25sin2tt +  + 33 ccooss 22tt   2cos2  2cos2tt 
W W 
   dtdt
uu22((tt) ) ==
  




cos2cos2tt    00
−−2sin22sin2tt    −−5sin25sin2tt + 3 + 3 ccooss 22tt




W W 
   dtdt
Entonces obtenemos los valores deEntonces obtenemos los valores de  uu11((tt) ) yy  uu22((tt):):
uu11((tt) ) ==
  55
44tt + +
   55
1616 si sinn 44tt + +
   33
1616 c cooss 44tt
4040
  
uu22((tt) ) ==
  33
44
tt + +
   11
1616
 si sinn 44tt + +
   55
1616
 c cooss 44tt
Entonces Entonces la la soluci´solución on de de la la ecuaci´ecuación diferencial es:on diferencial es:
xx((tt) ) = = ((
55
44
tt + +
   55
1616
 si sinn 44tt + +
   33
1616
 c cooss 44tt)cos2)cos2tt+(+(
33
44
tt++
  11
1616
 si sinn 44tt++
  55
1616
 c cooss 44tt)sin2)sin2tt
38. Resuelva el problema de valores iniciales38. Resuelva el problema de valores iniciales
dd22xx
dtdt22
   + 9+ 9xx = 5 = 5 ssiinn 33tt,,   xx(0) = 2,(0) = 2,  xx(0) = 0(0) = 0
Hallamos primero la soluci´Hallamos primero la solución complementariaon complementaria  xxcc((tt):):
dd22xx
dtdt
22
   + 9+ 9xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractactereŕ́ısıstictica:a:    mm22 + 9 = 0+ 9 = 0
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±33ii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos3 = (cos3tt   ;   ; ssiinn 33tt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == u u11((tt)cos3)cos3tt + + u u22((tt)sin3)sin3tt
Definimos el wronskiano del CFS:Definimos el wronskiano del CFS:
W W    ==

cos3cos3tt   sin3  sin3tt
−−
3sin23sin2tt   3cos3  3cos3tt

= 3= 3 ccooss22 33tt + 3 + 3 sisinn22 33tt = 3(1) = 3 = 3(1) = 3
Ahora las expresionesAhora las expresiones   uu11((tt) ) yy  uu22((tt) se obtienen de la siguiente forma:) se obtienen de la siguiente forma:
uu11((tt) ) ==
  




0 0 ssiinn 33tt
5sin35sin3tt   3cos3  3cos3tt




W W 
   dtdt
uu22((tt) ) ==
  
cos3cos3tt    00
−−3sin33sin3tt   5sin3  5sin3tt 
W W 
   dtdt
4141
  
Entonces obtenemos los valores deEntonces obtenemos los valores de  uu11((tt) ) yy  uu22((tt):):
uu11((tt) ) ==  −−
55
66tt + +
   55
3636 si sinn 66tt
uu22((tt) ) ==  −−
  55
3636
 c cooss 66tt
Entonces Entonces la la soluci´solución on de de la la ecuaci´ecuación diferencial es:on diferencial es:
xx((tt) ) = = ((−−55
66
tt + +
   55
3636
 si sinn 66tt)cos3)cos3tt + ( + (−−  55
3636
 c cooss 66tt)sin3)sin3tt
39. (a) Muestre que la soluci´39. (a) Muestre que la solución del problema de valores inicialeson del problema de valores iniciales
dd22xx
dtdt22
   ++ ω ω22xx = =  F  F 00 cos cos γγtt,,  xx(0) = 0,(0) = 0,   xx
(0) = 0(0) = 0
eses    xx((tt) ) ==    F F 00
ωω22−−γ γ 22 (cos(cos γγtt −− coscos ωtωt))
Primero expresamos la ecuaci´Primero expresamos la ecuación diferencial del problema:on diferencial del problema:
dd22xx
dtdt22
  ++ ω ω22 xx  == F  F 00 cos cos γγtt    (1)(1)
Entonces hallamos primero la soluci´Entonces hallamos primero la solución on complemencomplementaria:taria:
xxcc((tt) ) ::
   dd22xx
dtdt22
  ++ ω ω22 xx =  = 00
Ec. Ec. carcaractactereŕ́ısıstictica:a:    mm22 ++ ω ω22 = = 00
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±ωiωi
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos = (cos ωtωt   ;   ; ssiinn ωtωt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xxcc((tt) ) == c c11 cos cos ωtωt + + c c22 sin sin ωtωt
Ahora, teniendoAhora, teniendo    f f ((tt) ) ==    F F 00 cos cos γγtt    aplicamos el aplicamos el m´método etodo del del OperadorOperador
Anulador, para hallar la soluci´Anulador, para hallar la solución particularon particular  xx p p((tt) , entonces multiplica-) , entonces multiplica-mos amos a   f f ((tt) por () por (DD22 ++ γ  γ 22))
4242
  
Entonces tenemos nuevamente la ecuaci´Entonces tenemos nuevamente la ecuación on carcaractactereŕ́ıstısticaica::  mm22 ++ γ  γ 22 = = 00
Hallamos valor deHallamos valor de   mm::    mm = =  ±±γγii
Por lo tanto:Por lo tanto:   CCFF S S  = (cos = (cos γγtt   ;   ; ssiinn γγtt))
AsAś́ı ı tentenemoemos s queque::  xx p p((tt) ) == c c33 cos cos γγtt + + c c44 sin sin γγtt
Ahora sabemos queAhora sabemos que   xx p p((tt); es soluci´); es solución de la ecuaci´on de la ecuación diferencialon diferencial
   dd22xx
dtdt22
   ++
ωω22xx = =  F  F 00 cos cos γγtt
Por tanto esta soluci´Por tanto esta solución on debe debe cumplir cumplir con con (1), (1), y y asaś́ı ı los los valores devalores de c c33 y y  c c44::
cc33  ==
   F F 00
ωω22 −− γ γ 22
cc44  = = 00
Sabemos queSabemos que   xx((tt) ) == x xcc((tt) +) + x x p p((tt) por tanto:) por tanto:
xx((tt) ) == c c11 cos cos ωtωt + + c c22 sin sin−−
   F F 00
ωω22 −− γ γ 22 cos cos γγtt
Luego para hallar los valores deLuego para hallar los valores de    cc11    yy    cc22   hacemos uso de los datos del  hacemos uso de los datos del
problema,problema,   xx(0) = 0 y(0) = 0 y   xx(0) = 0; y obtenemos:(0) = 0; y obtenemos:
cc11 = =  −−
   F F 00
ωω22 −− γ γ 22
cc22  = = 00
De modo que:De modo que:
xx((tt) ) ==
   F F 00
ωω22 −− γ γ 22 (cos(cos γγtt −− coscos ωtωt))
(b) Eval´(b) Evalúue e ĺĺıımm
γ γ →→ωω
F F 00
ωω22 −− γ γ 22 (cos(cos γγtt −− coscos ωtωt).).
Al Al evaluar este evaluar este lĺ́ımite ımite tenemos tenemos en en cuenta lo cuenta lo siguiente:siguiente: