4 - TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON

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TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON 
Los teoremas de Thevenin y Norton son dos versiones distintas según el cual, cualquier 
circuito es eléctricamente equivalente entre dos de sus terminales a un generador real 
de tensión (generador equivalente de Thevenin) o a uno de corriente (generador 
equivalente de Norton). 
I.- Teorema de Thevenin. 
El teorema de Thévenin es un método que permite convertir cualquier circuito de 
corriente alterna lineal bilateral, figura No. 1, en una sola fuente ideal de voltaje de 
corriente alterna denominada como fuente Equivalente de Thevenina en serie con una 
impedancia equivalente denominada como Impedancia Equivalente de Thevenin, figura 
No. 2. 
 
 
 
 Figura No. 1 Figura No. 2 
 
Si el circuito original contiene elementos reactivos, el circuito equivalente de Thévenin 
será válido sólo a la frecuencia en la cual se determinaron las reactancias. El método 
se usa para determinar el equivalente de Thévenin de un circuito de ca que tiene ya sea 
fuentes independientes o fuentes que dependen de algún voltaje o corriente de algún 
otro circuito. El método descrito no puede usarse en circuitos que tienen fuentes 
dependientes controladas por voltaje o corriente en el mismo circuito 
Como la red activa es en corriente alterna, entonces es posible que contenga 
componentes reactivos, por lo tanto el equivalente de thevenin será válido solo a la 
frecuencia a cual fueron determinadas las reactancias. 
La metodología para determinar la fuente equivalente y la impedancia equivalente es de 
la siguiente forma; 
1) Separe la rama o impedancia en la cual se ubicará el circuito equivalente de 
Thévenin. 
2) Marque las dos terminales que quedan, en gráfico están identificados con las 
letras A y B. 
3) Anulamos la o las fuentes de generación tensión fuente, esto se logra 
sustituyendo las fuentes con un cortocircuito. 
4) Determinar la impedancia equivalente de Thévenin 𝑍𝑇𝐻 visto desde los 
terminales abiertos A y B, resulta evidente de acuerdo a las figuras No. 1 y 2 
que 𝑍𝐴𝐵 = 𝑍𝑇𝐻. 
RED
ACTIVA
A
B
A
B
A
B
+
-
UTH
ZTH
RTH
jXTH
5) Para determinar la fuente equivalente de tensión, vuelva a colocar las fuentes 
que se quitaron en el paso (3) y determine el voltaje a circuito abierto en las 
terminales A y B. Si alguna de las fuentes está expresada en forma sinusoidal, 
primero es necesario convertirlas a la forma fasorial equivalente. Para resolver 
el circuito utilizar uno de los teoremas estudiados anteriorment. El voltaje a 
circuito abierto en los terminales A y B (𝑈𝐴𝐵 = 𝑈𝑇𝐻) es el voltaje de Thévenin 
𝑈𝑇𝐻. 
6) Dibuje el circuito equivalente de Thévenin como indica la figura No. 2, conecte a 
los terminales A y B la impedancia que desea estudiar. 
Ejemplo de aplicación. 
Determinar la corriente en la impedancia 10 - j5, utilizando el circuito equivalente de 
Thevenin para el siguiente circuito. 
 
 
Figura A. 
 
Solución. 
Para determinar la corriente, seguiremos paso a paso la metodología planteada para le 
teorema. 
1).- Separamos la impedancia en la cual se aplicará el circuito equivalente. 
 
 
Figura B 
 
Para determinar la fuente equivalente y la impedancia, identificaremos los siguientes 
componentes. 
+
-
10 0°
10 j16
10
10 90°
+
-
j4
j5
10
-j5
+
-
10 0°
10 j16
10
10 90°
+
-
j4
j5
10
-j5
A
B
(𝑎) … … … … … 𝑈1 = 10 = 10 ∠0° 
(𝑏) … … … … … 𝑈2 = 𝑗10 = 10 ∠90° 
(𝑐) … … … … … 𝑍1 = 10 + 𝑗16 = 18.9 ∠58° 
(𝑑) … … … … … 𝑍2 = 10 = 10 ∠0° 
(𝑒) … … … … … 𝑍3 = 𝑗4 = 4 ∠90° 
(𝑓) … … … … … 𝑍4 = 𝑗5 = 5 ∠90° 
(𝑔) … … … … … 𝑍5 = 10 − 𝑗5 = 11.2 ∠ − 26.6° 
2).- Designamos los puntos A y B para identificar los puntos para determinar el circuito 
equivalente y separamos la impedancia de estudio, figura B. 
3).- Ahora anulamos las fuentes de generación, cortocircuitos entre sus terminales, el 
circuito ahora toma la siguiente forma, figura C. 
 
 
Figura C Figura D 
 
Se sumas las impedancias en serie y se obtiene Za, figura D 
(1) … … … … … 𝑍𝑎 = (10 + 𝑗16) + (𝑗4) = 10 + 𝑗 20 = 22.4 ∠63.4° 
Se resuelve el paralelo entre las impedancias, 𝑍𝑎 y 𝑍2, figura E 
(2) … … … … 𝑍𝑏 =
𝑍𝑎 ∙ 𝑍2
𝑍𝑎 + 𝑍2
=
(22.4 ∠63.4°) ∙ (10 ∠0°) 
(10 + 𝑗20) + (10)
= 7.5 + 𝑗 2.5 = 7.9 ∠18.4° 
 
 
Figura E Figura F 
 
10
j16
10
j4
j5
A
B
7.5
j2.5
j5
A
B
10
j20
10
j5
A
B
7.5
j7.5
A
B
ZTH
Sumando las impedancias Zb y Z4, se obtiene la impedancia equivalente de Thevenin, 
figura F 
(3) … … … … … 𝑍𝑇𝐻 = 𝑍𝑏 + 𝑍4 = (7.5 + 𝑗2.5) + (𝑗5) = 7.5 + 𝑗 7.5 = 10.6 ∠45° 
Para determinar la fuente equivalente de Thevenin resolvemos el siguiente circuito. 
Si observamos el circuito de la figura E, la tensión 𝑉𝐴𝐵 corresponde la tensión de la 
fuente de thevenin. En la malla a considerar circula la corriente I1, cuyo valor es; 
(4) … … … … … 𝐼1 =
𝑈1+𝑈2
(10+𝑗 16)+(10)+(𝑗4)
=
10+𝑗 10
20+𝑗 20
=
14.1 ∠45°
28.3 ∠45°
= 0.5 ∠0° 
 
 
Figura E Figura G 
 
En la figura G, la tensión entre sus terminales que representa la tensión de la fuente de 
Thevenin. 
 (5) … … … … … 𝑈𝑇𝐻 = 𝑍2 ∙ 𝐼1 − 𝑈2 = (10∠0°) ∙ 0.5 ∠0° − 10 ∠90° 
(6) … … … … … 𝑈𝑇𝐻 = 5 − 𝑗10 = 11.2 ∠ − 63.4° 
 
 
Figura H Figura I 
 
El circuito equivalente de Thevenin se representa en la figura H. 
Para determinar la corriente y la potencia en la impedancia 𝑍5 = 10 − 𝑗5, utilizaremos el 
circuito simplificado de la figura I, 
+
-
10 0°
10 j16
10
10 90°
+
-
j4
j5
A
B
I1
+
-
U =11.2 -63.4°TH
A
B
Z = 7.5+j7.5TH
10
+
-
I1
10 90°
+
-
A
B
Z = 7.5+j7.5TH
10
-j5I
U =11.2 -63.4°TH
(7) … … … … … 𝐼 =
𝑈𝑇𝐻
𝑍𝑇𝐻 + 𝑍5
=
11.2 ∠ − 63.4°
(7.5 + 𝑗 7.5) + (10 − 𝑗 5)
=
11.2 ∠ − 63.4°
17.5 + 𝑗 2.5 
 
(8) … … … … … 𝐼 =
11.2 ∠ − 63.4°
17.7 ∠8.1°
= 0.63 ∠ − 71.5° 
II.- Teorema de Norton. 
El teorema de Norton, establece que cualquier red lineal bilateral, convierte en un 
circuito equivalente que consiste en una sola fuente de corriente conectado a una 
impedancia en paralelo, figura No. 3. 
 
 
 Figura No. 3 Figura No. 4 
 
Se puede determinar el equivalente de Norton a partir del desarrollo del equivalente de 
Thevenin, sin general para utilizar este teorema, se procede de forma independiente a 
resolver los problemas de los circuitos. La metodología es similar al del teorema de 
Thevenin, con los cambios de la fuente. 
1) Separe la rama o impedancia en la cual se ubicará el circuito equivalente de 
Thévenin. 
2) Marque las dos terminales que quedan, en gráfico están identificados con las 
letras A y B. 
3) Anulamos la o las fuentes de generación tensión fuente, esto se logra 
sustituyendo las fuentes con un cortocircuito, si la fuente es de corriente 
reemplazar con circuito abierto. 
4) Determinar la impedancia equivalente de Norton 𝑍𝑁 visto desde los terminales 
abiertos A y B, como el procedimiento es similar que para el equivalente de 
Thevenin, la impedancia equivalente de Norton es igual a la impedancia 
equivalente de Thevenin, 𝑍𝑁 = 𝑍𝑇𝐻. 
5) Para determinar al fuente equivalente de corriente, vuelva a colocar las fuentes 
que se quitaron en el paso (3), una los puntos “A y B” formando un cortocircuito 
y determine la corriente a través de estos puntos que corresponde a la fuente de 
corriente de Norton. Si alguna de las fuentes está expresada en forma sinusoidal, 
primero es necesario convertirlas a la forma fasorial equivalente. Para resolver 
el circuito, utilizar uno de los deferentes teoremas estudiados anteriormente. 
6) Dibuje el circuito equivalente de Norton como indica lafigura No. 4, conecte a 
los terminales A y B la impedancia que desea estudiar. 
 Ejemplo de aplicación. 
Resolver el problema anterior utilizando el equivalente de Norton. 
RED
ACTIVA
A
B
B
A
B
IN
RN
jXN
Solución. 
El circuito que resolveros es el de la figura No.5, similar al utilizado en el teorema de 
Thevenin. 
 
 
Figura No. 5 
 
Para determinar la corriente entre los puntos A y B, utilizaremos el método de las 
corrientes de malla, previamente identificaremos las impedancias que intervienen figura 
No. 6, los valores están representados en la solución para el teorema de Thevenin. 
 
Figura No. 6 
 
La ecuación matricial que representa el circuito es de la siguiente manera, ecuación (1). 
(1) … … … … … [
𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 −𝑍2
−𝑍2 𝑍2 + 𝑍4
] ∙ [
𝐼1
𝐼𝑁
] = [
𝑈1 + 𝑈2
−𝑈2
] 
Reemplazando los valores como número complejo resulta, ecuación (1.a). 
(1. 𝑎) … … … … [
20 + 𝑗 20 −10
−10 10 + 𝑗5
] ∙ [
𝐼1
𝐼𝑁
] = [
10 + 𝑗10
−𝑗 10
] 
También puede ser representado con fasores, el uso final dependerá de la preferencia 
de los que busquen la solución, ecuación (1.b). 
(1. 𝑏) … … … … [
28.3 ∠45° −10 ∠0°
−10 ∠0° 11.2 ∠26.6°
] ∙ [
𝐼1
𝐼𝑁𝐴
] = [
14.1 ∠45°
−10 ∠90°
] 
+
-
10 0°
10 j16
10
10 90°
+
-
j4
j5
10
-j5
+
-
10 0°
10 j16
10
10 90°
+
-
j4
j5
A
B
I1
IN
Z1
Z2
U2
U1
Z4
Z3
Para la corriente de Norton, se plantea la siguiente secuencia de ecuación. 
(2) … … … … … 𝐼𝑁 =
[[
𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 𝑈1 + 𝑈2
−𝑍2 −𝑈2
]]
[
𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 −𝑍2
−𝑍2 𝑍2 + 𝑍4
]
 
(2. 𝑎) … … … … 𝐼𝑁 =
−[(𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3) ∙ (𝑈2)] + [(𝑈1 + 𝑈2) ∙ (𝑍2)]
[(𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3) ∙ (𝑍2 + 𝑍4)] − [(𝑍2) ∙ (𝑍2)]
 
(2. 𝑏) … … … … 𝐼𝑁 =
[
(20 + 𝑗20) (10 + 𝑗 10)
−(10) −(𝑗 10)
]
[
(20 + 𝑗20) −(10)
−(10) (10 + 𝑗5)
]
 
(2. 𝑐) … … … … 𝐼𝑁 =
−[(20 + 𝑗20) ∙ (𝑗 10)] + [(10 + 𝑗 10) ∙ (10)]
[(20 + 𝑗20) ∙ (10 + 𝑗5)] − [(10) ∙ (10)]
 
(2. 𝑑) … … … … … 𝐼𝑁 =
(−200 + 𝑗200) + (100 + 𝑗100)
(100 + 𝑗300) − (100)
 
(2. 𝑒) … … … … … 𝐼𝑁 =
300 − 𝑗100
𝑗300
=
316.2 ∠ − 18.4°
300 ∠90° 
 
La corriente de fuente de Norton será de; 
(3) … … … … … … 𝐼𝑁 = −0.33 − 𝑗 = 1.05∠ − 108.4° 
(3. 𝑎) … … … … … 𝐼𝑁 = 1.05∠251.6° 
Las ecuaciones (3 y 3.a) representan lo mismo, el ángulo complementario para tomar el 
ángulo con valor positivo, el circuito equivalente de Norton como indica la figura No. 7. 
 
Figura No.7 
 
Figura No. 8 
 
I
N
A
B
ZN
1.05 -108.4°
j7.5
7.5
A
B
ZN
j7.5
7.5 10
-j5
I1 I2I =-0.33-jN
Para calcular la corriente en la impedancia de estudio 𝑍5, utilizaremos el circuito No. 8, 
para calcular la corriente 𝐼2 que circula por esta impedancia, simplificaremos y 
utilizaremos del divisor de corriente. 
(4) … … … … … 𝐼2 =
𝑍𝑇𝐻
𝑍𝑇𝐻 + 𝑍5
∙ 𝐼𝑁 
Reemplazando los valores esta ecuación queda de la siguiente manera. 
(4. 𝑎) … … … … 𝐼2 =
7.5 + 𝑗7.5
(7.5 + 𝑗7.5) + (10 − 𝑗5)
∙ (−0.33 − 𝑗) 
(4. 𝑏) … … … … 𝐼2 =
7.5 + 𝑗7.5
17.5 + 𝑗 2.5
∙ (−0.33 − 𝑗) 
(4. 𝑐) … … … … 𝐼2 = (0.48 + 𝑗 0.36) ∙ (0.33 − 𝑗) 
Por lo tanto la corriente en la impedancia de estudio es; 
(5) … … … … … 𝐼2 = 0.20 − 𝑗 0.6 = 0.63 ∠ − 71.5° 
Cuyo es valor es exactamente como el valor de la ecuación (8). 
En la parte introductoria del tratamiento del teorema de Norton, anotamos que también 
es posible obtener la corriente de Norton de la transformación de las fuentes de tensión 
y corriente, es nuestro caso será de la siguiente forma. 
(6) … … … … … 𝐼𝑁 =
𝑈𝑇𝐻
𝑍𝑇𝐻
=
11.2 ∠ − 63.4° 
10.6 ∠45°
= 1.05 ∠ − 108.4° 
Cuyo valor es idéntico al obtenido en la ecuación (3).