Guía 05 Teorema de Green Para Integrales (3)

Vista previa del material en texto

Laboratorio Variable Compleja y Análisis de Fourier 1 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 
 
1. TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO: Sea R una región simplemente conexa con frontera C 
suave a trozos, orientada en sentido contrario de las agujas del reloj. Si ( ; ); ( ; ); ;
P Q
P x y Q x y
y x
 
 
 son 
continuas en una región abierta que contiene a ,R entonces: 
 
 ( ; ) ( ; )
C R
Q P
P x y dx Q x y dy dx dy
x y
  
   
  
  
 
Nota: El teorema de Green es válido para regiones más complicadas como circulares, triángulos, etc. 
 
Ejemplo 01: Calcule la integral curvilínea 
3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
6 1 4 36 1 4
3 1 4 3 1 4
x y x y y x x y
dx dy
x y x y
      
 
      
 Donde 
2 2: 4x y   
Solución: 
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
C R
Q x y P x y
P x y dx Q x y dy dx dy
x y
  
   
  
  Donde: 
 
3 2 3 3
2 3 2 3
6 1 4 2
( ; )
33 1 4 1 4
x y x y x y
P x y
x y x y
  
  
   
 
2
2
2 3 3
( ; ) 12
(1 4 )
P x y xy
y
y x y

   
  
 
 
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
36 1 4 12
( ; )
33 1 4 1 4
y x x y y x
Q x y
x y x y
  
  
   
 
2
2
2 3 3
( ; ) 12
(1 4 )
Q x y xy
x
x x y

   
  
 
 
Reemplazando en la integral: 
2 2( ; ) ( ; ) ( )
C R
I P x y dx Q x y dy x y dx dy     
 
Ahora determinamos el dominio: 
2 2
2cos( )
4
2 ( )
x
x y
y sen



  

 
 
 ( ; ) / 0 2;0 2R r r       En la integral: 
 
   
2
4
2 2 2 2 22
00 0 0 0
0
4 4 8
4
r
I r r dr d d d
   
    
 
     
 
    
 
Por tanto: 8I  
 
Ejemplo 02: Calcule la integral curvilínea 2 2( ) 3 ,xe x y dx x y dy

  Donde  es la curva cerrada 
determinada por 
2
2; 4 .
4
x
y y x  
Solución: 
Intersecamos las curvas 
Assinatura: Var. Compleja y Anal. de F 
Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez 
Tema: Derivadas de Funciones Complejas 
 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
4
4
3
4
16
64 0
( 64) 0
0 ; 4
x
x
x x
x x
x

 
 
 
 
 
Definimos el dominio: 
 
2
2( ; ) / 0 4 , 2
4
x
R x y x y x
 
      
 
 
 
2
2
2
( ; )
( ; )
( ; )( ; ) 3
6
x
P x y
x
P x y e x y y
Q x yQ x y x y
xy
x

     
 
  
 
 
 
En la integral, por el teorema: 
 
2
2
4 2
2 2
0
4
4
5 4 7 6 524 4
2 2 2 5 3
0 0
4 0
( ; ) ( ; )
6 (6 )
3 4
3 12 2 4
16 4 7 32 20
512 256 5248
256 128
7 5 35
x
x
R R
x
x
Q x y P x y
I dx dy xy x dx dy xy x dy dx
x y
x x x x x
xy x y dx x x dx x
  
           
   
              
      
    
   
  
 
Por tanto: 
2 2 5248( ) 3
35
xe x y dx x y dy

   
 
Ejemplo 03: Calcule la integral 3 3 3 3(2 2 ) (2 ) ,x y dx x y dy

   Donde  es la frontera de la región 
que encierra los círculos 
2 2 2 24 ; 16x y x y    
Solución: 
 
Definimos el dominio: 
 
cos ( )
( )
x r
x r sen





 
 
2 2 2 ( ; )x y r J r r    
 
 2( ; ) / 2 4 , 0 2R r r        
2
3 3
3 3
2
( ; )
6
( ; ) 2 2
( ; )( ; ) 2
6
P x y
y
P x y x y y
Q x yQ x y x y
x
x

     
 
   
 
 
En la integral, por el teorema: 
 
 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 3 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
42 4 2
2 2 2 4
0 2 0 2
( ; ) ( ; ) 3
6 6 6 ( )
2
R R
Q x y P x y
I dx dy x y dx dy r r dr d r d
x y
 
 
  
               
     
 
      
2 2 2
00 0
3 3(240) 3(240)
256 16 360 2 720
2 2 2
d d
  
           
 
Por tanto: 3 3 3 3(2 2 ) (2 ) 720x y dx x y dy

    
 
Observación: 
 
; 2i i
x y x y z
    
      
    
 ( ) ( ) 2 ,
P Q P Q B
i
x y y x z
    
    
    
 
 
Donde ( ; ) ( ; ) ( ; )B z z P x y iQ x y  
 
( ) ( ) ( ) ( )
P Q P Q
B i P iQ P iQ i P iQ i i
x y x y x x y y
       
           
       
 
 
 ( ) ( ) 2
P Q P Q B
i
x y y x z
    
    
    
 
 
2. TEOREMA DE GREEN EN LA FORMA COMPLEJA: Sea ( )f z una función compleja continua y 
sus derivadas parciales continuas en una región R y sobre su frontera  donde 
;z x i y z x i y    
Por el teorema de Green se puede escribir de la forma compleja: 
 
 
( )
( ) 2
R
F z
F z dz i dx dy
z



  
 
Demostración: 
 
Sea ( ) ( ; ) ( ; ) ;F z P x y iQ x y dz dx i dy    
 
     ( ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )F z dz P x y iQ x y dx i dy P x y dx Q x y dy i Q x y dx P x y dy
   
         
 
 
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
R R
Q x y P x y P x y Q x y
dxdy i dxdy
x y x y
      
       
      
  
 
 
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( )
2
R R
P x y Q x y P x y Q x y F z
i i dxdy i dx dy
x y y x z
        
        
        
  
 
Nota: Este resultado último se obtiene de la observación 
 
3. TEOREMA DE CAUCHY PARA INTEGRALES DE LÍNEA EN EL PLANO COMPLEJO: Sea ( )f z 
una función analítica en , siendo  simplemente conexa y suave a trazos, entonces: 
 
 ( ) 0F z dz

 
 
Demostración: 
 
Se conoce ( ) ( ) ( )f z dz u dx v dy i u dy v dx
  
      Donde: ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y  ó f u i v  
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 4 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
Se sabe que ( )f z es continua en  entonces '( ) ,f z z    y '( )f z es continua en , es decir 
que existen sus derivadas parciales , , ,
u u v
x y x
  
  
 
v
y


 y son continuas en  , entonces podemos 
aplicar el teorema de Green en las integrales: u dx v dy

 y ,i u dy v dx

 es decir: 
 
( ) ...(1)
u v u
u dx v dy v dx dy dx dy
x y x y
  
      
        
      
   
 
 
...(2)
u v
i u dy v dx i dx dy
x y
 
  
   
  
  
 
Sumando (1) y (2) se obtiene: 
 
( ) ( ) ...(3)
v u u v
f z dz u dx v dy i u dy v dx dx dy i dx dy
x y x y
    
      
           
      
     
 
Como ( )f z es analítica en , entonces cumple las ecuaciones de Cauchy – Riemann. 
 
... (4)
u v u v
x y y x
   
   
   
 
 
Reemplazamos (4) en (3), obteniendo: 
 
( ) 0 0 0
v u u v
f z dx dy i dx dy i
x y x y
  
      
          
      
   
 
Por tanto: ( ) 0f z dz

 
 
Ejemplo 04: Calcule 
2 3cos ( ) 2
5
( )
,
( 3)
z ze sen z
dz
z


 donde  / 3z z    
Solución: 
2 3cos ( ) 2
5
( )
( )
( 3)
z ze sen z
f z
z


 Se verifica que ( )f z es Analítica dentro y sobre , 
 
Por el teorema de Cauchy: 
2 3cos ( ) 2
5
( )
0
( 3)
z ze sen z
dz
z



 
 
Ejemplo 05: Calcule ,z dz

 donde  es la curva que une los puntos 1 21 ; 3 4z z i   
Solución: 
Se observa ( )f z z es Analítica en , pero  no es cerrada. 
 
Entonces: 0z dz

 
 
Parametrizamos la recta de (1;0)A a (3;4)B 
 
 ( ) (1 ) / 0 1z t t A t B t       
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 5 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
( ) (1 ) (1 )(1 0 ) (3 4 ) (1 2 ) 4z t t A t B t i t i t i t           
 
Donde: ( ) (1 2 ) 4 '( ) 2 4z t t i t z t i      
 
Como: ( )f z z Obtenemos: ( ( )) ( ) (1 2 ) 4f z t z t t i t    
 
Integrando:  
1
0
(1 2 ) 4 (2 4 )z dz t i t i dt

     
 
Operando se reduce: 
 
  2(1 2) 4 (2 4 ) 2 4 8 4 8 16 2 12 4 16 (2 12 ) 4 (1 4 )t i t i t i t i i t i t t i i t t i t                 
 
1 1
2 2
00
(2 12 ) 4 (1 4 ) 2 6 (4 8 ) 2 6 (4 8) 0z dz t i t dt t t i t t i

                
 
Por tanto: 4 12z dz i

   
 
Ejemplo 06: Calcule 4 ,z dz

 donde 
2 2: 4x y   
Solución: 
 
Se observa que: 
 
4( )f z z Es analítica z  y  es una curva cerrada 
Entonces cumple por el teorema de Cauchy 
 
Por tanto: 4 0z dz

 
 
4. LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY: Indica que si f es una función analítica en el interior y 
sobre los puntos de una curva cerrada simple , los valores interiores de  están completamente 
determinados por los valores de f sobre . 
 
4.1. TEOREMA: Sea ( )F z una función analítica en el de una región R y de  una curva simple, 
si 0z es un punto interior a , entonces: 
 
0 0
0 0
1 ( ) ( )
( ) 2 ( )
2
F z dz F z dz
F z i F z
i z z z z
 


  
  
 
 
Ejemplo 07: Calcule la integral 
2
,
4
dz
z z


 donde  / 2z z    
Solución: Expresar 
2
4
4 ( 4) 0
dz
dz dz z
z z z z z
  
  
    
 ¿
1
( )
4
F z
z


Es Analítica en el interior de 2z  y 0 0z  está 
en el interior de  ? 
 
Verificamos si 
1
( )
4
F z
z


 es analítica: 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 6 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
2 2 2 2 2 2
( ; ) ( ; )
1 1 1 ( 4) ( 4) 4
( )
4 ( ) 4 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4)
u x y v x y
x i y x iy x y
f z i
z x i y x i y x i y x y x y x y
      
      
             
 
De donde: 
2 2
2
2 22 2
2 2
2 2 2
2 2
( 4)
4 ( ; )
( ; )
( 4)( 4)
( 4)
( ; ) ( ; )
( 4) ( 4)
x
y
y x
x u x y
u x y
x yx y
y y x
v x y v x y
x y x y
  
       
 
    
      
 Cumple: x yu v 
 
2
2 22 2
22 2 2 2
2 ( 4)
4 ( ; )
( ; )
( 4)( 4)
2 ( 4)
( ; ) ( ; )
( 4) ( 4)
y
y
y x
x u x y
u x y
x yx y
y y x
v x y v x y
x y x y
         
 
   
       
 Cumple: y xu v  
 
 Por la integral de Cauchy: 
2
14 2 (0) 2
4 0 0 4 2
dz
dz iz i F i
z z z
 

 
        
  
 
Por tanto: 
2 4 2
dz i
z z




 
 
Ejemplo 08: Calcule la integral 
2
2
ze dz
z


 donde  / 8z z    
Solución: Tenemos 
2
( ) zF z e es función analítica, 0 2z  está en el interior del círculo. 
 
2 2 2 2 2 2 2 2( ) (2 ) (2 )( ) cos(2 ) (2 )z x i y x y i xy x y i xy x yF z e e e e e e xy i sen xy          
 
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
( ; ) 2 cos (2 ) 2 (2 )( ; ) cos (2 )
( ; ) (2 ) ( ; ) 2 cos (2 ) 2 (2 )
x y x yx y
x
x y x y x y
y
u x y xe xy y e sen xyu x y e xy
v x y e sen xy v x y xe xy y e sen xy
 
  
   
 
    
 Cumple: x yu v 
 
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
( ; ) ( 2 (2 ) 2 )( ; ) cos (2 )
( ; ) (2 ) ( ; ) 2 (2 ) 2
x y x yx y
y
x y x y x y
y
u x y xe sen xy y eu x y e xy
v x y e sen xy v x y xe sen xy y e
 
  
    
 
    
 Cumple: y xu v  
Entonces: 
2
( ) zF z e es función analítica 
 
Por teorema: 
2
2 (2 )
2
ze dz
i F
z

 



 
2
2 2(2 ) 42 2
2
ze dz
i e i e
z
 

 

 

 
Por tanto: 
2
242
2
ze dz
i e
z






 
 
 
Re (z) 
Im(z) 
 
r = 8 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 7 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
5. FÓRMULA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY PARA DERIVADAS PARCIALES: Si ( )f z es 
Analítica dentro y sobre la frontera  de una región R simplemente conexa entonces: 
 
0
0
1 ( )
( )
2
F z dz
F z
i z z




 
0 2
0
1 ( )
'( )
2 ( )
F z dz
F z
i z z




 
 
0 3
0
1 1.2. ( )
' '( )
2 ( )
F z dz
F z
i z z




 
0 4
0
1 1.2.3. ( )
' ' '( )
2 ( )
F z dz
F z
i z z




 
( )
0 1
0
1 1.2.3... . ( )
( )
2 ( )
n
n
n F z dz
F z
i z z

 


 
 
Entonces: 
( )
0 1
0
1 !. ( )
( ) ;
2 ( )
n
n
n F z dz
F z n
i z z




 

 
 
Por tanto: 
( )
0
1
0
2 ( )( )
( ) !
n
n
i F zF z dz
z z n





 
 
 
Ejemplo 09: Calcule la siguiente integral: 
8 3
5
( 4 2)
( 2)
z z z dz
z

  

 Donde  / 4z z    
Solución: 
De la integral 
8 3
0( ) 4 2 ; 2F z z z z z     
Es función analítica y 0 2z  está dentro de la circunferencia 4z  
 
8 3 ( )
5
( 4 2) 2 (2)
( 2) 4!
i vz z z dz i F
z

  


 
 
Derivando: 
 
8 3 7 2
6 5
4 4
( ) 4 2 '( ) 8 3 4
' '( ) 56 6 ' ' '( ) 336 6
( ) 1680 (2) 1680(2) 26880i v i v
F z z z z F z z z
F z z z F z z
F z z F
      
   
   
 
Reemplazando: 
 
8 3
4
( 4 2) 2 (26880)
2240
( 2) 24
z z z dz i
i
z



  
 

 
 
Por tanto: 
8 3
4
( 4 2)
2240
( 2)
z z z dz
i
z


  


 
 
Ejemplo 10: Calcule la siguiente integral: 
4 2
2 2
( 2 3)
(2 1) ( 2)
z z dz
z z

 
 
 Donde  / 1z z    
Solución: 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 8 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
4 2
4 2 2
2 2
2
2 3
( 2 3) 4( 2)
1(2 1) ( 2)
( )
2
z z
dz
z z dz z
z z
z 
 
  

 

  
Tenemos: 
 
4 2
2
2 3
( )
4( 2)
z z
F z
z
 


 Es analítica, 
0
1
2
z   está dentro y sobre de la  / 1z z    
 
Entonces: 
4 2
2 2
( 2 3) 1
2 '
(2 1) ( 2) 2
z z dz
i F
z z


   
  
   
 Derivando: 
4 2
2
2 3
( )
4( 2)
z z
F z
z
 


 
 
3 2 4 2 5 3
2 2 2 2
(4 4 )( 2) ( 2 3)2 2 8 14
'( )
4( 2) 4( 2)
z z z z z z z z z
F z
z z
      
 
 
 
 
Evaluando: 
2 2
1 1 95
1 7 6
1 9516 16 16'
81(4)2 81(4)1 9
4 2 4
164 4
F
   
 
     
     
   
   
 
 
Reemplazando en la integral: 
4 2
2 2
( 2 3) 95
2
(2 1) ( 2) 324
z z dz
i
z z


   
  
   
 
 
Por tanto: 
4 2
2 2
( 2 3) 95
(2 1) ( 2) 162
z z dz i
z z

 

 
 
 
ENTRETENIMIENTO 01 
 
01) Calcule la integral 3z dz

 donde : 2z  
02) Calcule la siguiente integral 2z dz

 donde 
3: ,y x  desde (0;0) hasta (2;8) 
 
03) Calcule la integral 2z dz

 donde  es la frontera del rectángulo de vértices 
1 ; 2 ;2 ; 1 .i i i i      
 
04) Calcule la integral ( )f z dz

 
a) 
2( ) ,f z i z  es el segmento de recta de 1 2i a 3 i 
b)  ( ) , : ( ) ( ) cos( ) ; 0;f z z z z t sen t i t t     
 
05) Calcule el valor numérico de z dz

 donde 0z  a 4 2z i  a lo largo de la curva 
2: ( )z z t t i t    
 
06) Calcule 8Re( )z dz

 donde  / 2z z    
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 9 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
07) Calcule 
2
,z dz

 donde  es el segmento que une 2 , 6 2z i w i   
 
08) Calcule 
2
,z dz

 donde  es el segmento que une , 8 2z i w i   
 
09) Aplicando el teorema de Green, calcule la integral de línea 
3
2 2 3(3 ) ( cos ( ))
3
y yyx e x y dx x e y dy

 
    
 
 alrededor de la circunferencia 
2 2 4x y  en sentido 
contrario al movimiento de las manecillas del reloj. 
 
10) Aplicando el teorema de Green, calcule la integral de línea 
3
2 2 22( ) ( )
3
xy
x y dx x y dy

 
  
 
 en sentido 
contrario al movimiento de las manecillas del reloj, alrededor de la frontera del triángulo cuyos vértices 
son (0;0),(0;2),(4;2) 
 
11) Calcule la integral curvilínea 
2 2 2( ) 4 ,xe x y dx x y dy  Donde  es la curva cerrada determinada 
por 
2 24 ; 4y x x y  
 
12) Calcule la integral de línea: 2 2(2 ( )) (2 cos( )) ,xy sen x dx x y y dy

   Donde es la elipse 
( ) ( ) ;z acso t ib sen t  0 2t   
 
13) Calcule la integral de línea: 
2 (1 )
1 ,
2 2
xy x y
y x dx dy

 
   
 
 Donde  es cualquier 
circunferencia de radio unitario. 
 
14) Calcule la integral 2 3 2( ) ,x y dx y xy dy

  Donde  es la frontera de la región que encierra los 
círculos 
2 2 2 24 ; 16x y x y    
 
15) Probar que: 2( cos( ) 2 ) (2 ( ) 2 ) ,y yy x e dx y sen x xe dy

   Alrededor de cualquier curva simple 
cerrada  . 
 
16) Calcule la integral 2 3 2( ) ,x y dx y xy dy

  Donde  es la frontera de la región que encierra los 
círculos 
2 2 2 24 ; 16x y x y    
 
17) Calcule la siguiente integral de línea 
2 2 3( 2 ) ( ) ,x xy dx y x y dy

   Donde  es un cuadrado 
con vértices (0;0),(2;0),(2;2),(0;2). 
 
18) Calcule las siguientes integrales ( ) ,f z dz

 siendo  ( ) , 0;2
i tt e t   y ( )f z es: 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 10 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
a) 
3
2
4
( )
( 2)
z
f z
z z



 b) 
3
2
( )
( 4) ( 1)
z
f z
z z

 
 
 
19) Calcule la siguiente integral: 
4 2
3 2
( 2 3)
( 1) ( 2)
z z dz
z z

 
 
 Donde  / 2z z    
 
20) Calcule la siguiente integral: 
4 3
3 2
( 1)
( 2) ( 1)
z z dz
z z

 
 
 Donde  / 2z z    
 
21) Calcule la siguiente integral: 
10 4 2
6
( 2 1)
( 1)
z z z dz
z

  

 Donde  / 2z z    
 
22) Calcule la siguiente integral: 
8 4 2
5
( 2)
( 1)
z z z dz
z

  

 Donde  / 4z z    
 
23) Calcule la siguiente integral: 
3
4 2
(3 2)
( 1) ( 9)
z dz
z z


 
 Donde  / 4z z    
 
24) Calcule la siguiente integral: 
4( 2 )
zi e dz
z i

 
 Donde  / 2z z    
 
25) Calcule la siguiente integral: 
3
cos ( )
( 2 )
z i dz
z i



 Si  es cualquier curva cerrada simple que encierra 
a 2i . 
 
26) Evalúe la integral: 
3
(3 )
( 4)
z sen z dz
z


 Donde  / 2 9z z i    