¿Qué son y para qué sirven las transformadas de Fourier?

Intentaré explicarlo de una forma sencilla, a pesar de ser un concepto un poquito complicado que se estudia en la universidad y normalmente no en el primer curso sino en el segundo quizá, en carreras como ingenierías, física, etc.

¿Qué es?
Es una transformación de una función del tiempo en otra función de la frecuencia.
También se dice que la función original está en el ‘dominio del tiempo’ y la transformada la pasa al ‘dominio de la frecuencia’.
Recordemos que el “dominio” de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable, el conjunto de valores origen para los que la función devolverá una salida (otro valor). Cuando es el ‘dominio del tiempo’ los valores origen serán valores de tiempo (ej: 2 segundos, 7 segundos, etc), y la función en el dominio del tiempo sería f(t)f(t) … Cuando se habla de ‘dominio de la frecuencia’ los valores origen son valores de frecuencia (ej: 7 radianes por segundo, 100*PI radianes por segundo, etc… o también puede ser una frecuencia expresada en ciclos por segundo, es decir, hercios, Hz) y la función en el dominio de la frecuencia sería F(ω)F(ω) ó f^(ω)f^(ω) .

Es decir, dada una función que te dice cuánto hay de una magnitud en cada instante de tiempo, la transformada te da otra función que te dice la cantidad que tiene la anterior función en cada frecuencia.

También se podría decir que es una generalización de las Series de Fourier, pero en lugar de ser para señales periódicas, para cualquier señal sea periódica o no.

Y otra forma relativamente sencilla de decirlo para alguien que sepa de Espacios Vectoriales o que sepa algo de vectores, sería decir que es un cambio de base. Las funciones de variable real o compleja tienen estructura de Espacio Vectorial, donde la suma de 2 funciones es otra función, y donde una función por un escalar es otra función. Entonces, una base, aunque de dimensión infinita sería dividir la recta real del tiempo en infinitos reales y tendrías infinitas funciones, cada una definida en un punto, que sumadas te dan la función original. Pues bien, si en lugar de usar esa base usas otra base que sean infinitas funciones periódicas como senos y cosenos también podrías expresar la función original como combinación lineal de ellas. Estas funciones periódicas se caracterizan por una frecuencia, y, de esta forma, la función original sería una función de la frecuencia: para cada frecuencia tendría un valor, la componente en esa coordenada de otra base. Aunque, claro, eso de los Espacios Vectoriales de dimensión infinita o ver que la nueva base es realmente base y puede servir para generar cualquier función quizá no sea tan evidente… pero para intuir la idea, como concepto, puede servir.

Veamos un ejemplo:

Primero un ejemplo rápido con una imagen animada tomada de la Wikipedia.

En esa animación se puede ver que una señal original f, en el dominio del tiempo, que se suele expresar como f(t), se descompone en una suma de señales de tipo sinusoidal, es decir, de frecuencias puras… y la gráfica azul es la transformada, que indica los coeficientes de cada frecuencia. Por ejemplo, tiene una componente grande de baja frecuencia y otras más pequeñas de frecuencias más altas.

Otro ejemplo más detallado:

Si la función del tiempo es:
f(t)=3⋅cos(2⋅π⋅50⋅t)f(t)=3⋅cos⁡(2⋅π⋅50⋅t)
Esta función es una función periódica que vale 3 cuando t = 0
y también vale 3 cuando t =1 porque 2PI multiplicado por 50 y multiplicado por t=1 resulta ser 100 PI y el coseno de 100 PI es igual que el coseno de 2PI e igual que el coseno de cero, igual a 1.
Y resulta que cuando t = 0.02 = 1/50 la parte de dentro del coseno es:
2*PI * 50 * (1/50) = 2*PI
y el coseno vale 1 también.
Para valores de t mayores que 0 y menores que 0.02 el ángulo del coseno será menor que 2*PI y mayor que 0 y el coseno será menor que 1…
Así que 0.02 segundos es lo que se llama período, el menor valor de tiempo para el cual la función se repite…
Y el valor 50 se conoce como frecuencia, es decir, las veces cada segundo que se repite la función. Si al cabo de 0.02 segundos la función se repite por primera vez, a los 0.04 segundos se repite por segunda vez… y cuando pasa 1 segundo se habrá repetido 50 veces. Esta frecuencia se expresa en Hercios, es decir, ciclos por segundo, representado como Hz.
En la transformada de Fourier se suele usar lo que se llama “frecuencia angular”, representada por la letra griega omega minúscula y su unidad son los radianes por segundo.
La frecuencia angular (radianes por segundo) sería ω=2⋅π⋅fω=2⋅π⋅f es decir, 2 PI veces la frecuencia ordinaria (en Hz) y expresa la ‘velocidad angular’, es decir, cuánto crece un ‘ángulo’ por unidad de tiempo.
En el ejemplo, el ángulo que va dentro del coseno aumenta a un ritmo de 100 PI veces cada segundo, así que cuando t vale 1/(100*PI) el ángulo valdría 1 radián, cuando t vale 1/50 = 0.02 el ángulo valdría 2*PI radianes (un ciclo), etc.

Entonces, la transformada da una expresión de la función original en función de cada frecuencia angular, diciendo qué cantidad tiene la función en cada frecuencia angular.
En este caso, la función original está concentrada en una única frecuencia angular, que es 100*PI y no tendría nada en otras frecuencias positivas.
Por tanto, la transformada de Fourier de esa función temporal sería exactamente cero para las frecuencias que no sean 100*PI y para el valor de omega igual a 100*PI tendría un valor no nulo.
Si detallásemos un poco más veríamos que la transformada de Fourier también da valores para frecuencias angulares negativas y tampoco sería nula para -100*PI. También se podría detallar que la transformada da valores complejos, es decir, números complejos. Además, en este caso, el valor de la transformada en la frecuencia angular igual a 100*PI sería infinito… con una función llamada “delta” (delta de Dirac), lo cual puede resultar algo extraño. El caso es que la integral de esa delta que tiene un valor infinito en un punto da como resultado un valor real. Y con esa integral podríamos saber que “la cantidad” asociada a esa frecuencia, lo que multiplica al coseno, es 3 unidades.

Las funciones periódicas se puede demostrar que se pueden expresar como una suma de un número infinito numerable de senos y cosenos… es lo que se llama “Serie de Fourier”. Por tanto, toda función temporal periódica, como puede ser la producida por instrumento musical (guitarra, piano, flauta, etc) tendría una Transformada de Fourier que sería un infinito numerable de “deltas”, cada una con una “altura” o coeficiente diferente… y a una frecuencia angular que sería un múltiplo de una cantidad llamada “frecuencia fundamental”. Serían los coeficientes de la Serie de Fourier. Las frecuencias se llaman “armónicos”: la frecuencia fundamental sería el ‘primer armónico’, el doble de eso sería el ‘segundo armónico’, etc.
Para funciones no periódicas también existe una Transformada de Fourier y en este caso no sería un infinito numerable de deltas sino valores reales continuos.
En lugar de tener un armónico en una frecuencia w, otro en 2w, otro en 3w, etc… lo que tendrías sería un continuo de frecuencias, desde 0 hasta infinito, o desde menos infinito hasta más infinito: cada número real sería una frecuencia posible para la que existiría un valor de la transformada, y no solamente en múltiplos de una frecuencia como en el caso de funciones periódicas.

¿Para qué sirven las Transformadas de Fourier?

Las aplicaciones son muy numerosas.

Por ejemplo, algunos circuitos eléctricos y muchos otros sistemas se comportan como un sistema lineal, es decir, que la salida del circuito se multiplica por una constante si la entrada se multiplica por una constante, y si la entrada es una suma de señales la salida es la suma de la salidas que tendría cada señal independiente… Por tanto, si sabemos la respuesta del circuito con la frecuencia, si sabemos la salida del circuito para señales de frecuencias puras, podremos saber la salida para una señal que sea combinación lineal de señales sinusoidales…
Por ejemplo, la corriente alterna que se usa en las casas suele tener una frecuencia de 50 Hercios (en España, porque en Estados Unidos son 60 Hz) y, por tanto, la función temporal, por ejemplo, del Voltaje, es similar a la que dije antes, como un coseno… aunque en lugar de 3 sería 311 Voltios de pico. Cuando se habla de 220 voltios son eficaces, o RMS (Root Mean Square), es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos del voltaje… En unos instantes el voltaje es 311 y en otros instantes es 0, variando en forma de onda sinusoidal y la raíz cuadrada de la media de los cuadrados daría 220 voltios.
Si sabemos la impedancia equivalente de un circuito lineal, por ejemplo, que tenga resistencias y condensadores, podremos saber la salida de forma fácil.
Si la entrada en lugar de ser una sinusoide fuese una variación de voltaje cualquiera en función del tiempo, podríamos calcular la transformada de Fourier de esa señal, multiplicar por la función en frecuencia del circuito y obtener así la transformada de Fourier de la salida… y con la transformada inversa sabríamos la variación en el tiempo de la salida del circuito, es decir, la señal de salida.
Esto que expliqué para un circuito también se podría aplicar a otros sistemas lineales de tipos muy diferentes… Por ejemplo, un puente. Antes de construir un puente se podría calcular cómo responde en frecuencias ese puente y cómo reaccionaría a vientos de una determinada fuerza, o terremotos, etc.
El señor Fourier hizo su teoría estudiando el calor, así que esa sería otra aplicación.

Otro ejemplo: compresión de audio MP3.
Sabemos que una señal de audio, como una canción es una función temporal, de valores de presión del aire, los cuales son transformados por micrófonos en valores de voltaje, que pueden ser medidos y guardados en una grabación. Y, luego, se puede hacer el proceso inverso con unos altavoces que transforman un voltaje variable en una presión de aire variable.
Ahora bien, el almacenamiento de valores instantáneos de presión de aire o de voltajes de un micrófono no es muy eficiente. Sabemos que el oído humano no es igual de sensible a unas frecuencias que a otras.
Lo que haría el MP3 sería codificar con mayor precisión las frecuencias que mejor escucha el oído humano y codificar de forma muy burda, con poca precisión, las frecuencias a las que el oído no es muy sensible. Esto nos permite ahorrar muchos datos… de forma que una canción pueda ocupar la décima parte y oírse prácticamente igual.

Esto es lo que se llama una "compresión con pérdidas" (Lossy compression, en inglés). Es compresión porque se obtiene un fichero de datos que ocupa menos espacio de datos, menos bytes. Y se dice que es con pérdidas porque se pierde información, porque si intentas recuperar la señal original no vas a obtenerla igual… aunque lo que se pierde es lo que el ser humano no capta bien, realmente se ha perdido algo que estaba en la señal original.

Para calcular las componentes en frecuencia de una canción se haría la transformada de Fourier, la cual nos da las componentes o coeficientes en cada frecuencia, de forma que unas componentes se codifican con más bits (más precisión) y otras se codifican con menos bits.
Esto también se hace en la telefonía móvil. El sonido de la voz se codifica, dedicando más bits a ciertas frecuencias, y menos bits a otras, ahorrando información, y, por tanto, pudiendo transmitir la voz de una llamada telefónica gastando menos ancho de banda.
Lo que ocurre es que la señal de una canción o de una voz de una llamada telefónica no es una señal continua en el tiempo, sino que se compone de una sucesión de muestras… y, entonces, no se hace una transformada de Fourier continua, sino lo que se conoce como ‘transformada discreta de Fourier’ o ‘transformada de Fourier discreta’. En esta transformada no habría infinitas frecuencias sino un número finito de ellas. Y, además, se conoce un algoritmo eficiente para hacerlo, llamado FFT = Fast Fourier Transform.
Así que se tomarían las muestras en el tiempo, se haría la FFT y tenemos un número finito de muestras en frecuencia, se codifican esas muestras, cada una con el número de bits correspondiente y ya tendríamos el fichero MP3.
Para descomprimir el MP3 se haría la operación inversa: con los bits de cada frecuencia podemos hacer la operación inversa con otra FFT y obtener una señal que no será igual que la original pero que a nuestro oído le sonará igual.
El JPEG funciona de forma similar, pero en lugar de la Transformada de Fourier usa la Transformada del Coseno, más adecuada para imágenes, descartando información visual que apenas ven nuestros ojos. El JPEG también es una compresión con pérdidas ("lossy").

Otro ejemplo más: reconocimiento de voz.
Algo que se suele hacer es la transformada de la señal original, dividida en ‘trocitos’ y se obtienen unas características (llamado ‘vector característico’) de esa transformada de cada trocito, algo similar a los bits escogidos en ciertas frecuencias para comprimir. Y con esas secuencias de características (de ‘vectores característicos’) se puede reconocer las palabras que dijo el hablante.
Después de haber entrenado y probado el sistema, se usa en aplicaciones como Siri o Google Assistant, que reconocen la voz, en diferentes idiomas como español o inglés, entre otros, claro.

En probabilidades y estadísticas se usa una función llamada Función Característica que no es otra cosa que una Transformada de Fourier de la función densidad de probabilidad. Esto simplifica algunos cálculos. Aunque prefiero otra función llamada Función Generadora de Momentos, o Función Generatriz, que es una Transformada de Laplace.

Otra aplicación sería la resolución de ecuaciones diferenciales.
Si tienes una ecuación diferencial puedes pasarla al dominio de la frecuencia, resolverla en el dominio de la frecuencia y luego hacer la transformada inversa de la solución para obtener la solución en el dominio original. De todas formas, creo que para esto es más útil la Transformada de Laplace… pero esto ya sería otra historia.

En RESUMEN:
podría parecer que es una cosa rara de matemáticos locos, sin aplicación práctica, o algo que se estudia en las ingenierías que podría parecer que no sirve para nada, pero nada más lejos de la realidad, es algo que se usa muchísimo en cosas de la vida diaria que estamos acostumbrados a usar y que pocos sospechaban que se usaba tanto: telefonía (GSM), música digital (MP3), Siri / Alexa / Google Assitant y otros sistemas de reconocimiento de voz, circuitos eléctricos, puentes, estudio del calor, etc.

Para más información:

Serie de Fourier - Wikipedia, la enciclopedia libre

Armónico - Wikipedia, la enciclopedia libre

Transformada de Fourier - Wikipedia, la enciclopedia libre

Transformada de Fourier discreta - Wikipedia, la enciclopedia libre