(2) MOVIMIENTO ONDULATORIO

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 Departamento de Materias Básicas 
 
 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA 
 
Ing. Sandra Silvester 
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I.2 Movimiento Ondulatorio 
 
 Introducción: 
 
Cuando estudiamos las leyes de la reflexión y de la refracción a través de la 
óptica geométrica, vimos que los fenómenos ópticos a gran escala pueden 
explicarse mediante rayos luminosos (aplicación de la teoría corpuscular). Pero 
cuando se estudian fenómenos en pequeña escala, se aprecian detalles para 
los cuales resulta necesaria una interpretación ondulatoria. La mayoría de 
estos detalles no son de observación habitual, pero se hacen evidentes cuando 
examinamos, por ejemplo, la luz que pasa por rendijas estrechas o que se 
refleja en superficies rayadas. 
A los fenómenos ópticos que requieren de la teoría ondulatoria para su 
explicación, se los incluye dentro de la óptica física (que forma parte de este curso), 
la cual estudia las interacciones entre haces luminosos y entre luz y materia. 
Finalmente, si los fenómenos ópticos tienen lugar a escala atómica, es preciso 
hacer uso de la teoría cuántica para explicarlos de modo riguroso. 
Cabe aclarar que la teoría ondulatoria es apta para estudiar los fenómenos de 
reflexión y refracción, como así también la teoría cuántica es apta para 
estudiar los fenómenos ondulatorios. 
Cuando estudiamos la luz como fenómeno ondulatorio, sabemos que podemos 
generalizar nuestras conclusiones para el conjunto de las ondas 
electromagnéticas. 
 
 Propiedades Comunes de las Ondas: 
 
La noción de onda es familiar a la mayoría de la gente. Cuando se deja caer 
una piedra en un estanque, las ondulaciones del agua se alejan radialmente; al 
tocar el piano vibran las cuerdas y las ondas sonoras se desplazan a través del 
el aire; las imágenes de la televisión se forman mediante la decodificación de 
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN EL AGUA 
figura 10 
y = f (x ± v t) (1) 
Ecuación diferencial en derivadas 
parciales para una onda que se 
propaga a lo largo del eje x 
∂
�y
∂	t� 	� 	 v
� 	 ∂
�y
∂	x� 
 
PRODUCCIÓN 
 DE 
ONDAS 
TRANSVERSALES 
EN UN 
SÓLIDO 
ELÁSTICO 
figura 11 
 
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Las ondas planas pueden producirse, por ejemplo, en un bloque de una 
sustancia elástica como el de la figura 11. Sujetando una lámina a una de las 
superficies del bloque y comunicándole un movimiento periódico en su propio 
plano, se originarán ondas planas en dicho bloque. Estas ondas estarán 
representadas por las ecuaciones que hemos visto, siempre que la 
perpendicular a los frentes de onda sea paralela al eje x. 
Si queremos generalizar las ecuaciones para que representen ondas planas que 
se propagan en cualquier dirección, basta sustituir x por la expresión: 
 l x + m y + n z 
donde l, m y n son los cosenos directores de tal dirección para los ejes x, y y z. 
 
Un manantial luminoso suficientemente pequeño, genera ondas esféricas en 
vez de planas. Como la curvatura disminuye con la distancia, puede suponerse 
que las ondas son planas a una distancia suficientemente grande del 
manantial. 
Un procedimiento usual para obtener ondas luminosas planas, consiste en situar un 
manantial puntual en el foco objeto de una lente o de un espejo. En la práctica, el 
manantial nunca es un punto matemático y el haz luminoso se compone en realidad 
de muchas ondas planas ligeramente inclinadas entre sí y procedentes cada una de un 
punto distinto de dicho manantial. Para minimizar este defecto, en los laboratorios 
normalmente se emplea como manantial un pequeño orificio iluminado, cuyo diámetro 
es extremadamente reducido. 
 
 Ondas Sinusoidales: 
 
El tipo más sencillo de onda es aquella cuya ecuación está conformada por un 
seno o un coseno. Las partículas individuales están sometidas en este caso a 
un movimiento armónico simple. 
Consideremos ondas transversales en las que los movimientos de las partículas 
son movimientos perpendiculares a la dirección de propagación. Los 
desplazamientos instantáneos y pueden expresarse por la siguiente ecuación: 
 � = !"# (2%&/λ) 
 
figura 12 
PERFIL DE UNA ONDA SINUSOIDAL EN EL INSTANTE t = 0 
�	 � 	 		!"#		 (2%&
λ
) 
(2) �	 � 	 		!"#	 2%
λ
	�&	 * 	+,� 
 
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Estas ecuaciones representarán la onda de la figura 12, si la curva se inicia en 
los instantes t = T/4 o t = T/2, respectivamente, en lugar de t = 0. 
Un haz luminoso al cual le sean aplicables las ecuaciones anteriores, tiene las 
siguientes características: a) es perfectamente paralelo; b) es absolutamente 
monocromático, por tener una longitud de onda perfectamente definida; c) 
está polarizado linealmente, puesto que las vibraciones se producen en un 
plano único que pasa por la dirección de propagación. Este tipo de luz es una 
idealización imposible de realizar en la práctica, especialmente en lo que se refiere a su 
carácter monocromático. No obstante, en muchos casos se obtiene una aproximación bastante 
cercana a esta idealización. 
 
 Fase y Diferencia de Fase: 
 
En una onda plana, el movimiento vibratorio de cualquier punto del sistema es 
idéntico si se exceptúa su fase. Ésta está representada por la magnitud entre 
paréntesis de la ecuación (3) y nos indica la fracción de vibración completa que 
ha ejecutado la partícula en un instante dado. 
En una vibración completa, la fase aumenta en 2π. Dando a t un valor 
particular, vemos que la fase varía a lo largo de la onda proporcionalmente a x. 
La diferencia de fase en cualquier instante entre dos partículas situadas en x2 y 
x1, es: 
 
en donde ∆ se llama diferencia de camino. 
El valor absoluto de la fase es imposible de medir en la práctica, máxime en el 
caso de la luz, pero tampoco resulta necesario. Lo que tiene importancia es la 
diferencia de fase, la cual puede medirse con gran precisión. 
Si un haz de luz monocromática es dividido en otros dos mediante reflexión 
parcial (o cualquier otro método) y luego de efectuar distintos recorridos se les 
δ = . (&� − &/) = (2π
λ
 )∆ 
(3) 
� = 01! (ω, – .&) 
� = !"# (ω, – .&) 
 
 
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hace coincidir en un punto (superponiéndolos), la intensidad luminosa resultante 
depende en gran parte de la diferencia de fase exacta entre ambos trenes de 
ondas. Esta diferencia está determinada por las distancias recorridas por cada 
una de las ondas. La designación “diferencia de camino ∆”, indica que lo que 
interesa es la diferencia entre dos ondas separadas y no entre dos puntos de 
una misma onda. 
En el caso descripto, puede ocurrir que las trayectorias de las ondas se realicen 
en sustancias en las cuales la velocidad de la luz difiera de la que tiene en el 
vacío (o en el aire). Para calcular en este caso diferencias de fase, no se utiliza el 
recorrido geométrico real sino el camino óptico, que es el “producto de la 
distancia por el índice de refracción n de la sustancia” (esto deriva de que la 
velocidad de la luz es 1/n veces menor en el medio más denso). 
En consecuencia, si se desea obtener el camino equivalente en el vacío, o sea 
la distancia que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo, se utilizará el 
camino óptico en lugar del geométrico. Para ello se aplicará la siguiente 
expresión: 
 
 
 
 
Las sumatorias representan los caminos ópticos totales de los dos haces 
luminosos anteriormente mencionados. 
 
 Velocidad de Fase o de Onda: 
 
La velocidad con que se desplaza la cresta de una onda se suele denominar 
velocidad de onda, aunque a veces se utiliza el término más preciso de 
velocidad de fase. Esta magnitud es idéntica a la velocidad v vista en las 
ecuaciones anteriores (v = λ/T = f λ) y se demuestra calculando la derivada de 
x respecto al tiempo, con la condición de fase constante. Usando la expresión 
de la fase en la ecuación (3), dicha condición se convierte en: 
δ = (2π
λ
 ) 4Σ #5 65 − Σ #7 678 (4) 
9:;"<"#0: 6" ; !" δ = (2π/λ) × 6:;"<"#0: 6" 0 >:#1 ó?,:01 
 
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 ωt – kx = constante 
y la velocidad de onda es: 
 
 
 Sustituyendo ω = 2πf y k = 2π/λ , se obtiene la ecuación v = f λ . 
Para una onda que se desplaza hacia las x negativas, la fase constante toma la 
forma ωt + kx y entonces + = − ω/. . 
El coeficiente ω/. para un tipo dado de ondas depende de las propiedades 
físicas del medio en que éstas se desplazan y, en general, también de la 
misma pulsación ω. 
En las ondas elásticas transversales, la velocidad de la onda es independiente de la frecuencia 
y viene dada por: + = BC D⁄ (siendo N el módulo de rigidez y ρ la densidad). 
Por el hecho de poder polarizarse, se sabe que las ondas luminosas son transversales. 
Además, las mediciones revelan que su velocidad en el vacío es aproximadamente de 300.000 
km/s. Si se supone que son ondas elásticas (como se creía en el siglo XIX), se plantea la 
cuestión de cuál es el medio en que se propagan. Dado que la velocidad es tan grande, la 
ecuación anterior requeriría que el cociente entre la rigidez y la densidad fuera también muy 
grande. En la primitiva “Teoría del Sólido Elástico”, se supuso la existencia de un medio con 
ésas propiedades llamado “éter”. Esta hipótesis tenía muchas objeciones; por ejemplo, si su 
rigidez era tan elevada debía tener gran resistencia a las deformaciones, pero no se detectaba 
que el éter produjera efecto alguno en el movimiento de los cuerpos celestes. 
Todas las dificultades desaparecieron al desarrollar Maxwell la Teoría Electromagnética de la 
Luz, en la cual se reemplaza el desplazamiento mecánico de un elemento del medio por la 
variación de un campo eléctrico en el punto correspondiente. 
Hay un gran paralelismo entre ambas teorías. La primera consiguió explicar importantes 
propiedades de la luz y gran parte de su formulación matemática inicial pudo ponerse sin 
dificultad en términos electromagnéticos. Por lo tanto, con frecuencia hallamos analogías 
mecánicas útiles para comprender el comportamiento de la luz. 
 
 Amplitud e Intensidad: 
 
Se denomina intensidad de una onda a la “cantidad de energía que fluye, en la 
unidad de tiempo, a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de 
propagación”. 
+ = 6&6, = 
ω
. (5) 
 
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Si la onda fluye continuamente con velocidad v, existe una densidad de 
energía definida o energía total por unidad de volumen. Toda la energía 
contenida en una columna del medio de sección unidad y longitud v, pasará 
por la unidad de área en un segundo. Por lo tanto, la intensidad es igual al 
“producto de v por la densidad de energía”. 
Tanto la intensidad como la densidad de energía son proporcionales al 
cuadrado de la amplitud y la frecuencia. Para demostrar esto en el caso de 
ondas sinusoidales en un medio elástico, basta con determinar la energía 
vibratoria de una sola partícula que efectúa un movimiento armónico simple. 
Consideremos por ejemplo una partícula en el punto P de la figura 12. En esta 
posición está moviéndose hacia arriba y posee simultáneamente energía 
cinética y potencial. En la posición P´, tendrá energía cinética nula y energía 
potencial máxima. Al descender, ganará energía cinética y perderá energía 
potencial, de modo que su energía total permanezca constante. En la posición 
P´´, toda su energía será cinética. Podemos por lo tanto calcular su energía 
total como la potencial máxima que tiene en P´ o como la cinética máxima que 
tiene en P´´. Adoptamos esta última por ser la más sencilla. 
De acuerdo con la ecuación (3), el desplazamiento de una partícula varía con el 
tiempo según la relación: 
 
Su velocidad es: 
 
Cuando y = 0, el seno se anula y el coseno es máximo. En este caso, la 
velocidad máxima es ω a. La energía cinética máxima será entonces: 
 
 ½ > + KáL� = ½ > ω� � 
 
Como ésta es también la energía total de la partícula y es proporcional a la 
energía por unidad de volumen, concluimos que: 
 
 
 
6�
6, = ω 01! (ω, − α) 
y = sen (ωt −−−− α) donde (α = kx) 
la densidad de energía es proporcional a ωωωω2 a2 (6) 
 
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La intensidad, que es v veces esta magnitud, será también proporcional a ω2 a2. 
En las ondas esféricas, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado 
de la distancia almanantial puntual (siempre que no haya conversión de energía en 
otras formas, pasará la misma cantidad de energía por cualquier esfera cuyo centro esté en el 
manantial). Como el área de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio, 
la energía por unidad de área a una distancia r del manantial (o sea la intensidad) 
variará como 1/r2. Por lo tanto, la amplitud variará como 1/r. Podemos 
entonces escribir la ecuación de una onda esférica en la forma: 
 
 
Si parte de la energía se transforma en calor, es decir, si hay absorción, la 
amplitud e intensidad de las ondas planas no será constante, sino que 
disminuirán a medida que avanzan en el medio. Análogamente, para las ondas 
esféricas la pérdida de intensidad es más rápida que la requerida por la ley de 
proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia. 
En las ondas planas, la fracción dI/I de la pérdida de intensidad al atravesar un 
espesor infinitesimal dx, es proporcional a dx : 
 
Para obtener la pérdida total en un espesor finito x, integramos: 
M 6NN
L
O
 = − P M 6&
L
O
 
Resolviendo estas integrales definidas, se obtiene: 
 
 
Esta expresión se denomina ley exponencial de la absorción. En la figura 13 se 
representa la intensidad de acuerdo con esta ley, en función del espesor de un 
medio absorbente cuyo αααα = 0,4 cm−1. La intensidad de la luz solar es de 
aproximadamente 1.400 W/m2. Pero no todo este flujo de energía afecta visualmente al ojo ni 
la intensidad así definida corresponde necesariamente a la sensación de brillo; por ello, el flujo 
de energía luminosa se expresa normalmente en otras unidades llamadas fotométricas. La 
amplitud de un manantial de luz solar cuya intensidad es la anteriormente mencionada, 
representa un campo eléctrico de 730 V/m junto con un campo magnético de 2,4 µT. 
y = (a/r) sen (ω t − k r) 
 
(7) 
dI/I = − αααα dx 
NL = NO "QRL (8) 
figura 13 
DISMINUCIÓN DE LA INTENSIDAD EN UN MEDIO ABSORBENTE 
(índice de refracción) (9) 
λ
λK
	� 	 0+ 	� 	#		 
#	6	 � 	 ( λ
λK
) 	6 número de longitudes de onda en dicha distancia, multiplicado por (10) 
la longitud de onda en el vacío 
figura 14 
Las longitudes de onda del espectro visible 
(figura 14) están comprendidas entre 800 
nm (rojo lejano) y 400 nm (violeta 
extremo). La radiación cuya longitud es 
inferior a la visible se denomina ultravioleta 
y se extiende hasta los 5 nm. 
Entre esta longitud y 6 x 10−4 nm (1.000.000 
de veces más pequeñaIque la longitud media de la 
luz) se encuentran los rayos X. Aún más 
cortos que éstos son los rayos gamma, 
emitidos por las sustancias radiactivas. 
En el lado de las longitudes más largas del 
espectro visible está el infrarrojo, que 
empalma con las microondas con una 
longitud de onda de 6 x 105 nm (1.000 veces 
más grande que la longitud media de la luz). Por 
debajo de éstas se encuentran las ondas de 
radio y televisión. 
Los límites de separación entre las distintas 
regiones del espectro son puramente 
formales y han sido fijados de manera 
aproximada, ya que las propiedades 
inherentes a dos regiones se superponen. 
La radiación visible (luz) cubre una fracción 
casi insignificante del intervalo total. 
;´	 � 	 	0	 � 	S	
λ
		� 		;	 T1	 �	S0U 
EJEMPLO DE UN PAQUETE DE ONDAS 
figura 15 
 
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Cuanto mayor sea el número N de ondas del grupo, menor será la dispersión 
∆λ. Se demuestra que ∆λ/λ0 es aproximadamente igual a 1/N. Por lo tanto, 
sólo cuando N es muy grande puede considerarse que la onda tiene una 
longitud definida con precisión. 
Si el medio en el cual se desplaza el paquete es tal que la velocidad depende 
de la frecuencia, se observa que las crestas de las ondas se desplazan con 
velocidad diferente a la del paquete en conjunto (el cual se extiende a medida 
que avanza). Nos encontramos por lo tanto con dos velocidades: la de onda (o 
de fase) y la de grupo. 
En los manantiales luminosos, los átomos radiantes emiten trenes de onda de 
longitud finita. Corrientemente, a causa de las colisiones y de otros debilita- 
mientos, tales paquetes son muy cortos. De acuerdo con lo anteriormente 
mencionado, deducimos que las rayas del espectro no son muy estrechas, sino 
que tienen una anchura apreciable ∆λ. Midiendo esta anchura podemos saber 
la longitud media de los paquetes de ondas. 
 
 
 
Ejercicio Nº 1: Demostrar, utilizando la ecuación + = V W = V;⁄ , que la fase de una 
onda sinusoidal puede expresarse en las siguientes formas: 
 
a) � XY T, −
L
ZU ; b) 2% T
[
Y −
L
\U ; c) 2%; T, −
L
ZU 
 
 
 ] = 2%; ; . = �X\ 
 
a) 
� X
Y , −
�X
YZ & = 2%;, −
�X
\ & = (], − .&) 
 
b) 
� X
Y , −
�X
\ & = 2%;, −
�X
\ & = (], − .&) 
 
c) 2%;, − �X_Z & = 2%;, −
�X
\ & = (], − .&) 
 
 
 
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Ejercicio Nº 2: Representar una onda sinusoidal de v = 20 cm/s, λ = 15 cm y a = 5 
cm, como función de x en el instante t = 0. Suponer que en dicho instante la 
elongación de la partícula es máxima en el origen. 
 
� = 0,05 01! (], − .&) [m] 
 
+ = V; → ; = +V =
0,2
0,15 = 1,3333 … g"<,h 
 
] = 2%; = 8,377 < 6 !⁄ 
 
. = 2%V = 41,8879 < 6 >⁄ 
 
� = 0,05 cos (8,377 , − 41,8879 &) [>] 
 
 
? < , = 0 "! → � = 0,05 cos (−41,8879 &) [>] 
 
Para representar gráficamente la onda, necesitamos saber los valores x para los 
cuales y = 0 : 
0,05 cos (−41,8879 &) = 0 
 
Debe ser ⇒ (−41,8879 &) = a) ± X� ; b) ± 3
X
� ; c) ± 5
X
� ; d) ± 7
X
� ; ….. 
 
a) x = 0,0375 m = 3,75 cm 
b) x = 0,1125 m = 11,25 cm 
c) x = 0,1875 m = 18,75 cm 
d) x = 0,2625 m = 26,25 cm 
 
Ejercicio Nº 3: Una onda está representada por y = 10 sen (6 t ─ 0,5 x), donde x e y 
están en cm y t en segundos. Hallar la velocidad y la aceleración de una partícula a 3 
cm del origen para t = 24 segundos. 
 
Para x = 3 cm : 
 
y = 10 sen (6 t ─ 1,5) [cm] 
 
v = (dy/dt) = 6 x 10 cos (6 t ─ 1,5) [cm/s] 
 
a = (dv/dt) = ─ 6 x 60 sen (6 t ─ 1,5) [cm/s2) 
 
Para t = 24 s : 
 
v = 60 cos (6 x 24 ─ 1,5) = 60 cos 142,5 rad = 60 cos 4,27 rad = ─ 25,7 cm/s 
 
 
n
o p
n
o 
 
q no 
 
r no 
 
0,05 
-0,05 
(t = 0)(t = 0)(t = 0)(t = 0) 
y [m]y [m]y [m]y [m] 
x [m]x [m]x [m]x [m] 
(∗) 
 
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a = ─ 360 sen 4,27 rad = 325,3 cm/s2 
 
y = 10 sen 4,27 rad = ─ 9,04 cm 
 
 
 /s�,t uvw� X uvw/Zxyz[v = 22,68 vueltas0,68 vuelta x 2 π rad/vuelta = 4,27 rad 
 
 
 
 
Ejercicio Nº 4: Ondas esféricas procedentes de un manantial puntual producen el 
movimiento y = 4,2 cos 6 t [mm] a 3 m del manantial. Hállese la ecuación de tales 
ondas, así como la que describe el movimiento a 50 cm del manantial. 
 
La ecuación de una onda esférica es: y = 
{
| sen (ωt ─ k r), donde a es la amplitud a la 
unidad de distancia del manantial (r = 1 mm). Luego: 
{
| = 4,2 mm 
 
Cuando r = 3.000 mm ⇒⇒⇒⇒ 
{
}.OOO = 4,2 ⇒⇒⇒⇒ a = 12.600 mm
2 
 
Luego: y = 
/�.~OO
| sen (6 t ─ k r) [mm] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La amplitud para la ecuación del movimiento a 500 mm del manantial es: 
 /�.~OO
tOO = 25,2 mm ⇒⇒⇒⇒ Finalmente: y = 25,2 cos 6 t [mm] 
 
Ejercicio Nº 5: Ondas planas sinusoidales que tienen una longitud de onda de 62 cm, 
se propagan en un cierto medio. En un instante dado, una de las partículas tiene una 
elongación creciente de + 2,6 mm. Hallar: a) la amplitud de la onda si la fase de la 
partícula en dicho instante es 72º, siendo la fase nula cuando la partícula pasa por la 
posición de equilibrio moviéndose en sentido positivo; b) la elongación y la fase de 
otra partícula situada a 19 cm de la anterior, contados en el sentido de la 
propagación. 
 
a) y = a sen (ωt ─ k x) 
 
 2,6 mm = a sen 72º = a . 0,951056 ⇒⇒⇒⇒ a = 2,73 mm 
y 
-y 
[cm] 
[cm] 
x 
3 cm 
10 cm (fuera de escala) 
-10 cm 
-9,04 cm 
(∗) 
 (fuera de escala) 
 
 
y y y y [mm][mm][mm][mm] 
r r r r 
[mm][mm][mm][mm] 
GRÁFICA DE LA ECUACIÓN DE LA ONDA ESFÉRICA 
yyyy																[[[[mmcmmcmmcmmc 
xxxx												 
[mmc[mmc[mmc[mmc x	1 
x	2 
2,6	mm 
─	0,11	mm