25-8-2021 Ejercicios Funciones Aritméticas

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Ejercicios con Funciones Aritméticas
Aux. I. Mamani
August 25, 2021
MAT-120 2-2021
Proposicion.-
Si n = pe11 · p
e2
2 · ... · perr representa la forma normal del entero positivo n, entonces todo divisor positivo d de n
esta dado por
d =
r∏
i=1
pbii
con 0 ≤ bi ≤ ei para cada i = 1, 2, ..., r.
Suma de divisores.-
Denotamos por σ (n) como la suma de los divisores positivos de n. Denotamos por σk (n) como la suma las
k−esimas potencias de los divisores positivos de n.
Proposicion.- Si n = pe11 · p
e2
2 · ... · perr , con pi un número primo para cada i = 1, 2, ..., r, entonces
σ (n) =
r∏
i=1
p
ei+1
i
−1
pi−1 =
r∏
i=1
1−pei+1
i
1−pi , σ (1) = 1
Número de divisores.-
Denotamos por τ (n) como el número de divisores positivos de n.
Proposicion.- Si n = pe11 · p
e2
2 · ... · perr , con pi un número primo para cada i = 1, 2, ..., r, entonces
τ (n) = (e1 + 1) · (e2 + 1) · ... · (er + 1)
Se sigue de las definiciones que
τ (n) =
∑
d|n
1, σ (n) =
∑
d|n
d, σk (n) =
∑
d|n
dk
Problemas
1.- Probar que
∑
d|n
d =
∑
d|n
n
d . Mas generalmente, probar que
∑
d|n
f (d) =
∑
d|n
f
(
n
d
)
.
Sol.- Sea n ∈ N y n = pe11 · p
e2
2 · ... · perr con pi un número primo para cada i = 1, 2, ..., r. Notemos que si d es
un divisor positivo de n entonces n = dz para algun z ∈ Z+. ¿Quien es z? Como d =
r∏
i=1
pbii , con 0 ≤ bi ≤ ei para
cada i = 1, 2, ..., r, entonces z =
r∏
i=1
pei−bii con bi fijado por d para cada i = 1, 2, ..., r.
1
Así vemos que nd = z. Como cada divisor positivo es distinto a los demas, entonces z =
n
d tambien es único. Por
lo que solo aparecera una vez en la sumatoría
∑
d|n
n
d . Hacer el mismo razonamiento para demostrar que, en efecto,∑
d|n
f (d) =
∑
d|n
f
(
n
d
)
.
2.- Probar que si σ−k (n) = n−k · σk (n)
Sol.-Sea n ∈ N y n = pe11 · p
e2
2 · ... · perr con pi un número primo para cada i = 1, 2, ..., r. Notemos que
n−k · σk (n) = n−k ·
(
1 + pk1 + p2k1 + ...+ p
e1k
1
)
· ... ·
(
1 + pkr + p2kr + ...+ perkr
)
n−k · σk (n) = n−k ·
(
1 + pk1 + ...+ pkr + pk1p2k2 + ...+ pk1p2kr + p2k1 pk2 + ...+ pk2p2kr + ...+ p
ke1
1 · p
ke2
2 · ... · pkerr
)
n−k · σk (n) =
1
p
ke1
1 ·p
ke2
2 ·...·p
ker
r
(
1 + pk1 + ...+ pkr + pk1p2k2 + ...+ pk1p2kr + p2k1 pk2 + ...+ pk2p2kr + ...+ p
ke1
1 · p
ke2
2 · ... · pkerr
)
Luego de hacer las simplificaciones correspondientes tenemos que
n−k · σk (n) = 1
p
ke1
1 ·p
ke2
2 ·...·p
ker
r
+ 1
p
k(e1−1)
1 ·p
ke2
2 ·...·p
ker
r
+ ...+ 1
p
ke1
1 ·p
ke2
2 ·...·p
k(er−1)
r
+ 1
n−k · σk (n) =
(
1 + 1
pk1
+ 1
p2k1
+ ...+ 1
p
ke1
1
)
· ... ·
(
1 + 1
pkr
+ 1
p2kr
+ ...+ 1
pkerr
)
n−k · σk (n) =
∑
d|n
d−k
n−k · σk (n) = σ−k (n)
En partícular de esto se deduce que si n es un número perfecto, esto es σ (n) = 2n, entonces σ−1 (n) =
∑
d|n
d−1 = 2.
Recuerdese que un entero positivo n es multiperfecto si σ (n) = kn, donde k ∈ Z y k ≥ 3.
3.- Sea n ∈ N.Probar que si d | n y δ | nd , entonces d |
n
δ .
Sol.- Esto no es dificil de probar. Como n = dk para algun k ∈ Z, y nd = δj para algun j ∈ Z. De donde se
sigue que k = δj, por lo que n = dδj, o tambien nδ = dj. Así d |
n
δ .
4.- Probar que el conjunto de parejas ordenadas (d, δ), donde d recorre todos los divisores positivos de un
entero positivo fijo n y para cada valor de d, δ recorre todos los divisores positivos de nd , es un conjunto simétrico
en el sentido de que si (a, b) pertenece al conjunto, entonces (b, a) tambien lo hace.
Sol.- Sea d un divisor positivo de n. Sea δ un divisor positivo de nd . Por el ejercicio anterior δ es tambien un
divisor positivo de n. Tambien d | nδ . Entonces, si (d, δ) pertenece al conjunto de parejas ordenadas, se concluye
que (δ, d) tambien pertenece a dicho conjunto.
Ejercicios para el estudiante.-
1) Probar que un entero positivo q es primo si y solamente si σ (q) = q + 1.
2) Demostrar que si para algun n ∈ N, τ (n) = 2, entonces n es primo.
2