Clase 4 Regla de Tres

Vista previa del material en texto

Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
MATEMATICA 
3. RAZONES Y PROPORCIONES 
Razón​: es el resultado de comparar dos cantidades. La razón puede ser: 
 
 
Proporción: ​es la igualdad de dos razones. 
Proporción aritmética o equidiferencia​: es la igualdad de dos razones 
aritméticas. 
medios 
consecuentes 
Ejemplo: 
12 – 
9 = 6 – 3 
antecedentes ​os 
12 – 
9 = 6 – 3 
extremos ​os 
-Propiedad fundamental​: ​“En toda proporción aritmética, la suma de los medios es 
igual a la suma de los extremos” ​Ejemplo: ​7 ​−​3 ​= ​9​−​5​→​7 ​+​5 ​= ​9​+​3  
-Media diferencial o media aritmética: es cuando los términos medios de la ​a b 
b c b b a c b​+ 
− = − ⇒ + = + 
⇒ = 
a c  
Razón aritmética o por 
diferencia​: ​a ​−​b 
Razón geométrica o por 
cociente: ​a ​÷​b​; ​a ​:​b​;​b​a 
Ejemplos:​7 ​−​3​; ​11​− ​2​; ​15​−​6  Ejemplos:​12 ​÷ ​4​; ​22 :11​; ​3​9 
proporción son iguales. ​
2  
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 1 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
10 2 ​+ 
12  
Ejemplo: ​6 10 2 ​= = 
−​b ​= ​b ​− 
⇒​b ​= 2  
2  
Proporciones del cuerpo humano 
Proporción Geométrica​: es la igualdad de dos razones 
geométricas​. 
Ejemplo: - 
consecuentes 
12 : 4 
: : 9 : 3 
antecedentes ​os 
medios 
12 : 4 : : 
9 : 3 ​3 
extremos ​os 
-Propiedad fundamental​: ​“En toda proporción geométrica, el producto de los 
medios es igual al producto de los extremos” ​Ejemplo: ​15 ​÷​5 ​= ​9 ​÷​3​→​15​×​3 ​=         
9​×​5  
-​Media proporcional o media geométrica​: es cuando los términos medios de 
la proporción son iguales. ​a ​÷​b ​= ​b ​÷ ​c ​⇒ ​b​×​b ​= ​a​×​c ​⇒ ​b ​= ​a​×​c  
2  
Ejemplo: ​12 3 12 3 12 3 6  
÷​b ​= ​b ​÷ ⇒​b ​= × ⇒​b ​= × = 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 2 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
Magnitudes proporcionales 
-Magnitud​: propiedad de los cuerpos que puede ser medida, como el tamaño, 
el peso o la extensión. 
Existen magnitudes que dependen unas de otras. Algunas magnitudes son 
directamente. proporcionales(cuando el cociente entre ellas es una constante: 
m​) y son inversamente proporcionales (si el producto de ellas es una 
n  
= ​k​, ​n 
≠ ​0  
constante: ​m​×​n ​= ​k​)Por ejemplo: el precio de la banana depende de la cantidad   
que se compra; la cocción de la carne depende del tiempo que se coloca en el 
horno; el tiempo que tarde una persona en conducir de Luque a San Lorenzo 
depende de la velocidad con que conduzca. 
 
 
Regla de tres simple 
Cuando se desconoce uno de los términos de las magnitudes que forman la 
Directamente proporcionales Inversamente proporcionales 
-Peso(kg) y el precio(Guaraníes) 
-Longitud de un conductor 
eléctrico(metros) y su 
precio(Guaraníes) 
-Velocidad(m/s) y el tiempo 
(segundos) 
-Número de baldosas para un salón 
y el tamaño de las baldosas. 
proporción geométrica, se plantea la Regla de Tres Simple. Puede ser directa o 
inversa, dependiendo de si las magnitudes son directa o inversamente 
proporcionales. 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 3 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
Regla de Tres Simple Directa 
En un mapa cada 3cm representan 200km de la realidad. ¿Cuántos km habrá 
entre dos lugares si en el mapa hay 1,2cm de ellos? 
Como la relación entre las longitudes en cm y km es directa, las flechas tienen 
el mismo sentido 
+ + 
3 200
   
cm km ​⎯→ 
Utilizando la proporción 
− − 
3 :1,2 :: 200 :  
x  
1,2  
cm x km ​⎯→ 
3 1,2 200  
× = × 
x  
1,2 200  
× 
x km  
= 
= 
80  
3  
Regla práctica 
200 1,2​= 
km cm  
× 
x ​80  
= 
3   cm  
km  
Regla de tres simples inversa 
Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 6 horas 
diarias. ¿En cuántos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas 
diarias? 
− + 
6 / 20
   
hs dia dias ​⎯→ 
Utilizando la proporción 
+ − 
8 /  
hs dia x días 
⎯→ 
8 : 6 :: 20 :  
x  
Regla práctica 
8 6 20  
× = × 
x  
6 20  
× 
x días  
= 
= 
15  
8  
20 6 /​= 
días hs día  
× 
x ​15  
= 
8 /  
hs día  
Proble
mas 
días  
1. Con cierta cantidad de dinero se pueden comprar 18 balones de Gs. 50 
000 cada uno. Si se aumenta el precio de cada balón a Gs. 75 000, 
cuántos balones se pueden comprar con el mismo dinero?R​:12 balones. 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 4 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
2. Si un obrero tiene un salario Gs. 500 000 por 10 días. ¿Cuál es el salario 
total en dos meses, si se descuentan 6 días durante los cuales no asistió 
a su trabajo? ​R:2.700.000 
3. El corazón de un hombre adulto bombea 15 litros de sangre en 3 minutos. 
¿En cuántas horas bombea 1 200 litros? ​R: 4 hs. 
4. Una persona tiene concentrado (comida) para 30 cerdos que le duran 12 
días. Si quiere que el concentrado le dure 3 días más, ¿cuántos cerdos 
debe vender? ​R: 6 cerdos​. 
5. Un automóvil recorre 180km en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en 
recorrer 300km? ​R: 5 horas. 
6. Un cuartel con 600 soldados tiene provisiones para 20 días. ¿Si el 
número de soldados disminuye a 400, cuánto tiempo durarán las 
provisiones? ​R: 30días. 
7. Los ​
4​3​de la capacidad de un depósito son 30 litros. ¿ Cuál será la 
capacidad de los ​
8​7​del mismo depósito? ​R: 35 litros. 
8. Un grupo de obreros emplea 12 días, trabajando 4 horas diarias, para 
efectuar una obra. ¿Si hubieran trabajado 6 horas cada día, cuántos días 
hubieran tardado en terminar la obra? ​R: 8 días. 
9. Dos números están en relación de 5 a 3. Si el mayor es 655, ¿cuál es el 
número. ​R: 393 
REGLA DE TRES COMPUESTA 
La ​regla de tres compuesta ​se emplea cuando se relacionan ​tres ​o más 
magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las 
magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una ​regla de tres 
compuesta ​se compone de varias ​reglas de tres ​simples aplicadas 
sucesivamente. 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 5 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
Ejemplo: ¿Si 5 hombres trabajando 6horas diarias han abierto una zanja de 
40 metros en 8 días, cuántos días necesitarán 9 hombres trabajando 8 
horas diarias para abrir una zanja de 60 metros? 
5hom. 6 / 40 8  
h d m d  
9hom. 8 / 60  
h d m xd  
5 8 6 60  
× × × 
x días  
= 
9 8 40 
× × 
= 
5  
Problemas 
1. ​Se emplean 14 hombres en hacer 45m de una obra, trabajandodurante 
20 días. Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 
16m de la misma obra, habiendo en esta obra triple de dificultad que en 
la anterior. ​R=​dias ​3​2 ​42  
2. ​50 hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. 
Si la raciones se disminuyen de 1/3 y aumentan 10 hombres, cuántos 
días durarán los víveres? ​R: 25 días 
3. ​Un grupo de 8 obreros se compromete a terminar una obra en 10 días. Al 
cabo de 5 días sólo han efectuado ​
5​2​de la obra. ¿Cuántos obreros más
 
 
se necesitarán para acabar en el tiempo fijado? ​R: 4 obreros más. 
4. ​Un grupo de 8 obreros tarda 12 días en abrir una zanja de 8m de largo, 
3m de ancho y 2m de profundidad, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas 
horas diarias deberá trabajar otro grupo de 12 obreros para abrir en 8 
días otra zanja de 5m de largo, 4m de ancho y 3m de profundidad? 
 ​R: 10h/d 
5. ​En una plaza, un sector de 25m de largo y 4 m de ancho esta 
pavimentada con 16.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarán 
para pavimentar otro sector de 30m de largo y 5m de ancho? ​R:24.000 
adoq​. 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 6 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
6. ​Un obrero emplea 9 días de 6 horas en hacer 270 m de una obra. 
¿Cuántas horas deberá trabajar ese obrero para hacer otra obra de 300 
m si la dificultad de la primera obra y de la segunda están en relación 3 
a 4? ​R: 80 h. 
8. En un viaje una persona recorre en auto 3.840 km a una velocidad de 
8okm por hora, viajando 6 horas diarias durante 8 días. ¿Cuántas horas 
diarias deberá viajar para recorrer 3.000 km llevando una velocidad de 
100k por hora en 6 días? ​R: 5h/d 
9. Una cuadrilla de 16 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta 
obra. Al cabo de 9 días solo han hecho los 3/7 de la obra. ¿Con cuántos 
hombres tendrían que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo 
fijado? ​R: 21 homb​. 
Tanto por ciento 
Significa un entero dividido entre 100. 
 
El símbolo utilizado es %. 
El tanto por ciento tiene relación con las fracciones: 
1​= →​; ​0,75 75%  
1​= →​; ​0,5 50%   3​= → ​. 
4  
0,25 
25%  
2   4  
Ejemplos: 
1. ​Halla el 10% de 12.540​2. ​Qué porcentaje es 15 de 80?​ ​80 100%  
⎯→ 
15 %  
⎯→ ​x  
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 7 ​
15 100%​= = 
x ​= 
× 80  
75 4  
% 
18,75%  
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
12.540 100% 
⎯→ 
x   ⎯→ 10%  
x ​= 
12.540 
10%​= 
× 
100%  
1.254  
3.De qué número es 36 el 20%? 
4. ​De qué número es 780 el 25% 
menos? 
x ​⎯→ 100%  
 ​
36 20% ​⎯→ x ​⎯→ 100%  
36 100%​= × 
780 75%  
⎯→ 
780 100%​= = 
× 
75  
 ​180  
x ​= 
20%  
x ​= 
75  
% 1.040 4  
5.De qué número es 1.215 el 35% más? 
x ​⎯→​
 ​900  
100%  
 ​
1.215 135% ​⎯→ 
x ​= 
1.215 100%​= 
× 
135%  
Ejercicios y problemas 
1. Halla el tanto por ciento de un número 
a) 35 % de 180 R=63 b) 56 % de 3000 R=1 680 c) 4 ½ % de 
150 R= 6,75 
2. Halla el número conociendo el tanto por ciento 
¿De qué número es 
a)60 el 90% ? R= 66 ⅔ b) 420 el 36 %? R=1166⅔ c) 16 el ¼ 
%? R= 6 400 
3. ​Dados dos números, averiguar qué tanto por ciento es uno del otro 
¿Qué % de 
a) 1 950 es 156? R=8 % 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 8 
Misión: ​Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
b) 1 250 es 75? R= 6% c) 36 es 0,06? R=0,16 % 
4. ​De qué número es 
a) 345 el 15% más? R:300 b) 645 el 25% más? R:516 c) 91 el 
35% menos? R: 140 d) 920 el 54% menos? R:2.000 5. ​Resuelve los 
problemas 
a. De 2 000 estudiantes de secundaria 800 son mayores de 15 años. 
¿Qué porcentaje es mayor de 15 años? 
R:40% 
b. Un examen de matemáticas fue reprobado por 25 de los 40 
estudiantes de un grupo. ¿Qué porcentaje aprobó el examen? ​R: 37,5% 
c. Un padre de familia paga Gs. 600 000 por concepto de alquiler. Si su 
salario mensual es de Gs. 2 400 000, ¿qué porcentaje de su salario 
dedica mensualmente al pago de vivienda? 
 ​R:25% 
d. En una ciudad de 1 500 000 habitantes el 12% lee determinado 
periódico. ¿Cuál es el número de lectores? 
 ​R:180.000 
e. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué 
porcentaje de alumnos han quedado? 
 ​R:25% 
f. Un ganadero vendió el 36% de sus reses, y quedó con 1.600 
animales. ¿Cuántas reses tenía? ​R: 2.500 reses 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 9