Números Reales II_version_4 de enero

Vista previa del material en texto

Fundamentos de Matemática - 2020B
Capítulo 3: Números Reales II
Preparado por:
la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN
Índice general
1 Expresiones algebraicas 3
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Términos y factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 La “descomposición en factores” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Tema 25
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Resolver una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ecuación con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Inecuaciones 59
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Inecuación con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Números complejos 84
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Raíz cuadrada y la ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1
Capítulo 1
Expresiones algebraicas
1.1 Introducción
En este capítulo, vamos a utilizar la teoría Números reales para estudiar herramien-
tas básicas de la Matemática que se utilizan en la “cotidianidad” de las aplicaciones,
tanto en las ingenierías como en la matemática misma. Estas herramientas se cono-
cen como algebraicas por su origen, pero no son más que teoremas provistos por la
teoría sobre los números reales que hemos venido estudiando en este curso. Esta es
la idea más importante que hay que tener en mente: estas herramientas algebraicas
se explican de manera completa mediante los números reales.
Con el fin de aprender la teoría de números reales, fuimos bastante estrictos
con la notación utilizada, a pesar de que en el uso frecuente nos tomamos ciertas
libertades que aligeran la comunicación de los razonamientos, la solución de los
problemas, pero que no comprometen la corrección de argumentos y soluciones.
Esto se logra porque, al introducir los denominados “abusos de notación”, quedan
siempre claro el significado de estos y los axiomas o teoremas que “validan” la
notación adoptada. A partir de este capítulo, haremos un uso frecuente de estos
“abusos”, pero sugerimos a las lectoras y lectores que, ante la presencia de estos
“abusos”, se identifiquen los axiomas o teoremas que los fundamentan.
Otra característica de este capítulo (y de los que seguirán) es la omisión fre-
cuente, en las justificaciones de las proposiciones que se deducirán, la mención a
varios axiomas y teoremas de los números reales. La mayoría de estas omisiones
tienen que ver con las propiedades conmutativa, asociativa, sustitución, transitivas, en-
tre otras. Una razón para ello es el hecho de que su uso permanente en esta primera
etapa de aprendizaje nos ha permitido tomar conciencia de que, si alguna de ellas
no estuviera presente en las teorías que estudiamos, muchos de los resultados que
nos resultan familiares (y que utilizamos todo el tiempo) no estarían disponibles,
no tendríamos la Matemática que requerimos.
Otra razón consiste en que, una vez asimiladas las propiedades fundamentales
de lo números reales, nos vamos a enfocar con mayor esfuerzo en los conceptos
nuevos. Por ello, en las mencionadas justificaciones deberán estar siempre presen-
3
tes teoremas sobre los nuevos conceptos; con ello, los interiorizaremos y formarán
parte de nuestro conocimiento, junto con las propiedades fundamentales que ya
hemos aprendido. Exceptuaremos lo anterior cuando el uso de una de las propie-
dades fundamentales sea crucial o no dé luces en los argumentos.
Para empezar, la primera notación que dejaremos de utilizar será el punto para
el producto; así, en lugar de escribir
a · b,
escribiremos
ab
(siempre que no se preste a confusión la omisión del punto).
La segunda notación que dejaremos de utilizar son varios de los paréntesis
cuando hay varias sumas o multiplicaciones. Por ejemplo, escribiremos
a + b + c + d y abcde
en lugar de
((a + b) + c) + d y (((ab)c)d)e,
respectivamente.
La tercera notación, y la última por ahora, consiste en que, en lugar de las dos
proposiciones
a < b y b < c,
escribiremos
a < b < c.
Notemos que esta última expresión encierra también una tercera proposición:
a < c,
por la transitiva de la relación menor que. Una notación similar será utilizada tam-
bién con las relaciones mayor que, menor o igual que y mayor o igual que.
A continuación, vamos a deducir varios teoremas sobre números reales que se
deducen, principalmente, de los axiomas de cuerpo y que son de uso frecuente
en la matemática “cotidiana”: en el planteamiento y resolución de ecuaciones e
inecuaciones. Mostraremos algunas de las deducciones de estos teoremas; las res-
tantes quedan como ejercicios para las lectoras y los lectores y, como siempre, se
recomienda con mucho énfasis a que las realicen por sí mismas y sí mismos. Parte
del aprendizaje no consiste en realizar “muchos” ejercicios sino, más bien, en rea-
lizar los ejercicios suficientes pero de manera autónoma. En este caso, siempre es
suficiente con un menor número de problemas a resolver que en el caso de una
resolución mecánica.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 4
Ejemplos: Algunos teoremas de números reales
1. Distributiva general del producto respecto de la suma o factor común. La proposición
x(a + b + c + d) = xa + xb + xc + xd
es verdadera. No es difícil comprender el por qué del primer nombre.
Demostración. Recordemos que la expresión
a + b + c + d
no es más que una abreviación de
((a + b) + c) + d;
luego, tenemos que:
x(a + b + c + d) = x(((a + b) + c) + d)
= x((a + b) + c) + xd
= (x(a + b) + xc) + xd
= ((xa + xb) + xc) + xd
= xa + xb + xc + xd.
Como se puede ver, cada paso de esta deducción (excepto el último) no es más que
una aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma; el
último, la abreviación introducida gracias a la propiedad asociativa de la suma.
Este procedimiento se puede aplicar para cualquier cantidad de números; por
ejemplo, se deduce de manera similar la proposición
a(r + s + t + u + v + w) = ar + as + at + au + av + aw.
Por otra parte, de esta última, gracias a la propiedad simétrica de la igualdad,
también es verdadera la proposición
ar + as + at + au + av + aw = a(r + s + t + u + v + w).
A esta proposición se le denomina Factor común y es bastante claro el por qué de
este nombre.
2. Con argumentos similares al ejemplo anterior, se deduce también la proposiciones
a(x− y + z + u− v) = ax− ay + az + au− av
y
ax− ay + az + au− av = a(x− y + z + u− v).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 5
Los nombres dados a las proposiciones del ejemplo anterior se asignan a estas pro-
posiciones. La deducción de las proposiciones de este ejemplo queda de ejercicio.
3. Producto de la suma de dos números y su diferencia o diferencia de cuadrados. La propo-
sición
(x− y)(x + y) = x2 − y2
es verdadera.
El primero de los nombres se le da a esta proposición, la que suele ser parafra-
seada de la siguiente manera:
El producto de la diferencia de dos números y su suma es igual a la
diferencia de sus cuadrados.
Demostración. Tenemos que:
(x− y)(x + y) = (x− y)x + (x− y)y
= (x2 − yx) + (xy− y2)
= x2 + (−xy + xy)− y2
= x2 − y2.
Las justificacionesson: 1) la propiedad distributiva del producto respecto de la su-
ma; 2) la propiedad distributiva del producto respecto de la resta; 3) las propieda-
des asociativa de la suma y conmutativa del producto; y, por último, 4) las existen-
cias del inverso aditivo y el 0.
Por la propiedad simétrica de la igualdad, también es verdadera la proposición
x2 − y2 = (x− y)(x + y).
Esta es la que lleva el nombre de diferencia de cuadrados.
4. El producto de las sumas de dos números con uno en común o trinomio de la forma x2 +
mx + n. La proposición
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
es verdadera y lleva el primer nombre.
Demostración. Tenemos que:
(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)
= (x2 + xb) + (ax + ab)
= x2 + (bx + ax) + ab
= x2 + (a + b)x + ab.
Las justificaciones son: 1) las dos primeras igualdades, por la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma; 2) la tercera, por las propiedades asociativa de
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 6
la suma y conmutativa del producto; 3) la última, por la distributiva del producto
respecto de la suma y la conmutativa de la suma.
Una vez, por la propiedad simétrica de la igualdad, también es verdadera la
proposición
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
Su nombre es, justamente, trinomio de la forma x2 + mx + n.
5. La siguiente proposición no es más que un caso particular de la anterior:
(x− a)(x− b) = x2 − (a + b)x + ab;
por tanto es verdadera, como se puede ver si, en el ejemplo anterior, se toman −a
y −b en lugar de a y b, respectivamente.
Demostración. En efecto,
(x− a)(x− b) = (x + (−a))(x + (−b))
= x2 + (−a + (−b))x + (−a)(−b)
= x2 + (−a− b)x + ab
= x2 − (a + b)x + ab.
Las justificaciones quedan de ejercicio.
6. El cuadrado de la suma de dos números o trinomio cuadrado perfecto. La proposición
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
es verdadera; su nombre es el primero y se parafrasea de la siguiente manera:
El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cua-
drados de cada número y el doble producto de los números.
Demostración. Esta es un caso particular de la proposición el producto de las sumas de
dos números con uno en común. En efecto, luego de aplicar la definición del cuadrado
de un número, a y b se toman iguales a y:
(x + y)2 = (x + y)(x + y)
= x2 + (y + y)x + y2
= x2 + 2xy + y2.
El resto de justificaciones quedan como ejercicio.
7. Un caso particular de la proposición anterior es la siguiente, a la que se le denomina
cuadrado de una diferencia:
(x− y)2 = x2 − 2xy + y2.
La demostración (con las justificaciones correspondientes) se deja como ejercicio.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 7
Debe estar claro que también es verdadera la proposición
x2 − 2xy + y2 = (x− y)2,
a la que se le puede llamar también trinomio cuadrado perfecto.
8. Cubo de la suma de dos números. La proposición
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
es verdadera.
Demostración. Notemos que la primera igualdad no es más que la definición de
potencia con exponente natural; el resto de justificaciones se dejan como ejercicio:
(x + y)3 = (x + y)2(x + y)
= (x2 + 2xy + y2)(x + y)
= (x3 + x2y) + (2x2y + 2xy2) + (xy2 + y3)
= x3 + (x2y + 2x2y) + (2xy2 + xy2) + y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
Se deduce también la siguiente proposición:
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3.
9. La siguiente proposición es un caso particular de la anterior; se la puede llamar cubo
de una diferencia. Su demostración (junto con las justificaciones correspondientes)
queda de ejercicio:
(x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3.
10. Diferencia de cubos. La proposición
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2).
es verdadera.
Demostración. Gracias a la propiedad simétrica de la igualdad, en lugar de deducir
esta proposición, deduciremos
(x− y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3
de la siguiente manera:
(x− y)(x2 + xy + y2) = (x3 + x2y + xy2)− (x2y + xy2 + y3)
= x3 + (x2y− x2y) + (xy2 − xy2)− y3
= x3 + 0 + 0− y3
= x3 − y3.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 8
Las justificaciones se dejan como ejercicio.
11. Suma de dos cubos. La proposición
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
es verdadera. Su deducción (junto con las justificaciones correspondientes) se deja
como ejercicio.
12. Es muy sencillo, deducir la proposición
Si b 6= 0 y ab = c, entonces
a =
c
b
.
En efecto, de ab = c, tenemos
(ab)b−1 = cb−1;
luego,
a(bb−1) =
c
b
,
de donde, concluimos que
a =
c
b
.
Supongamos que x 6= −y. Si aplicamos esta proposición a
(x− y)(x + y) = x2 − y2,
tenemos que también es verdadera la proposición
x− y = x
2 − y2
x + y
y si x 6= y, la proposición
x + y =
x2 − y2
x− y .
Por tanto, si x 6= y, también es verdadera la proposición
x2 − y2
x + y
= x− y
y, si x 6= −y, es verdadera
x2 − y2
x− y = x + y.
13. De manera similar al ejemplo anterior, podemos deducir la proposición
x3 − y3
x− y = x
2 + xy + y2
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 9
si x 6= y, y la proposición
x3 + y3
x + y
= x2 − xy + y2
si x 6= −y.
Las deducciones de dejan como ejercicio.
1.2 Términos y factores
El 0 y el 1 son números reales; al igual que −1, 2, −2, 13 , etcétera. A estos números
les llamaremos también constantes, a diferencia de las letras minúsculas del alfabeto
español (o cualquier otro símbolo que utilicemos) que no son números reales sino
que los representan, a las que denominaremos variables de números reales.
Hay ciertas letras del español o de otros alfabetos que son constantes como π y
e (la base del logaritmo natural).
Empecemos por definir el concepto término.
DEFINICIÓN 1.1 (Término)
Un término se define recursivamente de la siguiente manera:
i. Toda constante es un término.
ii. Toda variable de número real es un término.
iii. Si τ y σ son términos, entonces τ · σ es un término.
iv. Si τ es un término que representa un número distinto de 0, entonces τ−1 es
un término.
v. Si τ es un término que representa un número mayor que 0, entonces
√
τ es
un término.
vi. Una expresión es un término únicamente si se puede probar que es término
mediante la aplicación de las reglas anteriores.
Ejemplos: Término
1. Los números 0, 1, −2 son términos porque son constantes.
2. Las letras x, a, r son términos porque son variables de número real.
3. Si la letra del alfabeto griego α representa un número real, entonces α es un término
porque es una variable de número real.
4. La expresión 2x es un término porque 2 y x son términos.
5. Aunque 2 y x son términos, la expresión 2 + x no es un término porque no se
puede probar que lo es mediante una o varias de las reglas i.–v. de la definición de
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 10
término.
6. La expresión a2 es un término porque representa
a · a
que es un término, ya que a es un término (por la regla ii.) y a · a es un término (por
la regla iii.).
7. −a es un término porque, como −a = (−1) · a, −1 es una constante y a es una
variable de número real, entonces (−1) · a es un término (por la regla iii.).
8. La expresión −ab es un término porque a y b son términos (por ii.), ab y −ab tam-
bién son términos (por iii.).
9.
√
2 es un término porque 2 es un término (por i.) y
√
2 es un término ya que 2 > 0
(por v.).
10.
1
5
es un término porque es una constante.
11. Si a ∈ R y b ∈ R tal que b 6= 0, entonces
a
b
es un término ya que
a
b
= ab−1
y a y b−1 son términos (por ii. y iv., respectivamente).
12. Si n ∈N, entonces
an
es un término. Para mostrarlo, debemos utilizar Inducción matemática.
En efecto:
a0
es un término, porque a0 = 1 y 1 es un término ya que es una constante.
Supongamos que n ∈ N y que an es un término; demostremos que an+1 tam-
bién lo es.
De la definición de potencia de exponente natural, tenemos que
an+1 = an · a;
luego, an+1 es un término porque es igual al producto de dos términos: an (por la
hipótesis de inducción) y a (porque es una variable de número real).
13. Si a 6= 0 y n ∈N, entonces
a−n
es un término ya que
a−n =
(
an
)−1
y an es un término.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática11
14. Si a 6= 0 y m ∈ Z, entonces
am
es un término. ¿Por qué?
15. La expresión
2a2bc3
ax2
,
donde a 6= 0 y x 6= 0, representa un término.
DEFINICIÓN 1.2 (Factor)
Si a y b son números reales, entonces a y b son factores del producto de a y b; es
decir, de
ab.
Mediante los conceptos de término y factor, podemos ver que los términos
son, fundamentalmente, multiplicaciones de expresiones que representan núme-
ros reales; es decir, los términos son “productos de factores”. Por ejemplo, dado el
término
3z2b−2,
donde b 6= 0, son factores de este término:
3, z, z2, b−1 b−2.
Si c 6= 0, en el término
2ab
c
,
algunos de los factores son 2, a, b, c−1 (o 1c ), pero c no es un factor.
Hemos presentado estos conceptos no porque sean fundamentales de la Mate-
mática, sino porque se han acuñado en el lenguaje de la Matemática que se enseña
en la educación secundaria. En este sentido, también utilizaremos las palabras ex-
presión algebraica para designar un término o la suma de dos o más términos. Por
ejemplo,
2a, xy2 + 2xyz, ab− ac + ad− ae
son expresiones algebraicas (recordemos que la resta de dos números reales no es
más que la suma del primer número y el inverso aditivo del segundo).
1.3 La “descomposición en factores”
La enseñanza de la Matemática en la secundaria, en muchos países, aún emplea un
enfoque mecánico en cuanto al abordaje de las llamadas “expresiones algebraicas”
y de los conceptos asociados “operaciones algebraicas” y “polinomios”, principal-
mente. A pesar de que suele enseñarse la noción de número real (se presentan los
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 12
axiomas de cuerpo y orden), este conocimiento no es aprovechado para el apren-
dizaje de las “expresiones algebraicas”. En este contexto, aparece el ámbito de la
“descomposición en factores” como una colección de procedimientos (aparente-
mente ajenos a los números reales) para que una “expresión algebraica” sea expre-
sada como el producto de varios números (es decir, de varios “factores”). Algunos
de estos procedimientos mecánicos echan mano de los denominados “productos
notables” que, aunque no son más que teoremas de números reales, son presenta-
dos como leyes universales. La mayoría de estos teoremas los hemos deducido en el
capítulo anterior y en la primera sección de este.
En este curso, no vamos a replicar el enfoque señalado. Lo que haremos, en su
lugar, es aprender a utilizar los teoremas de los números reales, principalmente los
referidos en la primera sección y, sobre todo, vamos reforzar el aprendizaje de la
deducción de proposiciones que estamos aprendiendo desde el primer capítulo.
A través de los ejemplos, miremos la “descomposición de factores” a través de
los ojos de los números reales.
Ejemplos: “Descomposición de factores”
1. En la primera sección, dedujimos las proposiciones
(x− y)(x + y) = x2 − y2 y x2 − y2 = (x− y)(x + y).
Luego, por el axioma de sustitución, en cualquier proposición en la que aparezca
el número
x2 − y2,
podremos sustituir este número por
(x− y)(x + y),
con lo que la proposición resultante de la sustitución tendrá el mismo valor de
verdad que la proposición en la que se hizo la sustitución.
Por ejemplo, en la proposición
(a2 − b2)(a2 + b2) = 1, (1.1)
podemos sustituir a2 − b2 por (a− b)(a + b) y obtener la proposición
(a− b)(a + b)(a2 + b2) = 1,
que tiene el mismo valor de verdad que la proposición (1.1).
2. La proposición
x2 − y2 = (x− y)(x + y)
suele expresarse de la siguiente manera:
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 13
La descomposición en factores de la expresión algebraica
x2 − y2
es
(x + y)(x + y).
Con esta terminología, podemos plantearnos el “problema”:
Descomponer en factores la expresión algebraica
a4 − b4.
En este caso, el “procedimiento” para llevar a cabo esta “descomposición” es el
siguiente que, como se verá, no es más que el procedimiento de aplicar algunos
teoremas (y axiomas) de los números reales:
a4 − b4 =
Ä
a2
ä2
−
Ä
b2
ä2
= (a2 − b2)(a2 + b2);
es decir,
a4 − b4 = (a2 − b2)(a2 + b2).
Dicho de otro modo, la descomposición en factores de la expresión algebraica
a4 − b4
es
(a2 − b2)(a2 + b2).
Se ve fácilmente, que la tal “descomposición en factores” no es única. En efecto,
puesto que
a2 − b2 = (a− b)(a + b),
otra descomposición en factores de a4 − b4 es:
(a− b)(a + b)(a2 + b2).
3. ¿Cuál de las dos descomposiciones es mejor? Ninguna. La elección de una de ellas
sobre la otra depende simplemente de la situación concreta en la que se deba expre-
sar, por alguna razón, el número a4 − b4 como el producto de dos o más números.
Por esta razón, plantearnos la “descomposición en factores” de una expresión alge-
braica no es un problema importante ni al que le dedicaremos mucho tiempo. De
hecho, no dejaremos de expresarnos utilizando los conceptos de la teoría Números
reales (números, suma, producto), aunque alternemos con palabras como término,
factor, descomposición en factores, cuando faciliten la comunicación y, principalmente,
si facilitan la comprensión de un problema o su solución.
4. Utilicemos las proposiciones trinomio cuadrado perfecto para “descomponer en fac-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 14
tores” números reales. Recordemos que estas proposiciones son:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 y x2 − 2xy + y2 = (x− y)2.
Por ejemplo, “descompongamos en factores” el número
a2 + 2ab2 + b4.
Para ello, procedamos de la siguiente manera:
a2 + 2ab2 + b4 = a2 + 2ab2 +
Ä
b2
ä2
=
Ä
a + b2
ä2
.
(En la segunda igualdad hemos aplicado la proposición trinomio cuadrado perfecto).
Por tanto, tenemos que
a2 + 2ab2 + b4 = (a + b2)2.
En general, cualquier número real de la forma
x2 + 2xy + y2
se denomina trinomio cuadrado perfectoa porque es igual al cuadrado de la suma de
dos números, como se indicó anteriormente.
5. Vamos a descomponer en factores el número
s4 + t4.
Para ello, utilizaremos la descomposición de un trinomio cuadrado perfecto y la
diferencia de cuadrados, aunque esto no es evidente en primera instancia.
En efecto, vamos a utilizar las proposiciones
x2 − y2 = (x− y)(x + y) y x2 − 2xy + y2 = (x− y)2.
Con este propósito, también vamos a utilizar la proposición
x + y = (x + c) + (−c + y),
la misma que se deduce fácilmente de los axiomas de cuerpo (y, como siempre, se
recomienda a las lectoras y lectores que realicen esa demostración).
El número
s4 + t4
no se ajusta a un trinomio cuadrado perfecto; sin embargo, utilicemos el último teore-
ma mencionado con c igual a
2s2t2.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 15
Así, obtenemos la proposición
s4 + t4 = (s4 + 2s2t2) + (−2s2t2 + t4).
¿Por qué elegimos c de esta manera? Porque al aplicar las propiedades asociativa y
conmutativa de la suma en el lado derecho de esta última proposición, obtenemos
un trinomio cuadrado perfecto:
(s4 + 2s2t2) + (−2s2t2 + t4) = (s4 + 2s2t2 + t4)− 2s2t2.
(A este procedimiento se le denomina completación del trinomio cuadrado perfecto por
obvias razones).
En resumen, hemos obtenido lo siguiente:
s4 + t4 = (s4 + 2s2t2 + t4)− 2s2t2.
Y, como se verá inmediatamente, con ayuda de las proposiciones trinomio cuadrado
perfecto y diferencia de cuadrados (en este orden), concluimos:
s4 + t4 = (s4 + 2s2t2 + t4)− 2s2t2
=
(Ä
s2
ä2
+ 2s2t2 +
Ä
t2
ä2)
−
Ä√
2st
ä2
=
Ä
s2 + t2
ä2
−
Ä√
2st
ä2
=
Ä
(s2 + t2)−
√
2st
ä Ä
(s2 + t2) +
√
2st
ä
;
es decir,
s4 + t4 =
Ä
s2 + t2 −
√
2st
ä Ä
s2 + t2 +
√
2st
ä
.
6. ¿Se puede aplicar la diferencia de cuadrados al número
a− b?
Si a ≥ 0 y b ≥ 0, sí se puede. En efecto, por la definición de raíz cuadrada (y el
axioma de completitud), se colige que
a =
(√
a
)2 y b = Ä√bä2 ;
de donde, tenemos que
a− b =
(√
a
)2 − Ä√bä2
=
Ä√
a−
√
b
ä Ä√
a +
√
b
ä
;
por tanto,
a− b =
Ä√
a−
√
b
ä Ä√
a +
√
b
ä
.
Si a < 0 o b < 0, no están definidas las raíces cuadradas de a o de b, por lo que
a o b no son cuadrados de ningún número real. Así, en estos casos, no se puede
aplicar la diferencia de cuadrados.
EPN- Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 16
7. Otra proposición que utilizaremos con frecuencia para “descomponer en factores”
un número real es trinomio de la forma x2 + mx + n:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
Por ejemplo, el número
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3);
luego, al aplicar la primera de las proposiciones (con a = 2 y b = 3), tenemos que
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3)
= (x + 2)(x + 3);
es decir,
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Podemos ver, entonces que también se tiene
x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3),
ya que (−2) + (−3) = −(2 + 3) y (−2)(−3) = 6.
8. “Descompongamos en factores” el número
x2 − 8x + 15.
Para ello, buscamos dos números cuya suma sea igual a −8 y cuyo producto sea
igual a 15. No es difícil ver que esos números son −3 y −5, ya que
(−3) + (−5) = −8 y (−3)(−5) = 15.
Por tanto, podemos concluir que
x2 − 8x + 15 = (x + (−3))(x + (−5));
es decir,
x2 − 8x + 15 = (x− 3)(x− 5).
9. Encontremos los factores en los que se puede descomponer el número
x2 + 2x− 24.
Para ello, buscamos dos números cuya suma sea igual a 2 y cuyo producto sea
−24. Esos números son −4 y 6 ya que
(−4) + 6 = 2 y (−4)(6) = −24.
Por tanto,
x2 + 2x− 24 = (x− 4)(x + 6).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 17
10. Con el procedimiento anterior, podemos encontrar los factores en los que se “des-
compone” el número
6x2 − 5x− 4,
aunque no podemos aplicar directamente la proposición trinomio de la forma x2 +
mx + n.
Para ello, utilizaremos el teorema
a =
ca
c
,
donde c 6= 0.
En efecto:
6x2 − 5x− 4 = 6(6x
2 − 5x− 4)
6
=
62x2 − 5(6x)− 24
6
;
es decir,
6x2 − 5x− 4 = (6x)
2 − 5(6x)− 24
6
.
Ahora, busquemos dos números cuya suma sea igual a−5 y cuyo producto sea
−24. Es fácil ver que esos números son 3 y −8 porque
3 + (−8) = −5 y (3)(−8) = −24.
Luego, tenemos que
(6x)2 − 5(6x)− 24 = (6x + 3)(6x− 8).
Así, tenemos que
6x2 − 5x− 4 = (6x)
2 − 5(6x)− 24
6
=
(6x + 3)(6x− 8)
6
=
3(2x + 1)2(3x− 4)
6
= (2x + 1)(3x− 4);
es decir,
6x2 − 5x− 4 = (2x + 1)(3x− 4).
11. Expresemos como el producto de dos números el número
1
3
x2 +
1
6
x− 1.
Para ello, apliquemos el procedimiento realizado en el ejemplo anterior. Así, en
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 18
primer lugar, tenemos que
1
3
x2 +
1
6
x− 1 = 1
3
Å
x2 +
3
6
x− 3
ã
;
por tanto, obtenemos
1
3
x2 +
1
6
x− 1 = 1
3
Å
x2 +
1
2
x− 3
ã
. (1.2)
Ahora busquemos los factores de
x2 +
1
2
x− 3;
es decir, busquemos dos números cuya suma sea
1
2
y cuyo producto sea igual a−3.
A diferencia de los ejemplos anteriores, no es tan fácil encontrar estos números.
Por esta razón, utilicemos la completación del trinomio cuadrado perfecto para resolver
este problema:
x2 +
1
2
x− 3 =
Å
x2 + 2 · 1
4
x
ã
− 3
=
Å
x2 + 2 · 1
4
x +
1
42
ã
− 1
42
− 3
=
Å
x +
1
4
ã2
−
Å
1
42
+ 3
ã
=
Å
x +
1
4
ã2
− 49
42
=
Å
x +
1
4
ã2
−
Å
7
4
ã2
.
Hemos obtenido que:
x2 +
1
2
x− 3 =
Å
x +
1
4
ã2
−
Å
7
4
ã2
.
Para terminar, utilicemos la diferencia de cuadrados:Å
x +
1
4
ã2
−
Å
7
4
ã2
=
Å
x +
1
4
− 7
4
ãÅ
x +
1
4
+
7
4
ã
=
Å
x− 3
2
ã
(x + 2) .
Es decir, los números buscados son−3
2
y 2 (en este punto, ya no “parece” tan difícil
encontrar tales números, pero lo es).
Para resolver el problema, volvemos a (1.2) y concluimos que:
1
3
x2 +
1
6
x− 1 = 1
3
Å
x2 +
1
2
x− 3
ã
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 19
=
1
3
Å
x− 3
2
ã
(x + 2)
=
Å
1
3
x− 1
2
ã
(x + 2) ;
es decir,
1
3
x2 +
1
6
x− 1 =
Å
1
3
x− 1
2
ã
(x + 2) .
12. Apliquemos la completación del trinomio cuadrado perfecto para “descomponer en fac-
tores” el número
6x2 − 5x− 4,
del ejemplo 10.
En primer lugar, tenemos:
6x2 − 5x− 4 = 6
Å
x2 − 5
6
x− 4
6
ã
= 6
ÇÇ
x2 − 2 · 5
12
x +
Å
5
12
ã2å
− 5
2
122
− 4(2)(12)
122
å
= 6
ÇÅ
x− 5
12
ã2
−
Ç
52 + 96
122
åå
= 6
ÇÅ
x− 5
12
ã2
−
Å
11
12
ã2å
;
es decir,
6x2 − 5x− 4 = 6
ÇÅ
x− 5
12
ã2
−
Å
11
12
ã2å
. (1.3)
En segundo lugar, apliquemos la diferencia de cuadrados:Å
x− 5
12
ã2
−
Å
11
12
ã2
=
Å
x− 5
12
− 11
12
ãÅ
x− 5
12
+
11
12
ã
=
Å
x− 4
3
ãÅ
x +
1
2
ã
;
de donde, junto con (1.3), concluimos que
6x2 − 5x− 4 = 6
ÅÅ
x− 4
3
ãÅ
x +
1
2
ãã
= 3
Å
x− 4
3
ã
2
Å
x +
1
2
ã
= (3x− 4)(2x− 1).
Por tanto,
6x2 − 5x− 4 = (3x− 4)(2x + 1),
como se obtuvo en el ejemplo 10.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 20
13. Encontremos dos números a y b tales que
x2 − 4x + 1 = (x− a)(x− b).
Ya sabemos que el par completación del trinomio cuadrado perfecto-difrencia de cua-
drados nos puede llevar a la solución de este problema.
En efecto:
x2 − 4x + 1 = (x2 − 2 · 2x + 4)− 4 + 1
= (x− 2)2 − 3
= (x− 2−
√
3)(x− 2 +
√
3)
= (x− (2 +
√
3))(x− (2−
√
3)).
Por tanto, los números a y b buscados son:
2 +
√
3 y 2−
√
3.
14. Busquemos dos números a y b tales que
x2 + x + 1 = (x− a)(x− b).
Procedamos con el método del ejemplo anterior:
x2 + x + 1 =
Å
x2 + 2 · 1
2
x +
1
4
ã
− 1
4
+ 1
=
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
;
es decir,
x2 + x + 1 =
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
.
En este punto, ya no podemos aplicar la diferencia de cuadrados. Aunque ahora no
lo podemos probar, esta igualdad nos dice que no hay tal par de números a y b. Es
decir, este método es buen método porque nos dice cuando existen estos números
(y cuáles son), y también nos dice cuando no hay. Volveremos a este tema cuando
estudiemos la ecuación general de segundo grado con una incógnita.
aEste nombre es una alusión a la terminología utilizada en los números naturales cuando
se dice que 1, 4, 9, 16, etcétera son “cuadrados perfectos”, a diferencia de los números 2, 3, 5,
etcétera, que no lo son porque no hay números naturales cuyos cuadrados sean 2, 3, 5, respec-
tivamente.
1.4 Ejercicios propuestos
1. Demuestre que la proposiciónÅ
x + y
2
ã2
−
Å
x− y
2
ã2
= xy
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 21
es verdadera.
2. Demuestre que la proposiciónÇ
a2 − 1
a2 + 1
å2
+
Å
2a
a2 + 1
ã2
= 1
es verdadera.
3. Demuestre que la proposición
(x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2(xy + yz + zx)
es verdadera.
4. Demuestre que la proposición
(x + y + z)3 = (x3 + y3 + z3) + 3(x2(y + z) + y2(x + z) + z2(x + y)) + 6xyz
es verdadera.
5. Demuestre que la proposición
(a + b + c)3 − (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)
es vedadera.
6. “Descomponga en 4 factores” el siguiente número:
a4 + a3 − a2 − a
el número.
7. “Descomponga en factores” el número
x2y2 − (b− c)2.
8. “Descomponer en factores” el siguiente número, mediante la completación del
trinomio cuadrado perfecto:
2x2 − 13xy + 6y2.
9. “Descomponer en factores” el número
25− a2 − b2 + 2ab.
10. Encuentre dos números reales a y b tales que:
36x2 + 49x− 72 = 36(x + a)(x + b).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 22
11. “Descomponer en factores” el siguiente número:
1− 12a + 36a2.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 23
Bibliografía
Apostol, T. (1984). Cálculus. Volumen 1. Madrid. Editorial Reverté.
Bartle, R. y Sherbert, D. (2014). Introduction to Real Analysis. India. Willey.
Deaño, A. (2006). Introducción a la Lógica Formal. Sexta reimpresión. Madrid. Alianza
Editorial.
Grimaldi, R. (1998). Matemáticas Discreta y Combinatoria. Una introducción con aplica-
ciones. Tercera Edición. México. Prentice Hall.
Hamilton, A. (1988). Lógica para matemáticos. España. Paraninfo.
Hilbert, D. y Ackermann, W. (1950). Principles of Mathematical Logic. Chelsea.
Kleene, S. (1952). Introduction to Metamathematics. Van Nostrand.
Kneale, W. y Kneale, M. (1962). The development of Logic. Clarendon Press.
Laundau, E. (1966). Foundations of Analysis. USA. AMS Chelsea Publishing.
Mendelson, E. (1973). System of numbers. Foundations of Analysis. USA. Dover Publi-
cations.
Mendelson, E. (2015). Introduction to Mathematical Logic. Sexta edición. USA. CRC
Press.
Pinter, Ch. (2014). A Book of Set Theory. USA. Dover Publications.
Shilov, G. (1973). Elementary Real and Complex Analysis. USA. DoverPublications.
Smullyan, R. (2014). A Beginner’s Guide to Mathematical Logic. USA. Dover Publica-
tions.
Takeuti, G. y Zaring, W. (1982). Introduction to Axiomatic Set Theory. Second Edition.
USA. Springer-Verlag.
Tarski, A. (1961). Introduction to Logic and to the methodolgy of deductive sciences. New
York. Dover Publications.
24
Capítulo 2
Ecuaciones
2.1 Introducción
En este capítulo, al igual que en el anterior, vamos a introducir también un “abuso
de notación” para la notación de los conjuntos que se obtienen por la aplicación del
axioma de construcción de clases.
Recordemos que si A (x) es una proposición en la que aparece x, por el mencio-
nado axioma, existe una única clase, representada por
{x : A (x)},
tal que para todo conjunto u, la equivalencia lógica
u ∈ {x : A (x)} ≡ A (u)
es válida.
Un buena parte de las aplicaciones de este axioma se harán a proposiciones de
la forma
x ∈ A ∧B(x),
donde A es un conjunto y B(x) es una proposición en la que aparece x. Por ejemplo,
x ∈ R∧ x2 > 1, x ∈N∧ x = 2k + 1, x ∈ Z∧−3 < x < 1.
En ese caso, en lugar de escribir
{x : x ∈ A ∧B(x)},
escribiremos
{x ∈ A : B(x)}.
En los tres ejemplos anteriores, la escritura sería esta:
{x ∈ R : x2 > 1}, {x ∈N : x = 2k + 1}, {x ∈ Z : −3 < x < 1}.
25
Por otra parte, en el caso general, por la definición de subclase, tenemos que
{x : x ∈ A ∧B(x)} ⊆ A;
luego, como A es un conjunto, por el axioma de las subclases de la teoría de con-
juntos, concluimos también que
{x : x ∈ A ∧B(x)}
es un conjunto.
Otra cuestión sobre el axioma de construcción de clases: diremos que hemos
“definido” la clase cuya existencia está garantizada por el axioma. Por ejemplo,
diremos
se define la clase C de la siguiente manera:
C = {x : x ∈N∧ x < 10}.
O también:
Se define la clase
D = {x : x ∈ Z∧ x2 6 100}.
No olvidemos que, aunque no se mencione, la existencia de estas clases está garan-
tizada por el axioma de construcción de clases.
En este capítulo también vamos a utilizar palabras de la jerga matemática que
se utiliza comúnmente en la solución de ecuaciones: “pasar un término de un lado
a otro de una ecuación” y “pasar un factor o un divisor”.
Estas expresiones vienen del hecho de que las siguientes equivalencias lógicas:
1. a + b = c ≡ a = c− b.
2. a− b = c ≡ a = c + b.
La verificación de la validez de estas equivalencias lógicas es muy sencilla y se
deja como ejercicio para las lectoras y los lectores.
Cuando se utiliza cualesquiera de estas equivalencias, se suele decir que “el
término b pasó al otro lado con signo contrario”. En general, cuando ocupemos
estas equivalencias, diremos que “hemos pasado el término b al otro lado de la
igualdad” sin mencionar lo del signo. El uso de las equivalencias anteriores podría
ser indicado como una “transposición de términos”.
Una situación similar se presenta con los “factores” y los “divisores”. En efecto,
si a 6= 0, las siguientes equivalencias lógicas son válidas:
1. a · b = c ≡ b = c
a
.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 26
2.
b
a
= c ≡ b = a · c.
En este caso, las expresiones utilizadas son “un factor pasa al otro lado como
un divisor” y “un divisor pasa al otro lado como un factor”.
En general, estas expresiones no son necesarias, por lo que procuraremos no
utilizarlas frecuentemente.
A partir de este capítulo también escribiremos varias “igualdades en línea”; es
decir, en lugar de escribir
a = b y b = c,
escribiremos
a = b = c.
Así, al escribir
a = b = c = d,
lo que estamos diciendo es:
a = b, b = c y c = d.
2.2 Resolver una ecuación
La petición
Resuelva (resolver) la ecuación
3x + 2 = x− 4
en los números reales
significa resolver el problema
Determine el conjunto
S = {x ∈ R : 3x + 2 = x− 4};
es decir, significa
Encontrar todos los números reales x tales que la proposición
3x + 2 = x− 4 (2.1)
es verdadera.
El número real a tal que, al sustituir x por a en la proposición (2.1) se obtiene
que la proposición
3a + 2 = a− 4
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 27
es verdadera, se denomina una solución de la ecuación (2.1). Así, el número −3 es
una solución de esta ecuación porque
3(−3) + 2 = (−3)− 4
es verdadera, ya que
3(−3) + 2 = −7 y (−3)− 4 = −7.
En la jerga matemática común se dice también que
el número −3 “satisface” la ecuación (2.1).
El conjunto S es, entonces, el conjunto de todas las soluciones de la ecuación (2.1).
El procedimiento para “determinar” este conjunto (es decir, el procedimiento para
saber cuáles son todos los elementos de S) es el siguiente:
1. Supongamos que u ∈ S. Por la definición de S, es decir, por el axioma de
construcción de clases, la proposición
3u + 2 = u− 4
es verdadera.
Ahora bien, de esta igualdad, por varias “transposiciones de términos”,
obtenemos que también es verdadera la proposición
3u− u = −4− 2;
de donde, deducimos que es verdadera la siguiente:
2u = −6.
Y, finalmente, colegimos que es verdadera la proposición
u =
−6
2
;
es decir, que
u = −3,
lo que significa que
u ∈ {−3},
por la definición de conjunto unitario.
En resumen, hemos demostrado que si u ∈ S, entonces u ∈ {−3}. Dicho
de otra manera, hemos probado que
S ⊆ {−3}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 28
2. Como vimos anteriormente, el número −3 es una solución de la ecuación,
pues la proposición
3(−3) + 2 = −3− 4
es verdadera; es decir, −3 ∈ S, de donde, {−3} ⊆ S.
3. De los dos pasos previos, por la definición de subclase, se concluye que
S = {−3}.
De modo general, este es el procedimiento que siempre se sigue para resolver
una ecuación, independientemente de la índole y ámbito de la ecuación.
Ahora bien, en algunos casos, los dos primeros pasos del procedimiento se pue-
den realizar simultáneamente. Para el ejemplo anterior, tenemos que, para todo
número real u, las siguientes equivalencias lógicas son válidas (lo que se prueba
mediante la aplicación de axiomas y teoremas de cuerpo, así como propiedades de
la equivalencia lógica):
u ∈ S ≡ 3u + 2 = u− 4
≡ 3u− u = −4− 2
≡ 2u = −6
≡ u = −6
2
≡ u = −3
≡ u ∈ {−3}.
Luego, por la definición de igualdad entre clases, concluimos que
S = {−3}.
Esta situación no es la norma porque, en la mayoría de los casos, difícilmente
hay una relación de equivalencia lógica entre su planteamiento y su solución. Ge-
neralmente, en la investigación de la solución se añaden condiciones suficientes, se
descubren condiciones necesarias y se delimita aún más el problema.
Por otra parte, aunque los problemas “prácticos” (fenoménicos o teóricos) re-
quieren una solución concreta, la Matemática los estudia de modo general y busca
respuestas generales (lo más generales posibles) porque esto permitirá (y permite
en la práctica) resolver una familia amplia de problemas que son vistos como casos
particulares del general.
Así, en lugar de estudiar el ejemplo de modo particular, abordamos el caso ge-
neral:
Dados los números reales a y b, con a 6= 0, resuelva la ecuación
ax + b = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 29
en los números reales.
En otras palabras, planteamos y buscamos resolver el problema:
Dados los números reales a y b, con a 6= 0, encuentre todos los números
reales x tales que
ax + b = 0.
Que, traducido al lenguaje de la teoría de conjuntos, el problema es:
Dados los números reales a y b, con a 6= 0, determine el conjunto
S = {x ∈ R : ax + b = 0}.
Es fácil determinar S. En efecto, si x ∈ R, dado que a 6= 0, tenemos las siguientes
equivalencias lógicas válidas:
x ∈ S ≡ ax + b = 0
≡ ax = −b
≡ x = −b
a
≡ x ∈
ß
−b
a
™
.
Por tanto,
S =
ß
−b
a
™
.
El conjunto S se denomina conjunto solución de la ecuación ax + b = 0 o tam-
bién solución general de la ecuación. Esta ecuación se denomina ecuación de primer
grado con una incógnita. En particular, en ax + b = 0, la incógnita es x.
Resolver ecuaciones es, en general, un problema complejo. Hay muy pocos ti-
pos de ecuaciones con soluciones tan sencillas como la anterior. La mayoría de las
ecuaciones se resuelven de un modoaproximado con métodos más avanzados de
la Matemática como el Cálculo Diferencial e Integral, y apoyados con el cálculo que
realizan las computadoras. Por otra parte, en el XIX varios matemáticos brillantes
demostraron la imposibilidad de obtener fórmulas generales para ecuaciones alge-
braicas1 a partir del quinto grado. En el siglo XVI, se encontraron fórmulas para
determinar las soluciones de ecuaciones de tercero y cuarto grado.
Con la aplicación de los teoremas de números reales, podemos resolver algunos
casos particulares de ecuaciones algebraicas, como lo veremos en los siguientes
ejemplos.
1La palabra algebraica se refiere a que en estas ecuaciones las incógnitas están únicamente afectadas
de exponentes naturales y sin la presencia de ninguna otra operación (solo sumas y productos).
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 30
Ejemplos: Ecuaciones algebraicas
1. Dado el número real a, resolvamos la ecuación
x2 − a2 = 0
en los números reales.
Es decir, determinemos el conjunto
S = {x ∈ R : x2 − a2 = 0}.
Sin mucha dificultad, es fácil ver que a y −a son dos soluciones de esta ecua-
ción, pues
a2 − a2 = 0 y (−a)2 − a2 = a2 − a2 = 0.
Por tanto,
a ∈ S y − a ∈ S.
Ahora la pregunta es, aparte de a y −a, ¿hay otros elementos en S?
Para responder a esta pregunta, es suficiente ver las siguientes equivalencias
lógicas:
x2 − a2 = 0 ≡ (x− a)(x + a) = 0
≡ x− a = 0∨ x + a = 0
≡ x = a ∨ x = −a
≡ x ∈ {a} ∨ x ∈ {−a}
≡ x ∈ {a} ∪ {−a}
≡ x ∈ {a, −a}.
Por tanto,
S = {a, −a}.
Es decir, a y −a son las únicas soluciones de la ecuación
x2 − a2 = 0
en los números reales.
2. Encontremos la solución general de la ecuación
(x− a)(x− b)(x− c) = 0
en los números reales.
Es fácil ver que a, b y c son tres soluciones de esta ecuación. Y que sean las
únicas nos viene confirmado por la equivalencia
(x− a)(x− b)(x− c) = 0 ≡ x− a = 0∨ x− b = 0∨ x− c = 0.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 31
Por tanto, si S es el conjunto solución de la ecuación, tenemos que
S = {a, b, c}.
3. ¿Cuáles son todos los números reales cuyo cubo sea igual al número? Es decir,
¿cuáles son todos los números reales x tales que
x3 = x?
Para contestar esta pregunta tenemos que resolver la ecuación
x3 = x
en los números reales.
Para ello, observemos que son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
x3 = x ≡ x3 − x = 0
≡ x(x2 − 1) = 0
≡ x(x− 1)(x + 1) = 0
≡ x = 0∨ x = 1∨ x = −1.
Por tanto, si S es el conjunto solución de la ecuación, concluimos que
S = {0, 1, −1}
y, además, que los únicos números cuyo cubo es igual a sí mismo son 0, 1 y −1.
4. ¿Cuáles son todos los números reales cuyo cubo es igual a 1? Responder esta pre-
gunta no es mas que resolver la ecuación
x3 = 1
en los números reales.
Para resolver esta ecuación, vamos a aplicar la proposición diferencia de cubos,
ya que 13 = 1.
En efecto, las siguientes equivalencias lógicas son válidas:
x3 = 1 ≡ x3 − 1 = 0
≡ (x− 1)(x2 + x + 1) = 0
≡ x = 1∨ x2 + x + 1 = 0;
es decir, tenemos que
x3 = 1 ≡ x = 1∨ x2 + x + 1 = 0. (2.2)
Ocupémonos de la proposición x2 + x + 1 = 0. Con este fin, utilicemos la com-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 32
pletación del trinomio cuadrado perfecto:
x2 + x + 1 =
Å
x2 + 2 · 1
2
x +
1
4
ã
− 1
4
+ 1
=
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
;
es decir,
x2 + x + 1 = 0 ≡
Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
= 0. (2.3)
Por otra parte, tenemos que Å
x +
1
2
ã2
> 0
para todo número real x; luego, como
3
4
> 0,
colegimos que Å
x +
1
2
ã2
+
3
4
> 0.
Esto significa que, por la Tricotomía, la proposiciónÅ
x +
1
2
ã2
+
3
4
= 0
es falsa para todo número real x y, por tanto, también lo es la proposición
x2 + x + 1 = 0,
de donde, por el axioma de la disyunción, obtenemos que
x = 1∨ x2 + x + 1 = 0 ≡ x = 1
que, junto con la equivalencia lógica (2.2), concluimos que
x3 = 1 ≡ x = 1.
Así, si S es el conjunto solución de la ecuación x3 − 1 = 0 en los reales, concluimos
que
S = {1};
es decir, la única solución de esa ecuación es 1.
De la solución de este problema, podemos asegurar que el único número real
cuyo cubo es 1 es el número 1.
5. Resolvamos la ecuación
x2 + 1 = 0
en los reales.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 33
Puesto que x2 > 0 para todo número real x y 1 > 0, tenemos que
x2 + 1 > 0,
de donde, por la Tricotomía, concluimos que no existe un número real x tal que
x2 + 1 = 0. Luego, el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío. En
estos casos, también decimos que la ecuación
x2 + 1 = 0
no tiene solución en los números reales.
6. Mediante la completación del cuadrado, podemos demostrar que la ecuación
x2 − x + 1 = 0
no tiene solución en los números reales.
Esta demostración se deja como ejercicio.
7. Resolvamos la ecuación
x2 − 5x + 4 = 0
en los números reales.
Puesto que
x2 − 5x + 4 = (x− 1)(x− 4),
tenemos que
x2 − 5x + 4 = 0 ≡ (x− 1)(x− 4) = 0,
concluimos que esta ecuación tiene como conjunto solución
{1, 4}.
8. Resolvamos la ecuación
x2 + 4x− 3 = 0
en los números reales.
No es fácil ver cuáles son los números reales cuya suma es 4 y cuyo producto
es −3, así que busquemos ayuda del método de completación del trinomio cuadrado
perfecto:
x2 + 4x− 3 = (x2 + 2 · 2x + 4)− 4− 3
= (x + 2)2 − 7
= (x + 2−
√
7)(x + 2 +
√
7).
Por tanto, el conjunto solución de la ecuación es
{−2 +
√
7, −2−
√
7}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 34
2.3 Ecuación con una incógnita
Antes de ocuparnos del concepto de ecuación con un incógnita, definamos de ma-
nera precisa lo que significa resolver una ecuación.
Para ello, en primer lugar, observemos que solo hay dos tipos de proposiciones
en la teoría Números reales: las igualdades y las desigualdades. La forma general de las
primeras es
a = b,
donde a y b son números reales. Las desigualdades son cualesquiera de las siguientes:
a > b, a < b, a > b y a 6 b.
Las ecuaciones se corresponden con las igualdades; las inecuaciones, con las desigual-
dades.
Dado A ⊆ R, si E (x) es una proposición de tipo igualdad en la que aparece el
número real x,
resolver la ecuación
E (x)
en el conjunto A
significa resolver el problema
encontrar todos los números reales x ∈ A tales que la proposición E (x)
es verdadera
y es equivalente a
determinar el conjunto
S = {x ∈ A : E (x)}.
El conjunto S se denomina conjunto solución de la ecuación E (x) o solución general
de la ecuación. Cualquier elemento de S es una solución particular de la ecuación
o, simplemente, una solución.
Ejemplos: Resolver una ecuación
1. Resolver la ecuación
x2 = 1
en los números reales.
En este caso, la proposición E (x) es x2 = 1 y A = R, y el conjunto solución S
que hay que determinar es:
S = {x ∈ R : x2 = 1}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 35
Dado que
x2 = 1 ≡ (x− 1)(x + 1) = 0,
el conjunto solución de esta ecuación en los números reales es
{−1, 1}.
2. Resolver la ecuación
x2 = 1
en el R+.
En este caso, la proposición E (x) es x2 = 1 y A = R+, y el conjunto solución S
que hay que determinar es:
S = {x ∈ R+ : x2 = 1}.
Para ello, recordemos que la equivalencia lógica
x2 = 1 ≡ x = 1∨ x = −1
es válida para todo número real x; luego, también lo es la equivalencia lógica
x ∈ R+ ∧ x2 = 1 ≡ x ∈ R+ ∧ (x = 1∨ x = −1). (2.4)
Ahora bien, por la propiedad distributiva de la conjunción respecto de la dis-
yunción, la equivalencia lógica
x ∈ R+ ∧ (x = 1∨ x = −1) ≡ (x ∈ R+ ∧ x = 1)∨ (x ∈ R+ ∧ x = −1)
es válida y, como la proposición
x ∈ R+ ∧ x = −1
es falsa pues −1 < 0, por el axioma de la disyunción, tenemos que la equivalencia
lógica
x ∈ R+ ∧ (x = 1∨ x = −1) ≡ x ∈ R+ ∧ x = 1
es válida que, junto con (2.4), concluimos que
x ∈ R+ ∧ x2 = 1 ≡ x ∈ R+ ∧ x = 1,
de donde S = {1}.
Es importante notar que, en los dos ejemplos anteriores, aunque la proposición
E (x) es la misma, los conjuntos A son diferentes; esto, en general, plantea pro-
blemas diferentes y, posiblemente, soluciones diferentes, como es el caso que nos
ocupa.
3. La solución del problema anterior puede simplificarse.En efecto, como la ecuación
x2 = 1 había sido resuelto ya para R, la solución para R+ se obtiene de la primera
al obtener la intersección de la solución del primer problema y el conjunto R+. La
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 36
justificación para esto es la siguiente.
En primer lugar, nombremos con S1 el conjunto solución del primer problema
y con S2, la del segundo. Puesto que A ⊆ R, tenemos que:
S2 = {x ∈ A : x2 = 1}
= {x : x ∈ A ∧ x2 = 1}
= {x : (x ∈ A ∧ x ∈ R)∧ x2 = 1}
= {x : x ∈ A} ∩ {x : x ∈ R∧ x2 = 1}
= A ∩ S1
= R+ ∩ {−1, 1}
= {1}.
Bajo los mismos argumentos, si A y B son dos conjuntos en los que se debe
resolver la ecuación E (x), donde A ⊆ B, entonces
SA = A ∩ SB,
donde SA y SB son los conjuntos soluciones de las respectivas ecuaciones. En el
caso del ejemplo anterior, A = R+ y B = R.
4. Resolver la ecuación
x2 = 1
en el conjunto {u ∈ R : u > 1}.
Por el ejemplo anterior, si S es el conjunto solución de esta ecuación, tenemos
que
S = {u ∈ R : u > 1} ∩ {−1, 1}.
Por tanto, por la Tricotomía, ya que−1 < 1 y 1 = 1, concluimos que S = ∅. Es decir,
la ecuación x2 = 1 no tiene solución en el conjunto {u ∈ R : u > 1}.
5. Resolvamos la ecuación
x + 1
x− 1 = 2
en los números reales.
Para ello, si x 6= 1, son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
x + 1
x− 1 = 2 ≡ x + 1 = 2(x− 1)
≡ x + 1 = 2x− 2
≡ x = 3.
Por tanto, el conjunto solución de esta ecuación en los números reales es S = {3}.
6. Resolvamos la ecuación √
1 + x2 = x
en los números reales.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 37
En primer lugar, observemos que
1 + x2 > 0
para todo número real x. En segundo lugar, por la definición de raíz cuadrada,√
1 + x2 es mayor que 0; luego, si √
1 + x2 = x,
necesariamente x > 0. Por tanto, es suficiente resolver esta ecuación en R+, ya
ninguna solución de esta ecuación pertenecerá a R−R+.
Para ello, supongamos que x > 0. Entonces, tenemos que las siguientes equi-
valencias lógicas son válidas:√
1 + x2 = x ≡ 1 + x2 = x2
≡ 1 = 0.
(La primera equivalencia lógica es válida por el axioma de completitud y la defini-
ción de raíz cuadrada).
Como la proposición 1 = 0 es falsa, entonces√
1 + x2 = x
es falsa para todo número x ∈ R+. En conclusión, el conjunto solución es ∅; es
decir, esta ecuación no tiene solución en los números reales.
7. Resolvamos la ecuación √
2x2 + 1−
√
x2 + 2 = 0
en R.
Para ello, vamos a utilizar el siguiente teorema de números reales:
T: Si a > 0 y b > 0, entonces
√
a =
√
b si y solo si a = b.
Antes de empezar, observemos que
2x2 + 1 > 0 y x2 + 2 > 0
para todo número real x.
Si x ∈ R, tenemos que√
2x2 + 1−
√
x2 + 2 = 0 ≡
√
2x2 + 1 =
√
x2 + 2
≡ 2x2 + 1 = x2 + 2
≡ x2 = 1
≡ x ∈ {−1, 1}.
La segunda equivalencia lógica es válida porque los números 2x2 + 1 y x2 + 2 son
positivos y el teorema T.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 38
Concluimos, entonces, que el conjunto solución de esta ecuación en los núme-
ros reales es S = {−1, 1}.
8. Resolvamos la ecuación
1√
x2 + 3
− 1√
3x2 + 1
= 0
en los números reales.
Vamos a utilizar los siguientes teoremas de números reales:
T1: Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces a−1 = b−1 si y solo si a = b.
T2: Si a > 0 y b > 0, entonces
√
a =
√
b si y solo si a = b.
Observemos en primer lugar que
x2 + 3 > 0 y 3x2 + 1 > 0
para todo número real x.
Si x ∈ R, son válidas las siguientes equivalencias lógicas:
1√
x2 + 3
− 1√
3x2 + 1
= 0 ≡ 1√
x2 + 3
=
1√
3x2 + 1
≡
√
x2 + 3 =
√
3x2 + 1
≡ x2 + 3 = 3x2 + 1
≡ x2 = 1
≡ x ∈ {−1, 1}.
(La segunda equivalencia es válida gracias al teorema T1 y la tercera, por el teorema
T2.)
Por tanto, el conjunto solución de esta ecuación en los reales es S = {−1, 1}.
9. Resolvamos la ecuación √
1− x2 = x
en R+ ∪ {0}.
Vamos a utilizar los teoremas:
T1: ab 6 0 si y solo si a 6 0∧ b > 0 o a > 0∧ b 6 0.
T2: Si a > 0 y b > 0, entonces a 6 b si y solo si
√
a 6
√
b.
En primer lugar, tenemos las siguientes equivalencias lógicas (la última, gracias
al teorema T1):
1− x2 > 0 ≡ x2 6 1
≡ x2 − 1 6 0
≡ (x− 1)(x + 1) 6 0
≡ (x− 1 6 0∧ x + 1 > 0)∨ (x− 1 > 0∧ x + 1 6 0);
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 39
por tanto, es válida la equivalencia lógica
1− x2 > 0 ≡ (x− 1 6 0∧ x + 1 > 0)∨ (x− 1 > 0∧ x + 1 6 0). (2.5)
Ahora trabajemos con la primera proposición de la disyunción; tenemos las
siguientes equivalencias lógicas:
x− 1 6 0∧ x + 1 > 0 ≡ x 6 1∧ x > −1
≡ −1 6 x 6 1;
es decir, es válida la equivalencia
x− 1 6 0∧ x + 1 > 0 ≡ −1 6 x 6 1. (2.6)
Es el turno de la segunda proposición de la disyunción:
x− 1 > 0∧ x + 1 6 0 ≡ x > 1∧ x 6 −1.
Debe estar claro que la proposición
x > 1∧ x 6 −1
es falsa porque, por una parte, de x > 1, tenemos que x > 0; y por la otra, de
x 6 −1, obtenemos que x < 0, lo que sería imposible por la Tricotomía. Por tanto,
también es falsa la proposición
x− 1 > 0∧ x + 1 6 0,
de donde, por el axioma de la disyunción y por (2.5), tenemos que
1− x2 > 0 ≡ x− 1 6 0∧ x + 1 > 0
que, junto con (2.6), concluimos que
1− x2 > 0 ≡ −1 6 x 6 1.
Definamos el conjunto B de la siguiente manera:
B = {x ∈ R : −1 6 x 6 1}.
Entonces, ninguna solución de la ecuación√
1− x2 = x
podría estar en otro conjunto que no sea B. Por otra parte, debemos resolver esta
ecuación en R+ ∪{0}; luego, cualquier solución de la ecuación deberá ser elemento
del conjunto
B ∩ (R+ ∪ {0});
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 40
es decir, cualquier solución de esta ecuación estará en el conjunto C, definido por
C = {x ∈ R : 0 6 x 6 1},
ya que 0 > −1 y por la definición de interseccióna.
En resumen, vamos a resolver la ecuación√
1− x2 = x
en el conjunto C.
Para ello, si x ∈ C, tenemos que√
1− x2 = x ≡ 1− x2 = x2
≡ 2x2 − 1 = 0
≡ (
√
2x− 1)(
√
2x + 1) = 0
≡ x ∈
ß
1√
2
, − 1√
2
™
.
Por tanto, si S es el conjunto solución de la ecuación en C, concluimos que
S = C ∩
ß
1√
2
, − 1√
2
™
.
Ahora bien, puesto que
− 1√
2
< 0,
entonces
− 1√
2
6∈ C
y, por tanto, tampoco es elemento de S.
Veamos si
1√
2
∈ C.
Como
1√
2
> 0, es suficiente que determinemos si
1√
2
6 1
es una proposición verdadera.
Con este propósito, procedamos de la siguiente manera:
1√
2
6 1 ≡ 1 6
√
2
≡ 1 6 2.
Y, puesto que la proposición 1 6 2 es verdadera, también es verdadera la proposi-
ción
1√
2
6 1,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 41
de donde concluimos que este número pertenece a C y, por tanto, a S.
En resumen, concluimos que
S =
ß
1√
2
™
.
10. Resolvamos la ecuación
1√
x2 + 1
− 1√
x + 5
= 0
en R.
En primer lugar, tenemos que
x2 + 1 > 0
para todo número real x. En segundo lugar, la siguiente equivalencia lógica es vá-
lida:
x + 5 > 0 ≡ x > −5.
Por tanto, es suficiente que resolvamos la ecuación en el conjunto B definido por
B = {x ∈ R : x > −5}.
Con este propósito, supongamos que x > −5; entonces tenemos las siguientes
equivalencias lógicas:
1√
x2 + 1
− 1√
x + 5
= 0 ≡ x2 + 1 = x + 5
≡ x2 − x− 4 = 0
≡
Å
x2 − x + 1
4
ã
− 17
4
= 0
≡
Å
x− 1
2
ã2
− 17
4
= 0
≡
Ç
x− 1
2
−
√
17
2
åÇ
x− 1
2
+
√
17
2
å
= 0
≡ x ∈
®
1 +
√
17
2
,
1−
√
17
2
´
.
Así, si S es el conjunto solución de la ecuación, entonces
S = B ∩
®
1 +
√
17
2
,
1−
√
17
2
´
.
Solo nos queda determinar si
1 +
√
17
2
∈ B y 1−
√
17
2
∈ B;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 42
es decir, debemos determinar si
1 +
√
17
2
> −5 y 1−
√
17
2
> −5.
Utilicemos el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior. Empecemos con
la primera desigualdad: es verdadera ya que
1 +
√
17
2
> 0
y 0 > −5.
Vamos ahora con la segunda:
1−
√
17
2
> −5 ≡ 1−
√
17 > −10
≡ 11 >
√
17
≡ 121 > 17.
Dado que la proposición
121 > 17
es verdadera, por la definición de equivalencia lógica, colegimos que también lo es
la proposición
1−
√
17
2
> −5.
Ya podemos concluir: la ecuación
1√
x2 + 1
− 1√
x + 5
= 0
en R tiene dos soluciones:
1 +
√
17
2
y
1−
√
17
2
.
aSi z ∈ B ∩ (R+ ∪ {0}), entonces z > −1 y z > 0; de donde, tenemos que z > 0, ya que
0 > −1.
2.4La ecuación de segundo grado
Como mencionamos anteriormente, hay fórmulas explícitas para encontrar las so-
luciones únicamente de las ecuaciones algebraicas de primero a cuarto grado. Ya
estudiamos la solución general de la ecuación de primer grado. A través de los
ejemplos de las secciones anteriores, aprendimos a resolver una ecuación de segun-
do grado. No obstante, en esta sección abordemos el problema de modo general:
Dados A ⊆ R y los números reales a, b y c, con a 6= 0, resolver la
ecuación
ax2 + bx + c = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 43
en el conjunto A.
Si S es el conjunto solución de esta ecuación en A y T es el conjunto solución de
la ecuación en R, sabemos que
S = A ∩ T.
Por ello, es suficiente que abordemos la solución de esta ecuación en el conjunto R.
Supongamos que x ∈ R. Entonces, como hemos procedido en la mayoría de
los ejemplos anteriores, empecemos por aplicar la completación del trinomio cuadrado
perfecto; entonces tenemos las siguientes equivalencias lógicas:
ax2 + bx + c = 0 ≡ a
Ç
x2 + 2 · b
2a
x +
b2
4a2
å
− b
2
4a
+ c = 0
≡ a
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a
= 0
≡ a
ÇÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
å
= 0
≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0
(ya que a 6= 0); es decir, para todo número real x, la siguiente proposición es verda-
dera:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0. (2.7)
Ahora deberíamos aplicar la diferencia de cuadrados al númeroÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
.
Sin embargo, no sabemos si podemos hacerlo, ya que desconocemos si
b2 − 4ac
4a2
es un número mayor o igual que 0.
Ahora bien, dado que 4a2 > 0, para saber si el número anterior es positivo, cero
o negativo, es suficiente saber si
b2 − 4ac
es positivo, cero o negativo, respectivamente.
Por lo anterior, continuemos la búsqueda de la solución de esta ecuación estu-
diando los tres escenarios posibles.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 44
Caso: b2 − 4ac > 0. Por la diferencia de cuadrados, tenemos la equivalencia lógica
siguiente:Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0 ≡
Ç
x +
b
2a
−
√
b2 − 4ac
2
√
a2
åÇ
x +
b
2a
+
√
b2 − 4ac
2
√
a2
å
= 0.
Por tanto, las siguientes son las soluciones de la ecuación:
− b
2a
+
√
b2 − 4ac
2
√
a2
y − b
2a
−
√
b2 − 4ac
2
√
a2
.
Ahora bien, si a > 0, entonces
√
a2 = a; en este caso, la soluciones serán:
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
−b−
√
b2 − 4ac
2a
.
Si a < 0, por una parte,
√
a2 = −a, de donde
− b
2a
+
√
b2 − 4ac
2
√
a2
= − b
2a
+
√
b2 − 4ac
2(−a)
= − b
2a
−
√
b2 − 4ac
2a
y
− b
2a
−
√
b2 − 4ac
2
√
a2
= − b
2a
−
√
b2 − 4ac
2(−a)
= − b
2a
+
√
b2 − 4ac
2a
;
por tanto, las soluciones son
−b−
√
b2 − 4ac
2a
y
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
que son las mismas que las soluciones cuando a > 0. Así, si b2− 4ac > 0, el conjunto
solución de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es: ®
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
−b−
√
b2 − 4ac
2a
´
(2.8)
y en A:
A ∩
®
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
−b−
√
b2 − 4ac
2a
´
.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 45
Caso: b2 − 4ac = 0. De (2.7), tenemos:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0
≡
Å
x +
b
2a
ã2
= 0
≡ x + b
2a
= 0
≡ x ∈
ß
− b
2a
™
.
Por tanto, el conjunto solución de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es ß
− b
2a
™
y en A:
A ∩
ß
− b
2a
™
.
Caso: b2 − 4ac < 0. De (2.7), tenemos:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0
≡
Å
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
= 0;
es decir, es válida la siguiente equivalencia lógica:
ax2 + bx + c = 0 ≡
Å
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
= 0. (2.9)
Ahora bien, para todo x ∈ R, tenemos queÅ
x +
b
2a
ã2
> 0
y, dado que b2 − 4ac < 0, entonces 4ac− b2 > 0, de donde
4ac− b2
4a2
> 0;
así, colegimos que Å
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
> 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 46
es verdadera para todo x ∈ R, lo que tiene como consecuencia que la proposiciónÅ
x +
b
2a
ã2
+
4ac− b2
4a2
= 0
es falsa y, por tanto, de (2.9) y la definición de equivalencia lógica, la proposición
ax2 + bx + c = 0
es falsa para todo x ∈ R. Por tanto, ningún número real es solución de esta ecua-
ción. Por tanto, tanto en R como en A, el conjunto solución de esta ecuación es el
conjunto ∅.
Dado que la solución general de la ecuación de segundo grado depende del
que número b2− 4ac sea positivo, cero o negativo, a este número se le conoce con el
nombre de discriminante de la ecuación de segundo grado y se le suele representar
con la letra griega ∆ (que se corresponde con nuestra letra D):
∆ = b2 − 4ac.
Resumamos las deducciones anteriores en el siguiente teorema.
TEOREMA 2.1 (Fórmula general de la ecuación general de segundo grado).
Si a 6= 0, la solución general de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es:
1. ®
−b +
√
b2 − 4ac
2a
,
−b−
√
b2 − 4ac
2a
´
si b2 − 4ac > 0.
2. ß
− b
2a
™
si b2 − 4ac = 0.
3. el conjunto ∅ si b2 − 4ac < 0.
En los siguientes ejemplos, vamos a utilizar la fórmula general que hemos de-
ducido. Aunque no es difícil recordarla, siempre es mejor tener presente el método
mediante el cual la hemos obtenido.
Ejemplos: Fórmula general de la solución de la ecuación de segundo grado
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 47
1. Resolvamos la ecuación
x2 + 5x− 8 = 0
en A, donde
A = {u ∈ R : u 6 −2}.
En primer lugar, resolvamos esta ecuación en R. Para aplicar la fórmula gene-
ral, tomemos a = 1, b = 5 y c = −8; entonces, el discriminante de la ecuación
es:
∆ = b2 − 4ac = 25 + 40 = 65.
Como ∆ > 0, el conjunto solución es S, donde
S =
®
−5 +
√
65
2
,
−5−
√
65
2
´
.
Por tanto, la solución de esta ecuación en A es:
A ∩ S.
Para determinar los elementos de este conjunto, averigüemos si cada uno de los
elementos de S pertenece al conjunto A; es decir, si cada elemento de S es un nú-
mero real menor o igual que −2.
En primer lugar, como 65 > 25, tenemos que
√
65 > 5, de donde,
−5 +
√
65
2
> 0;
luego, por la tricotomía, colegimos que
−5 +
√
65
2
6∈ A.
En segundo lugar, tenemos las siguientes equivalencias lógicas:
−5−
√
65
2
6 −2 ≡ −5−
√
65 6 −4
≡ −1 6
√
65,
de donde, como
√
65 > 0 y −1 < 0, la proposición
−1 6
√
65
es verdadera y, por tanto, por la definición de equivalencia lógica, también lo es la
proposición
−5−
√
65
2
6 −2;
es decir,
−5−
√
65
2
∈ A,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 48
con lo que podemos concluir que
A ∩ S =
®
−5−
√
65
2
´
.
2. Resolvamos la ecuación
3x2 − 7x + 5 = 0
en R.
En este caso, a = 3, b = −7 y c = 5; entonces, el discriminante es
∆ = 49− 60 = −11
y es menor que 0. Por tanto, el conjunto solución de esta ecuación es el conjunto ∅.
3. La solución de la ecuación
x2 + 4x + 4 = 0
en R+ es el conjunto ∅.
En efecto, el discrimntante es
∆ = 16− 16 = 0;
por tanto, la solución en R es ß
−4
2
™
;
es decir, es
{−2} .
Finalmente, como
R+ ∩ {−2} = ∅,
la solución general de la ecuación
x2 + 4x + 4 = 0
es el conjunto ∅.
4. Encontremos todos los números reales λ tales que la ecuación
λx2 + 3x− 1 = 0
tenga dos soluciones en R.
Para que esta ecuación tenga dos soluciones, su discriminante ∆ debe ser ma-
yor que 0. Y, como
∆ = 9 + 4λ,
buscamos todos los números reales λ, distintos de 0, tales que
9 + 4λ > 0.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 49
Y, puesto que
9 + 4λ > 0 ≡ λ > −9
4
,
los números λ buscados son aquellos que
λ > −9
4
y λ 6= 0.
Debe estar claro que si λ = −9
4
, la ecuación tendrá una sola solución y que si
λ < −9
4
, no tendrá solución.
5. Determinemos todos los números reales β tales que la ecuación
2x2 + βx + 8 = 0
tenga una sola solución en R.
En este caso, el discriminante de la ecuación debe ser igual a 0; luego, los β
buscados son aquellos para los cuales la proposición
β2 − 64 = 0
es verdadera; es decir, es verdadera la proposición
β2 = 64.
Hay únicamente dos números cuyo cuadrado es 64: 8 y −8; luego, los números β
buscados son, precisamente, dichos números.
Cuando se estudia la solución de una ecuación de manera general,se pueden
deducir proposiciones adicionales a la solución general. Por ejemplo, en solución
general de la ecuación
ax2 + bx + c = 0,
en R, donde a 6= 0, establecimos que
ax2 + bx + c = a
ÇÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
å
. (2.10)
Si el discriminante ∆ de esta ecuación es mayor que 0, dedujimos queÅ
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
=
Ç
x− −b +
√
∆
2a
åÇ
x− −b−
√
∆
2a
å
;
luego, si
α =
−b +
√
∆
2a
y β =
−b−
√
∆
2a
,
entonces Å
x +
b
2a
ã2
− b
2 − 4ac
4a2
= (x− α)(x− β)
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 50
que, junto con (2.10), obtenemos que
ax2 + bx + c = a(x− α)(x− β),
donde α y β son las raíces de la ecuación; es decir, ¡hemos descompuesto en tres
factores el número ax2 + bx + c!
Si el discriminante ∆ es igual a 0, dedujimos que
ax2 + bx + c = a
Å
x +
b
2a
ã2
.
Si
γ = − b
2a
,
entonces γ es la raíz de la ecuación y
ax2 + bx + c = a(x− γ)2.
Una vez más hemos descompuesto en tres factores el número ax2 + bx + c.
Finalmente, si el discriminante ∆ es menor que 0, establecimos queÅ
x +
b
2a
ã2
+
b2 − 4ac
4a2
> 0
para todo número real x. Así que, si a > 0, entonces
a
ÇÅ
x +
b
2a
ã2
+
b2 − 4ac
4a2
å
> 0
que, junto con (2.10), nos permite concluir que
ax2 + bx + c > 0
para todo número real x si el discriminante es negativo.
De manera similar, podemos deducir que si a < 0, entonces
ax2 + bx + c < 0
para todo número real x si el discriminante es negativo.
Ejemplos: Fórmula general de la solución de la ecuación de segundo grado
1. La proposición
−5x2 + 6x− 3 < 0
es verdadera para todo x ∈ R.
En efecto, esto se deduce del hecho de que el discriminante de la correspon-
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 51
diente ecuación es negativo, ya que
36− 20 = −24,
y de −5 < 0.
2. La proposición
25x2 − 30x + 9 = 25
Å
x− 3
5
ã2
es verdadera para todo número real x.
En efecto, el discriminante de la ecuación correspondiente es igual a 0, pues
302 − 4(25)(9) = 900− 900.
Luego, el número
− −30
2(25)
=
3
5
es la solución de la ecuación
25x2 − 30x + 9 = 0.
3. El ejemplo anterior tiene carácter ilustrativo de las deducciones obtenidas a partir
de la fórmula general. Un procedimiento más directo para deducir la proposición
25x2 − 30x + 9 = 25
Å
x− 3
5
ã2
utiliza el trinomio cuadrado perfecto:
25x2 − 30x + 9 = (5x)2 − 2(5x)(3) + 32
= (5x− 3)2
=
Å
5
Å
x− 3
5
ãã2
= 25
Å
x− 3
5
ã2
.
4. “Descompongamos” en factores el número
12x2 + x− 1.
Para ello, calculemos el discriminante ∆ de la ecuación correspondiente:
∆ = 1− 4(12)(−1) = 49.
Como es mayor que 0, la ecuación
12x2 + x− 1 = 0
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 52
tiene dos soluciones:
α =
−1 + 7
24
=
1
4
y β =
1− 7
24
= −1
3
.
Por tanto, concluimos que
12x2 + x− 1 = 12
Å
x− 1
4
ãÅ
x +
1
3
ã
.
5. Es fácil probar que la proposición
x2 + x + 1 > 0
es verdadera para todo número real x, pues el discriminante de la ecuación
x2 + x + 1 = 0
es
1− 4 = −3 < 0
y 1 > 0.
Supongamos que a 6= 0 y el discriminante de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
es mayor que 0. Sean α y β las dos soluciones de esta ecuación en R. Hemos dedu-
cido que, en este caso, se tiene
ax2 + bx + c = a(x− α)(x− β)
para todo número real x.
Puesto que
(x− α)(x− β) = x2 − (α + β)x + αβ,
entonces, tenemos que
ax2 + bx + c = ax2 − a(α + β)x + aαβ
es verdadera para todo número real x; es decir,
bx + c = −a(α + β)x + aαβ (2.11)
es verdadera para todo x ∈ R.
En particular, la proposición (2.11) es verdadera si x = 0:
b0 + c = −a(α + β)0 + aαβ;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 53
por tanto, tenemos que
c = aαβ,
de donde
αβ =
c
a
,
ya que a 6= 0.
Dicho de otra manera:
el producto de las soluciones de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es igual a
c
a
.
La proposición (2.11) también es verdadera si x = 1:
b(1) + aαβ = −a(α + β)(1) + aαβ;
luego, tenemos que
b = −a(α + β),
de donde,
α + β = −b
a
.
Dicho de otro modo:
la suma de las soluciones de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
en R es igual a −b
a
.
Ejemplos: Sobre las soluciones
1. Determinemos la ecuación de segundo grado cuyas raíces son −5 y −2.
Para ello, supongamos que la ecuación es
ax2 + bx + c = 0,
donde a 6= 0.
Sabemos que
− b
a
= (−5) + (−7) = −12 y c
a
= (−5)(−2) = 10;
luego, obtenemos que
b = 12a y c = 10a;
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 54
así, colegimos que
ax2 + bx + c = ax2 + 12ax + 10a.
Luego, para cualquier número real a, distinto de 0, las soluciones de la ecuación
ax2 + 12ax + 10a = 0
en R son −5 y −2.
Como se puede ver, hay tantas ecuaciones como números reales distintos de 0.
Y, como a 6= 0, tenemos que
ax2 + 12ax + 10a = a(x2 + 12x + 10) = 0 ≡ x2 + 12x + 10 = 0;
luego, podríamos asumir desde el principio que a = 1:
x2 + 12x + 10 = 0.
2. Dados los números s y t, determinemos una ecuación de segundo grado cuyas
raíces sean
s + t y s− t.
Supongamos que la ecuación buscada es
x2 + bx + c = 0.
Entonces, b y c deben ser tales que
(s + t) + (s− t) = −b y (s + t)(s− t) = c;
es decir, deben ser verdaderas las proposiciones
b = −2s y c = s2 − t2.
Por tanto, la ecuación buscada es
x2 − 2sx + s2 = t2.
3. Determinemos dos números reales x y y tales que su suma sea igual a −5
6
y cuyo
producto sea igual a −1.
Los números buscados pueden ser vistos como las raíces de una ecuación cua-
drática cuyas raíces cumplen las siguientes propiedades:
(a) su suma es igual a −5
6
, y
(b) su producto es igual a −1.
Una ecuación que satisface estas condiciones es:
z2 + bz + c = 0,
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 55
donde
b = −
Å
−5
6
ã
y c = −1;
luego, la ecuación es
z2 +
5
6
z− 1 = 0.
Para encontrar los números buscados, debemos hallar las soluciones de esta
ecuación en R. Si utilizamos la fórmula general, vemos que su discriminante es
25
36
+ 4 =
25 + 144
26
=
Å
13
6
ã2
;
es decir, es mayor que 0 y, por tanto, la ecuación tiene dos soluciones:
− 56 +
…Ä
13
6
ä2
2
y
− 56 −
…Ä
13
6
ä2
2
;
es decir, las soluciones son:
− 56 +
13
6
2
y
− 56 −
13
6
2
.
Luego, los números buscados son:
x =
2
3
y y = −3
2
y, como se puede ver fácilmente, las proposiciones
x + y = −5
6
y xy = −1
son verdaderas.
2.5 Ejercicios propuestos
1. Resuelva la ecuación
x
3 + x
+
3x
1− x = 1
en R−R+.
2. Resuelva la ecuación
1
x− 4 +
1
x + 4
=
8
x2 − 16
en R.
3. Resuelva la ecuación
1
x− 4 +
1
x + 4
=
8
16− x2
en R.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 56
4. Halle todos los números reales positivos x tales que la proposición
x− 1
2
=
2
x + 1
es verdadera.
5. Determine el conjunto de todos los números reales negativos x tales que la
proposición
x + 2
x− 3 =
x + 3
x− 2
es verdadera.
6. Resuelva la ecuación
x
x + 5
− 5
x
= 1
en R.
7. Resuelva la ecuación
3
1 + x
+
x2 + 1
x2 − 1 −
x + 1
x− 1 = 0
en R.
8. Encuentre todos los números reales negativos x tales que la proposición
x− 1
x + 2
=
2x− 3
3x + 4
es verdadera.
9. Resuelva la ecuación
x + 1
x− 2 +
x− 3
x + 4
= 4
en R.
10. Determine el conjunto de los números reales x tales que la proposición
x− 1
x− 2 −
x− 2
x− 3 =
x− 4
x− 5 −
x− 5
x− 6
es verdadera.
11. Encuentre todos los números racionales x tales que la proposición
√
x− 1 = 1√
x + 1
es verdadera.
12. Resuelva la ecuación √
x2 + 2−
√
x2 − 2 =
√
x2 + 4
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 57
en R.
13. Resuelva la ecuación √
x2 − 9−
√
9− x2 = x
en R.
14. Resuelva la ecuación
x4 + x2 − 1 = 0
en R.
Sugerencia: defina t igual a x2 y sustituya en la ecuación. Resuelva la ecuación
obtenida en la incógnita t.
15. Resuelva la ecuación
x√
1 + x2
−
√
1 + x2
x
= −1
en R.
16. Resuelva la ecuación
x8 − 20x4 = −64
en R.
Sugerencia: defina t igual a x4 y sustituya en la ecuación. Resuelva la ecuación
obtenida en la incógnita t.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 58
Capítulo 3
Inecuaciones
3.1 Introducción
En el capítulo anterior, hicimos precisas la nociones deecuación con una incógnita y
resolver una ecuación. Para ello, entre otras cosas, recordamos los tipos de proposi-
ciones de la teoría Números reales: las igualdades y las desigualdades. Indicamos allí
que el segundo tipo de proposiciones se correspondían a las inecuaciones: este tipo
comprende, a su vez, cuatro clase de proposiciones:
a < b, a > b, a 6 b y a > b.
En la “resolución de inecuaciones” se utiliza una jerga similar a la que está pre-
sente en la resolución de ecuaciones; así, expresiones como “pasar un término al
lado contrario”, “multiplicar un número a ambos lados de la desigualdad”, “la des-
igualdad cambia de sentido”, entre otras. Todas estas expresiones se basan en teo-
remas sobre números reales derivados, principalmente, de los axiomas de orden.
Los más frecuentes son:
1. a + b < c ≡ a < c− b.
2. a− b < c ≡ a < c + b.
3. Si a > 0, entonces a · b < c ≡ b < c
a
.
4. Si a < 0, entonces a · b < c ≡ b > c
a
.
A estas equivalencias lógicas añadamos los siguientes teoremas que suelen de-
nominarse “leyes de los signos de la multiplicación”:
1. ab > 0 ≡ (a > 0∧ b > 0)∨ (a < 0∧ b < 0).
2. ab < 0 ≡ (a > 0∧ b < 0)∨ (a < 0∧ b > 0).
59
En los capítulos anteriores ya nos hemos encontrado con la tarea de resolver
inecuaciones. En efecto, cuando resolvimos la ecuación√
1− x2 = x
en los números reales, una de las primeras cuestiones que abordamos es averiguar
para qué números reales x la proposición
1− x2 > 0
es verdadera, dado que la raíz cuadrada está definida únicamente para números
mayores o iguales que 0. El procedimiento que utilizamos para “resolver” dicha
inecuación consistió en aplicar, simplemente, los teoremas de números reales. En
este capítulo vamos a ilustrar este procedimiento general para resolver inecuacio-
nes con una incógnita, noción que definiremos inmediatamente en la sección que
sigue.
En este capítulo también estudiaremos el concepto de valor absoluto y pondre-
mos nombres a ciertos conjuntos de números reales importantes.
3.2 Intervalos
Los conjuntos en los cuales “resolveremos” la inecuaciones, y también sus solucio-
nes, con mucha frecuencia serán del tipo
{u ∈ R : u > −2}, {v ∈ R : −3 < v 6 4},
entre otros. Por esto y otras razones, estos conjuntos son relevantes en las teorías
matemáticas construidas sobre la base de los números reales. Así, antes de abor-
dar las inecuaciones, definamos los intervalos (es decir, apliquemos el axioma de
construcción de clases).
DEFINICIÓN 3.1 (Intervalos)
Dados los números reales a y b:
1. Si a 6 b, el intervalo cerrado de extremos a y b, representado por [a, b], es el
conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o
iguales que b; es decir,
[a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b}.
Es claro que si a = b, entonces [a, b] = {a}.
2. Si a < b, el intervalo abierto de extremos a y b, representado por (a, b), es
el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b; es
decir,
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 60
3. Si a < b, el intervalo abierto en a y cerrado en b, representado por (a, b], es el
conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que
b; es decir,
(a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}.
Si a = b, se define (a, b] = {b}.
4. Si a < b, el intervalo cerrado en a y abierto en b, representado por [a, b), es el
conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que
b; es decir,
[a, b) = {x ∈ R : a 6 x < b}.
Si a = b, se define [a, b) = {a}.
5. Si a ∈ R, los intervalos infinitos cerrados en a, representados por [a,+∞) y
(−∞, a], son los conjuntos de todos los números reales mayores o iguales que
a y los menores o iguales que a, respectivamente. Por tanto,
[a,+∞) = {x ∈ R : x > a} y (−∞, a] = {x ∈ R : x 6 a}.
6. Si a ∈ R, los intervalos infinitos abiertos en a, representados por (a,+∞) y
(−∞, a), son los conjuntos de todos los números reales mayores que a y los
menores que a, respectivamente. Por tanto,
(a,+∞) = {x ∈ R : x > a} y (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
A los intervalos (a, b] y [a, b) también se les conoce con los nombres semi-abierto o
semi-cerrado.
Antes de continuar, es necesario realizar un par de aclaraciones sobre las nota-
ciones en esta definición. En primer lugar, el signo
(a, b)
fue utilizado para representar un par ordenado, y se lo definió como el par desor-
denado de {a} y de {a, b}, donde a y b representan dos conjuntos cualesquiera. En
la definición anterior, este mismo signo representa el conjunto de todos los números
reales menores que b y mayores que a, donde a y b son números reales. No es fre-
cuente, pero en ocasiones utilizamos los mismos signos para conceptos diferentes,
como el caso que nos ocupa. Lo hacemos así porque, por un lado, se considera que
esa representación es una buena alternativa para mostrar que a y b no están en el
conjunto1 y, por otro lado, siempre es posible reconocer qué es lo que representa el
1Por supuesto, no es la única manera de representar un intervalo abierto; otra que suele utilizarse
es
]a, b[,
pero es menos común y no la utilizaremos en estas notas de clase, ni en el curso.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 61
signo por el contexto, sea que se mencione explícitamente, o sea que los diferentes
signos y palabras que aparecen junto al signo nos lo dicen.
La segunda aclaración tiene que ver con los símbolos
+∞, −∞.
Sus nombres son “más infinito” y “menos infinito”, respectivamente. Lo primero
que tiene que quedar claro es que estos símbolos no representan números reales
y, por ello, no tiene ningún sentido realizar ninguna operación (sumar, multiplicar)
entre ellos o con un número real.
Su introducción en la representación de los conjuntos de números mayores o
iguales que un número dado (o menores o iguales) expresa el hecho de que no
hay un número real mayor que todos los números reales, ni un número menor que
todos los números reales; es decir, el conjunto de los números reales no está acotado
ni superiormente, ni inferiormente.
Por otra parte, la palabra infinito en el nombre de estos intervalos hace refe-
rencia a la interpretación geométrica de los números reales. En efecto, dado que se
establece una correspondencia de cualquier recta con el conjunto de los números
reales, los conjuntos
(a,+∞) y (−∞, a)
simplemente indican los “lados de la recta” respecto del punto cuya coordenada
es a; estos “lados” son, en realidad, rayos y, desde el punto de vista de la métrica,
no tienen una longitud “finita” (a diferencia de los segmentos, que representan los
otros intervalos).
En resumen, los símbolos del infinito deberán tomarse únicamente como nota-
ciones para representar dos tipos de conjuntos (intervalos) y nada más2.
De estas definiciones (axioma de construcción de clases), se derivan las siguien-
tes equivalencias lógicas:
TEOREMA 3.1 (Intervalos).
Dados los números reales a y b tales que a < b, son válidas las siguientes equiva-
lencias lógicas:
1. x ∈ [a, b] ≡ a 6 x 6 b
2. x ∈ (a, b) ≡ a < x < b
3. x ∈ (a, b] ≡ a < x 6 b
4. x ∈ [a, b) ≡ a 6 x < b
5. x ∈ [a,+∞) ≡ x > a
6. x ∈ (a,+∞) ≡ x > a
7. x ∈ (−∞, a] ≡ x 6 a
8. x ∈ (−∞, a) ≡ x < a
Veamos algunos ejemplos.
2Porque no tienen más que un rol de representación, los símbolos del infinito tampoco serán utili-
zados en la interpretación geométrica de los intervalos.
EPN - Enero - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 62
Ejemplos: Intervalos
1. Supongamos que a < b. Si u > b, entonces
u 6∈ [a, b)
porque u no es menor que b por la transitiva de la relación menor que y la Tricoto-
mía.
Un razonamiento similar, nos permite concluir que, si v 6 a, entonces
v 6∈ (a, b].
2. Supongamos que a < b. Entonces a 6∈ (a, b) y a ∈ [a, b).
3. Si z < a, entonces z 6∈ [a,+∞) y z 6∈ (a,+∞).
4. Determinemos (−5, 4]∩ [0,+∞). Para ello, supongamos que
x ∈ (−5, 4]∩ [0,+∞).
Dado que x > 0, por la Tricotomía, no es verdadera la proposición
−5 < x < 0.
Y puesto que x 6 4, entonces no es verdadera la proposición
x > 4.
Esto significa que