Guía 04 Integrales en C (1)

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Laboratorio Variable Compleja y Análisis de Fourier 1 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 
 
1. DEFINICIÓN: Consideremos una función compleja  : ; ,f a b  tal que: 
 ( ) Re( ( )) ( ( ))f t f t i Im f t  
 
Definimos la integral: ( ) Re( ( )) ( ( ))
b b b
a a a
f t dt f t dt Im f t dt    
 
Donde: 
 Re ( ) Re( ( ))
b b
a a
f t dt f t dt  
 
 Im ( ) Im( ( ))
b b
a a
f t dt f t dt  
 
Ejemplo 01: Sea  : 0;2 ,f   tal que: 4 3( ) cos ( ) ( ),f t t i sen t  calcule 
2
0
( ) .f t dt

 
Solución: 
2 2 2
4 3
0 0 0
( ) cos ( ) ( )
R I
f t dt t dt i sen t dt
  
    
 
Integrando la parte real: 
 
2
2 2 2
4 2
0 0 0
1 cos(2 ) 1
cos ( ) 1 2cos(2 ) cos (2 )
2 4
t
R t dt dt t t dt
   
       
 
   
 
 
2
2 2 2
0 0 0
0
1 1 cos(4 ) 1 3 (4 ) 1 3
cos(2 ) (2 ) (2 ) 3
4 2 4 2 8 4 4
t t sen t
R dt t d t dt sen t

   

     
           
    
   
 
Integrando la parte imaginaria: 
 
 
 
2 2 2
2 2
0 0 0
1 cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( )I t sen t dt sen t dt t sen t dt
  
        
 
2
3
0
cos ( ) 1 1
cos ( ) 1 ( 1) 0
3 3 3
t
I t

 
       
 
 
Por tanto: 
2
0
3
( )
4
f t dt
 
 
 
2. DEFINICIÓN: Sea  ( ) /z t t     una curva, entonces diremos que la curva  es 
Rectificable si su longitud de arco L existe, es decir la integral: 
 
2 2'( ) '( ) '( )L z t dt x t y t dt
 

 
    Existe 
 
Assinatura: Var. Compleja y Anal. de F 
Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez 
Tema: Derivadas de Funciones Complejas 
 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Ejemplo 02: Calcule L si 
2 2: 4 4 1x y x y     
Solución: 
Parametrizamos la curva: 
2 2: ( 2) ( 2) 9x y     
 
 ( ) (2 3cos( ); 2 3 ( ) ; 0;2z t t sen t t      
 
' ( ) 3 ( )
'( )
'( ) 3cos ( )
x t sen t
z t
y t t
 
 

 Obteniendo el módulo 
2 2'( ) 9 ( ) 9cos ( ) 9 3z t sen t t    
 
Integrando: 
 
 
2 2 2
00 0
'( ) 3 3 6L z t dt dt t
  
      
 
Por tanto: 6L  
 
3. DEFINICIÓN (INTEGRAL DE LÍNEA): Consideremos una curva   y una función 
: ,f D  tal que ,D  siendo f inyectiva y continua en . Entonces se define: 
 
 
 
( ) ( ( )) '( )
b
a
f z dz f z t z t dt

  
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 03: Calcule la siguiente integral 4z dz

 donde : 5z  
Solución: 
 
: 5,z  Parametrizamos la curva 
 
: ( ) 5 ; 0 2 '( ) 5it itz t e t z t i e      
 
Reemplazando en la integral: 
 
2 2
4 4 4 5 5
0 0
5 (5 ) 5i t i t i tz dz e i e dt i e dt
 

    
5
2 2
5 4 5 4 10 0 4 10
00
5
(5 ) 5 5 5 1
5
i t i t i ii e d i t e e e e
i
 
                 
 
 45 cos(10 ) (10 ) 1 0i sen     
 
Por tanto: 4 0z dz

 
 
Re (z) 
Im (z) 
5 
0 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 3 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Ejemplo 04: Calcule la siguiente integral 2z dz

 donde 
2: ,y x  desde (0;0) hasta (4;16) 
Solución: 
 
 2: , 0 4 , 0;4y x x t     
 
Parametrizamos la curva: 
2;x t y t  
 
2: ( ) ( ) ( ) ; 0 4
'( ) 1 2
z t x t i y t t i t t
z t i t
      
  
 
 
Reemplazando en la integral: 
 
4 4
2 2 2 2 3 4
0 0
( ) (1 2 ) ( 2 )(1 2 )z dz t i t i t dt t i t t i t dt

         
Operando: 2 3 4 2 3 4 3 2 4 5 2 3 4 5( 2 )(1 2 ) 2 2 4 2 4 5 2t i t t i t t i t t it i t it t i t t it             
 
4
3 6
4
2 2 4 3 5 5 4
0
0
3008 3328
( 5 ) (4 2 ) ( ) (
3 3 3 3
t t
z dz t t i t t dt t i t i

 
             
 
  
 
Por tanto: 
2 3008 3328
3 3
i
z dz

   
 
3.1. Propiedades: Sea  ( ) /z t t     donde  : ; , , :z f g     funciones 
continuas y 0,  entonces: 
 
1) ( ) ( )f t dt f t dt
 
   
 
2)  ( ) ( ) ( ) ( )f t g t dt f t dt g t dt
  
     
 
3) ( ) ( )f t dt f t dt
 
  
 
4) ( ) ( )f t dt f t dt
 
   
 
5) Si 1 2 ... n    entonces: 
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
n
f t dt f t dt f t dt f t dt
   
       
 
6) Cuando :f    es acotada, 0M  tal que ( ) , ,f z M z    tal que 
( )f z M L

 donde L es la longitud de la curva 
 
 
MISCELÁNEA 1 
Im (z) 
Re (z) 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 4 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
01) Calcule la integral 3z dz

 donde : 2z  
02) Calcule la siguiente integral 2z dz

 donde 
3: ,y x  desde (0;0) hasta (2;8) 
 
03) Calcule la integral 2z dz

 donde  es la frontera del rectángulo de vértices 
1 ; 2 ;2 ; 1 .i i i i      
 
04) Calcule la integral ( )f z dz

 
a) 
2( ) ,f z i z  es el segmento de recta de 1 2i a 3 i 
b)  ( ) , : ( ) ( ) cos( ) ; 0;f z z z z t sen t i t t     
 
05) Calcule el valor numérico de z dz

 donde 0z  a 4 2z i  a lo largo de la curva 
2: ( )z z t t i t    
 
06) Calcule 8Re( )z dz

 donde  / 2z z    
 
07) Calcule 
2
,z dz

 donde  es el segmento que une 2 , 6 2z i w i   
 
08) Calcule 
2
,z dz

 donde  es el segmento que une , 8 2z i w i  