410875865-Integracion-de-Lebesgue-Biberstein-pdf

Vista previa del material en texto

Integración
��������� de ���������
Lebesgue
� Versión 0 �
Dr. Olgierd Alf Biberstein
Herschdörfer
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Departamento de Matemáticas
México
2019-02-28
ii
Ejercicios de análisis V. 0
Contenido
Contenido III
1. Espacios normados 677
2. Elementos de integración 689
3. Convergencia y medibilidad 697
4. Integrales en R, teorema de Fubini 715
5. Cambio de variables en integrales 723
6. Funciones de�nidas por integrales 739
7. Los espacios Lp 751
8. Espacios hilbertianos 761
9. Convolución 771
10. Transformación de Fourier 785
Biberstein
iv
Ejercicios de análisis V. 0
1
Espacios normados
1. Sean (M, d), (M, d′) espacios métricos sobre un mismo conjunto
subyacenteM. Se dice que d, d′ son distancias topológicamente equi-
valentes, si los espacios métricos (M, d), (M, d′) tienen los mismos
conjuntos abiertos. Demuestre que esto ocurre si y sólo si toda d−bola
abierta contiene una d′−bola abierta de mismo centro y viceversa.
2. Sea (E, d) un espacio métrico. Sea d′ : E×E −→ R la aplicación:
d′(x, y) =:

d(x, y), si d(x, y) < 1
1, si d(x, y) > 1
.
Muestre que d′ es una distancia topológicamente equivalente a d.
Luego toda distancia es topológicamente equivalente a una distancia
acotada. En particular, si d no es acotada, no existe α > 0 tal que
d 6 d′.
3. Misma pregunta que 2. al tomar:
d′(x, y) =:
d(x, y)
1+ d(x, y)
.
4. ∀ x, y ∈ R se de�ne:
d(x, y) =: | Arc tan (x) − Arc tan (y)|
Biberstein
678 Cap. 1
Muestre que d es una distancia en R topológicamente equivalente a
la distancia usual. El espacio métrico (R, d) es acotado. Muestre que
dicho espacio métrico no es completo, aunque R con su distancia usual
lo es.
La aplicación idéntica de (R, d) en R provisto de su distancia usual
no es uniformemente continua.
Así pues conceptos tales como los de sucesión de Cauchy, de aplica-
ción uniformemente continua no son invariantes por cambio de una
distancia en una topológicamente equivalente.
5. En R2 dibuje bolas de centro 0 de radio 1 que corresponden a
las normas: N∞(x) =: Máx {|x1| , |x2|} , N1(x) =: |x1|+ |x2| .
Aquí x = (x1, x2) .
6. ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se de�ne:
N∞(x) = Máx {|x1| , . . . , |xn|} , N1(x) = |x1|+ · · ·+ |xn| .
N2(x) =
(
x21 + · · ·+ x2n
) 1
2 . Muestre en detalle que dichas aplicaciones
son normas. Empleando solamente la de�nición de normas equivalen-
tes pruebe que dichas normas son equivalentes a pares.
7. Sea C (a, b) el espacio vectorial de todas las funciones reales
continuas en el intervalo compacto [a, b]. ∀ f ∈ C (a, b) sea
N(f) =:
∫b
a
|f|. Muestre que N es una norma sobre C (a, b).
Indicación:
Para probar la implicación N(f) = 0 =⇒ f = 0 se puede emplear el
teorema fundamental del cálculo.
Ejercicios de análisis V. 0
Espacios normados 679
8. Sea C (0, 1) el espacio vectorial de las funciones reales continuas
en el intervalo compacto [0, 1] provisto de la norma uniforme
‖f‖ =: Máx
06x61
|f(x)|. Utilizando la sucesión {fν} donde
fν(x) =: x
ν ∀ x ∈ [0, 1] demuestre que la bola cerrada de centro 0
de radio 1 en C (0, 1) no es un conjunto compacto.
9. Si ~a, ~b son elementos de un espacio vectorial E, se llama
SEGMENTO
[
~a, ~b
]
el subconjunto de E de�nido por:[
~a, ~b
]
=:
{
(1− t)~a+ t~b
∣∣∣ 0 6 t 6 1} .
Un subconjunto S de E se dice CONVEXO si
~a, ~b ∈ S =⇒
[
~a, ~b
]
⊂ S.
Demuestre que toda bola en un espacio vectorial normado es un
conjunto convexo.
10. a) Para 0 < α < 1 encuentre el máximo de la función:
f(x) =: xα − αx+ α en [0, ∞[.
b) Si p > 1 y p∗ es tal que
1
p
+
1
p∗
= 1,muestre que ∀ a, b > 0,
a
1
p b
1
p∗ 6
a
p
+
b
p∗
.
Indicación:
Haga α =
1
p
y x =
a
b
en la parte a).
c) Sea x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Si p > 1, se de�ne
Np(x) =:
(
n∑
i=1
|xi|
p
) 1
p
. Muestre que:∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xi yi
∣∣∣∣∣ 6 Np(x)Np∗(y). (DESIGUALDAD DE HÖLDER)
¾Caso de igualdad?
Biberstein
680 Cap. 1
Indicación:
Ponga a =
|xi|
p
n∑
k=1
|xk|
p
, b =
|yi|
p∗
n∑
k=1
|yk|
p∗
.
d) Escribiendo
n∑
i=1
|xi + yi|
p 6
n∑
i=1
|xi| |xi + yi|
p−1
+
n∑
i=1
|yi| |xi + yi|
p−1
deduzca
Np(x+ y) 6 Np(x) +Np(y) si p > 1.
(DESIGUALDAD DE MINKOWSKI)
¾Caso de igualdad?
Pruebe que Np es una norma sobre Rn.
e) Demuestre que ∀ x ∈ Rn : N∞(x) = lím
p→∞Np(x).
Aquí N∞ designa la norma cúbica.
11. Sea E un espacio vectorial y sea d una distancia en E. Demuestre
que, para que exista una norma ‖ · ‖ sobre E tal que
‖~x− ~y‖ = d (~x, ~y) ∀ ~x, ~y ∈ E es necesario y su�ciente que:
i) la distancia d sea �invariante por translación� es decir
d
(
~a+ ~x, ~b+ ~x
)
= d
(
~a, ~b
)
∀ ~a, ~b, ~x ∈ E.
ii) d (α~x, α~y) = |α|d (~x, ~y) ∀ ~x, ~y ∈ E, α ∈ K.
12. Sean E1, E2, F espacios normados. Sea A una aplicación lineal
continua: E1 × E2 −→ F. Muestre que existen aplicaciones lineales
únicas: A1 : E1 −→ F, A2 : E2 −→ F tales que:
A (~x1, ~x2) = A1~x1 +A2~x2 ∀ ~x1 ∈ E1, ~x2 ∈ E2.
Ejercicios de análisis V. 0
Espacios normados 681
Dichas aplicaciones lineales son continuas y se tiene:
Máx {‖A1‖ , ‖A2‖} 6 ‖A‖ 6 ‖A1‖+ ‖A2‖ .
¾Recíproco?
13. Sean E, F espacios normados, A una aplicación lineal de E en
F. Se supone que para toda sucesión {~xν} de elementos de E tal que
lím
ν→∞~xν = 0 la sucesión {A~xν} de elementos de F es acotada. Demues-
tre que A es continua.
14. Se llama BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL E (no necesa-
riamente de dimensión �nita) a una familia {~eα}α∈Ω de elementos de
E tal que todo elemento de E puede representarse únicamente en la
forma
∑
α∈Ω
λα~eα, donde λα ∈ K y λα = 0 salvo, a lo sumo para un
número �nito de índices α. Admitimos que en todo espacio vectorial
existe una base.
Sean E, F espacios vectoriales, {~eα}α∈Ω una base de E. ∀ α ∈ Ω
elegimos un vector arbitrario ~aα ∈ F. Muestre que existe una y una
sola aplicación lineal L : E −→ F tal que L~eα = ~aα ∀ α ∈ Ω.
Si E, F son espacios vectoriales normados, E es de dimensión in�nita
y F 6= {0}, pruebe que existe siempre una aplicación lineal discontinua
de E en F.
15. Pruebe que si se cambia normas en espacios vectoriales E, F por
sendas normas equivalentes, también la norma inducida en Hom(E, F)
se cambia por una norma equivalente.
Biberstein
682 Cap. 1
16. Sea C (0, 1) el espacio vectorial real de todas las funciones reales
continuas en el intervalo compacto [0, 1]. Sean ‖·‖ , N las normas
sobre C (0, 1) de�nidas así:
‖f‖ =: Máx
06x61
|f(x)|, N(f) =:
∫ 1
0
|f| (cf. ej. 7.)
a) Sea L la aplicación lineal de C (0, 1) en R de�nida por
L(f) =: f
(
1
2
)
∀ f ∈ C (0, 1).
¾Es L continua con respecto a la norma ‖·‖?
¾Es L continua con respecto a la norma N?
En el caso en que la respuesta fuese positiva, determine
la norma de L.
b) Conteste las mismas preguntas en el caso de ser:
L(f) =:
∫ 1
0
f ∀ f ∈ C (0, 1).
17. Si E, F son espacios normados y F es completo, pruebe que
Hom(E, F) es un espacio de Banach.
18. Sea `1 el conjunto de todas las sucesiones {xν} de elementos de
K, tales que
∞∑
ν=1
|xν| <∞. Muestre que `1 es un espacio vectorial con
respecto a las operaciones {xν}+ {yν} = {xν + yν} , α {xν} = {αxν} si
α ∈ K.
Si x = {xν} , se pone ‖x‖ =
∞∑
ν=1
|xν| . Pruebe que ‖·‖ es una norma en
`1 y que hace de `1 un espacio de Banach.
Ejercicios de análisis V. 0
Espacios normados 683
19. Se designa por `2 el conjunto de todas las sucesiones {xν} de
elementos de K tales que
∞∑
ν=1
|xν|
2
<∞.
Pruebe que si {xν} e {yν} son elementos de `2, la serie {{xν yν}} con-
verge absolutamente y que∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
xν yν
∣∣∣∣∣ 6
∞∑
ν=1
|xν yν| 6
( ∞∑
ν=1
|xν|
2
) 1
2
( ∞∑
ν=1
|yν|
2
) 1
2
.
Deduzca que `2 es un espacio vectorial con respecto a las operaciones
especi�cadas en el ej. 18.
Si x = {xν} ∈ `2 se pone ‖x‖ =:
( ∞∑
ν=1
|xν|
2
) 1
2
. Muestre que ‖ · ‖ es
una norma en `2 y que hace de `2 un espacio de Banach.
20. Generalice los ej. 18. y 19. de�niendo `p ∀ p ∈ [1, ∞[. (Use ej.
10.) Muestre que `p es un espacio de Banach.
Se de�ne `∞ como el conjunto de todas las sucesiones {xν} de ele-
mentosde K que son acotadas.
Si x =: {xν} ∈ `∞, se pone ‖x‖ = Sup
ν∈N
|xν| . ‖ · ‖ es una norma que hace
de `∞ un espacio de Banach. De hecho `∞ es el caso particular del
espacio de Banach B(S, K). (Ejemplo 3. después de la prop. 21.)
21. a) Muestre que todo subespacio vectorial de dimensión �nita
de un espacio normado E, es cerrado en E.
b) SeaM un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado
(E, ‖ · ‖). Sea ~x0 un vector de E que no está en M. Muestre que
el subespacio N engendrado por la reunión M ∪ {~x0} es cerrado
en E.
Biberstein
684 Cap. 1
Indicación:
Sea {~zν} = {~mν + λν~x0} una sucesión de elementos de N que
converge en E. Aquí ~mν ∈M, λν ∈ K.
Sea δ =: d (~x0, M) (la distancia del elemento ~x0 al conjuntoM).
Muestre que ‖~zp − ~zq‖ > |λp − λq| δ.
22. Sea `2 el espacio de Banach del ej. 19. Se considera los subespa-
cios A, B de `2 de�nidos como sigue:
A =:
{
{aν}
∣∣∣∣ {aν} ∈ `2, a2k+1 = 0 ∀ k ∈ N}
B =:
{
{bν}
∣∣∣∣ {bν} ∈ `2, b2k+1 = b2kk+ 1 ∀ k ∈ N
}
a) Muestre que A y B son subespacios cerrados de `2 y que
A ∩ B = {0}.
b) Muestre que A+ B 6= `2.
Indicación:
La sucesión {cν} tal que c2k = 0 y c2k−1 =
1
k
pertenece a `2 pero
no a A+ B.
c) Muestre que A+ B es denso en `2.
Así pues A+ B no es cerrado, aunque A y B son cerrados.
23. a) Sea {~xν} una sucesión de Cauchy en un espacio normado.
Muestre que bien lím
ν→∞~xν = ~0 o bien existen n0 ∈ N y M > 0
tales que ν > n0 =⇒
1
‖~xν‖
6M. (Razone por contradicción.)
b) Si ~x, ~y son vectores no nulos en un espacio normado muestre
que
∥∥∥∥ ~x‖~x‖ − ~y‖~y‖
∥∥∥∥ 6 2 ‖~x− ~y‖‖~x‖ .
Ejercicios de análisis V. 0
Espacios normados 685
c) Sea (E, ‖·‖) un espacio normado no reducido a cero. Prue-
be que E es un espacio de Banach si y sólo si la esfera unidad
S =: {~x | ~x ∈ E, ‖~x‖ = 1 } es un espacio métrico completo.
Indicación:
Sea S completo. Si {~xν} es una sucesión de Cauchy en E que no
converge a cero, se puede de�nir para ν su�cientemente gran-
de ~zν =:
~xν
‖~xν‖
. Valiéndose de a) y b) muestre que {~zν} es una
sucesión de Cauchy en S.
24. Sean E, F espacios normados reales y sea f : E −→ F una función
tal que f (~x+ ~y) = f (~x) + f (~y) ∀ ~x, ~y ∈ E.
Se supone además que f es acotada en la bola ‖~x‖ 6 1. Muestre que
f es lineal y continua.
25. Se supone que en un espacio normado (E, ‖ · ‖) existe una bola
cerrada, no reducida a un punto, la cual es un conjunto compacto.
a) Muestre que la bola unidad B = {~x | ‖~x‖ 6 1 } es un conjunto
compacto.
b) Pruebe que existe una sucesión �nita {~x1, . . . , ~xn} de pun-
tos de B tal que todo punto de B dista de menos de
1
2
de alguno
de los ~xi.
c) Sea M =: L (~x1, . . . , ~xn) (el subespacio de E engendrado
por los vectores ~x1, . . . , ~xn ). Pruebe que M = E.
Biberstein
686 Cap. 1
Indicación:
De lo contrario existiría un vector ~y de E tal que ~y 6∈M. Entonces
la distancia δ de ~y a M satisface δ > 0. Existe ~m0 ∈M tal que
δ 6 ‖~y− ~m0‖ 6
3 δ
2
. Sea ~y0 =
~y− ~m0
‖~y− ~m0‖
. Se tiene ~y0 ∈ B.
Compruebe que ∀ ~m ∈ M se veri�ca ‖~y0 − ~m‖ >
2
3
que es una
contradicción.
Este ejercicio prueba el teorema de F. Riesz:
Si en un espacio normado una bola cerrada no reducida a un
punto es un conjunto compacto, el espacio es de dimensión �nita.
26. Sea E un espacio seminormado. Se llama completación de E a
una terna
(
E, Ê, i
)
donde Ê es un espacio de Banach e i es una
isometría de E en Ê tal que i(E) es denso en Ê. Demuestre que la
completación es única en el sentido siguiente:
Si
(
E, Ê, i
)
y
(
E, Ê′, i′
)
son dos completaciones de E, existe una
única isometría j de Ê sobre Ê′ tal que i′ = j ◦ i.
(Se podrá usar resultados sobre espacios métricos recordados en las
prop. 19. y 20. del cap. X. de este libro.)
27. Sean E, F espacios vectoriales y ‖·‖ una norma sobre F. Sea L una
aplicación lineal de E en F. Se de�ne N : E −→ R por N (~x) = ‖L~x‖
∀ ~x ∈ E. Muestre que N es una seminorma sobre E. ¾En qué caso será
una norma? Muestre que el espacio normado asociado es naturalmen-
te isométrico con el subespacio L(E) de F.
Estudie el caso particular de N : R3 −→ R de�nida por
N (x1, x2, x3) = |x1| .
Ejercicios de análisis V. 0
Espacios normados 687
28. Sean E, F espacios vectoriales de dimensión �nita, provistos de
sendas bases
{
~e1, . . . , ~en
}
,
{
~f1, . . . , ~fm
}
. Sea A ∈ Hom(E, F). Evalúe
‖A‖ en función de la matriz de A en los casos siguientes:
a) Las normas en E y F son las normas cúbicas con respecto
a las bases consideradas.
b) Las normas en E y F son euclideanas, siendo ortonormales
las bases consideradas.
Indicación:
Para resolver b) se necesita ciertos conocimientos de álgebra li-
neal. Escriba ‖A~x‖2 = 〈A∗0 A~x | ~x〉 donde A∗ es el operador ad-
junto de A. Utilizando una base ortonormal de E, con respecto
a la cual la matriz del operador autoadjunto A∗0 A es diagonal,
muestre que ‖A‖ =
√
λ1 donde λ1 es el máximo autovalor de
A∗0 A o sea el máximo autovalor de la matriz [A]
′[A]; [A]′ es la
transpuesta de [A].
29. Sean E, F, G espacios vectoriales. Una aplicación p : E×F −→ G
se llama APLICACIÓN BILINEAL, si:
∀ ~y ∈ F la aplicación ~x 7−→ p (~x, ~y) de E en G es lineal, y
∀ ~x ∈ E la aplicación ~y 7−→ p (~x, ~y) de F en G es lineal.
a) Sean (E, ‖ · ‖), (F, ‖ · ‖), (G, ‖ · ‖) espacios vectoriales
normados y sea p una aplicación bilineal de E× F en G.
Demuestre que las condiciones siguientes son equivalentes a pa-
res:
i) p es continua en E× F.
ii) p es continua en cero.
Biberstein
688 Cap. 1
iii) p es acotada en cierta bola de radio no nulo, de centro
cero en E× F.
iv) ∃ a > 0 3 ‖p (~x, ~y)‖ 6 a ‖~x‖ ‖~y‖ ∀ (~x, ~y) ∈ E× F.
b) Si p 6= 0, muestre que p no es uniformemente continua.
Indicación:
Considere
(
~a, ~b
)
∈ E × F tal que p
(
~a, ~b
)
6= 0 y las dos suce-
siones
{(
ν~a, ν~b
)}
ν∈N
,
{((
ν+
1
ν
)
~a,
(
ν+
1
ν
)
~b
)}
ν∈N
.
c) Sea L (E, F; G) el conjunto de todas las aplicaciones bili-
neales continuas de E× F en G. Muestre que L (E, F; G) es un
espacio vectorial.
∀ p ∈ L (E, F; G) se pone
‖p‖ =: ínf {a | a > 0, ‖p (~x, ~y)‖ 6 a ‖~x‖ ‖~y‖ ∀ (~x, ~y) ∈ E× F } .
Pruebe que ‖ · ‖ es una norma sobre L (E, F; G).
30. Sea (E, ‖ · ‖) un espacio normado tal que toda serie absoluta-
mente convergente {{~xν}} en E, converge en E. Pruebe que E es un
espacio de Banach.
Indicación:
Dada una sucesión de Cauchy {~yν} en E, considere una subsucesión
~yα(ν) tal que
∥∥~yα(ν+1) − ~yα(ν)∥∥ 6 1
2ν
∀ ν ∈ N.
Ejercicios de análisis V. 0
2
Elementos de integración
1. a) Dé un ejemplo de una sucesión {ϕν} de funciones escalona-
das R −→ R, nulas fuera del intervalo ]0, 1[, tales que ∀ x ∈ R,
lím
ν→∞ϕν(x) = 0 y que la sucesión
{∫
ϕν
}
de integrales no con-
verge a cero.
b) Dé un ejemplo de una sucesión {ϕν} de funciones escalona-
das R −→ R tal que ∀ ν ∈ N y ∀ x ∈ R se tiene 0 6 ϕν(x) 6 1,
además ∀ x ∈ R, lím
ν→∞ϕν(x) = 0 y que la sucesión
{∫
ϕν
}
de
integrales no converge a cero.
c) ¾Es cierto o falso el enunciado siguiente:
Si lím
ν→∞ϕν = 0 uniformemente en Rn, entonces límν→∞
∫
ϕν = 0?
2. Dado un número real a arbitrario, dé un ejemplo de una sucesión
{ϕν} de funciones escalonadas Rn −→ R tal que
lím
ν→∞ϕν (x) = 0 ∀ x ∈ Rn y límν→∞
∫
ϕν = a.
3. Sea {ϕν} una sucesión decreciente de funciones escalonadas Rn −→ R
tal que lím
ν→∞ϕν = 0 c. t. p. Demuestre que límν→∞
∫
ϕν = 0.
Indicación:
Pruebe que la sucesión {ϕν} es de Cauchy.
Biberstein
690 Cap. 2
4. Sea M un espacio métrico y sean f, g aplicaciones Rn −→ M,
continuas en Rn. Se supone que f = g c. t. p. Demuestre que
f(x) = g(x) ∀ x ∈ Rn.
Indicación:
Si Z es un subconjunto despreciable en Rn. Entonces Rn \Z es denso
en Rn.
5. a) Sea P un tarugo cerrado acotado en Rn y f una función:
P −→ Rm, continua en P. Demuestre que la grá�ca de f es un
conjunto despreciable en Rn+m.
b) Demuestre lo mismo al reemplazar P por Rn entero.
c) Demuestre lo mismo al reemplazar P por un tarugo acotado
abierto.
6. Sea E un subconjunto de Rn. Demuestre que las a�rmaciones
siguientes son equivalentesa pares:
i) Existe una sucesión creciente {ϕν} de funciones escalonadas
Rn −→ R tal que ∀ x ∈ E : ϕν(x) −−−→
ν→∞ ∞ y la sucesión
{∫
ϕν
}
de las integrales es acotada.
ii) E es despreciable.
iii) Existe una sucesión {Pν}ν∈N de tarugos acotados tal que∞∑
ν=1
vol (Pν) < ∞ y todo punto de E está contenido en Pν para
una in�nidad de índices ν.
Indicación:
Se puede probar las implicaciones i) =⇒ ii) =⇒ iii) =⇒ i).
Para establecer la primera implicación, empiece por mostrar que
la sucesión {ϕν} es de Cauchy.
Ejercicios de análisis V. 0
Elementos de integración 691
7. Pruebe que un subconjunto E de Rn es despreciable si y sólo
si para todo ε > 0 existe una sucesión creciente {ϕν} de funciones
escalonadas Rn −→ R tal que ϕν > 0 ∀ ν, lím
ν→∞ϕν(x) > 1 ∀ x ∈ E
y lím
ν→∞
∫
ϕν < ε.
Indicación:
Para demostrar la su�ciencia de la condición se puede probar que ésta
implica la condición i) del ej. 6.:
La hipótesis entraña que ∀ k ∈ N existe una serie
{{
ukν
}}
ν∈N de
funciones escalonadas no negativas tal que
∞∑
ν=1
ukν(x) > 1 ∀ x ∈ E y
∞∑
ν=1
∫
ukν 6
1
2k
. Arreglemos la sucesión doble
{
ukν
}
en una sucesión
simple {vi} . Entonces
∞∑
i=1
vi(x) =
∞∑
k=1
∞∑
ν=1
ukν(x) = ∞ ∀ x ∈ E y
∞∑
i=1
∫
vi =
∞∑
k=1
∞∑
ν=1
∫
ukν 6 1. Ponga ϕν =:
ν∑
i=1
vi.
8. a) Sea {ϕν} una sucesión de funciones escalonadas Rn −→ F
tal que
∞∑
ν=1
N (ϕν) <∞. Se pone ∀ ν : ψν =: ν∑
k=1
ϕk.
Muestre que {ψν} es una sucesión de Cauchy de funciones escalo-
nadas que converge c. t. p. a una función integrable f : Rn −→ F.
Indicación:
Utilizando la condición i) del ej. 6. pruebe que la serie {{ϕk}}
converge absolutamente c. t. p.
Biberstein
692 Cap. 2
b) Recíprocamente, sea f ∈ L1 (Rn, F) . Muestre que existe
una serie {{ϕν}} de funciones escalonadas: Rn −→ F tal que∞∑
ν=1
N (ϕν) <∞ y f = ∞∑
ν=1
ϕν c. t. p.
Indicación:
Sea {ψν} una sucesión de Cauchy de funciones escalonadas tal
que f = lím
ν→∞ψν c. t. p. Considere una subsucesión
{
ψα(ν)
}
tal
que N
(
ψα(ν+1) −ψα(ν)
)
6
1
2ν
∀ ν.
c) Demuestre el siguiente �LEMA DE MIKUSINSKI�:
Sea f : Rn −→ F. f es integrable si y sólo si existe una sucesión
{ϕν} de funciones escalonadas Rn −→ F tal que∞∑
ν=1
N (ϕν) <∞ y rige la implicación:
∞∑
ν=1
‖ϕν(x)‖ <∞ =⇒ f(x) = ∞∑
ν=1
ϕν(x).
Este lema proporciona una de�nición de funciones integrables
sin referir a conjuntos despreciables.
Indicación:
Sea f ∈ L1 (Rn, F) y sea {{ψν}} una serie de funciones escalona-
das Rn −→ F tal que
∞∑
ν=1
N (ψν) <∞ y f = ∞∑
ν=1
ψν c. t. p. Sea
N =:
{
x
∣∣∣∣∣ f(x) 6=
∞∑
ν=1
ψν(x)
}
. N es un conjunto despreciable.
Por el ej. 6. existe una serie {{γν}} de funciones escalonadas > 0
tal que
∞∑
ν=1
γν(x) = ∞ ∀ x ∈ N y ∞∑
ν=1
∫
γν < ∞. Sea ~u ∈ F tal
que ‖~u‖ = 1.
Ejercicios de análisis V. 0
Elementos de integración 693
Se de�ne la sucesión {ϕν} por:
ϕ3ν−2 =: ψν, ϕ3ν−1 =: γν~u, ϕ3ν = −γν~u.
9. Sea A un conjunto pavimentable en Rn y sea {Aν}ν∈N una su-
cesión de conjuntos pavimentables de Rn, disjuntos a pares tal que
A =
∞⋃
ν=1
Aν. Demuestre que vol(A) =
∞∑
ν=1
vol (Aν) .
Indicación:
Use la prop. 19. del cap. II.
10. Sea F0 el intervalo [0, 1]. Sea F1 el conjunto obtenido al privar
F0 de su �tercio central abierto�
]
1
3
,
2
3
[
, es decir
F1 =
[
0,
1
3
]
∪
[
2
3
, 1
]
. De�nimos una sucesión {Fν} de conjuntos in-
ductivamente, como sigue:
Suponiendo Fν−1 ya de�nido y que Fν−1 es reunión de 2
ν−1 interva-
los cerrados disjuntos de�nimos Fν como la reunión de 2
ν intervalos
cerrados, obtenidos al privar cada uno de los precedentes de su tercio
central abierto.
Finalmente ponemos C =:
∞⋂
ν=1
Fν. C se llama el CONJUNTO DE
CANTOR.
Demuestre que C es un conjunto compacto sin puntos aislados, que
es despreciable en R y que tiene la potencia del continuo.
Indicación:
Para probar la última propiedad se puede construir una aplicación
inyectiva f del intervalo [0, 1[ en C como sigue. Sea x ∈ [0, 1[ y
sea 0.b1b2 . . . el desarrollo binario de x (que no se termina por una
Biberstein
694 Cap. 2
sucesión de �unos�). Sea f(x) el punto de R que tiene por desarrollo
ternario 0.t1t2 . . . donde tk = 2bk ∀ k.
11. Sean F, G espacios de Banach y L una aplicación lineal continua
de F en G. Si f : Rn −→ F es una función integrable, demuestre que
L ◦ f : Rn −→ G es una función integrable y que
∫
L ◦ f = L
(∫
f
)
.
12. a) Si S es un subconjunto de Rn y a ∈ Rn, de�nimos
a+S =: {a+s | s ∈ S}. Si P es un tarugo acotado, pruebe que a+P
es un tarugo acotado de mismo volumen. Si Z es un conjunto
despreciable, pruebe que a+ Z es un conjunto despreciable.
b) Si f es una función Rn −→ F y a ∈ Rn, se designa por fa
la función x 7−→ f(x + a). Si f es integrable, pruebe que fa es
integrable y
∫
fa =
∫
f, o sea
∫
f(x+ a) dx =
∫
f(x) dx.
c) Si P es un tarugo acotado demuestre que:
lím
a→0
∫
|χa+P − χP| = 0. Deduzca que si ϕ es una función escalo-
nada Rn −→ F, se tiene lím
a→0
N(ϕ−ϕa) = 0.
Finalmente demuestre que, para toda función integrable f, se
tiene lím
a→0
N(f− fa) = 0.
Indicación:
Sea ε > 0 dado. ∃ ϕ ∈ E (Rn, F) 3 N(f − ϕ) <
ε
3
. Escriba
N (f− fa) 6 N (f−ϕ) +N (ϕ−ϕa) +N (ϕa − fa) .
13. Sean f una función Rn −→ F y sea k un número real no nulo. Se
de�ne la función kf : Rn −→ F por kf(x) = f(kx) ∀ x ∈ Rn. Siguiendo
un camino análogo al del ej. 12. pruebe:
a) Si f ∈ L1 (Rn, F) , entonces kf ∈ L1 (Rn, F) y
∫
kf =
1
kn
∫
f.
b) lím
k→1
N
(
f− kf
)
= 0.
Ejercicios de análisis V. 0
Elementos de integración 695
14. a) Sea {ϕν} una sucesión creciente de funciones escalonadas
Rn −→ R tal que la sucesión
{∫
ϕν
}
es acotada. Pruebe que
{ϕν} converge c. t. p. a una función integrable f y
∫
f = lím
ν→∞
∫
ϕν.
b) Sea f una función integrable Rn −→ R y sea {{ϕν}} una
serie de funciones escalonadas Rn −→ R tal que
∞∑
ν=1
N (ϕν) <∞
y f =
∞∑
ν=1
ϕν c. t. p. (cf. ej. 8.). Muestre que las series {{ϕ
+
ν }}
y {{ϕ−ν }} convergen c. t. p. a sendas funciones integrables f1, f2
y que f = f1 − f2. Deduzca que toda función integrable f puede
representarse como diferencia de dos funciones integrables no
negativas, siendo cada una de éstas límite c. t. p. de una sucesión
creciente de funciones escalonadas.
c) Sea {Ik}k∈N una sucesión de subintervalos de longitud no
nula de [0, 1], de suma de longitudes6
1
2
tal que
∞⋃
k=1
Ik ⊃[0, 1]∩Q.
Sea f =: χ[0, 1] − χ ∞∪
k=1
Ik
. Muestre que f es una función integrable
no negativa. Pruebe que f no es límite c. t. p. de una sucesión
creciente de funciones escalonadas.
Indicación:
Admitamos que hubiera una sucesión creciente {ϕν} de funciones
escalonadas tal que f = lím
ν→∞ϕν c. t. p. Supongamos que para
cierto k ∈ N y un intervalo J de longitud no nula, contenido en
[0, 1] se tiene ϕk > 0 en J. Deduzca que f > 0 en casi todo punto
de J y obtenga una contradicción.
Biberstein
696 Cap. 2
15. Sea f una función R −→ F tal que la restricción de f a un
intervalo compacto [a, b] es continua y f es nula fuera de [a, b].
Demuestre que f es límite uniforme de una sucesión de funciones
escalonadas nulas fuera de [a, b]. Deduzca que f es integrable.
16. Sea f ∈ L1 (Rn, C) . Pruebe que se tiene
∣∣∣∣∫ f∣∣∣∣ = ∫ |f| si y sólo si
existe un número real α �jo tal que f = eiα|f|.
Indicación:
Al suponer que
∣∣∣∣∫ f∣∣∣∣ = ∫ |f| ∃ α ∈ R 3 ∫ |f| = eiα ∫ |f|. Escriba
e−iαf = g+ ih; g, h reales.
Ejercicios de análisis V. 0
3
Convergencia y medibilidad
1. Una función f : Rn −→ F se llama NUMERABLEMENTE ES-
CALONADA si es de la forma:
f =
∞∑
ν=1
~cνχPν, (3.1)
donde {Pν} es una sucesión de tarugos acotados disjuntos a pares y
~cν ∈ F.
Muestre que la función (3.1) es integrable si y sólo si∞∑
ν=1
vol (Pν) ‖~cν‖ <∞ y que entonces ∫ f = ∞∑
ν=1
vol (Pν)~cν.
2. Sean F, G espacios de Banach. Se considera aplicaciones g : Rn −→ F
y f : F −→ G. Se supone g medible y f continua. Demuestre que f ◦ g
es medible.
3. Sea f : R −→ F una función integrable, nula fuera del intervalo
[0, 1]. Demuestre que ∀ ν ∈ N la función x 7−→ xν f(x) es integrable
y que lím
ν→∞
∫
xν f(x) dx = 0.
4. Seaf : Rn −→ C una función integrable tal que ∀ x ∈ Rn,
|f(x)| < 1. Demuestre que ∀ ν ∈ N la función fν es integrable y que
lím
ν→∞
∫
fν = 0.
Biberstein
698 Cap. 3
5. Se considera la sucesión {ϕν} de funciones R −→ R dada por
ϕν =:
2ν
ν
χ]1− 1
2ν−1
, 1− 1
2ν [
∀ ν ∈ N.
Demuestre que {ϕν} es una sucesión de Cauchy de funciones integra-
bles que converge a cero en todo punto, pero no existe g ∈ L1(R, R)
tal que |ϕν| 6 g ∀ ν.
6. Sean f, g : Rn −→ R funciones integrables no negativas. Pruebe
que
√
f g es una función integrable.
Indicación:
2
√
f g 6 f+ g.
7. Sean {fν} , {gν} sucesiones de funciones integrables de Rn −→ R
tales que lím
ν→∞N (fν − gν) = 0. Sea f : Rn −→ R tal que ∀ ν:
gν 6 f 6 fν. Muestre que f es integrable.
8. Sean f, g funciones medibles, estrictamente positivas de Rn en
R. Muestre que
f
1+ f g
es integrable si y sólo si ínf
{
f,
1
g
}
es inte-
grable.
Indicación:
Sup
{
1
f
, g
}
=
1
2
(
1
f
+ g
)
+
1
2
∣∣∣∣1f − g
∣∣∣∣ > 12
(
1
f
+ g
)
.
9. a) Dé un ejemplo de funciones integrables f, g : Rn −→ R,
tales que fg no sea integrable.
b) Si f : Rn −→ C es integrable y g : Rn −→ C es medible
acotada, fg es integrable.
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 699
10. Sea A ⊂ Rn.
a) Demuestre que A es un conjunto medible si y sólo si existe
una sucesión {Qν} de conjuntos pavimentables acotados tal que
χA = lím
ν→∞χQν c. t. p. Se escribe simplementeA = límν→∞Qν, c. t. p.
Indicación:
Si {ϕν} es una sucesión de funciones escalonadas tal que
χA = lím
ν→∞ϕν c. t. p., ponga Qν =:
{
x
∣∣∣∣ ϕν(x) > 12
}
.
b) Supongamos A acotado y sea P un tarugo acotado que
contiene A. Muestre que se puede suponer Qν ⊂ P ∀ ν y que
entonces vol(A) = lím
ν→∞ vol (Qν) .
c) Los resultados a) y b) proporcionan una de�nición de con-
juntos medibles y de la medida de Lebesgue de todo conjunto
medible acotado en función solamente de los conjuntos pavimen-
tables y sus vólumenes.
¾Cómo caracterizar ahora la medida de Lebesgue de un conjunto
medible arbitrario?
11. a) Sea f ∈ L1(Rn, F) y sea c > 0. Demuestre que el conjunto
Ac =: {x | ‖f(x)‖ > c } es integrable y que vol (Ac) 6
1
c
N(f).
Deduzca de ahí que la sucesión {vol (Aν)} converge decreciendo
a cero.
b) Demuestre que, más aún, lím
ν→∞ (ν vol (Aν)) = 0.
Indicación:
Considere la sucesión {νχAν} .
c) Dé un ejemplo de una función medible que cumple la con-
dición b) pero no es integrable.
Biberstein
700 Cap. 3
12. Sea A un subconjunto medible de Rn y {Bν} sucesión creciente
de conjuntos medibles tal que A ⊂
∞⋃
ν=1
Bν.
Demuestre que A es integrable si y sólo si A∩ Bν es integrable ∀ ν y
∃ k > 0 3 vol (A ∩ Bν) 6 k ∀ ν.
13. Sea f : Rn −→ F una función integrable. Demuestre que
∀ ε > 0 existe un conjunto integrable A tal que
∥∥∥∥∫
Rn
f−
∫
A
f
∥∥∥∥ 6 ε y,
para todo conjunto medible C contenido en Rn \A,
∫
C
|f| 6 ε.
Indicación:
Represente Rn como reunión disjunta de tarugos acotados.
14. Sea {fν} una sucesión de funciones medibles Rn −→ F.
a) Demuestre que el conjunto A de todos aquellos puntos don-
de {fν} converge a cero es medible.
Indicación:
∀ k, ν ∈ N sea Aν,k =:
{
x
∣∣∣∣ ‖fν(x)‖ < 1k
}
.
Represente A mediante intersecciones y reuniones numerables,
partiendo de los conjuntos Aν,k.
b) Demuestre que el conjunto B donde {fν} converge es medible.
Indicación:
La sucesión {fν(x)} converge si y sólo si dicha sucesión es de
Cauchy en F. Emplee un método análogo a el de a).
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 701
15. a) Sea f : Rn −→ F. Demuestre que f es integrable si y sólo
si f es límite c. t. p. de una sucesión de Cauchy de funciones
continuas de soporte compacto.
b) f es medible si y sólo si f es límite c. t. p. de una sucesión
de funciones continuas de soporte compacto.
Indicación:
Sea f medible y sea {ϕν} una sucesión de funciones escalonadas
que converge c. t. p. a f. ∀ ν existe una función gν continua de
soporte compacto tal que N (ϕν − gν) 6
1
ν
.
16. Sea C∞c (Rn, F) el espacio vectorial de las funciones Rn −→ F,
de clase C∞, de soporte compacto. Demuestre que C∞c (Rn, F) es
denso en L1 (Rn, F) .
Indicación:
Utilice las funciones auxiliares h, g : R −→ R, de�nidas por:
h(x) =:

e−
1
(x−α)(β−x) , si α < x < β
0, si x ∈ R \ ]α, β[
y g(x) =:
x∫
−∞h(t) dt∞∫
−∞h(t) dt
.
Imite la construcción hecha en el texto para el caso de Cc(Rn, F).
17. Integral como límite de sumas de Riemann.
Si E es un subconjunto medible de Rn, se llama �partición medible�
de E a una sucesión {Ek}k∈N de conjuntos Ek medibles, disjuntos a
pares, tales que E =
⋃
k∈N
Ek. Se llama �malla� de la partición Π al
elemento
m(Π) =: Sup
k∈N
{diám (Ek)} de [0, ∞].
Biberstein
702 Cap. 3
Sea E es un subconjunto integrable de Rn y f una función E −→ F,
continua c. t. p. y acotada. Se considera una sucesión {Πν} de parti-
ciones medibles de E, Πν =: {E
ν
k}k∈N tales que límν→∞m (Πν) = 0. Se
elige arbitrariamente xνk ∈ Eνk.
Pruebe que ∀ ν existe Sν =:
∞∑
k=1
f (xνk) vol (E
ν
k) .
Sν se llaman �sumas de Riemann�. Demuestre que lím
ν→∞Sν =
∫
E
f.
18. Integral de una función real como límite de sumas de Lebesgue.
Sea f : Rn −→ R una función medible > 0.
a) Se supone que f es integrable. ∀ ν, k ∈ N se de�ne:
Bν,k =:
{
x
∣∣∣∣ νk < f(x) 6 ν+ 1k
}
.Muestre que todos los conjun-
tos Bν,k son integrables, que
∞∑
ν=1
ν
k
vol (Bν,k) <∞ ∀ k y que
∫
f = lím
k→∞
∞∑
ν=1
ν
k
vol (Bν,k) .
La suma de la serie en el segundo miembro se llama suma de
Lebesgue.
b) Recíprocamente se supone todos los conjuntos Bν,k de�-
nidos en a) integrables. Sea Sk =:
∞∑
ν=1
ν
k
vol (Bν,k) . Se supone
Sk <∞ ∀ k y que {Sk} no tiende a∞. Muestre que f es integrable.
19. a) Sea U un abierto de R y f una aplicación de clase C1 de U
en Rn. Pruebe que, para todo cubo cerrado K contenido en U,
existe αk > 0 tal que x, y ∈ K =⇒ ‖f(x) − f(y)‖ 6 αk‖x− y‖.
Aquí ‖ · ‖ es la norma cúbica.
(Use sus conocimientos de cálculo diferencial.)
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 703
b) Sea p = n y sea S un subconjunto despreciable de U.
Demuestre que f(S) es un subconjunto despreciable de Rn.
Indicación:
Sin pérdida de generalidad se puede suponer S contenido en un
cubo cerrado K tal que K ⊂ U. Dado ε > 0, S está conteni-
do en un abierto de medida 6 ε. Este abierto puede represen-
tarse como reunión de una sucesión {Cν} de cubos disjuntos.
Muestre que f (S ∩ Cν) está contenido en un cubo de volumen
(2αk)
n
vol (Cν) .
c) Si p < n, muestre que f(U) es un subconjunto desprecia-
ble de Rn.
Indicación:
Escriba Rn = Rp × Rn−p. Sea π la proyección Rn −→ Rp. Se
considera f ◦ π : π−1(U) −→ Rn. Se tiene f(U) = f ◦ π (U× {0}).
Aplique b).
20. Sea f : Rn −→ R, f > 0. Pruebe que f es medible si y sólo si
ínf {f, ϕ} ∈ L1 para toda función escalonada ϕ : Rn −→ R.
Luego una función f : Rn −→ R es medible si y sólo si ínf {f+, ϕ} e
ínf {f−, ϕ} son integrables para toda función escalonadaϕ : Rn −→ R.
21. a) TEOREMA DE YEGÓROV.
Sea E un subconjunto integrable de Rn y sea {fν} una sucesión
de funciones E −→ F medibles sobre E que converge c. t. p.
en E a una función f : E −→ F. Muestre que ∀ ε > 0 existe
un subconjunto medible Nε de E de medida 6 ε, tal que {fν}
converge a f uniformemente en E \Nε.
Biberstein
704 Cap. 3
Indicación:
SeanAk,ν =:
{
x ∈ E
∣∣∣∣ ‖f(x) − fν(x)‖ > 1k
}
y Bk,m =:
∞⋃
ν=m
Ak,ν.
El conjunto
∞⋂
m=1
Bk,m tiene medida cero. Por la prop. 10.
lím
m→∞ vol (Bk,m) = 0. Luego existe un índice m(k) tal que
vol
(
Bk,m(k)
)
6
ε
2k
. Ponga Nε =:
∞⋃
k=1
Bk,m(k).
b) Muestre por un ejemplo que no es cierto que {fν} converge
uniformemente a f en un conjunto E\Z, donde Z es un conjunto
despreciable.
c) Muestre por un ejemplo que la conclusión del teorema es
falsa si E es un conjunto medible de medida in�nita.
22. Sea S un subconjunto denso de R. Sea f : Rn −→ R. Muestre
que f es medible si y sólo si ∀ s ∈ S el conjunto
{
x
∣∣ f(x) > s} es
medible.
23. Sea {fν} una sucesión de funciones medibles Rn −→ F. Se dice
que {fν}CONVERGE ENMEDIDA a una función medible f : Rn −→ F
si ∀ σ > 0 :
lím
ν→∞ vol ({x | ‖f(x) − fν(x)‖ > σ}) = 0.
a) Supongamos que una sucesión {fν} de funciones medibles
converge en medida a una función medible f. Pruebe que la mis-
ma sucesión converge en medida a una función medible g si y
sólo si f = g c. t. p.
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 705
Indicación:{
x
∣∣∣∣ ‖f(x) − g(x)‖ > 1k
}
⊂{
x
∣∣∣∣ ‖f(x) − fν(x)‖ > 12k
}
∪
{
x
∣∣∣∣ ‖g(x) − gν(x)‖ > 12k
}
.
b) Sean S un subconjunto integrable de Rn y {fν} una suce-
sión de funciones S −→ F, medibles en S. Se supone que {fν}
converge c. t. p. en S a una función f : S −→ F. Demuestre que
{fν} converge a f en medida.
Indicación:
Sean Eν(σ) =:
{
x
∣∣ ‖fν(x) − f(x)‖ > σ} , Rm(σ) =: ∞⋃
ν=m
Eν(σ),
N =:
∞⋂
m=1
Rm(σ). N es un conjunto despreciable. Por la prop. 10.
lím
m→∞Rm(σ) = 0.
c) Se modi�ca la hipótesis de b), suponiendo solamente S me-
dible (no necesariamente integrable) y que existe g ∈ L1(S, R)
tal que |fν| 6 g c. t. p. ∀ ν. Pruebe que la conclusión de b)
subsiste.
Indicación:
vol (Eν(σ)) 6
1
σ
N (f− fν) (cf. ej. 10.)
d) Muestre que el recíproco de b) es falso. (cf. ejemplo antes
de la prop. 20. del cap. II.)
e) Sea {fν} sucesión de funciones medibles Rn −→ F que con-
verge en medida a una función f. Muestre que existe una subsu-
cesión
{
fα(ν)
}
tal que:
Biberstein
706 Cap. 3
i)
{
fα(ν)
}
converge a f c. t. p.
ii) ∀ ε existe un conjunto Nε de medida 6 ε, tal que{
fα(ν)
}
converge a f uniformemente en Rn \Nε.
Indicación:
Fabrique una subsucesión
{
fα(ν)
}
tal que ∀ ν
vol
({
x
∣∣∣∣ ∥∥fα(ν)(x) − f(x)∥∥ > 1ν
})
6
1
2ν
.
Considere Ri =:
∞⋃
ν=i
{
x
∣∣∣∣ ∥∥fα(ν)(x) − f(x)∥∥ > 1ν
}
y Q =:
∞⋂
i=1
Ri.
24. Sea S un subconjunto integrable de Rn. Sea M (S, F) el espacio
vectorial de las funciones medibles S −→ F y sea M(S, F) el espacio
cociente M (S, F)/N donde N es el subespacio de las funciones nulas
c. t. p. en S. ∀ f ∈M(S, F) se pone:
K(f) =:
∫
S
|f|
1+ |f|
.
a) Pruebe que K(f+ g) 6 K(f) + K(g), K(−f) = K(f),
K(f) = 0 ⇐⇒ f = 0. ∀ f, g ∈M(S, F) ponemos
d(f, g) =: K(f− g). Entonces d es una distancia en M(S, F).
b) Sea {fν} una sucesión en M (S, F). Muestre que {fν} con-
verge en medida a una función f ∈ M (S, F) si y sólo si
{
f̂ν
}
converge a
{
f̂
}
según la distancia d en M(S, F). Aquí ĝ es la
clase de equivalencia de la función g.
Indicación:
∀ σ > 0 sea Eν(σ) =:
{
x
∣∣ ‖f(x) − fν(x)‖ > σ} . Pruebe que
σ
1+ σ
vol (Eν(σ)) 6 K (fν − f) 6 vol (Eν(σ)) + σ vol(S).
N. B. Se puede demostrar que el espacio métrico (M(S, F), d)
es completo.
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 707
25. TEOREMA DE LUZIN.
a) Sea S un subconjunto medible de Rn. Sea f : S −→ F una
función medible.
Demuestre que ∀ ε > 0 existe un subconjunto medible Nε de S
tal que vol (Nε) 6 ε y la restricción de f a S \Nε es continua.
Indicación:
Primero suponga que S es integrable, use el ej. 15. y el ej. 21.
(teorema de Yegórov).
b) Demuestre el recíproco de a).
26. a) Sea A un subconjunto medible acotado de Rn. Muestre que
∀ ε > 0 existe un conjunto abierto G, un conjunto cerrado F y
un conjunto despreciable N tales que:
F ⊂ A ∪N, A \N ⊂ G, vol(G \ F) < ε.
Indicación:
Sea {gν} una sucesión de funciones continuas Rn −→ R tal que
χA = lím
ν→∞gν c. t. p. (cf. ej. 15.). Sea P un tarugo acotado
abierto que contiene A. De�na
Aν =:
{
x ∈ P
∣∣∣∣ gν(x) > 12
}
y Bν =:
{
x ∈ Rn
∣∣∣∣ gν(x) > 12
}
.
Considere Gk =:
⋃
ν>k
Aν y Fk =:
∞⋂
ν=k
Bν.
b) Con la misma hipótesis sobre A, muestre que ∀ ε > 0 existe
un conjunto abierto G, un conjunto cerrado F tal que F ⊂ A ⊂ G
y vol(G) − vol(F) < ε.
Indicación:
Encierre el conjunto N de a) en un abierto de medida �pequeña�.
c) Generalice b) al caso de un conjunto medible A arbitrario.
Biberstein
708 Cap. 3
d) Sea A un subconjunto medible de Rn. Muestre que existen
un conjunto H de tipo Gδ y un conjunto K de tipo Fσ tales que
K ⊂ A ⊂ H y vol(H \ K) = 0.
27. Integral de Riemann.
a) Sea E un espacio métrico y sea f : E −→ R una función
acotada. Si x ∈ E y δ > 0 designamos por Bδ(x) la bola abierta
de centro x, de radio δ. Sean mδ(x) =: ínf
{
f(x)
∣∣ x ∈ Bδ(x)} ,
Mδ(x) =: Sup
{
f(x)
∣∣ x ∈ Bδ(x)} , f(x) =: lím
δ→0
mδ(x) y
f(x) = lím
δ→0
Mδ(x).
Pruebe que f es continua en x si y sólo si f(x) = f(x).
b) Sea f : Rn −→ R una función acotada y nula fuera de cier-
to subconjunto acotado de Rn. En lo sucesivo P es un tarugo
acotado tal que ∀ x ∈ Rn \ P se tiene que f(x) = 0.
Se llama �subdivisión� ∆ de P a una colección �nita de tarugos
acotados {P1, . . . , Pr} , disjuntos a pares tal que P =
r⋃
i=1
Pi. La
�malla� de ∆ es el número m(∆) =: Máx
16k6r
{diám (Pk)} .
A una subdivisión ∆ = {P1, . . . , Pr} le asociamos las funciones
escalonadas:
ϕ∆ =:
r∑
k=1
ínf
Pk
{f} χPk, ψ∆ =
r∑
k=1
Sup
Pk
{f} χPk.
Sea {∆ν} una sucesión de subdivisiones de P tal que
lím
ν→∞m (∆ν) = 0. Si x es un punto que no pertenece a la frontera
de ningún tarugo de ∆ν para ν = 1, 2, . . . , muestre que
lím
ν→∞ϕ∆ν(x) = f(x) y límν→∞ψ∆ν(x) = f(x).
Deduzca que f y f son integrables.
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 709
Se pone I(f) =:
∫
f e I(f) =:
∫
f.
I(f) e I(f) se llaman respectivamente la INTEGRAL INFERIOR
DE DARBOUX y la INTEGRAL SUPERIOR DE DARBOUX
DE f.
c) Con las notaciones de b) se pone
s(∆) =:
r∑
k=1
ínf
Pk
{f} vol (Pk) y S(∆) =:
r∑
k=1
Sup
Pk
{f} vol (Pk) .
s(∆) y S(∆) se llaman respectivamente la SUMA INFERIOR y
la SUMA SUPERIOR DE DARBOUX DE f RELATIVAS A LA
SUBDIVISIÓN ∆.
Si {∆ν} es como en b), pruebe que
I(f) = lím
ν→∞ s (∆ν) e I(f) = límν→∞S (∆ν) .
Demuestre que I(f) = Sup
∆
{s(∆)} e I(f) = ínf
∆
{S(∆)}.
(El ín�mo y el supremo se toman sobre el conjunto de todas las
subdivisiones de P.)
d) Se dice que f ES INTEGRABLE EN EL SENTIDO DE
RIEMANN, brevemente R-integrable si I(f) = I(f). El valor co-
mún de los dos miembros se llama LA INTEGRAL DE RIE-
MANN DE f y se designa por I(f).
Pruebe que f es R-integrable si y sólo si f es continua c. t. p.
Finalmente demuestre que si f es R-integrable, f es integrable e
I(f) =
∫
f.
Biberstein
710 Cap. 3
28. Una función f : Rn −→ R se dice �esencialmente R-integrable�,
si es equivalente a una función R-integrable.
a) Muestre que si f es esencialmente R-integrable, f es límite
c. t. p. de una sucesión creciente de funciones escalonadas.
b) Dé un ejemplo de una función R −→ R acotada, nula fuera
de [0, 1], integrable, pero que no es esencialmente R-integrable.
(cf. ej. 13. c) del cap. II.)
29. Existencia de conjuntos no medibles.
Se trata de mostrar que todo subconjunto medible acotado de Rn de
medida positiva contiene un subconjunto no medible.
Sea E un conjunto medible acotado de Rn tal que vol(E) > 0. En E
consideramos la relación de equivalencia �∼� de�nida por:
x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ Qn.
Sea S un subconjunto de E que contiene un punto y uno sólo de cada
clase de equivalencia. ∀ a ∈ Rn, ponemos a + S =: {a+ s | s ∈ S } .
Sea E′ =:
⋃
r∈Qn
‖r‖6diám(E)
(r+ S). Muestre que E′ ⊃ E y diám (E′) 6 3 diám(E).
Si S fuera medible, también lo sería E′. ¾Por qué?
Obtenga una contradicción considerando las posibilidades vol(S) = 0,
vol(S) > 0. Luego S no es medible.
30. a) Sea 0 < α < 1. Se construye un subconjunto Cα de [0, 1]
como sigue.
Sea E1 =: [0, 1]\
]
−
1
2
−
α
4
,
1
2
+
α
4
[
=
[
0, −
1
2
−
α
4
]
∪
[
1
2
+
α
4
, 1
]
.
Construimos una sucesión {Eν} de conjuntos inductivamente.
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 711
Por hipótesis de inducción Eν es la reunión de 2
ν subinterva-
los cerrados de [0, 1], disjuntos a pares, cada uno de longitud
1
2ν
(
1−
α
2
− · · ·− α
2ν
)
. Cada uno de éstos se priva de su �parte
central�, considerada como intervalo abierto, de longitud
α
22ν+1
.
Eν+1 es por de�nición la reunión de los 2
ν+1 intervalos cerrados
restantes. Se de�ne Cα =:
∞⋂
ν=1
Eν.
Muestre que Cα es un conjunto cerrado, de interior vacío, sin
puntos aislados, de medida1− α.
Cα se llama un �conjunto de Cantor de medida positiva�.
b) Muestre que χCα es una función integrable en R, discon-
tinua en todo punto de Cα y que χCα no es equivalente a una
función continua c. t. p.
Luego χCα no es esencialmente R-integrable. (cf. ej. 28.)
Dicho de otro modo: Cα es un conjunto, cuya frontera (que coin-
cide con él mismo) no es un conjunto despreciable. La función
1, continua en Cα, no es R-integrable (ni siquiera esencialmente
R-integrable) en él.
31. Un homeomor�smo que no preserva la medibilidad, y que apli-
ca un conjunto de medida 0 sobre un conjunto de medida positiva.
Conjunto medible no boreliano.
Función no medible f ◦ g donde g es continua y f medible.
Consideramos el conjunto de Cantor C del ej. 9. del cap. II. Emplea-
mos las notaciones de este ejercicio.
a) Sea ϕ0 : F0 \ F1 −→ [0, 1] la función constante de valor
1
2
.
∀ ν ∈ N de�nimos ϕν : Fν \ Fν+1 −→ [0, 1] como sigue: Fν \ Fν+1
consta de 2ν intervalos abiertos disjuntos I1, . . . , I2ν. Elegimos
Biberstein
712 Cap. 3
las notaciones de modo que para k = 2, 3, . . . , 2ν, Ik está a
la derecha de Ik−1. Por de�nición la restricción de ϕν a Ik es
la función constante de valor
2k− 1
2ν+1
, k = 1, 2, . . . , 2ν. Sea
ϕ : [0, 1] \ C −→ [0, 1] 3 ϕ(x) = ϕν(x) si x ∈ Fν \ Fν−1.
Muestre que ϕ se puede ampliar de modo único a una función
f : [0, 1] −→ [0, 1] que es creciente y continua en [0, 1].
f se llama la ESCALERA DE CANTOR.
Indicación:
ϕ es creciente en el conjunto [0, 1] \ C denso en [0, 1] y
ϕ([0, 1] \ C) es denso en [0, 1].
b) Sea g : [0, 1] −→ R de�nida por:
g(x) =: x+ f(x) ∀ x ∈ [0, 1].
Muestre que g es una aplicación continua estrictamente creciente
de [0, 1] sobre [0, 2], luego un homeomor�smo de [0, 1] sobre
[0, 2].
Pruebe que g(C) es un conjunto de medida 1.
Así pues g transforma un conjunto de medida cero en un conjunto
de medida positiva.
Sea S un subconjunto no medible de g(C) (cf. ej. 29.). Pruebe
que g−1(S) es medible. Luego g transforma un conjunto medible
en un conjunto no medible.
Demuestre que el conjunto medible g−1(S) no es boreliano.
Finalmente observe que si T =: g−1(S), la función χT ◦ g−1 = χS
no es medible aunque g−1 es continua y χT medible. (Contraste
con el ej. 2.)
Ejercicios de análisis V. 0
Convergencia y medibilidad 713
32. Una función f ∈M+(R, R) tal que
∫
I
f =∞ para todo sub-
intervalo I de R de longitud no nula.
Sea K el conjunto de Cantor de medida
1
2
. (cf. ej. 30.)
Sean a < b e I = ]a, b[. Se de�ne el subconjunto KI de I por
KI =:
{
a+ t(b− a)
∣∣ t ∈ K∩ ]0, 1[} . Sea gI : R −→ R la función
gI =:
χKI
(vol(I))2
. Note que
∫
gI =
1
2 vol(I)
.
Sea G1 =:
⋃
ν∈Z
]ν, ν+ 1[ y f1 =:
∑
ν∈Z
g]ν, ν+1[.
Pongamos G2 =:
⋃
ν∈Z
(
]ν, ν+ 1[ \ K]ν, ν+1[
)
= G1 \
⋃
ν∈Z
K]ν, ν+1[.
Supongamos ya de�nido un abierto Gk de R. Gk puede representarse
en la forma Gk =
⋃
ν∈Z
Iνk, donde I
ν
k son intervalos abiertos disjuntos a
pares. Se de�ne inductivamente fk =:
∑
ν∈Z
gIνk y
Gk+1 =:
⋃
ν∈Z
(
Iνk \ KIνk
)
= Gk \
⋃
ν∈Z
KIνk . Finalmente sea f =:
∞∑
k=1
fk.
Pruebe que f está bien de�nida (�nita en todo punto), que f ∈M+(R, R)
y que para todo intervalo I de longitud no nula
∫
I
f =∞.
Indicación:
Muestre que I contiene intervalos Iνk de longitud arbitrariamente pe-
queña.
33. Pruebe que la colección de los conjuntos cuadrables de Rn no
constituye una σ−álgebra.
34. Sea A un subconjunto medible de Rn. Muestre que para todo
v tal que 0 6 v 6 vol(A) existe un subconjunto medible B de A tal
que vol(B) = v.
Biberstein
714 Cap. 3
Indicación:
∀ t ∈ [0, ∞[ sea Ct el cubo {x ∣∣ − t 6 xk 6 t, k = 1, . . . , n} .
Considere f : [0, ∞[−→ R dada por f(t) =: vol (A ∩ Ct) ∀ t ∈ [0, ∞[.
35. a) Sea f una función medible Rn −→ R. Demuestre que la
grá�ca de f es un subconjunto despreciable de Rn+1.
Indicación:
Considere primero el caso de que f se anula fuera de un tarugo
acotado P. Fije un entero natural k y considere los conjuntos
Bν,k =:
{
x ∈ P
∣∣∣∣ νk < f(x) 6 ν+ 1k
}
, ν ∈ Z.
b) Generalice al caso de una función f : Rn −→ Rm.
Ejercicios de análisis V. 0
4
Integrales en R, teorema de Fubini
1. Sea f : R −→ F una función de clase C1. Se supone que f y f′
son integrables.
a) Pruebe que lím
x→∞ f(x) = 0. Deduzca las relaciones
f(x) = −
∫∞
x
f′ =
∫x
−∞f
′ ∀ x ∈ R.
b) Pruebe que Sup
R
{|f|} 6
1
2
∫∞
−∞|f
′| .
2. Sea f : ]a, ∞[−→ F de clase C1 en ]a, ∞[. Se supone que f y f′
son integrables en ]a, ∞[.
a) Pruebe que lím
x→∞ f(x) = 0.
b) Pruebe que Sup
]a, ∞[{|f|} 6
∫∞
a
|f′| .
Indicación:
Observe que se puede prolongar f por continuidad al punto a.
Biberstein
716 Cap. 4
3. Sea f : ]a, b[−→ F de clase C1 en ]a, b[.
Se supone que f y f′ son integrables en ]a, b[. Pruebe que
Sup
]a, b[
{|f|} 6 ínf
]a, b[
{|f|}+
∫b
a
|f′|
6
1
b− a
∫b
a
|f|+
∫b
a
|f′| .
Indicación:
Muestre que se puede prolongar f por continuidad al intervalo com-
pacto [a, b]. Considere un punto x0 ∈ [a, b] en el cual |f| es mínimo.
4. Se considera un intervalo ]a, b[ de R, donde a > −∞ y b 6∞.
Sea f : ]a, b[−→ F. Se supone que f es acotada en todo compacto
contenido en ]a, b[ y que f posee una primitiva g en ]a, b[.
a) Muestre que si α, β ∈ ]a, b[, f es integrable en [α, β] y
se tiene: ∫β
α
f = g(β) − g(α).
b) Si además f es integrable en ]a, b[, existen g (a+) y g (b−)
y se tiene
∫b
a
f = g (b−) − g (a+) . (cf. ej. 11. del cap. II.)
Indicación:
Evalúe de dos modos distintos lím
h→0
∫β
α
g(x+ h) − g(x)
h
dx.
5. Sea I un intervalo abierto de R y sea f : I −→ R una función
continua. Sea g una primitiva de f en I.
Pongamos S+ =: {x | g(x) > 0}, S− =: {x | g(x) < 0}. Muestre que
∀ α, β ∈ I se tiene∫β
α
χS+f = g
+(β) − g+(α) y
∫β
α
χS−f = g
−(β) − g−(α).
Ejercicios de análisis V. 0
Integrales en R, teorema de Fubini 717
Indicación:
Cada uno de los conjuntos S+, S− es reunión de una familia numerable
de intervalos abiertos disjuntos a pares.
6. Pruebe que las siguientes integrales de funciones continuas po-
sitivas son �nitas.
a)
∫b
a
1√
(x− a)(b− x)
dx
b)
∫∞
0
| log (x)|
(1+ x)
√
x
dx
c)
∫∞
−∞
e−x
2
x2 + 1
dx
d)
∫ 1
0
x− 1
| log (x)|
dx.
7. Sea f : [0, a] −→ F, una función de clase Cm en [0, a] tal que
f(0) = f′(0) = · · · = f(m−1)(0) = 0. Muestre que ∀ α ∈ [0, 1] la
función x 7−→ f(x)
xn+α
es integrable en [0, a].
8. Sea f : ]0, a[−→ F una función integrable en ]α, a[ ∀ α ∈ ]0, a[.
Se supone que lím
x→0
f(x) = ~u 6= ~0.
Pruebe que la función x 7−→
∫a
x
f(y)
y
dy es integrable en ]0, a[.
Indicación:
Considere la función x 7−→
∫a
x
‖f(y)‖
y
dy y aplique la regla de L'Hospital.
(La regla de L'Hospital no es válida para funciones vectoriales.)
9. Calcule las siguientes integrales reiteradas
a)
∫ 1
0
dy
∫ 1
√
y
e−
y
x
x
dx b)
∫a
0
dx
∫a
x
ey
2
dy; a > 0.
Biberstein
718 Cap. 4
10. a) Sea S un abierto de Rn y sea f : S −→ F una función conti-
nua en S. Si x ∈ S y {Pν} es una sucesión de tarugos de volumen
positivo tal que ∀ ν : x ∈ Pν ⊂ S y lím
ν→∞ diám (Pν) = 0 pruebe que
lím
ν→∞
1
vol (Pν)
∫
Pν
f = f(x).
b) Sea S un subconjunto abierto de R2 y sea f : S −→ F. Se su-
pone que existen las derivadas parciales ∂xf, ∂yf, ∂x∂yf, ∂y∂xf
y son continuas en S. Sea P un tarugo acotado tal que P ⊂ S.
Demuestre que
∫
P
∂x∂yf =
∫
P
∂y∂xf. De ahí y de la pregunta a)
deduzca que ∂x∂yf(x, y) = ∂y∂xf(x, y) ∀ (x, y) ∈ S.
11. a) Calcule la integral
∫
C
(
n∑
i=1
x2i
)
dx1 · · · dxn donde C es el
cubo C = {x | 0 6 x1 6 1, . . . , 0 6 xn 6 1 } de Rn.
b) Calcule
∫
C
(∑
i<j
xi xj
)
dx1 · · · dxn.
12. a) Sea f : R2 −→ R la función de�nida como sigue:
f(x, y) =:

1
y2
, si 0 < x < y < 1
−
1
x2
, si 0 < y < x < 1
0, en los demás puntos
.
¾Existen las integrales reiteradas
∫∞
−∞dy
∫∞
−∞f(x, y) dx y∫∞
−∞dx
∫∞
−∞f(x, y) dy ? ¾Son iguales? ¾Es f integrable?
b) Mismas preguntas para la función:
f(x, y) =:

sen(x) sen(y)
exy
, si x > 0, y > 0
0, en los demás puntos
.
Ejercicios de análisis V. 0
Integrales en R, teorema de Fubini 719
13. Seaf : R2 −→ R la función dada por:
f(x, y) =: (x− y) e−(x−y)
2 ∀ x, y ∈ R.
¾Existen las integrales reiteradas
∫∞
0
dy
∫∞
0
f(x, y) dx y∫∞
0
dx
∫∞
0
f(x, y) dy? ¾Son iguales? ¾Es f integrable en [0, ∞[× [0, ∞[?
Para con�rmar la respuesta a la última pregunta calcule directamente
la integral, �nita o no,
∫ ∫
[0, ∞[×[0, ∞[
|f(x, y)| dx dy.
14. Sea S un subconjunto de Rn. Sean f, g : S −→ C funciones
medibles en S. Se supone que f2 y g2 son integrables en S.
a) Demuestre que fg es integrable en S.
b) Calcule
1
2
∫
S×S
∫
|f(x)g(y) − f(y)g(x)|
2
dx dy en función sola-
mente de las tres integrales
∫
S
|f|
2
,
∫
S
|g|
2
,
∫
S
f g. Utilice el resultado
para demostrar la DESIGUALDAD DE SCHWARZ:∣∣∣∣∫
S
f g
∣∣∣∣2 6 (∫
S
|f|
2
)(∫
S
|g|
2
)
. (4.1)
c) Pruebe que hay igualdad en (4.1) si y sólo si bien g = 0 c.
t. p. en S ó bien existe λ ∈ C tal que f = λ g c. t. p. en S.
15. Sean T1, T2 los subconjuntos de R2 de�nidos por:
T1 =: {(x, y) | 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 x } ,
T2 =: {(x, y) | 0 6 x 6 a, x 6 y 6 a } .
a) Sea f : [0, a] −→ F una función integrable en [0, a].
Demuestre que la función (x, y) 7−→ f(y)
y
es integrable en T2 y
pruebe la relación:∫a
0
dx
∫a
x
f(y)
y
dy =
∫a
0
f(x) dx.
Biberstein
720 Cap. 4
b) Sea f : [0, a] −→ F tal que f y x 7−→ log (x) f(x) son fun-
ciones integrables en [0, a].
Demuestre que la función (x, y) 7−→ f(y)
x
es integrable en T1 y
pruebe que:∫a
0
dx
x
∫x
0
f(y) dy = log (a)
∫a
0
f(x) dx−
∫a
0
log (x) f(x) dx.
16. Demuestre la prop. 12. del cap. III. considerando la función
g : Rn×R −→ F dada por g =:
∞∑
ν=1
fν⊗χ]ν, ν+1[ y usando los teoremas
de Fubini y de Tonelli.
17. Sea f : Rn −→ F una función integrable. Sea ϕ : Rn −→ R una
función medible acotada. Se supone que m 6 ϕ(x) 6M ∀ x ∈ Rn.
a) Establezca las fórmulas:∫
Rn
ϕf = m
∫
Rn
f+
∫M
m
dy
∫
{x | ϕ(x)>y}
f y
∫
Rn
ϕf = M
∫
Rn
f−
∫M
m
dy
∫
{x | ϕ(x)6y}
f.
Indicación:
Para establecer p. ej. la primera fórmula pruebe que la función
Rn × R −→ F dada por (x, y) 7−→ f(x) es integrable en el
conjunto
{
(x, y)
∣∣ x ∈ Rn, m 6 y 6 ϕ(x)} y calcule de dos mo-
dos la integral correspondiente.
b) Se supone que F = R, que ∀ y > 0 :
∫
{x | ϕ(x)>y}
f > 0 y que
∀ y < 0 :
∫
{x | ϕ(x)6y}
f 6 0. Pruebe que
∫
Rn
ϕf > 0.
Ejercicios de análisis V. 0
Integrales en R, teorema de Fubini 721
Indicación:
Sean A =: {x | ϕ(x) > 0} y B =: {x | ϕ(x) < 0}. Evalúe por las
fórmulas de a) las integrales
∫
A
ϕf y
∫
B
ϕf.
18. Sea S un subconjunto medible de Rn. Sea f : S −→ R una fun-
ción no negativa integrable en S. Sean h, k : S −→ R funciones medi-
bles acotadas en S. Pruebe que∫
S×S
f(x) f(y)(h(x) − k(y))2 dx dy =
∫
S
f
∫
S
f
(
h2 + k2
)
− 2
∫
S
f h
∫
S
f k.
Deduzca que ∫
S
f
∫
S
f
(
h2 + k2
)
> 2
∫
S
f h
∫
S
f k.
Aplicación:
Sea f : [a, b] −→ R una función no negativa, integrable en [a, b].
∀ α ∈ R se pone:
cα =:
∫b
a
cos(αx) f(x) dx y sα =:
∫b
a
sen(αx) f(x) dx.
Pruebe que:
c20 > 2 cα sα
2 c2α 6 c
2
0 + c0 c2α
2 s2α 6 c
2
0 − c0 c2α
19. Evaluando de dos modos distintos la integral
∫
[a, b]×[0, ∞[
e−xy dx dy
pruebe la fórmula:∫∞
0
e−ax − e−bx
x
dx = log
(
b
a
)
, si a > 0, b > 0.
Biberstein
722 Cap. 4
20. Partiendo de la fórmula elemental∫∞
0
dx
1+ u2 x2
=
π
2u
∀ u > 0,
obtenga por integración con respecto a u entre a y b la fórmula:∫∞
0
Arc tan(bx) − Arc tan(ax)
x
dx =
π
2
log
(
b
a
)
, si a > 0, b > 0.
Ejercicios de análisis V. 0
5
Cambio de variables en integrales
1. Usando el ej. 10. del cap. III. pruebe que toda translación de Rn
transforma un conjunto medible en un conjunto medible del mismo
volumen.
2. Sea T una aplicación lineal de Rn en Rn. Usando el ej. 10. del
cap. III. demuestre que T transforma todo conjunto medible S en un
conjunto medible y vol(T(S)) = | det(T)| vol(S).
3. Usando las coordenadas polares en R3 encuentre el volumen del
conjunto
{
(x, y, z)
∣∣∣ (x2 + y2 + z2)3 6 a3 xyz} , a > 0.
Resp.
a3
6
4. Encuentre el volumen del conjunto{
(x, y, z)
∣∣∣∣ (x2 + y2 + z2)2 6 a3 z exp(− x2 + y2x2 + y2 + z2
)}
, a > 0.
Resp.
πa3
3
(
1−
1
e
)
5. Calcule la integral∫
x2+y2+z26a2
dx dy dz√
x2 + y2 + (z− c)2
; c > 0
Biberstein
724 Cap. 5
(Potencial creado por una bola homogénea de radio a, de densidad 1,
en el punto (0, 0, c).)
Use las coordenadas polares en R3 y distinga los casos c > a y c < a.
Resp.
4πa3
3 c
si c > a; 2π
(
a2 −
c2
3
)
si c < a.
6. Sea E el �hiperelipsoide�
{
(x1, . . . , xn)
∣∣∣∣ x21a21 + · · ·+ x
2
n
a2n
6 1
}
en Rn. Demuestre que vol(E) = |a1| · · · |an| ωn, donde ωn es el vo-
lumen de la bola euclideana de radio 1.
7. Demuestre la prop. 19. por inducción.
(Use las transformaciones Φ1 y Φ2 de la demostración de la prop. 18.)
8. a) Sean Ω, Ω′ los abiertos de R3 de�nidos por:
Ω =:
{
(r, θ, ϕ)
∣∣∣ 0 < r, 0 < θ < π
2
, 0 < ϕ <
π
2
}
,
Ω′ =: {(x, y, z) | 0 < x, 0 < y, 0 < z } .
Sea σ ∈ R, σ 6= 0 y sea Φ : Ω −→ Ω′ dada por:
Φ(r, θ, ϕ) =: (a r senσ(θ) cosσ(ϕ), b r senσ(θ) senσ(ϕ), c r cosσ(θ))
donde 0 < a, 0 < b, 0 < c.
Pruebe que Φ es un isomor�smo C∞ de Ω sobre Ω′ y
JΦ(r, θ, ϕ) = ab cσ2 r2 sen2σ−1(θ) (cos(θ) sen(ϕ) cos(ϕ))
σ−1
.
Indicación:
Considere las transformaciones Φ1, Φ2, Φ3 de�nidas por:
Φ1 (r, θ, ϕ) =:
(
r
1
σ , θ, ϕ
)
,
Φ2 (r
′, θ′, ϕ′) =: (r′ sen(θ′) cos (ϕ′) , r′ sen (θ′) sen (ϕ′) , r′ cos (θ′)) ,
Φ3(ξ, η, ζ) =: (aξ
σ, bησ, c ζσ) .
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 725
Empleando la transformación Φ con σ convenientemente elegido
resuelva los siguiente ejercicios.
b) Calcule el volumen del conjunto{
(x, y, z)
∣∣∣∣ (xa + yb + zc)2 6 z` , 0 6 x, 0 6 y, 0 6 z
}
,
0 < a, 0 < b, 0 < c, 0 < `.
Resp.
ab c4
60 `3
c) Calcule el volumen del conjunto{
(x, y, z)
∣∣∣∣ (xa) 23 + (yb) 23 + (zc) 23 6 1
}
, 0 < a, 0 < b, 0 < c.
Resp.
4πab c
35
d) Calcule el volumen del conjunto{
(x, y, z)
∣∣∣∣ √xa +
√
y
b
+
√
z
c
6 1, 0 6 x, 0 6 y, 0 6 z
}
.
Resp.
ab c
90
9. Sean f, g funciones de clase C1 de�nidas en un abierto de R2
que contiene el disco ∆ =:
{
(x, y)
∣∣ x2 + y2 6 1} , con valores en F.
Demuestre que∫
∆
(∂x g(x, y) − ∂y f(x, y)) dx dy =∫π
−π
(cos(θ)g(cos(θ), sen(θ)) − sen(θ) f(cos(θ), sen(θ))) dθ
Biberstein
726 Cap. 5
Indicación:
Se tiene
∂
∂r
(r cos(θ)g(r cos(θ), r sen(θ)) − r sen(θ) f(r cos(θ), r sen(θ)))−
∂
∂θ
(cos(θ) f(r cos(θ), r sen(θ)) + sen(θ)g(r cos(θ), r sen(θ))) =
r (∂x g(r cos(θ), r sen(θ)) − ∂y f(r cos(θ), r sen(θ))) .
10. a) Calcule el volumen del conjunto
∆n =: {x | x1 + · · ·+ xn 6 1, 0 6 x1, . . . , 0 6 xn } en Rn.
Indicación:
Exprese ∆n en función de ∆n−1.
Resp.
1
n!
b) Calcule
∫
∆n
xn dx1 · · · dxn.
Resp.
1
(n+ 1)!
c) Encuentre el volumen del conjunto {x | |x1|+ · · ·+ |xn| 6 a } .
11. Se designa por (x, y) 7−→ 〈 x |y 〉 el producto escalar canónico
en Rn: si x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) , entonces
〈 x |y 〉 =:
n∑
i=1
xi yi. Sea T un automor�smo lineal de Rn. Pruebe que
∫
Rn
e−〈Tx |Tx 〉d x =
π
n
2
| det(T)|
.
12. Se escribe R2n =
(
R2
)n
, es decir todo punto de R2n se represen-
ta en la forma (z1, . . . , zn) , donde, para i = 1, . . . , n, zi = (xi, yi)
con xi, yi ∈ R. Calcule el volumen del conjunto
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 727
{
(z1, . . . , zn)
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
‖zi‖ 6 a
}
en R2n. Aquí ‖zi‖ =:
√
x2i + y
2
i .
Resp.
(2πa2)
n
(2n)!
13. Sea H una matriz simétrica positiva de�nida de tipo n× n. Se
recuerda que existe una matriz ortogonal U de tipo n× n tal que
U−1HU = diag (λ1, . . . , λn) con λ1, . . . , λn > 0.
diag (λ1, . . . , λn) es la matriz n×n que tiene los elementos λ1, . . . , λn
en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Sea E el �hiperelipsoide� {x ∈ Rn | 〈Hx | x 〉 6 1 } .
a) Utilizando el cambio de variables x = Uy, demuestre que
vol(E) = vol
{
y
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
λi y
2
i 6 1
}
.
b) Demuestre por un nuevo cambio de variables que
vol(E) =
ωn√
det(H)
,
donde ωn es el volumen de la bola de centro 0, de radio 1.
14. Sean C el cubo ]0, n[n = {y ∈ Rn | 0 < yi < 1, i = 1, . . . , n } .
Sea ∆ el abierto
{
x ∈ Rn
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xi < 1, 0 < x1, . . . , 0 < xn
}
.
Demuestre que las fórmulas
(1)

x1 + x2 + · · ·+ xn = y1
x2 + · · ·+ xn = y1 y2
...
xn = y1 · · ·yn
Biberstein
728 Cap. 5
de�nen un isomor�smo C∞ : y 7−→ x de C sobre ∆. Calcule el jaco-
biano de este isomor�smo. Calcule vol(∆) utilizando el cambio de
variables (1).
Indicación:
Sea D =: {u ∈ Rn | 0 < un < un−1 < · · · < u2 < u1 < 1 } .
Sea Φ1 : C −→ D la aplicación y 7−→ u, donde u1 = y1,
u2 = y1y2, . . . , un = y1 · · ·yn.
Sea Φ2 : D −→ ∆ la aplicación u 7−→ x, dondexk = uk − uk+1 para
k = 1, . . . , n− 1; xn = un.
15. Se designa por ∆n el subconjunto{
x
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xi 6 1, 0 6 x1, . . . , 0 6 xn
}
de Rn. ∀ n ∈ N y ∀ α ∈ R se
pone
I(n, α) =:
∫
∆n
dx1 · · · dxn(
n∑
i=1
xi
)α 6∞.
a) Al suponer α 6= 1, demuestre que I(n, α) <∞ si y sólo si
I(n− 1, α− 1) <∞. Deduzca que si α > n, I(n, α) =∞ y si
α < n y α no es un entero positivo I(n, α) <∞.
b) Usando a) pruebe que∫
∆n
|log (x1 + · · ·+ xn)| dx1 · · · dxn <∞ ∀ n ∈ N.
Deduzca que I(n, 1) <∞ si n > 1. Pruebe que si α < n, aunque
α sea un entero positivo, se tiene I(n, α) <∞.
c) Sea ‖ · ‖ una norma arbitraria en Rn. De a) y b) obtenga
una nueva prueba de que
∫
‖x‖61
dx
‖x‖α
<∞ si y sólo si α < n.
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 729
16. Sea ‖ · ‖ una norma arbitraria en Rn.
a) Muestre que la función (x, y) 7−→ 1
‖x− y‖
está de�nida c.
t. p. en Rn × Rn.
b) Pruebe que
∫
‖x‖61
‖y‖61
dx dy
‖x− y‖α
<∞ si y sólo si α < n.
Indicación:
Sin pérdida de generalidad se puede suponer que la norma es
euclideana. Use el teorema de Tonelli y observe que para y �jo
tal que ‖y‖ 6 1 se tiene:∫
‖x‖61
dx
‖x− y‖α
6
∫
‖x−y‖61+‖y‖
dx
‖x− y‖α
.
17. Sea B la bola
{
(x, y, z)
∣∣ x2 + y2 + z2 6 a2} de R3.
Calcule la integral
1
2
∫
B×B
dx dy
‖x− y‖
, donde ‖ · ‖ es la norma euclideana.
(Autopotencial de la bola B homogénea de densidad 1.)
Indicación:
Use el resultado del ej. 5.
18. Se considera la aplicación (x, y) 7−→ (1− xy)α de ]0, 1[×]0, 1[
en R. Aquí α ∈ R.
¾Para cuáles valores de α es dicha función integrable en ]0, 1[×]0, 1[?
Biberstein
730 Cap. 5
19. Se considera la familia de todos los números de la forma(
1√
p21 + · · ·+ p2n
)α
donde α es un número real �jo y (p1, . . . , pn)
recorre el conjunto P de las n-uplas de enteros no negativos, no todos
nulos. Al poner p =: (p1, . . . , pn) la familia es
(
1
‖p‖α
)
p∈P
donde
‖ · ‖ es la norma euclideana en Rn.
Sea r : Rn −→ R la función x 7−→ ‖x‖. Sea e =: (1, . . . , 1). ∀ p ∈ P
sea Kp el tarugo pi 6 xi < pi + 1, i = 1, . . . , n.
Muestre que
∑
p∈P
1
‖p‖α
χ
Kp
>
1
rα
>
∑
p∈P
1
‖p+ e‖α
χ
Kp
y deduzca que
la familia
(
1
‖p‖α
)
p∈P
es sumable si y sólo si α > n.
20. (Criterios logarítmicos de integrabilidad.)
Para k ∈ N se de�ne inductivamente:
`1(x) =: | log(x)| y `k(x) =: log (|`k−1(x)|) para k > 2. Se pone también
e0 =: 1 y ek =: exp (ek−1) para k > 1.
a) Muestre por inducción que, para k > 1, la función `k es-
tá de�nida y es positiva en ]ek−1, ∞[ , luego `k+1 está de�nida en
]ek−1, ∞[ y `k+1(x) = log (`k(x)) = `k(log(x)) ∀ x ∈ ]ek−1, ∞[ .
Así pues `1, . . . , `m están todas de�nidas y son positivas en ]em−1, ∞[ .
b) Muestre que, si k > 1, `k está de�nida y es positiva en]
0,
1
ek−1
[
. Luego `1, . . . , `m están todas de�nidas y son positi-
vas en
]
0,
1
em−1
[
.
Se de�ne r : Rn −→ R por r (x) =:
(
x21 + · · ·+ x2n
) 1
2 ∀ x ∈ Rn.
c) Si B es una bola en Rn de centro 0, de radio mayor que
em−1,muestre que
∫
Rn\B
1
rn `1(r) · · · `m−1(r) `m(r)α
<∞ si y sólo si α > 1.
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 731
d) Si B es una bola en Rn de centro 0, de radio menor que
1
em−1
,muestre que
∫
B
1
rn `1(r) · · · `m−1(r) `m(r)α
<∞ si y sólo si α > 1.
Indicación:
Calcule la derivada de la función t 7−→ `m(t)1−α.
21. Sea n ∈ N. Encuentre una fórmula explicíta para Γ
(
n+
1
2
)
.
A partir de la fórmula ωn =
πn
Γ
(n
2
+ 1
) establecida al �n del §4
recobre las fórmulas explicítas para ωn.
22. a) Demuestre que la función t 7−→ tx−1(1−t)y−1 es integrable
en ]0, 1[ si y sólo si x > 0 e y > 0. Se pone ∀ x > 0, y > 0:
β(x, y) =:
∫ 1
0
tx−1(1− t)y−1 dt
β se llama la FUNCIÓN BETA DE EULER.
Pruebe que β(x, y) = β(y, x) ∀ x, y ∈ ]0, ∞[.
b) Demuestre que ∀ x > 0, y > 0:
Γ(x) Γ(y) =
∫
R+×R+
e−(s+t)sx−1ty−1ds dt.
Utilizando el cambio de variables s = u(1−v), t = uv establezca
la identidad
β(x, y) =
Γ(x) Γ(y)
Γ(x+ y)
.
Biberstein
732 Cap. 5
23. Sea m ∈ R. Pruebe que las integrales Im =:
∫ π
2
0
cosm(x) dx,
Jm =:
∫ π
2
0
senm(x) dx son �nitas si y sólo sim > −1. Estando realizada
esta condición pruebe que Im = Jm =
√
π
2
Γ
(
m+ 1
2
)
Γ
(m
2
+ 1
) .
Indicación:
Use el cambio de variables sen(x) =
√
y y el ej. 22.
De aquí en adelante se supone m ∈ N.
Calcule explícitamente I2m+1 e I2m.
Demuestre que lím
m→∞
I2m+1
I2m
= 1 y deduzca la FÓRMULA DEWALLIS
√
π = lím
m→∞
1√
m
(2m)!!
(2m− 1)!!
.
24. Sean α1 > 0, . . . , αn > 0.
a) Se pone vn =:
∫
x1+···+xn<1
x1>0,..., xn>0
xα1−11 · · · xαn−1n dx1 · · · dxn.
Exprese vn en función de vn−1.
Demuestre que
vn =
Γ (α1) · · · Γ (αn)
Γ (1+ α1 + · · ·+ αn)
.
Indicación:
Use el ej. 22.
b) Para a > 0, calcule
un(a) =:
∫
x1+···+xn<a
x1>0,..., xn>0
xα1−11 · · · xαn−1n dx1 · · · dxn.
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 733
25. Sean α1 > 0, . . . , αn > 0. Transforme en una integral simple∫
x1+···+xn<a
x1>0,..., xn>0
xα1−11 · · · xαn−1n F (x1 + · · ·+ xn) dx1 · · · dxn,
donde F es una función medible y acotada en ]0, a[.
Indicación:
Use el cambio de variables: xi = ui para i = 1, . . . , n− 1,
x1 + · · ·+ xn = un. Después proceda análogamente al ej. 24.
Resp.
Γ (α1) · · · Γ (αn)
Γ (α1 + · · ·+ αn)
∫a
0
uα1+···+αn−1 F(u) du.
26. a) Sea f : Rn −→ F una función integrable. Sea g : Rn −→ K
una función medible acotada. Sea T =: (T1, . . . , Tn) donde Ti > 0 ∀ i.
Se supone
g (x1 + ν1T1, . . . , xn + νnTn) = g (x1, . . . , xn) ∀ ν1, . . . , νn ∈ Z.
Se designa por P(T) el tarugo [0, T1]× · · · × [0, Tn] .
Demuestre que lím
λ→0
∫
Rn
g
(x
λ
)
f(x) dx =
1
T1 · · · Tn
∫
P(T)
g
∫
Rn
f.
Indicación:
Demuestre primero esta fórmula en el caso de ser f la función
característica de un tarugo acotado, de donde seguirá que la fór-
mula es válida para toda f escalonada Rn −→ K.
Para establecer el caso general se podrá usar p. ej. la prop. 19.
del cap. I. (Inversión de pasos al límite).
Biberstein
734 Cap. 5
b) Calcule en particular
lím
ν→∞
∫
Rn
sen (νx1) · · · sen (νxn ) f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn y
lím
ν→∞
∫
Rn
|sen (νx1) · · · sen (νxn)| f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.
Sea gν(x) =: sen (νx1) · · · sen (νxn) .
Concluya que lím
ν→∞
∫
E
gν = 0 para todo subconjunto integrable E
de Rn, aunque gν no tiende a cero.
27. (TEOREMA DE A. SARD, caso particular.)
a) Sea Ω un abierto de Rn y sea Φ una aplicación de clase
C1 : Ω −→ Rn. Un punto x ∈ Ω se dice PUNTO CRÍTICO DE
Φ si el rango de Φ en x es < n, equivalentemente JΦ(x) = 0. Sea
K el conjunto de los puntos críticos de Φ. Demuestre que Φ(K)
es un subconjunto despreciable de Rn.
Indicación:
Muestre primero que basta suponer K contenido en un cubo ce-
rrado C contenido en Ω. Sea x0 ∈ K. Note que dΦ (x0) (Rn) está
en cierto subespacio vectorial de Rn de dimensión n − 1. Sea
{~e1, . . . , ~en} una base ortonormal de Rn tal que dicho subespa-
cio está engendrado por {~e1, . . . , ~en−1} . Sea ‖ · ‖ la norma cú-
bica de Rn y sea ‖ · ‖′ la norma cúbica con respecto a la base
{~e1, . . . , ~en} . Entonces ∀ z ∈ Rn, ‖z‖′ 6
√
n ‖z‖.
Utilizando las desigualdades
‖Φ(x) −Φ (x0)‖ 6 ‖x− x0‖ Máx
z∈C
{‖dΦ(z)‖} ∀ x ∈ C
y ‖Φ(x) −Φ (x0) − dΦ (x0) (x− x0)‖ 6
‖x− x0‖ Máx
z∈C
{‖dΦ(z) − dΦ (x0)‖} ∀ x ∈ C
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 735
muestre que Φ(C) está en un �bloque� (�caja� rectangular de
aristas no necesariamenteparalelas a los ejes de coordenadas) de
volumen 2nαn−1n
n
2 vol(C) ωC(dΦ).
Aquí α =: Máx
z∈C
{‖dΦ(z)‖} yωC(dΦ) =: Sup
z1, z2∈C
{‖dΦ (z1) − dΦ (z2)‖}
(la �oscilación� de dΦ en C).
Finalmente, dado ε > 0, represente C como reunión disjunta de
cubos C1, . . . , Cr lo bastante pequeños para que ∀ ν :
ωCν(dΦ) 6 ε
y muestre que Φ(K) está recubierto por una familia �nita de
bloques de suma de volúmenes 2nαn−1 n
n
2 vol(C) ε.
b) Demuestre la siguiente generalización del teorema de cam-
bio de variables:
Sea Ω un abierto de Rn. Sea Φ una aplicación de clase C1 de Ω
en Rn. Sea K el conjunto de los puntos críticos de Φ. Se supone
que la restricción de Φ a Ω \ K es inyectiva. Sea f : Φ(Ω) −→ F.
Entonces f es integrable en Φ(Ω) si y sólo si JΦ(f ◦Φ) es inte-
grable en Ω y se tiene:∫
Φ(Ω)
f =
∫
Ω
|JΦ| (f ◦Φ).
28. (FÓRMULA DE STIRLING.)
a) Partiendo de la relación Γ(x + 1) =
∫∞
0
e−ttx dt establezca
por el cambio de variables t = x+ z
√
x la relación:
Γ(x+ 1)
e−x xx
√
x
=
∫∞
−
√
x
e−z
√
x
(
1+
z√
x
)x
dz.
Biberstein
736 Cap. 5
b) Efectuando el paso al límite bajo el signo integral demues-
tre la fórmula de Stirling
Γ(x+ 1) x̃→∞ (x
e
)x√
2πx.
En particular
n! ñ→∞ (n
e
)n√
2πn.
Indicación:
Para una mayoración del integrando es cómodo servirse de la
relación
z
√
x− x log
(
1+
z√
x
)
= x
∫ z√
x
0
θ
1+ θ
dθ que compruebe.
Para z > 0 observe que x
∫ z√
x
0
θ
1+ θ
dθ > x
∫ z√
x
0
θ
1+
z√
x
dθ.
Para −
√
x < z 6 0 escriba:
x
∫ z√
x
0
θ
1+ θ
dθ = x
∫ u√
x
0
t
1− t
dt > x
∫ u√
x
0
t dt
donde u = −z.
Finalmente e−
√
x
z
(
1+
z√
x
)x
6 e
−z2
2(1+|z|) ∀ z > −
√
x.
Ejercicios de análisis V. 0
Cambio de variables en integrales 737
26. c) En particular si f : [0, ∞) −→ K es una función integrable
en [0, ∞) y si ϕ : [0, ∞) −→ R es una función medible, acotada
y periódica con periodo T . Mostrar que
lím
n→∞
∫∞
0
ϕ(nx) f(x) dx =
(
1
T
∫T
0
ϕ(T) dt
)(∫∞
0
f(x) dx
)
.
Indicación:
Considere primero el caso de que f sea una función escalonada.
Aplicaciones:
i) Calcule lím
n→∞
∫∞
0
| sen(nx)| f(x) dx.
ii) Pruebe que para todo subconjunto medible E de [0, ∞) de me-
dida �nita
lím
n→∞
∫
E
sen(nx) dx = 0
(aunque el integrando no tienda a 0).
Biberstein
738 Cap. 5
Ejercicios de análisis V. 0
6
Funciones de�nidas por integrales
1. a) Sean X, Y espacios métricos, X compacto. Sea (E, d) otro
espacio métrico. Sea f : X×Y −→ E una aplicación continua. Sea
y0 ∈ Y. Muestre que para todo ε > 0 existe una vecindad V de
y0 en Y tal que ∀ x ∈ X y ∀ y ∈ V se tiene
d (f (x, y) , f (x, y0)) 6 ε.
(Si sabe de espacios topológicos, puede suponer solamente que
X, Y son espacios topológicos.)
b) Pruebe la siguiente generalización del corolario de la prop. 1.:
Sea Λ un espacio métrico y sea K un subconjunto compacto de
Rn. Sea f : K×Λ −→ F una función continua en K×Λ. Se pone
Φ(λ) =:
∫
K
f(x, λ) dx ∀ λ ∈ Λ. Entonces Φ es continua en Λ.
(Si sabe de espacios topológicos, puede suponer solamente que
Λ es un espacio topológico.)
2. Sean I, J intervalos abiertos en R. Sea f : I×J −→ F una función
continua. Se supone que ∀ (x, y) ∈ I× J existe ∂y f(x, y) y que existe
g ∈ L1(I, R) tal que ‖∂y f(x, y)‖ 6 g(x) ∀ (x, y) ∈ I× J. Sean ϕ, ψ
funciones derivables J −→ I. Se de�ne ∀ y ∈ J:
Φ(y) =
∫ϕ(y)
ψ(y)
f(x, y) dx.
Biberstein
740 Cap. 6
Pruebe que Φ es derivable en J y calcule su derivada.
3. Sea Λ un abierto en un espacio vectorial normado E. Sea
f : Rn ×Λ −→ F. Se supone
i) ∀ λ ∈ Λ la aplicación fλ : x 7−→ f(x, λ) es integrable en Rn.
ii) Para casi todo x en Rn y ∀ λ ∈ Λ la aplicación
fx : λ 7−→ f(x, λ) de Λ en F es diferenciable en el punto λ.
iii) ∀ λ ∈ Λ la función x 7−→ dfx(λ) de Rn en Hom(E, F) es
medible.
iv) ∃ g ∈ L1 (Rn, R) 3 ∀ λ ∈ Λ y para casi todo x ∈ Rn :
‖dfx(λ)‖ 6 g(x).
Sea Φ : Λ −→ F de�nida por
Φ(λ) =:
∫
Rn
f(x, λ) dx.
Pruebe que Φ es diferenciable en Λ y que
dΦ(λ) =
∫
Rn
d fx(λ) dx.
4. Sea S un subconjunto medible de Rn. Sean f : S −→ F, g : S −→ R
funciones medibles en S. Se supone que g(x) > 0 ∀ x ∈ S y que existe
λ0 > 0 tal que la función x 7−→ e−λ0 g(x) f(x) es integrable en S.
Se pone ∀ λ > λ0 : Φ(λ) =
∫
S
e−λg(x) f(x) dx.
Muestre que Φ está bien de�nida, que es de clase C∞ en ]λ0, ∞[ y
que ∀ k ∈ N y ∀ λ > λ0
Φ(k)(λ) = (−1)k
∫
S
e−λg(x) (g(x))k f(x) dx.
Aplicación:
Para λ > 0 y k ∈ N calcule la integral
∫∞
0
e−λx xk dx.
Ejercicios de análisis V. 0
Funciones de�nidas por integrales 741
5. a) Sea α > 0. Muestre que la función x 7−→ 1− e
−αx2
x2
es
integrable en [0, ∞[. Se pone
F(α) =
∫∞
0
1− e−αx
2
x2
dx.
Muestre que F es continua en [0, ∞[.
b) Pruebe que para α > 0 se puede derivar F bajo el signo
integral. Efectuando esta derivación calcule explícitamente F(α).
6. a) Partiendo de la relación elemental:∫∞
0
e−x cos (ux) dx =
1
1+ u2
calcule para α > 0 la integral reite-
rada
∫α
0
dλ
∫λ
0
du
1+ u2
: primero �directamente�, luego integrando
dos veces bajo el signo integral (lo que se debe justi�car).
Deduzca que para α > 0 se tiene:∫∞
0
e−
x
α
1− cos (x)
x2
dx = Arc tan (α) −
1
2α
log
(
1+ α2
)
. (6.1)
b) Justi�que el paso al límite para α −→ ∞ bajo el signo
integral en (6.1). Deduzca la fórmula:∫∞
0
1− cos (x)
x2
dx =
π
2
.
De ahí obtenga mediante una integración por partes:∫→∞
0
sen (x)
x
dx =
∫∞
0
(
sen (x)
x
)2
dx =
π
2
.
7. Use los ej. 5. y 6. para evaluar las integrales:∫∞
0
(
e−
a2
x2 − e−
b2
x2
)
dx y
∫∞
0
e−ax
2
− cos (bx)
x2
dx; a > 0.
Biberstein
742 Cap. 6
8. Se de�ne ∀ x ∈ R : f(x) =:
(∫x
0
e−t
2
dt
)2
, g(x) =:
∫ 1
0
e−x
2(t2+1)
t2 + 1
dt.
a) Demuestre que ∀ x ∈ R f′(x) + g′(x) = 0 y deduzca que
f(x) + g(x) =
π
4
.
b) Utilice a) para probar que
∫∞
0
e−t
2
dt =
√
π
2
.
9. a) Para x > 0, y > 0, x 6= y demuestre por un cálculo ele-
mental que f(x, y) =:
∫∞
0
dt
(1+ t2 x2) (1+ t2 y2)
=
π
2
1
x+ y
.
Pruebe que f es continua en el conjunto {(x, y) | x > 0, y > 0}
y deduzca que el resultado precedente sigue válido si x = y.
b) Evaluando de dos modos distintos la integral reiterada∫ 1
0
dy
∫ 1
0
f(x, y) dx demuestre que
∫∞
0
(
Arc tan (x)
x
)2
dx = π log (2).
10. Fijando a > 0 se pone f(b) =:
∫∞
0
e−ax
2
cos (bx) dx ∀ b > 0.
Establezca la relación f′(b) = −
b
2a
f(b).
Deduzca que ∫∞
0
e−ax
2
cos (bx) dx =
1
2
e−
b2
4a
√
π
a
11. a) Fijando a > 0 se pone ∀ b > 0, f(b) =:
∫∞
0
e−(ax
2+ b
x2
) dx.
Muestre que si b > 0, se tiene f′(b) = −f(b)
√
a
b
.
Indicación:
Derive bajo el signo integral y use el cambio de variables
x =
1
y
√
a
b
.
Ejercicios de análisis V. 0
Funciones de�nidas por integrales 743
b) Demuestre que ∀ a > 0 y ∀ b > 0 :∫∞
0
e−(ax
2+ b
x2
) dx =
1
2
e−2
√
ab
√
π
a
.
12. a) Derivando bajo el signo integral la función λ 7−→
∫∞
0
dx
x2 + λ
para λ > 0, establezca la fórmula:∫∞
0
dx
(x2 + λ)
k+1
=
π
2
(2k− 1)!!
2k!!
1
λk+
1
2
∀ k ∈ N.
b) Muestre que lím
ν→∞
∫∞
0
dx(
1+
x2
ν
)ν = √π
2
.
c) Utilizando a) y b) recobre la fórmula de Wallis (ej. 23 del
cap. V.).
13. Sea a ∈ R 3 |a| < 1. Usando una derivación bajo el signo
integral pruebe la fórmula∫ π
2
0
log (1+ a cos (x))
cos (x)
dx =
π2
8
−
1
2
(Arc cos (a))2.
14. a) Sea 0 < z < 1. Demuestre que
Γ(z) Γ(1− z) = β(z, 1− z) =
∫∞
0
yz−1
1+ y
dy.
Indicación:
Haga el cambio de variables t =
y
1+ y
en la integral que de�ne
la función β (ej. 22. del cap. V.).
b) Sea z �jo tal que 0 < z < 1. Se de�ne f : ] −π, π[−→ C por
f(λ) =:
∫∞
0
xz−1
eiλx+ 1
dx ∀ λ ∈ ] − π, π[.
Biberstein
744 Cap. 6
Demuestre que se puede calcular f′(λ) por una derivación ba-
jo el signo integral. Mediante una integración por partes prue-
be que f′(λ) = −i z f(λ). Deduzca que se veri�ca una relación:
f(λ) = γ(z) e−iλz, donde γ(z) depende solamente de z y no de λ.
c) Muestre que
γ(z) sen (λz) = −
f(λ)
2i
+
f(−λ)
2i
= sen (λ)
∫∞
0
xz
x2 + 2x cos (λ) + 1
dx.
Suponiendo ahora 0 < λ < π, obtenga por un cambio de varia-
bles:
γ(z) sen (λz) =
∫∞
cot (λ)
(u sen (λ) − cos (λ))z
1+ u2
du.
Porun paso al límite para λ −→ π, que justi�que, pruebe �nal-
mente que γ(z) =
π
sen (πz)
.
De ahí resulta
Γ(z) Γ(1− z) =
π
sen (πz)
∀ z ∈ ]0, 1[.
(FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS)
15. Para 0 < p < q sea I(p, q) =:
∫∞
0
xp−1
1+ xq
dx. Por el cambio de
variables y =
1
1+ xq
demuestre que I(p, q) =
1
q
Γ
(
p
q
)
Γ
(
1−
p
q
)
,
luego en virtud de la fórmula de los complementos (ej. 14.):
I(p, q) =
π
q sen
(
p
q
π
) .
Calcule en particular
∫∞
0
dx
1+ x4
y
∫∞
0
x2
1+ x4
dx.
Ejercicios de análisis V. 0
Funciones de�nidas por integrales 745
16. a) Sean f : [a, ∞[−→ F de clase C1 en [a, ∞[ y h : [a, ∞[−→ R
de clase C2 en [a, ∞[.
Se supone h′(x) 6= 0 ∀ x ∈ [a, ∞[, lím
x→∞
f(x)
h(x)
= 0 y
(
f
h′
)′
integrable en [a, ∞[ (si f es real de signo constante, la última
hipótesis puede omitirse). Pruebe que existen las integrales im-
propias
∫→∞
a
cos (h(x)) f(x) dx y
∫→∞
a
sen (h(x)) f(x) dx.
b) Pruebe que existen las integrales impropias∫→∞
a
Pm(x) cos (Qm+2(x)) dx y
∫→∞
a
Pm(x) sen (Qm+2(x)) dx,
donde Pm, Qm+2 son polinomios de grados respectivos m y m+ 2.
c) Sea λ > 0. Si f : [a, ∞[−→ F es de clase C1 en [a, ∞[, lím
x→∞ f(x) = 0
y si f′ es integrable en [a, ∞[, existen las integrales impropias∫→∞
a
cos (λx) f(x) dx y
∫→∞
a
sen (λx) f(x) dx.
17. Sea f(x) = xα sen
(
xβ
)
∀ x > 0; α, β ∈ R.
a) ¾Para cuáles valores de α, β es f integrable en [1, ∞[?
¾Para cuáles existe la integral impropia
∫→∞
1
f(x) dx?
b) Mismas preguntas, al reemplazar el intervalo [1, ∞[ por el
intervalo ]0, 1].
18. Estudie la convergencia de la integral impropia∫→∞
→0
1
xm
sen
(
x+
1
x
)
dx.
Indicación:
Hay que estudiar las integrales impropias
∫ 1
→0
1
xm
sen
(
x+
1
x
)
dx y∫→∞
1
1
xm
sen
(
x+
1
x
)
dx. El cambio de variables x =
1
u
reduce el
estudio de la segunda integral a el de la primera.
Biberstein
746 Cap. 6
19. Puesto que
1
x
=
∫∞
0
e−xt dt, se tiene
∫→∞
0
sen (x)
x
dx =
∫→∞
0
sen (x) dx
∫∞
0
e−xt dt.
Pruebe que se puede invertir el orden de las integraciones y así calcule
la integral impropia
∫→∞
0
sen (x)
x
dx.
20. Sea ∀ x ∈ R
f(x) =: −
∫ π
2
0
e−x sen (θ) cos(x cos (θ)) dθ.
Pruebe que f es una primitiva de la función x 7−→ sen (x)
x
.
Deduzca el valor de la integral impropia
∫→∞
0
sen (x)
x
dx.
Indicación:
Derive bajo el signo integral y compruebe que el nuevo integrando es
la derivada de la función θ 7−→ −1
x
e−x sen (θ) sen(x cos (θ)).
21. Se pone ∀ y ∈ R
f(y) =:
∫∞
0
sen (xy)
x (x2 + 1)
dx.
Demuestre que ∀ y > 0 se tiene f′′(y) − f(y) = −π
2
y calcule f(y) ∀ y ∈ R.
Indicación:
Se deberá justi�car la derivación bajo el signo integral de una función
de�nida por una integral impropia.
Ejercicios de análisis V. 0
Funciones de�nidas por integrales 747
22. a) Muestre que ∀ α > 0 y ∀ x > 0:
Γ(α) = xα
∫∞
0
e−xt tα−1 dt.
b) Sea λ > 0. Se sigue de a) que, si 0 < α 6 1,∫→∞
0
sen (λx)
xα
dx =
1
Γ(α)
∫→∞
0
sen (λx) dx
∫∞
0
e−xt tα−1 dt.
Demuestre que si 0 < α < 1, se puede invertir el orden de las
integraciones. Usando los ej. 14. y 15. deduzca la fórmula:
→∞∫
0
sen(λx)
xα
dx =
π
2 λ1−α sen
(πα
2
)
Γ(α)
=
cos
(πα
2
)
Γ(1− α)
λ1−α
∀ α ∈ ]0, 1[.
Recobre el valor de la integral de Fresnel
∫→∞
0
sen
(
x2
)
dx.
c) Muestre que la función α 7−→
∫→∞
0
sen (λx)
xα
dx es continua
en
[
1
2
, 1
]
y recobre el valor de
∫→∞
0
sen (λx)
x
dx.
d) Para 0 < α < 1, pruebe que∫∞
0
sen (λx)
xα
dx
∫∞
0
sen (λx)
x1−α
dx =
π
2λ
.
23. Continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico.
Sean K un subconjunto compacto de R3 y µ : K −→ R una función
medible y acotada en K. Se pone
U(a) =:
∫
K
µ(x)
‖x− a‖
dx ∀ a ∈ R3.
Aquí ‖ · ‖ es la norma euclideana. U(a) es el potencial en el punto a
creado por la distibución de cargas eléctricas de densidad µ.
Biberstein
748 Cap. 6
a) Demuestre que U es de clase C∞ en R3 \K y que las deriva-
das parciales de U en R3 \ K pueden calcularse por derivaciones
bajo el signo integral. En particular si ∆ = ∂xx+∂yy+∂zz (∆ se
llama LAPLACIANO), muestre que ∆U(a) = 0 ∀ a ∈ R3 \ K.
A continuación se supone la función µ ampliada a R3 entero por la
convención µ(x) = 0 si x ∈ R3 \ K.
b) Sean a0 ∈ R3 y ρ > 0. Se pone ∀ a ∈ R3
Vρ(a) =
∫
‖x−a0‖6ρ
µ(x)
‖x− a‖
dx. (6.2)
Obtenga una mayoración |Vρ(a)| 6 kρ
2, donde k es una constan-
te (independiente de a).
Indicación:
Sea M = Sup
x∈K
|µ(x)|. Si ‖a− a0‖ > 2ρ, el integrando en (6.2) se
mayoriza por
M
ρ
. Si ‖a− a0‖ < 2ρ, entonces Vρ(a) 6M
∫
‖x−a‖<3ρ
dx
‖x− a‖
.
Se puede también obtener una mayoración más precisa, usando
los resultados del ej. 5 del cap. V.
Sea Uρ(a) =:
∫
‖x−a0‖>ρ
µ(x)
x− a
dx = U(a)−Vρ(a). Entonces lím
ν→∞U 1ν = U
uniformemente en R3. Deduzca que U es continua en a0. Puesto
que a0 es arbitrario, U es continua en R3.
c) Para i = 1, 2, 3 sea
Ui(a) =:
∫
K
µ(x)
∂
∂ai
1
‖x− a‖
dx =
∫
K
µ(x)
xi − ai
‖x− a‖3
dx.
Pruebe que esta de�nición tiene sentido. Imitando b) muestre
que las funciones Ui son continuas en R3.
Ejercicios de análisis V. 0
Funciones de�nidas por integrales 749
d) Se desea probar que Ui(a) = ∂iU(a) ∀ a ∈ R3, i = 1, 2, 3.
Probémoslo p. ej. para i = 1. Basta demostrar:∫c1
b1
U1(a) da1 = U (c1, a2, a3) −U (b1, a2, a3) (6.3)
para todos los valores de los argumentos.
El primer miembro de (6.3) es la integral reiterada∫c1
b1
da1
∫
K
µ(x)
∂
∂a1
1
‖x− a‖
dx. Demuestre que se puede invertir
el orden de las integraciones y establezca (6.3).
Indicación:
Si P es un tarugo acotado que contiene K, pruebe que∫
P
dx
∫∞
−∞
da1
‖x− a‖2
<∞.
Biberstein
750 Cap. 6
Ejercicios de análisis V. 0
7
Los espacios Lp
1. a) Sea I un intervalo de R y sea f : I −→ R una función conve-
xa en I. Pruebe que en todo punto interior de I f posee derivadas
por la derecha y por la izquierda, luego f es continua en
◦
I .
b) Pruebe que f es derivable salvo posiblemente en un sub-
conjunto numerable de I.
Indicación:
La derivada por la derecha f′d es creciente en I.
2. Sea I un intervalo de R y sea f : I −→ R una función convexa.
Sean x1, . . . , xr ∈ I y sean α1, . . . , αr números no negativos tales que
r∑
i=1
αi = 1. Demuestre que
r∑
i=1
αi xi ∈ I y que
f
(
r∑
i=1
αi xi
)
6
r∑
i=1
αi f (xi) .
3. Sean a1, . . . , ar números no negativos y sean α1, . . . , αr núme-
ros positivos tales que
r∑
i=1
αi = 1. Pruebe que
a1 · · ·ar 6
r∑
i=1
αi a
1
αi .
¾Caso de igualdad?
Biberstein
752 Cap. 7
4. Sea I un intervalo.
a) Sea F una colección de funciones convexas I −→ R. Sea
g =: Sup
f∈F
f. Pruebe que g es convexa. ¾Qué pasa si se substituye
Sup por ínf?
b) Sea {fν} una sucesión de funciones convexas I −→ R que
converge puntualmente a una función g : I −→ R. Pruebe que g
es convexa.
c) Con las notaciones de b) ¾qué se puede a�rmar de lím Sup
ν→∞ fν
y lím ínf
ν→∞ fν, al suponer que estas funciones están de�nidas (es
decir son �nitas en todo punto de I)?
5. Sea I un intervalo abierto, f : I −→ R una función convexa y
g : f(I) −→ R una función convexa y creciente. Pruebe que g ◦ f es
una función convexa. Si f > 0 y log (f) es una función convexa, pruebe
que f es convexa, pero no recíprocamente.
6. Sea 1 6 p <∞. Sea {fν} una sucesión de funciones en Lp (Rn, F)
tal que
∞∑
ν=1
Np (fν) <∞. Demuestre que
i) La serie {{fν}} converge en p−promedio a cierta función
f ∈ Lp (Rn, F) .
ii) La serie {{fν}} converge absolutamente c. t. p. a f.
iii) Np (f) 6
∞∑
ν=1
Np (fν) .
7. a) Sean p > 1, q > 1 y
1
p
+
1
q
6 1. Se pone
1
r
=:
1
p
+
1
q
. Sean
f ∈ Lp (Rn, F) , g ∈ Lq (Rn, F) . Pruebe que
|f| |g| ∈ Lr (Rn, R) y Nr (|f| |g|) 6 Np(f)Nq(g).
Ejercicios de análisis V. 0
Los espacios Lp 753
b) Más generalmente sean k1, . . . , kr > 1 y
1
k1
+ · · ·+ 1
kr
6 1.
Se pone
1
p
=:
1
k1
+· · ·+ 1
kr
. Sean fi ∈ Lki (Rn, F) para i = 1, . . . , r.
Muestre que |f1| · · · |fr| ∈ Lp (Rn, R) y
Np (|f1| · · · |fr|) 6 Nk1 (f1) · · ·Nkr (fr) .
8. Se designa por C (0, 1) el espacio vectorial de las funciones
complejas continuas en [0, 1]. ∀ p ∈ [1, ∞[ y