95-ejercicios-resueltos-de-gradientes

Vista previa del material en texto

StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad.
95 Ejercicios Resueltos DE Gradientes
Ingenieria economica (Universidad Francisco de Paula Santander)
StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad.
95 Ejercicios Resueltos DE Gradientes
Ingenieria economica (Universidad Francisco de Paula Santander)
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
https://www.studocu.com/co/document/universidad-francisco-de-paula-santander/ingenieria-economica/practica/95-ejercicios-resueltos-de-gradientes/2837663/view?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
https://www.studocu.com/co/course/universidad-francisco-de-paula-santander/ingenieria-economica/3128198?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
https://www.studocu.com/co/document/universidad-francisco-de-paula-santander/ingenieria-economica/practica/95-ejercicios-resueltos-de-gradientes/2837663/view?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
https://www.studocu.com/co/course/universidad-francisco-de-paula-santander/ingenieria-economica/3128198?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
AUTORES: 
 
ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS 
KAREN STEFANNY CABALLERO GONZALEZ 
DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO 
SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO 
JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA 
JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES 
WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA 
NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA 
JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO 
YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ 
MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS 
DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA 
ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE 
LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA 
DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA 
PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ 
LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS 
ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO 
PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA 
HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS 
 
 
ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO 
DOCENTE 
 
 
INGENIERÍA ECONOMICA 
 
 
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 
FACULTAD DE INGENIERÍAS 
INGENIERÍA INDUSTRIAL 
SAN JOSÉ DE CÚCUTA 
2018 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________ 
95 EJERCICIOS RESUELTOS 
 DE GRADIENTES 
____________________ 
 
ELABORADO POR: 
ESTUDIANTES DE QUINTO 
SEMESTRE DE INGENIERÍA 
INDUSTRIAL 
 
____________________ 
 
2018 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
 
PRÓLOGO 
 
En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica 
o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el 
manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un 
dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, 
mediante la resolución de problemas 
Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de 
cuatro módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de 
Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una 
herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, 
Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la 
Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos 
de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la 
reflexión, la búsqueda y la investigación. 
 
Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero 
Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos 
periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; 
esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente 
anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de 
gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético, pero si 
la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente 
anterior el gradiente es geométrico. 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE 
SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES: 
 
GRADIENTE ARITMETICO 𝑃 = 𝐴 ቂ(1+𝐼)𝑛−1(𝐼)(1+𝐼)𝑛ቃ + 𝐺𝐼 ቂ(1+𝐼)𝑛−1(𝐼)(1+𝐼)𝑛 − 𝑛ቃ 1(1+𝐼)𝑛 𝐹 = 𝐴 ቂ(1+𝐼)𝑛−1(𝐼) ቃ + 𝐺𝐼 ቂ(1+𝐼)𝑛−1(𝐼) − 𝑛ቃ 
A = Anualidad 
G =Crecimiento de cada consignación o retiro 
i = interés efectivo vencido 
n = número de consignaciones o retiros 
 
GRADIENTE GEOMETRICO 
𝑃 = 𝑎1 ∗ ൦1 − (1 + 𝑗)𝑛(1 + 𝑖)𝑛𝑖 − 𝑗 ൪ 
𝐹 = 𝑎1 ൥1−(1+𝐽)𝑛(1+𝐼)𝑛𝐼−𝐽 ൩ (1 + 𝐼)𝑛 
J = porcentaje de crecimiento 
 
TENIENDO EN CUENTA QUE: 
1 AÑO = 360 DIAS 
1 AÑO = 12 MESES 
1 AÑO = 48 SEMANAS 
1 AÑO = 2 SEMESTRES 
1 AÑO = 4 TRIMESTRES 
1 AÑO = 6 BIMESTRES 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
 
Calcular el valor de los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros, para tener 
en 15 años un capital de $400.000.000 si se sabe que los depósitos crecen $2000 respecto del 
anterior y se colocan a una tasa de interés del 26% anual pagadero quincenal por los primeros 
7 años y del 15 % semestral ahí en adelante. 
Solución: 
EL PRIMER PASO Para realizar el ejercicio es necesario graficar y de esta manera ilustrar 
de una manera clara para poder desarrollarlo, se debe tener en cuenta los datos claves para 
ubicarlos y utilizaros en el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
7 años. 
2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠1 𝑎ñ𝑜 = 14 semestres 
$ 400.000.000 
P 
 1 semestre 14 semestres 30 semestres 
 
G= 2000 
26% a.p.q 15% s 
EJERCICIO # 1 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
15 años. 
2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 1 𝑎ñ𝑜 = 30 semestres 
 Se presentan dos tasa de interés, una que abarca los primeros catorce semestres con 
26% anual pagadero quincenal (i1) y del 15% semestral (i2) por los 16 semestres 
restantes 
 Posee un crecimiento de 2000 se identifica comogradiente aritmético creciente. 
 
EL SEGUNDO PASO es transformar las tasas de interés a efectivas. 
i 1 = 26%a.p.q semestral efectiva 
i q= 
26%24 = 1.083%𝑞 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 
Ahora de quincenal semestral (𝟏 + 𝒊 𝒒𝒖𝒊𝒏𝒄𝒆𝒏𝒂𝒍 )𝟏𝟐𝟏 − 𝟏 = (𝟏 + 𝒊 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)𝟏𝟏 
1 semestre=12 quincenas. 
Despejamos interés semestral: 𝒊 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 = (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟖𝟑)𝟏𝟐 − 𝟏 = 𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟕𝟗 = 𝟏𝟑, 𝟕𝟗% Semestral 
 
EL TECER PASO es identificar cual formula se va a usar para solucionarlo. 
Debido a que nos dan el futuro que es 119.000.000 proseguimos a usar claramente la 
fórmula de futuro. 
F= A((1+𝑖)𝑛−1𝑖 ) + 𝐺𝑖 ((1+𝑖)𝑛−1𝑖 − 𝑛) 
Dónde: F: futuro n= cantidad de pagos G=crecimiento de cada consignación i= tasa de 
interés 
A= anualidad. 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los valores en la fórmula: 
400.000.000= (A((1+0.1379)14−10,1379 )+ 20000.1379 ((1+0,1379)14−10,1379 − 14)) (1,15)16 + (A+(2000(14))) ((1+0.15)16−10,15 )+20000,15 ((1+0,15)16−10,15 − 16) 
400.000.000= (A(36.99)+333521,5747)(9.36)+A(28000)(55,72)+529566,2999 
A= 253,987 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un deposito en una fiduciaria a nombre de su 
hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios los cuales iniciará cuando cumpla 
18 años si la fiduciaria reconoce una tasa de interés del 20% a.p.t y estimando que para esa 
época el valor de la matrícula en la universidad será de $2.500.000 y está crecen un 5% cada 
semestre durante los 6 años que duran los estudios, ¿Cuál deberá ser el valor del depósito? 
Solución: 
Para realizar el ejercicio es necesario seguir una serie de pasos, y de esta manera desarrollarlo 
de manera eficiente y clara. 
EL PRIMERPASO es realizar una gráfica donde se ubiquen todos los datos importantes que 
nos muestra el enunciado. 
 
 
 
 
 
P p’ 17.5 Año 18 23.5 Año 24 
Año 10 
2500000 
J=5% 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
EL SEGUNDO PASO: Ya realizada a grafica identifico los diversos datos que debo usar en 
la formula. 
Podemos observar que se maneja una tasa de interés del 20% a.p.t o 20% anual pagadero 
trimestral, debido a ello es necesario transformarla a una tasa de interés efectiva. 
20% a.p.t = 
20%4 = 5% 𝑡 0.05 t. 
1 año= 4 trimestres 
Ahora de trimestral efectiva es necesario convertirla en una tasa de interés semestral. 
(𝟏 + 𝒊 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 )𝟐𝟏 − 𝟏 = (𝟏 + 𝒊 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)𝟏𝟏 
1 semestre= 2 trimestres 
Despejamos interés semestral: 𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = (1 + 0,05)2-1=0.1025 semestral.= 10,25 % semestral. i 
Por otro lado la cantidad de anualidades dependerán de: 
El valor de la primera matricula inicia cuando cumple 18 años y se debe tener presente que 
los estudios se llevaran a cabo por 6 años es decir finaliza su carrera a los 24 años, pero 
claramente la ultimo matricula se establecería en el año 23.5 o un semestre antes de que 
finalice su carrera, se podría identificar como pagos adelantados. 
Por lo tanto 23.5-17.5= 6 años 
. 6 años (
𝟐 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔𝟏 ) = 𝟏𝟐 𝒄𝒖𝒐𝒕𝒂𝒔 semestrales n 
Se utiliza 17.5 porque la primer matricula es en el año 18 de esta manera abarcaríamos 
también el valor de 2500000 o primera matricula y se transforma a semestral puesto que de 
esta periodicidad son los pagos. 
La matrícula crece 5% cada semestre J 
Por tener un crecimiento porcentual s identifica como un gradiente geométrico creciente. 
La primera anualidad o depósito tuvo un valor equivalente a $2500000 a1 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
EL TERCER PASO consiste en determinar cuál formula usar para la solución del ejercicio, 
como nos están pidiendo el valor del depósito que realizó cuando su hijo cumple 10 años 
entonces hace referencia a P, por tanto, usaremos la fórmula de Presente para gradiente 
geométrico creciente. 
P=a (
1−(1+𝐽)𝑛 (1+𝑖)𝑛𝑖−𝐽 ) 
P= presente; J= gradiente geométrico; n= cantidad de consignaciones o retiros; i= tasa de 
interés efectiva.; a1= primer retiro o consignación. 
 
EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los datos en la fórmula respectiva. 
P=2.500.000(
1− (1+0,05)12 (1+0,1025)120,1025−0.05 ). ( 1(1+0.1025)15) 
Se multiplica por ( 1(1+0.1025)15) ya que se traslada el valor total al presente (hoy, grafica en 
la posición 0) puesto que se pretende saber el valor de P, y se hace una división ya que se 
está trasladando para atrás, con un exponente que muestra los periodos mensuales necesarios 
para dicha ubicación. 
P=4882753.692 es el valor del deposito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
Una persona quiere solicitar un préstamo bancario por 3 años; su capacidad económica solo 
le permite realizar pagos mensuales de $1.240.000 que crecen todos los meses 3%. Si la 
entidad bancaria aplica una tasa de interés del 1,8% Mensual; ¿De qué valor deberá ser el 
préstamo? 
Solución: 
Para realizar este ejercicio es necesario realizar una gráfica con el objetivo de poder analizar 
mejor el ejercicio, claramente identificando los datos importantes para la solución del 
ejercicio. 
EL RPIMER PASO es graficar con los datos que aporta el enunciado 
 
 
 
 
 
P 
36 meses 
J=3% 
i=1.8% men sual 1 mes 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
3 años.
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 1 𝑎ñ𝑜 = 36 meses 
Identificamos que se maneja una tasa de interés del 1.8% mensual del cual corresponde con 
la periodicidad de los pagos, por lo tanto, no requiere transformación de tasa. i. 
La cantidad de pagos que corresponden a este ejercicio tienen totalidad de 36, puesto que se 
realizan desde el primer mes o mes uno hasta el mes 36 n 
El crecimiento porcentual es del 3%, se identifica como un gradiente geométrico creciente
J 
 
EL SEGUNDO PASO consiste en identificar cual formula es la idónea para resolver el 
problema, como en el ejercicio nos preguntan sobre el valor del préstamo, esto hace 
referencia a la fórmula de presente. 
P=a (
1−(1+𝐽)𝑛 (1+𝑖)𝑛𝑖−𝐽 ) 
P= presente; J= gradiente geométrico; n= cantidad de consignaciones o retiros; i= tasa de 
interés efectiva.; a1= primer retiro o consignación. 
 
EL TERCERPASO es reemplazar en la formula 
𝑃 = 1.240.000 [ 
 1 − (1,03)36(1,018)360,018 − 0,03 ] 
 
 
 𝑃 = $ 54.231.944,82 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Una persona próxima a pensionarse tiene depositado en un fondo de inversión la suma de 
$60´000.000. Si el fondo reconoce en promedio un interés del 12% anual pagadero quincenal 
¿Cuántos retiros mensuales de $3.800.000 que crecen $50.000 se podrá hacer, a partir de la 
fecha de jubilación que se estima será 3 años después del depósito en el fondo? 
Solución: 
Es necesario ejecutar los siguientes pasos para poder hacer el ejercicio: 
EL PRIMER PASO es hacer la gráfica con el objetivo de poder analizar de manera óptima 
el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 60.000.00036 meses (3 años) 
A= 3.800.000 
G= 50.000 
i =12% a.p.q P’ 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
EL SEGUNDO PASO es identificar los datos pertinentes para desarrollar el ejercicio. 
En primera instancia la tasa de interés es 12% a.p.q es necesario transformarla a mensual 
efectiva 
i a.p.q = 
12%24 = 0,5% quincenal 
1 año= 24 quincenas. 
(𝟏 + 𝒊 𝒒𝒖𝒊𝒏𝒄𝒆𝒏𝒂𝒍 )𝟐𝟏 − 𝟏 = (𝟏 + 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍)𝟏𝟏 
1 mes = dos quincenas 
Despejamos interés mensual: 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓)𝟐 − 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏% Mensual i 
Otro dato importante es el crecimiento de cada retiro, que equivale a 50.000, se identifica 
como gradiente aritmético creciente G 
El valor del primer retiro equivale a 3.8000.000 A 
El valor del depósito tiene una suma de 60.000.000 P 
 
EL TERCER PASO es identificar que formula es idónea para la solución del ejercicio 
Como en este ejercicio, se hace referencia a un depósito de 60.000.000 y se quiere saber la 
cantidad de retiros, entonces se utiliza formula de presente. 
𝑷 = 𝑨 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖(1 + 𝑖)𝑛 ] + 𝐺𝑖 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 − 𝑛] ∗ 1(1 + 𝑖)𝑛 
 
EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los datos en la fórmula correspondiente 𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = (𝟑. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ቂ (1+0.01)𝑛−10.01(1+0.01)𝑛ቃ + 50.0000.01 ቂ(1+0.01)𝑛−10.01 − 𝑛ቃ ∗ 1(1+0.01)𝑛) 1(1+0.01)35 
 
n = 22 ,1 cuotas mensuales 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Se realiza la compra de un edificio acordando la siguiente forma de pago: cuota inicial 
$1.000.000.000 y el resto mediante 50 pagos mensuales el primero de 30.000.000 y 
decrecientes a razón de 500.000 mensuales. El tipo de interés de la operación se fija en el 6 
% anual. Se pide calcular la duración de la operación y el valor al contado del edificio. 
 
Solución: 
Para realizar el ejercicio es importante seguir una serie de pasos con el fin de desarrollarlo 
de una manera más clara. 
EL PRIMER PASO es graficar, con el objetivo de representar los datos y analizar el ejercicio 
de manera óptima. 
 
 
 
 
 
 
 
1.000.000.000 
30.000.000 
500.000=G 
P 
i =6% anual 
1 mes 50 meses 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL TERCER PASO consiste transformar la tasa de interés de 6% anual a mensual. (𝟏 + 𝒊 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 ) 𝟏𝟏𝟐 − 𝟏 = (𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍)𝟏𝟐𝟏𝟐 
1 año=12 meses. 
Despejamos interés mensual: 
𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂𝒍 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔) 𝟏𝟏𝟐 − 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟖𝟕 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟕% Mensual 
 
EL CUARTO PASO consiste en identificar la fórmula idónea para la solución del ejercicio 
de gradiente aritmético decreciente, como nos preguntan sobre el valor del contado, usaremos 
la fórmula de presente. 
𝑷 = 𝑨 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖(1 + 𝑖)𝑛 ] − 𝐺𝑖 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 − 𝑛] ∗ 1(1 + 𝑖)𝑛 
 
P= presente; A= primer pago; G=crecimiento del gradiente aritmético, n=cantidad de pagos 
a realizar. 
 
 
EL SEGUNDO PASO es establecer aquellos datos relevantes en el enunciado para introducirlos en 
la fórmula: 
 la tasa de interés manejada es del 6% anual i 
 el crecimiento tiene un valor de 500000, se clasifica como gradiente aritmético decreciente 
 G 
 posee una cuota inicial de 10000000000 
 la primera Anualidad del gradiente aritmético decreciente corresponde A1 
Como podemos notar la tasa de interés es del 6% anual y los pagos se hacen de manera mensual, 
por lo tanto, debemos transformas la tasa de interés de anual a mensual. 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
EL QUINTO PASO se trata de reemplazar los valores con los datos correspondientes en la 
fórmula 
𝑷 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 [ (1 + 0,00487)50 − 10.00487(1 + 0,00487)50]− 500.0000,00487 [(1 + 0,00487)50 − 10,00487 − 50] ∗ 1(1 + 0,00487)50 
P=1.000.000.000+1328483228-520085197,2 
P=1808398031 
 
EL SEXTO PASO consiste en hallar la duración de la operación 
PASO 4: Hallo la duración de la operación 
1 año  12 meses n=4 años y 2 meses 
n años  50 meses 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Un préstamo se debe cancelar a 5 años y un interés de financiación del 36% anual pagadero 
mensual. Si las cuotas son quincenales e iguales dentro de cada semestre, pero, semestre a 
semestre decrecen en $ 1.500, encontrar el valor de la primera cuota si el préstamo era de $ 
3.000.000. 
SOLUCION 
En este problema nos piden hallar el valor de la primera cuota, para ello sacaremos los 
respectivos datos los cuales se plasmaran en la grafica 
 
DATOS 
 𝑃 = 3,000,000 
 𝑖 = 36% 𝑎𝑝𝑚 = 1.48% 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 
 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 5 𝑎ñ𝑜𝑠, sin 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑔𝑜, 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 10𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 5 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑦 12 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 
 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 1,500 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO # 6 
3.000.000 
1.014812 − 10.0148 ∗ 1.014812 = 10.9211 
𝑖 = 1.48%𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 
𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
En este problema empleara la fórmula de anualidades 
𝑃 = 𝐴((1 + 𝑖)𝑛 − 1)𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 ) 
 
((1 + 𝑖)𝑛 − 1)𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 ) = 1.014812 − 10.0148 ∗ 1.014812 = 10.9211 
 
 
 
 
 
 
Despejando x que es el valor de la cuota inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.000.000 = 𝑥(10.9211) + (𝑥 − 1500)(10.9211)(1.0148)−12+ (𝑥 − 3000)(10.9211)(1.0148)−24 + (𝑥 − 4500)(10.9211)(1.0148)−36+ (𝑥 − 6000)(10.9211)(1.0148)−48 + (𝑥 − 7500)(10.9211)(1.0148)−60+ (𝑥 − 9000)(10.9211)(1.0148)−72 + (𝑥 − 10500)(10.9211)(1.0148)−84+ (𝑥 − 12000)(10.9211)(1.0148)−96 + (𝑥 − 13500)(10.9211)(1.0148)−108 
𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 58,267 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un préstamo de $ 80.000.000 al 18% semestral pagadero mensual se debe cancelar en 4 años 
con cuotas mensuales iguales dentro de cada año, pero, año tras año crecen en $ 4.000, 
encontrar el valor de la última cuota. 
 
SOLUCION 
Se pide hallar el valor de la cuota final que es 𝑥 + 12,000 
DATOS 
 𝑃 = 80,000,000 
 48 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 
 𝐸𝑙 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 4,000 
 𝑖 = 18% 𝑠𝑝𝑚 = 3%𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 
 
 
 
 
 
 
𝑥 𝑋 + 4000 𝑋 + 8000 𝑋 + 12000 
Meses 
18%𝑠𝑝𝑚6 = 3%𝑚 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Como en el problema anterior se aplicara la misma fórmula de presente 
((1 + 𝑖)𝑛 − 1)𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 ) = [ 1.0312 − 10.03(1.03)12] = 9,954 
 
 
 𝑥 = 3,161,936 
Como se dijo al principio el problema el valor de la cuota final 𝑥 + 12,000 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 3,161,936 + 12,000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80.000.000 = 𝑥(9.954) + (𝑥 + 4000)(9.954)(1.03)−12+ (𝑥+ 8000)(9.954)(1.03)−24 + (𝑥 + 12000)(9.954)(1.03)−36 
3,173,936 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
Se necesita reponer una máquina dentro de 5 meses y se estima que su precio en dicho 
momento será $ 170.000.000 Con tal fin se desea crear un fondo en una corporación que 
pagará un interés del 3% mensual por los primeros 2 años y del 5% bimestral de ahí en 
adelante. Hallar el valor del depósito que se debe efectuar dentro de un mes si los depósitos 
se incrementan en un 4% mensual, con respecto al depósito anterior. 
SOLUCION 
Para este problema los 5 primeros meses y de allí hallaremos el valor del deposito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Meses 
170,000,000 
4%𝑚 
24 
3%𝑚 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Se aplicara la fórmula de gradiente geométrico, dando como resultado 
170.000.000 = 𝑥 ൦ 1 − 1.0451.0350.03 − 0.04൪ 1.035 
El valor del depósito será igual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 = 29.627.653 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Si se deposita hoy $ 22.000.000 en una corporación que reconoce el 3% mensual durante 
cuantos meses podré hacer retiros de fin de mes de tal manera que cada retiro sea el 4% 
mayor que el retiro anterior, si se sabe que el valor del primero retiro es de $ 3.000.000. 
 
SOLUCION 
En este problema nos piden hallar el tiempo en el que se podrá realizar los retiros, para 
ello planteamos los datos en la grafica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El 𝑖 = 3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 
Aplicando la fórmula de gradientes geométrico del presente 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
𝑃 = 𝑎1 ൦1 − (1 + 𝑗)𝑛(1 + 𝑖)𝑛𝑖 − 𝑗 ൪ 
 
 
Reemplazando 
 
22´000.000 = 3.000.000 ൦1 − (1,04)𝑛(1,03)𝑛0,03 − 0,04൪ 𝑛 = 7,32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑛 = 7 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
Encontrar el valor de un préstamo a 3 años, con un interés de financiación del 3% mensual, 
si fue cancelado de la siguiente manera: la primera cuota de $3.600.000 se pagó un mes 
después de concedido el préstamo. Las demás cuotas durante el primer año aumentaron en el 
8% mensual; la cuota 13 fue la cuota 12 disminuida en el$20.000, y las demás siguieron 
disminuyendo en la misma cantidad hasta la cuota 24. La cuota 25 tiene el valor de la cuota 
24 aumentada en el 3%. Las demás cuotas del tercer año también aumentaron en el 3%. 
SOLUCION 
En primer lugar plantearemos los datos en la grafica 
 
 
 
 
 
 
 
3%𝑚 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Realizamos los respectivos cálculos 𝐽 1 𝑎ñ𝑜 = 8% 𝐽 3𝑎ñ𝑜 = 3% 𝑎2 = 3.600.000 ∗ (1,08)1 𝑎3 = 3.600.000 ∗ (1,08)2…. 𝑎12 = 3.600.000 ∗ (1,08)11 = 8.393.900 𝑎13 = 3.600.000 ∗ (1,08)11 − 20.000 = 8.373.900 𝑎14 = 𝑎13 − 20.000 ∗ (1); 𝑎15 = 𝑎13 − 20.000 ∗ (2)… 𝑎24 = 𝑎13 − 20.000 ∗ (11) 𝑎24 = 8.373.900 − 20.000 ∗ (11) = 8,153,900 𝑎25 = 𝑎24 ∗ (1,03)1 𝑎25 = 8.153.900 ∗ (1,03)1 = 8.398.517 
Como lo que nos pide es el valor del préstamo, utilizamos la ecuación de presente 
Reemplazando 𝑃 = 3.600.000 1(1,03)1 + 8.373.900 1(1,03)13 + 8.398.517 ∗ 1(1,03)25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃 = $13.208.542 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Una sociedad va a iniciar su actividad industrial con la fabricación de 50.000 unidades de 
producto, siendo su capacidad máxima de producción de 75.000 unidades, esperando que 
el ritmo de producción se incrementa en un 5% anual. El estudio se realiza para un periodo 
de 15 años valorándose al 6 % anual. ¿Cuál sería el valor hoy de la producción si su precio 
de venta es de $800/ unidad? 
 
 
Por medio del enunciado tenemos que son 800 unidades y 50.000 unidades, 800 unidades 
75.000 unidades al realizar la operación entre estos valores tenemos que: 
800unid* 50.000unid = 40.000.000 
800 + 75.000 = 60.000.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Al reemplazar el valor 40.000.000 millones por la tasa del interés más uno elevada a la ocho 
tenemos que el interés anual es de seis por ciento, y el interés anual del seis por ciento nos 
da como resultado: 
a1= 40.000.000(1.05)8 
 40.000.000(1.05)𝑛= 60.000.000 
 i= 6% anual 
Para poder eliminar el exponencial aplicamos logaritmo natural 
 n = 
ln (1.5)ln1.5 = 8.31 el 9.3 para alcanzar las 75.000 unidades se necesitan 
aproximadamente 9.3 anual. 
Reemplazando en la ecuación y solucionando cada paréntesis, potencia, cociente, producto, 
adición y sustracción tenemos que : 
P= 40.000.000 ൥1− (1+5%)9(1+6%)9.36%−5% ൩ + (60.000.000)9 ቂ(1+8%)6−18%(1+8%)6ቃ* 1(1+8%)9 
P=465840296.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
Los ingresos previstos de una instalación lúdica se estima que ascenderán a $50.000.000 
en el primer año, con un crecimiento lineal esperado del 6 % anual hasta facturar un total 
de $68.000.000, en los tres siguientes años los ingresos se estiman constantes. ¿Cuál sería 
el valor actual de dichos ingresos si se valora la operación a un 5 % anual? 
 
 
 
Del enunciado propuesto tenemos que 
F= 50.000.000 
Tasa = 6% anual 
Reemplazando cada valor en la siguiente expresión obtenemos que 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 i = 5% anual 50.000.000(1.06)𝑛 = 68.000.000 
 n = 53 a 
Reemplazando en la ecuación y solucionando cada paréntesis, potencia que es el valor de 6 
y es el tiempo resultante hasta esta fecha, cociente, producto, adición y sustracción tenemos 
que: 
 
P =50.000.000 [1 − (1+6%)(1+5%)65%−6% 6]+ 68.000.000 ቂ(1+5%)4−15%(1+5%)4ቃ 1(1+5%)6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P = 472, 534,924.6 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Los ingresos previstos que va a obtener una sociedad por su actividad en los próximos 
dieciséis años se estiman en: Los cinco primeros años $60.000.000 anuales y en los ocho 
siguientes crecerán a un ritmo del 10 % anual ¿Cuál sería el valor actual de dichos ingresos 
si se valora la operación a un 5 % anual? 
 
 
 
i= 5% anual 
Reemplazando en la ecuación de la tasa de interés podemos obtener lo siguiente 
a14= 60.000.000(1.1)13 
Reemplazando en la ecuación y solucionando cada paréntesis, potencia, cociente, producto, 
adición y sustracción tenemos que : 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
P= 60.000.000 ቂ(1+5%)5−15%(1+5%)5ቃ+ 60.000.000[1 − (1+10%)5(1+5%)55%−10% ] − 1(1+5%)5 
+60.000.000(1.1)13 ቂ(1+5%)3−15%(1+5%)3ቃ+ 1(1+5%)13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P = 982, 831,791.4 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Calcular el valor actual y final de una renta de $20.000.000 en el primer año con 
crecimiento anual del 10 % durante seis años, valorada al 5 % anual. 
 
 
Primero determinamos mediante la ecuación el valor presente 
P = A ൥1−(1+𝑖)𝑛(1+𝑖)𝑛𝑖−𝑖 ൩ 
P= 20.000.000 ൥1−(1+10%)6(1+5%)65%−10% ൩ 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Segundo se determina el valor futuro mediante la siguiente ecuación en donde 
F = A ൥1−(1+𝑖)𝑛(1+𝑖)𝑛𝑖−𝑖 ൩ * (1+i)𝑛 
F= 20.000.000 ൥1−(1+10%)6(1+5%)65%−10% ൩*(1+5%)6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P = 128, 
786,437.7 
F = 110, 676,024.7 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Calcular la cantidad que ahorrará un señor con el siguiente plan de ahorro a 10 años: 
Realizará entregas al final de cada año de $5.000.000 con un crecimiento del 2 % anual, 
al final de cada semestre aportará $1.000.000 con un crecimiento semestral del 3 %. La 
entidad financiera valora la operación a un interés del 5 % anual. 
 
 
 
 
 
Mediante la gráfica podemos observar que una cantidad de ahorro está programada a 10 
años y el otro a 20 semestres para cada uno con tasa de interés diferente. 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Reemplazando en la ecuación y solucionando cada paréntesis, potencia, cociente, producto, 
adición y sustracción tenemos que: 
 
F= 5.000.000൥ 1−(1+2%)10(1+5%)105%−2% ൩ * (1+5%)10 + 1.000.000൥ 1−(1+3%)20(1+5%)205%−3% ൩* (1+5%)20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F = 110, 676,024.7 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Dentro de presupuesto de ingresos y egresos mensuales que el señor Arteaga tiene para el 
próximo año, espera ahorrar al final de cada trimestre $700.000 e incrementar 
periódicamente dicha suma en $300.000 ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año el señor 
Arteaga, si el banco le ofrece un interés del 4.5% trimestral? 
 
Solución. 
 
Primero hacer la gráfica correspondiente. 
 
 
En un año hay 4 trimestres. 
 
La anualidad trimestral corresponde a 700.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
Aplicar la fórmula de valor futuro: 
 
 
 
Respuesta. Al final del año el señor Arteaga, tendrá ahorrado una cantidad de $ 4.849.341 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Usted necesita pedir un préstamo para la compra de un vehículo que vale 15 millones de 
pesos. Usted prevé que comprometiendo las primas que le pagan en la empresa, usted 
podría realizar pagos semestrales crecientes al 5% durante 5 años. Sus relaciones con la 
Corporación Financiera Finauto S.A. son tan buenas, que le conceden un semestre de 
gracia de capital e interés, y un interés del 14% semestral. Encuentre cuál deberá ser la 
primera y la última cuota del préstamo?. 
 
Solución. 
 
Interpretación gráfica: 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Determinar el valor de la primera cuota en el gradiente geométrico, para esto se toma como 
punto focal el semestre 0. 
Hallar el valor presente del gradiente y llevarlo al punto 0: 
 
 
 
El valor de la última cuota seria: 𝑎9 = 𝑎1 (1,05)8 𝑎9 = 2.942.896(1,05)8 = 4.347.998 
Respuesta. El valor de la primera cuota es de 2.942.896 y el valor de la última cuota es 
4.347.998 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Financiar $ 4.000.000 de hoy a tres años en cuotas mensuales que aumentan cada mes en 
la misma cantidad de dinero, sabiendo que la primera cuota, que será de $ 80.000, se 
pagará dentro de cuatro meses y que la tasa de interés sobre el saldo será del 3.3%mensual. 
Calcular cuál es el valor del gradiente? 
 
Solución. 
 
Realizar la gráfica del ejercicio: 
 
 
“n” es igual a 33 cuotas 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
Tomamos como punto focal el mes 0 y Aplicamos la fórmula: 
 
 
 
Aplicando el programa SOLVE de la calculadora científica se tiene que: 
 𝐺 = $ 10.778 
 
Respuesta. El valor del gradiente corresponde a $ 10.778 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
Una empresa vende cada mes 5000 unidades de su producto a un precio de $1.000 por 
unidad durante el primer año, a $1.200 por unidad durante el segundo año, a $1.400 por 
unidad durante el tercer año y así sucesivamente. La empresa ahorra la décima parte de su 
ingreso mensual en una corporación financiera que paga el 2.5% mensual. Hallar el valor 
total que la empresa tendrá ahorrado al cabo de siete años. 
 
Solución. 
 
Realizar la gráfica que representa la situación: 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Aplicar la fórmula: 
 
 
 
Respuesta. Al cabo de siete años la empresa tendrá ahorrado $ 916.442.500 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Se hace un préstamo por el valor de $10.000.000 y se acuerda pagar cada fin de año, 
iniciando un año después de hacer el préstamo; de tal forma que cada pago disminuye en 
$375.000 cada año respecto del anterior. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en 6 
años, ¿cuál será el pago al final del año 6? 
 
Solución. 
 
Hacer la gráfica en primer lugar: 
 
 
 
La situación representada en la gráfica es un gradiente aritmético decreciente. 
 
El valor de la deuda corresponde a 10.000.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Al final del año 6 el valor de la última cuota corresponde a la anualidad (A). 
 
Tomamos como punto focal el año 6: 
 
Se lleva el valor de la deuda al año 6 y se determina el valor futuro del gradiente que cae 
exactamente en el año 6. 
 
 10.000.000(1 + 𝑖)𝑛 = 𝐴 ቂ(1+𝑖)𝑛−1𝑖 ቃ − 𝐺𝑖 ቂ(1+𝑖)𝑛−1𝑖 − 𝑛ቃ 
 
 10.000.000(1,26)6 = 𝐴 ቂ(1,26)6−10,26 ቃ − 375.0000,26 ቂ(1,26)6−10,26 − 6ቃ 
 
 
Aplicando el programa SOLVE de la calculadora científica se tiene que: 
 
A = 4.158.916 
 
Respuesta. El pago final tendrá un valor de $ 4.158.916 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientesUna empresa comercial vende equipos de sonido con una cuota inicial de$8.500.000 y 24 
cuotas mensuales que crecen un 5% respecto de la anterior siendo la primera de 
$2.400.000 y se consigna 6 meses más delante de la cuota inicial, cargándose el 30% anual 
pagadero mensual, hallar el valor de contado. 
 
Solución. 
 
Se realiza en primer lugar la gráfica, en este caso se relaciona a un gradiente geométrico: 
 
 
 
Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual. 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
El punto focal lo tomamos en P. 
 
 
 
Respuesta. La cantidad de dinero de contado corresponde a $ 74.944.200 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Una persona debe cancelar una deuda de $60.000.000 en 5 años mediante el pago una 
serie de cuotas trimestrales que crecen $60.000 trimestrales respecto de la anterior. 
Determinar el valor de la primera cuota si la tasa de interés es del 30% anual pagadero 
bimestral?. Si no efectúa los 4 primeros pagos, ¿Cuánto debe pagar al vencer la 5ta cuota, 
para ponerse al día su deuda. 
 
Solución. 
 
Primero se hace la gráfica: 
 
Para la primera parte del ejercicio. 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva trimestral. 
 
 
 
Aplicando el programa SOLVE de la calculadora científica se tiene que: 
 
A = 5.496.855 
 
Respuesta. El valor de la primera cuota tendrá un valor de $ 5.496.855 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Para la segunda parte del ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta. La cantidad de dinero que debe pagar en el trimestre 5 es de $ 32.632.546 
para ponerse al día con la deuda. 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Pedro debe pagar durante 10 años unas cuotas semestrales que crecen 5% respecto de la 
anterior, siendo la primera cuota de $1.000.000 y pactando una tasa de interés del 16% 
semestral. Inmediatamente después de efectuar el noveno pago, se desea determinar el 
valor a cancelar para saldar la deuda. De cuánto es ese valor? 
 
Solución. 
 
Realizar la gráfica: 
 
 
En el semestre 9 cuando se va a realizar el noveno pago se desea cancelar la deuda que 
tendrá un valor “P” 
Tomar como punto focal el semestre 9 para determinar “P”: 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Se determina el valor presente de los pagos restantes es decir entre el semestre 9 y 20 que 
corresponde a 12 pagos, el valor presente cae en el semestre 8 por lo tanto se debe llevar al 
semestre 9. 
 𝑃 = 𝑎9 ൥1−(1+𝑗)𝑛(1+𝑖)𝑛𝑖−𝑗 ൩ ∗ (1 + 𝑖)𝑛 
El valor de 𝑎9 = 𝑎1 (1,05)8; luego: 𝑎9 = 1.000.000(1,05)8 = 1.477.455 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
¿Qué cantidad se concedió por concepto de un préstamo el día de hoy, si se acuerda en 
pagar 5 cuotas mensuales la primera por un valor de $10.500.000 y está aumentara en 
$1,000.000 cada mes?. Considere una tasa de interés del 10.80% anual pagadero 
semestral. 
 
Solución. 
 
Realizar la gráfica: 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Tomamos como punto focal el mes 0: 
 
 
 
Respuesta. El préstamo que se concedió el día de hoy es de $ 60.797.947 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Una maquinaria tiene una vida útil de 5 años y sus gastos de operación serán de $20,000.000 
en el primer año, y se espera que aumente en $200,000 cada año, determine el costo presente 
total considerando una tasa de interés del 20% anual. 
Solución. 
 
Hacer la interpretación gráfica: 
 
 
Después de verificar que la tasa de interés esta vencida y efectiva en el mismo periodo de 
tiempo (anual), se pasa a tomar como punto focal el año “0”: 
En donde el valor presente de la anualidad en el año “0” será igual al costo presente “P”. 
El gradiente “G” es de 200.000 y “n” es igual a 5 consignaciones. 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
Respuesta. El costo presente corresponde a $ 60.793.467 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
Un préstamo de $ 5.000.000 se debe cancelar en 3 años así: doce cuotas mensuales iguales 
en el primer año, la cuota trece es la cuota 12 disminuida en $ 500 y así sucesivamente irán 
disminuyendo en la misma cantidad hasta el mes 24. La cuota 25 es la cuota 24 aumentada 
en $ 300 y así seguirá aumentando en $ 300 hasta el mes 36. Encontrar el valor de la última 
cuota si el interés es del 1,8% mensual. 
 
Grafica Correspondiente 
Se realizarán pagos mensuales por 3 años, por lo tanto, se realizarán 36 pagos mensuales 
 
 
 
 A 
 
 
 
 
 
0 
1 12 13 24 25 36 Pagos 
mensuales 
1.8%m 
G=$500 G=$300 
$5.000.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Para la solución de este ejercicio se deben sumar las diferentes formas de la gráfica, con su 
ecuación correspondiente, así: 
 
La clave para resolver este ejercicio es identificar los pagos 13 y 25 
1. 𝑎13 = 𝐴 − $500 
2. 𝑎25 = 𝑎24 + $300 
3. 𝑎24 = 𝑎13 − 11 ∗ $500 = 𝑎13 − $5.500 
 
Reemplazando 3. En 2, 
4. 𝑎25 = 𝑎13 − $5500 + $300 = 𝑎13 − $5.200 
 
Reemplazando 1. en 4. 
 𝑎25 = 𝐴 − $500 − $5200 = 𝐴 − $5700 
5. 𝑎25 = 𝐴 − $. 5700 
 
Una vez identificado todos los pagos se plantea la ecuación y se despeja la incógnita A. Se 
debe tener en cuenta el traslado de todas las partes de la gráfica hasta el punto focal 
identificado en cero ya que es allí donde se ubica el presente. 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
5000000 = 𝐴 { (1.018)12 − 10.018 (1.018)12}+ [(𝐴 − 500) { (1.018)12 − 10.018 (1.018)12}− 5000.018 {(1.018)12 − 10.018 − 12} 1(1.018)12] ∗ 1(1.018)12+ [𝐴 − 5700 { (1.018)12 − 10.018 (1.018)12} + 3000.018 {(1.018)12 − 10.018 − 12}∗ 1(1.018)24] 
Resolviendo 𝐴 = $192.041 
La última cuota seria el pago 36 que sería: 
a36 = a25 +11*300 = a36 = A-5700+3300 = a36 = 192.041 – 5.700 + 3.300 
Ultimo pago 𝑎36 = $189.641 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Un producto de contado vale $ 800.000. A plazos financian el 70% del valor de contado 
el cual se debepagar así: 10 cuotas mensuales, la primera de $30.000, la segunda de 
$32.000 y así sucesivamente. Si la primera cuota se paga 4 meses después y además se 
pagan dos cuotas extras iguales en los meses 9 y 18, hallar el valor de estas cuotas extras 
si el interés de financiación es del 2,3% mensual. 
 
Se calcula el 70% de $800.000 $800.000 ∗ 0.7 = $560.000 
Esos $560.000 es el valor que se tiene que pagar a cuotas 
Grafica Correspondiente 
 
Si se realizan 10 pagos mensuales y el primer pago se hace 4 meses después, el último pago 
será en el mes 13 
 
 
 
 
 
 
 
$560.000 
4 13 
G=$2000 
9 18 
X X 
2.3%m 
0 
Pagos 
mensuales 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Se calcula el presente de la gráfica más el traslado de las cuotas extraordinarias realizadas 
hasta el mes cero, se debe tener en cuenta que el presente del gradiente creciente se encuentra 
un mes atrás de su primera cuota y se debe trasladar hasta el cero 
 
560.000 = {30.000 [ (1.023)10 − 10.023 (1.023)10] + 20000.023 [(1.023)10 − 10.023 − 10] ∗ 1(1.023)10} ∗ 1(1.023)3+ 𝑥(1.023)9 + 𝑥(1.023)18 
 
Despejando y resolviendo X 𝑋 = $162.913 
 
$162.913 será el valor de las 2 cuotas extraordinarias realizadas en los meses 9 y 18 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
Un préstamo se debe cancelar con 12 cuotas mensuales así: la primera es de cierto valor, que 
mes a mes se incrementa en cierta cantidad constante; si se sabe que el valor de la cuota 6 es 
de $33.500 y el valor de la cuota 12 es de $53.500, encontrar el valor de la primera y segunda 
cuota al igual que el valor del préstamo si el interés de financiación es del 2% mensual. 
 
Grafica Correspondiente 
Datos del problema 
Los siguientes datos son muy importantes pues son la clave de la solución de ejercicio 
A=? Primera cuota realizada en el primer mes 
G=? Cantidad constante que aumenta cada mes 
a6 = $33.500 Cuota numero 6 
a12 = $53.500 Cuota número 12 
i = 2%m 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la solución de este ejercicio se debe jugar con las ecuaciones generadas con los datos 
dados. Se sabe que la cuota 6 es la cuota 1 más 5 veces el gradiente y la cuota 12 es la cuota 
6 más 6 veces el gradiente, por lo tanto: 𝑎12 = 𝑎6 + 6 ∗ 𝐺 Despejando y reemplazando los datos conocidos se obtiene el 
valor de G 
𝐺 = 𝑎12 – 𝑎66 = $53.500 − $33.5006 = $3.333 𝑎6 = 𝑎1 + 5 ∗ 𝐺 Despejando y reemplazando 𝑎1 = 𝑎6 – 5 ∗ 𝐺 = 𝑎1 = $33.500 − 5 ∗ $3.333 = 𝑎1 = $16.835 
 
Valor de la primera cuota 𝑎1 = $16.835 
 𝑎2 = 𝑎1 + $3.333 = $16.835 + $3.333 = $20.168 
Valor de la segunda cuota 𝑎2 = $20168 
P 
0 
1 12 
Pagos 
mensuales 
6 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Para hallar el valor de P se aplica la ecuación correspondiente a la forma de la grafica 
 
𝑃 = $16.835 [ (1.02)12 − 10.02 (1.02)12] + $33330.02 [(1.02)12 − 10.02 − 12] ∗ 1(1.02)12 
 𝑃 = $363.587 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Un préstamo que solicito lo conceden bajo estas condiciones: dentro de un mes recibo cierta 
cantidad que mes a mes decrecerá en una cantidad constante de tal manera que en el mes 16 
lo recibido es cero. En el mes 17 empiezo a pagar la deuda con $70.000 y mes a mes 
incremento la cuota en $500 hasta el mes 35. Del mes 36 al mes 45 pago cuotas mensuales 
iguales a las del mes 35 y termino. Si el interés de financiación es del 1,5% mensual, encontrar 
el valor que recibí en el mes 1 y hallar el valor del préstamo. 
Como el movimiento de este problema se trata de préstamos y consignaciones, al momento 
de graficar, se considerará los préstamos con flechas hacia abajo y los pagos con flechas 
hacia arriba. 
Grafica Correspondiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P flechas arriba 
G 
1 1516 
17 
500 
35 36 45 
1.5%m 
P flechas abajo 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
La clave para la solución de este ejercicio es plantear las ecuaciones correctas para dejar 
todo en función a una sola incógnita, de la siguiente manera 
a1 =? 𝑎16 = 𝑎1 − 15𝐺 = 𝑎1 = 15𝐺 
a17=$70.000 𝑎35 = 𝑎17 + 18 ∗ $500 = $70.000 + 18 ∗ 500 = $79.000 𝑎36 = 𝑎35 = $79.000 
Se procede a aplicar la ecuación de presente correspondiente ya que se tienen los datos 
adecuados 
En la primera forma de la gráfica se realizan 15 pagos en la segunda forma 19 pagos y en la 
tercera forma 10 pagos 
Nota: Para calcular los pagos correspondientes sin equivocarse, se empieza a contar desde 
el primer pago realizado hasta el último pago, en cambio si se quiere conocer cuántos 
periodos hay entre una fecha y otra, se debe contar un periodo después al que tengo como 
base 
Ej.= considerando que se hacen pagos en cada mes desde el mes 30 al mes 42, cuantos 
pagos se realizaron y cuantos periodos en meses hay? 
RTA: 12 meses y 13 pagos mensuales 
 
Se deben igualar los presentes de las flechas arriba y las flechas abajo debido a que las 
flechas abajo representan la deuda, y las flechas arriba representan el pago de esa deuda, 
por lo tanto: 𝑃𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑃𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
(15 ∗ 𝐺) [ (1.015)15 − 10.015 (1.015)15] − 𝐺0.015 [(1.015)15 − 10.015 − 15] ∗ 1(1.015)15= {70.000 [ (1.015)19 − 10.015 (1.015)19] + $5000.015 [(1.015)19 − 10.015 − 19] ∗ 1(1.015)19} ∗ 1(1.015)16+ {79000 [ (1.015)10 − 10.015(1.015)10]} ∗ 1(1.015)35 
 
Despejando y reemplazando G 𝐺 = $12.622 𝑎1 = 15 ∗ $12.622 = $189331 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑖𝑏𝑖𝑑𝑎 
Para determinar el Presente o valor del préstamo se puede hallar el préstamo de los pagos o 
el préstamo de lo recibido por el banco, en este caso para facilitar el cálculo y hacerlo más 
corto se hallará el Presente de lo recibido 
 
𝑃 = ($189.331) [ (1.015)15 − 10.015 (1.015)15] − $12.6220.015 [(1.015)15 − 10.015 − 15] ∗ 1(1.015)15 𝑃 = $1.394.127 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Un artículo de contado vale $ 700.000, a plazos exigen de cuota inicial $100.000 y el resto 
para ser cancelados con 9 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota decrezca en $ 300 
respecto de la anterior. Si el interés de financiación es del 2% mensual, encontrar el valor de 
la última cuota 
Grafica del Problema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
$100.000 
$700.000 
1 9 
Pagos 
mensuales 
G=$300 
2%m 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
Aplicando la fórmula del presente correspondiente a este tipo de grafica 
 
$700.000 = $100.000 + 𝐴 [ (1.02)9 − 10.02 (1.02)9] − $3000.02 [(1.02)9 − 10.02 − 9] ∗ 1(1.02)9 
 
Despejando y resolviendo 𝐴 = $74.669 Primera Cuota 𝑎9 = 𝐴 − 8 ∗ 𝐺 = $74.669 − 8 ∗ 300 = $72.269 𝑎9 = $72.269 𝑈𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientesLa media del salario de los empleados de una fábrica es de $975.000 mensuales. En el 
contrato figura el incremento anual del 5 %. Su plantilla actual es de 16 trabajadores. Se pide 
calcular el valor actual de los salarios a pagar en los próximos 10 años a una tasa de interés 
del 15 % anual. 
 
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
¿P? 
J%= 5% 
0 
1 10 años i= 15% anual 
𝑎 1 = $2
00
.0
63
.0
11
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
El presente se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de 𝑎1. 
La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 
 
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? 
Nos preguntan el presente: ¿ P? 
 
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. 
Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un tiempo 
mensual. 
i = 15% anual a % mensual (1 + ia)1 = (1 + im)12 (1 + 0,15) 112 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,15) 112 − 1 im = 0,012 = 1,20% mensual 
 
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. 
Total pago primer mes = (16) ($975.000) = $15.600.000 
 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
F = 15.600.000 ((1 + 0,12)12 − 10,12 ) 
F = $200.063.011 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
P = 200.063.011(1 − (1 + 0,05)10(1 + 0,15)100,15 − 0,05 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P = $1.195.100.725 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Una empresa estima que sus ingresos por ventas tendrán un crecimiento semestral del 3 %, 
ascendiendo los ingresos del primer semestre a $25.000.000 Si dichos ingresos se depositan 
en una entidad financiera que valora la operación a un 5,5 % anual en los tres primeros años, 
a un 5 % anual en los tres siguientes y a un 7 % anual en los cuatro últimos. ¿Qué cantidad 
tendría ahorrada al finalizar la operación? 
 
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿F? 
J%= 3% 
0 
6 20 i= 7% anual 
𝑎 1 = $2
5.
00
0.
00
0 
12 i= 5% anual i= 5,5% anual 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
NOTA: 
El presente se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de 𝑎1. 
La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 
1 año = 2 semestres 
3 años = 6 semestres 
6 años = 12 semestres 
10 años = 20 semestres 
 
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? 
Nos preguntan el futuro: ¿ F? 
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. 
Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un 
tiempo semestral. 
i = 5,5% anual a % semestral (1 + ia)1 = (1 + is)2 (1 + 0,055)12 = (1 + i𝑠)22 is = (1 + 0,055)12 − 1 is = 0,027 = 2,70% semestral 
i = 5% anual a % semestral (1 + ia)1 = (1 + is)2 (1 + 0,055)12 = (1 + i𝑠)22 is = (1 + 0,05)12 − 1 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
is = 0,025 = 2,50% semestral 
i = 7% anual a % semestral (1 + ia)1 = (1 + is)2 (1 + 0,07)12 = (1 + i𝑠)22 is = (1 + 0,07)12 − 1 is = 0,034 = 3,40% semestral 
 
Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. 
F = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) (1 + i)n 
 
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. 
F = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) (1 + i)n 
F = 25.000.000(1 − (1 + 0,03)6(1 + 0,027)60,027 − 0,03 ) (1 + 0,027)6 (1 + 0,025)6 (1 + 0,034)8
+ 25.000.000 (1 + 0,03)5 (1 − (1 + 0,03)6(1 + 0,025)60,025 − 0,03 ) (1 + 0,025)6 (1+ 0,034)8
+ 25.000.000 (1 + 0,03)11 (1 − (1 + 0,03)8(1 + 0,034)80,034 − 0,03 ) (1 + 0,034)8 
F = $866.973.251 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
En estos momentos una sociedad ha obtenido un préstamo, acordando su pago mediante 
pagos trimestrales que variarán razón de $500.000 cada trimestre, ascendiendo el primer pago 
a $2.500.000 Si la entidad financiera valora la operación a un 6 % anual en los tres primeros 
años y a un 7% nominal en los siete restantes ¿Cuál es la cuantía del préstamo que ha 
recibido? 
 
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ¿P? 
0 
1 
G= $500.000 
G= $500.000 
12 13 40 i = 6% anual i = 7% anual 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
NOTA: 
El presente se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A1. 
La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 
1 año = 4 trimestres 
3 años = 12 trimestres 
10 años = 40 trimestres 
 
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? 
Nos preguntan el presente: ¿ P? 
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. 
Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un 
tiempo trimestral. 
i = 6% anual a % trimestral (1 + ia)1 = (1 + it)4 (1 + 0,06)14 = (1 + it)44 it = (1 + 0,06)14 − 1 it = 0,0147 = 1,47% trimestral 
i = 7% anual a % trimestral (1 + ia)1 = (1 + it)4 (1 + 0,07)14 = (1 + it)44 it = (1 + 0,07)14 − 1 it = 0,0170 = 1,70% trimestral 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. P = P1 + P2 
P1 = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) + Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
P2 = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) + Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
 
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. 
P1 = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) + Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
P1 = 2.500.000 ( (1 + 0,0147)12 − 10,0147(1 + 0,0147)12) + 500.0000,0147 ((1 + 0,0147)12 − 10,0147 − 12)∗ 1(1 + 0,0147)12 P1 = $52.033.207 
P2 = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) + Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
P2 = 2.500.000 ( (1 + 0,0170)28 − 10,0170(1 + 0,0170)28) + 500.0000,0170 ((1 + 0,0170)28 − 10,0170 − 28)∗ 1(1 + 0,0170)28 P2 = $ 171.777.459 P = P1 + P2 P = 52.033.207 + 171.777.459 
 P = $223.810.666 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
A su vez va a iniciar un plan de ahorro a 15 años mediante la entrega al final de cada mes de 
$500.000, que se irán incrementando a razón de un 2 % anual. La entidad financiera acuerda 
con el ahorrador el pago de un interés efectivo del 6 % en los cinco primeros años y del 7 % 
en los cinco últimos. ¿Cuál será la cuantía del capital ahorrado al término de la operación? 
¿Qué capital habrá ahorrado al finalizar el sexto año? 
 
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿F? 
J%= 2% 
0 
60 120 
𝑎 1 = $5
00
.0
00
 
i= 6% anual i= 7% anual 1 
𝑎 6 = $5
52
.0
40
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
El presente se sitúaun período atrás de donde está el primer valor de 𝑎1. 
La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que incrementa. 
1 año = 12 meses 
5 años = 60 meses 
6 años = 72 meses 
10 años = 120 meses 
 
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? 
Nos preguntan el futuro: ¿ F? 
 
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. 
Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un 
tiempo mensual. 
¿F? 
J%= 2% 
0 
60 72 
𝑎 1 = $5
00
.0
00
 
i= 6% anual i= 7% anual 1 
𝑎 6 = $5
52
.0
40
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
i = 2% anual a % mensual (1 + ia)1 = (1 + im)12 (1 + 0,02) 112 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,02) 112 − 1 im = 0,00165 = 0,165% mensual 
i = 6% anual a % mensual (1 + ia)1 = (1 + im)12 (1 + 0,06) 112 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,06) 112 − 1 im = 0,00487 = 0,487% mensual 
i = 7% anual a % mensual (1 + ia)1 = (1 + im)12 (1 + 0,07) 112 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,07) 112 − 1 im = 0,00565 = 0,565% mensual 
 
Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. a6 = a1 (1 + j)5 
F = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) (1 + i)n 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. 
Primera gráfica a6 = a1 (1 + j)5 a6 = a1 (1 + 0,02)5 a6 = $552.040 
F = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) (1 + i)n 
F = 500.000(1 − (1 + 0,00165)60(1 + 0,00487)600,00487 − 0,00165 ) (1 + 0,00487)60
+ 552.040(1 − (1 + 0,00165)60(1 + 0,00565)600,00565 − 0,00165 ) (1 + 0,00565)60 
F = $77.563.053 
 
Segunda gráfica 
F = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) (1 + i)n 
F = 500.000(1 − (1 + 0,00165)60(1 + 0,00487)600,00487 − 0,00165 ) (1 + 0,00487)60
+ 552.040(1 − (1 + 0,00165)12(1 + 0,00565)120,00565 − 0,00165 ) (1 + 0,00565)12 
F = $36.404.516 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
Una persona cancela una deuda a través 20 pagos mensuales vencidos. El primer pago es de 
$8.000.000 y c/u disminuye en $60.000; suponga una tasa del 30% anual pagadero semestral. 
¿Cuál será el valor de la deuda? 
 
Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
El presente se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A1. 
La gráfica se dibuja de esta manera porque dice que disminuye. 
 
¿P? 
G= $60.000 
0 
1 20 mensualidades i= 30% anual pagadero semestral 
A= $8.000.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? 
Nos preguntan el presente: ¿ P? 
 
Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. 
Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso se necesita un 
tiempo mensual. 
i = 30% anual pagadero semestral a % mensual 
i = 30 % anual pagadero semestral2 semestral = 15% semestral = 0,15 (1 + is)2 = (1 + im)12 (1 + 0,15) 212 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,15)16 − 1 im = 0,0235 = 2,35% mensual 
 
Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. 
P = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) − Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
 
Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. 
P = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) − Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
P = 8.000.000 ( (1 + 0,0235)20 − 10,0235(1 + 0,0235)20) − 60.0000,0235 ((1 + 0,0235)20 − 10,0235 − 20)∗ 1(1 + 0,0235)20 
P = $118.215.818 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
Calcular el valor actual de una renta de diez años de duración valorada al 8 % anual, con 
pagos semestrales de $5.000.000 que crecerán semestralmente a razón de un 2 %. 
 
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de 𝑎𝑖. 
1 año=2 semestres 
10 años=20 semestres 
P= ¿? J%= 2% 
0 
1 10 años i= 8% anual 
20 semestres 
𝑎 1= $5
.0
00
.0
00
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
La gráfica va de esta manera porque va en crecimiento. 
 
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es 
semestral. 
8% anual % semestral (1 + ia)1 = (1 + is)2 (1 + 0,08)12 = (1 + is)22 is = (1 + 0,08)12 − 1 is = 0,0392 = 3,92% 
 
TERCER PASO: La fórmula que se usará. 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
 
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
P = 5.000.000(1 − (1 + 0,02)20(1 + 0,0392)200,0392 − 0,02 ) 
 
 P= 81.071.593 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
Se realiza la compra de un camión acordando la siguiente forma de pago: como cuota 
inicial se abonan $10.000.000 y el resto mediante 36 pagos mensuales siendo el primero 
de $1.200.000 con un decrecimiento mensual de $20.000. Se pide calcular el valor al 
contado del camión, si se valora la operación a un interés nominal del 6 % anual. 
 
 
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de 𝑎𝑖. 
La gráfica va de esta manera porque va en decrecimiento. 
P= ¿? 
G= $20.000 
0 
1 36 meses i= 6% anual 
$10.000.000 
A= $1.200.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es 
mensual. 
6% anual % mensual (1 + ia)1 = (1 + im)12 (1 + 0,06) 112 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,06) 112 − 1 im = 0,00487 = 0,487% 
 
 
TERCER PASO: La fórmula que se usará. 
P = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) − Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
 
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 
P = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) − Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
P = 10.000.000 + 1.200.000 ( (1 + 0,00487)36 − 10,00487(1 + 0,00487)36)− 20.0000,00487 ((1 + 0,00487)36 − 10,00487 − 36) ∗ 1(1 + 0,00487)36 
 
 
 
 
P= 38.350.684 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
Se va a adquirir una nave industrial y para ello va a dedicar lo que actualmente recibe por 
el alquiler de un inmueble de oficinas. El contrato se formalizó hace tres años, con pagos 
trimestrales de $2.500.000, con un crecimiento anual del 3 % y por un periodo de 15 años. 
¿Cuál es el valor de la nave, si se valora la operación a un interés de mercado del 6 % 
anual? 
 
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de 𝑎𝑖. 
P= ¿? J%= 3% 
0 
1 año 15 años i= 6% anual 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
La gráfica va de esta manera porque va en crecimiento. 
 
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es 
trimestral. 
6% anual % trimestral (1 + ia)1 = (1 + it)4 (1 + 0,06)14 = (1 + it)44 it = (1 + 0,06)14 − 1 it =0,0147 = 1,47% 
 
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
 
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 
Se convierte los pagos trimestrales al período dado en el ejercicio, que en este caso es anual. 
Se hace hallando el futuro de una anualidad con los mismos períodos. 
1 año=4 trimestres 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
F = 2.500.000 ((1 + 0,0147)4 − 10,0147 ) 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
F= $10.222.668 
Ahora se halla lo que me piden, sabiendo que F es a1. 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
P = 10.222.668( 
1 − (1 + 0,03)15(1 + 0,06)150,06 − 0,03 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P= $119.235.370 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Calcular el valor actual de una renta de diez años de duración valorada al 8 % anual, con 
pagos trimestrales de $2.100.000 que crecerán semestralmente un 2 %. 
 
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de 𝑎𝑖. 
1 año=2 semestres 
10 años=20 semestres 
P= ¿? J%= 2% 
0 
1 año 10 años i= 8% anual 
20 semestres 2 semestres 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
La gráfica va de esta manera porque va en crecimiento. 
 
SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que son 
trimestral y semestral. 
8% anual % trimestral (1 + ia)1 = (1 + it)4 (1 + 0,08)14 = (1 + it)44 it = (1 + 0,08)14 − 1 it = 0,019 = 1,9% 
 
8% anual % semestral (1 + ia)1 = (1 + is)2 (1 + 0,08)12 = (1 + is)22 is = (1 + 0,08)12 − 1 is = 0,039 = 3,9% 
 
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 
Se convierte los pagos trimestrales al período dado en el ejercicio, que en este caso es 
semestral. Se hace hallando el futuro de una anualidad con los mismos períodos. 
1 año=4 trimestres 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
F = 2.100.000 ((1 + 0,019)4 − 10,019 ) 
F= $4.239.900 
Ahora se halla lo que me piden, sabiendo que F es a1. 
P = a1(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
P = 4.239.900(1 − (1 + 0,02)20(1 + 0,039)200,039 − 0,02 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P= $68.878.007 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
Una sociedad ha firmado el convenio colectivo con sus empleados para los próximos 10 
años, en las siguientes condiciones: El salario medio será de $915.000 mensuales, con un 
crecimiento anual de $90.000 durante cinco años y en los cinco siguientes años se 
incrementará en un 3 % anual. Si la operación se valora al 6 % efectivo anual, se pide 
calcular el valor actual de los salarios. 
 
PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P= ¿? 
J%= 3% 
0 
1 año 10 años i= 6% anual 5 6 
G= $90.000 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
NOTA: 
Las gráficas van de esta manera porque va en crecimiento. 
 
SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es 
mensual. 
6% anual % mensual (1 + ia)1 = (1 + im)12 (1 + 0,06) 112 = (1 + im)1212 im = (1 + 0,06) 112 − 1 im = 0,00487 = 0,487% 
 
TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
P = ai(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) 
p = A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) + Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n A5= A1+4*G a6= a5(1 + j)4 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 
Se convierte los pagos mensuales al período dado en el ejercicio, que en este caso es anual. 
Se hace hallando el futuro de una anualidad con los mismos períodos. 
1 año=12 meses 
F = A((1 + i)n − 1i ) 
F = 915.000((1 + 0,00487)12 − 10,00487 ) 
F= $11.278.926 
 
Se busca a6 que inicia en el sexto año, sabiendo que F es A1. A5= A1+4*G A5= 11.278.926+4(90.000) A5= $11.638.926 
 
Ahora se requiere a6, sabiendo que A5 es a5. a6= a5(1 + j)4 a6= 11.638.926(1 + 0,03)4 a6= $13.099.713 
 
Hallando lo que nos piden tenemos: 
P = a6(1 − (1 + j)n(1 + i)ni − j ) + A((1 + i)n − 1i(1 + i)n ) + Gi ((1 + i)n − 1i − n) ∗ 1(1 + i)n 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
P = 13.099.713( 
1 − (1 + 0,03)5(1 + 0,06)50,06 − 0,03 ) + 11.278.926 ((1 + 0,06)
5 − 10,06(1 + 0,06)5)
+ 90.0000,06 ((1 + 0,06)5 − 10,06 − 5) ∗ 1(1 + 0,06)5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P= $106.214.965 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
 
 
 
Hallar el valor de un préstamo financiado al 2,8% mensual que se debe pagar con 24 cuotas 
mensuales, siendo de $ 3.000.000 la primera cuota y de ahí en adelante un crecimiento de 
$40.000 mensuales. 
 
Se observa que ya tenemos ‘’A’’, ‘’i’’ y ‘’n’’ en los mismos términos, todos se dan de manera 
mensual, así que podemos proceder a hallar P, utilizando la siguiente formula: 
𝑃 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖(1 + 𝑖)𝑛 ] − 𝐺𝑖 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 − 𝑛] 𝑥 1(1 + 𝑖)𝑛 
𝑃 = 3.000.000 [ (1 + 0.028)24 − 10.028(1 + 0.028)24]− 40.0000.028 [(1 + 0.028)24 − 10.028 − 24] 𝑥 1(1 + 0.028)24 
R/. P = $58.970.303 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
Dentro de presupuesto de ingresos y egresos mensuales que el señor Arteaga tiene para el 
próximo año, espera ahorrar al final de cada trimestre $700.000 e incrementar 
trimestralmente dicha suma en $300.000 ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de 10 años el señor 
Arteaga, si el banco le ofrece un interés del 4.5% trimestral? 
 
 
 
 
Como podemos observar, el ejercicio me da los datos de ‘’A’’, ‘’e’’, ‘’i’’ en trimestres, así 
que debemos pasar ‘’n’’ de años a trimestres. Tenemos que 10 años equivalen a 40 trimestres, 
debido a que en 1 año hay 4 trimestres. 
Ahora, ya teniendo todo en las mismas unidades, procedemos a hallar F, que es lo que nos 
pide el ejercicio y lo hacemos usando la siguiente formula: 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
 
 
𝐹 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 ] − 𝐺𝑖 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 − 𝑛] 
𝐹 = 700.000 [(1 + 0.045)40 − 10.045 ] − 300.0000.045 [(1 + 0.045)40 − 10.045 − 40] 
 
R/. F = $521.790.096 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descargado por Marcelo A. Colque C. (chelo8331@gmail.com)
lOMoARcPSD|6135501
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=95-ejercicios-resueltos-de-gradientes
 
 
 
 
 
Usted necesita pedir un préstamo para la compra de un vehículo que vale 15 millones de 
pesos. Usted prevé que comprometiendo las primas que le pagan en la empresa, usted podría 
realizar pagos semestrales crecientes al 5% durante 5 años. ¿Encuentre cuál deberá ser la 
primera y la última