PREGUNTA 6 -

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Un importante problema en el área metropolitana de Cincinnati implica el tráfico que intenta cruzar el Río Ohio, de Cincinnati a Kentucky por la carretera interestatal 75. Suponga que la probabilidad de que no haya embotellamiento de tráfico en un periodo, dado que no lo hubo en el periodo precedente, es de 0.85, y que la probabilidad de encontrar un embotellamiento de tráfico en un periodo, dado un embotellamiento en el periodo precedente, es de 0.75. El tráfico se clasifica como en estado de embotellamiento o como estado de no embotellamiento, y el periodo considerado es de 30 minutos.
a) Suponga que usted es un conductor que se incorpora al sistema de tráfico y que recibe un aviso por radio de un embotellamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que durante los siguientes 60 minutos (dos periodos de tiempo) el sistema esté en el estado de embotellamiento? Observe que este resultado es la probabilidad de estar en el estado de embotellamiento durante dos periodos consecutivos. 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que a la larga el tráfico no esté en estado de embotellamiento? 
c) Un importante supuesto de los modelos de proceso de Markov presentados en este capítulo ha sido las probabilidades constantes o de transición estacionarias a medida que el sistema opera en el futuro. ¿Cree que este supuesto debe ser puesto en duda en este problema de tráfico? Explique.
SOLUCIÓN:
Vemos que haya o no embotellamiento de tráfico en un periodo de 30 minutos, puede representarse como cadena de Markov de dos estados, como:
Estados: 
· Estado 1: No embotellamiento de tráfico.
· Estado 2: Embotellamiento de tráfico.
Tabla 1: Matriz de probabilidad de transición. 
No embotellamiento
Embotellamiento
P
 
=
No embotellamiento
0.85
0.15
Embotellamiento
0.75
0.25
Fuente: 
Elaboración propia
a) Suponga que usted es un conductor que se incorpora al sistema de tráfico y que recibe un aviso por radio de un embotellamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que durante los siguientes 60 minutos (dos periodos de tiempo) el sistema esté en el estado de embotellamiento? Observe que este resultado es la probabilidad de estar en el estado de embotellamiento durante dos periodos consecutivos. 
Denota el estado 2 en el periodo 1, p2(1) en 30 minutos, Denota el estado 2 en el periodo 2, p2(2) en 60 minutos.
Se pide la probabilidad de estar en el estado de embotellamiento durante dos periodos consecutivos, es decir que debemos hallar la matriz P2, obteniéndose:
Tabla 2: Matriz de probabilidad de transición en periodo 2.
No embotellamiento
Embotellamiento
P 
(2)
 
=
No embotellamiento
0.76
0.24
Embotellamiento
0.40
0.60
Fuente: 
Elaboración propia
Para calcular los valores, usaremos la siguiente fórmula:
 [p1(2) p2(2)] = [p1(0) p2(0)]* P(2) … (1)
Así mismo tenemos que p1(0) y p2(0) denotará la probabilidad de que el sistema esté en estado 1 o en el estado 2 en algún periodo inicial.
Sabemos que p1(0) = 0.85 p2(0) = 0.15, porque el conductor se ha incorporado al sistema de tráfico, entonces para determinar la probabilidad después de dos periodos el sistema esté en estado de embotellamiento, resolveremos mediante la ecuación 1:
[p1(2) p2(2)] = [p1(0) p2(0)]* P(2)
	[p1(2) 	 p2(2)] = [0.850.76	0.24
	0.15]*0.4	0.6
	[	p1(2) p2(2)] = [ 0.706 0.294]
La probabilidad de que se encuentre en estado de embotellamiento (estado 2) el área metropolitana durante los siguientes dos periodos (60 minutos) es de p2(2) = 0.294.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que a la larga el tráfico no esté en estado de embotellamiento?
A medida que continuamos con el proceso de Markov, vemos que las probabilidades después de varios números de transiciones estos entran en un estado transitorio. Para esto, usaremos la siguiente ecuación[ CITATION Mét \l 10250 ]:
[p1 p2] = [p1 p2]* P
 [p1 p2] = [p1 p2] *0.85	0.15 0.25	0.75
Después de realizar las multiplicaciones, se obtiene:
	p1 = 0.85*p1 + 0.25*p2 
	Y
	p2 = 0.15*p1 + 0.75*p2 
	p1 + p2 = 1
	
	p1 y p2
	
	
	
Sin embargo, también sabemos que la suma de las probabilidades en estado estacionario debe ser 1. Usando lingo para obtener los valores de 
Fig. 1: Soluciónde ecuaciones mediante el uso de Lingo Model
Fuente: Elaboración propia
Entonces, tenemos que los valores mediante lingo son:
· p1 = 0.625
· p2 = 0.375
La probabilidad de que a la larga el tráfico no esté en estado de embotellamiento de tráfico es p1 = 0.625.
c) Un importante supuesto de los modelos de proceso de Markov presentados en este capítulo ha sido las probabilidades constantes o de transición estacionarias a medida que el sistema opera en el futuro. ¿Cree que este supuesto debe ser puesto en duda en este problema de tráfico? Explique.
Creo que no se ha puesto en duda dado que el estado actual dependerá del estado precedente obedeciendo el proceso estocástico de una cadena de Markov. Hay muchos factores que implican que el estado se encuentre en embotellamiento o no embotellamiento dado que pueden surgir accidentes de tránsito provocando congestión de tráfico, además puede ser causado cuando existen celebraciones que genera mayor circulación de los ciudadanos, pero considero que a través de este modelo de proceso se puede determinar las probabilidades en transición estacionaria.
Descargado por Sheiler Alvarado Sanchez (sheileras444@gmail.com)	
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