La Integral Compleja

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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: Integración Compleja 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER (PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA (PROFESOR ADJUNTO) 71 
 
 
 
 
6 LA INTEGRACIÓN COMPLEJA 
 
1. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 
 
1.1. Introducción - Contorno 
 
Hemos aprendido a diferenciar funciones de variable compleja y hemos estudiado el concepto 
de analiticidad, nos dedicaremos ahora al estudio de la integración. 
 
Comenzaremos con una clase particular de integral definida llamada integral de línea o de 
contorno. Esta integral de línea es el límite de una suma al igual que la integral definida que se 
estudió en el cálculo elemental. No obstante, la interpretación física o geométrica de esta nueva 
integral es más problemática. 
 
Determinaremos las integrales de línea de una función de variable compleja sobre una curva o 
arco suave C del plano, o sobre un contorno o curva suave a trozos tal como se han definido 
en el capítulo anterior. 
 
Si dado un contorno que va del punto A al punto B, estos puntos coinciden, la curva es un 
contorno cerrado. 
 
Un contorno cerrado simple es un contorno que no presenta puntos múltiples. Esto significa 
que para todo par de arcos suaves del contorno éstos no pasan por el mismo punto excepto si 
se trata de los puntos inicial y final de los arcos suaves. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 41: 
Un contorno cerrado simple 
En el caso de las integrales de línea tomadas alrededor 
de un contorno cerrado simple, decimos que la 
integración se lleva a cabo en el sentido positivo 
cuando el interior del contorno se encuentra a la 
izquierda de la dirección de integración. En la Figura 
39 la dirección positiva de integración es la que indica 
la flecha. 
 
 
indica la flecha. 
 
 
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1.2. Integral de línea en el Plano Complejo. 
 
 Sea un arco suave que va desde el punto ( ), al punto ( ), en el plano 
complejo. El arco se divide en n arcos más pequeños, tomando sucesivamente los puntos de 
coordenadas: 
 
( ) ( ) ( ); o bien los puntos , , etc. 
 
 Construyamos ahora un conjunto de vectores que conectan cada punto seleccionado con el 
siguiente en la dirección de las cuerdas que los unen. Los vectores se desplazan desde A a 
B; el primero es un segmento dirigido que va desde ( ) a ( ), el segundo es un 
segmento dirigido que va desde ( ) a ( ) y así sucesivamente. 
 
 Sea z
1
, el número complejo que corresponde al vector que va de ( ) a ( ); 
z
2
, el número complejo que corresponde al vector que va de ( ) a ( ) y así 
sucesivamente. 
 
Tenemos entonces n números complejos de la forma general: donde 
 y son las proyecciones del vector k-ésimo sobre el eje real y el eje imaginario 
respectivamente. Por lo tanto: ( ) ( ) 
 
 Sea 
 
 el número complejo que corresponde a un punto arbitrario del k-ésimo arco. El 
vector subtiende dicho arco. 
 
Consideremos ahora a f , función continua de la variable z tal que ( ) ( ) ( ) y 
evaluemos esta función en los puntos 
 del arco suave C, luego obtener el producto 
 ( 
 ) para cada k y realizar la suma de estos resultados 
 
∑ ( 
 ) 
 
 
 
 
Podemos repetir este procedimiento para particiones tan pequeñas como se nos ocurra y en 
este caso estaríamos efectuando la operación: 
 
 
| | 
( )
∑ ( 
 ) 
 
 
 
 
Se define la integral de línea de ( ) sobre el arco C; mediante la expresión: 
 
 






n
k
kk
n
z
C
zzflímdzzf
k 1
0
)()( 
 
 
 es un punto arbitrario del k-ésimo arco de la partición de C 
 
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La integral existe, si existe el límite de la suma. 
 
Se puede demostrar que: Si es continua en un dominio que contiene al arco existe el 
límite de la suma; o sea existe la integral de línea. 
 
En general, hemos de suponer que el valor de esta integral no sólo depende de A y B, las 
posiciones de los extremos de la trayectoria de integración, sino también de la propia 
trayectoria C usada para unir esos puntos. 
 
La integral de línea de una función a lo largo de un arco suave a trozos se obtiene 
sumando las integrales de línea sobre los arcos suaves que forman la curva. 
 
Podemos emplear la suma para un valor finito de n para aproximar la integral. 
 
 
1.3. La Integral de Línea Compleja como Integrales de Línea Reales 
 
Cuando expresamos la función ( ) ( ) ( ) , las integrales de línea en las que 
interviene pueden expresarse en términos de las integrales de línea reales. Así, volviendo a 
la definición de integral de línea compleja y teniendo en cuenta que 
 
 es un punto arbitrario 
del k-ésimo arco y es el vector que subtiende al arco, tenemos: 
 
 
 
 
 y 
 
xk 
yk 
 
( xk-1 , y k -1) 
( xk , yk) 
 
B ( xn , yn) 
( xn -1 , yn -1) 
 
A(x0 , y0) 
 
(x1 , y1) 
 
(x2 , y2) 
 
 
z2 z1 
zk 
 
z*n 
 
z*k 
x 
y 
xk 
 
 
 
zk 
 
z*2 
x 
 
C 
Figura 42: Partición de la curva C 
z*1 
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   
  )(),(),()()(
1
0
1
0
k
n
k
kkkkk
n
z
n
k
kk
n
z
C
yixyxivyxulímzzflímdzzf
kk









 
 
Ahora, si operamos y separamos la parte real y la parte imaginaria, obtenemos: 
 
 
| | 
( )
∑ ( 
 ) 
 
 
 
| | 
( )
[∑ ( 
 
 ) ∑ ( 
 
 ) 
 
 
 
 
 ∑ ( 
 
 ) 
 
 
∑ ( 
 
 ) 
 
 
] 
 
En el límite de las cuatro sumas de esta ecuación se identifican las definiciones de la 
integración de una función de dos variables reales. Recordemos que: 
 
 
 




n entonces Δx si donde )y,f(xlímdxy)f(x, k
n
1k
kkk
n
0Δz
C
k
x 
 
 




n entonces Δy si donde y)y,f(xlímdyy)f(x, k
n
1k
kkk
n
0Δy
C
k
 
 
Entonces resulta: 
   







C C CCC
y)dxv(x,y)dyu(x,y)dyv(x,y)dxu(x,dzf(z) i 
Donde estas integrales han de evaluarse sobre el contorno C recorrido según un sentido 
particular. La continuidad de u y v, o bien de , en un dominio que contiene al arco C 
basta para garantizar la existencia de las cuatro integrales que aparecen en esta expresión y en 
consecuencia garantizar la existencia de la integral de línea compleja. Así, la expresión 
obtenida proporciona un método para calcular las integrales de línea complejas a partir de las 
integrales de línea reales. 
 
Obsérvese a modo de método nemotécnico que esta expresión puede obtenerse mediante la 
siguiente operación: 
 
       
CCC
vdxudyivdy-udxidydxivudzf(z) 
 
Ejemplos 
 
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1. Calculemos dzf(z)
C
 si el contorno C es desde a . (Figura 43) 
y ( ) ( ̅) 
 
 
Como ( ) ( ) , resulta 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
Calculamos la integral 
 
 
     
C C C
22
C
22
C
2
(-2xy)dx)dyy-(x2xydy)dxy-(xdzz ii 
 
En las integrales respecto de x, hacemos y= reemplazo que se cumple en todo punto 
del contorno y estas integrales se transforman en integrales ordinarias con límites y 
 . 
 
Para convertir las integrales respecto de y en integrales ordinarias con límites e , 
reemplazamos √ expresión que se obtiene de la ecuación 
 
Efectuamos las sustituciones y resulta 
 
       
1
0
2
1
0
2
1
2
2
1
22
C
2
)1(2)1(121dzz dxxxidyyyidyyydxxx 
 
Evaluando, obtenemos: 
  











 2
3
6
11
15
32
15
23
dzz
C
2
ii 
 
2.- Efectuemos el cálculo de la integral de línea dada en 1.- donde C es el contorno que se da 
en la Figura 44 desde i a 
 
Dividimos la trayectoria de integración en las trayectorias I y II 
 
 Sobre I tenemos , 
 
entonces , y 
 
x 
 
2 
y = x
2
 +1 
 
y 
 1 
1 
Figura 43: Contorno C en ∫ ( ̅) 
 
 
 
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y sólo integramos respecto de x, desde a . 
 
 Sobre la trayectoria II, tenemos 
 
entonces , y . 
 
e integramos respecto de y desde a . 
 
Obtenemos: 
    idxxidxx   3
2
)2(1dzz
1
0
1
0
2
I
2
 
  idyyiydy
3
4
3)1(2dzz
21
1
2
2
1II
2
  
El valor de la integral a lo largo de C se obtiene sumando las contribuciones I y II. Así: 
 
      i
3
7
3
7
dzzdzzdzz
II
2
I
2
C
2
  
Este resultado difiere del obtenido para 1 
 
 
Estos ejemplos muestran que el valor de la integral de línea entre dos puntos puede depender 
del contorno usado para ir de uno a otro. 
 
1.4. Integral de Línea Compleja respecto de un Parámetro Real 
 
A veces es más fácil realizar la integración sin usar las variables x e y. En este caso, integramos 
respecto a un parámetro real: el parámetro usado para generar el contorno de integración. 
 
Sea C el arco suave generado por las dos ecuaciones paramétricas: 
 
 ( ) e ( ), donde 
 
Al recorrer t desde a se genera un lugar geométrico en el plano complejo, ó 
el arco que va desde [ ( ) ( )], a [ ( ) ( )]. 
 
Si llamamos con z a los puntos de esta curva, luego ( ) ( ) ( ) es una función de 
variable compleja de la variable real t con derivada ( ) ( ) ( ) . 
 
A fin de evaluar dzf(z)
C
 , podemos efectuar el siguiente cambio de variable: 
  dt(t)z z(t)fdzf(z)
B
A
t
tC
  
 
Figura 44: 
Contorno desde i a 1+ 2i 
I 
II 
 2 
 
 
 1 
 
1 
y 
x 
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donde la integral del primer miembro se lleva a cabo pasando de A a B sobre C. La integral 
del segundo miembro es una integral de funciones complejas respecto de una variable real 
donde la integración puede llevarse a cabo usando los métodos usuales del cálculo elemental. 
 
Ejemplos 
 
1.- Evaluemos dzz
C
2
 donde C es el arco de la parábola 
 
, y la dirección 
de integración es de ( )a ( ). 
 
El arco se puede generar por medio de las ecuaciones: √ , donde 
 
Resultan: ( ) √ y ( ) 
 
( √ )
 , 
 
 ( ) (√ )
 
 (√ )
 
, y 
 
Tenemos entonces: 
  6i
3
86
dt)ti(2tt
2
5
2
t
dti
t2
1
] )t2i(+t-[tdzz
4
1
2
3
4
1
32
C
2 











  
2.- Obtener dz 
a-z
1
C
 donde C es | | , una circunferencia con centro en y radio r. 
 
Una forma vectorial paramétrica de la circunferencia es: ( ), . De 
donde se obtiene: 
 
 ( )y ( ) ( ) ( ) 
 
Reemplazando en la integral resulta: 
 
i

2
isent)r(cost
isent)ri(cost
dz 
a-z
1
2
0C



  
 
El resultado obtenido en este caso no depende del radio de la circunferencia ni del centro. 
 
 Si cambiamos el contorno por la semicircunferencia superior, resulta: 
iidt 

 
0C
a-z
dz
 
El resultado obtenido en este caso tampoco depende del radio ni del centro de la circunferencia 
al que pertenece el arco de curva. 
 
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3.- Obtener dzf(z)
C
 donde C es | | , una circunferencia con centro en y radio 
r y ( ) ( ) 
 
A partir de la forma vectorial paramétrica de la circunferencia 
 
 ( ), , se obtiene: 
 
( ) (( )) y ( ) ( ) . 
 
Reemplazando en la integral resulta: 
             

2π
0
1n
2π
0
1n1n
C
n
dtt1ncost1nsenrdtisentcostrdzaz i 
 
Si obtenemos el resultado anterior . 
 
Si , se obtiene: 
         0)11(
1
r
t1nt1ncos
1
r
dzaz
1n
2
0
1n
C
n






 n
isen
n

 
 
 
1.5. Propiedades de la Integral de Línea Compleja 
 
Puesto que la integral de línea compleja se puede expresar en término de las integrales de línea 
reales, las propiedades de éstas también son válidas para integrales de línea complejas. Por lo 
tanto, las integrales a lo largo de una curva suave a trozos C que va desde el punto A al punto 
B (puede ocurrir que A y B coincidan), tienen las siguientes propiedades: 
 
   
CCC
g(z)dzf(z)dzdz g(z)f(z) I. 
  
CC
f(z)dzdz f(z) α II.  
A a B de vaque trozosa suave curva la es C- donde f(z)dzdz f(z) III.
CC -
  
  Cz,zCCy CCC donde f(z)dzf(z)dzdz f(z) IV. cc2121
CCC 21
  
V.- Desigualdad M L: Podemos establecer las siguientes desigualdades: 
 
CCC
MLdz M dzf(z) dz f(z) 
 
para M un real positivo que es una cota superior de | ( )| sobre C: 
 
| ( )| 
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C de longitud la es L , Ldz
C
 
y obtener la Desigualdad M L: 
ML dz f(z)
C
 
Esto significa que: Si existe una constante real M tal que | ( )| en todo punto de un arco 
suave C y si denotamos por L la longitud de C, entonces el módulo de la integral de a lo 
largo de C no puede ser superior al producto M.L 
 
 
2. LOS TEOREMAS DE INTEGRACIÓN 
 
2.1. Teorema de CauchySi es analítica en la región R definida por un contorno cerrado simple C más los 
puntos dentro de C (Figura 45) y su primera derivada  es continua en R, entonces 
 
0f(z)dz
C
 
Demostración: 
Consideremos ( ) ( ) ( ) y calculemos la integral a lo largo del contorno cerrado 
simple C: 
    
CCC
i vdxudyvdy-udxdz f(z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordemos el enunciado del Teorema de Green en el plano: 
Sean ( ) y ( ) y sus primeras derivadas parciales funciones continuas en una región R 
definida por el interior de un contorno cerrado simple C más los puntos de C; entonces: 
 
 











RC
dxdy
y
P
x
Q
y)dyQ(x,dxy)P(x, 
Este teorema nos permite transformar una integral de línea alrededor de C en una integral 
doble sobre R 
R 
C 
Figura 45: Región R 
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Como es analítica en R, es derivable en R y en consecuencia continua en R, entonces ( ) 
y ( ) son continuas en R y se cumplen las ecuaciones de Cauchy - Riemann en R. Resulta 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Además  es continua en R, entonces las derivadas parciales de y son también continuas 
en R. 
 
Para y podemos emplear el Teorema de Green en el plano y obtenemos: 
 











RC
dxdy
y
u
x
v
dy y)v(x,dx y)u(x, 
 
Del mismo modo, para y , obtenemos: 
 











RC
dxdy 
y
v
x
u
dy y)u(x,dx y)v(x, 
 
Como es analítica en R se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto 
 0dy y)u(x,dx y)v(x,y 0dy y)v(x,dx y)u(x,
CC
  
 
y demostramos que 
0f(z)dz
C
 
 
Existe un teorema que no requiere que ( ) sea continua que se conoce como Teorema de 
Cauchy- Goursat. 
 
 
2.2. Teorema de Cauchy-Goursat 
 
Sea C un contorno cerrado simple y sea ( ) una función analítica en el interior de C y sobre 
C; entonces 
0f(z)dz
C
 
 
Otra forma de enunciar el teorema es la siguiente: 
Sea ( ) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces, 
 
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0f(z)dz
C
 
 para todo contorno cerrado simple C en D 
 
Este teorema es uno de los más importantes en la teoría de variable compleja. Una de las 
razones es que puede ahorrarnos una gran cantidad de trabajo al realizar cierto tipo de 
integraciones. 
 
Por ejemplo, las integrales de funciones enteras como 
etc. , e , dz zsen 
C
z
C
 dz 
se anulan para cualquier contorno cerrado simple C. Recordemos que las funciones f(z) = sen z 
y g(z)= e
z
 son enteras porque son analíticas para todo el plano complejo. 
 
Ya hemos obtenido que   0dzaz
C
n
 si C es | | , una circunferencia con centro 
en y radio y . 
 
Para este caso podemos analizar que: 
 
 Si n es un entero y n > − 1, ( ) ( ) es entera y la integral de línea es igual a cero 
para todo contorno cerrado. 
 
 Si n es un entero y n < −1, ( ) es analítica para todo y este teorema asegura que la 
integral de línea es igual a cero para todo contorno cerrado que no encierre a . Sin 
embargo, para este caso hemos visto que la integral da cero si el contorno cerrado es 
cualquier circunferencia que encierra a la singularidad . Podemos decir entonces que la 
condición 0f(z)dz
C
 es necesaria para asegurar la analiticidad de en C y en su interior 
pero no suficiente. 
 
 Si n = −1, hemos obtenido que i2
a-z
dz
C
 si C es | | , una circunferencia con 
centro en y radio r. Esta integral da cero si tomamos un contorno cerrado C 
que no encierra a z = a. 
Las condiciones suficientes para asegurar la analiticidad de una función en un dominio D se 
enuncian en el Teorema de Morera 
 
Teorema de Morera 
 
Si es continua en un dominio D y la 0f(z)dz
C
 para todo contorno cerrado C en 
D, entonces es analítica en D. 
 
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2.3. Consecuencias del Teorema de Cauchy-Goursat 
 
2.3.1. Deformación de Contornos 
 
Dados dos contornos cerrados simples y tales que todos los puntos de quedan 
en el interior de ( ) es analítica en , y en todos los puntos de la región 
entre estos contornos cerrados; entonces 
 
 
21 CC
f(z)dzdz f(z) 
 
Demostración 
Dados los contornos y y D la región entre las curvas, usando una línea punteada 
indicaremos un corte recto que conecta con . Mediante este corte hemos creado el 
contorno cerrado simple C según la Figura 46. 
 
C está formado por: 
 el segmento de recta desde d a c al que llamamos 
la curva , es decir, la curva recorrida en el sentido contrario al positivo 
el segmento de recta desde c a d o por ser recorrido en el sentido opuesto 
y por la curva 
 
De este modo es analítica en C y en su interior y recorremos C en sentido positivo, 
de modo que la región que encierra el contorno cerrado C queda a la izquierda de C. 
 
Luego tomamos la integral de alrededor de C. En este caso es válido el Teorema de Cauchy- 
Goursat y resulta: 
0f(z)dz
C
 
  
 1 121 γ CCγC
f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzdz f(z) 
0f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dz
121 121 CCγ CCγ
   
Se obtiene 
 
11 C2C
f(z)dzf(z)dz 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplos 
 
1.- Por ejemplo, empleando este teorema podemos asegurar que i2
a-z
dz
C
 para toda 
curva C que rodea a . 
 
En este caso ( ) 
 
 
 es analítica para todo e i2
a-z
dz
C
 . Si C es cualquier 
curva que encierra alguna circunferencia con centro en , Entonces existe una región 
entre C y la circunferencia con centro en donde la función f es analítica. De modo que, si 
empleamos el teorema de la deformación de contornos, resulta 
 
i
raz
2π 
a-z
dz
a-z
dz
C


 
2.- Para obtener 
C
z
dz
 , donde C es el cuadrado que se muestra en la Figura 47; observamos 
que es analítica z/z  0 y que dada la circunferencia | | , es analítica en C, en la 
circunferencia y en todos los puntos entre los dos contornos. 
 
Por el principio de deformación de contornos y teniendo en cuenta que 
- C2 
 
C
2
 
 D 
 c d 
C
1
 
 c d 
C = 1 U (−C2) U (−1) U C1 
 
 
Figura 46: La región entre dos curvas encerrada por un 
contorno cerrado C 
D 
-1 
 
1 
C
1
 
1 
 
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2ππ
z
dz
z

r
 
Resulta 
 
2ππ
z
dz
z
 
rC
z
dz
 
 
 
 
 
 
 
Generalicemos la deformación de contornos para funciones analíticas en regiones n veces 
conexas ( ) 
 
Dado el dominio veces conexo D cuyas fronteras son los contornos cerrados simples 
sin intersección que se muestran en la Figura 48 y ( ) es una función 
analítica en D y en sus fronteras; entonces: 
 
  


n k210
n
1k CCC
f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzdz f(z)
CC
 
 
Para demostrarlo se procede como en el teorema anterior considerando un conjunto de cortes 
como , por ejemplo, los que se indican en la Figura 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 47: 
 analítica en la región entre C y | z | = r 
| | 
r 
(1, 1) 
(−1, −1) 
C 
x 
y 
Figura 48: El contorno cerrado C encierra una región donde f es analítica 
C0 
C2 
C1 
Cn 
C0 
C2 
C1 
−Cn 
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2.3.2. Independencia de la Trayectoria 
 
Veremos a continuación cómo, a partir del teorema de Cauchy-Goursat, podemos obtener un 
método para integrar funciones analíticas en el caso que el contorno no sea cerrado. 
 
Sea ( ) una función analítica en todo punto de un dominio simplemente conexo D y 
sean y dos puntos de D. Entonces si C
i
 es un contorno contenido en D que va de 
 a el valor de la integral 
iC
f(z)dz no depende del contorno utilizado para ir de 
a . 
 
Demostración: 
 
Consideremos dos contornos sin intersección C
1
 y C
2
 que van de a y forman parte 
de un dominio simplemente conexo D en el que es analítica (Figura 49). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, la integral es independiente de la trayectoria usada para ir de a siempre 
y cuando dicha trayectoria forme parte de un dominio simplemente conexo en el que sea 
analítica. Se puede asegurar la independencia de la trayectoria también para el caso en que los 
contornos C
i 
tengan algún punto en común. 
 
2.3.3. Primitivas, Teorema Fundamental del Cálculo de Funciones Analíticas 
 
Recordemos que, en el cálculo elemental, el método general de integración consiste en 
reconocer que el integrando es la derivada de alguna función Luego se evalúa en 
los límites de integración (Regla de Barrow - Segunda Forma del Teorema Fundamental del 
Cálculo) 
 
Recorremos positivamente el contorno 
cerrado C constituido por −C
1
 y C
2
 y 
como tenemos que es analítica en C 
y en su interior, por el teorema de 
Cauchy-Goursat resulta: 
0f(z)dzf(z)dzf(z)dz
12C
 
CC
 
esto es 0f(z)dzf(z)dz
12C
 
C
 
 
12
f(z)dzf(z)dz
C C
 
 
z
1
 
z
2
 
C1 
C2 
D 
Figura 49: 
C es el contorno cerrado formado por C
2
 y - 
C
1 
recorrido en el sentido positivo 
− C1 
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∫ ( ) 
 
 
∫
 ( )
 
 
 
 ∫ ( ) ( )
 
 
 ( ) 
 
¿Podrá aplicarse un procedimiento similar a las integrales de línea complejas? 
 
Sea una función analítica en un dominio D y supongamos que 
 ( )
 
 ( ) en D y C 
un arco suave perteneciente a D que va desde a , con representación paramétrica 
 
 ( ) ( ) ( ) donde   , ( ) y ( ) 
 
 ( ) existe   
 
entonces la integral sobre C resulta, expresando la integral en términos de la variable : 
dt (t)z
dz
dF(z)
dz
dz
dF(z)
f(z)dz
2
12
t
t (z(t))C






 
C
 
 
Aplicando la regla de la cadena de la diferenciación vemos que si ( ( )) , entonces 
 
 
 (
 ( )
 
)
( ( ))
 ( ) dt
dt
dF
f(z)dz
2
12
t
tC
  
Vemos que la integral de línea puede expresarse en términos de integrales de funciones de la 
variable real t efectuando la parametrización del camino de integración C. Estas integrales de 
funciones reales podemos resolverlas empleando los métodos usuales del cálculo real. 
Entonces podemos decir que: 
∫ ( ) 
 
∫
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) 
Esto es 
dz f(z))F(z)F(zf(z)dz
2
1
z
z
12
C
  
donde C puede ser cualquier contorno que vaya de a . 
 
Estos resultados se resumen en el siguiente teorema para la integración de funciones que son 
derivadas de funciones analíticas. (Segunda forma del teorema fundamental del Cálculo o Regla 
de Barrow) 
 
Sea analítica en el dominio D y tal que 
 ( )
 
 ( ) ;si y son puntos de D y C 
es un arco suave en D que va de a , entonces 
dz f(z))F(z)F(zf(z)dz
2
1
z
z
12
C
  
 
 
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De este modo, si se satisfacen las condiciones que exige el teorema, podemos usar las reglas 
de integración convencionales y por lo tanto las tablas de integrales que se elaboran a partir de 
dichas reglas. Por ejemplo, el teorema justifica la siguiente operación: 
∫ [
 
 
]
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
pues 
 
 
(
 
 
) 
 
Como ( ) es una función entera, no se ha especificado la trayectoria de 
integración y, en efecto, no es necesario hacerlo. 
 
Ejemplo 
 
Evaluemos ∫
 
 
 
 
 a lo largo del contorno C que se indica en la Figura 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando ( ) , (
 
 
 
 
 
) tenemos: 
∫
 
 
 [ ] 
 
 
 
[ | | ] 
 (
 
 
) (
 
 
) 
considerando la rama seleccionada. 
 
 
La solución del problema depende de la existencia de una función primitiva que sea 
analítica en todo punto del contorno de integración y para la que se cumpla que su derivada 
sea el integrando. Un teorema que veremos más adelante asegura que si una función es 
analítica en un punto, entonces todas sus derivadas deben ser analíticas en dicho punto. Si 
es analítica entonces 
 
 
 ( ) es analítica. No existe por lo tanto una función analítica 
 
 
 
 
 
 
Recordemos que 
 
La función logaritmo de un número 
complejo es una función multivaluada. Con 
el objeto de definir una rama analítica del 
logaritmo F/ F(z) = Log z, es preciso 
determinar un corte de rama. Para efectuar 
esta integración podemos valernos de 
cualquier rama del logaritmo cuyo corte no 
intersecte a C, por ejemplo la línea 
remarcada en la Figura 50. Puesto que el 
corte contiene todos los puntos singulares 
de F, el contorno C forma parte del 
dominio de analiticidad de F. 
 
 
 
1 
−1 
C 
Figura 50: Corte de rama que no intersecta a C 
y 
x 
Corte de rama 
para log z 
α 
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cuya derivada no sea analítica. Si no es analítica en uno o varios puntos del contorno de 
integración no es posible encontrar una función que satisfaga las condiciones requeridas. 
El siguiente teorema garantiza la existencia de la función analítica , tal que la 
 
 
 ( ) para 
toda función analítica . 
 
Si es analítica en un dominio simplemente conexo D del plano, entonces la expresión: 
∫ ( ) 
 
 
 
 
a lo largo de cualquier contorno en D desde a define una función analítica en 
que satisface la ecuación 
 
 
(∫ ( ) 
 
 
) ( ) 
 
Decimos, como en el cálculo real, que si  ( ) ( ) , es una primitiva de . 
∫ ( ) ( ) 
 
 
 
 
Si ( ) ( ), entonces ( ) ( ) , c es una constante compleja, también tiene por 
derivada a y es una primitiva de . Luego posee un número infinito de primitivas. 
Dichas primitivas difieren en una constante compleja. 
Usamos la notación ∫ ( ) llamada integral indefinida para indicar todas las posibles 
primitivas de . 
 
Así, todas las primitivas de ( ) quedan contenidas en la expresión 
∫ 
 es decir las primitivas son de la forma ( ) . 
 
El valor de la constante correspondiente a una primitiva específica 
∫ ( ) )
 
 
 
queda determinado por el límite inferior de integración. 
 
Ejemplos 
 
1.- Encontremos la primitiva de ( ) . 
 
Usando el método de integración por partes, ya conocido en el cálculo elemental, obtenemos: 
∫ ∫ 
 
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2.- Empleando esta primitiva, calculemos ∫ 
 
 
 y ∫ 
 
 
 
 
Resulta; empleando la Regla de Barrow 
∫ 
 
 
 [ ] 
 
∫ 
 
 
 [ ] 
 
 
2.4. Fórmula de la Integral de Cauchy 
 
Teorema 
 
 
 
 
• 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este resultado indica que basta conocer los valores que toma sobre C para determinar 
en cualquier punto interior a C, si es analítica dentro y sobre C. 
 
También nos permite calcular la integral de línea de la función ( ) 
 ( )
 
 que no es 
analítica en , sobre un contorno cerrado C que tiene a en su interior, siempre 
que sea analítica en C y en su interior. 
 
Resulta 
f(a) i 2πdz 
az
f(z)
C


 
Ejemplos 
 
1.- f(a) i 2dz 
az
1
C


, donde C es cualquier contorno cerrado con dentro de C. 
En este caso para ( ) , es entera y en consecuencia analítica dentro y sobre C, entonces 
aplicando la fórmula de la integral de Cauchy el resultado de la integral es  ( ) con ( ) . 
 
2.- f(i) i 2dz 
iz
23z
C
45




z
 si C es cualquier contorno cerrado con dentro de C 
 es analítica dentro y sobre un 
contorno cerrado C entonces 
para todo complejo en el 
interior de C resulta 
ds 
as
f(s)
i 2π
1
f(a)
C
 
 
 
 
 
 
a 
C 
x 
y 
Figura 51: f analítica dentro y sobre C y a 
cualquier punto dentro de C 
z 
a 
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En este caso es ( ) , es entera y en consecuencia analítica dentro y sobre C, 
por lo que calculamos empleando la fórmula de la integral de Cauchy. Como ( ) el 
resultado de la integral es  ( ). 
3.- Para calcular  
C
2
 
1z
dz
 donde C es un contorno cerrado | | , tenemos en cuenta que 
la función ( ) 
 
 
 
 
( )( )
 tiene dos singularidades y y C 
encierra a las dos singularidades de la función. Entonces podemos descomponer esta integral 
como la suma de las dos integrales: 
dz 
iz
iz
1
dz 
i-z
iz
1
dz
1z
1
11 CC C
2   


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La primera integral es sobre la curva C
1 
que rodea a de modo que la función en el 
numerador del integrando ( ) 
 
 
 es analítica en C
1 
y en su interior. El resultado de la 
integral es  ( ) si aplicamos el teorema de la Integral de Cauchy. 
 
Del mismo modo, la segunda integral es sobre la curva C
2 
que rodea a de modo 
que la función ( ) 
 
 
 resulta analítica en C
2 
y en su interior y el resultado de la integral 
es  ( ). 
0
2
1
2i
1
 i 2(-i)f i 2(i)f i 2 dz
1z
1
21
C
2







 i
 
Considerando ( ) 
 
 
 y ( ) 
 
 
 
 
También se cumple que si es analítica dentro y sobre un contorno cerrado C y 
es un punto cualquiera interior a C, entonces 
   
dz 
a-z
f(z)
i 2π
2!
(a) f dz 
a-z
f(z)
i 2π
1
(a) f
C
3
C
2   
 
Este resultado nos demuestra que existe la derivada de  en todo punto donde es 
analítica, o sea que  es analítica en esos puntos. 
 
Las curvas C
1
 y C
2
 se proponen en el interior de C de 
modo que C, C
1 
y C
2
 no tengan puntos comunes. C
1 
rodea a y C
2
 rodea a (Figura 50). 
 
El resultado de integrar sobre C coincide con la 
suma de los resultados de la integración sobre las 
curvas C
1 
y C
2
 si aplicamos el principio de 
deformación de contornos por ser analítica sobre 
curvas sin puntos comunes C, C
1 
y C
2
, , y en la 
región entre estas curvas Figura 52: C
1 
y C
2
 dentro de C rodean 
a las singularidades 
 
 
 - i 
C 
C2 
 C1 
x 
y 
−1 
1 
2 −2 
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Se puede obtener una fórmula para la derivada enésima dada por la expresión: 
 
 dz 
a-z
f(z)
i 2π
n!
(a) f
C
1n
(n)
  
Estos resultados se enuncian en el siguiente teorema: 
 
Teorema: Extensión de la fórmula de la integral de Cauchy: 
 
 es analítica dentro y sobre un contorno cerrado C entonces para todo complejo en 
el interior de C resulta 
 
 
 dz 
a-z
f(z)
i 2π
n!
(a) f
C
n
(n)
 
 ( ) ( ) 
 
La extensión de la fórmula integral de Cauchy indica que si es analítica en cierto dominio, 
entonces posee derivada de todos los órdenes en dicho dominio. 
 
Nota: Si se expresa una función analítica en la forma ( ) ( ) ( ), entonces las 
derivadas de pueden escribirse en términos de las derivadas parciales de y . Por 
ejemplo: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hemos visto que la extensión de la fórmula integral de Cauchy indica que si es analítica en 
cierto dominio, entonces posee derivada de todos los órdenes en dicho dominio. Dichas 
derivadas quedan definidas por las ecuaciones en derivadas parciales de y tales como las 
indicadas para las derivadas de primer y segundo orden; así como por otras ecuaciones 
semejantes que contienen derivadas de orden superior.Entonces, vemos que y deben 
poseer derivadas parciales de todos los órdenes. 
 
Como una función armónica puede considerarse como la parte real o la parte imaginaria de una 
función de variable compleja, podemos enunciar: 
 
Si una función es armónica en cierto dominio, entonces posee derivadas parciales de 
todos los órdenes en dicho dominio. 
 
Ejemplos 
 
1.- Calcular 
 
dz 
a-z
12z
 
C
3
3

 z
 si | | 
 
Como ( ) es analítica en el plano complejo y dado que el denominador del 
integrando es ( ) recurrimos a la Fórmula Integral de Cauchy para con y 
 
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Resulta: 
 
dz 
a-z
12z
i π2
2!
(1) f 
C
3
3



z
 
 
 
Como  ( ) , obtenemos  ( ) y podemos obtener la integral buscada 
 
i 6
2!
(1)f i 2
dz 
a-z
12z
i π2
2!
(1) f 
C
3
3






 
z
 
2.- Calcular 
   
24-z es C si dz 
1-z
cos
 
C
23


 z
z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
( ) 
 . 
Aplicamos la fórmula de la Integral de Cauchy para ( ) con y ; entonces: 
 
 
 )(f i 2dz 
1
cos
 
C
2
3






z
z
z
 
Como 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
( ) 
 
 ( ) 
( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
Obtenemos: 
     
 
1-
i 6
 dz 
1-z
cos
 
4
C
23






z
z
 
 
2.4. Consecuencias de las Fórmulas Integrales de Cauchy 
 
Las fórmulas de la integral de Cauchy permiten demostrar propiedades que son fundamentales 
no sólo para el análisis de variable compleja sino para los más diversos campos de la 
matemática. Algunas de estas propiedades se enuncian en la lista de teoremas que se 
presentan a continuación. 
 
1. Analiticidad de las derivadas 
Si es analítica en un dominio D entonces existen y son analíticas las derivadas de 
todos los órdenes en D. 
Las singularidades aisladas de la función 
en el integrando son y , se 
observa que sólo se encuentra en 
el interior de C. 
Escribimos la integral en la forma: 
 
 
 dz 
1
cos
 
C
2
3



z
z
z
 
 
 
 
y 
x 
Figura 51: Singularidades y el contorno C 
 
 
Singularidades y el contorno C 
 2 4 1 
C 
 
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2. Teorema del Argumento 
Definiciones previas 
Ceros: Sea una función analítica en ; posee en un cero de orden si y sólo 
si en un entorno de se puede escribir 
 ( ) ( )
 ( )  ( ) ( ) 
 
Si el cero es simple y si el cero es múltiple o de orden de multiplicidad . 
Como se ve ( ) si es un cero de . 
 
Polos: Sea una función analítica en un entorno reducido de ; posee en un polo 
de orden si y sólo si en un entorno reducido de se puede escribir: 
 ( ) 
 ( )
( )
 , pN , ( ) y es analítica en 
Si el polo es simple y si p > 1 el polo es múltiple o de orden de multiplicidad p . 
Como se ve ( ) si es un polo de . 
 
Teorema del Argumento 
Si es analítica dentro y sobre un contorno cerrado C excepto para un polo de 
orden p dentro de C y tiene un cero en de orden dentro de C, 
entonces 
 
 p-ndz 
)(
(z) f
i 2π
1
C


 zf
 
 
Generalización del Teorema del Argumento 
Si es analítica dentro y sobre un contorno cerrado C excepto para los polos dentro de C 
{
1
, 
2
 , . . . , 
j
} con órdenes de mutiplicidad p
1
, p
2 
, . . , p
j 
respectivamente, 
y tiene dentro de C los ceros {
1
, 
2
, . . . , 
k
} con órdenes de multiplicidad n
1
,n
2
, . . . ,
 
n
k
 respectivamente; entonces 
 
 p-dz 
)(
(z) f
i 2π
1 k
1r
r
1C



 k
r
rn
zf
 
 
 
3. Desigualdad de Cauchy 
Si es analítica dentro y sobre un círculo con centro en y radio r, entonces 
| ( )( )| 
 
 
 | ( )| 
 
4. Teorema de Liouville 
Si es entera y es acotada en los complejos, entonces es la función constante 
 
 
5. Teorema Fundamental del Algebra 
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Para todo polinomio en los complejos ( ) 
 
 ( ) 
existe ( ) 
 
Consecuencia del Teorema Fundamental del Algebra 
Para todo polinomio en los complejo, ( ) 
 
 ( ),la 
ecuación ( ) tiene exactamente n ceros o raíces complejas