Clase1-3 (1)

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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Cirilo Alvarez Rojas
Universidad Nacional De Ingeniería
Facultad De Ingeniería Económica,Ingeniería Estadística
Y Ciencias Sociales
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA
Cirilo Alvarez Rojas (UNI) PROBABILIDAD CONDICIONAL 1 / 16
Definición 1
Sea (Ω,A ,P) un espacio de probabilidad. Si B ∈ A y P(B) > 0, la
probabilidad condicional del evento A dado el evento B se define por
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
, A ∈ A (1)
Observación 1
Si P(B) = 0, entonces P(A|B) puede ser definida arbitrariamente.
La mayoría de los libros hacen P(A|B) = 0. Pero es más interesante hacer
definir como P(A|B) = P(A) para significar que P(A|B) sea una
probabilidad definida en A (como una función de A). También es
conveniente, por razones de independencia, definir P(A|B).
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Para B fijo se cumplen las siguientes propiedades:
1. P(A|B) ≥ 0.
2. P(Ω|B) = 1
3. si A ∩ C = ∅, entonces
P(A ∪ C |B) = P(A|B) + P(C |B)
Regla del producto o Ley generalizada para la probabilidad condicional
Teorema 1
Si {A1,A2, . . . ,An} es una clase finita de eventos con
P(A1 ∩ A2 . . . ∩ An) > 0, entonces se cumple
P(A1 ∩ A2 . . . ∩ An) = P(A1)P(A2|A1) · · ·P(An|A1 ∩ A2 . . . ∩ An−1)
.
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Ejemplo 1
Supongamos que una urna inicialmente contiene r bolas rojas y b bolas
verdes. Supongamos que las bolas se extraen de la urna de una en una,
pero después de cada extracción, k + 1 bolas del mismo color se devuelven
a la urna (con una mezcla completa entre extracciones, y sin ver las bolas,
etc.). Preguntas (para un número k en general):
(a) ¿Cuál es la distribución del número de bolas rojas en las primeras n
extracciones?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la i-ésima bola extraída sea roja?
(c) ¿Cuál es el número esperado de bolas rojas en las primeras n
extracciones?
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Observación. Si k = 0, el procedimiento es solo muestreo con reemplazo.
El número de bolas rojas en las primeras n extracciones tendría una
distribución Bin
(
n, rr+b
)
; es decir, Si X denota el número de bolas
extraídas, entonces X ∼ Bin
(
n, rr+b
)
. Si k = −1, el procedimiento es el
muestreo sin reemplazo. Si k ≥ 1 necesitaremos una urna muy grande si
pretendemos muestrear durante mucho tiempo: habrá bolas r + b + ki en la
urna después de la i-ésima extracción y reemplazo.
solución: Para responder a estas preguntas no necesitamos hacer un
seguimiento exacto de qué bola se selecciona en cada extracción; solo
importa su color. Las preguntas involucran solo los eventos
Ri = {la bola extraída de la urna, en la i-ésima extración es roja},
para i = 1, 2, 3, . . .
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y su complemento
Bi = {la i-ésima bola extraída de la urna es verde}, i = 1, 2, . . .
Claramente, la probabilidad de que en la primera extracción resulte una
bola roja es (para i = 1)
P(R1) =
r
r + v
Para tener una idea de lo que está sucediendo, comience con algunos
cálculos simples para las primeras extracciones, condicionando en los
resultados de las extracciones anteriores.
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Para i = 2, tenemos
P(R2) = P(R1 ∩ R2) + P(B1 ∩ R2)
= P(R1)P(R2|R1) + P(B1)P(R2|B1)
=
(
r
r + v
)(
r + k
r + v + k
)
+
(
v
r + v
)(
r
r + v + k
)
=
r
(r + v)(r + v + k)
[r + k + v ]
=
r
r + v
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para i = 3,un poco más difícil y laborioso:
P(R3) = P(R1 ∩ R2 ∩ R3) + P(R1 ∩ B1 ∩ R3) + P(B1 ∩ R2 ∩ R3)+
+ P(R1 ∩ B2 ∩ R3)
= P(R1)P(R2|R1)P(R3|R1 ∩ R2) + P(R1)P(B2|R1)P(R3|R1 ∩ B2)+
+ P(B1)P(R2|B1)P(R3|B1 ∩ R2) + P(B1)P(B2|B1)P(R3|B1 ∩ B2)
=
(
r
r + v
)(
r + k
r + v + k
)(
r + 2k
r + v + 2k
)
+
+
(
r
r + v
)(
v
r + v + k
)(
r + k
r + v + 2k
)
+
(
b
r + v
)(
r
r + v + k + 1
)(
r + k
r + b + 2k
)
+
+
(
v
r + v
)(
v + k
r + v + k
)(
r
r + v + 2k
)
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tenga en cuenta que cada sumando tiene denominador
(r + v)(r + v + k)(r + v + 2k), por lo que resulta,
P(R3) =
1
(r + v)(r + v + k)(r + b + 2k)
×
× [r(r + k + 1)(r + v + 2k) + rv(r + b + 2k)]
=
r���
���(r + v + k)((((
((((r + v + 2k)
(r + v)���
���(r + v + k)((((
((((r + v + 2k)
P(R3) =
r
r + v
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Respuesta a la pregunta (a)
Para i = 0, 1, . . . n, necesitamos calcular la probabilidad de obtener
exactamente i bolas rojas entre los primeros n sorteos. No hay diferentes
ordenamientos para los primeros n esquemas que darían exactamente rojos.
(Piense en la cantidad de formas de elegir las posiciones i disponibles en la
n). El evento (i rojos en primeras n extracciones) es una unión disjunta de(n
i
)
igualmente eventos probable,de donde
P{irojos en las primeras n extracciones}
=
(
n
i
)
P(R1R2 . . .RiVi+1Vi+2 . . .Vn)
=
(
n
i
)
r(r + k) . . . [r + k(i − 1)]v(v + k) . . . [(v + r(n − i − 1))]
(r + v)(r + v + k) . . . [v + k(n − i − 1)]
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Como una comprobación rápida, observe que cuando k = 0, la probabilidad
se reduce a (
n
i
)(
v
r + v
)i ( v
r + v
)n−i
como debería ser para una distribución Bin
(
n, rr+v
)
.
Para el caso especial de muestreo sin reemplazo (k = −1), la probabilidad
se convierte en(
n
i
)
r(r − 1) . . . (r − i + 1)v(v − 1) . . . (v − n + i + 1)
(r + v)(r + v − 1) . . . (r + v − n + 1)
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=
n!
i !(n − i)!
r !
(r − i)!
v !
(v − n + i)!
(r + v − n)!
(r + v)!
=
r !
i !(r − i)!
v !
(n − i)!(v − n + i)!
n!(r + v − n)!
(r + v)!
=
(r
i
)( v
n−i
)(r+v
n
)
donde(
r
i
)
= Número de formas de elegir i bolas rojas de entre r bolas rojas(
v
n − i
)
= Número de formas de elegir n − i bolas verdes de v bolas verdes(
r + v
n
)
= Número de formas de elegir n bolas de r + v bolas de la urna.
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Respuesta a la pregunta (b)
La propiedad de simetría que nos permite ignorar el orden al calcular las
probabilidades para sucesiones particulares de sorteos también nos permite
eliminar gran parte del álgebra que usamos primero para encontrar P(R3.
Reconsidere ese caso. Dividimos el evento R3 en cuatro piezas disjuntas:
(R1R2R3) ∪ (R1V2R3) ∪ (V1R2R3) ∪ (V1V2R3).
Cada terna termina con un R3, con las dos primeras posiciones dando todas
las combinaciones posibles de R y B . La probabilidad de cada terna no
cambia si permutamos los subíndices, porque el orden no importa. Así
P(R3) = P(R3R2R1) + P(R3V2R1) + P(V3R2R1) + P(V3V2R1).
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Observe cómo la terna para cada término ahora termina en un R1 en lugar
de un R3. La última suma es solo una descomposición para la obtención de
P(R1) al dividirse de acuerdo con el resultado del segundo y tercer sorteo.
Se sigue que P(R3) = P(R1). Similar,
P(i-ésima bola es roja) = P(R1) =
r
r + v
para cada i .
Respuesta a la pregunta (c)
Debe resistir el impulso de usar la respuesta a la pregunta (a) en un ataque
directo a la pregunta (c). En su lugar, escriba el número de rojos en n
extracciones como X1 + · · ·+ Xn, donde Xi denota el indicador del evento
Ri , es decir,
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Xi =
{
1 ai la i-ésima bola extraída es roja
0 caso contrario
De la respuesta a la pregunta (b),
E (Xi ) = 1× P(Xi = 1) + 0× P(Xi = 0) = P(Xi = 1) =
r
r + v
De ello se deduce que el número esperado de bolas rojas en la muestra de n
extracciones es nr/(r + v). Este número esperado no depende de k ; es lo
mismo para k = 0 (muestreo con reemplazo, sorteos independientes) y
k 6= 0 (los sorteos dependientes), siempre que excluyamos los casos en que
la urna se vacíe antes del enésimo sorteo.
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Teorema 2
Sean{B1,B2, . . . ,Bn, . . .} una secesión de eventos mutuamente
excluyentes y exhaustivos y sea A cualquier evento. Entonces
P(A) =
∑
i
P(Bi )P(A|Bi )
Forma general de la regla de Bayes Suponga que se tienen k eventos
A1,A2, . . . ,Ak tales que
1.
k⋃
i=1
Ai = Ω.
2. Ai ∩ Aj = ∅ entonces para cualquier evento B ⊂ Ω se tiene
P(Ai |B) =
P(Ai )P(B|Ai )∑k
j=1 P(Aj)P(B|Aj)
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