S05_HT_TEORIA_Y_PRACTICA

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
CÁLCULO 2 
 SEMANA 5 
 
INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES 
 
 FUNCION GAMMA Y BETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INGENIERÍA 
X 
Y 
( ) 

−−=
0
1 dxexn xn
 
−− −=
1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 CÁLCULO 2 
INGENIERÍA 
 
 
 FUNCIÓN GAMMA Y FUNCIÓN BETA 
 
1. FUNCION GAMMA 
DEFINICIÓN.- La función Gamma, denotada por (n), se define por la siguiente integral 
impropia: 
 ( ) 

−−=
0
1 dxexn xn 
Obs: El valor de dicha integral es s s 
 
Donde : 5! = (5)(4)(3)(2)(1)=120; 6!=(6)(5)(4)(3)(2)(1)=720 
 
PROPIEDADES IMPORTANTES: 
 
a) ( ) ( )nnn =+ 1 
b) =






2
1
 
 
2. FUNCION BETA 
DEFINICIÓN.- La función Beta, denotada por B(m,n), se define por la siguiente integral 
impropia 
 
−− −=
1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm 
PROPIEDADES IMPORTANTES: 
 
a) ( ) ( )mnBnmB ,, = 
b) Para todo m > 0 ; n > 0, se cumple: ( ) ( ) ( )
−−=
2
1212,
2
1 
 dCosSennmB nm 
 
c) 
)(
)()(
),(
nm
nm
nmB
+

= 
d) 

−
=
+0
1
10;
)(1
n
nSenx
dxxn


 
( )!1-n (n) = 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
NIVEL 1 
1) Identifique colocando verdadero ( V ) o falso ( F ) a la integral que se representa como una 
función Gamma. 
 
a) 

−
0
2 dxex x ………….…….… ( ) 
 
 
 
b) ∫ √−𝒙𝒆−𝟐𝒙𝒅𝒙
𝟎
−∞
………………. ( ) 
 
c) 

−
0
2
dxe x ………..….……… ( ) 
 
 
d) ∫ (𝒙𝑳𝒏𝒙)𝟑𝒅𝒙
𝟏
𝟎
……….……… ( ) 
 
 
e) 

−
0
2 dxex x ………..…… ( ) 
f) 

−−
0
2 dxex x …………… ( ) 
g) 

−
0
dxex x ………….… ( ) 
h) 

−
0
22 dxex x …….……… ( ) 
i) 

0
22 dxex x ….……..…… ( ) 
j) 

0 xex
dx
……….……..… ( ) 
k) 

−0 2
2
2
dx
e
x
x
………………… ( ) 
l) 

−
0
2
dxe x ………..….……… ( ) 
m) ( )
1
0
dxxLn …….…………… ( ) 
n) ( )

0
3
dxxLnx ……….……… ( ) 
o) 







0
3
dx
Lnx
x
…………..…… ( ) 
p) 

−
0
36 dxex x ………….…….… ( ) 
2) Identifique colocando verdadero ( V ) o falso ( F ) a la integral que se representa como una 
función Beta. 
a) ( ) −
1
0
33 1 dxxx …..……….( ) 
 
 
b)  





−
1
0
3
1
1
1 dx
x
 …………….( ) 
c)  20
65 cos

xdxxsen …………….( ) 
 
 
 
d) 
−
2
2
10cos

 xdx …………………..( ) 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 4 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
e) 
( )

−1
0
1
dx
x
x
 …..………….( ) 
f)  20
5

xdxsen …….………….( ) 
g) ∫ 𝒄𝒔𝒄−𝟒 𝒙 𝒅𝒙
𝝅
𝟐
𝟎
 ……………….( ) 
 
h)  20
97 cos

xdxxsen …………….( ) 
i) ∫
𝟏
𝒔𝒆𝒏−𝟖𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟏𝟎 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟐
𝟎
 ………..…..( ) 
j) 
−
2
2
10

 dxsen …………………….( ) 
 NIVEL 2 
1) Represente cada integral como una función gamma 
a) 

0 2
2
2
dx
e
x
x
 
 
 
 
 
b) ( )
1
0
4
dxLnx 
 
 
 
c) 

0 3
6
dx
e
x
x
 
d) 

0 2
1
dx
ex x
 
e) 

0 2
1
dx
ex x
 
f) ( )
1
0
3
dxxLnx 
2) Represente cada integral como una función Beta 
a)  





−
1
0
3
1
1
1 dx
x
 a) 
−
2
2
46 cos

 xdxxsen 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) −
1
0
33 1 dxxx 
c) ∫
𝒙𝟑
(𝟏−𝒙)𝟑/𝟐
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
 
d) 
−1
0
1
dx
x
x
 
e) 
−
2
2
6

 xdxsen 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 5 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
3) Utilice las propiedades (A ) y ( B) para calcular los valores de las funciones Gamma y Beta 
 ( A ) =






2
1
 ( B ) ( ) ( )nnn =+ 1 
(a) ...................
2
7
=





 b) Generalice imparn
n







2
 
 
 
 
 
 
(b) ...................
2
3
=





 
(c) ...................
2
5
=





 
 
(d) ...................
2
9
=





 
(e) ...................
2
11
=





 
4) Calcule el valor de: 
a) 





−
2
1
 b) 





2
3
,5B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( )4 
c) 






2
11
 
 
d) ( )4,2B 
e) 





4,
2
1
B 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 6 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
NIVEL 3 
1. Calcular el área limitada por la curva 𝒚 = 𝒙𝟐𝒆−𝒙
𝟐
 ; 𝑥 ≥ 0, y el eje X. 
Sug: Grafique y utilice la función Gamma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcular el área limitada por la curva 𝒚 = 𝒙𝟒𝒆−𝒙 ; 𝑥 ≥ 0, y el eje X. 
Sug: Grafique y utilice la función Gamma 
3. Calcular el área encerrada por la curva 13/23/2 =+ yx . 
Sug: Grafique y utilice la función Beta 
 
4. Calcular el área encerrada por la curva 𝑥2/5 + 𝑦2/5 = 1. 
Sug: Utilice la función Beta. 
 
BIBLIOGRAFIA 
# Código UPN-L AUTOR TITULO Pág. 
1 
515 
STEW/D 
STEWART. 
JAMES 
Cálculo diferencial e integral 428- 455 
2 
515.15/ 
LARS 
LARSON, RON Cálculo 1 478-508 
 
 
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