HT-4 Gauss_1Sem2021_Solucionario

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA, FÍSICA 2, Inga. Claudia Contreras - HT4- 
 
- Hoja de Trabajo No.4 - Solucionario 
Ley de Gauss 
 
Problema 1. Una densidad de carga uniforme de 500 nC/m
3
 está distribuida en una esfera de 16cm de radio. 
Considere una superficie cúbica imaginaria de 4.0 cm por lado, que se encuentra completamente adentro de 
la esfera. Determine el flujo eléctrico (en 
 
 
 ) a través de esta superficie cúbica. 
a) 7.1 b) 3.6 c) 12 d) 19 e) 970 
Solución: Observe que el cubo se encuentra completamente dentro de la esfera, por lo que el flujo eléctrico 
a través de éste es el cociente entre la carga encerrada por el cubo y la constante de permitividad del 
espacio libre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2. Si es el flujo eléctrico en una superficie cuadrada plana con un vector de área ⃗ 
 ̂ 
 ̂en un campo eléctrico uniforme de ⃗⃗ ̂ ̂ y es el flujo eléctrico en una superficie oval 
plana con un vector de área ⃗ ̂ ̂ en un campo eléctrico uniforme de ⃗⃗ ̂ ̂ 
¿cuáles son los valores correctos de los flujos eléctricos y en unidades SI? 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: El flujo Eléctrico a través de una superficie lo podemos calcular como: 
 ⃗⃗ ⃗ 
El flujo eléctrico a través de la superficie 1 es: 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
El flujo eléctrico a través de la superficie 2 es: 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
Problema 3. Una línea de carga uniforme tiene una densidad de y está distribuida a lo largo del eje 
“x”. Considere una superficie esférica de de radio centrada en el origen. ¿Cuál es el flujo eléctrico en 
 
 
 a través de esta superficie esférica? 
 
 
 
Solución: 
El flujo eléctrico a través de toda la superficie esférica se puede calcular 
como: 
 
 
 
La carga que encierra la superficie esférica es la longitud de 10cm de línea 
que pasa a través del eje “x”: 
 
 
De tal forma que el flujo eléctrico a través de la superficie esférica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 4. El flujo eléctrico en cierta región en el espacio 
está dado por ⃗⃗ ̂ ̂ , donde está 
expresada en metros. a) ¿Cuál es la magnitud del flujo 
eléctrico (en 
 
 
 ) a través de la cara superior del cubo que 
se muestra en la figura? 
 
 
 b) ¿Cuál es el flujo 
eléctrico en la cara inferior del cubo? 
 
 
 
 
Solución: Se trata de una superficie plana, el flujo eléctrico 
a través de la cara superior del cubo está dado por: 
 ⃗⃗ ⃗ 
El vector de área de la cara superior del cubo apunta en dirección + ̂. (Recuerde que los vectores de área en 
superficies cerradas siempre son salientes a la superficie y perpendiculares a ésta). Por lo que: 
 ⃗ ̂ 
Y el campo eléctrico en la cara superior del cubo es de: 
 ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 
Observe que en la cara superior del cubo. 
 
El flujo eléctrico es entonces: 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
En la cara inferior el vector de área es 
 ⃗ ̂ 
Y el campo eléctrico en la cara inferior del cubo es de: 
 ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 
Observe que en la cara inferior del cubo. El flujo es entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5. Una esfera aislante posee una carga uniformemente distribuida en 
su superficie, la cual tiene un valor de , y el radio de dicha esfera 
tiene un valor de . Calcule: 
 
a) La densidad superficial de carga de la esfera 
 
 
 
 
 
 
 
b) El campo eléctrico en el centro de la esfera cargada 
Si se dibuja una superficie gausiana esférica con un radio se observa que la carga encerrada 
 ; por lo que el campo eléctrico en el interior de la esfera es cero. 
c) El flujo de campo eléctrico a través de una superficie esférica concéntrica con la esfera cargada de radio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d) El campo eléctrico en medido respecto del centro de la esfera cargada. 
Si se dibuja una superficie gausiana esférica con un radio se observa que la carga encerrada 
es . Por lo que al aplicar la ley de Gauss: 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 ̂ 
 
Problema 6. Un cascarón esférico aislante tiene una densidad volumétrica de 
carga de distribuida uniformemente. El cascarón tiene radios 
 y . Utilice la Ley de Gauss para calcular el campo 
eléctrico en y ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
Solución la distribución de carga tiene una simetría 
esférica por lo que para calcular el campo en 
dibujaremos una superficie gausiana esférica de radio 
8cm, localizada en el interior del cascarón esférico como se muestra en la figura. 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 ⃗⃗ 
 (
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 ̂ 
b) Ahora dibujaremos una superficie gausiana de radio 15cm ( la cual será concéntrica con el 
cascarón, como se muestra en la figura. Observemos que la carga encerrada por la superficie gausiana, 
corresponde a toda la carga del cascarón. 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 ⃗⃗ 
 (
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
𝑅 
𝑅 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + + + 
+ + 
+ + + + 
+ 
+ + 
+ + 
+ + + 
+ + 
+ 
+ 
+ + + 
+ + 
 r 
 
𝑅 
𝑅 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + + + 
+ + 
+ + + + 
+ 
+ + 
+ + 
+ + + 
+ + 
+ 
+ 
+ + + 
+ + 
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Problema 7. Un cilindro aislante de 12cm de radio tiene una densidad uniforme de 5nC/m
3
. Determine 
utilizando la Ley de Gauss, la magnitud del campo eléctrico (en N/C) a 5 cm del eje del cilindro. 
a) 25 b) 20 c) 14 d) 31 e) 34 
Solución: Se trata de una distribución volumétrica de carga con densidad y radio 
 ; debido a que se trata de un cilindro, utilizaremos una superficie gausiana cilíndrica 
concéntrica con el cilindro aislante, como se muestra en la figura, de longitud . 
El radio de la superficie gausiana lo determinamos en el punto 
donde requerimos calcular la magnitud del campo eléctrico, es 
decir, . Aplicando Gauss: 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
La parte izquierda de la ecuación se refiere al flujo a través de la 
superficie gausiana por lo que: 
 
 
 
 
Siendo la carga encerrada 
 ; observe solamente encerramos la carga del cilindro 
gausiano. Al sustituir en la expresión anterior y despejar para el campo eléctrico: 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ 
La magnitud del campo eléctrico en el interior del cilindro aislante a 5cm de su centro es de 14.1 N/C y la 
dirección es radialmente hacia afuera de la superficie gausiana. 
 
Un cilindro aislante de 12cm de radio tiene una densidad uniforme de 5nC/m
3
. Determine utilizando la Ley 
de Gauss, la magnitud del campo eléctrico (en N/C) a 15 cm del eje del cilindro. 
a) 20 b) 27 c) 16 d) 12 e) 54 
Solución: Se trata de una distribución volumétrica de carga con densidad y radio 
 ; debido a que se trata deun cilindro, utilizaremos una superficie gausiana cilíndrica 
concéntrica con el cilindro aislante, como se muestra en la figura, de longitud . 
 
El radio de la superficie gausiana lo determinamos en el punto 
donde requerimos calcular la magnitud del campo eléctrico, es 
decir, . Aplicando Gauss: 
 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
La parte izquierda de la ecuación se refiere al flujo a través de la superficie gausiana por lo que: 
 
 
 
 
Siendo la carga encerrada 
 ; observe que encerramos toda la carga del cilindro 
aislante. Al sustituir en la expresión anterior y despejar para el campo eléctrico: 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ 
 
La magnitud del campo eléctrico en el interior del cilindro aislante a 15cm de su centro es de 27.1 N/C y 
la dirección es radialmente hacia afuera de la superficie gausiana.