Problemas de calculo vectorial-63

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6.3 Teorema de Green 187
6 3
TEOREMA DE GREEN
799 Usar el teorema de Green para evaluar la integral∫
C
y dx− x dy,
donde C es la frontera del cuadrado [0, 1] × [0, 1] orientada en sentido
positivo.
� Verificar el teorema de Green en los siguientes casos:
800 El disco {x2 + y2 ≤ 1} y el campo F(x, y) = (xy, xy).
801 El anillo {1 ≤ x2 +y2 ≤ 4} y el campo F(x, y) = (2x3−y3, x3 +y3).
Solución 801:
El teorema de Green asegura que para un dominio D en el plano con
frontera ∂D+ orientada de modo que D queda a la izquierda, y un campo
F = (P,Q) se tiene∫
∂D+
(P dx+Qdy) =
∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dx dy.
En nuestro caso concreto D es el anillo centrado en el origen con radio
exterior 2 y radio interior 1 (ver Figura 54). De esta suerte la frontera de
D consta de estos dos ćırculos que debemos orientar de modo contrario
a fin de que la región delimitada quede a la izquierda según vamos
recorriendo las curvas. La parametrización de ambos será
x = 2 cos θ, y = 2 sen θ, θ ∈ [0, 2π],
x = cos θ, y = sen θ, θ ∈ [0, 2π],
y la única precaución es añadir un signo menos a la integral sobre el
ćırculo interior debido a que debe recorrerse en sentido horario. Con un
poco de cuidado en los cálculos tenemos∫
∂D+
(P dx+Qdy) =∫ 2π
0
[
(16 cos3 θ − 8 sen3 θ)(−2 sen θ)+
(8 cos3 θ + 3 sen3 θ)2 cos θ − (2 cos3 θ − sen3 θ)(− sen θ)
+(cos3 θ + sen3 θ) cos θ
]
dθ =
188 Capı́tulo 6 Análisis vectorial188 Capı́tulo 6 Análisis vectorial188 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
∫ 2π
0
(
−30 cos3 θ sen θ + 15 sen4 θ + 15 cos4 θ + 15 sen3 cos θ
)
dθ
=
45
2
π.
Al calcular esta última integral, hemos tenido en cuenta que el primer
−2 0 2
−2
−1
0
1
2
Figura 54: Gráfica del Ejercicio 801
y último sumando no contribuyen a la integral, mientras que para cos4 θ
y sen4 θ hemos usado repetidamente las fórmulas del ángulo doble (cf.
Ejercicio 535).
Por otro lado, transformando la integral doble a polares,∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dx dy =
∫ 2π
0
∫ 2
1
3r2r dr dθ =
3
2
π r4
∣∣2
1
=
45
2
π.
802 Por medio del teorema de Green, calcular∫
C
(x3 + y3) dy − (x3 + y) dx,
donde C es el ćırculo x2 + y2 = 1 recorrido en sentido contrario al reloj.
803 Aplicar el Teorema de Green para evaluar la integral de ĺınea∫
C
x2y dx+ xy2 dy
donde C es la frontera de la región limitada por las curvas y = x2,
y = 8− x2.
Solución 803:
6.3 Teorema de Green 189
Por el teorema de Green, podemos escribir
I =
∫
C
(x2y dx+ xy2 dy) =
∫∫
D
(2xy − x2) dx dy.
La región D se describe como
−2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 8− x2,
y en consecuencia
I =
∫ 2
−2
∫ 8−x2
x2
(y2 − x2) dx dy = 2816
7
.
804 Sea F(x, y) = (2y + ex, x + sen(y2)) y C el ćırculo x2 + y2 = 1 con
orientación positiva. Escribir
∫
C
F como una integral doble y evaluar.
805 Sea C la frontera del rectángulo [1, 2]× [1, 2]. Evaluar
∫
C
x2y dx+ 3yx2 dy
con orientación positiva usando el teorema de Green.
� Usar el teorema de Green para calcular el área de las siguientes regiones
planas:
806 El triángulo de vértices (1, 0), (3, 4), (5,−1).
807 El cuadrilátero de vértices (0,−1), (3, 0), (1,−2), (4, 3).
808 El área entre las curvas y = x3 e y =
√
x.
809 Región acotada por la astroide (cos3 t, sen3 t), t ∈ [0, 2π].
Solución:
807 Recordemos en primer lugar que el área de una región D encerrada
por una curva con orientación positiva C+ viene dada por
Área(D) =
1
2
∫
C+
(x dy − y dx).
Para encontrar el área de la figura cerrada formada por varios
segmentos mediante el teorema de Green, debemos preocuparnos
por integrar sobre segmentos de recta. En particular, sobre el
segmento que empieza en el punto A = (a1, a2) y acaba en B =
(b1, b2) podemos usar la parametrización
(1− t)(a1, a2) + t(b1, b2), t ∈ [0, 1].