Geometria - Trilce

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Índice
Semana 1
TRIÁNGULOS NOTABLES - SEGMENTOS - ÁNGULOS .................................................................. 5
Semana 2
TRIÁNGULOS I - PROPIEDADES FUNDAMENTALES ................................................................... 13
Semana 3
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y SUS APLICACIONES ........................................................... 19
Semana 4
POLÍGONOS .................................................................................................................................. 25
Semana 5
CUADRILÁTEROS ........................................................................................................................... 29
Semana 6
CIRCUNFERENCIA - PROPIEDADES FUNDAMENTALES - TEOREMA DE PONCELET Y PITOT ............ 35
Semana 7
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA ......................................................................... 41
Semana 8
PROPORCIONALIDAD ................................................................................................................. 47
Semana 9
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ....................................................................................................... 53
Semana 10
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO ....................................................... 59
Semana 11
POLÍGONOS REGULARES .............................................................................................................. 67
Semana 12
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y CUADRANGULARES .................................................... 73
Semana 13
RELACIÓN ENTRE ÁREAS - ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES ................................................... 79
Semana 14
REPASO DE ÁREAS ......................................................................................................................... 85
Semana 15
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO Y POLIEDROS REGULARES ......................... 89
Semana 16
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS I: PARALELEPÍPEDO - PRISMA - CILINDRO ........................................ 95
Semana 17
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS II: PIRÁMIDE - CONO - ESFERA ........................................................... 99
Índice
Semana 1
TRIÁNGULOS NOTABLES - SEGMENTOS - ÁNGULOS .................................................................. 5
Semana 2
TRIÁNGULOS I - PROPIEDADES FUNDAMENTALES ................................................................... 13
Semana 3
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y SUS APLICACIONES ........................................................... 19
Semana 4
POLÍGONOS .................................................................................................................................. 25
Semana 5
CUADRILÁTEROS ........................................................................................................................... 29
Semana 6
CIRCUNFERENCIA - PROPIEDADES FUNDAMENTALES - TEOREMA DE PONCELET Y PITOT ............ 35
Semana 7
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA ......................................................................... 41
Semana 8
PROPORCIONALIDAD ................................................................................................................. 47
Semana 9
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ....................................................................................................... 53
Semana 10
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO ....................................................... 59
Semana 11
POLÍGONOS REGULARES .............................................................................................................. 67
Semana 12
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y CUADRANGULARES .................................................... 73
Semana 13
RELACIÓN ENTRE ÁREAS - ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES ................................................... 79
Semana 14
REPASO DE ÁREAS ......................................................................................................................... 85
Semana 15
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO Y POLIEDROS REGULARES ......................... 89
Semana 16
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS I: PARALELEPÍPEDO - PRISMA - CILINDRO ........................................ 95
Semana 17
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS II: PIRÁMIDE - CONO - ESFERA ........................................................... 99
Geometría
Semana 18
REPASO GENERAL .......................................................................................................................... 105
Semana 19
REPASO I: TRIÁNGULOS I ............................................................................................................. 109
Semana 20
REPASO II: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS ............................................................................... 113
Semana 21
REPASO III ...................................................................................................................................... 117
Semana 22
REPASO IV: CIRCUNFERENCIA I ................................................................................................... 121
Semana 23
REPASO V: CIRCUNFERENCIA II ................................................................................................... 125
Semana 24
REPASO VI: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA - RELACIONES MÉTRICAS 
 EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO ........................................................................... 129
Semana 25
REPASO VII ..................................................................................................................................... 133
Semana 26
REPASO VIII: ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y CUADRANGULARES .............................. 137
Semana 27
REPASO IX: RELACIÓN ENTRE ÁREAS - ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES ................................ 141
Semana 28
REPASO X: ÁREAS III ...................................................................................................................... 145
Semana 29
GEOMETRÍA DEL ESPACIO - POLIEDROS REGULARES ................................................................. 149
Semana 30
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .............................................................................................................. 153
Semana 31
REPASO GENERAL 1 ....................................................................................................................... 157
Semana 32
REPASO GENERAL 2 ....................................................................................................................... 161
Semana 33
GEOMETRÍA ANALÍTICA 2 ............................................................................................................. 165
Semana 34
PLANO CARTESIANO Y LÍNEA RECTA ........................................................................................... 167
TRILCE Católica 5
Colegios
TRILCE
TRIÁNGULOS NOTABLES - SEGMENTOS - ÁNGULOS
Segmento
A B
a Segmento AB = a
m AB = a
d (A;B) = a
Operaciones con segmentos:
• Adición
A B C
x
a b
AB + BC = AC
a + b = x
• Sustracción
A B C
bx
a
AC - BC = AB
a - b = x
Punto medio de un segmento:
A M B
a a
"M" es punto medio
del segmento AB
Distancia de un punto a un segmento:
A B
d
P
"d" es la distancia del punto
"P" hacia el segmento AB
A
B
d
P
Ángulo
O
P
R
Q

 
Elementos:
O Vértice del ángulo POQ
OP, OQ Lados del ángulo POQ
 Medida del ángulo POQ
OR Bisectriz del ángulo POQ
Notación: m POQ =
Se lee: "La medida del ángulo POQ es º."


Clasificación de los ángulos
Según su medida:
Ángulos Convexos
0º < < 180º
*
Ángulo Agudo: 0º < < 90º

Ángulo Recto: = 90º

GEOMETRÍA
Semana 1
Quinto Católica
TRILCE Católica6
Ciclo
Católica

Ángulo Obtuso: 90º < < 180º
Ángulo no Convexo:
180º < < 360º
Ángulo Llano:
= 180º
*
*


Según su suma:
Ángulos Complementarios:*


 + = 90°
Nota: El Complemento de un ángulo es lo que le
falta al ángulo para ser 90º.
   º90C
*
Nota: El Suplemento deun ángulo es lo que le
falta al ángulo para ser 180º.
 + = 180º
 
 
 º180S
Ángulos suplementarios
Según la posición de sus lados:
Ángulos opuestos
por el vértice:
*
 =  
Ángulos Consecutivos:*
 

....
Ángulos Adyacentes:*


•PROPIEDADES DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS
PARALELAS (L // L )21
Ángulos alternos internos:
Ángulos correspondientes:
*
*
 = 
 =




x = + 


x
L1
L1
L1
L2
L2
L2
Propiedades adicionales (L // L )1 2*
a)
 + w = 180º

b)
L1
L2
w
TRILCE Católica 7
GEOMETRÍA
   = aº + bº + cº+ +



aº
bº
cº
c)
L1
L2
 + + + w = 180º 

d)
L1
L2


w
Triángulos rectángulos notables
Hipotenusa:
AC = b
BC = a
AB = c
A
C B
b c

Teorema de Pitágoras:
a + b = c22 2
 + = 90°
a

Catetos:
* Algunos triángulos rectángulos cuyos lados son valo-
res enteros:
4 5
3
12 13
5
15 17
8
24
25
7
40
41
9
21
29
20
35
37
12
8 10
6
20
25
15
Triángulos rectángulos notables
1. De 30° y 60°
a 3
2a
30°
60°
a
2. De 45º
a
a 2
45°
45°
a
Demostración:
a 2 2a
a 2
*
*
45°
45°
TRILCE Católica8
Ciclo
Católica
3. De 37° y 53°
3a
53° 37°
4a
5a
Del triángulo rectángulo notable anterior se puede de-
ducir:
*
a a 5
2a
53°/2
*
a a 10
3a
37°/2
* Propiedad:
Solo para triángulo rectángulo de 75° y 15°.
A
B
CH
75°
h
15°
h = AC
4
1. Se tienen los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D” de
tal manera que: AB = 3BC y AD + 3CD = 12, hallar
“BD”.
A. 1,5 B. 3
C. 4 D. 6
2. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”
de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB = DC,
calcular “AD”.
A. 10 B. 15
C. 18 D. 20
3. Calcular: " - "
130°
 
A. 100° B. 90°
C. 110° D. 80°
4. Si: L //1 L2 , calcular “x”
120°
L1
x
L2
A. 10° B. 20°
C. 30° D. 25°
5. Calcular "AB + CD", si: AM = MD = 12
A
B
53°
C
53°
M
D
A. 24 B. 28
C. 30 D. 35
6. En la figura mostrada, calcular “x”.
x
45°
37°
10
A. 4 B. 8
C. 4 2 D. 3 2
7. En la figura se presenta el triángulo equilátero ABC.
Si: PB = 4 m y AC = 16 m ; calcular:
PR
PQ
A
P
Q
B
C
R
A.
1
3
B.
3
2
C.
1
4
D.
1
5
Problemas para la clase
TRILCE Católica 9
GEOMETRÍA
8. En la figura, calcular AB, si: PC = 16 m
A
B
C
P
30º
7º
37º
A. 12 m B. 18
C. 8 D. 6
9. En la figura: AP = 4 2 m ; PC = 6 m , calcular "BP"
A
B
P
C30º
135º
A. 5 m B. 6
C. 7 D. 9
10. La figura muestra tres cuadrados consecutivos;
calcular la medida del ángulo "x".
B Q R C
D
SP
A
x
A. 100º B. 120º
C. 135º D. 145º
11. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
“P”, “Q”, “R” y “S”, tal que:
QR=RSy(PS)2 - (PQ)2 = 20(QS), calcular “PR”.
A. 4 B. 5
C. 10 D. 15
12. Calcular “x”, si: a + b = 50° y 1 L//L 2
L1
L2
120° x
80°
b
a
A. 40° B. 50°
C. 70° D. 60°
13. Calcular “x”, si: L //1 L2 y L //3 L4 y  = 42






L3 L4

L1
L2
x
A. 45° B. 60°
C. 67,5° D. 80°
14. En la figura, AC=2(BC); calcular: GDHm .

180º-
A
D
G E
F
B C
H
A. 20º B. 30º
C. 35 D. 45º
15. En la figura, calcular la distancia desde “D” hasta BP .
10
30°
12
B
A P
C
D
A. 36 B. 36 - 5
C. 26 - 4 D. 34
16. En el gráfico: 1 L//L 2 y AB // CD , calcular “x”.
C
x
D
B
154°
148°
A
L1
L2
TRILCE Católica10
Ciclo
Católica
A. 120° B. 122°
C. 124° D. 125°
17. Si: BP = 10 m , calcular "QH" .
30º
45º
30º
B
A
Q
C
P H
A. 4 m B. 5
C. 6 D. 7
18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD,
luego se trazan las bisectrices OM , ON y OZ de los
ángulos AOB, COD y MON respectivamente. Si:
mMOC + mMOD - 4mBOZ = 80°, calcular: mAOB.
A. 20° B. 30°
C. 40° D. 60°
19. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
“A”, “B” y “C” tal que: AB > BC , luego los puntos me-
dios “M”, “N” y “P” de AB , BC y MN respectivamente.
Si: BP = K, calcular: AB - BC.
A. 2K B. 3K
C. 4K D. 5K
20. Hallar "AP"; si MN = 5 m y QC = 2 m
B
P
A
M
N
Q
C
A. 3 m B. 4
C. 5 D. 6
1. "P", "Q" y "R" son tres puntos consecutivos de una
recta, PQ = 2(QR) + 1 y PR = 31 m. Hallar "QR" .
A. 9 m B. 10
C. 11 D. 12
2. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos "A",
"B", "C" y "D" tal que: AD = 24 m, AC = 16 m y
CD
AD
BC
AB
 .
Hallar "BC ".
A. 3 m B. 4
C. 6 D. 3,6
3. Los puntos consecutivos "A", "M", "B" y "C" pertenecen
a la misma recta. "M" es el punto medio de AC . Hallar
MB, si: AB - BC = 32 cm.
A. 8 cm B. 32
C. 18 D. 16
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"A", "B", "C", "D" y "E", siendo "C" punto medio de AE ;
además, AB = CD. Calcular la longitud de BD , si :
AE = 18 m.
A. 6 m B. 7
C. 8 D. 9
5. En la figura, 1 L//L 2 . Calcular "x" .
L1
30º
50º
x
L2
A. 100º B. 105º
C. 110º D. 115º
6. En la figura 1 L//L 2 , calcular: 
L1


 L2
A. 340º B. 320º
C. 360º D. 350º
7. Calcular:
BC
AB
A. 3 B. 2
C. 5 D. 4
8. En la figura, calcular "x" .
Tarea domiciliaria
B
2
C


A D
x
5
60º
4
5
TRILCE Católica 11
GEOMETRÍA
A. 21º B. 22º
C. 23º D. 7º
9. Calcular "BH", si: AH = 20 cm.
C
H
23º
37º
B A
A. 16 cm B. 12
C. 18 D. 24
10. Calcular "x", si: AM = MC
B
45º x 37º/2
A M C
A. 30º B. 37º
C. 53º D. 45º
11. En una recta se tienen los puntos consecutivos "A",
"B" y "C", siendo: )BC(
3
5
ABAC  . Hallar
BC
AB
.
A. 3 B.
1
6
C. 2 D.
1
3
12. En una recta se tiene los puntos consecutivos "A",
"B", "C" y "D", cumpliendo la relación:
4(AB) - (BD) - 2(CD) = 4 m ; hallar "AD", si: AB = 3 m
y AC = 5 m
A. 5 m B. 6
C. 8 D. 7
13. Hallar el perímetro de la figura ABCDE .
A. 4 3 a B. 4a
C. 6a D. 6 2 a
14. Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD.
D
A
105º
n
45º
B C
A. 4 n B. (4+ 2 )n
C. (4+ 2 + 3 )n D. (2+2 2 + 6 )n
15. De la figura, calcular:
AE
AB
B
A a
C
a
a
E a D
B
C
D
45º
30º
30º
A E
A.
3
2
B.
4
2
3
C.
4
2
D.
3
24
TRILCE Católica 13
Colegios
TRILCE
TRIÁNGULOS I - PROPIEDADES FUNDAMENTALES




A
C
B
c a
b
Elementos:
A, B, C ................. Vértices
AB, BC, AC ......... Lados
, , .................. Ángulos Internos
, , .................. Ángulos Externos
a + b + c = 2p ..... Perímetro
  
  
Clasificación de los Triángulos
I. Según sus ángulos
1. Triángulos Oblicuángulos
a) Triángulo Acutángulo



0º < , , < 90°  
b) Triángulo Obtusángulo

90° < < 180°
2. Triángulo Rectángulo


 + = 90°
 
II. Según sus lados
1. Triángulo Escaleno
a b
c
cba 
2. Triángulo Isósceles
  
Base Base
3. Triángulo Equilátero
60°
60°60°
Propiedades Fundamentales
1.


 + + = 180° 
2.
x + y + z = 360°
x
y
z
GEOMETRÍA
Semana 2
Quinto Católica
TRILCE Católica14
Ciclo
Católica
3.


x
x = + 
4. Existencia del triángulo o desigualdad triangular
a b
c
b - c < a < b + c
a - c < b < a + c
a - b < c < a + b
Propiedades Auxiliares
1.



x
x = + +  
2.



 + + + + = 180°   


1. En la figura; AB=AC y CE=CF. Calcular m APF..
B
P
A
C
E
F
40º
A. 90º B. 120º
C. 110º D. 130º
2. Hallar “x” en la figura.
A
B
C
 
2 
x

A. 75° B. 80°
C. 90° D. 85°
3. Hallar “x - y”
 
x
y
160°
A. 10° B. 15°
C. 20° D. 30°
4. Hallar “x”, si: a + b = 220° y CN = MN

C M A
a
x
N
B
b

A. 110° B. 120°
C. 135° D. 150°
5. Calcular “mBDC”
AB

C
D
80°
 
A. 35° B. 40°
C. 50° D. 80°
6. En la figura, hallar “x”
2
A


B
C
35°
x
D
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 45°
Problemas para la clase
TRILCE Católica 15
GEOMETRÍA
7. Si el triángulo PQR es equilátero, calcular “x”.


x
Q P
R
A. 30° B. 60°
C. 45° D. 25°
8. En un triángulo acutángulo dos de sus lados suman
30 m. Calcular el mayor valor entero que puede tomar
la altura relativa al tercer lado.
A. 11 m B. 12
C. 13 D. 14
9. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH
y luego la bisectriz BQ del ángulo HBC. Si: AB = 8 m
y QC = 5 m, calcular “AC”.
A. 9 m B. 10
C. 12 D. 13
10. Hallar “x”, si:  +  +  = 130°



2x x
A. 10° B. 18°
C. 20° D. 25°
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular “x”.

A
B
C
80°

x
A. 20° B. 25°
C.40° D. 35°
12. En la figura: º70 y AP=AM; HC=MC. Calcular "x".
A M
C
P
H70º
xº
 
A. 120º B. 125º
C. 116º D. 150º
13. Calcular “x” :

 
80°
x
A. 110° B. 120°
C. 140° D. 125°
14. Hallar “”, si: AB = BC = BD
A B
C
 D
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 72°
15. En un triángulo isósceles ABC, el ángulo "B" mide
100º. Se traza la altura desde "A" y la bisectriz del
ángulo "B", cuyas prolongaciones se cortan en el
punto "P", hallar m BPA .
A. 20º B. 30º
C. 40º D. 60º
16. En la figura: AB=BC=AD, calcular "x".
A
B
C
D
xº
60º
xº
A. 75º B. 80º
C. 85º D. 90º
17. Del gráfico: a+b=200º; calcular "x".
b a
3
3

 xº
A. 130º B. 135º
C. 140º D. 120º
TRILCE Católica16
Ciclo
Católica
18. En la figura, calcular “x”.

A
x

130°


B
C
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
19. En un triángulo escaleno ABC, “I" es punto de intersec-
ción de las bisectrices interiores. Si: AI=2u;
CI = 9u , calcular “AC”, si es entero.
A. 8 u B. 9
C. 10 D. 11
20. Según el gráfico, calcular el valor de “x” .


x


40°
A. 20° B. 40°
C. 10° D. 30°
1. Calcular el valor de "x" :
40°2x +º º
3x - º º
A. 14° B. 26°
C. 20° D. 28°
2. De la figura, calcular "x" :
CA
B
xº-10º
2xº+20º
xº+30º
A. 15º B. 20º
C. 30º D. 35º
3. En la figura: AB = BC , calcular "x" .
B
40º
F
100º
E
x
A D C
A. 60º B. 50º
C. 40º D. 70º
4. Calcular el valor de "x" en:
80°
2 x 2
3 3
A. 100° B. 120°
C. 130° D. 140°
5. De la figura ED= DC; mBED = mBDE .
Si: AE = 7 ; calcular "BD"
A. 3,5 B. 14
C. 6 D. 7
6. Del gráfico, calcular:





2

 
 
A. 3 B.
14
3
C.
17
3
D.
16
3
7. En la figura: AC = BC = BD = DE , calcular:


E
B
 
A C D
A. 1 B. 1,5
C. 2 D. 4
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 17
GEOMETRÍA
8. De la figura, calcular: "m + n"
n
m

 140º
A. 240º B. 230º
C. 220º D. 210º
9. En un triángulo ABC, se traza la altura BH ("H" en AC ).
Si: AB + BC = 8, calcular el máximo valor entero de BH.
A. 3 B. 5
C. 4 D. 6
10. De la figura, calcular

 .

 
60º 
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
11. Del gráfico adjunto, determinar la relación correcta
(PQ = PR).
A. 3x=2  B. 5x= 2 
C. 7x= 3  D. 7x= 2 
12. Si: º110 , calcular " " .
A. 30º B. 50º
C. 40º D. 70º
13. Calcular "x" , si: AB = BC y TC = TD
A. 60º B. 50º
C. 20º D. 40º
14. Calcular "x" , si: - = 18º
2 º
º
A. 18º B. 20º
C. 15º D. 17º
15. Del gráfico, calcular "x" , si: AB = BC y m ABC = 40º
º
º
A. 150º B. 160º
C. 170º D. 140º
TRILCE Católica 19
Colegios
TRILCE
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y SUS APLICACIONES
Triángulos congruentes
A
B
C
N
M Q
ac
b
c a
b
  

 ABC = MNQ
Casos de congruencia de triángulos
Caso I: (ALA)
  
a a
Caso II: (LAL)
 
a a
b b
Caso III: (LLL)
a a
b bc
c
Aplicaciones de la congruencia de triángulos
1. Propiedad de la Bisectriz
a)


O
R
P
Q
PR = PQ OR = OQ
b)
O
QN = QM ON = OMN
M
Q

2. Propiedad de la Mediatriz
a)
B
O
OA = OB
A
L : Mediatriz de ABL
b)
P
RP = RQ
R
Q
m : Mediatriz de PQ
m
GEOMETRÍA
Semana 3
Quinto Católica
TRILCE Católica20
Ciclo
Católica
Observación:
Propiedad en un Triángulo Isósceles
A
B
CH
Si: AB = BC
 
 
BH
Altura
Mediana
Bisectriz
Mediatriz
3. Teorema de los puntos medios
A
B
M N L1
C
Si: AM = BM
L // AC1
BN = NC
AC
MN =
2
También:
A
B
C
Si: AM = BM
BN = CN
MN // AC
AC
MN =
2
M N
4. Propiedad de la Mediana Relativa a la hipotenusa
A M C
B


Si: BM es mediana
BM = AC2
BMC; AMB: ’s isósceles 
1. Si: BC = CE ; AB = 7 y ED = 9 , calcular “AD”.

A
B
C
E
D
 
A. 16 B. 15
C. 18 D. 14
2. Hallar “x”, si: BF = BC y AF = EC.
F
A
x 50°
130°E
C
B
A. 60° B. 80°
C. 50° D. 75°
3. Si ABCD es un cuadrado, calcular "HD", además:
AP = 7 m y CQ = 12 m.
P
A
B C
D
H
Q
A. 5 m B. 4 m
C. 6 m D. 3,5 m
Problemas para la clase
TRILCE Católica 21
GEOMETRÍA
4. Calcular “EF”, si: AC = AE ; BF = 7 m y FC = 5 m.
A C
B
F
E
A. 12 m B. 15 m
C. 17 m D. 19 m
5. En la figura, calcular “AB”, si: ED = 12 m y BC = CD.
A
37°
B
C E
D
A. 16 m B. 15m
C. 24 m D. 20 m
6. Del gráfico, calcular “AD”, siendo: CM = MD y BC = 5 u
A
30°
53°C
B
M
D
A. 4 u B. 6 u
C. 8 u D. 10 u
7. Si: AC = 32 m , calcular “BE”.
A
B
C
18°
E
36°
A. 16 m B. 18 m
C. 12 m D. 15 m
8. Calcular “x”, si: PC = 2AB y AP = PB.
A
B
CP
x
A. 15° B. 20°
C. 18° D. 14°
9. Del gráfico; calcular " ".
A
E
B
CM
a 3a
 7
A. 10º B. 15º
C. 18º D. 20º
10. En la figura: AD//MN , calcular "MN", si AD=6m.
A
B
C
N
D
M
A. 2 m B. 3m
C. 4 m D. 5 m
11. Si: AB=8m; BC=14m y AC=10m. Calcular "MN".

 

A
B
N
C
M
A. 8 m B. 6 m
C. 4 m D. 5 m
12. En la figura: AB=2m; BC=6m y AR=RC. Calcular "RL".
A
R
C
L
B


A. 4 m B. 6 m
C. 8 m D. 9 m
13. Calcular "BC"; si; BH=8cm; AH=3cm; AO=OM y BM=MC.
A
H
C
M
B
O
A. 5 cm B. 6 cm
C. 8 cm D. 10 cm
TRILCE Católica22
Ciclo
Católica
14. En un triángulo isósceles ABC; AB=BC se traza la
bisectriz interior AP ; en la prolongación del lado AC se
ubica el punto "E", de tal manera que: m APE=90º y
AE=12m. Calcular "PC".
A. 5 m B. 6 m
C. 7 m D. 8m
15. Del gráfico: AH=HQ; 1L y 2L son mediatrices de DB y
QC respectivamente; si m ABC=100º. Calcular "x".
A
B
CH Q N
M
L1
L2
xº
D
A. 10º B. 12º
C. 20 D. 18º
16. En un triángulo rectángulo ABC recto en “C”, en AB
se ubica el punto "L" y luego se traza las mediatrices
de AL y LB que intersectan a AC y BC en "M" y
"N" respectivamente. Calcular “MN”, si: AM = 9 m y
NB = 12 m
A. 12 m B. 15 m
C. 20 m D. 18 m
17. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B"; se toma un
punto "Q" en AC y un punto "P" en BC tal que:
AQ=QC=BP. Calcular m PQC. Si: m BCA=mº
A.
2
ºm
º90  B.
2
ºm5
º180 
C.
2
ºm3
º90  D.
2
ºm3
º90 
18. En un triángulo ABC se toma un punto "P" en su interior,
tal que m APB=90º y m BAP=m PAC, siendo "M"
punto medio de BC . Calcular "PM"; si AC=a y AB=b;
(a>b)
A. a - b B. 2a - b
C.
2
ba 
D.
3
ba 
19. En un triángulo acutángulo ABC; la m ABC=60º y la
altura BH=6cm, por "H" se trazan HE y HF perpendicula-
res a las bisectrices de los ángulos  ABH y  HBC
respectivamente. Calcular "EF".
A. 1 cm B. 4 cm
C. 2 cm D. 3 cm
20. Del gráfico, el triángulo ADC es equilátero y su lado mide
10cm; si "Q" es punto medio de AD . Calcular "BQ".
A C
Q
D
15º
B
A. 5m B. 35 m
C. 25 m D. 210 m
1. En la figura, PQ = AC. Calcular "BP".
Q

B
P  10
6
 
A C
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
2. Si los triángulos ABC y TKC son equiláteros, calcular
"x".
B
x K
T
100°
A C
A. 80° B. 50°
C. 40° D. 20°
3. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si AM = 8 y CN = 6,
hallar "MN".
B
A
C
8
6
M D N
A. 10 B. 12
C. 14 D. 16
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 23
GEOMETRÍA
4. En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar "EB", si DE=17
y CF = 12.
E B F
A
C
D
A. 5 B. 6
C. 17 D. 7
5. En la siguiente figura, hallar la medida de PN si
AC=15m.
B
P
 N

A 15 C
A. 6 B. 5
C. 5,5 D. 7,5
6. Según el gráfico L es mediatriz de AC y AB=2cm.
Calcular "TB".
B
<
L
T
3 
A C
A. 1 cm B. 2
C. 1,5 D. 2,5
7. Calcular "x", si: AM = 2(BC)
B
x
3x
A M C
A. 10° B. 30°
C. 9° D. 15°
8. Se tiene un triangulo ABC donde el ángulo exterior de A
es igual a 40°, las mediatrices de AB y AC se cortan
en "P". Calcular el ángulo CBP.
A. 80° B. 40°
C. 50° D. 60°
9. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y del vér-
tice A se traza una recta que corta a la mediana BM en
"P" y al lado BC en "N". Hallar "PN" , si AN mide 12 cm
y "P" es punto medio de BM .
A. 1 cm B. 2
C. 3 D. 4
10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la
altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en P
(E en BC ), hallar PH, si BH=7 y BE=4.
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
11. En un triángulo ABC, por el vértice "B" se traza una
paralela a AC , las medianas AN y CM prolongadas
cortan respectivamente en "E" y "F" a la paralela res-
pectivamente. Hallar "AC", si: FE=16.
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
12. Hallar "MN", si AB=6m, BC=8m y AC=7m
M
B
N
A C

 
A. 9 m B.10,5
C. 12 D. 13,5
13. Hallar "  ", si: AB = 2(QF).
B
Q
 3
A F C
A. 10° B. 20°
C. 45° D. 50°
TRILCE Católica24
Ciclo
Católica
14. En la figura, AB = 18, BC = 16 y AC = 20. Hallar "FG".
B
F
G
 
 
C A
A. 7 B. 8
C. 9 D. 11
15. Si AB = BC y BH = 10, hallar "AD".
B
C
45°
A H D
A. 18 B. 25
C. 15 D. 20
TRILCE Católica 25
Colegios
TRILCE
POLÍGONOS
A
B




d

C
D
E
de
a
b
c

Elementos:
Vértices:
Lados:
Ángulos Internos:
Ángulos Externos:
Perímetro:
Diagonal:
A, B, C, ...
AB, BC, CD, ...
  , , , ...
 , , ...
a + b + c + d + e = 2p
AD, BE, ...
Nota:
Nº Lados = Nº Vértices = Nº de Ángulos
Clasificación de los Polígonos
1. Polígono Convexo
2. Polígono no Convexo (Concavo)


180º < , < 360º 
Heptágono
no Convexo
3. Polígono Equiángulo

 


Hexágono
Equiángulo
4. Polígono Equilátero
Heptágono
Equilátero
5. Polígono Regular

Octógono
Regular






Propiedades de los Polígonos
Para Polígonos de “n” lados:
1. Nº Total de Diagonales = n(n - 3)
2
2. de Ángulos Internos = 180º (n - 2)
3. de Ángulos Externos = 360º ,
para un polígono Convexo
GEOMETRÍA
Semana 4
Quinto Católica
TRILCE Católica26
Ciclo
Católica
4. Ángulo Interior = 180º (n - 2)
n
, para un polí-
gono Regular y Equiángulo
5. Ángulo Exterior = 360º
n
, para un polígono
Regular y Equiángulo
6. Ángulo Central =
360º
n
Para un polígono
Regular
7. Nº de diagonales desde un vértice = n - 3
Nombres de Polígonos
Nº de lados Nombre
3 ...................... Triángulo
4
5
6
7
8
...................... Cuadrilátero
...................... Pentágono
...................... Hexágono
...................... Heptágono
...................... Octógono u Octágono
9 ...................... Nonágono
10
11
12
15
20
...................... Decágono
...................... Endecágono
...................... Dodecágono
...................... Pentadecágono
...................... Icoságono
1. En un polígono regular, la relación entre la medida de
un ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. Calcular
el número de lados del polígono.
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
2. Como se llama el polígono regular; si la suma de
sus ángulos internos es el triple de la suma de las
medidas de sus ángulos externos?
A. Hexágono B. Octágono
C. Cuadrilátero D. Pentágono
3. Se tiene un nonágono equiángulo ABCDEFGHI,
calcular el menor ángulo que forman las prolon-
gaciones de AB y ED .
A. 50° B. 60°
C. 80° D. 120°
4. Calcular el número de diagonales del polígono en el
cual al duplicar el número de lados, la suma de sus
ángulos internos se triplica.
A. 2 B. 5
C. 9 D. 14
5. En la figura; calcular "x".
x
x
x
x
x
A. 108º B. 120º
C. 135º D. 144º
6. El gráfico muestra al polígono regular, calcular el
número de diagonales, si 1L y 2L son media-
trices de BC y CD respectivamente.
....
....
A
B
C
D
E
L1
L2
72º
A. 3 B. 4
C. 5 D. 2
7. En la figura, L1 L2y son mediatrices de AB y DE .
Calcular el número de lados del polígono equiángulo
ABCDE.
A B
L
C
D
E
1
L2
A. 9 B. 10
C. 12 D. 15
8. Calcular el número de lados de un polígono convexo,
si desde cuatro vértices consecutivos se pueden
trazar 45 diagonales.
A. 18 B. 17
C. 14 D. 15
9. En un polígono convexo, el número de triángulos
obtenidos al unir un punto de uno de sus lados con
los vértices es 6. Hallar el número de diagonales de
dicho polígono.
Problemas para la clase
TRILCE Católica 27
GEOMETRÍA
A. 9 B. 20
C. 14 D. 35
10. En la figura se muestra en polígono equiángulo
ABCDEFGH. Si: u25AB  y BC = 7u. Calcular AC.
A
B
C D
E
F
GH
A. 12 u B. 13
C. 14 D. 15
11. En un polígono equiángulo ABCDEF ... las bisec-
trices de los ángulos ABC y DEF son perpendiculares.
Calcular el número de diagonales de dicho polígono.
A. 50 B. 51
C. 52 D. 54
12. Calcular el número de lados de aquel polígono en el
cual al disminuir dos lados, su número de diagonales
disminuye en 19.
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
13. Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF de tal
manera que AB = 2m ; BC = 6m ; EF = 1m y AF = 9m.
Calcular las longitudes de CD y DE.
A. 4m y 6m B. 4m y 7m
C. 3m y 7m D. 3m y 4m
14. En un octógono equiángulo ABCDEFGH ; 23AB  m
y BC = 1m . Calcular la medida del ángulo BAC.
A. 7º30' B. 22º30'
C. 11º15' D. 8º
15. En la figura, calcular "x".

100º
100º
 

xº
A. 120º B. 100º
C. 144º D. 150º
16. En un nuevo sistema de cálculo la suma de ángulos
internos de un triángulo es "10S" grados en dicho
sistema. Se pide calcular la suma de ángulo internos
con el nuevo sistema en dicha figura.
A
B
C
D
E
F
G
A. 30 S B. 50 S
C. 70 S D. 35 S
17. En un octógono equiángulo ABCDEFGH las prolon-
gaciones AB y CD forman el ángulo " "; CD y FE el
ángulo " ", EF y HG el ángulo " " y GH y BA el
ángulo "  ". Calcular: "  ".
A. 90º B. 120º
C. 180º D. 360º
18. Quince veces el ángulo interior de un polígono regular
equivale al cuadrado de su ángulo exterior. ¿Cuántos
vértices tiene dicho polígono?
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
19. Sean " 1 " y " 2 " los ángulos centrales de dos polígo-
nos regulares; " 1 " y " 2 " sus ángulos interiores.
Si: ºm21  , calcular: 12 
A. m-1 B. m+1
C. m D. 2 m
20. Si a la medida de cada ángulo interior de un polígono
de "n" lados, se disminuye en 5º, su número de
diagonales disminuye en (5n - 3). Calcular "n".
A. 32 B. 30
C. 24 D. 18
TRILCE Católica28
Ciclo
Católica
1. ¿Cuál es el polígono en el cual desde un solo vértice
se pueden trazar siete diagonales?
A. Cuadrilátero B. Pentágono
C. Decágono D. Dodecágono
2. ¿Cuántos lados tienen el polígono en el cual el número
total de diagonales es el doble del número de lados?
A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
3. ¿Cuál es el polígono en el cual la suma de ángulos
interiores más la suma de ángulos exteriores es
igual a 900°?
A. Triángulo B. Pentágono
C. Exágono D. Octógono
4. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual su
ángulo exterior es igual a su ángulo interior?
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
5. ¿Cuál es el polígono que no tiene diagonales?
A. Pentágono B. Triángulo
C. Exágono D. Octógono
6. Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono
en el cual el número de diagonales es el doble del
número de lados.
A. 900° B. 800°
C. 540° D. 360°
7. Si la suma de ángulos interiores de un polígono es
540° , ¿cuál es su número de diagonales?
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
8. Hallar la suma de ángulos internos de un polígono
convexo si el número de diagonales es igual al número
de lados.
A. 180° B. 260°
C. 540° D. 720°
9. Calcular el número de lados de aquel polígono en el
cual al aumentar un lado su número de diagonales
aumenta en siete.
A. 5 B. 8
C. 9 D. 12
10. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cuál al dismi-
nuir dos lados, su número de diagonales disminuye
en 23?
A. 14 B. 10
C. 20 D. 12
11. ¿Cuántos lados tiene el polígono donde la suma de
los ángulos internos es igual seis veces la suma de
los ángulos externos?
A. 12 B. 13
C. 14 D. 15
12. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono
regular, si desde un vértice se pueden trazar 27
diagonales.
A. 10º B. 12º
C. 13º D. 30º
13. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polí-
gono convexo cuyo número de diagonales excede en
25 al número de sus ángulos internos.
A. 1 800º B. 1 620º
C. 1 440º D. 1 260º
14. En la figura, calcula " " .

 
2
2
2
A. 10º B. 20º
C. 30º D. 40º
15. En un octógono convexo, tres ángulos consecutivos
son iguales a 90º. Calcular la medida de cada uno de
los restantes sabiendo que son iguales entre sí.
A. 135º B. 154º
C. 162º D. 120º
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 29
Colegios
TRILCE
CUADRILÁTEROS
* Convexo * No convexo




 x
 360 x
Clasificación
a) Trapezoide * Trapezoide simétrico o bisosceles
b) Trapecios Clases de trapecios
A
B C
D
Trapecio Escaleno
Trapecio Isósceles
Trapecio Rectángulo
 
Base
menor
Base mayor
h



BC // AD ; "h" : Altura
* + = 180º
* + w = 180º
 

w
c) Paralelogramos Clases de paralelogramos
Romboide
Rectángulo
Rombo
CuadradoB C
A D




AB // CD y BC // AD
* + = 180º 
GEOMETRÍA
Semana 5
Quinto Católica
TRILCE Católica30
Ciclo
Católica
Propiedades:
I. En el trapezoide:
A. B.
a
b

x



a
b
x



2
ba
x


2
ba
x


II. En el trapecio (BC // AD)
A. Mediana (MN) B. Segmento que une los puntos medios de las
diagonales (PQ)
x
b
a
B C
M N
A D
y
b
a
B C
A D
P Q
MN // BC // AD PQ // AD //BC


a b
x
2


a b
y
2
1. En la figura; calcular "x".



xº
50º
A. 25º B. 90º
C. 50º D. 60º
2. En un trapezoide mostrado; calcular "x".
80º xº
80º

 

A. 60º B. 65º
C. 70º D. 80º
3. En la figura; calcular "x".
80º 



100º
xº
A. 10º B. 20º
C. 30º D. 40º
4. En la figura; calcular "m PDA", si: BP=PC.
A
B
C
D
P
a+4
a-4
2a
A. 53º B. 45º
C. 37º D. 60º
Problemas para la clase
TRILCE Católica 31
GEOMETRÍA
5. En el trapecio ABCD de la figura; BC=1 m; AD=9 m y
CD=6 m y BM=MA. Calcular "MC".
A
M
B C
D
A. 1m B. 2
C. 3 D. 4
6. En un trapecio la mediana mide 10 cm y la base menor
4 cm. Calcula la longitud del segmento que une los
puntos medios de las diagonales de dicho trapecio.
A. 16 cm B. 12
C. 6 D. 8
7. La base mayor de un trapecio mide 8 m. Si sus
diagonales son perpendiculares y miden 6 m y 8 m,
hallar la longitud de la base menor.
A. 1m B. 2
C. 3 D. 4
8. En un trapecio rectangular ABCD, recto en "A" y "B",la base
menor BC mide 10 m. Si BC = CD y m C = 120º, calcu-
lar la longitud de la diagonal mayor del trapecio.
A. 5m B. 5 3
C. 15 D. 10 3
9. En un trapecio isósceles la mediana mide "M" y la altu-
ra del trapecio es "h". Calcular la medida de una de las
diagonales.
A. 22 Mh  B. 22 hM 
C.
2
hM 22 
D. 22 Mh 
10. En un trapecio escaleno ABCD, AD//BC ,
m ABC=2(m ADC). Si: AB=10 cm, calcular la dis-
tancia entre los puntos medios de AC y BD .
A. 6 m B. 8
C. 5 D. 4
11. En el siguiente trapecio:
A
B C
D
15 m 17 m
18 m
10 m
Las bisectrices del ángulo "A" y el ángulo "B" se cortan
en "P", las bisectrices del ángulo "C" y el ángulo "D" en
"Q". Calcular "PQ ".
A. 3 m B. 2
C. 1 D. 1,5
12. En al figura se muestran cinco placas cuadradas que,
juntas, forman un rectángulo de 110 cm de perímetro.
Hallar el perímetro de la placa sombreda.
A. 45 cm B. 50
C. 60 D. 75
13. Si ABCD es un rombo y 2(AH)=3(HD), calcular "x".
A
B C
DH
xº
A. 120º B. 123º
C. 125º D. 127º
14. En la figura, ABCD es un romboide. Calcular su períme-
tro, si: AB=2 m.
A
B E C
D
 

A. 14 m B. 16
C. 18 D. 12
15. En la figura ABCD es un cuadrado de perímetro 8 m y
FE=8 m. Calcular DE.
A B
CD
F E
A. 6 m B. 8
C. 10 D. 12
16. En un rectángulo ABCD por un punto "P" de la diagonal
BD se prolonga CP hasta un punto "M" de modo que:
PM=PC. Además: BD=20 m y BP=6 m. Calcular "AM".
A. 6 m B. 8
C. 9 D. 10
TRILCE Católica32
Ciclo
Católica
17. En un paralelogramo ABCD en el cual la bisectriz inte-
rior del ángulo "B" corta en "F" a AD . Calcular la longi-
tud del segmento que une los puntos medios de CF y
BD , si: CD=10 m.
A. 5 m B. 6
C. 8 D. 9
18. En la figura; ABCD es un rectángulo. Si: AC=2(ED), cal-
cular "m ADE".
A
B C
D
E
F
A. 10º B. 20º
C. 30º D. 45º
19. Si ABCD es un trapezoide bisósceles siendo AB y BC
sus lados menores, calcular " ", además: BM=MD.
B
C
M
D
A

3
15
A. 8º B. 9º
C. 10º D. 11º
20. Se muestra un rectángulo ABCD; CD=6 u y GF=FE=4 u.
Calcular "BG".
A
G
B C
D
E
F


A. 3 u B. 2
C. 6 D. 7
1. Si ABCD es un romboide; calcular "x".
A
B C
D


3
6
5 x
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
2. En la figura: AB+BC=CD. Calcular "x".
2

xºA
B
C
D
A. 35º B. 45º
C. 55º D. 60º
3. Los ángulos internos de un cuadrilátero están en la
relación de 4; 5; 1 y 2. ¿Cuánto mide el mayor ángulo?
A. 30º B. 120º
C. 150º D. 60º
4. En la figura, calcule "  "



x
A. 180º + 2x B. 360º + x
C. 360º - x D. 180º + x
5. En un paralelogramo ABCD:AB=5 m, AD=8 m y la bisectriz
del ángulo "A" interseca a BC en "E". Calcular "EC".
A. 1 m B. 2
C. 3 D. 4
6. Exteriormente al lado CD de un cuadrado ABCD se ubi-
ca el punto "P" de modo que PCD es equilátero. Calcu-
lar la medida del ángulo formado por AP y CD .
A. 60º B. 45º
C. 75º D. 80º
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 33
GEOMETRÍA
7. En la figura, calcule " ".
2

 
 
A. 60º B. 53º
C. 67,5º D. 58,5º
8. Se tiene un trapezoide ABCD, m  CDA=90º y
m BCD=60º. Si: BC = CD = AD, calcular: m BAC.
A. 15º B. 20º
C. 25º D. 30º
9. Si las diagonales de un rombo miden 14 m y 48 m,
calcular su perímetro.
A. 60 m B. 80
C. 100 D. 25
10. En un paralelogramo ABCD, m A = 45º , AB = 5 m y
AD=4 2 m, se traza la altura BH a CD ("H" en CD ).
Calcular "HD".
A. 0,5 m B. 1
C. 1,5 D. 2
11. En el romboide ABCD, si: CF = 5 m y FD = 3 m, calcular
"ED".
B C
F
120º
A E D
A. 4 m B. 5
C. 6 D. 7
12. Se tiene un paralelogramo ABCD ( AD > AB ), en AD
se ubica elpunto "E" de modo que:AE=CD. Si: m B = 130º,
calcular la medida del ángulo BED.
A. 50º B. 65º
C. 125º D. 115º
13. Se tiene el cuadrilátero ABCD, de modo que
m  ABD=80º, m  CBD=50º, m  BDC=80º y
m BAD=80º. Calcular: m ACD.
A. 30º B. 40º
C. 50º D. 25º
14. Si ABCD es un romboide y DBCE es un rombo, calcular
"x".
B C
50º
x
A D E
A. 50º B. 80º
C. 60º D. 40º
15. Se muestra el rectángulo ABCD y el romboide BEFC. Si:
AC=40 cm y CF=9 cm. Calcular "ED".
B
E F
C
DA
90-

A. 31 cm B. 36
C. 41 D. 48
TRILCE Católica 35
Colegios
TRILCE
CIRCUNFERENCIA - PROPIEDADES FUNDAMENTALES -
TEOREMAS DE PONCELET Y PITOT
Circunferencia
N
C
DMA
º
OR
R
R
B
T
L1
L2
Elementos:
"O" ....................... Centro
CD ....................... Cuerda
"R" ....................... Radio
AB = 2R ............... Diámetro
L ....................... Recta secante
L ....................... Recta tangente
"T" ....................... Punto de Tangencia
mAC = º ............. Arco
MN ....................... Flecha o Sagita
1
2

Propiedades fundamentales
1.
A
B
C
D


Si: AB = CD mAB = mCD
2.
A B
C D
 
Si: CD//AB mAC = mBD
3.
O
R
L1
Recta tangente
O centro
R radio

 R L1
4.
A
B
O


P
O centro
y "B" son puntos
de tangencia
"A"

PA = PB
GEOMETRÍA
Semana 6
Quinto Católica
TRILCE Católica36
Ciclo
Católica
5.
A
O
M
P
B
Si: OP AB
AM = MB
PM Flecha
6.
A
O
B
C D
E
Si: AB  Diámetro C = D = E = 90º
Teorema de Poncelet
(Solo rectángulo)
A
B
C
r
r inradio
AB + BC = AC + 2r
Teorema de Pitot
(Solo cuadriláteros circunscritos)
A
C
B
D
AB + CD = BC + AD
1. Desde un punto exterior a una circunferencia se
trazan dos tangentes que miden 12 m. Si forman un
ángulo de 60°, calcular el radio de la circunferencia.
A 4 B. 8
C. 6 D. 34
2. En la figura, calcular “AB”, si: r = 3 m y “B” es punto de
tangencia.
A
B
O
r
37°
A. 4 m B. 5
C. 6 D. 7
3. Hallar: mPAC, si “O” es centro y 8(OC) = 3(AC)
A
P
B O
C
A. 30° B. 37°
C. 32° D. 45°
4. Hallar “”, si: OC = AP
A

P
Q
B O
C
A. 2 B. 6
C. 3 D. 7
Problemas para la clase
TRILCE Católica 37
GEOMETRÍA
5. Calcular la mediana del trapecio mostrado.
A
B C
D
10m
53º
A. 5 m B. 6
C. 7 D. 9
6. En la figura: "P", "Q" y "R" son puntos de tangencia y el
perímetro del triángulo ABC mide 50 cm. Si: AB = 10 cm,
el valor de "QC" es:
A
B
R Q
CP
A. 10 cm B. 12
C. 15 D. 18
7. En el gráfico "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia.
Calcular m APD.
A
B C
D
70º
P
A. 50º B. 40º
C. 45º D. 55º
8. Calcular “x” en la figura.
A
B
Cx
40°
A. 10° B. 20°
C. 30° D. 36°
9. En la figura; AB es diámetro, AE=6m; BM=10m y la
recta L es tangente a la circunferencia. Calcular "AB".
L
E
M
BA
O
A. 8 m B. 12
C. 14 D. 16
10. Si ABCD es un cuadrado donde r = 6 m, calcular el
perímetro del triángulo TBC.
A
B
O
r
C
D
T
A. 24 m B. 42
C. 30 D. 48
11. En la figura, determina el radio de la circunferencia ins-
crita.
3 4
A. 2 B. 1
C. 1,5 D. 1,75
12. En un triángulo rectángulo ABC, el semiperímetro
es igual a 16 m y su inradio mide 4 m. Hallar la lon-
gitud de la hipotenusa.
A. 10B. 12
C. 16 D. 13
13. Hallar “R”, si: AB = 12 m y BC = 5 m
A
R
B
C
A. 2 m B. 3
C. 4 D. 5
14. Calcular la altura BH de un triángulo rectángulo ABC,
recto en "B"; sabiendo que la suma de los radios inscri-
tos en los triángulos ABC, ABH y HBC es 8m.
A. 2 m B. 8
C. 6 D. 16
15. ¿En qué relación deben estar los radios de 2 circunfe-
rencias tangentes exteriores para que el ángulo forma-
do por las dos tangentes comunes exteriores mida 60º?
A. 1 : 2 B. 1 : 3
C. 2 : 3 D. 2 : 5
16. Si ABCD es un cuadrado, "O" es centro y OA=OD, calcu-
lar "x". ("T" es punto de tangencia).
OM A D N
CTB
xº
A. 56º30' B. 60º
C. 75º D. 53º
TRILCE Católica38
Ciclo
Católica
17. En la figura, calcular "AB", si: OP=5m y "O" es centro.
A
B
P
C
37º
37ºO
A. 8 m B. 12
C. 16 D. 9
18. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el
triángulo rectángulo ABC, si: BP - QN = 30 m.
A
B
P
Q
N C
A. 10 m B. 20
C. 30 D. 40
19. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en
un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no
paralelos en segmentos que miden 1 y 9 m. Calcular
la mediana del trapecio.
A. 6 m B. 8
C. 10 D. 12
20. En la figura "A", "B", "C", "D" y "E" son puntos de tangen-
cia "O" y "Q" son centros de las circunferencias "r" y "R"
son radios. Si R=4r, calcular m APC.
P
A
B
D
C
QO
R
r
E
A. 106º B. 120º
C. 74º D. 60º
1. En la figura; AB + CD = AD, hallar "R + r", si: BC=6 m.
A
B
C
D
R
r
A. 2m B. 6
C. 3 D. 1,5
2. En la figura: AO = 2BQ. Hallar "  ".
A
B
Q
C
O

A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
3. En la figura BT es tangente a la circunferencia. Hallar "x".
A T
51°
x 32°
O B
A. 44° B. 46°
C. 42° D. 54°
4. En la figura los puntos "A", "B" y "T" son puntos de tan-
gencia. Hallar la medida del ángulo ATB.
T
A B
A. 60° B. 45°
C. 75° D. 90°
5. En un triángulo PQR, PQ = 8u; QR = 9u y PR = 11u. La
circunferencia inscrita determina sobre PR el punto de
tangencia "L". Hallar "RL".
A. 6u B. 5
C. 4 D. 3
6. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y el inradio
suman 17. Hallar el perímetro del triángulo rectángulo.
A. 17 B. 34
C. 24 D. 26
7. Dado un trapecio isósceles circunscrito a una circunfe-
rencia. Si un lado no paralelo mide 8, hallar la medida
de la mediana del trapecio.
A. 12 B. 8
C. 16 D. 32
8. En la figura, hallar "  ".
C
B
2 A
T
 O
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 39
GEOMETRÍA
A. 15° B. 18°
C. 36° D. 54°
9. En la figura, "O" es centro de la circunferencia OQ=QP y
"T" es punto de tangencia. Hallar la m ROS.
T
O P
40° Q
S
R
A. 10° B. 15°
C. 20° D. 25°
10. En la figura, calcular"  ".
O


T
A. 15° B. 25°
C. 35° D. 60°
11. En la figura, hallar el inradio del triángulo ABC, si: BF=ED
y BG=12.
B
F G
A E D C
A. 3 B. 6
C. 5 D. 2
12. En la figura, MN = 12. Hallar: R+r.
M
R
r
N
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
13. En la figura, ABCD es un cuadrado, "T" es punto de
tangencia, EF = 17 y BF = 15. Hallar "FT".
B F C
T
E
A D
A. 4 B. 5
C. 6 D. 3
14. Se tiene dos circunferencias tangentes interiores cu-
yos radios miden 3m y 8m. Desde el centro de la cir-
cunferencia mayor se traza una tangente a la circunfe-
rencia menor, luego la longitud de dicha tangente es:
A. 2 m B. 2,5
C. 3 D. 4
15. En la figura hallar "x", si m ALQ = 80°; además "A", "B",
"F" y "Q" son puntos de tangencia.
F
A
B Q
L x
A. 40° B. 50°
C. 80° D. 20°
TRILCE Católica 41
Colegios
TRILCE
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
Ángulos en la Circunferencia
1. Ángulo Central
O x 
x = 
2. Ángulo Inscrito
x

2
x


3. Ángulo Seminscrito
x

2
x


4. Ángulo Interior
x

2
x



5. Ángulo Exterior
a) b)
x x
 
 
2
x


c)
x
 
x + = 180°
Cuadriláteros Inscritos
a) b)




 + = 180º  =
c)

 =
GEOMETRÍA
Semana 7
Quinto Católica
TRILCE Católica42
Ciclo
Católica
1. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular “”.
A C
B
80°

A. 45° B. 20°
C. 40° D. 30°
2. En la figura, calcular "x", si mAOB = 100º y "O" es cen-
tro.
A
O
B
x
100º
A. 100º B. 25º
C. 50º D. 40º
3. Si "O" y "O1" son centros, mBN = 84°, calcular “mQM”.
Además, “Q” es punto de tangencia.
O1
A Q O
M
N
B
A. 130° B. 136°
C. 142° D. 132°
4. Si ABCD es un romboide, hallar “x”; además “B” y “D”
son puntos de tangencia.
A
x 15°
B C
D
A. 10° B. 20°
C. 50° D. 40°
5. Por un punto "P", exterior a una circunferencia, se trazan
las tangentes PQ y PT , que forman un ángulo de 72º.
Determina la medida del ángulo formado por QT y el
diámetro que pasa por "Q".
A. 36º B. 18º
C. 24º D. 40º
6. Si:  +  = 200º ; calcular "xº"
xº

A. 80º B. 60º
C. 100º D. 90º
7. Calcular "x" en la figura, siendo "A", "B", "C" y "D" puntos
de tangencia.
A B
C
D
70º
60º
xº
A. 55º B. 65º
C. 75º D. 70º
8. En la figura, calcular m ABC. ("A", "B" y "C"; son puntos
de tangencia)
A
B
C
A. 75º B. 52,30º
C. 72,30º D. 67,30º
9. En la figura:
A
C
B
D
Pxy
Si: x + y = 90º, calcular AB
A. 75º B. 45º
C. 90º D. 180º
10. Calcular "x", ("P" y "T" son puntos de tangencia)
P
T
xº
20º
A. 20º B. 25º
C. 15º D. 35º
Problemas para la clase
TRILCE Católica 43
GEOMETRÍA
11. Según el gráfico, calcular "  ".



A. 180º B. 210º
C. 270º D. 360º
12. Calcular "x": si: º80 , además "A", "B" y "C" son
puntos de tangencia.
A B
C
 
xº
A. 30º B. 40º
C. 50º D. 60º
13. Del gráfico: m AB = = Km CD4 , calcular: m EF.
A
B
C
D
E
F
A. K B. 2 K
C. 3 K D. 4 K
14. En la figura "A" y "C" son puntos de tangencia; calcular
m  CPA. Si: )APCm(
2
1
ACBm  .
A B
58º
P
C
A. 32º B. 35º
C. 34º D. 37º
15. En la figura, AC = BC, mACB = 60°, calcular “”.
A
N M
B
C
5

A. 10° B. 15°
C. 20° D. 25°
16. Hallar “x”, si “O” es centro, “P”, “Q” y “T” son puntos de
tangencia.
O
x
A T
C
P Q
B
80°
A. 100° B. 160°
C. 110° D. 115°
17. Hallar: . ("P" y "Q"; son puntos de tangencia)
 
A
50°
C
B
A. 200° B. 250°
C. 310° D. 205°
18. Hallar “x”, en la figura mostrada, (“A”, “B”, “C”, “D” y
“E” son puntos de tangencia).

A
C
B
D
x
E
A. ° B. 2°
C.
2

D. 90° - °
TRILCE Católica44
Ciclo
Católica
19. Calcular “ mCR”, si: PM = MO. ("O" es centro de la
semicircunferencia)
A
P
M
O
C
R
B
A. 15° B. 18°
C. 23° D. 18°30'
20. Hallar la medida del ángulo que forman MS y NT al
intersectarse, si “S”, “P” y “T” son puntos de tangencia.
M
P
S T
N
A. 60° B. 70°
C. 80° D. 90°
1. Hallar mx, si: AB = 124º y "B" es punto de tangencia.
x
A
B
A. 118º B. 132º
C. 128º D. 138º
2. Hallar "x", si m APB=110º y "A" es un punto de tangen-
cia.
A P
40° x
C B
A. 15° B. 50°
C. 36° D. 68°
3. Hallar "  " , si MN//RS . ("O" es centro)
M
R S
NO
 
A. 80° B. 60°
C. 90° D. 100°
4. En la figura, si L // AC y "O" es centro, calcular "x".
L
A C
32°
O
B
x
A. 32° B. 64°
C. 70° D. 61°
5. Las bases de un trapecio inscrito en una circunferencia
determinan sobre esta dos arcos cuya diferencia es
200°. Hallar el mayor ángulo del trapecio.
A. 140° B. 130°
C. 120° D. 160°
6. Si: BC = 150º y AD = 25º, calcular "x"
A
D
B
C
x
A. 72,5º B. 62,5º
C. 60º D. 65º
7. Un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene tres
lados iguales, cada uno de los cuales subtiende un
arco de 80º. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos
internos del cuadrilátero?
A. 80º B. 150º
C. 100º D. 120º
8. En la figura mostrada, hallar el valor del ángulo " " , si
PQR=2 y además, "R" y "P" son puntos de tangencia.
P
2 Q
S
R

A. 30° B. 40°
C. 55° D. 60°
9. En la figura mostrada, hallar "x", si PA = AO, AB = 112º y
"O" es centro de la semicircunferencia.
B
x A
C H O D P
A. 17° B. 34°
C. 39° D. 51°
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 45
GEOMETRÍA
10. En la figura, AB es diámetro y MBN = 40º . Hallar la
medida del ángulo NAB. (O y O' son centros)
xº
M N
A O O' B
A. 15° B. 5°
C. 10° D. 20°
11. En la figura, AB = CD. Hallar "x" , si: AD =  .
("O" es centro)
E
A
C
D
B
Oxº
A. 90°-  B. 45°+ 
C. 90°-
2

D. 180°- 2 
12. En la figura, AB es tangente a la circunferencia yAB=BC.
Si: m DC = 30º, calcularla medida del A .
A
D
C
B
A. 45° B. 55°
C. 60° D. 65°
13. En la figura mostrada, hallar el ángulo "x", si:
BC + FE = 130º.
C
B P
A x D
F Q
E
A. 25° B. 20°
C. 50° D. 30°
14. Si "O" es centro, hallar "x".
C
D
25°
A O B
x
A. 70° B. 80°
C. 60° D. 50°
15. De la figura, calcular "x" si "O" es centro.
(T: punto de tangencia).
T
x
O
2x
A. 16° B. 18°
C. 15° D. 20°
TRILCE Católica 47
Colegios
TRILCE
PROPORCIONALIDAD
GEOMETRÍA
Semana 8
Quinto Católica
TEOREMADETHALES
Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
TEOREMADELABISECTRIZ
• Bisectriz Interior
a
b
m
n
=
m n
a b
L1
L2
L3
A P
B Q
C R
Si: L // L // L1 2 3
AB
BC
PQ
QR
=
Observación:
A C
B
QP
Si: PQ // AC
BP
PA
BQ
QC
=
• Bisectriz Exterior
a
b
m
n
=
a
b
n
m
Problemas para la clase
1. En el gráfico, si: L1 // L2 // L3 , calcule “x”..
L1
L2
L3
x-1
x+1
2
4
A. 1 u B. 2
C. 3 D. 4
2. En la figura: CD//AB , determinar "x".
x + 1
B
A
C
D
x -
2
4 -
x
7 - x
A . 4 B. 1
C. 3 D. 8
TRILCE Católica48
Ciclo
Católica
3. En el gráfico, BC - AB = 16u. Calcule: AB.
A
B
C
M N

97
A. 56 u B. 63
C. 62 D. 49
4. L1 // L2 // L // L43 , calcule “x”, si: m - n = 9u.
L1
L2
L3
L4
2
4
5
n
x
m
A. 6 u B. 12
C. 24 D. 19
5. Hallar "CR - AR", si: AB = 5, BC = 7 y AC = 6.
A
B
C
R
 
A. 4 B. 2
C. 3 D. 1
6. Calcule: xº
xº
45º
4 3
A. 37º B. 53º
C. 30º D. 45º
7. En el gráfico, AB = 8u, BC = 6u y AC = 7u. Calcule:
AM
4
 
 
 
A
B
CM
 
A. 1 u B. 2
C. 4 D. 5
8. En la figura: ;
5
2
BC
AB  si: DE = 3, calcular: "2EF", si:
.L//L//L 321

A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
A . 7,5 B. 8
C. 15 D. 12
9. Calcular "AR", si: AB = 10, BC = 14 y AC = 12.
A
B
R

C

A. 10 B. 6,5
C. 5 D. 3
10. Hallar "CP", si: AC = 12 y AB = 3BC.
A
B
C P


A. 3 B. 4
C. 6 D. 12
11. En la figura: mABE=mEBD=mDBC = 45°, AD = 5 y
EC = 12, calcular "AC".
A
B
E D C
A. 10 B. 12
C. 8 D. 15
12. Calcular "QC", si: AP = 5 y PQ = 3.
A
B
P Q C
A. 4,5 B. 6
C. 8 D. 7
TRILCE Católica 49
GEOMETRÍA
13. Si: AB = 4, BC = 3, CD //EH. Hallar "CH" si: HF = 4,5 y
L // L // L1 2 3
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3H
A. 6 B. 7,5
C. 7 D. 5
14. En la figura, MN // AC; AB 6 y AC = 14. Calcular "MN".
A
B
M N
C


A. 4 B. 4,2
C. 5 D. 5,4
15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior ,BF
luego por "F" se traza AB//FQ ("Q" en ),BC la bisectriz
del ángulo FQC intersecta a AC en "R". Si:
FR = a y RC = b, calcular "AF".
A . )ba(
b
a  B. ab
C. )ba(
a
b  D. )ba(
ab

16. Si: PR//AByRQ//BP , calcular "x".
A
B
C
P Q
R
2 3x
A. 5 B.
5
3
C.
10
3 D. 4
17. En la figura BC = 15. Hallar "DC", si "G" es baricentro del
triángulo ABC y "L" es paralela a "AB".
A
B
D
L
G C
A. 12 B. 10
C. 7,5 D. 8
18. En un triángulo ABC la ceviana AP biseca a la bisectriz
interior BQ . Calcule “AB”, si: BP = 3u y PC = 5u.
A . 8 u B. 7
C. 12 D. 6
19. En la figura: ,MN//PQ 5(AP) = 3(PB), MC = 4(BM),
AQ = 6 y NC = 12. Calcular "QN".
A
B
C
P
Q
M
N
A. 10 B. 13
C. 18 D. 12
20. Calcular:
PE
EGPE 
, si: "G" es baricentro del PQR.
Q R
E
G


P
A. 2 B.
4
3
C. 1 D.
3
2
TRILCE Católica50
Ciclo
Católica
1. En la figura mostrada, L1 L2// L3// L// 4 , calcular:
(y - x).
x + 1
3 cm
x + y
7,5 cm
L1
L2
L3
L4
y 2(x + y)
A. 1,0 cm B. 3,0
C. 1,5 D. 5,0
2. Si: L1 L2// L3// , calcular: (a + b + c).
9
c
b
a
6
8
L1
L2
L3
2 4
A. 12 B. 24
C. 16 D. 19
3. En la figura: CD//AB , calcular "x". (En centímetros)
6+x
A
8-x
C
Dx+16-x B
A. 1 cm B. 2
C. 3 D. 4
4. Si: L1// L2 // L3, OA=
1
3 OB =
1
2 BC y ademásA'C' = 72 cm,
calcular B'C'.
O
L1
L2
L3
A A
B B
C C
A. 24 cm B. 36
C. 8 D. 16
5. En la figura se cumple que L1 // L2 // L3 y
AB OA BC
2 3 4
  .Si: PR = 48 m , calcular "OP".
C
O
L1
L2
L3
A P
B Q
R
A. 8 m B. 24
C. 16 D. 232
6. En la figura; calcular "x", si: L // L // L1 2 3 .
L1
L2
L3
10
6
xº
A. 30º B. 37º
C. 45º D. 60º
7. En la figura; si: AM=2(MC); calcular "xº".
A
B
C
M
xº
45º
A.
2
º37
B.
2
º53
C. 30º D. 60º
8. En la figura, calcular "x", si:QD = 2m
A

C
D
E
Q
P
B

4 m 3 m
x
A.
5
3 m B.
8
3
C.
7
3 D.
4
3
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 51
GEOMETRÍA
9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AM .
Luego se traza el segmento MN paralelo a AB ("M" en
BC y "N" en AC ) . Si MN = 3 m, MB = 2 m y MC = 4 m,
hallar "AC".
A. 12 m B. 15
C. 9 D. 14
10. Calcular "MN"; si: AB=4; BC=8; AE=3; EF=1; FC=6.
A
B
C
E F
M N

 
A.
3
4
B.
7
3
C.
7
2
D.
7
4
11. Halla "x" , si: MN //BC
B
NM
A
C
x - 2
3x - 2
1 cm
x - 2
A. 1 cm B. 3
C. 4 D. 6
12. En la figura, AB//CD. Halla "x".
AC
B
8 - x
D
x + 1
6 - x
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1,5
13. En la figura: .L//L//L//L 4321 Si: BC.CD = 225 y
NR.RS = 256, hallar:
MN
AB
A
B
C
D
M
N
R
S
A.
15
16
B.
16
15
C.
8
15
D.
15
8
14. En el gráfico las rectas L1 , L2 y L3 son paralelas. Cal-
cule “x”.
L1
L2
L3
1
4
x



m
n
p
A. 2,2 u B. 2,0
C. 3 D. 3,5
15. Del gráfico "T" punto de tangencia, calcular "x".
T
x
2
5


A. 7 B. 10
C. 10 D. 7
Colegios
TRILCE
TRILCE Católica 53
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
GEOMETRÍA
Semana 9
Quinto Católica
1er. Caso: Si tienen 2 ángulos de igual medida.
2do. Caso: Si tiene 2 lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual
medida.
a
b
a.k
b.k
3er. Caso: Si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
a c
b
a.k c.k
b.k
SEMEJANZADETRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos
respectivamente proporcionales.
Lados Homólogos: Se denominan así a los lados que se oponen a ángulos congruentes, en triángulos semejantes.
A
C
B
H
c
ab M
T
N
h
t
mn
ABC  MNT
a
m
b
n
= c
t
= H
h
= = K K Razón de semejanza
TRILCE Católica54
Ciclo
Católica
Problemas para la clase
1. Hallar "PQ", si: AC//PQ .
A
B
C
P Q
6
12
2
A. 4 B. 6
C. 3 D. 8
2. Del gráfico, calcular "x".
8
x2a

a

A. 10 B. 15
C. 12 C. 18
3. En el triángulo ABC mostrado, hallar "x".
B
A
C
4
x
2 10
A. 6 B. 1
C. 5 D. 2
4. Un triángulo tiene por lados 20, 26 y 30cm, ¿cuáles son
los lados de otro triángulo semejante de 114 cm de
perímetro?
A . 30, 49 y 35 cm B. 30, 39 y 45
C. 15, 35 y 64 D. 40, 34 y 30
5. Calcular "x".
A
Q
B
R
C
P S
x
9 x 4
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
6. Dado un trapecio de bases: BC = 2 y AD = 17. Se traza MN
paralelo a las bases ("M" y "N" en CDyAB
respectivamente). Calcular "MN", si: 3MB = 2MA.
A . 15 B. 13
C. 11 D. 8
7. En la figura "O" es centro de la semicircunferencia.
CP = 8; DP = 2; AB = 8, calcular "PB".
A
D
B
C
O
P
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
8. Hallar el lado del cuadrado mostrado en la figura en función
de la base "b" del triángulo sobre el cual descansa y de la
altura "h" relativa a dicha base.
h
b
A.
h2b
bh2

B.
hb2
bh2

C.
hb
bh

D.
bh
hb 
9. Los lados de un triángulo miden 18, 24 y 36 unidades.
Hallar el menor lado de un triángulo semejante cuyo
perímetro es 65 unidades.
A . 16 u B. 10
C. 15 D. 20
10.En un triángulo ABC se traza la ceviana AP de modo que:
m  BAP = m  BCA, BP = 5 y PC = 7, calcular "AB".
A . 16 B. 2 15
C. 54 D. 38
11.En la figura mostrada, hallar "AM".
A
B C
D
M
8
4
A. 1 B. 2
C. 1,5 D. 2,5
TRILCE Católica 55
GEOMETRÍA
12. Dibuje el triángulo rectángulo ABC recto en "B". Sobre
BC se toma el punto "P" y se traza PH perpendicular a
AC . Si: AB = 5; AC = 15; PH = 3, calcular "PC".
A . 8 B. 9
C. 10 D. 12
13. Dado un paralelogramo ABCD tal que:
5AB = 4BC. En AC se ubica el punto "P", calcular la
distancia de "P" a ,AB si la distancia a AD es 2.
A . 1 B. 1,5
C. 2 D. 2,5
14. Calcular "x" si los triángulos ABC, CDE, ERK son equiláteros.
A
C E K
B
D
R
9 x 4
A. 6 B. 26
C. 23 D. 12
15. Calcular "x" si la figura sombreada es un cuadrado y
ab = 12.
a x b
A. 4 B. 23
C. 32 D. 3
16. En un triángulo ABC se trazala ceviana AP de modo
que: m  BAP = m  BCA, BP = 2 y PC = 6. Calcular
"AB".
A . 23 B. 32
C. 15 D. 4
17. En un trapecio ABCD ),AD//BC( "M" es el punto medio
de .CD Si: m  BAM = m  CDA y BC = 7, AD = 25.
Calcular "AM".
A . 18 B. 20
C. 24 D. 21
18. Calcular ,
BC
AB
si: BE = 3 y BD = 2.
A E
D
C
B



A.
8
3
B.
8
27
C.
18
23
D.
27
8
19. Según el gráfico: OD//BC y OD = 2AB, calcular "BC",
si: AD = 4 u.
O B
C
A
D
A. u22 B. 3
C. 2 D. 1
20. En un triángulo ABC la distancia de "B" a AC//MN es
5/7 de la altura .BH Si los lados del triángulo son:
AB = 7, AC = 5 y BC = 9, hallar el perímetro del
triángulo MBN.
A . 21 B.
5
147
C. 15 D.
5
14
TRILCE Católica56
Ciclo
Católica
Tarea domiciliaria
1. En la figura mostrada, calcular “AB”, si: BC.AD=144 m2;
además: AM = BM.
D A
M
BC
A. 9 m B. 12
C. 18 D. 24
2. En la figura; AB // CD , BE=12 cm, EC=4 cm y CD=3 cm,
calcular "AB".
A
B
C
DE
A. 6 cm B. 12
C. 8 D. 9
3. En la figura, BC // AD,AB //DC . Halla "RP" , si: RP //BC .
B
A D
CQ
PR
1 cm 2 cm
A. 0,50 cm B. 0,75
C. 0,25 D. 0,60
4. Hallar “MQ”, si: BC = 25 m, TC = 4AT, “M” y “T“ son pun-
tos de tangencia.
A
B
C
M
TQ
A. 3 m B. 5
C.
4
3
D. 23
5. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 30 cm,
BC = 50 cm y AC = 40 cm. Por un punto "M" ubicado en
AB y distante 12 cm del vértice "B" se traza MN // AC .
Calcular el perímetro del cuadrilátero MNCA.
A. 96 cm B. 104
C. 100 D. 102
6. Si ABCD es un paralelogramo; calcular "QD".
Si: BQ = 8 m; BF = 12 m y FC = 6 cm
B
A D
C
Q
F
A. 10 m B. 12
C. 16 D. 18
7. Hallar “R” en la figura mostrada, si AB y CD son
diámetros perpendiculares. (EM = 2 m y MC = 4 m).
A
B
C
M
D
E
R
O
A. 2 m B. 2
C. 3 D. 32
8. Calcular “PQ”, si “H” es ortocentro. Además: BQ = 2 m;
PB = 4 m; AP = 8 m y AC = 18 m.
A
P
B
Q
C
H
A. 2 m B. 3
C. 4 D. 5
9. En la figura mostrada, calcula la longitud del segmento
CE , sabiendo que CD es bisectriz y DE // AC .
A
B
C
D E
6
4
A. 6 u B. 2,4
C. 3,2 D. 3,5
TRILCE Católica 57
GEOMETRÍA
10. Dado un cuadrado y un triángulo equilátero con el mis-
mo perímetro "l", calcular "x", si: PM = MS.
P S C
R
B
Q
x
MA
A. 25
l
B.
3
3
1
4
 
  
 
 
l
C.
 
 
 
 
 
l 3
6
1
-
4 D.  2 5l
11. En la figura hallar "x"
A
B
C
D
E x
15 cm
9 cm
12 cm
5 cm
A. 8 cm B.
25
3
C.
23
3 D. 6
12. Hallar: AQ, si : BH=
2
3
, BC = 3 y AC = 2.
B
Q
A H C
A. 2,5 B. 3
C.
3
3
D.
3
32
13. En la figura, calcular el radio de la circunferencia, si AB
y CD son diámetros perpendiculares. (EM=2 y MC=4).
C
A M B
O
R
E
D
A. 2 B. 3
C. 32 D. 2
14. Dado un paralelogramo ABCD, se traza una recta
AP ("P" en CD ) que corte a BD en "Q". Calcular
"PD", si: CD = 24 y BQ = 3(QD).
A. 10 B. 12
C. 8 D. 18
15. Si: OB = 4OC, AB // CD y OD = 5 m, hallar "OA".
A
O
B
C D
A. 16 m B. 12
C. 20 D. 25
TRILCE Católica 59
Colegios
TRILCE
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
GEOMETRÍA
Semana 10
Quinto Católica
Proyección ortogonal
La proyección ortogonal de un punto sobre una recta; es el pie de la perpendicular trazada por dicho punto
a la recta. Esta perpendicular se denomina proyectante y la recta eje de proyección.
A
Proyectante
A'
L
Eje de Proyección
" A' " es la proyección de "A" sobre L
 En el triángulo
. AH es la proyección de "c" sobre "b"
. HC es la proyección de "a" sobre "b"
B
C
N
a
b
c
A H
. NC es la proyección de "b" sobre "a"
. BN es la proyección de "c" sobre "a"
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
A
B
C
b
c h
a
n m
a y c
b
h
n
m
:
:
:
:
:
Catetos
Hipotenusa
Altura relativa a la hipotenusa
Proyección del cateto "c" sobre la hipotenusa "b"
Proyección del cateto "a" sobre la hipotenusa "b"H
TRILCE Católica60
Ciclo
Católica
* Teorema 1:
En todo triángulo rectángulo, un cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto
sobre la hipotenusa.
a2 = b.m c2 = b.n
Demostración:
ABH ~ ABC
A
B
c
n


c
b
 
c
b
n
c
c = b.n2
=
H A
B
C
BHC ~ ABC
H C
B
a
m

a
B
A Cb


a
b
m
a
a = b.m2
=
* Teorema 2:
En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
h2 = m.n
Demostración:
ABH ~ BHC
Cn
 h
m
n
h
h = m.n2
=

h


h
mA
B
H
B
H
* Teorema 3:
En todo triángulo rectángulo el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a
la hipotenusa.
a.c = b.h
TRILCE Católica 61
GEOMETRÍA
Demostración:
ABH ~ ABC


a
b

c
b
h
a
a.c = b.h
=

hc
A
B
H
B
A C
* Teorema 4: (Teorema de Pitágoras)
La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
a2 + c2 = b2
Demostración:
Sumando las dos expresiones del teorema 1, es decir:
a = b.m
c = b.n
2
2 +
a + c = b.m + b.n
a + c = b(m + n) a + c = b
2 2
2 2 2 2 2
b
* Teorema 5:
En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la
suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.
222 a
1
c
1
h
1 
Demostración:
Del teorema 3:
a.c = b.h; elevando al cuadrado:
a2.c2 = b2.h2
22222
22
222
2
2 a
1
c
1
h
1
c.a
ca
h
1
c.a
b
h
1



Propiedad:
P
Q
R T r0 01
Si: "P", "Q" y "T" son puntos
de tangencia, entonces:
PQ = 2 R.r
TRILCE Católica62
Ciclo
Católica
Problemas para la clase
Demostración:
Trazando: L // PQ
R r0 01
P
Qr
rR-r
R-r d
R+r
Pitágoras:
(R + r) = (R - r) + d22 2
d = 2 R.r
PQ = 2 R.r
d
L
1. La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo
miden 29 y 21 cm. Calcular la longitud del otro cateto.
A . 18 cm B. 16
C. 20 D. 22
2. Hallar la longitud del mayor cateto de un triángulo
rectángulo, cuyos lados están en progresión aritmética
de razón 3.
A . 9 B. 12
C. 15 D. 18
3. Hallar "AC", si: AH = 9 y HB = 16
C
A B
H 0
A. 25 B. 15
C. 10 D. 45
4. Calcular la longitud del menor cateto de un triángulo
rectángulo, si las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa miden 2 y 6 cm.
A . 3 cm B. 2 3
C. 3 2 D. 4
5. Calcular la altura relativa a la hipotenusa, si las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa miden 12 y 27 cm.
A . 18cm B. 20
C. 16 D. 15
6. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si
los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.
A . 3,6 cm B. 4,2
C. 4,8 D. 5,2
7. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo
rectángulo es 200 cm2. Calcular la longitud de la hipotenusa.
A . 15 cm B. 18
C. 20 D. 10
8. Si: 2AB = 3BC, calcular "
R
r
".
R
A B C
r
A.
3
2
B.
3
1
C.
9
4
D.
9
2
9. Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16 cm, ¿cuánto
se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo
rectángulo?
A . 1 cm B. 2
C. 3 D. 4
TRILCE Católica 63
GEOMETRÍA
10. Si: AN = 8 cm y MN = 12 cm, hallar "NB".
A N B
M
O
A. 16 cm B. 18
C. 20 D. 21
11. Hallar "AN"
N
P
M
A Hb a
A. ab B. 22 ba 
C. 22 ab  D. ba
ab

12. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "B", por el
punto medio "M" de AC se traza MP perpendicular a
BC . Hallar "MP", si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u
A. 6 u B. 7
C. 2 2 D. 5
13. Hallar "BD", si: AD = 8 cm y DC = 10 cm.
B
CA D
E
A. 6 cm B. 6 2
C. 4 6 D. 9
14. Los lados de un triángulo miden 9, 16 y 18. ¿Qué longitud
"x" se debe restar a cada lado para que el triángulo
resultante sea triángulo rectángulo?
A . 2 B. 1
C. 4 D. 3
15. Calcular la suma de los catetos de un triángulo rectángulo
con la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que las
proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa miden
9 y 16.
A . 32 B. 48
C. 57 D. 47
16. Se tiene un trapecio de diagonales perpendiculares las
cuales miden 12 y 9. Calcular la mediana de dicho trapecio.
A . 15 B. 12
C. 7,5 D. 10
17. "P" y "T" son puntos de tangencia: r = 5 u y AT = 9 u.
Hallar "x"
A
r
T
Bx
P
A . 4,9 u B. 5,6
C. 6,4 D. 6,8
18. En el gráfico: AB = 6 cm y BC = 8 cm. Hallar la distancia
de"O" a AC .
O C
B
A
A. 33 B. 4 3
C. 3 23 D. 2 5
19. Hallar "PD", si: BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm.
A D
CB Q
P
A. 12 cm B. 16
C. 10 D. 9
20. En el gráfico ABCD es un rectángulo, tal que: AB = 36.cm
y BC = 50 cm. Calcular "R".
O
R
R
O1
B C
A D
A. 15 cm B. 13
C. 16 D. 14
TRILCE Católica64
Ciclo
Católica
Tarea domiciliaria
1. Si ABCD es un cuadrado, calcular su perímetro, si se
sabe que: AF = 4m y BP = 3m.
F
A
P
B C
D
A. 3 m B. 16
C. 9 D. 36
2. Calcular el radio de la semicircunferencia.
A
D
C
B
2
5
A. 10 B. 3,5
C. 4 D. 4,5
3. En la figura, calcular "R", si: CD = 4m y BC = 6m.
A
B C
D
R
A. 4,2 m B. 4,1
C. 2,25 D. 5
4. Hallar el producto de AD por DF si se tiene un cuadra-
do inscrito en una semicircunferencia de radio 52 m.
A
C
B
D
E F
A. 56 m2 B. 515
C. 516 D. 53
5. En la figura, calcular el perímetro del rectángulo ABCD,
sabiendo que los radios de las circunferencias mayor y
menor, miden 8cm y 2cm respectivamente.
A
B C
D
A. 72cm B. 64
C. 56 D. 68
6. Si: AB = 2BC , calcular “ y
x
” .
A B C
y
x
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
3
2
7. En la figura, ABCD es un cuadrado, “O” es centro,
calcular mOAD.
DA
B C
O
A. 37° B. 30°
C. 53° D. 45°
8. En la figura BN=5m; 40CM  ("M" y "N" son puntos
medios de AB y BC respectivamente). Calcular "BC".
A
M
B
N C
A. 3 m B. 132
C. 32 D. 2
9. Si ABCD es un cuadrado de lado "a", calcular "R" ("P" y
"Q" son puntos de tangencia)
P B C Q
R
R
A D
A.
3
a
B.
3
a5
C.
2
a5
D.
2
a7
TRILCE Católica 65
GEOMETRÍA
10. ABCD es un cuadrado, hallar "x".
A. 11 B. 13
C. 14 D. 17
11. Si AOB es un cuadrante, hallar "x".
A
4 x
1
O 3 2 B
A. 5 B. 6
C. 7 D. 23
12. Hallar: x
20
15
x
24
A. 2 B. 8
C. 5 D. 7
B C
1
2 x
2 3
A D
13. En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar
R
r
.
B C
r
R
A D
A.
1
2 B.
1
3
C.
1
4 D.
1
5
14. Hallar "x"
10 17
x 15
A. 6 B. 14
C. 8 D. 12
15. La suma de los cuadrados de las medianas relativas a
los catetos de un triángulo rectángulo es 45 cm2. Hallar
la longitud de la hipotenusa.
A. 6 cm B. 7
C. 9 D. 10
TRILCE Católica 67
Colegios
TRILCE
POLÍGONOS REGULARES
Definición
Son aquellos polígonos equiángulos y equiláteros a la vez; cuyo centro es el centro de la circunferencia inscrita o circuns-
crita al polígono.
* Apotema (ap) : Es la distancia del centro del polígono regular a cada uno de los lados.
B
A C
E D
R
O
H
 


l5 l5
l5 ap5
B
A C
E D
O
l5 l5
l5
r
ap5
R  Circunradio r  Inradio
* Triángulo Equilátero
* Cuadrado
l4 = R 2
ap4 = r = 2
2R
A D
90°O
R
l4
H
ap4
90°
90°
90°
l4
l4
B C
B
A C
120° 120°
120°
O
Rl3 l3
H
ap3
* Hexágono Regular
A F
O
R
l6
H
ap6
60°C D
l6l6
60° 60°
60°
l6
B E
l6 = R
ap6 = r = 2
3R
l3 = R 3
ap3 = r = 2
R
GEOMETRÍA
Semana 11
Quinto Católica
TRILCE Católica68
Ciclo
Católica
Cuadro resumen
Polígono regular Ángulo central Lado del polígono Apotema del polígono
o regular regular
Arco que subtiende (ln) (apn)
Triángulo 120º l
3
= R 3 ap3 =
R
2
Cuadrado 90º l
4
= R 2 ap4 =
R 2
2
Pentágono 72º l
5
=
R
10 2 5
2
 ap
5
=  R 5 1
4

Hexágono 60º l
6
= R ap
6
=
R
3
2
Octógono 45º l
8
= R 2 2 ap8 =
R
2 2
2

Decágono 36º l
10
=
5 1
R
2
 
  
 
ap
10
=
R
10 2 5
2

Dodecágono 30º l
12
= R 2 3 ap12 =
R
2 3
2

Propiedades de Ángulos en la Circunferencia
1. Ángulo Inscrito 2. Ángulo Interior 3. Ángulo Exterior
xA
B
P
mAB=2x
a
bx
2
ba
x


x
a b
x
2
-
=
b
a
1. En la figura: L5 y L3 representan lados de polígonos
regulares. Calcular ""
 L
L
5
3
A. 82º B. 84º
C. 86º D. 88º
2. En la figura; calcular "x".
L12
L4
L x
O
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
Problemas para la clase
TRILCE Católica 69
GEOMETRÍA
3. En el gráfico PQ es el lado de un cuadrado y RT es el
lado de un triángulo equilátero; calcular "xº".
L 3
xº
L4
Q
TR
P
A. 75º B. 100º
C. 105º D. 120º
4. En el gráfico; calcular "xº" si: AB R 3 y CD R 2
("O" es el centro de la circunferencia).
xº
A
C
B
R
D
O
A. 60º B. 65º
C. 70º D. 75º
5. Si: AB R 2 y º15
B
A
R
C
D

Entonces CD es equivalente al lado de un:
A. Triángulo equilátero B. Cuadrado
C. Octógono regular D. Hexágono regular
6. En la figura; ABCDE es un polígono regular; si: AD = 5 m
calcula: "DF"
B
C
D
F
EA
A. 5m B. 10
C.
5
2 D. 8
7. Si: ABCDEF es un hexágono regular, calcular ""  .
C
B E
A F


A. 80º B. 90º
C. 60º D. 75º
8. Si ABCDEF es un hexágono regular y DPQRE es un
pentágono regular, calcular "" .
E R
Q L
P
DC
B
A F

A. 20º B. 22º
C. 24º D. 26º
9. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunfe-
rencia de radio 4 m. Calcular el lado de dicho triángulo.
A. 3 m B. 2 3
C. 3 3 D. 4 3
10. Si el perímetro de un hexágono circunscrito a una cir-
cunferencia es 48 cm, hallar la longitud del apotema
del cuadrado inscrito en la misma circunferencia.
A. 4 3 m B. 4 2
C. 6 2 D. 2 6
11. Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a una cir-
cunferencia que a la vez está circunscrita a un triángulo
equilátero de lado igual a 6 3 m
A. 24 3 m B. 24
C. 48 D. 48 2
12. El perímetro de un hexágono regular es 24 3 m. Cal-
cular el perímetro del nuevo hexágono que se forma al
unir los puntos medios de los lados del hexágono ori-
ginal.
A. 24 m B. 36
C. 8 3 D. 12 3
13. Se tiene un triángulo equilátero circunscrito a una cir-
cunferencia que a su vez circunscribe a otro triángulo
equilátero. Calcular la relación entre los perímetros de
dichos triángulos.
A. 2 B. 3
C.
1
3 D.
1
4
TRILCE Católica70
Ciclo
Católica
14. En la figura se muestra una circunferencia de centro
"O" cuyo radio mide 2 m. Si el triángulo ABC es equilátero
y BC//PQ ; el perímetro del triángulo sombreado es:
O
QP
B C
A
A. 2 3 B. 4 3
C. 8 3 D. 6 3
15. En un hexágono regular ABCDEF de lado igual a 13 ,
las prolongaciones de la diagonal CA y el lado EF cor-
tan en "P"; calcular "PD"
A. 13 B. 13
C. 26 D. 132
16. Se tiene un triángulo equilátero de lado "L" y exterior-
mente de altura "x", sobre cada lado del triángulo. Lue-
go al unir los vértices libres se forma un hexágono re-
gular, entonces:
A.
2
3L
x  B.
2
L
x 
C.
3
3L
x  D.
6
3L
x 
17. Dado un cuadrado de lado "L" a partir de cada vértice y
sobre cada lado se toma un segmento que mide "x", de
tal manera que al retirarlos y unir los extremos libres se
forma un octógono regular. Calcular "x" en términos de
"L".
A. )21(
2
L
 B. )12(
2
L

C. )22(
2
L
 D. )12(
4
L

18. Sea ABC un triángulo obtusángulo y sea "R" el radio de
la circunferencia circunscrita a él, los ángulos agudos
suman 45º, entonces el lado mayor es igual al:
A. Lado del triángulo equilátero inscrito en la circunfe-
rencia.
B. Lado del cuadrado inscrito en la circunferencia.
C. Lado del pentágono regular inscrito en la circunfe-
rencia.
D. Lado del hexágono regular inscrito en la circunfe-
rencia.
19. Si: mAP=mPQ= mQB y cm32OA  , calcular "PR".
R
O
Q
PA
B
A. 1 cm B. 2
C. 3 D. 6
20. En la figura; calcular MN si ABC es un triángulo
equilátero y R=10 cm; además: AM = MC y BN=NC.
R
A C
N
B
M
A. 5 7 cm B. 5 3
C. 5 6 D. 5 11
1. Calcular "x".
L3 L5
x
A. 24° B. 30°
C. 36° D. 37°
2. Calcular "x".
R
x
R 2
3
R
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 75°
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica 71
GEOMETRÍA
3. Un hexágono ABCDEF se encuentra inscrito en una cir-
cunferencia de radio 2 m. Se prolonga BC y ED cor-
tándose en "P". Calcular el perímetro del triángulo BPE.
A. 6 m B. 9
C. 12 D. 15
4. En la figura, el lado del cuadrado mide 2 2 m. Hallar
el diámetro de la circunferencia menor.
A.  2 2 m B.  2 2
C.
2
2
D.
1
2
5. Determina el polígono regular cuyo lado mide 27 m,
sabiendo que la longitud de su perímetro medido en
metros, es equivalente a los 8/5 de su ángulo interior.
A. Hexágono B. Octógono
C. Decágono D. Dodecágono
6. Si el perímertro del triángulo equilátero circunscrito a
una circunferencia es 18 3 m, hallar el perímetro del
triángulo equilátero inscrito en la misma circunferen-
cia .
A.18 3 m B. 9 3
C. 6 3 D. 3 3
7. El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia
es 2 m. Calcular el lado del cuadrado circunscrito a la
misma circunferencia.
A. 2 m B. 2 2
C. 3 2 D. 6
8. Si un cuadrado y un hexágono se inscriben en una mis-
ma circunferencia, el cociente de sus apotemas es:
A.
6
4
B.
6
3
C. 3 D.
3
2
9. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH inscrito en
una circunferencia de radio 2 m. Hallar la longitud del
segmento que une los puntos medios de EF y DE .
A.
2
m
2
B.
2 2
3
C. 1 D. 0,5
10. El diámetro de una circunferencia mide 12 m. Hallar el
perímetro del triángulo equilátero inscrito en dicha cir-
cunferencia.
A. 12 3 m B. 16 3
C. 18 3 D. 3
11. La diagonal de un cuadrado mide 6 2 m. Hallar el
cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita al
cuadrado.
A. 18 m2 B. 16
C. 15 D. 12
12. Se tiene un triángulo equilátero circunscrito a una cir-
cunferencia que a su vez circunscribe a otro triángulo
equilátero. Calcular la relación entre los perímetros de
dichos triángulos.
A. 2 B. 3
C.
4
3 D.
2
3
13. En el pentágono regular ABCDE, hallar el ángulo que
forman las bisectrices interiores de los ángulos "A" y
"C".
A. 120° B. 108°
C. 144° D. 136°
14. ¿En qué relación están los perímetros de un triángulo
equilátero y un cuadrado inscritos en una misma cir-
cunferencia?
A.
4 6
3
B.
3 6
8
C.
6
4
D.
3 6
4
15. Desde un punto de una circunferencia se trazan dos
cuerdas que miden 4 m y 5 m y que además forman un
ángulo de 60°. Calcular el radio de la circunferencia.
A. 1m B. 2
C. 3 D. 7
TRILCE Católica 73
Colegios
TRILCE
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES y CUADRANGULARES
I. Áreas de regiones triangulares
1. Para todo triángulo
b
h
h
b
2
h.b
A 
A
A
h
b
A
2. Fórmula trigonométrica
A

b
a
 sen
2
b.a
A
3. Triángulo equilátero
4
3
A
2

A
4. Fórmula de Herón
ba
Ac
2
cba
p


)cp)(bp)(ap(pA 
B
(Semiperímetro)
C
A
5. En función del inradio
A
B
C
r
A = p . r
p = semiperímetro ABC
r = inradio
A
6. En función del circunradio
a
b
c
c
R
R4
c.b.a
A A
GEOMETRÍA
Semana 12
Quinto Católica
TRILCE Católica74
Ciclo
Católica
7. En función del exradio
a
b
c
B
A
A = r (p - c)c
c
c
rc
p = semiperímetro ABC
A = r (p - a)a
A = r (p - b)b
A
II . Área de regiones cuadrangulares
1. Cualquier cuadrilátero
A
B
C
D

 sen.
2
BD.ACA
A
2. Trapecio
b
mM N
a
h
h
2
ba
A 




 

A = m × h
A
m = mediana
del trapecio
3. Área del cuadrado
a
a
d a
a
A = a
2
2
d
A
2

A
4. Área del rectángulo
A h
b
A = b . h
5. Paralelogramo
b
h
A = b . h
A
6. Rombo
2
D.d
A 
D
d
A
D : Diagonal mayor
d : Diagonal menor
1. En el gráfico, calcular el área del triángulo sombreado.
Si: PQ = 16 m y QR = 2 m .
P
Q
O
R
A. 20 m2 B. 40
C. 60 D. 50
Problemas para la clase
TRILCE Católica 75
GEOMETRÍA
2. En la figura: AM = MB = R. Calcular el área de la región
cuadrangular AMBO.
B
M
A
O
R
A.
3
3R2
B.
2
3R2
C.
4
3R2
D.
8
3R2
3. ¿Cuánto debe medir "x" para que el área del trapecio
BCDE sea el doble de la del triángulo ABE?
A B C
DE
2 cm
4 cm
x
A.
2
5
cm B. 2
C.
3
4
D.
3
8
4. Calcular el área del rectángulo MNPQ, si el área del
triángulo ABC es "k". Además: BP = PC .
A
B
C
PN
M Q
A.
2
k
B.
3
k
C.
4
k
D.
3
k2
5. En la figura, ABC es un triángulo equilátero y CPQR
es un cuadrado. Calcular el área del triángulo BCP,
si: PQ = 2m .
A
B
P Q
C R
30º
A. 3 m2 B. 3
C.
2
3
D. 1
6. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden 5 m
y 12 m (m<B = 90º). La circunferencia inscrita deter-
mina sobre los catetos, los puntos de tangencia "P" y
"Q" sobre AB y BC respectivamente. Calcular el área
de la región cuadrangular APQC.
A. 36 m2 B. 25
C. 28 D. 30
7. En la figura; ABDE // , AC = 5 m ; AB = 4 m ; CG = 4 m
y GF = 2 m. Calcular el área del triángulo CDE.
C
A
D E
B
F
G
A. 3
16
m2 B.
6
35
C.
9
40
D.
8
39
8. En la figura: r // s ; AB = 4 m ; BC = 3 m ; CD = 2 m
y CF = 5 m . Calcular el área de CDEF .
A
B
D
C
r
s
F E
A. 8 m2 B. 10
C. 12 D. 14
TRILCE Católica76
Ciclo
Católica
9. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, calcular
el área de la región triangular HAC, si: BH = 12 m
y DE = 6 m .
B
C
D
EAH
A. 48 m2 B. 54
C. 64 D. 45
10. Se tiene un trapecio de bases: AB = 28 cm y DC = 64 cm.
Se toman "M" y "P" puntos en AB y CD respectiva-
mente. Si el segmento PM divide al trapecio en dos
cuadriláteros equivalentes y PD = 24 cm, calcular MB .
A. 8 cm B. 12
C. 6 D. 9
11. La base de un triángulo isósceles ABC mide 15 m y
una de las alturas iguales mide 12 m. Calcular el área
de dicho triángulo.
A. 75 m2 B. 90
C. 85 D. 60
12. La figura muestra un cuadrado ABCD de lado 2 m.
Si: "P" y "Q" son puntos medios y "T" punto de tangen-
cia. Calcular el área de la región triangular ABT.
A
B C
D
QT
P
A. 1 m2 B.
2
3
C. 2 D.
4
7
13. En el resctángulo mostrado: AC = 10 m y AB = 6 m.
Calcular el área del rectángulo ABCD.
A
B
D
C
A. 80 m2 B. 60
C. 48 D. 62
14. Según el gráfico, "O" es el centro del rectángulo ABCD,
si: mOD=2(mDN) y MN = 2 m . Calcular el área de la
región rectangular ABCD, si: MN//AD .
B C
D
N
A
M
O
A. 2m32 B. 3
C.
2
33
D. 33
15. En un romboide de lados 8 y 4 m, una altura mide 6 m.
Calcular el área del romboide.
A. 24 B. 48
C. 72 D. Hay dos respuestas
16. Si ABCD es un cuadrado de área 64 m2, calcular el
área de la región triangular PBC, siendo "T" punto de
tangencia y "O" es centro.
A
B C
D
T
P
O
A. 18 m2 B. 20
C. 30 D. 24
17. En el rectángulo ABCD , calcular el área del triángulo
PQR, si: MN = 6 m y BC = 11 m.
P
Q
R
r
A
B C
D
r
r
M N
A. 10 m2 B. 12
C. 14 D. 16
18. La figura representa un rectángulo subdividido en
otros cuatro rectángulos con sus respectivas áreas.
El valor de "a" será:
a 8
9 2a
TRILCE Católica 77
GEOMETRÍA
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
19. En la figura, calcular el área de la región sombreada:
"A" y "C", centros).
A
B
C
20m 15m
A. 60 m2 B. 80
C. 100 D. 50
20. Calcular el área de la región triangular que se forma
al unir los centros "O" ; "O1" y "O2", si: a = 9m ; b = 16m
y c = 4 m . ("M", "N", "P" son puntos de tangencia).
M N P
a
b
c
O1 O2
L
A. 75 m2 B. 100
C. 150 D. 200
1. Calcular el área de la región triangular ABC.
B
60°
A C
6u
4u
A. 6 3 u2 B. 8 3
C. 12 3 D. 14
2. En un triángulo acutángulo ABC, la altura BH mide
12 m y m < ACB = 45°. Si: AB = 13 m, calcular el área de
la región triangular ABC.
A. 90 m2 B. 96
C. 102 D. 118
3. El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u.
Calcular el área de su región.
A. 18 3 u2 B. 15 3
C. 9 3 D. 36 3
4. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la
relación de 1 a 2, calcular la longitud del cateto mayor
si el área del triángulo es 16 u2.
A. 5 5 u B. 4 5
C. 6 D. 8
5. Según la figura, AC = 12 m ; BH = 9 m, además:
BE = 2(EH). Calcular el área de la región ABCE.
B
E
A
H
C
A. 18 m2 B. 20
C. 36 D. 35
6. Calcular "a" si el área del triángulo PQR es 24 u2.
Q
a
P R
3a
A. 1 u B. 2
C. 3 D. 4
7. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDE es un trián-
gulo equilátero de lado 4 m. Calcular el área de la
región triangular AED.
B C
E
A D
A. 8 m2 B. 1
C. 4 D. 6
8. En un cuadrado ABCD, hallar el área si se sabe que
BD mide 2 2 cm.
A. 5 cm2 B. 4 2
C. 2 3 D. 4
9. Si se sabe que el lado del cuadrado ABCD es 2 cm,
hallar el área de la región cuadrada que se forma al
unir los puntos medios de los lados de dicho cuadra-
do.
A. 1 cm2 B. 2
C. 2 D. 2 - 2
Tarea domiciliaria
TRILCE Católica78
Ciclo
Católica
10. El diámetro de una circunferencia mide 4 cm. Hallar el
área del cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
A. 2 2 cm2 B.
2
2
C. 4 2 D. 8
11. Si el área de un hexágono regular es 396 m2, hallar
el área del triángulo que se forma al unir los puntos
medios de tres lados no consecutivos de dicho hexá-
gono.
A. 18 3 m2 B. 36
C. 36 3 D. 81
12. Si se sabe que los lados de un rectángulo están en
la relación de 2 a 1 y que su perímetro vale 27 cm.
Hallar el área de dicho