26-8-2021 Producto de Dirichlet

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Producto o Convolucion de Dirichlet
Aux. I. Mamani
August 26, 2021
MAT-120 2-2021
Una funcion aritmética es una funcion de valores complejos cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
Por ejemplo la funcion ϕ (n) de Euler es una de dichas funciones. Otra funcion aritmética importante es la funcion
µ (n) de Möbius que esta definida por
µ (n) =

1 si n = 1
(−1)k si n es el producto de k distintos primos
0 si n es divisible por el cuadrado de algun numero primo
Así, por ejemplo
µ (1) = 1; µ (2) = −1; µ (3) = −1
µ (4) = 0; µ (5) = −1; µ (6) = 1
µ (7) = −1; µ (8) = 0; µ (9) = 0
µ (10) = 1
Definimos la convolucion de Dirichlet, f ∗ g, de dos funciones aritméticas como
(f ∗ g) (n) =
∑
d|n
f (d) g
(
n
d
)
=
∑
d·d′=n
f (d) g (d′)
donde la sumatoria corre sobre todos los divisores positivos d de n, con n ∈ Z+. La convolucion de Dirichlet se
presenta frecuentemente en problemas multiplicativos en teoría elemental de números.
A continuacion definimos la funcion aritmética δ (n) por
δ (n) =
1 si n = 10 si n ≥ 2
y la funcion 0 (n) como 0 (n) = 0 para cualquier n ∈ N. Definimos la suma puntual de funciones aritméticas fy
g como
(f + g) (n) = f (n) + g (n)
1
Existen dos formas naturales de multiplicar funciones aritméticas f y g. La primera es la convolucion de
Dirichlet, ya mencionada arriba, y el segundo es el producto puntual de funciones aritméticas f y g definidad por
(f · g) (n) = f (n) g (n)
Vamos a probar que el producto de Dirichlet, tal como esta definido, es conmutativo, asociativo y distibutivo
sobre la adicion. Esto equivale a afirmar que
f ∗ g = g ∗ f
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
y
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
para cualesquiera funciones aritméticas f, g y h.
Recordemos que
∑
d|n
d =
∑
d|n
n
d
y mas generalmente que
∑
d|n
f (d) =
∑
d|n
f
(
n
d
)
.
De esto vemos que
f ∗ g =
∑
d|n
f (d) g
(
n
d
)
=
∑
d|n
g
(
n
d
)
f (d) =
∑
d|n
g (d) f
(
n
d
)
= g ∗ f
Por lo que, en efecto, la convolucion de Dirichlet es conmutativa.
Ahora vemos que
((f ∗ g) ∗ h) (n) =
∑
d|n
(f ∗ g) (d)h
(
n
d
)
Sea m = nd . Esta última igualdad nos da como resultado
∑
dm=n
(f ∗ g) (d)h (m)
Sean k, l ∈ Z+, tales que kl = d. Es decir k y l corren entre todos los posibles divisores de d. Vemos que k | d y
l = dk . La anterior igualdad, bajo esta observacion nos da como resultado
2
∑
dm=n
(∑
k|d
f (k) g
(
d
k
))
h (m)
o equivalentemente
∑
dm=n
( ∑
kl=d
f (k) g (l)
)
h (m)
A continuacion, vemos que podemos hacer lo siguiente
∑
klm=n
f (k) g (l)h (m)
Esto pues para cada m fijo, divisor de n, d es único. Por lo que
∑
kl=d
f (k) g (l) recorre todos los posibles valores
de k y l tales que kl = d, para dicho valor de d. Como
∑
dm=n
( ∑
kl=d
f (k) g (l)
)
h (m) recorre todos los valores de d y
m tales que dm = n, entonces podemos afirmar que
∑
dm=n
( ∑
kl=d
f (k) g (l)
)
h (m) =
∑
k · l︸︷︷︸
d
·m=n
f (k) g (l)h (m)
Como klm = n se sigue que l | nk . Además k | n. Por lo que
∑
klm=n
f (k) g (l)h (m) =
∑
k | n︸︷︷︸
klm=n
f (k)
( ∑
n
k =lm
g (l)h (m)
)
Esto se justifica pues para un divisor k de n fijo, nk sera único, y como
n
k = lm entonces
∑
n
k =lm
g (l)h (m) recorre
todos los divisores positivos l y m de nk tales que lm =
n
k . A su vez vemos que
∑
k | n︸︷︷︸
klm=n
f (k)
( ∑
n
k =lm
g (l)h (m)
)
=
∑
k | n︸︷︷︸
klm=n
f (k)
∑
l|nk
g (l)h
 nkl︸︷︷︸
m


Lo cual a su vez, es igual a
∑
k|n
f (k) (g ∗ h)
(
n
k
)
Lo que nos da como resultado
∑
k|n
f (k) (g ∗ h)
(
n
k
)
= (f ∗ (g ∗ h)) (n)
3
Por lo que, el producto de Dirichlet es asociativo.
Probemos que f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h. Para esto vemos que
f ∗ (g + h) (n) =
∑
d|n
f (d) (g + h)
(
n
d
)
=
∑
d|n
f (d)
(
g
(
n
d
)
+ h
(
n
d
))
Por lo que
∑
d|n
f (d)
(
g
(
n
d
)
+ h
(
n
d
))
=
∑
d|n
f (d) g
(
n
d
)
+
∑
d|n
f (d)h
(
n
d
)
= (f ∗ g) (n) + (f ∗ h) (n)
Probemos que la funcion aritmética δ es la identidad, tanto por la derecha como por la izquierda, del producto
de Dirichlet. Para esto tenemos que probar que
(δ ∗ f) (n) = f (n)
Vemos que
(δ ∗ f) (n) =
∑
d|n
δ (d) f
(
n
d
)
= f (n)
(f ∗ δ) (n) =
∑
d|n
f (d) δ
(
n
d
)
= f (n)
Recuerde, sencillamente, que n = n · 1, por lo que 1 y n son divisores de n.
Como consecuencia del anterior resultado, se aníma al estudiante, resolver el siguiente ejercicio:
1) Para funciones aritméticas f y g, definimos el producto f ? g por
(f ? g)(n) =
n−1∑
k=1
f (k) g (n− k)
¿Es el producto f ?g conmutativo? ¿Es asociativo? ¿Que es f ?δ? (Recuerde que
n−1∑
k=1
k =
n−1∑
k=1
n−k. Si n = x+y
para x, y ∈ Z+ entonces para cada x, y sera único.)
Ejemplo.- Demostremos que si n ∈ N
∑
d|n
µ (d) =
1 si n = 10 si n > 1
Sol.- Para esto vemos que si n = pα11 · p
α2
1 · ... · pαrr , entonces, en la sumatoria los terminos no nulos son dados
por aquellos divisores positivos d de n que son libres de cuadradados, vale decir, que d > 1 no debe ser divisible por
el cuadrado de algun número primo. (Recuerde que µ (8) = 0 pues 8 = 22 · 2, así, 8 es divisible por el cuadrado de
algun número primo, en este caso el número primo 2).
Estos divisores d, libres de cuadrados, son aquellos que tienen por divisores a exactamente k primos pi tales que
cada divisor pi tiene como potencia la unidad. Entonces, tenemos que
4
∑
d|n
µ (d) = µ (1) + (−1)1 ·
(
r
1
)
︸︷︷︸
seleccionamos un primo de los r primos a disposicion para que sea divisor de n
+
+ (−1)2 ·
(
r
2
)
︸︷︷︸
seleccionamos dos primos de los r primos a disposicion para que, con su producto, formen un divisor de n
+
...+ (−1)r−1 ·
(
r
r − 1
)
︸ ︷︷ ︸
seleccionamos r − 1 primos de los r primos a disposicion para que, con su producto, formen un divisor de n
+
(−1)r ·
(
r
r
)
= (1 + (−1))r = 0
Como consecuencia del anterior resultado, tenemos la siguiente proposicion, la cual se deja como ejercicio al
estudiante
2) Si k denota el número de factores primos distintos de un entero positivo n, entonces
∑
d|n
|µ (d)| = 2k
El siguiente teorema es importante
Teorema (Formula de inversion de Möbius).-
Si F (n) =
∑
d|n
f (d) para todo entero positivo n, entonces f (n) =
∑
d|n
µ (d)F
(
n
d
)
.
Dem (1).- Sea d un divisor positivo de n y k un divisor positivo de nd . Se sigue que k es un divisor de n y
además d | nk . Se tiene que, por definicion de F
∑
d|n
µ (d)F
(
n
d
)
=
∑
d|n
µ (d)
∑
k|nd
f (k)
A su vez esto último es igual a
∑
k|n
(∑
d|nk
µ (d)
)
f (k)
Como d es un divisor positivo de n, entonces dz = n, para algun z ∈ Z+. Por otro lado, como k | nd entonces
ky = nd para algun y ∈ Z+. Por lo que z = ky,o lo que es lo mismo n = dky. Vale decir que, valga la redundancia,
k y d son divisores positivos de n. Entonces la ultima doble sumatoria se justifica, cuando, al fijar un divisor k de
n, entonces
∑
d|nk
µ (d) recorre todos los divisores positivos d de nk . Por ende, tenemos
∑
k|n
f (k)
∑
d|nk
µ (d) = f (n)
Basta ver, que pasa cuando k = n.
Tenemos el siguiente teorema que complementa al anterior el cual se aníma al estudiante a poder justificar.
Teorema.- Si f (n) =
∑
d|n
µ (d)F
(
n
d
)
para todo entero positivo n, entonces F (n) =
∑
d|n
f (d).
Se debe notar que los anteriores dos teoremas no requieren que f (n) o F (n) sean multiplicativas.
5
Para mostrar otra demostracion, mucha mas sencilla que la anterior, del anterior teorema definimos la funcion
aritmética
1 (n) = 1 para cada n ∈ N
Se deja al lector mostrar que, en efecto
(µ ∗ 1) (n) = δ (n)
para cada n ∈ N. Asi vemos que si F (n) =
∑
d|n
f (d) entonces, esto ultimo equivale a que F (n) = (f ∗ 1) (n).
Ahora si, mostramos otra demostracion.
Dem (2).- Vemos que
∑
d|n
µ (d)F
(
n
d
)
=
∑
d|n
µ
(
n
d
)
F (d) =
∑
d|n
F (d)µ
(
n
d
)
= (F ∗ µ) (n) = ((f ∗ 1) ∗ µ) (n)
Esto ultimo, por asociatividad, es igual a
(f ∗ (1 ∗ µ)) (n) = (f ∗ δ) (n) = f (n)
A continuacion desarrollamos algunos ejercicios
Ejemplo.- Mostrar que
n =
∑
d|n
ϕ (d)
Sol.- Vamos a contar todos los posibles residuos por dos metodos distintos. Primero sabemos que dado un entero
positivo m existenen total m posibles residuos. (Recuerde que un entero q al ser dividido por m deja un unico
residuo r tal que r ∈ {0, 1, ...,m− 1}). Por otro lado, cada residuo u ∈ {0, 1, ...,m− 1} puede ser escrito como dmu,
para algun entero positivo mu y d = mcd (u,m). Esto implica que mcd
(
m
d ,mu
)
= 1. Esto es facil de ver. Como
d = mcd (u,m) entonces existen x, y ∈ Z únicos tales que d = xu+my o lo que es lo mismo d = xdmu + md dy. De
ahí 1 = xmu + md y por lo que, como mcd
(
m
d ,mu
)
divide a cualquier combinacion lineal de md y mu, en particular
mcd
(
m
d ,mu
)
| 1. Por lo que mcd
(
m
d ,mu
)
= 1. Así, podemos particionar a los residuos u ∈ {0, 1, ...,m− 1} de
acuerdo al valor de d = mcd (u,m). Entonces, el número de residuos que corresponde a un md en partícular esta
determinado precisamente por ϕ
(
m
d
)
. (Recuerde, mcd
(
m
d ,mu
)
= 1 y cada mu determina a un u ∈ {0, 1, ...,m− 1}.
Por ejemplo, r, s ∈ {0, 1, ...,m− 1} pertenecen al mismo conjunto Xd, el cual es parte de la particion, siempre que
d = mcd (r,m) = mcd (s,m). Esto a su vez implica que s = dms y r = dmr para algun ms,mr ∈ Z+. Entonces
se sigue que mcd
(
m
d ,ms
)
= mcd
(
m
d ,mr
)
= 1. Entonces ϕ
(
m
d
)
cuenta a aquellos números coprimos con md , los
cuales son, por ejemplo, ms y mr los cuales determinan a s y r, los cuales son residuos). Por lo que, todas las clases
estarian consideradas en la sumatoria
∑
d|m
ϕ
(
m
d
)
, o lo que es lo mismo
∑
d|m
ϕ (d). Por lo que m =
∑
d|m
ϕ (d).
Ejemplo.- Mostrar que
ϕ(n)
n =
∑
d|n
µ(d)
d
6
Sol.- Sea F (n) = n para cada n ∈ N. Entonces, por el anterior problema, vemos que F (n) =
∑
d|n
ϕ (d). Por el
teorema de inversion de Möbius vemos que
ϕ (n) =
∑
d|n
µ (n)F
(
n
d
)
=
∑
d|n
µ (n) nd
Por lo que, en efecto
ϕ (n) =
∑
d|n
µ (n) nd
o lo que es lo mismo
ϕ(n)
n =
∑
d|n
µ(d)
d
Ejercicio para el estudiante.
3) Denotemos por σ (n) a la suma de todos los divisores positivios de n, esto es
σ (n) =
∑
k|n
k
Pruebe que
∑
k|n
σ (k)µ
(
n
k
)
= n
para cada entero positivo. (Defina la funcion f (k) = k para cada k ∈ N. Note que σ (n) =
∑
f
k|n
(k). Aplique
alguno de los teorema de inversion de Möbius).
Bibliografia.-
• Elementary Methods in Number Theory, Melvyn B. Nathanson. Cap 6.
• Introduccion a la Teoria de Números, Ivan Niven y Herbert S. Zuckerman. Cap 4.
• Problems in Analytic Number Theory, M. Ram Murty. Cap 1.
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