2_Alg_5° SM_Cap13_2021

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ÁlgebraGuía Académica IV - Ciencias (5.o-A-SM-21)
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Discriminante 
Se denomina así a la cantidad subradical de la 
solución general b2 – 4ac, y se le simboliza por la 
letra griega mayúscula ∆; es decir:
2 4b ac  
Raíces de la ecuación cuadrática
De la solución general, se obtienen:
1 2 ó 2 2
b b
x x
a a
     
 
Para conocer los valores de estas raíces, a partir de 
la ecuación polinomial:
ax2 + bx + c = 0, a  0
Se reemplazan directamente los valores de los 
parámetros a, b y c.
Pero, si el polinomio cuadrático se puede factorizar 
fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, 
obteniéndose dos factores lineales, para luego 
igualar a cero cada uno de éstos.
Discusión de las raíces de la ecuación 
cuadrática con coeficientes reales
ax2 + bx + c = 0
La naturaleza de las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c; a, b, c  y a  0
Capítulo
13 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O ECUACIONES CUADRÁTICAS
Concepto
Denominada también ECUACIÓN CUADRÁTICA, 
es aquella ecuación polinomial de una incógnita 
de la forma general:
ax2 + bx + c = 0, a  0
Resolución de la ecuación de segundo grado
Sea: ax2 + bx + c = 0, a  0 ... (1)
  Multiplicando miembro a miembro por 4a, así:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
  Transponiendo: 4a2x2 + 4abx = –4ac
  Sumando b2 en ambos miembros, para formar 
en el primero un trinomio cuadrado perfecto:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac
 Luego: (2ax + b)2 = b2 – 4ac
  Extrayendo raíz cuadrada, se tiene:
|2ax + b| = 2 – 4b ac
2ax + b = ± 2 – 4b ac 
  Despejando la incógnita x, resulta:
2 4
2
b b ac
x
a
  

que viene a ser la solución general de la ecuación 
cuadrática (1). Establecida por FRANCOIS VIÈTE 
en el siglo XVI.
MARCO TEÓRICO
se 
2
Para cono
la e
ón general b2 – 4a
letra griega mayúscula ∆; es 
a4
ción c
eneral,
1
b
x1
b

ecua
ución g
Raíces de 
De la solu
P
segundo grado
0 ... (1)
bro a miembro por 4 sí:
4abx 4ac
4a2 4abx =x
ambos miembros, para formar 
trinomio cuadrado perfecto:
2
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viene caracterizada por el valor que asume el 
discriminante ∆, es decir:
1.er Caso
 Si ∆ > 0, las raíces serán reales y diferentes.
 Por ejemplo
 Resuelva 3x2 – 5x + 1 = 0.
 * Cálculo del discriminante:
 ∆ = (–5)2 – 4(3)(1) = 13, donde ∆ > 0
 Luego, reemplazando en la solución general:
( 5) 13
2(3)
x
  

 De aquí 1 2
5 13 5 13
ó
6 6
x x
 
 
 Las raíces son reales y diferentes.
2.º Caso
 Si ∆ = 0, las raíces serán reales e iguales; 
esto es, una raíz real doble.
Por ejemplo
Resuelva 4x2 – 12x + 9 = 0.
 Análogamente: ∆ = (–12)2 – 4(4)(9) = 0
 En la solución general: 
(12) 0
2(4)
x
 

 De aquí: 1 2
3
2
x x 
3.er Caso
 Si ∆ < 0, las raíces serán imaginarias y 
conjugadas.
Por ejemplo 
Resuelva x2 – 2x + 2 = 0.
 De igual manera: ∆ = (–2)2 – 4(1)(2) = –4
 donde ∆ < 0, y en la solución general:
( 2) 4
2(1)
x
   

 De aquí: x1 = 1 + i ó x2 = 1 – i
 las cuales son imaginarias y conjugadas.
Interpretación geométrica de las raíces de la 
ecuación cuadrática con coeficientes reales
Sean las funciones:
y = F(x) = ax2 + bx + c, a  0
 y = G(x) = 0
Si F(x) = G(x) ..... ()
Se obtiene la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0, a  0
De la igualdad de funciones (), se deben calcular 
aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas 
de ambas funciones (y1 e y2) son las mismas; 
es decir, geométricamente, hallar los puntos de 
intersección de las gráficas de éstas funciones, 
como se muestra en la figura:
Y
P
(x1, y1) (x2, y2)
Q
X
y = F(x)
y = G(x)
donde y1 = y2 = 0 y x1  x2
Siendo las abscisas de los puntos de intersección 
(x1, 0) y (x2, 0) de las gráficas de F y G, las raíces 
de la ecuación cuadrática: 
ax2 + bx + c = 0, a  0
Ejemplo explicativo
Resuelva gráficamente 2x2 – x – 15 = 0.
Esbozemos la gráfica de la función cuadrática.
y = F(x) = 2x2 – x – 15
Y
P
(3, 0)
Q
X
y = F(x)
F
5
– , 0
2
 
 
 
erán reales e iguales; 
doble
x + 9 = 0.x
∆ = 2 – 4(4)(9) = 0
neral: 
12) 0
2(4)
2)
como se muestra en la figur
P
( 1, y1)
F(x
donde y = y2 = 0
Siendo las
(x
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las abscisas de los puntos P y Q de intersección de 
la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan 
las raíces o soluciones de la ecuación.
Observar que, para:
Se generan los puntos:
5 5F – 0 52 P , 02
2
3 F(3) 0
Q(3, 0)
x y
x y
               
     
Interpretación geométrica de las raíces 
de la ecuación cuadrática de coeficientes 
reales
En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 
0, a  0, sabemos que la naturaleza de sus 
raíces viene dada por el valor del discriminante ∆. 
Según esto, se obtienen gráficamente lo siguiente:
Propiedad
Dada la ecuación cuadrática con coeficientes 
racionales: ax2 + bx + c = 0, a  0
Si su discriminante ∆ es un número cuadrado 
perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre 
serán racionales. Si no es así, serán irracionales 
y conjugados.
Ejemplo
Resuelva 2x2 – x – 6 = 0.
* Cálculo del discriminante:
 ∆ = (–1)2 – 4(2)(–6) = 49 (cuadrado perfecto)
 Luego reemplazando en la solución general:
 ( 1) 49
2(2)
x
  
 , de la cual se obtienen:
x1 = 2 ó x2 = –3/2
 Las cuales son números racionales.
Propiedades de las raíces de la ecuación 
cuadrática (Teoremas de Viète)
Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0, a  0
entonces, se verifica las siguientes propiedades:
T1. Suma de raíces 1 2
b
x x
a
  
T2. Producto de raíces 1 2
c
x x
a

T3. Diferencia de raíces 1 2x x a

 
Las anteriores propiedades se verifican en una 
ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza 
arbitraria (reales o complejos).
Ejemplo explicativo
Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:
2x2 + 6x + 3 = 0
se cumplen las relaciones de Viète:
  1 2
6
3
2
x x    
  1 2
3
2
x x 
∆ = (6)2 – 4(2)(3) = 12, luego:
sus 
inante ∆. 
e lo sigu
Propiedades de las raíc
cuadrática (Teoremas de V
ecu
+ c =
ca las 
uiente:
drática (Te
Si aíces 
+ b
e verif
1
entonces, 
T1. Suma de raíces 
T2. Producto de
T3
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  1 2
12 2 3
3
2 2
x x   
Propiedades auxiliares 
T4. (x1 + x2)
2 + (x1 – x2)
2 = 2(x1
2 + x2
2)
T5. (x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4x1x2
Formación de una ecuación cuadrática a 
partir de sus raíces (Teorema recíproco de 
Viète)
Demostración inductiva
Sean x1 y x2 las raíces de cierta ecuación 
cuadrática de incógnita x; es decir:
x = x1  x = x2
Por transposición de términos, se tienen:
x – x1 = 0  x – x2 = 0
los cuales se obtienen a partir de:
(x – x1)(x – x2) = 0
Efectuando: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
Llamando a: x1 + x2 = S
 x1x2 = P
Se obtiene: x2 – Sx + P = 0 ... ()
(A esta ecuación se le denomina canónica, 
normalizada u ordinaria, debido a que su 
coeficiente principal es la unidad).
Ejemplo explicativo 1
Forme una ecuación de segundo grado, cuyas raíces 
sean 3 29 3 29ó .
10 10
 
* Asumiendo que dichos valores son x1 y 
x2 respectivamente. Calculemos S y P por 
separado:
3 29 3 29 6 3
S
10 10 10 5
 
   
223 29 3 29 3 29 20 1
P
10 10 100 100 5
    
         
  
 Aplicando la fórmula (), se tiene:
2 3 1 0
5 5
x x         
   
 que expresada con coeficientes enteros, resulta:
5x2 – 3x – 1 = 0
 Ejemplo explicativo 2
 Construya una ecuación cuadrática que acepte
 como raíces a 
3
ó ( 1 2 )
2
i
i
    
 
.
 Calculando S y P, se tienen:
 
1 53S ( 1 2 )
2 2
ii i
      
 
 
5 53P ( 1 2 )
2 2
ii i
      
 
 La ecuación formada, será:
2 1 5 5 5 0
2 2
i i
x x
          
   
 La cual se reduce a:
2x2 – (1 + 5i)x – 5 + 5i = 0
 Siendo 1i   la unidad imaginaria.
Propiedades particulares
A) En la ecuación: ax2 + bx + c = 0, a  0.
 La condición que se debe cumplir para que:
1. Susraíces sean asimétricas u 
opuestas
 Es decir, las raíces sean iguales en valor 
absoluto pero de signos contrarios.
 Por propiedad: 1 2 0
b
x x
a
   
0
de:
x2) =
1 + x
x2 =
= P
+ P = 0
 como ó 
3 i



ene
1
)2 ) ))22
1 2( 11 211

0
x +x
 Calculando S y P
( 1(( 1((

= 
S  33333
 22
P  i333
 2
 2
) )
 La ecuación forma
2
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 Luego, la condición necesaria y suficiente 
es:
b = 0
 La ecuación cuadrática que admite raíces 
simétricas, es de la forma genérica:
ax2 + c = 0, a  0
2. Sus raíces sean recíprocas o inversas
 Es decir, una raíz es la inversa de la otra.
 Por propiedad: 1 2 1
c
x x
a
 
 Entonces, la condición necesaria y 
suficiente es: c = a
 La ecuación cuadrática que admite raíces 
recíprocas, tiene la forma genérica:
ax2 + bx + a = 0, a  0
3. Una de sus raíces es igual a la unidad
 Es decir, x = 1 verifica la ecuación 
cuadrática: ax2 + bx + c = 0, a  0.
 Reemplazando este valor, resulta la 
condición necesaria y suficiente:
a + b+ c = 0
B) Para el siguiente sistema de ecuaciones 
cuadráticas:
a1x
2 + b1x + c1 = 0, a1  0
a2x
2 + b2x + c2 = 0, a2  0
 La condición que se debe cumplir para que:
1. Ambas ecuaciones tengan las 
mismas raíces
 Es decir, que las ecuaciones sean 
equivalentes. Se debe cumplir la relación de 
proporcionalidad entre los coeficientes de sus 
respectivos términos semejantes, la cual es:
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
2. Ambas ecuaciones admitan una raíz 
común - Teorema de Bezout
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( )( ) ( )a b a b b c b c a c a c   
 Siendo esta relación, la CONDICIÓN 
DE COMPATIBILIDAD conocida con el 
nombre de BEZOUTIANA, para que dos 
ecuaciones cuadráticas de una incógnita, 
tengan una raíz común, cuyo valor se 
determina así:
1 1
2 2 1 2 2 1
1 1 1 2 2 1
2 2
a c
a c a c a c
x
a b a b a b
a b

   

Formas simétricas de las potencias de las 
raíces de la ecuación de segundo grado
Se denomina así a las expresiones de la forma 
+
1 2 , 
n nx x n   
 
 , cuya característica es que al 
intercambiar x1 por x2 y x2 por x1, la forma de 
la expresión original no se altera; siendo x1 y x2 
raíces de la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0, a  0
Establezcamos una fórmula que nos permita 
relacionar la suma de las raíces, de los cuadrados, 
de los cubos, de las cuartas, y en general de 
las enésimas potencias de las raíces; las cuales 
denotaremos por S1, S2, S3, S4, y en general Sn.
Para facilitar el procedimiento de la deducción 
llevaremos la ecuación cuadrática general a su 
forma canónica:
x2 + px + q = 0
íces 
ca:
 0
s es ig
 1 
x2 +
do 
cesa
+ c = 0
determina así:
1
2
2
c2
b
a2
ual a l
erifica
+ c
valor, resulta la 
ficiente:

a unidad
a ecuación 
a  0.
Formas simétricas d
raíces de la ecua
Se denomi
 n


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donde: 
b c
p y q
a a
 
 y además x1 + x2 = –p y x1x2 = q .... ()
Construyendo progresivamente las sumas 
requeridas:
1. x1 + x2 = S1 = –p ... (1)
 S1 +p = 0 ... ()
2. 
2
2 2
1 2 1 2 1 2– 2x x x x x x
        
   
 De (), reemplazando:
2 2 2
1 2 (– ) – 2( )x x p q 
 Luego: 2 2 21 2 2S – 2x x p q  
 S2 – p
2 + 2q = 0
 S2 + pS1 + 2q = 0 ... ()
 De la misma manera:
3. 
3
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2– 3x x x x x x x x
           
    
 Por (1) y (), reemplazando:
 
3 3 3
1 2 (– ) – 3( )(– )x x p q p 
 Luego: 3 3 31 2 3S – 3 ... (3)x x p pq   
S3 + p
3 – 3pq = 0
S3 + p (p
2 – 2q) + q (–p) = 0
 De (1) y (2), se deduce que:
S3 + pS2 + qS1 = 0 ..... ()
 Asimismo:
4. 
4 2
4 4 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2– 4 – 6x x x x x x x x x x
               
      
 Sustituyendo de () y de (2):
 
4 4 4 2 2
1 2
4 4 4 2 2
1 2 4
(– ) – 4( ) – 2 – 6( )
S – 4 2
x x p q p q q
x x p p q q
    
 
   
 
 Luego: S4 – p
4 + 4p2q – 2q2 = 0
 S4 + p(–p
3 + 3pq) + q(p2 – 2q) = 0
 De (2) y (3), reemplazando:
 S4 + pS3 + qS2 = 0 ...... ()
 Por lo tanto, de (), (), (), (), resumiendo:
 S1 + p = 0
 S2 + pS1 + 2q = 0
 S3 + pS2 + qS1 = 0
 S4 + pS3 + qS2 = 0
 .............................
 En general Sn + pSn–1 + qSn–2 = 0
 y teniendo en cuenta que , 
b c
p q
a a
  .
 La relación anterior se podrá escribir así:
aSn + bSn–1 + cSn–2 = 0
 A la cual se le denomina LEY GENERAL 
DE RECURRENCIA de las potencias de las 
raíces de la ecuación cuadrática.
Ejemplo explicativo
 Calcule N = (1 + 3)6 + (1 – 3)6.
  Podemos considerar que (1 + 3) y (1 – 3) 
son raíces de una ecuación de segundo grado; 
es decir: x1 = 1 + 3 y x2 = 1 – 3 y la 
ecuación de la cual provienen es:
x2 – (x1 + x2)x + (x1x2) = 0
 Reemplazando dichos valores se obtiene:
x2 – 2x – 2 = 0 ... (1)
)
33– 333

mpl
3 (2
3 3 (3)3 3
 S2 + pS1 +
 + qS1 
x1 2x11 21 21 2
do:
3( )(– ))(–)(–
 S4 +
xx1 111
p S2 =
 .......................
 En general S + pS
 y teniendo en cuenta 
 La relación anterior
aS
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 Luego: p = –2 y q = –2
 Entonces, la expresión N nos representa la 
suma de las SEXTAS POTENCIAS de las 
raíces de la ecuación (1).
 Así: S6 = x1
6 + x2
6
 Este valor, se puede obtener aplicando 
sucesivamente la ley general de recurrencia, 
tal como sigue:
S1 – 2 = 0  S1 = 2
S2 – 2S1 – 4 = 0  S2 = 8
S3 – 2S2 – 2S1 = 0  S3 = 20
S4 – 2S3 – 2S2 = 0  S4 = 56
S5 – 2S4 – 2S3 = 0  S5 = 152
S6 – 2S5 – 2S4 = 0  S6 = 416
 Finalmente: N = 416
1. Halle la suma de los cuadrados de las raíces 
de la ecuación
 (2k + 2)x2 + (4 – 4k)x + (k – 2) = 0
 donde una raíz es el inverso multiplicativo de 
la otra. (UNMSM 2008-I)
A) 80/9 B) 31/9 C) 61/9
D) 82/9 E) 9/82
 Resolución
 Del enunciado del problema, producto de raíces 
es 1.
 Se tiene 2 1 
2 2
k
k

 

 k – 2 = 2k + 2
–k = 4
 k = –4
Reemplazando en la ecuación:
–6x2 + 20x – 6 = 0
÷2  3x2 – 10x + 3 = 0 (3x – 1)(x – 3) = 0
 3x –1
–3 x
 x1 = 1/3, x2 = 3
Luego: 
2
2 2 2
1 2
1 1 82
3 9
3 9 9
x x        
 
Rpta.: D
2. Cuál es el producto de las raíces reales de la 
ecuación
2 2
2 3 0
1 1 1 1 11 1 1
x
x
x x xx x
  
     
 (UNMSM 2007-II)
A) –2 B) 0 C) –1
D) 2 E) 6
 
 Resolución
 Resolviendo:
2 2 2
2 2
2 3 0
1 1 1
x
x x x x x x
xx x
  
     
3 2
2 2 2
2 3 0
1 1 1
x x x
x x x x x x
  
     
 Efectuando:
 
2
2 2
( 3 2) ( 1)( 2)0 0
1 1
x x x x x x
x x x x
     
   
 Como: x ≠ 0  x = 1  x = 2
 Producto de raíces: (1)(2) = 2
Rpta.: D
PROBLEMAS RESUELTOS
= 0
ultiplica
9 
/82
el p
k – 2 = 2k k + 2k
Cuál es el producto 
ecuac

1
ativo de
C) 6
a, producto de raíces
11
x
x

11
/9
2x2
(UNMSM 2007-II)
A) –2 B) 0 
D) 2 E) 6
Resolu
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44
3. Si las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 
0 son m y n, entonces, ¿cuál es la ecuación 
cuyas raíces son (m + n) y mn? (UNFV 2003)
A) a2x2 + a(b – c)x – bc = 0
B) a2x2 + a(b – c)x + bc = 0
C) a2x2 – a(b + c)x + bc = 0
D) a2x2 – a(b + c)x – bc = 0
E) a2x2 + bx + c = 0
 Resolución
Por propiedades de las raíces:
,b cm n mn
a a
  
La ecuación a formarse es:
x2 – Sx +P = 0 ... ()
S Sc b c b
a a a
   
2P P –
c b bc
a a a
       
  
 En (): 2 2 0
c b bcx x
a a
      
 
 La ecuación es:
a2x2 + a(b – c)x – bc = 0
Rpta.: A
4. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación
 x2 – 2(m – 1)x + 3 = 0
 La suma de los valores que puede tomar m 
para que satisfaga la relación 1 2
2 1
1
x x
x x
  es 
(UNMSM 2004-II)
A) –1/2 B) 1/2 C) 5/2
D) 2 E) 3/2
 Resolución
 Por propiedades se tiene x1 + x2 = 2(m – 1) 
y x1x2 = 3.
 De la igualdad:
2 2
2 21 2
1 2 1 2
1 2
1
x x
x x x x
x x

    
(x1 + x2)
2 – 2x1x2 – x1x2 = 0
Entonces (x1 + x2)
2 – 3x1x2 = 0
Reemplazando: 2(m – 1)2 – 3(3) = 0
4(m – 1)2 = 9  (m – 1)2 = 9/4Luego 1
3 51
2 2
m m   
 
2
3 11
2 2
m m    
5 1 4Suma de valores de 
2 2 2
m   
Rpta.: D
5. Si a + b = 0, qué valor debería tener w en la 
ecuación
(a + b)2x2 + 2(a2 – b2)x + w = 0
 para que sus 2 raíces sean iguales.
 (UNMSM 2004)
A) a – b B) (a – b)2 C) a2 – b2 
D) –(a – b)2 E) b2 – a2
 Resolución
 Si las raíces son iguales:
 b2 – 4ac = 0
[2(a2 – b2)]2 – 4(a + b)2 · w = 0
4 2 2 2( ) 4a b  2( ) 0a b w  
a b a b2 2( – ) ( ) a b 2( )  w·
 Simplificando: w = (a – b)2
 Rpta.: B
b
a
P
a
a
b x
a
b xb
c)x – x bc = 0
Luego 3
2
11m
2 22
es de
a + b = 0, qué v
– bc
bcbc
2
bc
2a22
31
2
 31
2
31
2 
Suma de va
5. Si 
ecuación
(a
ÁlgebraGuía Académica IV - Ciencias (5.o-A-SM-21))
45
1. Determine la mayor raíz en la ecuación.
10
2 1 7
2 1
x
x
  

A) 3
2
 B) 
5
2
C) 15 D) 
3
2
2. Halle las raíces de la ecuación
1
1
1 21
1
1
x
x
 


A) 3
2
 B) 3
2
C) 0 D) 0 o  3
2
3. Al resolver la ecuación:
 (3x–1)2 = (5x – 15)2
 Se obtiene soluciones cuya suma representa 
la edad de mi nieta hace 2 años. ¿Cuántos 
años faltará para que mi nieta celebre sus 
quince años?
A) 8 B) 6
C) 4 D) 2
4. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación
x2  (m 3)x + 2m + 5 = 0
 Determine el valor de m si se verifica que
2 2
1 2 1 25 28x x x x  
A) 2 B) 2
C) 4 D) 2 o 2
5. Determine el valor de m si la ecuación
 m + 4x2 1 = 2m + 2x  m
 tiene raíces iguales.
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
6. Halle el valor de n para que las raíces de la 
ecuación
2 3 1
5 2 1
x x n
x n
 

 
 sean simétricas.
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
7. Determine el valor positivo de m para que las 
raíces de la ecuación
4x2  2mx = 1 m
 se diferencien en 3.
A) 4 B) 6
C) 8 D) 5
8. Siendo a y b soluciones de x2 – 5x + 1 = 0 
construya una ecuación cuadrática con solu-
ciones 
2 21 1
y
5 5
a b
a b b a
  
A) x2 + 27x + 110 = 0
B) x2 + 27x – 110 = 0
C) x2 – 27x – 110 = 0
D) x2 – 27x + 110 = 0
PRÁCTICA PARA LA CLASE
D) 0 o
ació
–1)2
ciones cuya suma representa 
eta hace 2 años. ¿Cuántos 
mi nieta cele
5x 22
 3
2
x – 15x
uma represen
sean simétric
A) 1 B
C) 3 D
 Determine el valor po
raíces de la ecuación
4x44 2
se diferen
A
Álgebra Guía Académica IV - Ciencias (5.o-A-SM-21)
46
1. En la ecuación: x2 – px + 48 = 0 una raíz 
es el triple de la otra. Si el valor absoluto de 
P representa la edad que tendré dentro de 7 
años ¿Qué edad tengo?
A) 10 años B) 9 años
C) 8 años D) 7 años
2. Si x1 y x2 son raíces de la ecuación 
 x2 + 1 – 3x = 0
 determine T = x1
x2 + x2
x1 x1
x1 + x2
x2 .
A) 17 B) 12
C) 18 D) 20
3. Si la ecuación 3x2 + 7x + 2m = 0 tiene como 
raíces x1 y x2, halle el valor de m si se cumple 
(x1 + 3)(x2 + 3) = 6.
A) 6 B) 8
C) 6 D) 4
4. Sabiendo que las raíces de la ecuación
3k + 3x2 = (14k + 3x  5k  1
 son recíprocas, halle el valor de k.
A) 2 B) 2
C) 2 D) 4
5. Indique la suma de las raíces luego de resol-
ver la siguiente ecuación:
2 26 9 4 6 6x x x x    
A) 18 B) 15
C) 12 D) 16
6. Luego de resolver la ecuación
, 0
x a x b b a
ab
b a x a x b
 
   
 
 indique el producto de sus dos soluciones.
A) ab B) a
C) a + b D) b
7. José tiene un terreno rectangular cuya diago-
nal mide 130 m y se perímetro tiene 340 m 
Si el metro cuadrado de terreno cuesta 100 
soles ¿Cuántos miles de soles recibirá José 
por vender todo su terreno?
A) 600 B) 500
C) 300 D) 450
ASESORÍA
9. Si m y n son las raíces de la ecuación 
x2 + x + 3 = 0, además:
 
3 3
T
1 1
mn
m n

  
  
 representa la edad 
que tenía Max hace 15 años. Dentro de cuán-
to tiempo Max cumplirá 40 años.
A) 16 años B) 19 años
C) 20 años D) 23 años
10. El valor de una refrigeradora es Q. A partir de 
la ecuación cuadrática.
 x2 – 3x+1 = 0
 de raíces ab; obtenga el valor de:
 Q = (a+4)(b+6)(a+6)(b+4)
 ¿Cuál es el costo de la refrigeradora?
A) S/1590 B) S/1595
C) S/2195 D) S/1585
uto de
dentro de
 9 año
D) 7 
es d
2 +
x1
x2
B) 12
A) 2 B
D
e las 
ecuac
x66
e 7
s
años
ecuación
x =x
x x1 + x2
x2
C) 2 
5. Indique la suma
r la siguiente
2x2 9 49 4
A) 18 
C) 12 
6. Lu
ÁlgebraGuía Académica IV - Ciencias (5.o-A-SM-21))
47
8. El profesor Arturo le afirma a su alumno Legorio 
que la ecuación lineal 3a2(x–2)+5ax+1= 2x+a;
se satisface para cualquier valor real; luego le 
pide que halle el valor de b para que la ecua-
ción cuadrática:
 2x2 – bx + 18a = 0; 
 se satisfaga que la diferencia entre la suma y 
el producto de soluciones sea igual a 7
2
 ¿Qué 
valor(es) para el parámetro b; encontró Lego-
rio.
A) 12 B) 13 y – 2
C) –1 D) –1 y 13
HELICODESAFÍO
9. Calcule m + n si las ecuaciones
 m  3x2 + n  6x  p = 0
 m + 3x2 + n + 6x  4p = 0
 son equivalentes.
A) 12 B) 13
C) 14 D) 15
10. De las ecuaciones cuadráticas x2 + 1 = 4x y 
6x2 + 11x = 10, sus discriminantes son p y q, 
respectivamente, forme la ecuación cuadráti-
ca mónica con soluciones
(p + 1) y q – 3
A) x2  29x + 208 = 0
B) x2 + 31x  228 = 0
C) x2  29x + 108 = 0
D) x2 + 29x + 108 = 0
11. Dada la ecuación siguiente:
 2x2 – 5x + 1 = 0
 de raíces x1 y x2, determine el valor de
 T = 1
2x1 + 3
 + 1
2x2 + 3
A) – 9
26
 B) – 7
13
C) 11
26
 D) 7
15
p = 0
+ 6x
B
de raíces x2, det
+ 3
4p4 = 0
13
 15
T =
0 –
9
26
C) 11
26
 
Álgebra Guía Académica IV - Ciencias (5.o-A-SM-21)
48
1. Determine el valor de k para que las raíces de 
la ecuación
2 3 2 7
5 2 2 5
x x k
x k
 

 
 sean simétricas.
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
2. Halle el valor de m si en la ecuación
x23m  2x + m2  1 = 0
 una raíz es el triple de la otra.
A) 2 B) 14
11
C) 5 D) A o B
3. Determine el mayor valor de m para que una 
de las raíces de
 x2 – (m – 2)x + 3m = 0
 sea 2 unidades más que su otra raíz.
A) 4 B) 8
C) –8 D) 16
4. La ecuación
 (m + 1)x2 – 2mx + (m – 3) = 0
 tiene raíces iguales. Halle el valor de m.
A) 3
2
 B) 2
3
C) – 3
2
 D) – 2
3
5. Determine el valor de
 T = (5 – x1)(7 + x1)(5 – x2)(7 + x2)
 siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación
 x2 – x + 1= 0
A) 1950 B) 1000
C) 1190 D) 1197
TAREA DOMICILIARIA
o B
alor de
 – 2
más
D
1 y x2 l
x2 – x
m pa
+ 3m
su o
8
a que una 
0
 +x
A) 1950 B
C) 1190 D