Tarea 1 - EYP1016

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Tarea I – EYP1016 
 
 
Profesor: Mauricio Castro C. 
Ayudante: Sebastián Cabezas 
Alumno: Felipe Castillo G. 
 
1. Suponga que van a enviarse cinco jueces federales a cierto Estado. El jefe del senado 
estatal envía al presidente una lista que contiene los nombres de diez mujeres y cuatro 
hombres. Si el presidente decide que de los cinco jueces tres deben ser mujeres y dos 
hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que, tomando de la lista una mujer al azar, sea 
elegida como juez federal? 
 
Solución: El experimento aleatorio corresponde a elegir a una mujer al azar de la lista. Como 
en el enunciado no se dice que se esté eligiendo a una persona de un género al azar, sino que 
se dice explícitamente que se está eligiendo a una mujer, el espacio muestral Ω de este 
experimento corresponde al conjunto de mujeres en la lista. Además, se considera que 
ninguna mujer en la lista es más importante que otra, por lo que se asume que cualquiera 
tiene igual probabilidad de ser elegida, es decir, se asume que Ω es un espacio equiprobable. 
 Sea A el evento correspondiente a obtener a un juez federal. Utilizando la Regla de 
Laplace para un espacio muestral formado por sucesos equiprobables, se obtiene que la 
probabilidad del evento 𝐴 es: 
 
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω|
=
3
10
 
 
Ya que |𝐴| = 3, pues de todas las mujeres en la lista se sabe que 3 fueron escogidas como 
jueces federales y |Ω| = 10, pues en total hay 10 mujeres en la lista. 
 
Solución alternativa: Alternativamente, el problema podría resolverse usando probabilidad 
condicional. Considerando el experimento de elegir a una persona al azar de la lista, y los 
eventos 𝐴: “Obtener un juez federal” y 𝐵: “Obtener una mujer”. En este caso el espacio 
muestral Ω corresponde al conjunto de todas las personas en la lista (tanto hombres como 
mujeres). Entonces el problema sería equivalente a calcular 𝑃(𝐴|𝐵), es decir, la probabilidad 
de obtener un juez federal dado que se obtiene una mujer. Utilizando la definición de 
probabilidad condicional se tiene que: 
 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
= 
|𝐴 ∩ 𝐵|
|Ω|
|𝐵|
|Ω|
=
3
14
10
14
=
3
10
 
 
Ya que |𝐴 ∩ 𝐵| = 3, pues de todas las personas en la lista hay 3 que son mujeres y jueces 
federales, |𝐵| = 10, pues hay 10 mujeres en la lista y |Ω| = 14, pues en total hay 14 personas 
en la lista. 
 
2. Dado un grupo de cien computadoras, quince de ellas resultan ser defectuosas. ¿Cuál 
es la probabilidad de que, tomando dos computadoras al azar, las dos resulten ser 
defectuosas? 
 
Solución: El experimento aleatorio corresponde a escoger dos computadoras al azar. En este 
caso no importa el orden en que son escogidas las computadoras, por lo que el espacio 
muestral Ω corresponde al conjunto de parejas de computadoras que se pueden escoger sin 
considerar su orden. También se asume que todas las computadoras son iguales en apariencia 
y, por tanto, tienen igual probabilidad de ser escogidas, es decir, Ω es un espacio 
equiprobable. 
 Como hay 100 computadoras, la primera computadora puede ser escogida de 100 
maneras diferentes. Luego, la segunda puede escogerse de 99 maneras diferentes, por lo que 
pueden formarse 100 ∗ 99 parejas ordenadas de computadoras. Sin embargo, como no nos 
interesa el orden en que son escogidas, para eliminar las permutaciones redundantes se divide 
por el número de permutaciones que puede formarse con cada pareja, es decir, 2!. Por lo que 
el número de maneras diferentes en que Ω puede suceder es 
100∗99
2!
= 4950. 
 Sea el evento 𝐴: “Obtener dos computadoras defectuosas”. Como hay 15 
computadoras defectuosas en un principio, la primera puede escogerse de 15 maneras 
diferentes. Luego, la segunda puede escogerse de 14 maneras diferentes, por lo que pueden 
formarse 14 ∗ 15 parejas ordenadas de computadoras. Sin embargo, como no nos interesa el 
orden en que son escogidas, para eliminar las permutaciones redundantes se divide por el 
número de permutaciones que puede formarse con cada pareja, es decir, 2!. Por lo que el 
número de maneras diferentes en que 𝐴 puede suceder es 
14∗15
2!
= 105. 
 Aplicando la definición de probabilidad clásica (Regla de Laplace), se tiene que la 
probabilidad de que 𝐴 ocurra es: 
 
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω|
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 Ω 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟
 
⇒ 𝑃(𝐴) =
105
4950
=
7
330
 
 
3. Se lanza un dado de seis lados (un dado justo) dos veces (cuando se aplica a objetos 
como dados o monedas, los adjetivos “justo” e “imparcial” implican que cada posible 
resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir). 
a) Escriba el espacio de probabilidad de este experimento. 
b) Sea 𝑩 el evento de que el primer número mostrado por el dado no sea mayor que 3, 
y sea 𝑪 el evento de que la suma de los dos números mostrados sea igual a 6. Encuentre 
las probabilidades de 𝑩 y 𝑪, y las probabilidades condicionales de 𝑪 dado 𝑩, y de 𝑩 
dado 𝑪. 
 
Solución: 
 
a) Se considera como espacio de probabilidad la terna (Ω, ℱ, 𝑃), donde: 
 
 Ω = {(𝑖, 𝑗) ∶ 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,6} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), … 
 (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), … 
 (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), … 
 (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 ℱ = 𝒫(Ω) 
 𝑃(𝑋) =
|𝑋|
|Ω|
, ∀𝑋 ⊆ Ω 
 
Es decir, se considera como espacio muestral Ω al conjunto de pares ordenados de números 
naturales del 1 al 6, donde el primer elemento representa el resultado del primer lanzamiento 
del dado y el segundo elemento el resultado del segundo lanzamiento. Como el espacio 
muestral es finito, se considera como 𝜎-álgebra ℱ al conjunto potencia de Ω. Y, ya que se 
trata con un dado “justo”, como función de probabilidad se considera la probabilidad 
uniforme donde todos los resultados elementales son igualmente posibles y la probabilidad 
de cada evento 𝑋 es igual a su cardinalidad dividida por la cardinalidad del espacio muestral. 
 
b) Los eventos 𝐵 y 𝐶 corresponden a los siguientes subconjuntos del espacio muestral: 
 
𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), … 
 (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} 
𝐶 = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 
 
Se pide encontrar 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐶), 𝑃(𝐶|𝐵) y 𝑃(𝐵|𝐶). Para calcular 𝑃(𝐵) y 𝑃(𝐶) se aplica la 
definición de probabilidad uniforme: 
 
𝑃(𝐵) =
|𝐵|
|Ω|
=
18
36
=
1
2
 
𝑃(𝐶) =
|𝐶|
|Ω|
=
5
36
 
 
Para calcular 𝑃(𝐶|𝐵) y 𝑃(𝐵|𝐶) se aplica la definición de probabilidad condicional: 
 
𝑃(𝐶|𝐵) =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐵)
 
𝑃(𝐵|𝐶) =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶)
 
 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) puede ser hallado aplicando la probabilidad uniforme, es decir, 
 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) =
|𝐵 ∩ 𝐶|
|Ω|
=
3
36
=
1
12
 
 
Donde |𝐵 ∩ 𝐶| = 3, pues hay 3 elementos compartidos por 𝐵 y 𝐶, a saber, (1,5), (2,4) y (3,3). 
Finalmente reemplazando valores en las expresiones para 𝑃(𝐶|𝐵) y 𝑃(𝐵|𝐶), se tiene: 
 
𝑃(𝐶|𝐵) =
1
12
1
2
=
1
6
 
𝑃(𝐵|𝐶) =
1
12
5
36
=
3
5
 
 
4. En un centro médico especializado en problemas respiratorios, el 80 % de los 
fumadores que se fueron a atender resultó tener cáncer, mientras que de los no 
fumadores atendidos sólo el 10 % tenía cáncer. Se sabe, además, que el 60 % de los 
pacientes no son fumadores. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer sea 
fumador? 
 
Solución: El experimento aleatorio consiste en elegir un paciente al azar, por lo que el espacio 
muestral Ω corresponde al conjunto de pacientes que se atendieron en el centro médico. 
 
Sean los siguientes eventos: 
𝐴: “Obtener un paciente con cáncer” 
𝐵: “Obtener un paciente fumador” 
𝐵𝐶: “Obtener un paciente no fumador” 
 
Se utiliza la notación 𝐵 y 𝐵𝐶 para denotar que, del universo de pacientes que se atendieron 
en el centro médico, cada uno sólo puede ser fumador, o bienno fumador, es decir, se 
complementan entre sí. 
De los datos del problema se tiene que: 
 
𝑃(𝐴|𝐵) = 80% = 0,8 
𝑃(𝐴|𝐵𝐶) = 10% = 0,1 
𝑃(𝐵𝐶 ) = 60% = 0,6 
 
Se quiere saber la probabilidad de que al escoger un paciente con cáncer éste sea fumador, 
es decir, 𝑃(𝐵|𝐴). Aplicando el Teorema de Bayes, se tiene que: 
 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴|𝐵) ∗ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴|𝐵) ∗ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴|𝐵𝐶) ∗ 𝑃(𝐵𝐶)
 
 
Como 𝐵 y 𝐵𝐶 cubren todo el espacio muestral, 𝑃(𝐵) puede ser obtenido como: 
 
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵𝐶) = 1 − 0,6 = 0,4 
 
Por lo que 𝑃(𝐵|𝐴) queda como: 
 
𝑃(𝐵|𝐴) =
0,8 ∗ 0,4
0,8 ∗ 0,4 + 0,1 ∗ 0,6
=
16
19
≈ 84,21% 
 
∴ La probabilidad de que al obtener un paciente con cáncer éste sea fumador es de 84,21%. 
 
5. Cierto experimento consiste en lanzar un dado regular 2 veces independientemente. 
Dado que los números son distintos, ¿cuál es la probabilidad que: 
a) al menos uno de ellos sea 6. 
b) la suma de los dos números es 8. 
 
Solución: El experimento aleatorio consiste en lanzar un dado dos veces. En este caso, a 
efectos de lo que se está preguntando, el orden en el que se obtienen los números es 
irrelevante, por lo que el espacio muestral Ω consiste en el conjunto de parejas (sin considerar 
el orden) de números del 1 al 6 y con ambos números distintos, esto es 
 
Ω = {(𝑖, 𝑗) ∶ 𝑖 < 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,6} 
⇒ Ω = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), … 
(2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)} 
 
a) Sea el evento 𝐴: “Obtener al menos un 6”, el cual corresponde al siguiente subconjunto 
de Ω: 
 
𝐴 = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)} 
 
Aplicando la definición de probabilidad clásica (Regla de Laplace), se tiene que la 
probabilidad del evento 𝐴 es: 
 
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω|
=
5
15
=
1
3
 
 
b) Sea el evento 𝐵: “La suma de los números obtenidos es 8”, el cual corresponde al siguiente 
subconjunto de Ω: 
𝐵 = {(2,6), (3,5)} 
 
Aplicando la definición de probabilidad clásica (Regla de Laplace), se tiene que la 
probabilidad del evento 𝐵 es: 
 
𝑃(𝐵) =
|𝐵|
|Ω|
=
2
15
 
 
6. Animales de una especie particular de roedores han nacido. Existen dos tipos de estos 
roedores (Tipo I y II) con dos colores de pelaje por tipo. La probabilidad de tener un 
roedor de pelaje café dado que es del Tipo I es 2/3. La probabilidad de tener un roedor 
de pelaje gris dado que es del Tipo II es 2/5. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el 
animal elegido tenga pelaje de color café si es seleccionado al azar de entre 5 animales 
del tipo I y 3 animales del tipo II? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Tipo I, si 
se seleccionó un roedor con pelaje café? 
 
Solución: El experimento aleatorio consiste en elegir un roedor al azar, por lo que el espacio 
muestral Ω corresponde al conjunto de roedores. 
 
Sean los siguientes eventos: 
𝐶: “Obtener un roedor de pelaje café” 
𝐺: “Obtener un roedor de pelaje gris” 
𝐵: “Obtener un roedor del Tipo I” 
𝐵𝐶: “Obtener un roedor del Tipo II” 
 
Se utiliza la notación 𝐵 y 𝐵𝐶 para denotar que, del universo de roedores, cada uno sólo puede 
ser del Tipo I, o bien del Tipo II, es decir, se complementan entre sí. 
De los datos del problema se tiene que: 
 
𝑃(𝐶|𝐵) =
2
3
 
𝑃(𝐺|𝐵𝐶 ) =
2
5
 
 
a) Se quiere saber la probabilidad de obtener un roedor de pelaje café, es decir, 𝑃(𝐶). 
Aplicando el Teorema de probabilidad total, se tiene que: 
 
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐶|𝐵) ∗ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶|𝐵𝐶) ∗ 𝑃(𝐵𝐶) 
 
Como se tienen 5 roedores del Tipo I y 3 roedores del Tipo II de un espacio muestral Ω de 8 
animales, suponiendo que cada animal tiene igual probabilidad de ser escogido (es decir, Ω 
es un espacio equiprobable), aplicando la definición de probabilidad clásica, 𝑃(𝐵) y 𝑃(𝐵𝐶) 
serían: 
 
𝑃(𝐵) =
|𝐵|
|Ω|
=
5
8
 
𝑃(𝐵𝐶) =
|𝐵𝐶|
|Ω|
=
3
8
 
 
Por otra parte, se considera que los eventos 𝐶 y 𝐺 son complementarios, es decir, un roedor 
puede ser café, o bien ser gris, por lo que 𝑃(𝐶|𝐵𝐶) se calcularía como 
 
𝑃(𝐶|𝐵𝐶) = 1 − 𝑃(𝐺|𝐵𝐶) = 1 −
2
5
=
3
5
 
 
Finalmente, reemplazando valores en la expresión para 𝑃(𝐶) se tiene que 
 
𝑃(𝐶) =
2
3
∗
5
8
+
3
5
∗
3
8
=
77
120
≈ 64,17% 
 
b) Se quiere saber la probabilidad de obtener un roedor del Tipo I, dado que se obtuvo un 
roedor de pelaje café, es decir, 𝑃(𝐵|𝐶). Aplicando el Teorema de Bayes y utilizando los 
datos obtenidos de la parte a), se tiene que: 
 
𝑃(𝐵|𝐶) =
𝑃(𝐶|𝐵) ∗ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐶|𝐵) ∗ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶|𝐵𝐶) ∗ 𝑃(𝐵𝐶)
 
⇒ 𝑃(𝐵|𝐶) =
2
3 ∗
5
8
2
3 ∗
5
8 +
3
5 ∗
3
8
=
50
77
≈ 64,94%