Relaciones de Equivalência e Congruências

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Relaciones de equivalencia y 
Congruencias 
 
 
 
 
Material elaborado por: 
Lic. Mercedes Noelia Ruiz Díaz Alonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Universitario 
San Lorenzo, Paraguay 
 
 
 
 
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Índice 
 
1. Particiones ........................................................................................................................................3 
2. Relaciones de equivalencia ..............................................................................................................6 
2.1. Producto Cartesiano .................................................................................................................6 
2.2. Relaciones definidas en un conjunto A ....................................................................................7 
2.2.1. Relación de equivalencia ..............................................................................................7 
2.2.2. Clases de equivalencia y Conjunto Cociente ................................................................8 
3. Los enteros módulo n ( ℤ𝒏) .......................................................................................................... 10 
3.1. Clases residuales ................................................................................................................... 11 
3.2. Conjunto Cociente ................................................................................................................. 11 
3.3. Propiedades ........................................................................................................................... 12 
3.4. Teorema ................................................................................................................................ 12 
3.5. Ejemplos ................................................................................................................................ 12 
Bibliografía ............................................................................................................................................ 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura1: Partición de un conjunto finito S. 
1. Particiones 
Partición de un conjunto no vacío S: es una colección 𝑃 = {𝐴𝑖 /𝑖 ∈ ℕ} 
de subconjuntos no vacíos de S tal que: 
1. Cada 𝑎 ∈ 𝑆, pertenece a algún 𝐴𝑖 
2. Los conjuntos de 𝑃 son mutuamente disjuntos, esto es, si 
𝑖 ≠ 𝑗 → 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ 
3. 𝑆 = ⋃ 𝐴𝑖 donde 𝐴𝑖 ∈ 𝑃 
 
 
 
 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Si 𝐴 = {1, 2, 3, 4} . Entonces, ¿Cuáles son todas las particiones de 𝐴? 
En primer lugar, observamos que, para la Construcción de las Particiones, debemos tener en 
cuenta que se verifiquen las 3 condiciones de la definición. 
En este caso tenemos un conjunto finito 𝐴 y para hallar todas sus particiones nos 
preguntamos: ¿Cuántas formas de agrupar sus elementos existen? (atendiendo que se 
verifiquen las condiciones dadas en la definición) 
Notemos que 𝐴 tiene 4 elementos. Luego, como: 
1 + 1 + 1 + 1 = 4, Cada celda consta de un solo elemento de 𝐴. Es el caso de 𝑃1 
2 + 2 = 4, Cada celda consta de dos elementos de 𝐴. Es el caso de 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4 
3 + 1 = 4, Una de las celdas consta de tres elementos y la otra de un solo elemento. 
Es el caso de 𝑃5, 𝑃6, 𝑃7, 𝑃8 
4 + 0 = 4 Existe una única celda que consta de todos los elementos de 𝐴. 
Es el caso de 𝑃9 
1 + 2 + 1 = 4 Dos celdas constan de un solo elemento y la celda restante consta de 
dos elementos. 
Es el caso de 𝑃10, 𝑃11, 𝑃12, 𝑃13, 𝑃14, 𝑃15 
 
 
A los subconjuntos de una partición se los denomina Celdas 
 
 
 
 
 
 
 
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Observación: En cada uno de los casos se ven todas las combinaciones posibles de 
elementos de 𝐴. 
Así tenemos todas las particiones de 𝐴: 
𝑃1 = {{1}, {2}, {3}, {4}} 
𝑃2 = {{1, 2}, {3, 4}} 
𝑃3 = {{1, 4}, {2, 3}} 
𝑃4 = {{1, 3}, {2, 4}} 
𝑃5 = {{1, 2, 3}, {4}} 
𝑃6 = {{1, 2, 4}, {3}} 
𝑃7 = {{1, 3, 4}, {2}} 
𝑃8 = {{2, 3, 4}, {1}} 
𝑃9 = {{1, 2, 3, 4}} 
𝑃10 = {{1}, {2, 3}, {4}} 
𝑃11 = {{2}, {1, 3}, {4}} 
𝑃12 = {{3}, {2, 1}, {4}} 
𝑃13 = {{2}, {1, 4}, {3}} 
𝑃14 = {{1}, {2, 4}, {3}} 
𝑃15 = {{1}, {4, 3}, {2}} 
 
 
 
 
 
 
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Otros casos análogos al de este ejemplo se dan para cualquier otro conjunto de cuatro 
elementos. Esto es: Si 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Entonces todas las particiones de 𝑆 vienen dadas por: 
𝑃1 = {{𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑑}} 
𝑃2 = {{𝑎, 𝑏}, {𝑐, 𝑑}} 
𝑃3 = {{𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑑}} 
𝑃4 = {{𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑑}} 
𝑃5 = {{𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑑}} 
𝑃6 = {{𝑎, 𝑏, 𝑑}, {𝑐}} 
𝑃7 = {{𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏}} 
𝑃8 = {{𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎}} 
𝑃9 = {{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}} 
𝑃10 = {{𝑎}, {𝑏, 𝑐}, {𝑑}} 
𝑃11 = {{𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑑}} 
𝑃12 = {{𝑐}, {𝑏, 𝑎}, {𝑑}} 
𝑃13 = {{𝑏}, {𝑎, 𝑑}, {𝑐}} 
𝑃14 = {{𝑎}, {𝑏, 𝑑}, {𝑐}} 
𝑃15 = {{𝑎}, {𝑑, 𝑐}, {𝑏}} 
 
 
 
 
 
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2. Relaciones de equivalencia 
Los siguientes conceptos dados a continuación, en los ítems 2.1 y 2.2, nos ayudarán a 
comprender mejor la definición de Relación de equivalencia sobre un conjunto dado. 
2.1. Producto Cartesiano 
Sean 𝐴 y 𝐵dos conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵, denotado por 𝐴 × 𝐵, se 
define como el conjunto de pares ordenados (𝑎, 𝑏)tales que 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵, esto es: 
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵} 
Caso Particular: Si 𝐵 = 𝐴 
Veamos el siguiente ejemplo: 
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 } ; 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }. Tenemos 𝐵 = 𝐴 
Luego, 𝐴 × 𝐴 = {(𝑎, 𝑎), (𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑎), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑐)} 
Al realizar el producto cartesiano, debemos tomar cada elemento de 𝐴 por cada elemento 
de 𝐵, que en este caso es igual a 𝐴, podemos realizarlo de la siguiente forma: 
Primero tomamos el elemento 𝑎 de 𝐴 y cada elemento de 𝐵 
 
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }, 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }𝑎 ∈ 𝐴y 𝑎 ∈ 𝐵, tenemos el par (𝑎, 𝑎) 
 
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }, 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵, tenemos el par (𝑎, 𝑏) 
 
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }, 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 }𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑐 ∈ 𝐵, tenemos el par (𝑎, 𝑐) 
Así de manera análoga tomamos el elemento 𝑏 de 𝐴 y cada elemento de 𝐵 y obtenemos los 
siguientes pares (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐). 
Finalmente, tomando el elemento 𝑐 de 𝐴 y cada elemento de 𝐵, obtenemos 
(𝑐, 𝑎), (𝑐, 𝑏) y (𝑐, 𝑐). 
 
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2.2. Relaciones definidas en un conjunto A 
Toda relación 𝑹 en un conjunto 𝑨 es un subconjunto de 𝑨 × 𝑨, esto es: 
𝑹 ⊂ 𝑨 × 𝑨 . Identificamos 𝑹 con el siguiente conjunto {(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦} de pares de elementos 
de 𝑨, donde 𝑥 e 𝑦 están relacionados por 𝑅, la cual representa una condición. 
En particular, estudiaremos las relaciones binarias que son de equivalencia, cuya definición 
se da a continuación. 
2.2.1. Relación de equivalencia 
Una relación 𝑹 es de equivalencia sobre un conjunto 𝑨 si se verifican las siguientes 
propiedades: 
1. Reflexividad: Para todo 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 𝑅 𝑥 
Significa que el par (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 
2. Simetría: Para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 
Significa que si (𝑥, 𝑦)∈ 𝑅→(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 
3. Transitividad: Para todo (𝑥, 𝑦), (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅, 𝑥 𝑅 𝑦 ˄ 𝑦 𝑅 𝑧 → 𝑥 𝑅 𝑧 
Significa que si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅˄ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅→(𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5 } y 𝑆 = 𝐴 × 𝐴. Definimos la relación 𝑅 en 𝑆 por: 
(𝑥, 𝑦) 𝑅 (𝑧, 𝑤)↔𝑥 + 𝑦 = 𝑧 + 𝑤 
Para averiguar si la relación así definida es de equivalencia, verificamos las tres condiciones 
dadas en la definición 2.2.1, sin necesidad de describir el conjunto 𝑅 ⊂ 𝑆 × 𝑆 y utilizando 
solo la condición dada por 𝑅. 
1. Reflexividad: 
 Sea 𝑥 ∈ 𝑆, entonces 𝑥 = (𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏) 𝑅 (𝑎, 𝑏) ya que 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 
2. Simetría: 
 Sea (𝑎, 𝑏) 𝑅 (𝑐, 𝑑), entonces 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 ↔ 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 + 𝑏 ↔(𝑐, 𝑑) 𝑅 (𝑎, 𝑏) 
3. Transitividad: 
Sean (𝑎, 𝑏) 𝑅 (𝑐, 𝑑) y (𝑐, 𝑑) 𝑅 (𝑒, 𝑓), entonces 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑y𝑐 + 𝑑 = 𝑒 + 𝑓. De aquí, 
por transitividad de la igualdad 𝑎 + 𝑏 = 𝑒 + 𝑓 ↔(𝑎, 𝑏) 𝑅 (𝑒, 𝑓) 
 
Luego, la relación 𝑅 en 𝑆 es de equivalencia. 
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Observación: En ocasiones no es conveniente describir por extensión el conjunto 𝑅 si no se 
requiere en el ejercicio, ya que podría ser muy complejo (como en este caso, ya que 𝑆 es un 
producto cartesiano) o bien porque simplemente no existe necesidad de hacerlo. 
2.2.2. Clases de equivalencia y Conjunto Cociente 
La clase de equivalencia de un elemento 𝑎 ∈ 𝐴, 𝐴 ≠ ∅, se define como el conjunto de 
elementos de 𝐴 que están relacionados con 𝑎; esto es: 
[𝑎] = {𝑥 ∈ 𝐴/ 𝑥 𝑅 𝑎} 
Mientras que el Conjunto Cociente es la colección de todas las clases de equivalencia de 𝐴 
por 𝑅; esto es: 
𝐴/𝑅 = { [𝑎] / 𝑎 ∈ 𝐴} 𝑅: Relación de equivalencia definida en 𝐴. 
Observación: 
➢ Vemos que cada elemento del conjunto 𝐴 pertenece a una clase de equivalencia. En 
efecto, 
Para cada 𝑎 ∈ 𝐴, tenemos 𝑎 𝑅 𝑎, entonces 𝑎 ∈ [𝑎] 
 
➢ Además, si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, [𝑎] = [𝑏]si y solo si 𝑎 𝑅 𝑏 → [𝑎]⋂[𝑏] = ∅ si y solo si 𝑎 no está 
relacionado con 𝑏 por 𝑅. Es decir, dos clases de equivalencia distintas son disjuntas. 
 
➢ Y finalmente la unión de todas las clases de equivalencia, dadas en el Conjunto 
Cociente, es el conjunto 𝐴. 
Entonces, podemos concluir que las clases de equivalencia de 𝐴 por 𝑅 forman una Partición 
de A. 
 
 
 
 
 
 
 
Toda partición tiene una relación de equivalencia asociada y 
Toda relación de equivalencia genera una partición. 
 
 
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Veamos el siguiente ejemplo: 
Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5 } y 𝑆 = 𝐴 × 𝐴. Definimos la relación de equivalencia 𝑅 en 𝑆 por: 
(𝑥, 𝑦) 𝑅 (𝑧, 𝑤)↔𝑥 + 𝑦 = 𝑧 + 𝑤 
Para obtener la partición 𝑷 de 𝑺 originado por 𝑹, debemos hallar todas sus clases de 
equivalencia, [(𝑎, 𝑏)] = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆/(𝑥, 𝑦) 𝑅 (𝑎, 𝑏)} 
[(𝑎, 𝑏)]={(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆/𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏} 
Será de utilidad describir el conjunto 𝑆 = 𝐴 × 𝐴 
𝑆 = {
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3),
(3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4, 5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)
} 
Ahora, (𝑥, 𝑦) 𝑅 (𝑧, 𝑤)↔𝑥 + 𝑦 = 𝑧 + 𝑤, entonces en la clase de equivalencia del elemento 
(1,1) de 𝑆, se encuentran todos los elementos de 𝑆, cuyas componentes suman 2. 
En la clase de equivalencia de (1,2) todos los elementos de 𝑆, cuyas componentes suman 3 y 
así sucesivamente…hasta llegar a la clase de los elementos cuyas componentes suman 10. 
Así tenemos que: 
[(1, 1)] = {(1,1)}= 𝑃1 
[(1, 2)] = {(1,2), (2,1)} = [(2, 1)]= 𝑃2 
[(1, 3)] = {(1,3), (3,1), (2,2)} = [(1,3)] = [(3, 1)] = [(2,2)] = 𝑃3 
[(1, 4)] = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)} = [(4,1)] = [(2,3)] = [(3, 2)] = 𝑃4 
[(1, 5)] = {(1,5), (5,1), (3,3), (4,2), (2,4)} = [(5, 1)] = [(4, 2)] = [(2, 4)] = [(3, 3)]= 𝑃5 
[(2, 5)] = {(2,5), (5,2), (4,3), (3,4)} = [(5,2)] = [(4, 3)] = [(3,4)] = 𝑃6 
[(3, 5)] = {(3,5), (5,3), (4,4)} = [(5, 3)] = [(4, 4)] = 𝑃7 
[(4, 5)] = {(4,5), (5,4)} = [(5, 4)] = 𝑃8 
[(5, 5)] = {(5,5)} = 𝑃9 
De aquí, la partición 𝑷 de 𝑺 originado por 𝑹 es la siguiente: 
𝑃 = {𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, P5, P6, P7, P8, P9} 
 
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Luego, tomando un representante de cada clase de equivalencia, el conjunto cociente es: 
𝑆/𝑅 ={[(1, 1)], [(2, 1)], [(2, 2)], [(2, 3)], [(3, 3)], [(4, 3)], [(4, 4)], [(5, 4)], [(5, 5)]} 
3. Los enteros módulo n ( ℤ𝒏) 
Estudiaremos a continuación particiones del conjunto ℤ de los números enteros, asociadas a 
la relación de congruencia, que es una relación de equivalencia sobre ℤ, como veremos. 
Comencemos definiendo cuándo dos enteros 𝑎, 𝑏 son congruentes módulo 𝑛. 
Decimos que si 𝑎, 𝑏, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 > 0, 
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) si y solo si 𝑎 − 𝑏 = 𝑘𝑛 para algún 𝑘 ∈ ℤ 
Otras definiciones alternativas son: 
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) si y solo si 𝑛| 𝑎 − 𝑏 
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) si y solo si 𝑎 y 𝑏 tienen el mismo resto en la división por 𝑛. 
Propiedades: 
Si 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑥, 𝑛 ∈ ℤ con 𝑛 > 0 
❖ 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 (𝑛) → 𝑎 + 𝑥 ≡ 𝑏 + 𝑥 𝑚𝑜𝑑 (𝑛) y 𝑎 ∙ 𝑥 ≡ 𝑏 ∙ 𝑥 𝑚𝑜𝑑 (𝑛) 
 
❖ 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 (𝑛)y𝑐 ≡ 𝑑 𝑚𝑜𝑑 (𝑛) → 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 𝑚𝑜𝑑 (𝑛)y 
𝑎 ∙ 𝑥 ≡ 𝑏 ∙ 𝑥 𝑚𝑜𝑑 (𝑛) 
 
❖ Reflexividad: 𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑(𝑛) ya que 𝑛| 𝑎 − 𝑎 
 
❖ Simetría: Si 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛), entonces 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑(𝑛) 
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) implica 𝑎 − 𝑏 = 𝑘𝑛 para algún 𝑘 ∈ ℤ 
implica −(𝑏 − 𝑎) = 𝑘𝑛 → 𝑏 − 𝑎 = (−𝑘)𝑛 
entonces 𝑛| 𝑏 − 𝑎 → 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑(𝑛) 
 
❖ Transitividad: Si 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) y 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑(𝑛), entonces 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑(𝑛) 
𝑎 ≡ 𝑏𝑚𝑜𝑑(𝑛) implica 𝑎 − 𝑏 = 𝑝𝑛 para algún 𝑝 ∈ ℤ ( 1) 
𝑏 ≡ 𝑐𝑚𝑜𝑑(𝑛) implica 𝑏 − 𝑐 = 𝑡𝑛 para algún 𝑡 ∈ ℤ ( 2) 
De (1) y (2) 𝑎 − 𝑐 = 𝑘𝑛 donde 𝑘 = 𝑝 + 𝑡, 𝑘 ∈ ℤ 
Entonces 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑(𝑛) 
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Estas últimas tres propiedades nos indican que la congruencia módulo 𝑛 es una relación de 
equivalencia sobre ℤ 
3.1. Clases residuales 
Como la congruencia módulo 𝑛 es una relación de equivalencia sobre ℤ, genera una 
partición de ℤ en 𝑛 clases de equivalencia: [0], [1], [2], … , [𝑛 − 1] de manera que dos clases 
distintas son disjuntas y la unión de todas ellas es ℤ. 
A tales clases de equivalencia se las denomina Clases residuales módulo 𝒏. 
De manera general, [𝑟] = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≡ 𝑟 𝑚𝑜𝑑(𝑛)} 
 
 
 
Veamos los siguientes ejemplos: 
Si 𝑛 = 2, ℤ queda dividido en dos clases de equivalencia, 
[0] = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑(2)} = {… . , −2,0,2, … } 
[1] = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(2)} = {… . , −1,1,3, … } 
Si 𝑛 = 3, ℤ queda dividido en tres clases de equivalencia, 
[0] = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑(3)} = {… . , −3, 0, 3, … } 
[1] = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(3)} = {… . , −2, 1, 4, … } 
[2] = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑(3)} = {… . , −1, 2, 5, … } 
3.2. Conjunto Cociente 
Observamos que para cada 𝑛 tenemos una partición distinta de ℤ, escogiendo un 
representante de cada celda para representar cada clase, tenemos lo que se conoce como 
Conjunto Cociente. 
Es decir, a la colección de tales clases de equivalencia denominamos Conjunto Cociente, que 
es denotado por ℤ/𝑛ℤ o simplemente ℤ𝒏 y viene dado por: 
 ℤ𝒏 = {[0], [1], [2], … , [𝑛 − 1]} 
Generalmente se toma el menor entero no negativo para representar cada 
clase, aunque se puede tomar cualquier otro elemento de la misma clase. 
 
 
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A este conjunto se lo conoce también como Los enteros módulo n. 
3.3. Propiedades 
❖ Si 𝑎, 𝑏 son elementos de la misma clase residual, 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) 
Por ejemplo, en ℤ2, 0 y 2 son elementos de [0] y se cumple que 0 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑(2) 
❖ Si [𝑠] y [𝑡] son dos clases residuales distintas, con 𝑎 ∈ [𝑠] y 𝑏 ∈ [𝑡], 𝑎 ≢ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑛) 
Por ejemplo, en ℤ3, 0 ∈ [0] y 1 ∈ [1] y se cumple que 0 ≢ 1 𝑚𝑜𝑑(3) 
3.4. Teorema 
El siguiente teorema nos brinda propiedades muy importantes del conjunto ℤ𝑛 y las 
características de su estructura como sistema algebraico. 
a) Si 𝑛 ∈ ℤ+, [𝑎], [𝑏] ∈ ℤ𝑛, se pueden definir las operaciones suma y multiplicación en 
ℤ𝑛 mediante: [𝑎] + [𝑏] = [𝑎 + 𝑏] ; [𝑎][𝑏] = [𝑎𝑏] 
b) Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan 
mediante la propiedad distributiva. 
La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el producto. 
c) Todo elemento [𝑎] ∈ ℤ𝑛 tiene su opuesto respecto a la suma, [𝑛 − 𝑎] y si 𝑛 es primo, 
para cada [𝑎] ∈ ℤ𝑛 con [𝑎] ≠ [0] tiene inverso multiplicativo y es único. 
3.5. Ejemplos 
Veremos a continuación algunos ejemplos de cómo hallar el inverso multiplicativo en ℤ𝑛, 
cuando 𝑛 es primo. 
1. Hallar el inverso multiplicativo de [5] en ℤ17 
Como el módulo 𝑛 = 17 es un número primo, sabemos por la propiedad c) del 
Teorema anterior que cada elemento de ℤ17 distinto de cero, tiene inverso 
multiplicativo y es único. 
Supongamos 𝑎 es el inverso multiplicativo de [5] en ℤ17. Entonces se debe verificar: 
[5] ∙ [𝑎] = [1] 
[5 ∙ 𝑎] = [1] Por definición de multiplicación en ℤ𝑛 
 
5 ∙ 𝑎 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(17) Por propiedad: Si dos clases de equivalencias son iguales, 
entonces sus elementos son congruentes módulo 𝑛. 
 
5𝑎 − 1 = 17𝑘 𝑘: 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Por definición de congruencia. 
 
De aquí: 𝑎 =
17𝑘+1
5
 
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Sabemos que 𝑎 es un entero y pertenece a ℤ17 
Entonces, comenzaremos dando a 𝑘 valores enteros 0, 1, 2, 3, … de modo que 
encontremos para el valor de 𝑎 un número entero, de la siguiente manera: 
Para 𝑘 = 0, tenemos que 𝑎 =
1
5
∉ ℤ 
Para 𝑘 = 1, tenemos que 𝑎 =
18
5
∉ ℤ 
Para 𝑘 = 2, tenemos que 𝑎 = 7 ∈ ℤ 
Luego, [7] es el inverso multiplicativo de [5] en ℤ17 
2. Hallar el inverso multiplicativo de [19] en ℤ29 
Como el módulo 𝑛 = 29 es un número primo, sabemos por la propiedad c) del 
Teorema anterior que cada elemento de ℤ29 distinto de cero, tiene inverso 
multiplicativo y es único. 
Supongamos 𝑎 es el inverso multiplicativo de [19] en ℤ29. Entonces se debe verificar: 
[19] ∙ [𝑎] = [1] 
[19 ∙ 𝑎] = [1] Por definición de multiplicación en ℤ𝑛 
 
19 ∙ 𝑎 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(29) Por propiedad: Si dos clases de equivalencias son iguales, 
entonces sus elementos son congruentes módulo 𝑛. 
 
19𝑎 − 1 = 29𝑘 𝑘: 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Por definición de congruencia. (1) 
 
De aquí: 𝑎 =
29𝑘+1
19
 
Sabemos que 𝑎 es un entero y pertenece a ℤ29 
Entonces, comenzaremos dando a 𝑘 valores enteros 0, 1, 2, 3, … de modo que 
encontremos para el valor de 𝑎 un número entero, de la siguiente manera: 
Para 𝑘 = 0, tenemos que 𝑎 =
1
19
∉ ℤ 
Para 𝑘 = 1, tenemos que 𝑎 =
30
19
∉ ℤ 
Para 𝑘 = 2, tenemos que 𝑎 =
59
19
∉ ℤ 
Como no hay restricciones sobre 𝑘, podría ser cualquier valor entero, pero como 
 𝑎 ∈ ℤ29, 𝑎 debe ser uno de los siguientes valores: {0, 1, 2, 3, … ,28} 
Entonces, también podríamos dar valores a 𝑎 si despejamos el entero 𝑘 de la 
ecuación (1) 
𝑘 =
19𝑎 − 1
29
 
Para 𝑎 = 28, tenemos que 𝑘 =
531
29
∉ ℤ 
Para 𝑎 = 27, tenemos que 𝑘 =
512
29
∉ ℤ 
Para 𝑎 = 26, tenemos que 𝑘 = 17 ∈ ℤ 
 
Luego, [26] es el inverso multiplicativo de [19] en ℤ29 
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Bibliografía 
Dorronsoro, J. (1996). Números, grupos y anillos. Madrid, ES: ADDISON WESLEY 
Pakhrou, T. (2013, enero). Algebra II. RUA. http: //hdl.handle.net/10045/26435 
Ortiz Granada, G. (s.f.). Teoría de Grupos. Notas de Clases. Departamento de matemática, 
FACEN-UNA