APRENDIZAJE AUTONOMO SEMANA 6_201802

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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS 
CÁLCULO 2 
APRENDIZAJE AUTONOMO 
SEMANA 6 
 
Tema: INTEGRAL CURVILINEA EN UN CAMPO ESCALAR 
 
MOTIVACIÓN 
En este MTI, se definirá la integral curvilínea que es similar a la integral simple pero con la diferencia 
que de que en vez de integrar sobre un intervalo  ba; se integrará sobre una curva C . 
Las integrales de línea se presentan al estudiar el trabajo, la energía potencial, el flujo de calor, el cambio 
en la entropía, la circulación de un fluido, y otros tópicos que involucran el comportamiento de un campo 
escalar o vectorial a lo largo de una curva. 
 
CURVAS REGULARES 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL CURVILÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR 
 
Definición Si f está definida sobre una curva C dada en forma paramétrica como  t , tal que  bat ; 
entonces la integral curvilínea de f sobre C se define como: 
 
 
 
 
        
C
b
a
dtttfdsyxf ; 
Una función vectorial )(t de una variable se llama 
suave, regular o uniforme en un intervalo  baI ; 
si )(t es continua y no nula en I . Por ejemplo, la 
semicircunferencia    senttt ;cos tal que 
  ;0t es una curva regular pues 
   tsentt cos; es continua en   ;0t . 
 
Si consideramos a       tytxt ; entonces la fórmula anterior se puede expresar como 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretación de la integral curvilínea 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
Evalúe la integral curvilínea 
C
xyds si tytxC 2;: 2  tal que 10  t 
 
Resolución 
De la fórmula anterior expresamos la integral de la siguiente manera: 
 
   












1
0
22
2 2 dt
dt
dy
dt
dx
ttxyds
C
 
 
1
3 2
0
2 4 4t t dt  
 
1
3 2
0
4 1t t dt  
 
1,29
C
xyds  
 
        












C
b
a
dt
dt
dy
dt
dx
tytxfdsyxf
22
;; 
Se puede interpretar la integral de línea de 
una función positiva como un área, por 
ejemplo, de la figura, la 
representa el área de la cerca cuya base es 
 y cuya altura es . 
 
Ejemplo 2 
Evalúe la integral curvilínea   
C
dszyx si tztytsenxC  ;cos;: tal que  20 t 
 
Resolución 
 
De la fórmula anterior considerando tres variables expresamos la integral de la siguiente manera: 
 
    




















2
0
222
cos dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
tttsendszyx
C
 
 
   
2
22
0
cos cos 1sent t t t sent dt

      
 
 
 
2
0
cos 2sent t t dt

   
 
 
 
2
0
2 cossent t t dt

   
 
 
2
2
0
2 cos
2
t
t sent

 
    
 
 
 
  27,915
C
x y z ds    
 
 
 
Ejemplo 3 
Evalúe la integral curvilínea 2(4 )
C
x y ds , donde C es la mitad superior del círculo unitario
2 2 1x y  . 
 
Resolución 
2 2: 1C x y  ahora parametrizando la curva: 
cos
: ; 0
sen
x t
C t
y t

  

 
 
 
De la fórmula anterior expresamos la integral de la 
siguiente manera: 
 
 
2 2
2 2
0
(4 ) (4 cos sen )
C
dx dy
x y ds t t dt
dt dt

   
      
   
  
 Derivando las ecuaciones paramétricas: sen ; cos
dx dy
t t
dt dt
   
 
2 2 2 2
0
(4 ) (4 cos sen ) ( sen ) (cos )
C
x y ds t t t t dt

      
 
3
2
0 0
cos
(4 cos sen ) 4
3
t
t t dt t

 
    
 
 
 
2 2(4 ) 4
3
C
x y ds    
 
 
 
INTEGRAL CURVILINEA SOBRE UNA CURVA REGULAR POR TRAMOS 
 
 Sea C una curva regular por tramos es decir, aquella que 
 resulta de la unión de una cantidad finita de curvas 
 regulares nCCCC ....;;; 321 , entonces se define la integral 
 de f a lo largo de C como la suma de las integrales de 
 f a lo largo de cada una de las partes de C , es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo de una curva 
regular por tramos 
 
Ejemplo 4 
Calcule la integral curvilínea  
C
dsyx 2 , siendo C el cuadrado delimitado por los ejes 
coordenados y las rectas 1;1  yx . Considere que el sentido de la curva es antihorario. 
 
Resolución 
Gráficamente tenemos la curva 
 
 A partir de ella tenemos las respectivas parametrizaciones 
 
  1 1: ( ) ;0 ; 0 1 ; 0C r t t t x t y      
  2 2: ( ) 1; ; 0 1 1;C r t t t x y t      
  3 3: ( ) 1 ;1 ; 0 1 1 ; 1C r t t t x t y        
  4 4: ( ) 0;1 ; 0 1 0; 1C r t t t x y t        
 
Entonces 
           
4321
22222
CCCCC
dsyxdsyxdsyxdsyxdsyx , reemplazando 
 
             
1 1 1 1
22 2 2
0 0 0 0
0 1 1 1 0 1t dt t dt t dt t dt         
 
1 1
0 0
2 3
    
 
 2
5
6
C
x y ds  
 
 
CÁLCULO DE LA MASA 
Consideramos los resortes y alambres como masas distribuidas a lo largo de curvas suaves en el espacio. 
La distribución se describe mediante una función de densidad continua  zyx ;; que representa la masa 
por unidad de longitud. Luego, la masa del alambre o resorte se calcula como: 
 
 
 
 
 
          


















C
b
a
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
tztytxdszyxM
222
;;;; 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 5 
Determine la masa de un alambre descrito por la curva    tsenttt ;;cos entre 0t y 
 2t , si la densidad es   222;; zyxzyx  . 
 
Resolución 
De la curva    tsenttt ;;cos se tiene que tzsentytx  ;;cos , luego de la fórmula 
 
        dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
tztytxM
b
a
222
;; 

















  
 
 
 
 
       
2
2 2 22 2 2
0
cos cos 1t sen t t sent t dt

      
 
 
 
2
2
0
1 2t dt

  
 
125.82M  
 
 
 
 
CÁLCULO DEL CENTRO DE MASA 
 
Sea M la masa de un alambre de densidad  zyx ;; entonces las coordenadas de su centro de masa se calculan 
como: 
 
 
 
 
 
 
donde M es la masa del alambre. 
 
     
M
dszyxz
z
M
dszyxy
y
M
dszyxx
x CCC


;;
;
;;
;
;; 
 
 
Ejemplo 6 
Del ejercicio anterior, determine su centro de masa. 
 
Resolución 
Del ejercicio anterior se obtuvo que 82,125M entonces para su centro de masa tenemos: 
    
14,0
82,125
21cos
82,125
;;
2
0
2





 dtttdszyxx
x C 
 
    
44,0
82,125
21
82,125
;;
2
0
2





 dttsentdszyxy
y C 
 
    
60,4
82,125
21
82,125
;;
2
0
2





 dtttdszyxy
z C 
 
 Luego, el centro de masa está dado por    6,4;08,0;1,0;; zyx 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Evalúe la integral curvilínea   
C
dsx 1 si sentytxC  ;cos: tal que  20 t . 
2. Evalúe 
C
dsx)2( si C está formado por el segmento vertical de recta de  1;1 a  3;1 . 
3. Un alambre delgado tiene la forma de la parte de la circunferencia del primer cuadrante con centro en elorigen y radio 1. Si la función de densidad es   xyyx  ; , determine la masa y el centro de masa del alambre. 
4. Calcule la integral curvilínea 
C
dsyx )( 2 , siendo C el triángulo determinado por los ejes coordenados y la 
recta 2 yx . Considere que el sentido de la curva es antihorario. 
 
5. Calcule el área (en centímetros cuadrados) de una cerca cuya base es la curva 20,: 3  xxyC y 
su altura en cada punto );( yx de la curva está determinada por yxyxh 
3);( 
 
 
 
Respuestas 
1. 2 . 
 
2. 4. 
3. Masa =
2
1
; Centro de masa = 





3
2
;
3
2
 
4. -1,89 
 
5. 64,63 2u