HH1(2)

Vista previa del material en texto

4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 53 
PROBLEMA 36 
 
Determinar los caudales circulantes en el sistema de la figura, cuyos niveles están en 
metros: 
 
100
80
0 50
A
B
C
E
L D2 2
L D3 3
L D1 1
 
 
L1 = 5000 m; L2 = 5000 m; L3 = 3000 m; D1 = 800 mm; D2 = 400 mm; D3 = 500 mm; 
k1 = k2 = k3 = 1 mm 
 
Nota: Se tendrán sólo en cuenta las pérdidas de carga continuas y la pérdida de carga de 
las desembocaduras de los tramos 2 y 3 a los depósitos B y C, respectivamente. 
 
Como hipótesis inicial se parte de los sentidos de circulación representados en la figura 
 
100
80
0 50
A
B
C
E
Q2
Q3
Q1
 
 
Suponiendo que los tres tramos de tubería están en régimen turbulento rugoso se halla el valor 
del coeficiente de fricción para cada tubería, que están recogidos en la siguiente tabla: 
 
 L (m) D (m) A(m2) k(mm) k/D f(Turb. Rugoso)
Tramo 1 5000 0.8 0.502 1 0.00125 0.021 
Tramo 2 5000 0.4 0.126 1 0.0025 0.025 
Tramo 3 3000 0.5 0.196 1 0.002 0.0235 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre cada depósito y el nudo E, de energía HE, así como 
la ecuación de continuidad en el nudo E: 
 
2
1
2
1
1
11
E gA2
Q
D
Lf
H100  ; 21E Q53.26H100  (1) 
 
2
2
2
2
2
22
E gA2
Q
1
D
Lf
50H 





 ; 22E Q92.101350H  (2) 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
54 Hidráulica e Hidrología I 
 
2
3
2
3
3
33
E gA2
Q
1
D
Lf
80H 





 ; 23E Q11.18880H  (3) 
 
321 QQQ  ; 321 QQQ  (4) 
 
Despejando Q1, Q2 y Q3 de las ecuaciones (1), (2) y (3) y sustituyendo en (4) se obtiene: 
 
11.188
80H
92.1013
50H
53.26
H100 EEE 



 ; HE = 93.89 m 
 
Sustituyendo el valor de hE en las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene: 
 
Q1 = 0.480 m
3/s ; Q2 = 0.272 m
3/s ; Q3 = 0.208 m
3/s 
 
El tipo de régimen correspondiente a estos caudales es el turbulento rugoso, como se supuso 
inicialmente. 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 55 
PROBLEMA 37 
 
Se desea abastecer no menos de 50 l/s a una torre de acumulación de agua para prevención 
de incendios en un área forestal de recreo cercana a una ciudad. Para ello se abre una 
derivación de 200 m de longitud de la línea de abastecimiento de la ciudad hacia la torre, 
cuyo depósito se mantiene a la cota constante de 30 m mediante un rebosadero que lleva el 
agua sobrante a una cascada artificial. El caudal mínimo de abastecimiento a la ciudad 
debe ser de 400 l/s. Determinar cuáles deben ser los niveles máximo y mínimo en el 
depósito general de abastecimiento y el diámetro de la derivación para que en ningún caso 
se supere el caudal de 500 l/s en la tubería de 800 mm. El material de todas las tuberías es 
hormigón con una rugosidad absoluta de 2 mm. 
 
 
 
Nota: Se tendrán sólo en cuenta las pérdidas de carga continuas y la pérdida de carga de 
las desembocaduras de la derivación al depósito de la torre y de la tubería principal al 
depósito general de abastecimiento, respectivamente. 
 
A
B
C
D
H
Q
Q
Q
1
2
3
30 m
0 m
 
 
Los requisitos impuestos a los caudales son: 
 
Q1 < 0.500 m
3/s ; Q2 > 0.400 m
3/s ; Q3 > 0.050 m
3/s 
 
La ecuación de continuidad aplicada al nudo B y la ecuación de la energía aplicada a las 
tuberías AB, BC y BD, siendo h el nivel de energía del nudo B, son: 
 
321 QQQ  (1) 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
56 Hidráulica e Hidrología I 
 
 
11B LIHH  (2) 
 
g2
v
LIH
2
2
22B  (3) 
 
g2
v
LI30H
2
3
33B  (4) 
 
Para calcular el nivel mínimo en el depósito general, Hmin, se supondrá que los caudales que 
circulan por los tramos BC y BD son los mínimos: 
 
Q2 = 0.400 m
3/s ; Q3 = 0.050 m
3/s 
 
En el tramo BC Q2 = 0.4 m
3/s, v2 = 2.04 m/s, Re = 1.02*10
6, k/D = 0.004 y el coeficiente de 
fricción es f2 = 0.028, que corresponde al régimen turbulento rugoso. Sustituyendo en la 
ecuación (3) se halla la energía correspondiente al nudo B, HB: 
 
m88.35
g2
04.2
1
5.0
3000*028.0
g2
v
g2
v
D
Lf
H
22
2
2
2
2
22
B 




  
 
Conocido el valor de h se puede calcular el diámetro del tramo BD, D3. Sustituyendo HB en la 
ecuación (4) 
 
g2
v
1
D
Lf
3088.35
2
3
3
33






 ; 
g2
v
1
D
200*f
88.5
2
3
3
3






 
 
Se va a partir de un valor del diámetro D3 = 0.20 m. Para este diámetro y con Q3 = 0.050 m
3/s 
se obtiene: v3 = 1.59 m/s, Re = 3.2*10
5, k/D = 0.01 y el coeficiente de fricción es f3 = 0.038, 
correspondiente a régimen turbulento rugoso. La energía disipada en el tramo BD será: 
 
m88.5m03.5
g2
59.1
1
2.0
200*038.0
2





  
 
Como la energía disipada (5.03 m) es menor que la disponible (5.88 m) se puede admitir un 
diámetro inferior a 0.20 m. Se intentará utilizar un diámetro un poco menor, dentro de los 
diámetros comerciales (D3 = 0.175 m). 
 
Para Q3 = 0.050 m
3/s, D3 = 0.175 m: v3 = 2.08 m/s, Re = 3.6*10
5, k/D = 0.0114 y el 
coeficiente de fricción es f3 = 0.038. La energía disipada en el tramo BD será: 
 
m88.5m8.9
g2
08.2
1
175.0
200*038.0
2





  
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 57 
Puesto que la energía disipada es mayor que la disponible el caudal que se obtendría si se 
utilizase una tubería de 175 mm sería inferior a los 0.050 m3/s exigidos. Por tanto se utilizará 
una tubería de 200 mm de diámetro. 
 
Para D3 = 0.200 m el caudal que circula por el tramo BD (mayor de 0.050 m
3/s, ya que 5.03 m 
< 5.88 m) se obtiene sustituyendo en la ecuación (4): 
 
g2
v
1
2.0
200038.0
3088.35
2
3




 

 
 
Se obtiene así: 
 
v3 = 1.7 m/s ; Q3 = 0.054 m
3/s. 
 
Sustituyendo en (1) los valores de los caudales Q2 y Q3 se obtiene el caudal en el tramo AB: 
 
s/m454.0054.0400.0Q 31  
 
Como D1 = 0.8 m se tiene que v1 = 0.9m/s, Re = 7.2*10
5, k/D = 0.0025 y el coeficiente de 
fricción es f1 = 0.025 (Régimen turbulento rugoso). Sustituyendo en la ecuación (2) se obtiene 
la altura mínima del depósito de abastecimiento: 
 
g2
9.0
8.0
000.10025.0
88.35H
2
min

 ; Hmin = 48.8 m 
 
El valor máximo de la cota de agua en el depósito de abastecimiento, Hmax, está limitado para 
poder cumplir la condición Q1 < 0.50 m
3/s. 
 
Planteando el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4) para Q1 = 0.50 m
3/s, v1 = 0.99 m/s: 
 
3322 vAvA5.0  
 
m62.15
g2
99.0
8.0
10000025.0
HH
2
Bmax 

 
 
g2
v
1
5.0
3000028.0
H
2
2
B 




 

 
 
g2
v
1
2.0
200038.0
30H
2
3
B 




 

 
 
cuya solución es: 
 
v2 = 2.17 m/s, v3 = 2.33 m/s, HB = 40.79 m, Hmax = 56.4 m 
 
y los caudales, Q1 = 500 l/s, Q2 = 426.9 l/s, Q3 = 73.1 l/s. 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
58 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 38 
 
Se desea suministrar agua a un canal cuya ley de demanda diaria (Q,t) es la mostrada en la 
figura. El agua será transportada a caudal constante desde un embalse mediante una 
tubería de diámetro 250 mm y 1750 m de longitud, se acumulará en un depósito de sección 
cuadrada de 15 m de lado, desde el que se conducirá finalmente hasta el canal a través de 
una tubería de 450 m de longitud y diámetro D, a determinar. La regulación del caudal 
para dar la ley de demanda citada se efectuará mediante apertura y cierre parcial de la 
válvula mostrada en la figura, lo que dará lugar a sucesivos llenados y vaciados del 
depósito. Determinar: 
 
 Volumen útil (entre el nivel mínimo y el máximo) en el depósito y valores de las cotasZmin y Zmax. 
 Diámetro D 
 Dibujar la ley de variación de pérdidas de carga localizadas en la válvula en función del 
tiempo, indicando sus valores significativos. 
 
Rugosidad de las tuberías 0.5 mm 
 
 
 
 
Nota: Se tendrán sólo en cuenta las pérdidas de carga continuas y las de las 
desembocaduras de las tuberías al depósito y al canal, respectivamente. 
 
El volumen de agua demandado en un día 
es de 50 l/s*12h + 100 l/s*12h, por lo que 
el caudal medio que suministra el embalse 
será dicho volumen dividido por las 24 h 
que tiene un día: 
 
75
24
12*10012*50
Q 

 l/s 
 
t(horas)
50
100
Q(l/s)
20 24 8 12
llenado
vaciado
75
vacio vacio
20
lleno
 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 59 
Para calcular el mínimo volumen necesario en el depósito se parte de un estado de depósito 
vacío en t = 20h. Entre las 20 h y las 8 h existe una entrada neta de caudal en el depósito de 
75 – 50 = 25 l/s por lo que el depósito se estará llenando durante ese periodo. A las 8 h el 
depósito estará lleno, produciéndose entre las 8 h y las 20 h una salida neta de caudal de 
100 – 75 = 25 l/s, por lo que el depósito se vacía en dicho periodo, estando a las 20 h vacío. 
Por tanto el volumen útil del depósito será: 
 
V = 25 l/s * 10-3 m3/l * 12 h * 3600 s/h = 1080 m3 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y el extremo de la tubería que vierte en 
el depósito y que transporta un caudal de 75 l/s se puede calcular el máximo nivel del 
depósito, zmax: 
 
g2
v
D
fL
g2
v
z50
2
1
1
1
2
1
max  
 
Para Q1 = 0.075 m
3/s, D1 = 0.25 m se tiene: v1 = 1.52 m/s, Re = 3.8*10
5, k/D1 = 0.002, y por 
tanto f = 0.024. 
 
Sustituyendo en la ecuación anterior: 
 
g2
52.1
*
25.0
1750*024.0
g2
52.1
z50
22
max  ; zmax = 30.07 m 
 
El volumen útil del depósito es: 
 
  3minmax2 m1080zz*15V  
 
Conociendo el valor de zmax se puede calcular mediante la expresión anterior zmin = 25.27 m. 
 
Para calcular el diámetro de la tubería existente entre el depósito y el canal se parte de la 
situación más desfavorable, que es la que se produce en t = 19.99 h. En este instante el 
depósito está a la cota zmin y el caudal demandado por el canal es de 100 l/s. 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el depósito y el extremo de la tubería se tiene: 
 
g2
v
D
fL
g2
v
10z
22
min  ; g2
v
D
450*f
g2
v
1027.25
22
 
 
g2
v
D
450*f
127.15
2








 
 
1er tanteo: D = 350 mm 
 
Para calcular el diámetro de esta tubería se parte de un valor inicial D = 0.35 m. Para 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
60 Hidráulica e Hidrología I 
 
Q = 0.1m3/s y D = 0.35m: v = 1.04 m/s, Re = 3.6*105, k/D = 0.0014 y por tanto f = 0.022. 
Sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior se comprueba que se puede 
utilizar un diámetro inferior, ya que 1.62 < 15.27. 
 
m27.15m62.1
g2
04.1
35.0
450*022.0
1
2





  
 
2º tanteo: D = 250 mm 
 
Para Q = 0.1 m3/s y D = 0.25 m: v = 2.04 m/s, Re = 5.1*105, k/D = 0.002 y por tanto 
f = 0.024. Sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior se comprueba que se 
puede utilizar un diámetro inferior, ya que 9.36 < 15.27 
 
m27.15m36.9
g2
04.2
25.0
450*024.0
1
2





  
 
3er tanteo: D = 200 mm 
 
Para Q = 0.1 m3/s y D = 0.20 m: v = 3.18 m/s, Re = 6.4*105, k/D = 0.0025 y por tanto 
f = 0.025. Sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior se comprueba que con 
este diámetro circularía un caudal inferior a 0.1m3/s, ya que 29.6 > 15.27 
 
m27.15m6.29
g2
18.3
20.0
450*025.0
1
2





  
 
El diámetro de la tubería necesaria será por tanto de 250 mm. 
 
Para calcular las pérdidas de carga localizadas en la válvula Hv es necesario aplicar la 
ecuación de la energía entre el depósito (a la cota z) y el extremo de la tubería: 
 
v
22
H
g2
v
D
L*f
g2
v
10z  ; 
g2
v
25.0
450*f
110zH
2
v 




  
 
En los intervalos de tiempo de caudal constante (de 8 a 20 h y de 20 a 8 h) la pérdida de carga 
en la válvula, según la expresión anterior, es lineal con z, siendo ésta última lineal con el 
tiempo por ser constante la sección del depósito. 
 
Para Q = 100 l/s, v = 2.04 m/s y f = 0.024. Sustituyendo: 
 
38.19z
g2
04.2
25.0
450*024.0
110zH
2
v 




  
 
Para Q = 50 l/s, v = 1.02 m/s, Re = 2.6*105, k/D = 0.002 y f = 0.0245, por lo que 
sustituyendo: 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 61 
39.12z
g2
02.1
25.0
450*0245.0
110zH
2
v 




  
 
Con estas dos ecuaciones se genera la tabla siguiente. 
 
t (horas) 20.01 7.99 8.01 19.99 
z(m) 25.27 30.07 30.07 25.27 
Q(l/s) 50 50 100 100 
Hv(m) 12.88 17.38 10.69 5.89 
 
Las pérdidas de carga en la válvula se representan en la siguiente gráfica, generada al unir los 
puntos calculados en la tabla anterior mediante líneas rectas. 
 
 
t(horas)
H
20 24 8 12
vacio vacio
20
lleno
v
12.88
17.38
10.69
5.89
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
62 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 39 
 
Las aguas residuales de un núcleo turístico se concentran en una arqueta y se transportan 
al mar a través de un emisario submarino de longitud L0 = 200 m y 500 mm de diámetro, en 
buen estado de conservación pero excesivamente corto para garantizar la calidad del agua 
en la playa. Como solución de emergencia se plantea prolongar el emisario empleando 
tubería de idénticas características y diámetro que la existente. ¿Cuál será la longitud 
máxima a que puede prolongarse para desaguar por gravedad el caudal punta de diseño 
(300 l/s) si el nivel máximo de la arqueta no puede superar la cota +2 m? 
 
¿Cuál será la potencia del equipo de bombeo a instalar en el futuro en la arqueta si para 
cumplir las normas de vertido al mar se requiere prolongar el emisario hasta una longitud 
total igual a 1500 m? 
 
Datos adicionales: 
Pendiente del fondo constante = 0.014 
k = 0.16 mm 
Densidad: agua residual = 1000 kg/m3; agua del mar mar = 1025 kg/m3 
Rendimiento de la bomba = 0.75 
Se despreciarán las pérdidas locales. 
 
0 m
2 m
A
B
h4.8 m
L
L
0
 
 
 
Para Q = 0.3 m3/s, D = 0.5 m, k = 0.16 mm, se tiene que v = 1.53 m/s, Re = 7.6*105, 
k/D = 3*10-4 y por tanto f = 0.016. 
 
La pendiente motriz será 3
22
10*8.3
5.0*g2
53.1*016.0
gD2
fv
I  
 
La profundidad h y la presión en el punto B son: 
 
h = 4.8 + 0.014 L ; pB = mar*h = 1.025**(4.8 + 0.014 L) 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre la arqueta y el punto B de la tubería: 
 
 LLI
g2
vp
z2 0
2
BB
B 
 
 
 L200*10*8.3
g2
53.1
)L*014.08.4(*025.1)L*014.08.4(2 3
2
  
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 63 
y por tanto la longitud máxima que puede prolongarse el emisario es L = 241.1 m. 
 
Si se prolongase el emisario hasta una longitud L = 1500 m la altura de bombeo necesaria se 
obtiene aplicando la ecuación de la energía entre la arqueta y el final de la tubería. La 
profundidad y la presión del punto final de la tubería serán: 
 
h = 4.8 + 0.014*(L – L0) = 4.8 + 0.014*(1500 – 200) = 23 m 
 
pB = mar*h = 1.025**23 
 
Aplicando la ecuación de la energía: 
 
LI
g2
vp
zH2
2
BB
Bbombeo 
 
 
1500*10*8.3
g2
53.1
23*025.123H2 3
2
bombeo
 ; Hbombeo = 4.4 m 
 
La potencia del bombeo será: 
 
kW2.17
75.0
4.4*3.0*9800QH
P bombeo 


 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________64 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 40 
 
El esquema de la figura es el de un abastecimiento que se ha quedado insuficiente para las 
necesidades del municipio. Se desea conseguir que circule un caudal de 350 l/s, y se 
proponen dos alternativas: 
 
-Duplicar un tramo de tubería en la longitud necesaria para lograr el fin deseado (precio 
20.000 pts/m) 
-Utilizar una bomba cuya curva característica es 40 Q1200HH  , con un precio en 
millones de pesetas de 2H1.5 0.50  , incluyendo costes de mantenimiento en el periodo de 
amortización. 
 
Se pide escoger la opción más económica. 
 
 
D = 300 mm 
f = 0.012 (turb. rugoso) 
L = 2000 m 
 
 
NOTA: Cotas en metros. Sólo se tendrán en cuenta las pérdidas continuas. 
 
La situación actual (despreciando término cinético) muestra que no se pueden suministrar el 
caudal requerido: 
 
2
2
2
Q
gDA2
Lf
L
gD2
fv
050  
 
 
2
22
Q*
15.0**3.0*g2
2000*012.0
*012.0050

 ; Q = 247 l/s 
 
Duplicando un tramo de tubería de longitud L2 y teniendo en cuenta la ley de continuidad se 
obtiene 
 
2
v
vQ2Q 1221  
 
Aplicando la ecuación de la energía e imponiendo que el caudal transportado sea de Q = 0.350 
m3/s y v1 = 4.95 m/s se tiene: 
 
  




 
4
L
L
gD2
fv
LvLv
gD2
f
L
gD2
fv
L
gD2
fv
050 21
2
1
2
2
21
2
12
2
2
1
2
1 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 65 
Sustituyendo se obtiene el sistema de ecuaciones: 
 





 
4
L
L
3.0*g2
95.4*012.0
050 21
2
 
 
L1 + L2 = 2000 
 
Resolviendo el sistema: L1 = 664.4 m; L2 = 1335.6 m. 
 
El coste de esta opción será: 20.000*1335.6 = 26.7*106 pts. 
 
Si se utiliza una bomba: 
 
17.1002000*
3.0*g2
95.4*012.0
H050
2
bombeo  ; Hbombeo = 50.17 m 
 
El coste de esta opción será: 
 
H0 = H + 1200*Q
4 = 50.2 + 1200*0.354 = 68.2 m 
 
Coste = (1.5*68.20.5 + 2)*106 = 14.4*106 pts. 
 
por lo tanto la opción más económica es el bombeo. 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
66 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 41 
 
En el esquema siguiente se muestra una red de tuberías. Las cotas del agua en los depósitos 
A y B son de 0 y 125 m, respectivamente, y la cota del punto D es de 100 m. En el tramo AC 
existe una bomba cuya curva característica está dada por la expresión 
2
Bombeo 400Q130H  (unidades del SI). En el tramo BC existe una válvula con la que 
podemos regular el caudal que circula por esa tubería. Se pide calcular el coeficiente de 
pérdida de carga  en la válvula para que el caudal que sale por la sección D sea de 400 l/s. 
 
Datos: 
 
 Tramo AC L = 3000 m, D = 500 mm, k= 0.001 m 
 Tramo BC L = 3000 m, D = 400 mm, k= 0.001 m 
 Tramo CD L = 500 m, D = 700 mm, k = 0.001 m 
 
Considérese que el coeficiente de pérdidas localizadas a la salida de los depósitos es 0.5. Se 
tendrán en cuenta las pérdidas continuas. 
 
 
A
B
C
D
0 m
125 m
 100 mQ 
Q
2
1
Q = 400 /sl3
 
 
 
Los datos de cada tramo de tubería son: 
 
TRAMO AC: L1 = 3000 m; D1 = 0.5 m; k = 0.001; S1 = 0.196 m
2; k/D1 = 0.002 
TRAMO BC: L2 = 3000 m; D2 = 0.4 m; k= 0.001; S2 = 0.126 m2; k/D2 = 0.0025 
TRAMO CD: L3 = 500 m; D3 = 0.7 m; k = 0.001; S3 = 0.385 m
2; k/D3 = 0.00143 
 
La ecuación de continuidad aplicada al nudo C es: 
 
Q1 + Q2 = 0.4 (1) 
 
Para Q3 = 0.4m
3/s, D3 = 0.7 m, v3 = 1.04 m/s, Re = 7.3*10
5, k/D = 0.00143 y por tanto 
f3 = 0.022. 
 
Aplicando la ecuación de la energía al tramo CD, se obtiene la energía del punto C: 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 67 
92.100
g*2
04.1
7.0
500022.0
1100
g2
v
D
L*f
g2
v
zH
22
3
3
33
2
3
DC 




  (2) 
 
Aplicando la ecuación de la energía a los tramos AC y BC: 
 
2
2
11
C
2
1 196.0g2
Q
5.0
3000f
5.0HQ4001300






  (3) 
 
2
2
22
C 126.0g2
Q
4.0
3000f
5.0H125






 

 (4) 
 
Suponiendo que el tramo AC está en régimen turbulento rugoso (f1 = 0.0235) y sustituyendo 
en (3) el valor de HC = 100.92 m, se obtiene el caudal en dicho tramo: 
 
Q1 = 0.224 m
3/s 
 
Con este caudal se comprueba el tipo de régimen y se observa que el valor del coeficiente de 
fricción f1 difiere ligeramente del correspondiente a régimen turbulento rugoso: Q1 = 0.244 
m3/s, Re = 5.67*105 y f1 = 0.024. Sustituyendo este valor de f1 en la ecuación (3) se obtiene 
Q1 = 0.222 m
3/s. 
 
Sustituyendo el valor de Q1 en la ecuación (1): Q2 = 0.178 m
3/s 
 
Para Q2 = 0.178 m
3/s, Re = 5.65*105, k/D = 0.0025 y por tanto f3 = 0.025. 
 
Sustituyendo en la ecuación (4) los valores de f2, Q2 y de HC se obtiene el coeficiente de 
pérdida de carga localizada en la válvula: 
 
= 48.49 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
68 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 42 
 
Obtener los caudales circulantes por el sistema de tuberías de la figura. La bomba se 
considera de potencia y rendimiento constantes. 
 
NOTA: Cotas y longitudes en metros y diámetros en mm. Se considerarán solamente las 
pérdidas continuas y las de las desembocaduras de las tuberías a los respectivos depósitos. 
 
50 10
0
1
1 2
3
2
3
 
 
 
f = 0.01 
W = 12kW 
 = 0.6 
 
Denominando H a la energía del nudo donde confluyen las tres tuberías, HB a la energía 
suministrada por la bomba e imponiendo la ecuación de la energía entre cada depósito y el 
nudo: 
 
22
1
2
1
1
1
4
D
g2
Q
D
Lf
H50





 



 
 
22
2
2
2
2
2
4
D
g2
Q
1
D
Lf
10H





 









 
 
22
3
2
3
3
3
B
4
D
g2
Q
1
D
Lf
H0H





 









 
 
Q1 = Q2 + Q3 
 
Además 


 B
HQ
P por lo que 
333
B Q98
72
Q9800
6.012000
Q
P
H







 
 
Sustituyendo y operando en las ecuaciones anteriores: 
 
2
1Q69.340H50  ; 69.340
H50
Q1

 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 69 
2
2Q66.212110H  ; 66.2121
10H
Q2

 
 
2
3
3
Q14.1604
Q98
72
H 

 ; 
3
2
3 Q98
72
Q14.1604H

 
 
Q1 = Q2 + Q3 ; 
66.2121
10H
69.340
H50
QQQ 213



 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones: 
 
H = 29.75 m; Q1 = 243.8 l/s; Q2 = 96.5 l/s; Q3 = 147.3 l/s 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
70 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 43 
 
En la siguiente figura se representa el esquema de una impulsión para el abastecimiento de 
un núcleo de población desde un embalse. El volumen necesario para cubrir la demanda 
diaria es de 900 m3 que se almacena en un deposito que funciona como regulador de la 
demanda. 
 
La tubería tiene 200 mm de diámetro. La cota del agua en el embalse es de 0 m, y en el 
extremo de la tubería en el depósito es de 10 m. En la tubería existe una válvula que 
permite introducir una pérdida localizada v. La curva característica de la bomba es 
2
B Q554035H  (unidades del SI) y el NPSH requerido es 3. Se tendrá en cuenta la 
pérdida de carga en la desembocadura de la tubería al depósito. 
 
13 m
10 m

0 m
1000 m 2000 m
i =1.3%
= 0.5
v
 
 
Se pide: 
 
a) Calcular la posición de la bomba para que no se produzca cavitación en la misma 
cuando la válvula permanece abierta (v = 0). 
b) Si la bomba está en la posición calculada en el apartado anterior (en el límite de 
cavitación) y como consecuencia de una sequía el nivel del agua en el embalse baja hasta 
la cota –2 m, para evitar que se produzca cavitación en la bomba se barajan varias 
opciones: 
b.1) Duplicarel tramo de tubería de la aspiración con otra tubería de las mismas 
características que la existente. Se supone que la tubería se prolonga verticalmente a partir 
de la cota 0 hasta la cota –2 con pérdida de carga continua despreciable (los 2 m). 
b.2) Sustituir la tubería desde el embalse a la bomba por otra de 500 mm de diámetro. 
 (v = 0) 
b.3) Introducir una pérdida de carga v en la válvula situada a la entrada del depósito. 
 
Determinar si las soluciones propuestas evitan los problemas de cavitación de la bomba, 
calculando para el caso b.3 la pérdida de carga v que es necesario introducir en la válvula. 
 
Determinar cuál es la opción más económica, teniendo en cuenta que el coste total es igual 
al coste de construcción mas el coste del bombeo durante los tres meses que se estima que 
dure la sequía. 
 
Datos: 
Coeficientes de rozamiento: f = 0.02 (Tubería 200 mm), f = 0.024 ( Tubería 500 mm) 
Costes de explotación: Precio del kWhora = 15 pesetas. (1 kWh = 3.6x106 J). 
Costes de construcción: opción b.1: 105 pts; opción b.2: 105 pts; opción b.3: 0 pts. 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 71 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q(l/s)Q (l/s)
H
 
(m
)
B
60%
70%
80%
85%
 
 
 
Teniendo en cuenta la curva característica de la bomba: 
 
22
B v46.535Q554035H  
 
La cota de la aspiración, teniendo en cuenta que la tubería tiene una pendiente del 1.3% será 
función de la longitud de tubería entre el embalse y la bomba, LB: 
 
BBe L013.0zz  
 
El NPSH marca la presión mínima en la aspiración de la bomba: 
 
mca7
p
3
pp eve 




 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y el depósito: 
 
g2
v
D
Lf
g2
v
1
g2
v
5.0H10
222
B 

 
 
g2
v
2.0
300002.0
5.1v46.53510
2
2 




  
 
v = 1.095 m/s ; Q = 34.4 l/s 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y la bomba: 
 
g2
v
D
Lf
g2
v
5.00
p
g2
v
z
2
B
2
e
2
e 



 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
72 Hidráulica e Hidrología I 
 
g2
095.1
2.0
L02.0
5.007
g2
095.1
L013.0
2
B
2
B 




  
 
LB = 361.36 m ; zB = 0.013*LB = 4.4 m 
 
L - LB = 3000 - LB = 2638.6 m 
 
Opción b.1. Aplicando la ecuación de continuidad se obtiene: 
 
2
v
vQ2Q tt  
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y el depósito: 
 
   
g2
v
D
LLf
g2
2/v
D
Lf
g2
v
1
g2
v
4
1
5.0H12
2
B
2
B
22
B







 
 
g2
v
2.0
6.263802.0
2.04
36.36102.0
1
4
5.0
v46.53512
2
2 




 


 
 
v = 1.09 m/s ; Q = 34.2 l/s 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y la bomba: 
 
g2
09.1
4
1
2.0
36.36102.0
5.02
p
g2
09.1
4.4
2
e
2





 

 
 
016.7
pe 

<-7 mca.; no cumple la condición de no cavitación. 
 
Opción b.2. Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y el depósito y teniendo en 
cuenta que Da = 0.5 m, Db = 0.2 m: 
 
g2S
Q
1
2.0
6.263802.0
g2S
Q
5.0
36.361024.0
5.0Q55403512
2
b
2
2
a
2
2






 








  
 
Q = 34.5 l/s ; va = 0.176 m/s ; vb = 1.1 m/s 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y la bomba: 
 
g2
176.0
5.0
36.361024.0
5.02
p
g2
176.0
4.4
2
e
2





 

 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 73 
Puesto que 49.6
pe 

 > -7 mca se cumple la condición de no cavitación. 
 
Opción b.3. Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y la bomba: 
 
g2
v
2.0
36.36102.0
g2
v
5.027
g2
v
4.4
222


 
 
v = 0.559 m/s ; Q = 17.6 l/s 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre el embalse y el depósito: 
 
g2
559.0
2.0
300002.0
5.1559.046.53512
2
v
2 




 

 
 
02.1038v  
 
Análisis económico: 
 
Para poder evaluar el coste del bombeo es necesario calcular el tiempo de funcionamiento de 
las bombas, que será el tiempo necesario para bombear los 900 m3 que son necesarios cada 
día. Según el caudal, la altura de bombeo y el rendimiento de la bomba en el punto de 
funcionamiento se calcula la potencia consumida (kW), que multiplicada por el tiempo de 
funcionamiento (horas) da la energía consumida durante los tres meses (90 días) que dura la 
sequía (kWh). 
 
Opción b.2. 
 
Q = 34.5 l/s, HB = 28.4 m, 85.0 
 
día/horas25.7
Q
día/m900
T
3
B  
 
kW3.11
HQ
W B 


 
 
Energía = 7.25*90*11.3 = 7362 kWh 
 
El coste del bombeo es: C = 7362 kWh*15 pts/kWh = 110430 pts. 
 
El coste total: Coste de explotación + Coste de construcción 
 
CT = 210430 pts 
 
Opción b.3. 
 
Q = 17.6 l/s, HB = 33.28 m, 6.0 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
74 Hidráulica e Hidrología I 
 
 
2.14
Q
900
TB  horas/día 
 
6.9
HQ
W B 


 kW 
 
Energía = 14.2*90*9.6 = 12269 kWh 
 
El coste de bombeo es: C = 12269 kWh*15 pts/kWh = 184035 pts, que puesto que es el único 
coste coincide con el coste total. 
 
La opción más económica es la tercera. 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 75 
PROBLEMA 44 
 
Se diseña una fuente ornamental según el 
esquema de la figura. Un chorro, 
impulsado por un bombeo, alcanzará una 
altura H ( 2gHv  ). Determinar la 
altura máxima que alcanzará el chorro, el 
caudal circulante y la pérdida de carga 
que hay que imponer manualmente en la 
válvula para que se de la altura máxima. 
 
(
4/3
h
22
R
vn
I  ; n = 0.01 ; El coeficiente de 
pérdida de carga del estrechamiento final 
(tubería de 50 mm a 30 mm), se aplicará a 
(v3-v2)
2/2g) 
 
 NOTA: Cotas y longitudes en metros z=100
z=150
z=105
L =10
D =100 mm
L =60
D =50 mm
L =1
D =30 mm
Bombeo
H
=1.2
=0.5 =0.5
=0.5
=1

3
3
2
2
1
1
Q (l/s)
h
NPSH (m)
4
8
0
5 10 15 20
100
300
400
500 607080
bombeo %
A
B
C
D
 
 
 
El caudal máximo estará limitado por la posibilidad de cavitación de la bomba. Aplicando la 
ecuación de la energía entre el punto A, situado en el depósito, y el punto B, en la entrada de 
la bomba, se obtiene la relación entre la velocidad en la tubería y la presión en B. 
 
 g2
v
LI
g2
vp
zz
2
AB
2
B
BA 
 
 
 
g2
v
5.02.110
4/D
v*01.0
g2
vp
105100
2
3/4
222
B 

 (1) 
 
La presión en el punto B está limitada por la condición del NPSH requerido, que es igual a 4. 
Por tanto: 
 
4
pp vB 


 y m6
p
4
p vB 



 
 
Sustituyendo en (1) el valor límite de la presión en B se obtiene la velocidad en la tubería y 
por lo tanto el caudal: 
 
v = 1.9 m/s ; Q = 15 l/s 
 
Para el caudal de 15 l/s las velocidades en los tramos AB, BC y CD son, respectivamente, 
v1 = 1.9 m/s, v2 = 7.7 m/s y v3 = 21.4 m/s. 
 
En la curva de la bomba, para este caudal, se obtiene hbombeo = 300 m. 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
76 Hidráulica e Hidrología I 
 
La pérdida de energía que hay que imponer en la válvula se obtiene aplicando la ecuación de 
la energía entre A y D. 
 
  g2
v
LI
g2
vp
zhz
22
3D
DbombeoA 
 
Las pendientes motrices para cada uno de estos tramos, calculadas mediante la expresión de 
Manning son I1 = 0.049, I2 = 2.04 e I3 = 31.19 y la presión en el punto D es la atmosférica. 
Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene el valor del coeficiente de pérdidas en la 
válvula: 
 
 





 


g2
4.21*1)7.74.21(*5.07.7*)5.0(9.1*)5.02.1(
1*19.3160*04.210*049.0g2
4.21
0150300100
2222
2
 

= 14.07 
 
La altura alcanzada por el chorro será: 
 
m3.23
g2
4.21
g2
v
H
22
3  
 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 77 
PROBLEMA 45 
 
La tubería de la figura suministra a una población a partir de un cauce, atravesando una 
zona cuya topografía se detalla. 
 
Se desea suministrar un caudal de 100 l/s, siendo el diámetro de la tubería 250 mm y la 
rugosidad 1 mm. Existe una válvula a la entrada del depósito de suministro, cuya misión es 
regular el caudal. La presión máxima admisible en las tuberías es de 100 mca. La presión 
mínima es de -5 mca. Se utilizará un sistema de bombas que no vulnere las hipótesis de 
cálculo, y tan reducido como sea posible (un mínimo de bombas de altura mínima). Si se 
ponen varias bombas, se pondrán iguales. El NPSH requerido se considerará 6 mca. 
 
Se despreciarán las pérdidas locales, salvo las indicadas en el dibujo. La línea piezométrica 
se supondrá coincidente con la de energía. Se supone la tubería compuesta por dos 
segmentos (A-B; B-C). El punto C entrega a cota 40 m a presión atmosférica. 
 
Se pide: 
 
Línea de energía, definición del bombeo (cota del bombeo inicial, altura de bombeo y 
posición de los equipos) y valor de la pérdida local en la válvula. 
 
 
 
 
Para Q = 0.1 m3/s y D = 0.25 m se calcula v = 2.04 m/s, Re = 5.1*105 y k/D = 0.004, por lo 
que f = 0.029 y la pendiente motriz será: 
 
025.0
25.0*g2
04.2*029.0
gD2
fv
I
22
 
 
Con la válvula completamente abierta la presión del punto B, aplicando la ecuación de la 
energía entre B y C y sustituyendo: 
 
g2
v
LI40
g2
vp
z
2
BC
2
B
B 
 ; 
g2
04.2
1500025.040
g2
04.2p
100
22
B 

 
 
pB = -23.1 mca < -5 mca 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
78 Hidráulica e Hidrología I 
 
En la hipótesis de cálculo con válvula completamente abierta se incumple la restricción de 
presión mínima en la tubería. Por ello es necesario cerrar la válvula hasta que se cumpla que 
pB = -5 mca. En ese caso la pérdida de energía en la válvula se halla aplicando la ecuación de 
la energía entre B y C y suponiendo que en B se da la presión mínima: 
 
g2
v
g2
v
L*I40
g2
vp
z
22
BC
2
B
B 
 
 
g2
04.2
g2
04.2
1500*025.040
g2
04.2
5100
222
 
 
= 85 
 
Para calcular la altura de bombeo se aplica la ecuación de la energía entre A y B, siendo la 
presión en este último punto conocida e igual a –5 mca. 
 
AB
2
B
BbombeoA L*Ig2
vp
zhz 

 
 
1500*025.0
g2
04.2
5100h0
2
bombeo  ; m7.132h bombeo  
 
Puesto que la altura máxima de cada bomba es   m1055100pp minmax 


 serán 
necesarias dos bombas de 66.35 m cada una. 
 
La presión en la aspiración de cada bomba, pasp, ha de cumplir NPSHreq = 6, lo que limita la 
cota máxima a que puede ser colocada: 
 
6
pp vaporasp 


 ; m4
p
6
p vaporasp 



 
 
La cota en la aspiración de la primera bomba, aplicando la ecuación de la energía entre A y 
dicho punto y no considerando las pérdidas continuas en dicho tramo, cuya longitud es 
despreciable, será: 
 
g2
vp
zz
2
asp
aspA 
 ; 
g2
04.2
4z0
2
asp  ; zasp = 3.79 m 
 
Por tanto la cota de la primera bomba ha de ser inferior a 3.79 m. La segunda bomba se puede 
colocar en el punto medio del tramo AB. 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 79 
0
95
40
C
58.05
66.35
B
A 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
80 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 46 
 
Determinar el número, potencia y posibles posiciones del mínimo conjunto de bombas 
iguales (mínimo número de bombas y mínima potencia de las mismas) que logran impulsar 
un caudal de 100 l/s desde A hasta B con las siguientes condiciones: 
 
 Pmin = -5 mca 
 Pmax = 35 mca 
(presiones relativas a la atmosférica) 
 
Despréciense las pérdidas locales (excepto la de la desembocadura en B) y considérese que, 
dado que la velocidad será pequeña, la línea de energía coincide con la piezométrica, 
despreciando el valor de la diferencia (término cinético). 
 
La rugosidad de la tubería es de 1 mm y su diámetro es de 300 mm. Se bombea agua con un 
rendimiento constante de 0.8. 
 
100
95
90
10 0
-5
0 1000 2000 3000
cotas(m)
abcisas (m)
A
B
 
 
 
Para Q = 100 l/s, D = 0.3 m se tiene que v = 1.41 m/s, Re = 2.1*105, k/D = 0.003 y por tanto 
f = 0.027. 
 
La pendiente motriz es: 3
22
10*1.9
3.0*g2
41.1*027.0
gD2
fv
I  
 
Aplicando la ecuación de la energía entre A y B y considerando la pérdida localizada en la 
desembocadura en B: 
 
g2
v
L*IhHH
2
bombeoBA  
 
g2
41.1
3000*10*1.9h1000
2
3
bombeo 
 
 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 81 
m4.127h bombeo  
 
Para determinar el número de bombas se considera que en la aspiración de cada bomba la 
presión mínima es de –5 mca y que en la salida la presión máxima es de 35 mca, por lo que la 
altura de bombeo máxima es de 35 - (-5) = 40 mca. 
 
Por tanto el mínimo número de bombas necesarias será: 
 
2.3
40
4.127
h
h
n
bomba1
bombeo  
 
Por tanto son necesarias 4 bombas con una altura de bombeo en cada una de 127.4/4=31.9m, 
por lo que la potencia de las mismas es: 
 
kW39
8.0
9.31*1.0*9800hQ
P bomba1 


 
 
Para calcular la posición de cada bomba se dibuja el rango en el que se tiene que mover la 
línea piezométrica. Este rango se obtiene trasladando cada punto de la tubería 5 m hacia abajo 
y 35 m hacia arriba. La ubicación límite de cada bomba se halla para que en las dos 
posiciones extremas la presión en la tubería alcance los valores máximo y mínimo. 
 
 
100
A
B
0
z+p
max
z+p
min
1ª
 b
o
m
ba
2ª
 b
o
m
ba3ª
 b
o
m
ba4ª bomba
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
82 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 47 
 
En la tubería de la figura, indicar cuál es el caudal circulante y la presión en el punto C. 
 
Se desea instalar una bomba en el punto E, en el centro del lado CF, de modo que el caudal 
transportado se duplique. Suponiendo un rendimiento del equipo de 0.8, indicar cuál es la 
potencia de la bomba en caso de que se considere adecuada su instalación. 
 
10
9
10
0
1
A
B
C E F 
 
D = 0.5 m; k = 1 mm; A = B = C = 0.5; F = 1; LAB = LCF = 1000 m; LBC = 10 m 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre los dos depósitos: 
 
g2
v
D
L*f
110
2
AF 




   ; g2
v
5.2
5.0
2010*f
110
2





  
 
Se supone la tubería en régimen turbulento rugoso, k/D = 0.002 y por tanto f = 2.35*10-2. 
Sustituyendo f en la ecuación de la energía se despeja el valor de la velocidad v = 1.35 m/s. 
 
Para v = 1.35 m/s: Re = 6.75*105, que corresponde a régimen turbulento intermedio, y el 
coeficiente de fricción es f = 2.37*10-2. Sustituyendo f = 2.37*10-2 en la ecuación de la 
energía se calcula: 
 
v = 1.34 m/s ; Q = 0.263 m3/s 
 
Para calcular la presión en C se aplica la ecuación de la energía entre el depósito superior y el 
punto C: 
 
g2
v
D
L*fp
g2
v
z10
2
ACC
2
c 




 






  
 
g2
34.1
5.1
5.0
1010*10*37.2p
g2
34.1
10
22
C
2















 
 
m39.5
pC 

 
 
Si se duplica el valor del caudal Q = 0.526m3/s y v = 2.68m/s. Para este valor de la velocidad 
Re = 1.34*106 y f = 2.36*10-2. Aplicando la ecuación de la energía entre el depósito y el 
punto B: 
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________Hidráulica e Hidrología I 83 
 
g2
v
D
L*fp
g2
v
z10
2
ABB
2
B 




 






  
 
g2
68.2
1
5.0
1000*10*36.2p
g2
68.2
10
22
B
2















 
 
m18
pB 

 
 
La presión en B es inferior a la presión de vapor por lo que se produce cavitación en la tubería 
y no será adecuado instalar una bomba en el punto E. 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
84 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 48 
 
El colector de aguas pluviales de la figura debe entubarse para poder superar el obstáculo 
que supone el ferrocarril. 
 
1.- Determinar la cota “z” en la cámara que garantiza el desagüe en las peores condiciones 
de funcionamiento 
2.- Se considera la opción de situar un pozo de inspección a la posición “A”. Determinar su 
efecto sobre el sistema. (Se desprecia la pérdida de carga producida por el pozo). 
 
D = 500 mm; k = 5 mm; Q = 500 l/s; mar = 1025 kg/m3 
 
3 m
z
0
3 m
-1 m
5 m
-1 m
=0.5
=0.5=0.5
4 m
50 m
6 m
5 m 5 m
6 m
20 m
Marea
A
Q =0.5 =0.5
=0.5
=1
B
 
 
Sin pozo de inspección en A 
 
Las peores condiciones se producirán con la marea alta. 
 
Para Q = 0.5 m3/s, D = 0.5 m y k = 5*10-3 m se calculan v = 2.55 m/s, k/D = 0.01, 
Re = 1.27*106 y por tanto f = 0.038. 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre la cámara y el punto B al final de la tubería, pasada 
la desembocadura: 
 
g2
v
D
Lf
Hz
2
B 




   
 
m75.3
g2
55.2
4
5.0
96*038.0
Hz
2
B 




  
 
Si se aplica la ecuación de la energía en el punto B antes y después de la desembocadura se 
obtiene: 
 
g2
v
)después(H)antes(H
2
antes
BB  
4-TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 85 
g2
v
*1
g2
v
0
p
g2
vp
g2
vp
z
g2
vp
z
2
antes
2
antesBmar
2
antesB
2
despuesBmar
B
2
antesB
B 






 
 
es decir, 
 






marBmarB 4pp 
 
La energía en el punto B antes de la desembocadura es: 
 
m1.3
g2
55.2
025.1*41
g2
v4
1
g2
vp
zH
22
mar
2
B
BB 



 
 
Por tanto el nivel de agua en la cámara será: 
 
m85.61.375.3H75.3z B  
 
Con pozo de inspección en A 
 
En este caso se sitúa un pozo de registro en el punto A. Para analizar como se comporta el 
sistema se va a calcular la presión en el punto A con las condiciones del caso anterior en que 
no existía pozo de registro. 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre la cámara y el punto A: 
 
g2
v
D
Lf
Hz
2
A 




   
 
m30.2
g2
55.2
2
5.0
65*038.0
H85.6
2
A 




  
 
Por tanto HA = 4.55 m y la presión en este punto es: 
 
m78.0
g2
55.2
555.4
g2
v
zH
p 22
AA
A 

 
 
En el punto A se producen por lo tanto presiones inferiores a la atmosférica por lo que al abrir 
un pozo de registro en dicho punto se produce una entrada de aire y se pierde el efecto de 
succión ejercido por el tramo de tubería AB. Esto obligará a tener un mayor nivel de agua en 
la cámara para que entre ésta y el punto A sea posible transportar el caudal de 500 l/s cuando 
pA = 0. 
 
Aplicando la ecuación de la energía entre la cámara y el punto A y considerando que la 
presión en A es la presión atmosférica: 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
86 Hidráulica e Hidrología I 
 
g2
v
D
Lf
g2
vp
zz
22
A
A 




 







  
 
g2
55.2
2
5.0
65*038.0
g2
55.2
05z
22





 





 
 
z = 7.63 m 
 
4- TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 87 
PROBLEMA 49 
 
Dibújese razonadamente la gráfica p-t en el punto A de la tubería de la figura cuando 
ocurre un cierre instantáneo de la válvula. Supóngase que no hay pérdidas de carga. 
 
 
 
 
Tomando el origen de tiempo en el instante en que se produce el cierre de la válvula, en el 
instante L/2c llega al punto A una onda de sobrepresiones positivas. En el instante 
L/2c + L/c = 3L/2c la salida de flujo de la tubería anula la sobrepresión en el punto A. En el 
instante 4L/2c se genera una onda de presiones negativas que va barriendo la tubería desde la 
válvula, alcanzando el punto A en 5L/2c. Este proceso se ha representado en la figura 
siguiente, habiéndose construido un ciclo que se repite. 
 
 
tL/2c L/c 2L/c3L/2c 4L/c7L/2c3L/c5L/2c
P + P
ciclo
P - P
o
o
P
9L/2c
o
 
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
88 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 50 
 
Dibujar razonadamente la gráfica p-t en los puntos A y B de la tubería de la figura cuando 
se produce el cierre, según la gráfica adjunta, de la válvula situada junto a B. Se 
desprecian las pérdidas de carga. 
 
L = 1000 m; c = 1000 m/s 
 
A
L
L/2
B 
 
t(s)2
50%
100%
cierre
 
 
 
Punto B 
 
En el punto B cada cierre parcial de la válvula genera un frente de ondas distinto, existiendo 
un desfase entre ambos de 2 s, que es el tiempo transcurrido entre los dos cierres. En cada 
frente de ondas se produce un cambio del signo de la presión cada 2L/c = 2 s . En la figura 
siguiente se ha dibujado el primer frente en color gris claro y el segundo frente de ondas en 
color gris oscuro. La ley de presiones resultante es la suma de los dos frentes de onda, que 
como se ve se anula uno con el otro, quedando por tanto una presión no nula solamente en el 
intervalo de tiempo (0.0,2.0) s. 
 
1 2 3 4 5 6
cv/2
P
B
t 1 2 t
cv/2
P
B
 
Punto A 
 
En el punto A, al estar en una posición intermedia en la tubería, en un cierre instantáneo se 
produce primero una compresión del fluido de 1 s de duración, posteriormente desaparece esa 
4- TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 89 
compresión, anulándose el valor de la presión y después aparece una depresión, seguida de 
otra etapa en que se anula el incremento de presión. Este proceso se repite de forma cíclica 
puesto que no se consideran fuerzas de rozamiento que disipen este fenómeno. 
 
La resultante de la ley de presiones será la suma de los dos frentes generados en cada una de 
las etapas de cierre (el primero de color gris claro y el segundo de color gris oscuro). Al sumar 
las dos leyes de presiones se anulan a partir de t = 2.5 s, quedando presiones positivas sólo en 
el intervalo (0.5,1.5) s. 
 
1 2 3 4 5 6 t
cv/2
P
A
1 2 t
cv/2
P
A
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
90 Hidráulica e Hidrología I 
 
PROBLEMA 51 
 
Dibújese razonadamente la gráfica p-t en el punto A de la tubería de la figura cuando 
ocurre un maniobra de cierre lineal y lento en la válvula. Se desprecian las pérdidas de 
carga. 
 
 
 
A
·
A
·
 
 
 
El cierre lento produce trenes de onda infinitesimales que se pueden representar mediante los 
paralelepípedos de la figura siguiente. 
 
T
t2L/c 4L/c
C
p
6L/c 8L/c 10L/c
p
max
cv
 
 
La ley de sobrepresiones será la resultante de los frentes de presiones infinitesimales. Esta 
resultante se obtiene integrando los incrementos de presión producidos por dichos frentes de 
onda en cada instante de tiempo y se ha representado mediante la línea de trazo grueso de la 
figura. 
4- TUBERÍAS 
____________________________________________________________________________________________________ 
Hidráulica e Hidrología I 91 
PROBLEMA 52 
 
Dada una tubería horizontal de 2 km de longitud, 300 mm de diámetro, 10 mm de espesor, 
de acero (E = 2.1*106 kp/cm2), que transporta agua de densidad habitual ycuyo módulo de 
compresibilidad volumétrica es K = 2.1*104 kp/cm2 a una velocidad de 1.1 m/s, determinar 
la distribución de presiones con el tiempo en su punto medio si se considera que en su 
extremo de aguas arriba hay un depósito presurizado de 150 mca y en el extremo aguas 
abajo hay una válvula que cierra de modo lineal en 3 seg hasta quedar totalmente cerrada. 
Despreciar la pérdida de carga. Acotar los valores de las presiones máxima y mínima 
registrada en la tubería. 
 
 
L = 2000 m, D = 0.3 m, e = 10 mm, E = 2058*108 Pa, K = 2058*106 Pa, v = 1.1 m/s, Tc = 3 s. 
 
Calculando la celeridad de la onda de golpe de ariete: 
 
2.1258
010.0102058
3.0102058
1
1000
102058
eE
DK
1
K
c
8
6
6










 m/s 
 
Puesto que cierrreT2.3c
L2
 el cierre es rápido. 
 
El incremento de presión en el punto inmediatamente aguas arriba de la válvula es por tanto 
p = cv = 1384020 Pa = 141.2 mca, por lo que las presiones máxima y mínima en dicho 
punto son: 
 
Pmax = 150 + 141.2 = 291.2 mca. 
 
Pmin = 150 - 141.2 = 8.8 mca. 
 
La ley de presiones en el punto medio de la tubería se ha representado en la figura siguiente. 
Los paralelogramos representan los trenes de ondas generados en dicho punto por el cierre de 
la válvula. La línea de trazo grueso es la resultante de dichos trenes de ondas y por tanto es la 
ley de sobrepresiones en el punto medio de la tubería. La ley de presiones en el punto medio 
de la tubería se obtiene sumando +150 mca a la ley de sobrepresiones representada. 
 
En dicha figura se ha obtenido la sobrepresión máxima: 
 
mca8.74
3
6.1
2.141
t
cL
pp
cierre
max  
 
4-TUBERÍAS 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
92 Hidráulica e Hidrología I 
 
t
74.8 
T
L/c 2L/c 4L/c3L/c 6L/c5L/c
C
141.2 
p
 (mca)