Integrales_Cauchy

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Cálculo avanzado – Fundamentos para el análisis de señales – Análisis numérico y Cálculo avanzado 
 2011 1 de 2 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
Facultad Regional Santa Fe 
 
Guía de Ejercicios 4 
Integración en C – Teorema de Cauchy. 
 
Integral de una función compleja sobre una curva en el plano: f(z) una función compleja; γ = z(t) , t∈[a, b] ⊂ℜ, 
una curva suave; f(z) continua en cada punto de z(t), entonces ∫ ∫=
)t(z
b
a
dt)t´(z))t(z(fdz)z(f . 
Teorema de Cauchy: f(z) diferenciable en un dominio simplemente conexo D ⊂ C , γ una trayectoria cerrada en 
D, entonces 0dz)z(f =∫
γ
. 
Teorema de deformación: γ y Γ trayectorias cerradas en el plano, con γ en el interior de Γ, f(z) diferenciable en 
un conjunto abierto que contiene ambas trayectorias y todos los puntos entre ellas, entonces ∫∫ =
Γ γ
dz)z(fdz)z(f . 
Fórmula de la Integral de Cauchy: f(z) diferenciable en un dominio simplemente conexo D ⊂ C , γ una trayectoria 
cerrada en D, entonces para cualquier z0 encerrado por γ, ∫ −=
γ
π
dz
zz
)z(f
i2
1
)z(f
0
0 . 
Fórmula integrar de Cauchy para derivadas de orden superior: f(z) diferenciable en un dominio simplemente 
conexo D ⊂ C , f(z) tiene derivadas de todo orden en cada punto de D, γ una trayectoria cerrada en D, entonces 
para cualquier z0 encerrado por γ, ∫ +−= γπ
dz
)zz(
)z(f
i2
!n
)z(f
1n
0
0
)n( . 
Teorema de deformación extendido (generalización del Teorema de Cauchy a recintos n-conexos): Γ, trayectoria 
cerrada, γ1, γ2, γ3, …, γn , trayectorias cerradas dentro de Γ. Ningún par de trayectorias se intersecan y ningún 
punto interior a alguna γi es interior a alguna otra γk. f(z) diferenciable en un conjunto abierto que contiene a Γ y 
cada γi y todos los puntos interiores a Γ son exteriores a γi , entonces: ∑∫∫
=Γ
=
n
1i
i
dz)z(fdz)z(f
γ
 
Ejercicio 1: Evaluar la ∫
γ
dz)z(f , donde γ = γ(t) es una curva para t ∈ℜ 
a) ∫
−
+−
−
i2
i21
dz)z2i3( , 
i) a lo largo del segmento de recta que una los puntos (-1+2i) y (2-i); 
ii) a lo largo de los segmentos de recta que une -1+2i con 2 + 2i y luego 2-i 
b) ∫ −+−
)1,1(
)0,0(
dy)4xy(idx)y25( a lo largo de γ = γ(t)= 



=
=
3ty
tx
 
c) ∫
γ
dz a lo largo de γ = γ(t)=t2-it, para 1 ≤ t ≤ 3 
Ejercicio 2: 
 
 
Cálculo avanzado – Fundamentos para el análisis de señales – Análisis numérico y Cálculo avanzado 
 2011 2 de 2 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
Facultad Regional Santa Fe 
∫ ++−
γ
dz)7z5z2z3( 23 , donde γ = | z | = R < ∞. ¿Se puede predecir el resultado? Justifique su respuesta 
Ejercicio 3: 
Calcular ∫ +γ 1z
dz
2
, donde γ = | z |= 3 
Ejercicio 4: 
Calcular ∫ +−γ )i2z()1z(
zdz
2
, donde 
a) γ es cualquier contorno cerrado que contenga a z =1; 
b) γ es cualquier contorno cerrado que contenga a z =-2i; 
c) γ es cualquier contorno cerrado que contenga a z =1 y z =2i; 
Ejercicio 5: 
Calcular ∫ ++−
γ
dz
)iz)(2z)(1z(
z2
, donde γ es cualquier contorno cerrado que contenga a z =1, z=-2 y z = -i. 
Ejercicio 6: 
Calcular ∫ −γ
dz
)1z(
z
3
4
, donde γ es | z – 1|= 3 
Ejercicio 7: 
∫ −
γ
dz
)5z(
)z(sen 2
, donde γ es cualquier trayectoria cerrada que encierra a z=5. 
Ejercicio 8: 
Calcular ∫ +
−
γ
dz
z4z
i4z
3
, donde γ es una trayectoria cerrada que encierra al origen, 2i y -2i.